人教版高中数学必修五学案 1.1.2 余弦定理

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1.1.2 余弦定理教案(人教A版必修5)

1.1.2余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程2.余弦定理在解三角形时的应用思路3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作A如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a第二张:余弦定理(记作1.1.2B余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C形式二:co s A=bc ac b22 22-+,co s B=ca ba c22 22-+,co s C=ab cb a22 22-+三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.能利用计算器进行运算二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A∴a2=b2+c2-2ab c os A类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2ab c os C另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式形式一a2=b2+c2-2bcco s Ab2=c+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2abco s C形式二bc a c b A 2cos 222-+=ca b a c B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=师在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用 [合作探究2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢生向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角师在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造∙这一数量积以使出现CO s C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提(2)向量法证明余弦定理过程如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b由向量加法的三角形法则，可得+=∴,cos 2)1802)()(22a B ac c B BC AB +-=+-︒+=+∙+=+∙+=∙即B 2=C 2+A 2-2AC COB由向量减法的三角形法则，可得-=∴2222cos 22)()(c A bc b A AB AC +-=-=+∙-=-∙-=∙即a 2=b 2+c 2-2bcco s A由向量加法的三角形法则,可得-=+=∴,cos 22)()(22222a C bab C AC BC AC +-=-=+∙-=-∙-=∙即c 2=a 2+b 2-2abco sC [方法引导(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,与属于同起点向量,则夹角为A ;与是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;与是同终点,则夹角仍是角C [合作探究师思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=师思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边,求三个角这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题接下来,我们通过例题来进一步体会一下［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-所以A ≈41c 由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得CB =180°-A -C =180°-41°-【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形解：由余弦定理的推论,得co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,Aco s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,BC =180°-(A +B )=180°-[知识拓展补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A∴A∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a∴C∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s 82°28′, 得c∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b∴A∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的下面给出两种解法解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A∴A 1=81.8°,A 2 ∴C 1=38.2°,C 2由Ccsin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2 ∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B∴72=c +82-2×8×cco整理得c 2-8c解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac[教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之课堂练习1.在△ABC 中(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A (2)已知a =20,b B =29,c =21，求B (3)已知a =33,c =2,b =150°,求B(4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B (3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率2.根据下列条件解三角形(角度精确到(1)a =31,b =42,c (2)a =9,b =10,c解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B∴C =180°-(A +B )=180°-(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A∴A由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0,∴B∴C =180°-(A +B )=180°-评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题板书设计 1.余弦定理 2.证明方法余弦定理所能解决的两类问题: (1)平面几何法已知三边求任意角;学生练习。

