线性代数及其应用
线性代数核心概念与实际应用
线性代数核心概念与实际应用线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间、线性变换和线性方程组等相关概念和理论。
在现代科学和工程技术领域中，线性代数被广泛应用于向量分析、最优化问题、图像处理、机器学习等众多领域。
本文将介绍线性代数的核心概念，并探讨它们在实际应用中的作用和意义。
1. 向量和矩阵在线性代数中，向量是一个有方向和大小的量，在几何上可以用有向线段来表示。
矩阵则是一种二维数组，由一系列按照规则排列的数构成。
向量和矩阵是线性代数的基础，它们可以表示现实世界中的各种物理量和数据。
例如，在机器学习中，将各种数据转化为向量或矩阵的形式，便于进行统计和计算。
2. 线性变换线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的变换。
线性变换具有保持加法和数乘运算的性质，即对于向量空间V中的任意向量u和v，以及常数c，满足以下条件：（1）T(u+v) = T(u) + T(v)（2）T(cu) = cT(u)线性变换的矩阵表示是线性代数中的重要概念之一，通过矩阵表示，可以将线性变换转化为矩阵乘法运算，简化了计算过程。
在实际应用中，线性变换可以用于图像处理、信号处理等领域，比如对图像进行旋转、缩放、平移等操作。
3. 特征值和特征向量在线性代数中，一个n维矩阵A的特征向量是指非零向量x，使得Ax与x之间的关系满足Ax=λx，其中λ为该特征向量对应的特征值。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以描述矩阵变换的特点和性质。
在实际应用中，特征值和特征向量可以用于降维、图像处理、信号处理等领域，例如通过计算图像的主成分特征值和特征向量，可以实现图像的压缩和恢复。
4. 线性方程组线性方程组是指由一系列线性方程组成的方程集合，其中每个方程都可以表示为变量的线性组合。
解线性方程组是线性代数中的一个重要问题，通过矩阵运算的方法可以求解。
在实际应用中，线性方程组可以用于建立模型，解决实际问题。
例如，在工程中，通过建立线性方程组可以求解电路中的电流分布、热传导等问题。
线性代数及其应用 (原书第4版)
线性代数及其应用（原书第4版）
《线性代数及其应用（原书第4版）》是Gilbert Strang所著的一本流行的线性代数教材。
该教材旨在为学生提供深入学习线性代数及其应用的机会。
本书内容将从最基本的概念开始，以逐步深入和广泛解释线性代数的概念为目标。
此书包含6个部分，每个部分由几个章节组成。
首先，本书介绍向量、矩阵和线性方程组的基本概念，然后深入讲解矩阵的运算、线性变换、特征值和特征向量等内容。
本书还包含一些应用章节，例如离散数学、最小二乘拟合、图像处理等说明线性代数的实际应用。
该书采用清晰、易懂的语言和注重细节的讲解方式，适用于数学、科学和工程专业的学生、教师和研究人员。
为了帮助学生更好地理解和掌握概念，本书还配备了数百个例题和应用题。
其中一些题目包括详细的解决方案和代码。
总的来说，该书是一本广泛使用的线性代数教材，涵盖了许多应用领域，并通过数百个例子和应用展示了数学原理在实际应用中的强大力量。
线性代数在日常生活中的应用
线性代数在日常生活中的应用
线性代数是数学中一门重要的分支，它研究向量空间和线性变换。
它在很多领域中都有广泛的应用，其中一些日常生活中的应用包括:
1.机器学习: 线性代数在机器学习中有着重要作用。
比如矩阵分解，特征值分解和奇异值分解等都是机器学习中常用的技巧。
2.图像处理: 在图像处理中，线性代数经常被用来表示图像的尺度、旋转和平移变换。
它还被用来处理图像的压缩和去噪。
3.数值分析: 线性代数在数值分析中被用来解决线性方程组。
矩阵乘法和矩阵分解是常用的求解方法。
4.统计学: 线性代数在统计学中被用来处理多元数据。
例如主成分分析就是使用线性代数方法来对高维数据进行降维处理。
5.游戏开发: 线性代数在游戏开发中被用来表示三维空间中的对象的位置和运动。
矩阵乘法用来进行平移、旋转、缩放变换。
6.工程学: 线性代数在工程学中被用来解决结构力学中的问题。
矩阵乘法可以用来计算结构的应力和应变。
矩阵分解技术可以用来对结构进行有限元分析，求解结构在不同荷载下的反应。
7.财务: 线性代数在财务中被用来处理股票收益率的数据。
矩阵乘法可以用来计算资产配置的最优解，帮助投资者制定最佳的投资策略。
8.电子商务: 线性代数在电子商务中被用来处理用户行为数据。
主成分分析可以用来对用户进行分类和聚类，有助于更好的推荐商品和广告。
线性代数是一门重要的数学学科，其理论和方法被广泛应用于许多不同领域。
线性代数在日常生活中随处可见，从机器学习到图像处理、从游戏开发到工程学, 帮助人们解决各种复杂的问题。
线性代数及应用学习指导
线性代数及应用学习指导线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性空间与线性映射的性质及其应用。
它广泛应用于数学、物理学、工程学以及计算机科学等领域。
以下是学习线性代数的指导和建议。
1. 巩固基础知识：学习线性代数前，要确保自己对基础数学知识，如数学分析、高等代数等有一定的了解和掌握。
这将有助于理解和应用线性代数的概念和方法。
2. 学习教材选择：选择一本系统、全面的线性代数教材进行学习。
推荐的经典教材包括《线性代数及其应用》(Linear Algebra and its Applications)、《线性代数导论》(A First Course in Linear Algebra)等。
这些教材内容丰富，例题和习题较多，学完后可以打下较扎实的线性代数基础。
3. 学习方法：线性代数的学习需要理论与实践相结合。
可以先通过阅读教材，理解概念、定理和证明过程。
然后，重点关注典型例题的解法和思路，尝试自己推导和求解。
最后，通过习题进行巩固和拓展。
练习不同类型的习题有助于培养解决实际问题的能力。
4. 注意直观理解：线性代数的概念较抽象，有时难以直接理解。
但依然需要努力培养直观理解能力。
例如，对于矩阵、向量等，可以通过几何直观去理解它们的性质和运算规则。
5. 多角度思考和应用：线性代数是一门非常广泛的学科，能够应用到各个领域。
学习线性代数时，可以尝试从不同的角度思考问题，如几何、物理、工程等，加深对知识的理解和应用。
6. 利用网络资源：线性代数涉及的知识点较多，可以利用网络资源去查找相关教学视频、学习资料和练习题。
高质量的线上课程，如Coursera、网易云课堂等，可以帮助学生更深入地理解和应用知识。
7. 培养编程能力：线性代数在计算机科学领域有着广泛的应用。
掌握编程语言，如Python、MATLAB等，可以通过程序实现仿真、数据分析等，加深对线性代数的理解和应用。
总之，学习线性代数需要掌握基本概念和方法，注重理论与实践的结合，多角度思考和应用。
线性代数及其应用 第4章 相似矩阵及二次型
2 0 0
2
例1
已知A
0 0
0 1
13
x
1
,
求 x 和R( A) .
