如何求不等式恒成立的参数取值范围

如何求不等式恒成立的参数取值范围
求不等式恒成立的参数的取值范围，是中学教学的难点之一，也是高考、数学竞赛的热点.本文就此问题的几种基本解决加以论述.
一、利用一次函数的性质
一次函数y =f （x ）= ax +b 在x ∈ [m ，n ]上恒大于零的充要条件是：
⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或 ⎩⎨⎧><0)(0n f a 或 ⎩
⎨⎧>>0)(0)(n f m f （对于y =f （x ）= ax +b 恒小于零的条件亦可类似给出）.
例1 若f （x ）=（x －1）m 2－6xm +x +1 在区间 [0，1]上恒为正值，求实数m 的取值范围. 解： 考查关于x 的一次函数f （x ）=（m 2－6m +1）x +1－m 2恒为正值的充要条件：
显然， 当m 2－6m +1=0时，f （x ）>0不成立,所以m 2－6m +1≠0,依一次函数的性质可知, 只要
⎩⎨⎧>>+0)0(016m -m 2f 或 ⎩⎨⎧><+0
)1(016m -m 2f 解得 －1<m <3
1. 故对于一切[0,1]x ∈恒有f （x ）>0 的m 的取值范围是{m ∣－1<m <
31}. 例2 对任意的a ∈[－1，1]，函数f （x ）=x 2+（a －4）x +4－2a 的值总大于零，求x 的取 值范围.
解： f （x ）可变形为g （a ）=（x －2）a +x 2－4x +4.
于是该题就变成：当a ∈[－1，1]内任意取值时，g （a ）恒大于零，求x 的取值范围， 因g （a ）是一次函数，所以g （a ）在[－1，1]上为正，只要
⎪⎩⎪⎨⎧>+-=>+-=-0
23)1(065)1(22x x g x x g 故x <1或x >3.
说明: 在不等式恒成立的问题中,若主元(或参数)能变为一次的形式,则我们能利用一次函数的性质来求解.
二、利用二次函数的单调性
任何一个一元二次不等式总可以化为ax 2+bx +c>0 (a <0) 的形式,由二次函数y =ax 2+bx +c(a <0)
的图象和性质,我们不难得出以下两个结论:
(1) ax 2+bx +c>0 (a <0) 在R 上恒成立的充要条件是△<0.
(2) ax 2+bx +c>0 (a <0) 在区间[m ，n ]上恒成立的充要条件是
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥≥∆,02,0)(,0a
b n f 或
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥≥∆,2,0)(,0m a b m f 或 △<0. 例3 设f （x ）=x 2－2ax +2, 当x ∈R 时,都有f （x ）≥a 恒成立, 求a 的取值范围.
解: 设F (x )= f （x ）－a = x 2－2ax +2－a , 则问题转化为: 当x ∈R 时, F (x ) ≥0恒成立,
只要△=4(a －1)(a +2)≤0 故－2≤a ≤1.
例4 设f （x ）=x 2－2mx +2,当x ∈[－1,+∞]时,都有f （x ）≥a 恒成立, 求m 的取值范围. 解: 设F (x )= f （x ）－m = x 2－2mx +2－m ,
则问题转化为: 当x ∈[－1,+∞]时, F (x ) ≥0恒成立.
(1) 当△=4(m －1)( m +2)<0 即 －2<m <1 时, 对一切x ∈[－1,+∞]总有F (x ) >0成立.
(2) △=4(m －1)( m +2)≥0 时, 由图1可知, F (x ) ≥0
充要条件是
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,122,0)1(,0m F ⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧-≤≥+≥+-1030)2)(1(m m m m ⇔ －3≤m ≤－2.
综上所述可知,m 的取值范围是m ∈[－3,1].
三、分离参数
若关于x 的不等式f (x ,k) ≥0 (或f (x ,k) ≤0) ①
在区间I 上恒成立,要求实参数k 的范围.
如果能将不等式①化为F (k)≥G (x ) (或F (k)≤G (x )) 的形式,且可求出G (x )在区间I 上的最大(最小)值,那么不等式①在区间I 上恒成立的充要条件是:
F (k)≥max{
G (x ) } (或F (k)≤min{G (x )})
例 5 若x ∈(－∞,－1],1+3x +(t －t 2)·9x >0恒成立, 求实数t 的取值范围.
解： 原不等式⇔ t －t 2>x x 913--, 则 t －t 2>max{x x 9
13--} ① 令y =x x 913--=－x x )31()31(2-=－μ2－μ (设μ=x )3
1(). 由 x ∈(－∞,－1]得μ∈[3,+ ∞）, y =－μ2－μ 在[3, + ∞）上最大值为－12,代入①得t －t 2>－12, 解得－3<t <4. 故实数t 的取值范围为{ t ∣－3<t <4}.
例 6 设f （x ）=l g 3
421a x x ++, 其中a ∈R, 如果x ∈(－∞,1] 时, f （x ）有意义, 求实数a 的取值范围.
解: 由题意, 不等式a x
x 421++>0 对x ∈(－∞,1]恒成立, 即有 a >max {－x x )21()41(-} ①
令y =－x x )21()41(-=－μ2－μ在μ
∈[21,+∞）上的最大值为－43, 代入① 得 a >－43, 故a 的取值范围为{ a ∣a >－
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3}. 四、数形结合
例 7 当 0≤x ≤1时,恒有x 2+k x >k －1, 求实数k 的取值范围.
解: 不等式可化为x 2+1>－k (x －1). 作抛物线弧
,y = x 2+1 （0≤x ≤1）,
作过(1,0) 且斜率为－k 的直线L: y =－k (x －1), (如图2)
则只需求使位于直线L 上方的k 的取值范围即可. 这由直线L 的斜率－k>k C A =－1即知,
∴ k<1.
以上四种方法是不等式恒成立的参数取值范围的基本方法.此外,还有
一些方法,如讨论法、参数法、判别式法、待定系数法等等.。