高中数学人教A版必修5 1.1.2余弦定理学案

高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理学案【课前自主学习】预习课本P5～6，思考并完成以下问题(1)余弦定理的内容是什么？(2)已知三角形的两边及其夹角，如何解三角形？(3)已知三角形的三边，如何解三角形？【新知探究•夯实知识基础】余弦定理[点睛]余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．【学练结合】(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(2)正确．当a2>b2＋c2时，cos A＝b2＋c2－a22bc<0.因为0<A<π，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形．(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．答案：(1)√(2)√(3)×2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()A.39B．8 3C．10 2 D．7 3解析：选D由余弦定理得：c＝92＋(23)2－2×9×23×cos 150°＝147＝7 3.3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°解析：选C由cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于()A.14 B.34C.24 D.23解析：选B由b2＝ac且c＝2a得cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a·2a＝34.故选B.【学以致用•探究解题方法】题型一已知两边与一角解三角形[典例](1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 3 cm，A＝π6，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________.[解析](1)由余弦定理得：a＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝4×602－3×602＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC2－2×5×BC×910，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.[答案](1)60(2)4或5[解题规律总结][活学活用]在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，∴b＝2 2.又∵cos A＝b2＋c2－a22bc＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.题型二已知三角形的三边解三角形[典例]在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解此三角形．[解]法一：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.法二：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A＝45°.由正弦定理asin A＝bsin B知23sin 45°＝6sin B，得sin B＝6·sin 45°23＝12.由a>b知A>B，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°. [解题规律总结][活学活用]已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：选C ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－(a 2＋b 2＋ab )2ab ＝－ab 2ab ＝－12， ∵0°<C <180°，∴C ＝120°，故选C.题型三利用余弦定理判断三角形形状[典例] 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：[法一化角为边] 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，∴b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2.∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形． [法二化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sin 2C sin 2B ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C . 又sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又∵0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．[解题规律总结][活学活用]在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以a cos A ＝b cos B 可化为sin Acos A ＝sin B cos B ，sin 2A ＝sin 2B ，又△ABC 中，A ，B ，C ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 的形状为等腰或直角三角形．[活学活用]在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.题型四正、余弦定理的综合应用命题点一：利用正、余弦定理解三角形1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB.(1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B. 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故由正弦定理得a ＝b ·sin Asin B ＝1＋ 3. 由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°， c ＝b ·sin Csin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.命题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 证明：法一：(化为角的关系式)a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝(2R ·sin A )2·2sin B ·cos B ＋(2R ·sin B )2·2sin A ·cos A ＝8R 2sin A ·sin B (sin A ·cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2ab sin C .∴原式得证．法二：(化为边的关系式)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A cos A ＝a 2·2b 2R ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2·2a2R ·b 2＋c 2－a 22bc＝ab 2Rc (a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2)＝ab 2Rc ·2c 2＝2ab ·c2R ＝2ab sin C ＝右边，∴原式得证．命题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用3．已知△ABC 的周长为4(2＋1)，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边长a的值；(2)若△ABC的面积为S＝3sin A，求AB·AC的值．解：(1)由正弦定理，得b＋c＝2a.①又a＋b＋c＝4(2＋1)，②联立①②，解得a＝4.(2)∵S△ABC＝3sin A，∴12bc sin A＝3sin A，即bc＝6.又∵b＋c＝2a＝42，∴由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(b＋c)2－2bc－a22bc＝13.∴AB·AC＝bc cos A＝2.[解题规律总结]高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理同步检测基础达标题1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于() A．30°B．60°C．120°D．150°2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝1314，则最大角的余弦值是()A．－15B．－16C．－17D．－183．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2－a2－b22ab>0，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－4 3C．1 D.2 35．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为()A.π6 B.π3或2π3C.π3 D.π6或5π66．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.7．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－14，则b＝________.9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.10．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.能力达标题1．在△ABC中，有下列关系式：①a sin B＝b sin A；②a＝b cos C＋c cos B；③a2＋b2－c2＝2ab cos C；④b＝c sin A＋a sin C.一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则a，b的大小关系为()A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定3．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，则a sin (30°－C)b－c＝()A.12 B.32 C．－12D．－325．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin Bsin C的值为________．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－ab.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，△ABC的周长为5，求b的长．8．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC＝3DC.(1)若∠DAC＝30°，求B；(2)若BD＝2DC，且AD＝22，求DC.高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理同步检测解析基础达标题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18 解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3或2π3 C.π3D.π6或5π6解析：选B 因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以2ac cos B tan B ＝3ac ，即sin B ＝32，所以B ＝π3或B ＝2π3，故选 B.6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：07．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3， ∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. 答案：18．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：49．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C .解：∵a >c >b ，∴A 为最大角．由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A <180°， ∴A ＝120°，∴sin A ＝sin 120°＝32.由正弦定理，得sin C ＝c sin A a ＝5×327＝5314. ∴最大角A 为120°，sin C ＝5314.能力达标题1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C .一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin C sin A＋sin A sin C＝2sin A sin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos C sin A＋cos A sin C，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则a，b的大小关系为()A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定解析：选A在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2 a，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.3．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：选B∵cos2B2＝a＋c2c，∴cos B＋12＝a＋c2c，∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，则a sin (30°－C)b－c＝()A.12 B.32C．－12D．－32解析：选A由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，又b2＋c2＋bc－a2＝0，则cos A＝－12，又0°<A<180°，则A＝120°，有B＝60°－C，所以a sin (30°－C)b－c＝sin A sin (30°－C )sin (60°－C )－sin C ＝34cos C －34 sin C 32cos C －32sin C＝12.故选A. 5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝22，∴sin C ＝22， ∴AD ＝AC sin C ＝ 3. 答案： 36．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得： AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)，再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案：357．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －ab .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2，所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.8．如图，D 是直角三角形△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求B ；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC . 解：(1)在△ADC 中，根据正弦定理，有AC sin ∠ADC ＝DC sin ∠DAC， ∵AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32，又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°， ∴∠ADC ＝120°，∴∠C ＝180°－120°－30°＝30°，∴∠B ＝60°. (2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x ， ∴sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x ，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×63＝2x 2，得x ＝2.故DC ＝2.。