解 由于A ，有 A ，可得2 2x ，
即 x 1.
因为 R( A) R()，故R( A) 3 .
二、特征值与特征向量
例子：
设
A
3 1
2
0
,a
1
1
,b
2 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则
Aa
3
令 Q P 1
A PBP 1 Q1BQ
所以 B A；
性质1 (3) 传递性：如果 A B, B C ，则 A C.
证明 (3) 若A B, B C，则存在可逆矩阵P、Q
使得 P 1AP B， Q1BQ C.
有
Q1 P1AP Q C，
即
(PQ)1 A(PQ) C
令R PQ , 从而 R1AR C ，故 A C .
求齐次线性方程组( A E)x 0的非零解
1 1 2
例2
求矩阵
A
0 1
2 1
2 0
的特征值和特征
向量.
解 矩阵 A 的特征多项式为
AE 0
1 1 2 A E 0 2 2 ( 1)( 2)
1 1 故 A 的特征值为 1 0,2 1,3 2.
当 1 0 时，求解方程组 Ax 0.由
(4) 若A和 B都是可逆矩阵且 A B ，则 A1 B1 .
性质1 (1) 自反性：A A ; (2) 对称性：如果 A B，则B A；
(3) 传递性：如果 A B, B C ，则 A C.
证明 (1) 由于 E 1AE A ，故 A A; (2) 若A B，那么存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP B，则A PBP 1 ，
线代数及其应用
线性变换
通过矩阵对向量进行操作，保 持向量的线性关系不变。
02 线性方程组
线性方程组的解法
高斯消元法
通过行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解方程组。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，常用的有雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，如LU分解、QR分解等，便于求解。
图像处理
线性代数在图像处理中有着广泛的应用， 例如在图像变换、图像滤波和图像压缩等 方面，可以通过线性代数的方法来实现。
3D计算机图形
动画制作
在动画制作中，线性代数可以用来描述物体 的运动轨迹和速度，例如在骨骼动画中，可 以通过线性代数的方法来计算骨骼的运动轨 迹。
在3D计算机图形中，线性代数是必不可 少的工具，例如在建模、光照和纹理映 射等方面，需要用到线性代数的知识。
行列式与矩阵的逆的应用
在线性方程组求解中的应用
在向量空间和线性变换中的应用
行列式可以用来判断线性方程组是否有解 ，而矩阵的逆可以用来求解具体的解。
行列式可以用来确定向量空间中的基底和 维数，矩阵的逆可以用来实现线性变换和 对角化。
在数值分析和计算物理中的应用
行列式和矩阵的逆在数值分析和计算物理 中有着广泛的应用，如求解微分方程、积 分方程、控制论、最优化问题等。
3
性质
特征值和特征向量具有一些重要的性质，如线性 变换性质、相似变换性质和可对角化性质等。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A分解为若干个特征值的线性组合，从而得到特征值和特征向量。
线性代数的应用与拓展
线性代数的应用与拓展线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，它不仅在数学领域具有重要地位，还在其他学科和实际应用中得到广泛应用。
本文将探讨线性代数在不同领域中的应用，并拓展其在现实生活中的实际用途。
一、图像处理中的线性代数应用图像处理是应用线性代数的重要领域之一。
在图像处理中，每个像素可以表示为一个向量，而整幅图像可以表示为一个矩阵。
通过矩阵运算和线性变换，可以实现图像的旋转、缩放、镜像等操作。
此外，线性代数还可以用于图像压缩和去噪处理，例如使用奇异值分解（SVD）对图像进行压缩和恢复。
二、数据分析和机器学习中的线性代数应用在数据分析和机器学习领域，线性代数是构建和优化模型的基础。
线性回归、主成分分析（PCA）和聚类分析等常用的数据分析方法都建立在线性代数的基础上。
矩阵和向量运算被用于定义损失函数、求解优化问题和进行参数估计。
此外，通过矩阵分解和特征值分解等方法，可以提取数据的主要特征和模式，进而实现模型的降维和分类。
三、网络分析中的线性代数应用网络分析是研究和分析复杂网络结构和关系的领域，线性代数在此领域中有着广泛的应用。
通过将网络表示为邻接矩阵或关联矩阵，可以利用矩阵运算和特征分解方法来研究和预测网络的特性和行为，例如识别社交网络中的重要节点、寻找网络的社区结构等。
矩阵代数还可以用于分析流体动力学、电路网络和量子力学等领域中的复杂系统。
四、密码学中的线性代数应用密码学是研究保护信息安全和实现加密通信的学科，线性代数在密码学中起着重要的作用。
矩阵乘法和向量空间是密码学中常用的运算和基本概念。
例如，利用矩阵乘法和模运算可以实现公钥密码算法中的加密和解密操作。
此外，矩阵和向量的线性相关性可以用于判断密码算法的安全性和强度。
总结起来，线性代数的应用领域广泛，不仅包括数学和工程学科，还渗透到了各个领域的实际问题中。
通过运用线性代数的知识和方法，可以解决复杂的问题、优化系统性能，并在现实生活中发挥重要作用。
线性代数在日常生活中的应用
线性代数在日常生活中的应用线性代数是数学中的一个分支，研究向量空间和线性映射的理论和方法。
虽然线性代数在数学领域中具有重要的地位，但它的应用不仅限于数学领域，而且在日常生活中也有广泛的应用。
本文将探讨线性代数在日常生活中的几个应用领域。
一、图像处理中的线性代数图像处理是现代生活中常见的应用领域之一。
在图像处理中，线性代数被广泛应用于图像的压缩、增强和恢复等方面。
首先，图像的压缩是通过线性代数中的矩阵运算来实现的。
例如，JPEG压缩算法中使用了离散余弦变换（DCT），将图像分解为一系列频域系数，然后通过量化和编码来实现图像的压缩。
DCT的计算过程涉及到矩阵的乘法和逆变换，这正是线性代数的核心内容。
其次，图像的增强也离不开线性代数的应用。
例如，通过调整图像的对比度和亮度，可以改善图像的视觉效果。
这可以通过线性代数中的矩阵变换来实现，如亮度矩阵和对比度矩阵的线性组合。
最后，图像的恢复是指通过处理失真或受损的图像，使其恢复到原始状态。
在图像恢复中，线性代数的技术可以用于估计和补偿图像中的噪声和失真。
例如，通过最小二乘法来拟合损坏图像中的缺失数据，从而恢复出完整的图像。
二、网络流量优化中的线性代数网络流量优化是指在网络通信中，通过优化数据传输的路径和带宽分配，以实现网络资源的最优利用和性能的最大化。
线性代数在网络流量优化中发挥了重要作用。
首先，线性代数的矩阵运算可以用于表示和计算网络中的连接矩阵。
连接矩阵描述了网络中节点之间的连接关系和传输通道的带宽情况。
通过对连接矩阵进行线性代数运算，可以确定网络中的最优路径和带宽分配，从而实现网络流量的优化。
其次，线性代数的特征值和特征向量可以用于分析网络中的节点和传输通道的稳定性和性能。
例如，通过计算连接矩阵的特征值和特征向量，可以评估网络中的瓶颈节点和瓶颈通道，从而采取相应的措施进行优化。
最后，线性代数的最优化方法可以用于解决网络流量优化中的优化问题。
例如，通过线性规划和凸优化等方法，可以确定网络中的最优路径和带宽分配，以最大化网络资源的利用率和性能的提升。
线性代数在生活中的应用
线性代数在生活中的应用
1. 在机器学习中，线性代数主要用于预测数据集分析和特征工程。
它可以用于建立联合概率模型，用于预测概率分布，以及结构化机器
学习算法的实现。
2. 线性代数可以用于人工智能的应用，例如深度学习的实施和语音识
别的实施。
它还可以用于控制系统的优化和控制，方式几何中解决二
次关系的数学模型建立和求解，以及移动机器人的自动导航。
3. 线性代数也被广泛应用于光学和信号处理技术中，主要用于图像处
理技术中图像处理系统和颜色变换系统的建立，以及视频、语音和数
字信号下降处理中的矩阵分析和计算。
4. 线性代数也被用于物流供应链管理中，用于供应商评估模型、竞争
力分析、计划优化和路径规划等领域。
线性代数还可用于机器人定位、定向和路径规划、空间集合建模和解算等方面。
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1 线性代数及其应用
线性代数是数学里最基础的学科，它可以用来求解等式的方程组，探索几何和物理现象、探究变化的规律，用数学的视角解释现实世界
的现象，要求学生掌握这门学科的基础知识。
线性代数可以用来解决高等数学里的复杂问题，它解决的是系统
的方程组，而不是单独一个方程。
线性代数引入了矩阵和向量这样一
种新的抽象表达方式，把复杂问题变成了简单的线性方程组，解决复
杂问题变得更容易，而且更有效率。
同时，线性代数的应用也十分广泛。
它可以用来解决几何问题，
如描述和研究图形、平面和立体几何，及其它几何问题，这些都是用
矩阵解决的。
另外它还可以解决统计建模、信号检测、线性规划、优
化等等一系列复杂问题。
线性代数也可以用来描述物理和金融市场等物理实验，利用它可
以更好地模拟物理现象，帮助我们解决复杂的物理问题。
此外，线性
代数在工程技术、生物、医学等科学技术领域也有着广泛的应用。
综上所述，线性代数是一门十分基础的学科，在许多数学应用中
表现出了很强的通用性，在不同的科学领域里都有着很广的应用，是
学习数学的难得的基础科学。
第1章(行列式)线性代数及其应用
一般情形
设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 对换变成 易知， 可由 经一系列相邻对换得到： 可由(3)经一系列相邻对换得到 易知，(4)可由 经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … 经 次相邻对换成为 j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 经 次相邻对换成为 即经2s+1次相邻对换后 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶 次相邻对换后(3) 即经 次相邻对换后 性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. 奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变 ||
从而 τ ( x1 x2 Lxn ) +τ ( xn xn−1 Lx1 ) n(n − 1) = (n − 1) + (n − 2) +L2 + 1 = 2 此即 τ ( x x Lx ) = n(n − 1) − I . n n−1 1 2
3. n阶行列式定义 阶行列式定义 分析： 分析：
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a33 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
线性代数
第1 章 第2 章 第3 章 第4 章 第5 章 行列式 矩阵 向量 线性方程组 矩阵的对角化 二次型
第1章 行列式 章
行列式是线性代数的一个重要组成部分. 行列式是线性代数的一个重要组成部分. 它 不仅是研究矩阵理论、 不仅是研究矩阵理论、线性方程组求解等问题的 重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、 重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、 工程技术等领域有着极其广泛的应用. 工程技术等领域有着极其广泛的应用. 阶行列式的概念， 本章建立了n阶行列式的概念，讨论了 n 阶 行列式的性质及计算方法， 行列式的性质及计算方法，最后给出了它的一个 简单应用——克拉默法则 克拉默法则. 简单应用 克拉默法则
线性代数及其应用PPT课件
金融数据的线性模型分析
线性回归模型
利用线性代数中的矩阵运算和线性方 程组求解方法，对金融数据进行回归 分析，预测未来趋势。
主成分分析
通过线性代数中的特征值和特征向量 计算，将金融数据降维，提取主要影 响因素，便于分析和决策。
图像处理中的矩阵运算
图像变换
利用矩阵运算对图像进行缩放、旋转 、平移等几何变换，实现图像的精确 控制。
征值和Байду номын сангаас征向量。
特征值计算 的算法
特征值计算是矩阵分析中的重要内容，可以用于解决 许多实际问题，如振动分析、控制论、经济学等。
数据降维与可视化
数据降维的必要性
数据降维的方法
可视化的意义
可视化的工具和技术
在处理高维数据时，数据的维 度可能非常高，导致数据难以 分析和处理。数据降维可以将 高维数据降为低维数据，便于 分析和可视化。
矩阵分解与特征值计算
矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易 于处理的矩阵，以便进行计算和分析。
输入 矩阵标分题解的
方法
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、SVD分 解等。这些方法可以将一个矩阵分解为一个下三角矩 阵、一个上三角矩阵和一个正交矩阵等。
矩阵分解的 定义
特征值计算 的应用
特征值计算的常用算法有QR算法、Jacobi方法、 Power方法等。这些算法可以用于计算给定矩阵的特
数值计算稳定性
数值计算稳定性
在进行数值计算时，由于计算机的舍入误差，可能会导致 计算结果的误差。线性代数中的一些算法和技巧可以帮助 提高数值计算的稳定性，减少误差。
数值稳定性的评估
评估数值稳定性的方法包括观察计算结果的收敛性和稳定 性，以及比较不同算法的误差和稳定性。
线性代数在实际中的应用
线性代数在实际中的应用线性代数是数学中的一个重要分支，也是应用数学中最为基础的学科之一。
线性代数的主要研究内容是向量空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值等。
在很多领域中，线性代数都发挥着重要的作用，比如计算机科学、工程学、物理学等。
下面我将从几个方面来探讨线性代数在实际中的应用。
一、图像处理图像处理是一个广泛应用线性代数的领域。
图像可以看作是一个矩阵，每个像素点代表矩阵中的一个元素。
图像处理的任务包括识别、分析和处理图片中的相关信息。
在在线性代数的基础上，可以通过矩阵计算对图像进行各种操作，如变换、旋转、缩放等。
比如，我们可以使用线性代数中的矩阵变换来实现图像的几何变换。
将图像看作矩阵A，进行绕原点旋转θ角度的变换可以表示为A' = R(θ)A，其中R(θ)表示二维旋转矩阵。
同样的，图像的缩放变换可以表示为A' = SxSyA，其中Sx和Sy表示水平和竖直方向上的缩放因子。
二、计算机视觉计算机视觉是指将图像处理技术应用于计算机上进行的一种计算机辅助处理技术。
它与图像处理不同之处在于，它需要将图像中的信息转换为计算机可以理解的数据格式。
在计算机视觉中，矩阵在特征提取、目标检测、形态分析等方面起关键作用。
比如，在人脸识别中，我们通常使用Eigenfaces算法来提取特征。
该算法使用主成分分析将训练图像中的各种脸部特征提取出来，并通过线性代数中的矩阵计算进行预测。
同样的，支持向量机（SVM）等分类算法也利用了线性代数的知识。
三、机器学习机器学习是一种构建模型、利用模型进行预测的技术。
它是应用最广泛的人工智能算法之一。
机器学习中的很多算法，如线性回归、逻辑回归、支持向量机等都涉及到线性代数的知识。
比如，在线性回归中，我们需要对一些数据点进行拟合预测。