2019年高中数学人教版必修5导学案设计：1.1.2余弦定理

第一章 1.1.2余弦定理学习目标：1、会推导余弦定理；2．掌握余弦定理的两种表现形式 3. 会用余弦定理解三角形；问题探究：探究问题（一）已知两边和它们的夹角,求三角形的另一边在△ABC 中，设BC=a, AC=b, AB=c.已知a, b 和C ，求边c. 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图设CB a =u u rr，CA b =u u rr，AB c =u u rr，那么c a b =-r r r，则从而同理可证余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

对余弦定理的四点说明：(1)与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．(2)余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．(3)运用余弦定理时，若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)，则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．(4)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．探究问题（二）余弦定理的应用例1：若△ABC 中，已知b=8,c=3,A= 600 ,求边a变式训练1.在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________．探究问题三：余弦定理的推论及应用：=A cos __________ _____；=B cos _____ __________；=C cos _______ ________；说明：（1）余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．（2）用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．例2、在△ABC 中，已知 13,2,6+===c b a ，解三角形。

人教A版必修5数学精品导学案：1.1.2 余弦定理

§1.1.2 余弦定理班级姓名学号学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45，C =30，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC •=同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=，，．[理解定理]c a b B C（1）若C=90︒，则cos C=，这时222c a b=+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC中，a=2c=，150B=，求b．（2）△ABC中，2a=，b=，1c=，求A．※典型例题例1. 在△ABC中，已知a=b=，45B=，求,A C和c．变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，c，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC中，若222=++，求角A．a b c bc三、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．1. 已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. B. C. D.2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A x<B x＜5C．2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222+-=，则∠C等于．b ac ab1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC的值.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

高中数学 (1.1.2 余弦定理)示范教案新人教A版必修5

1.1.2 余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的.启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;2.余弦定理在解三角形时的应用思路;3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作1.1.2A)如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a?第二张:余弦定理(记作1.1.2B)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C,形式二:co s A=bc ac b22 22-+,co s B=ca ba c22 22-+,co s C=ab cb a22 22-+.三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;3.能利用计算器进行运算.二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A.师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2.∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2,又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2,∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A,∴a2=b2+c2-2ab c os A.类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s B.c2=a2+b2-2ab c os C.另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B)推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式:形式一:a2=b2+c2-2bcco s A,b2=c+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C .形式二:bcacbA2cos222-+=,cabacB2cos222-+=,abcbaC2cos222-+=.师在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.[合作探究]2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?生向量数量积的定义式a·b=|a||b|co sθ,其中θ为A、B的夹角.师在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造CACB•这一数量积以使出现CO s C.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程:如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.由向量加法的三角形法则，可得BCABAC+=,∴,cos2)180cos(22)()(222222aBaccBCBBCABABBCBCABABBCABBCABACAC+-=+-︒+=+•+=+•+=•即B 2=C 2+A 2-2AC CO s B . 由向量减法的三角形法则，可得AB AC BC -=, ∴222222cos 2cos 22)()(c A bc b ABA AB AC AC AB AB AC AC AB AC AB AC BC BC +-=+•-=+•-=-•-=•即a 2=b 2+c 2-2bcco s A .由向量加法的三角形法则,可得BC AC CB AC AB -=+=,∴,cos 2cos 22)()(222222a C ba b BCC BC AC AC BC BC AC AC BC AC BC AC AB AB +-=+•-=+•-=-•-=•即c 2=a 2+b 2-2abco s C .[方法引导](1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与AB 属于同起点向量,则夹角为A ;AB 与BC 是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;AC 与BC 是同终点,则夹角仍是角C .[合作探究]师思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=. 师思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B )通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角.这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况.(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来,我们通过例题来进一步体会一下. ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）.解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A ≈41 c m.由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯≈0.544 0, 因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得C ≈33°,B =180°-A -C =180°-41°-33°=106°.【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形. 解：由余弦定理的推论,得 co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,A ≈56°20′; co s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,B ≈32°53′; C =180°-(A +B )=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.[知识拓展]补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到1°)分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A , ∴A ≈44°.∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a ≈0.807 1, ∴C ≈36°.∴B =180°-(A +C )=180°-(44°+36°)=100°.[教师精讲](1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好. 解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′,得c ≈4.297.∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.776 7, ∴A ≈39°2′.∴B =180°-(A +C )=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′. [教师精讲]通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦. 【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC .分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出. 若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的.下面给出两种解法.解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A , ∴A 1=81.8°,A 2=98.2°,∴C 1=38.2°,C 2=21.8°.由Cc sin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2=5, ∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac . 解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B ,∴72=c +82-2×8×cco s60°,整理得c 2-8c +15=0,解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac . [教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.课堂练习1.在△ABC 中:(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A ;(2)已知a =20,b B =29,c =21，求B ;(3)已知a =33,c =2,b =150°,求B ;(4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A .解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A =7.(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B =90°. (3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b =7.(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A =45°. 评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).(1)a =31,b =42,c =27;(2)a =9,b =10,c =15.解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A ≈48°. 由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B ≈93°. ∴C =180°-(A +B )=180°-(48°+93°)≈39°.(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A ≈0.813 3, ∴A ≈36°.由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0, ∴B ≈40°.∴C =180°-(A +B )=180°-(36°+40°)≈104°.评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题.板书设计余弦定理1.余弦定理2.证明方法:3.余弦定理所能解决的两类问题:(1)平面几何法;(1)已知三边求任意角;(2)向量法(2)已知两边、一角解三角形4.学生练习。