我们可以将这些数据点表示为矩阵，然后通过矩阵计算求解模型参数。
同样的，逻辑回归也可以使用矩阵形式进行求解。
而SVM 则通过寻找支持向量最小化分类间的间隔，也利用了线性代数的知识。
数学中的线性代数及其应用
数学中的线性代数及其应用线性代数是数学中的一个分支，它主要研究线性方程组、线性变换及其表示、以及线性空间等基本概念和性质。
线性代数不仅是数学中的一个基础学科，而且在各个领域都有着广泛的应用。
本文就介绍线性代数的一些基本概念和应用。
一、线性代数的基本概念1. 向量和向量空间向量是线性代数中的基本概念，可以用一个有限的实数序列来表示。
形式上，一个n维向量写成一维列向量的形式为：\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}将n个实数排成一个矩形，就形成了一个一维列向量。
向量空间是一组向量的集合，并满足一组规则，使得这个集合能够进行向量加法和数乘运算，并且满足向量加法和数乘运算的一些基本性质。
2. 矩阵和矩阵运算矩阵是线性代数中的又一个重要概念，它由一些实数排成的矩形数组组成。
一个m行n列的矩阵可以用下面的形式表示：A = [a_{ij}]_{m×n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}其中a_{ij}是矩阵A的第i行第j列的元素，m和n分别为矩阵的行和列数。
可以定义矩阵的加法、数乘、和矩阵乘法这三种运算。
3. 线性变换和矩阵表示线性变换是一种多项式函数，它是线性代数中非常重要的一个概念。
线性变换就是把一个向量空间的向量映射为另一个向量空间的向量，且满足线性性质。
在矩阵中，每个向量都可以用一个n维列向量的形式表示。
在一个向量空间V中的线性变换，可以用矩阵A表示。
线性代数的重要性及其应用
线性代数的重要性及其应用引言：线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的性质。
虽然线性代数在我们日常生活中并不常见，但它在科学、工程和计算机科学等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨线性代数的重要性，并介绍一些实际应用。
一、线性代数在科学领域的应用线性代数在科学领域中扮演着重要的角色。
例如，在物理学中，线性代数被广泛应用于量子力学的研究。
量子力学中的态矢量和算符可以用向量和矩阵表示，通过线性代数的方法可以解决一系列与粒子运动、波函数演化等相关的问题。
此外，在统计学中，线性代数也是不可或缺的。
线性回归模型、主成分分析和因子分析等都依赖于线性代数的理论和方法。
通过矩阵运算，可以对大量的数据进行降维和分析，从而提取出数据中的主要信息。
二、线性代数在工程领域的应用工程领域对线性代数的应用也非常广泛。
例如，在电路设计中，线性代数可以用来解决电路网络的分析和设计问题。
通过建立电路方程组，并利用矩阵运算和线性方程组求解的方法，可以计算电路中各个节点的电压和电流。
此外，在信号处理领域，线性代数也发挥着重要的作用。
例如，图像处理中的卷积运算可以通过矩阵乘法来实现。
通过定义合适的卷积核矩阵，可以对图像进行滤波、边缘检测等操作，从而提取出图像中的特征。
三、线性代数在计算机科学领域的应用计算机科学是一个与线性代数密切相关的领域。
在计算机图形学中，线性代数被广泛应用于三维图形的表示和变换。
通过矩阵运算和向量运算，可以对三维物体进行平移、旋转、缩放等操作，从而实现真实感的图形渲染。
此外，在机器学习和人工智能领域，线性代数也是基础知识。
机器学习算法中的特征向量和权重矩阵可以通过线性代数的方法进行计算和优化。
通过矩阵分解和特征值分解等技术，可以对大规模数据进行降维和分类，从而实现模式识别和预测分析。
结论：线性代数作为数学的一个重要分支，具有广泛的应用领域。
无论是科学、工程还是计算机科学，线性代数都扮演着重要的角色。
大学数学线性代数及应用
大学数学线性代数及应用线性代数是一门基础而又重要的数学课程，它的研究对象是线性空间及其上的线性变换。
线性代数是数学领域中最常用的工具之一，它在物理、工程、计算机科学等领域发挥着重要作用。
首先，线性代数的一个基本概念是线性空间。
线性空间是指一个非空集合V，其中存在两种运算，即加法和数乘，满足如下性质：（1）加法的闭性：对于任意两个向量u、v∈V，它们的和u+v也在V中。
（2）加法的结合律：对于任意三个向量u、v、w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
（3）加法的交换律：对于任意两个向量u、v∈V，有u+v=v+u。
（4）加法的有零元素：存在一个0∈V，对于任意向量u∈V，有u+0=u。
（5）加法的有负元素：对于任意向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+v=0。
（6）数乘的结合律：对于任意标量a、b∈F和向量u∈V，有(a+b)u=au+bu；（7）数乘的分配律1：对于任意标量a∈F和向量u、v∈V，有a(u+v)=au+av；（8）数乘的分配律2：对于任意标量a、b∈F和向量u∈V，有(ab)u=a(bu)；（9）数乘的单位元：对于任意向量u∈V，有1u=u。
这些性质构成了线性空间的基本性质，可以看出，线性空间具有很强的结构性。
事实上，很多抽象的概念都可以用线性空间来描述。
其次，线性变换是线性代数中的重要概念之一。
线性变换是指一个线性空间到另一个线性空间的映射，它保持加法和数乘运算，即对于任意向量u、v∈V和标量a∈F，有：T(u+v)=T(u)+T(v)T(au)=aT(u)其中，T表示线性变换，也可以称为线性映射。
线性变换具有很多基本性质，例如：（1）零空间：线性变换T的零空间是指所有被T映射为0向量的向量所组成的空间，记为ker(T)。
显然，零空间是线性子空间。
（2）像空间：线性变换T的像空间是指T作用于来源空间的所有向量所组成的空间，记为Im(T)。
显然，像空间是线性子空间。
（3）可逆性：线性变换T如果存在逆变换T-1，即对于任意向量u∈V，有T-1(T(u))=u，那么称T是可逆的。
高等数学线性代数教材推荐
高等数学线性代数教材推荐高等数学作为一门基础学科，对于大多数理工科学生来说，是必修课程之一。
而在高等数学中，线性代数是一个重要的分支，它研究了向量空间和线性变换等概念，是许多科学和工程领域的基础。
因此，选择一本优秀的线性代数教材对于学生来说是非常重要的。
在本文中，我将向大家推荐几本经典的高等数学线性代数教材，希望能够帮助到正在学习这门课程的同学们。
1.《线性代数及其应用》（David y著）《线性代数及其应用》是一本经典的线性代数教材，由Davidy编写。
这本教材内容深入浅出，结构严谨，适合初学者使用。
书中以向量和矩阵的运算为基础，系统地讲解了线性方程组、行列式、特征值和特征向量等重要内容。
该书以应用为导向，通过丰富的实例和习题，帮助学生将理论知识与实际问题相结合，培养学生的解决问题的能力。
2.《线性代数及其应用》（Strang G著）另一本经典的线性代数教材是由Strang G编写的《线性代数及其应用》。
这本教材在国际上具有广泛的影响力，被誉为线性代数必读的经典之一。
该书以向量和矩阵的观点为基础，通过几何直觉和实际例子引导学生理解抽象的线性代数概念。
书中的内容完整而全面，包括向量空间、线性变换、正交性等各个重要主题。
此外，该书还附带有大量的习题和实例，帮助学生巩固所学知识。
3.《线性代数及其应用》（Anton H著）Anton H编写的《线性代数及其应用》也是一本备受推崇的线性代数教材。
这本教材内容全面，且具有很高的可读性。
书中系统介绍了线性空间、线性变换、特征值与特征向量等重要知识点，并结合了许多实际应用问题进行阐述。
整本书逻辑严谨，语言简洁明了，同时还包含了大量的习题和例题，帮助学生进行巩固和拓展。
综上所述，以上这几本教材都是非常出色的高等数学线性代数教材。
无论是初学者还是进阶学习者，都可以从中找到适合自己的教材。
然而，选择教材时应根据自身的学习需求以及个人的学习风格做出合理选择。
希望本文提供的推荐能够对大家的学习有所帮助，让大家能够更好地掌握线性代数这门重要学科。
线性代数的基础知识与应用
线性代数的基础知识与应用一、引言线性代数是数学中的重要分支，它研究向量空间以及线性变换等代数结构。
在数学领域，线性代数被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学以及计算机科学等。
本文将介绍线性代数的基础知识，并探讨其在实际应用中的重要性。
二、向量和矩阵1. 向量向量是线性代数中最基本的概念之一。
向量可以表示为有序的数列，在几何上可以用箭头表示。
向量具有加法和数量乘法运算，能够描述空间中的方向和大小。
例如，在三维空间中，一个向量可以表示为 (x, y, z)。
2. 矩阵矩阵是由若干个数值构成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个二维数组，在计算机科学中被广泛应用。
矩阵的加法和乘法是线性代数中的重要运算，被用于解决线性方程组和矩阵变换等问题。
三、线性方程组和矩阵运算1. 线性方程组线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
线性方程组的解可通过矩阵运算来求解。
例如，对于一个二元一次线性方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2可以用矩阵表示为 AX = B，其中 A 表示系数矩阵，X 表示未知数矩阵，B 表示常数矩阵。
2. 矩阵运算矩阵加法和乘法是线性代数中的重要运算。
矩阵加法可以将两个矩阵对应位置的元素相加，而矩阵乘法可以将两个矩阵相互组合得到一个新的矩阵。
矩阵运算不仅可以用于求解线性方程组，还可以应用于图形变换、最优化、数据处理等问题。
四、矩阵的特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义矩阵的特征值是指使得方程Av = λv 成立的λ，其中 A 是一个矩阵，v 是一个非零向量。
特征值可以帮助我们了解矩阵的性质和行为。
特征向量是对应于特征值的向量，它描述了矩阵变换过程中不变的方向。
2. 特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在图像处理中，特征值和特征向量可用于图像压缩和面部识别等问题。
在机器学习中，特征值和特征向量可用于降维和分类器构建等任务。
五、线性代数在计算机科学中的应用1. 图像处理和计算机视觉线性代数在图像处理和计算机视觉中扮演着重要角色。
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第九章 线性代数及其应用在科学研究和实际生产中，碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系，因此，线性关系的研究就显得是非常重要了. 行列式与矩阵是研究线性关系的重要工具.本章将介绍行列式与矩阵的一些基本概念、性质和运算.§9.1 行列式的概念与计算一、二阶、三阶行列式用消元法解二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （9.1）当021122211≠-a a a a 时，得 211222*********a a a a a b a b x --=，211222111212112a a a a b a b a x --=为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念. 1．二阶行列式的定义定义 1 用22个数组成的记号22211211a a a a ，表示数值21122211a a a a -，称为二阶行列式，22211211,,,a a a a 称为行列式的元素，横排称行，竖排称列.利用二阶行列式的概念，当二元线性方程组（9.1）的系数组成的行列式0≠D 时，它的解可以用行列式表示为11211122221212121112111221222122,b a a b b a a b D D x x a a a a D D a a a a ====其中1D 和2D 是以21,b b 分别替换系数行列式D 中第一列、第二列的元素所得到的两个二阶行列式.例1 用行列式解线性方程组 ⎩⎨⎧=+=-153322121x x x x .解 因为135312=-=D ， 1651131=-=D ，713322-==D .所以 1212167,1313D D x x D D ====-. 类似地，用23个数组成的记号 333231232221131211a a a a a a a a a ，表示数值 ++312312332211a a a a a a322311332112312213322113a a a a a a a a a a a a ---称为三阶行列式，即333231232221131211a a a a a a a a a =322113312312332211a a a a a a a a a ++ 322311332112312213a a a a a a a a a ---.它是由3行3列共9个元素构成，是6项代数和.这9个元素排成3行3列，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.上式也可以用对角线法则记忆，如图9.1所示.实线上三个元素的乘积取正号，虚线上三个元素的乘积取负号.例2 计算三阶行列式312203154--.333231232221131211a a a a a a a a a取+号取-号图9.1解 原式＝-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯-⨯+⨯⨯421)1(02252)1()3(1403 604580203035)3(=+--++=⨯⨯-.例3 解不等式 0114011>x x . 解 因为11140112-=x x x ，原不等式化为012>-x . 故不等式的解集为{11}x x x ><-或.1. 2阶行列式1．n 阶行列式的定义定义9.２ 由2n 个数组成的一个算式nnn n nn a a a a a a a a a D212222111211=， 称为n 阶行列式，其中ij a 称为D 的第i 行第j 列的元素),,2,1,(n j i =.当1=n 时，规定1111a a D ==.n 阶行列式简记为ij a .定义３ 在n 阶行列式ij a D =中去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M .将ij ji M +-)1(叫做元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即有ij j i ij M A +-=)1(.设1-n 阶行列式已定义，则n 阶行列式∑==+++=nj j j n n A a A a A a A a D 1111112121111 .（9.2） 例如，当3=n 时，333231232221131211a a a a a a a a a 131312121111A a A a A a ++=. 例4 写出四阶行列式25171496381291312411---的元素32a 的余子式和代数余子式.解 1141361471232-=M ，11413614712)1(322332--=-=+M A .形如下列形式的行列式分别称为n 阶对角行列式和n 阶下三角行列式，由（9.2）式可知，它们的值都是主对角线上元素的乘积.nn nn a a a a a a221122110000=，nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=.