高中数学新人教A版必修5教案 1.1.2 余弦定理

余弦定理教学分析一、教学导图温故引新特例激疑类比探究理性演绎完善知识剖析升华例题示范迁移运用归纳小结反思拓展类比探究理性演绎余弦定理语言叙述变形作用二、教学目标1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。

2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。

4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

三、教学重难点教学重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。

教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。

突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。

教学设计一、温故引新特例激疑1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。

正弦定理的内容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b c R A B C===，其中2R 为三角形外接圆的直径。

说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R ，使2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===。

2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？由,sin sin sin sin a b b cA B B C==，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。

”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。

”等解三角形问题。

3，思考：如图，在ABC ∆中，已知,,ABC c AC b BAC A ∆==∠=，求a 即BC 。

本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。

”的解三角形的问题。

高中数学 1.1.2余弦定理(二)教案新人教A版必修5

1.1.2余弦定理（二）一、教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

二、教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

四、教学设想[复习引入] 余弦定理及基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C=+-②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba练习]1。

教材P8面第2题2．在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）思考。

解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？（1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角；例如 ︒===120,5,12A b a （先由正弦定理求B ，由三角形内角和求C ，再由正、余弦定理求C 边）（2）已知三角形的任意两角及其一边；例如 10,50,70=︒=︒=a B A （先由三角形内角和求角C ，正弦定理求a 、b ）（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角；例如 ︒===50,13,12C b a（先由余弦定理求C 边，再由正、余弦定理求角A 、B ）（4）已知三角形的三条边。

高一数学(人教版)必修5导学案设计：1.1.2余弦定理

§1.1.2. 余弦定理学习目标1.通过对余弦定理的探究与证明，学会用向量法.几何法.坐标法证明余弦定理，并能利用余定理解决两类解三角形问题2.体会数学与实际生活的应用，以及在定理推导的过程中用到的数学思想方法学习重点用余弦定理解三角形学习难点余弦定理的灵活运用解三角形学习过程一、复习引入1正弦定理：2正弦定理的应用：正弦定理可解决两类问题：（1）．已知，求其它两边和一角；（2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．在Rt△ABC中(若C=90︒)有：（勾股定理）4.在ABC∆中，(1) 已知2a=，b=，045C=，求c(2) 已知5a=，7b=，8c=，求B 用正弦定理还能解出来吗？二、自阅课本P5～P6认真理解余弦定理的推导过程并分析其结构1．用向量法探索余弦定理a2=_____________________________c2=_____________________________b2=_____________________________2.余弦定理的变形运用cosA=_________________________________ cosB=_________________________________ cosC=_________________________________思考：1、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？2、在△ABC中，若222cba+<，则A为________角，反之亦成立；若222cba+=，则A为________角，反之亦成立；若222cba+>，则A为_______角，反之亦成立3、利用余弦定理可以解决两类三角形问题：（1）已知三边，求_______.（2）已知两边和它们的夹角，求________和________.三、尝试运用（尝试解决”复习引入4”中两个问题）例、在ΔABC中，（1）a＝1,b＝1,C＝1200,求c.（2）a＝3,b＝4,c＝37,求最大角的余弦值.（3）a:b:c＝1:3:2, 求角A,B,C.四、课堂练习1.在ABC∆中，已知8c=，3b=，060A=,求a2、在ABC∆中，已知3b=，c=，030A=,求a,B,C3.在ABC∆中，2b ac=，且2c a=，求cos B五、课堂小结六、作业布置赢在课堂：P5自我检查1、2、3、4P8演练提升1、3、6。