２. 行列式的性质根据n 阶行列式的定义直接计算行列式，当行列式的阶数n 较大时，一般是很麻烦的，为了简化n 阶行列式的计算，我们有必要讨论n 阶行列式的性质.如果把n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=中的行与列按顺序互换，得到一个新的行列式nnnnn n T a a a a a a a a a D 212221212111=， T D 称为行列式D 的转置行列式.显然，D 也是T D 的转置行列式.性质1 行列式D 与它的转置行列式TD 的值相等.即TD D =. 例如，二阶行列式 2112221122211211a a a a a a a a D -==， 2112221122122111a a a a a a a a D T -==.显然，TD D =.对于n 阶行列式，可以用数学归纳法加以证明，这里略去.性质9.1.1说明，行列式中“行”与“列”的地位是相同的，所以凡是对行成立的性质，对列也同样成立.由性质9.1.1和n 阶下三角行列式的结论，可以得到n 阶上三角行列式的值等于它的主对角线上元素的乘积，即nn nnnna a a a a a a a a2211222112110=. 性质2 n 阶行列式ij a D =等于它的任意一行（或列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和，即11221(1,2,3,)ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n ==+++==∑，或 11221(1,2,3,)nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n ==+++==∑. （9.3）例5 设三阶行列式152235313-=D ，按第二行展开，并求其值.解 因为 14)151(1531)1(211221=--=-=-=+M A ， 31233)1(222222-==-=+M A ,135213)1(233223-=-=-=+M A , 所以 232322222121A a A a A a D ++=105)13(2)3(3145-=-⨯+-⨯+⨯-=.性质3 互换行列式的其中两行（或列）位置，行列式值改变符号. 例如，二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a D -==，交换两行后得到的行列式D a a a a a a a a -=-=1122122112112221.推论 如果行列式其中有两行（或列）完全相同，那么行列式的值为零. 事实上．交换相同的两行，由性质2得，D D -=，于是0=D . 性质4 行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式记号的外面，即nnn n in i i n nnn n in i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a212111211212111211λλλλ=. 推论1 如果行列式中有一行（或列）的元素全为零，那么此行列式的值为零. 推论2 如果行列式其中有两行（或列）元素对应成比例，那么行列式等于零. 推论3 行列式中任意一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.例如，对于行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =， 有0231322122111=++A a A a A a ,,0133312321131=++A a A a A a性质5 如果行列式的某一行（或列）元素可以写成两数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和，即nnn n in i i n nnn n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121221111211=+++nnn n in i i n a a a c c c a a a212111211+.例如，二阶行列式2221121122211211222121121111a b a b a a a a a b a a b a +=++.性质6 把行列式某一行（或列）的元素同乘以数k ，加到另一行（或列）对应的元素上去，行列式的值不变，即.212122111121121212111211nnn n jn j j nj in j i j i n nnn n jn j j ini i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a+++=证 设原行列式为D ，变形后得到的行列式为1D ，由性质9.1.5和性质9.1.4的推论３得，nnn n jnj j ini i n a a a a a a a a a a a a D212121112111=D D a a a a a a ka ka ka a a a nnn n jn j j jnj j n =+=+021212111211.为了便于书写，在行列式计算过程中约定采用下列标记法： （1） 用r 代表行，c 代表列.（2） 第i 行和第j 行互换，记为j i r r ↔，第i 列和第j 列互换，记为j i c c ↔.（3） 把第j 行（或第j 列）的元素同乘以数k ，加到第i 行（或第i 列）对应的元素上去，记为i j r kr +（或i j c kc +）.（4） 行列式的第i 行（或第i 列）中所有元素都乘以k ，记为i kr （或i kc ）.行列式的基本计算方法之一是根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为上（或下）三角行列式，由前面的结论可知，这时行列式的值就是主对角线上元素的乘积.这种行列式的计算方法称为“化三角形法”.例6 计算2011513415333112D ---=---.解 1320111021513431541533351331121132D c c ------=↔-------41213133r r r r r r ++-+-1210111105500151------232410210111150060500162r r r r ---+----+ 34102110111151000121100812r r ---- 3410120111110001120018c c ---↔-341012011111010(4)40001120004r r ----+-=-⨯-=-.计算行列式的另一种基本方法是选择零元素最多的行（或列）展开；也可以先利用性质把某一行（或列）的元素化为仅有一个非零元素，再按这一行（或列）展开.这种方法称为降阶法.例7 计算224152105146112------=D解 2241502105146112------=D 72610001205744132524121-----+-+c c c c31314(1)(1)7520627+-=-⨯----726008413521-----+-r r7241)1()8(12----⨯--=+120=例8 证明.0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a证 设此行列式为D ，将D 化简, 把第一列乘以（－１）分别加到以后各列，有2223224221446922144692144693214469a a a a c c b b b b D c c c c c c d d d d +++-++++=+++-++++062126212621262122222=++++d d c c b b a a .