高中数学必修五教案：1.1.2 余弦定理

集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日【自主解答】 (1)法一 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.又b >a ，∴B >A ，∴角A 为锐角．由正弦定理，得sin A ＝a csin C ＝26－2×6－24＝12. ∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. 法二 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A <180°，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. (2)法一由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴2＝3＋c 2－23·22c ，即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∴A ＝120°，C ＝15°. 法二由正弦定理知sin A ＝a sin Bb ＝3sin 45°2＝32. ∵a ＝3>2＝b ，∴A 有两解．∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝75°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6＋2432＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝15°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6－2432＝6－22.1．本题的两小题均为已知两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为已知边的对角，故解法不同，解题时应注意体会解法．2．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．若把本例(2)条件改为“b ＝3，c ＝33，B ＝30°”，试解此三角形．【解】法一由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∵0<A <180°，∴A ＝90°，C ＝60°.法二由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋32＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，则a ＝3. 故a ＝3或6. 已知三边解三角形在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，求其最大内角．【思路探究】 (1)由a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，如何设出三边的长度？(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【思路点拨】 (1)由已知条件用正弦定理替换变形，找到a ，b 的关系． (2)用余弦定理求cos B 的值进而求B .【规范解答】 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以b a＝ 2.6分 (2)由余弦定理及c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝＋3a2c.8分由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12.10分又cos B >0，故cos B ＝22，∴B ＝45°.12分在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角．巩固练习：1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4【解析】由条件可知cos A ＝－35，则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴BC ＝213.【答案】 B2．(2013·青岛高二期中)在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( )A.1213 B.513 C ．0 D.23【解析】 ∵c ＞b ＞a ，∴c 所对的角C 为最大角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0. 【答案】 C 3．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学必修五教案-1.1.2 余弦定理(5)-人教A版

1.2.1 余弦定理教学设计一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。

二、学生学习情况分析在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情。

三、设计思想本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。

四、教学三维目标知识与技能：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观：通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

五、教学重点与难点重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。

难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路。

六、设计过程cos cos AC C b C BD=CD-BC=bcosC-a Rt △ABD 中，2222(sin )(cosC-)ADBDb C b a222cos abab C方法2：（向量法）边→模→数量积如图：22222222()22cos =2cos CB CA AB CB CA CB CA CB CA abab CAB a b ab C 可得从而方法3：（建立直角坐标系）222cos ;c ac B 222cos a b ab C 语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两2c a bc2ac；222b c abab C是2cos;的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应3归纳整理内化知识问题：从知识、思想、方法等不同角度回顾一下这节课有何收获？知识要点：（1）余弦定理及其推论（2）余弦定理的作用（3）余弦定理的结构特点思想方法：本课涉及“类比” “特殊到一般”“分类讨论”“化归与转化”“方程”等思想方法。

人教版数学必修五(文)学案：1.1.2余弦定理

1.1.2余弦定理【学习目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

【自主学习】余弦定理的探究在Rt △ABC 中(C=90︒)有：222b a c +=在斜三角形ABC 中，一边的平方与其余两边平方和及其夹角有什么关系呢？请你用向量方法探究.探究的是长度和角度之间的关系，很容易想到用向量的数量积解决余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 A bc c b a cos 2222-+=⇔bc a c b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔ca b a c B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ab c b a C 2cos 222-+=请你思考：勾股定理和余弦定理有关系吗？有什么关系？【自主检测】1.在ABC ∆中，已知0120,2,1===c b a ，求边.c2.在ABC ∆中，已知,5,3,7===c b a 求最大角和.sin C【典型例题】例1.在△ABC 中，已知030,33,3===B c b ，求边a ．【目标检测】1.△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为() A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°2.在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；； c a b AB C若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为；3.在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π34.在△ABC 中，边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，060=C ，求边长.c【总结提升】1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．。

人教版高中数学必修5教学案：1.1.2-余弦定理(无答案)

年级
高一
学科
数学
课题
1．1.2 余弦定理
编制人
审定人
高一数学备课组
知识目标
教学活动
基础知识—重点知
识—重难点知识
自学质疑—讨论领悟—展示分享—检测巩固—评价提升
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论．
2．能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状.
自学质疑
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
4在△ABC中，已知cos2 ＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
评价提升
[例3]在△ABC中，，（1）求A的度ຫໍສະໝຸດ ，（2）若，求和的值
检测巩固
1已知△ABC满足B＝60°，AB＝3，AC＝，则BC的长等于()
A．2B．1
C．1或2D．无解
2在△ABC中，AB＝，BC＝1，cosC＝，则AC＝________.
3在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.
若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边长，则
a2＝__________________，cosA＝_____________，
变
b2＝__________________，cosB＝_____________，
形
c2＝__________________.cosC＝_____________.
讨论领悟
1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理是否能求出其他元素？
2．怎样用余弦定理判断三角形的形状？
展示分享
[例1]在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求边a、角C和角B.

高中数学 1.1.2余弦定理导学案导学案新人教A版必修5

预习案【学习目标】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握余弦定理及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.通过独立思考，合作探究，使学生学会在方程思想指导下处理解三角形问题的思想方法.3.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.通过本节的探究学习，培养学生的创新意识，不断提高自身的文化修养.重点：余弦定理的发现、证明过程及基本应用.难点：用向量方法证明余弦定理.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握余弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.正弦定理是如何证明的？2.正弦定理是 = = = =2R（R为△ABC的外接圆半径）.3.由正弦定理可解决给出或三角形问题。

4.向量的夹角如何定义的？及向量夹角公式Ⅱ.教材助读1.已知两边和他们的夹角能否解三角形？2.余弦定理：三角形中任何一边的平方和等于减去这两边与他们的的的的3.余弦定理的符号表达式是：2a= ，2b= ，2c= 。

4．余弦定理中有个量，已知其中能求出那能否已知三边求出一角？5．余弦定理推论：Acos = ，Bcos = ，Ccos = 。

【预习自测】1.在△ABC 中，3=a，7=b，2=c，那么B等于（）30=A45=B60=C120=D2.在△ABC中，33=a，2=c，150=B，则b= .3. 若△ABC的两边a,b大小固定，角C 增大，边c 角C确定，边c【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：课本中余弦定理是用（）法证明的，也就是说，在△ABC中，已知BC=a，AC=b 及边BC，AC的夹角C，则BC=（），所以2BA=（）=（），即2c=（）探究二：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【归纳总结】1.熟悉余弦定理的（），注意（）, （），（）等。