例9 计算n 阶行列式ab b b a b b b a D =解 从行列式D 的元素排列特点看，每一列n 个元素的和都相等，把第2，3，…，n 行同时加到第1行，提出公因子b n a )1(-+，然后各行减去第一行的b 倍，有ab b ba b bn a b n a b n a D )1()1()1(-+-+-+=ba b a b n a a b b b a b b n a ---+=-+= 0000111])1([111])1([1)]()1([---+=n b a b n a .例10 解方程0113211232113221132111321=-+-+-+-+-------xa a a a a a a xa a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n.（)01≠a解 把方程左边的行列式，第一行乘以（－１）加到其余各行上，得)())((0000000000000121112211321x a x a x a a xa xa x a x a a a a a a n n n n n ---=--------.原方程化为0)())((1211=----x a x a x a a n ． 故方程有1-n 个解112211,,--===n n a x a x a x . 注 计算行列式有下列方法： (1) 二阶、三阶行列式利用定义计算；(2) 利用展开式(9.3)式计算，选择0元素较多的行（或列）进行展开； (3) 利用行列式的性质，化为三角行列式进行计算；（4）先利用行列式的性质把某行（或列）化为只有一个元素不为零，再利用展开式（9.3）式；交替使用性质、定理来计算.习题9.11.计算下列行列式：（1）3725 （2）abb a a 2（3）1100 （4）612153231---（5）3401002023150806--- （6）3111131111311113 （7） .3351110243152113------ （8）ba a c cbc b a+++111 （9）.aaa a a d a a a aac a a aa ab a +++ （10）xy y x y x y x 00000000 2.写出三阶行列式4830111752---=D 中元素3222,a a 的代数余子式，并求其值. 3.已知四阶行列式D 中，第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，-7，4，求D .4.设行列式512104132014221---=D ，分别按D 的第二行和第四列展开，并计算其值. 5.解下列方程：（1）0913151313221642222=-----x x （2）0011101101110=x x xx 6.计算n 阶行列式xa a a a x a a aa x aa a a x D=.7.计算1n +阶行列式nn n n n b a a a a b a a a a b a a a a D +++=21221211211111.§9.2 矩阵及其初等变换矩阵是一个重要的数学工具，是进行网络设计、电路分析等强有力的数学工具，也是利用计算机进行数据处理和分析的数学基础.它不仅在经济模型中有着很实际的应用，而且目前国际认可的最优化的科技应用软件----MATLAB 就是以矩阵作为基本的数据结构，从矩阵的数据分析、处理发展起来的被广泛应用的软件包. 本节主要介绍矩阵的概念、运算及应用广泛的初等变换.一 、 矩阵的概念在许多问题中，我们会遇到一些变量要用另外一些变量线性表示. 设变量m y y y ,,21能用变量n x x x ,,21线性表示，即nmn m m m nn nn x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++= 22112222121212121111 （9.4） 其中ij a 为常数（1,2,,,1,2,,i m j n ==），这种从变量n x x x ,,21到变量m y y y ,,21的变换叫做线性变换.这种变换取决于变量n x x x ,,21的系数，这些系数按它们在变换中原 来的顺序构成一个矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211.又如，在物资调运中，某物资有两个产地上海、南京，三个销售地广州、深圳、厦门，调运方案见下表.这个调运方案可以简写成一个2行3列的数表 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛233226202517. 下面给出矩阵的定义定义9.4 由n m ⨯个数ij a （n j m i ,2,1,2,1==）排成一个m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a212222111211或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为m 行n 列矩阵，简称为n m ⨯矩阵，其中ij a 叫做矩阵的第i 行第j 列的元素.i 称为元素ij a 的行标，j 称为元素ij a 的列标.通常用大写字母 ,,,C B A 或 )(ij a 表示矩阵，例如上述矩阵可以记作A 或n m ⨯A ，有时也记做n m ij a ⨯=)(A .几种特殊的矩阵：①方阵：矩阵A 的行数与列数相等，即n m =时，矩阵A 称为n 阶方阵，记作n A ,左上角到右下角的连线称为主对角线，主对角线上的元素nn a a a ,,,2211 称为主对角线元素.②行矩阵：只有一行的矩阵()n a a a 11211=A 称为行矩阵.③列矩阵：只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m a a aA 称为列矩阵. ④零矩阵：所以元素全为零的矩阵称为零矩阵.记作n m ⨯O 或O .⑤对角矩阵：除主对角线外，其他元素全为零的方阵称为对角矩阵.为了方便，采用如下记号 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a2211A . ⑥单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵，记作n E 或E . ⑦三角矩阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a 22211211A 为上三角矩阵. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a21222111A 为下三角矩阵.⑧对称矩阵： 满足条件ji ij a a =),,2,1,(n j i =的方阵n n ij a ⨯)(称为对称矩阵. ⑨数量矩阵： 主对角线上元素都是非零常数a ，其余元素全都是零的n 阶矩阵，称为n 阶数量矩阵.⑩负矩阵： 在矩阵()ij m n a ⨯=A 中的各个元素的前面都添加上符号（即取相反数）得到的矩阵，称为A 的负矩阵，记为-A ,即()ij m n a ⨯-=-A .注 矩阵与行列式是有本质区别的.行列式是一个算式，而矩阵是一个数表，它的行数和列数可以不同.对于n 阶方阵A ，有时也要计算它的行列式（记为det A 或A ）,但方阵A 和方阵行列式A 是不同的概念.二、矩阵的运算1.矩阵的相等 如果两个矩阵B A ,行数和列数分别相同，且它们对应位置上的元素也相等，即ij ij b a =，m i ,,2,1( = ；),,2,1n j =，则称矩阵ΒA ,相等，记作B A =.2.