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1.1.2 余弦定理学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法(重、难点)；2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题(重点).知识点1余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍符号语言a2＝b2＋c2－2bc cos__A，b2＝c2＋a2－2ca cos__B，c2＝a2＋b2－2ab cos__C推论cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝c2＋a2－b22ca，cos C＝a2＋b2－c22ab【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC是锐角三角形()(2)已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是唯一确定.()提示(1)不一定，因为△ABC中，a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形.答案(1)×(2)√知识点2用余弦定理解三角形的问题利用余弦定理可以解决以下两类问题：(1)已知两边及其夹角解三角形；(2)已知三边解三角形.【预习评价】1.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( ) A.8 B.217 C.6 2D.219解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝76，∴c ＝76＝219. 答案 D2.在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________. 解析 ∵a 2－c 2＋b 2＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab .又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴2cos C ＝1. ∴cos C ＝12. 答案 12题型一已知两边及其夹角解三角形【例1】在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A ，B 和边c 的值⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 15°＝6＋24，sin 15°＝6－24. 解由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43，∴c ＝8－43＝（6－2）2＝6－ 2.由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝a sin 15°c ＝2×6－246－2＝12，∵b ＞a ，∴B ＞A ，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝135°， ∴c ＝6－2，A ＝30°，B ＝135°.规律方法已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.(2)用正弦定理求解时，需对角的取值根据“大边对大角”进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(因为在(0，π)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好.【训练1】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c ＝( ) A.4 B.15 C.3D.17解析 cos C ＝－cos (A ＋B )＝－13.又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17，所以c ＝17.答案 D【例2】在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C . 解根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝（6＋23）2＋（43）2－（26）22（6＋23）（43）＝32.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（26）2＋（6＋23）2－（43）22×26×（6＋23）＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝712π， ∴A ＝π6，B ＝712π，C ＝π4.【迁移1】已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 中各角的度数.解已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k ＞0)，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（6）2＋（3＋1）2－222×6×（3＋1）＝22，∵0°<A <180°，∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22＋（3＋1）2－（6）22×2×（3＋1）＝12，∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.【迁移2】若三角形三边长之比是1∶3∶2，则其所对角之比是( ) A.1∶2∶3 B.1∶3∶2 C.1∶2∶ 3D.2∶3∶2解析设三角形三边长分别为m ，3m ，2m (m ＞0)，最大角为A ，则cos A ＝m 2＋（3m ）2－（2m ）22m ·3m＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cos B ＝（2m ）2＋（3m ）2－m 22·2m ·3m ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 故三角形三角之比为1∶2∶3. 答案 A【迁移3】在△ABC 中，已知a 2＋c 2＝b 2＋ac ，且sin A ∶sin C ＝(3＋1)∶2，求角C .解 ∵a 2＋c 2＝b 2＋ac ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B. ∴2ac cos B ＝ac ，∴cos B ＝12. ∵0°＜B ＜180°， ∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. ∵sin Asin C ＝3＋12， ∴2sin A ＝(3＋1)sin C . ∴2sin(120°－C )＝(3＋1)sin C .∴2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＝(3＋1)sin C . ∴sin C ＝cos C .∴tan C ＝1.∵0°<C <180°. ∴C ＝45°.规律方法已知三角形三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.题型三判断三角形的形状【例3】在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状.解法一在△ABC 中，由cos 2A2＝b ＋c 2c ，得1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，∴cos A ＝b c . 根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c . ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形.法二在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，由正弦定理，得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .由cos 2A2＝b ＋c 2c 知，cos A ＝bc .∴cos A ＝sin Bsin C ，即sin B ＝sin C cos A . ∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin(A ＋C )＝sin C cos A ，∴sin A cos C ＝0. ∵A ，C 都是△ABC 的内角，∴A ≠0，A ≠π. ∴cos C ＝0，∴C ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形.规律方法 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化的思想解决这类问题，一般有两条思考路线：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出角的大小或角的正、余弦值符号；(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式.2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论：(1)△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2； (2)△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2且b 2＋c 2＞a 2且c 2＋a 2＞b 2； (3)△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2.【训练2】在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状. 解法一角化为边.因为b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，所以b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 根据余弦定理的推论可得b 2＋c 2－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b22ac 2＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab ，即b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝a 2，所以△ABC 为直角三角形. 法二边化为角.因为b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，由正弦定理得sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C ，即sin B sin C ＝cos B cos C ，cos(B ＋C )＝0，所以B ＋C ＝90°，所以△ABC 为直角三角形.课堂达标1.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝2，则A＝()A.30°B.45°C.60°D.90°解析∵a＝7，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋4－72×3×2＝12，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°，故选C.答案 C2.在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A.1B.2C.3D.4解析在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，AB2＝BC2＋AC2－2AC·BC cos C，可得：13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).故选A.答案 A3.已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且3a2＋3b2－3c2＋2ab＝0，则tan C＝________.解析△ABC中，∵3a2＋3b2－3c2＋2ab＝0，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝－23ab2ab＝－13，∴sin C＝1－cos2C＝223，故tan C＝sin Ccos C＝－2 2.答案－2 24.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B ＝________.解析 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，又B ∈(0，π)，∴B ＝56π.答案 56π5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .解因为AB →·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，又因为S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4. 又因为b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29，所以a ＝29.课堂小结1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解.。