矩阵的加（减）法 设n m ij n m ij b a ⨯⨯==)(,)(B A 是两个n m ⨯矩阵，规定：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=+=+⨯mn mn m m m m n n n n nm ij ij b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111)(B A 称矩阵B A +为A 与B 的和.如果n m ij n m ij b a ⨯⨯==)(,)(B A ，由矩阵加法运算和负矩阵的概念，我们规定： n m ij ij n m ij n m ij b a b a ⨯⨯⨯-=-+=-+=-)()()()(B A B A ， 称矩阵B A -为A 与B 的差.3.矩阵的数乘 设k 是任意一个实数，A 是一个n m ⨯矩阵，k 与A 的乘积为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯mn m m n n nm ij ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka k 212222111211)(A . 矩阵的加（减）法与矩阵的数乘叫做矩阵的线性运算.设O C B A ,,,都是n m ⨯矩阵，不难验证，矩阵的线性运算满足下列运算规律： 交换律 A B B A +=+； 结合律 C B A C B A ++=++)()(；分配律 B A B A k k k +=+)(；A A A l k l k +=+)( ),(R l k ∈；数乘矩阵的结合律 A A )()(kl l k =.例9.2.1 设251320⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，342025-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求B A 32-.解 B A 32-=2251320⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3432025-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭41091213226604640615215--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例9.2.2 设矩阵X ，满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛102421=+X 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5212133，求X . 解 由题可得 =X 23123125-⎛⎫⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102421， 即有 =X 28521614-⎛⎫⎪⎝⎭，所以 54121372⎛⎫-⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭X . 例9.2.3 已知网络双端口参数矩阵B A ,满足⎩⎨⎧=-=+D B A CB A 2222，其中71021510-⎛⎫= ⎪--⎝⎭C ，52651514--⎛⎫= ⎪---⎝⎭D .求参数矩阵B A ,.解 由⎩⎨⎧=-=+DB AC B A 2222可得D)(C 41B D),(C 41A -=+=.所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=651223141556251051210741D)(C 41A . ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=125231321141556251051210741D)(C 41B . 4.矩阵的乘法例9.2.4 设有两家连锁超市出售三种奶粉，某日销售量（单位：包）见下表9-2-1，每种奶粉的单价和利润见下表9-2-2.求各超市出售奶粉的总收入和总利润. 表9-2-1表9-2-2解 各个超市奶粉的总收入=奶粉Ⅰ数量×单价+奶粉Ⅱ数量×单价+奶粉Ⅲ数量×单价. 列表分析如下设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=420212315,6571085B A ，C 为各超市出售奶粉的总收入和总利润，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=552857137146253720612515741028352010128155C .矩阵C 中第一行第一列的元素等于矩阵A 第一行元素与矩阵B 的第一列对应元素乘积之和.同样，矩阵C 中第i 行第j 列的元素等于矩阵A 第i 行元素与矩阵B 的第j 列对应元素乘积之和.定义9.5 设A 是一个s m ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵，则由元素sj is j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 m i ,,2,1( =；),,2,1n j =构成的n m ⨯矩阵()nm ijc ⨯=C ，称为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记作AB C =.例9.2.5 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=530412A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10789B ，求AB . 解 AB =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--530412⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10789⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯--⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯-+⨯=105)8(3)7(593100)8(4)7(09410)1()8(2)7()1(92 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=26832362625 例9.2.6 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1236A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3162B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1151C ,求AB 和AC . 解 =AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3162⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=93279 =BA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3162⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000 =AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1151⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=93279注 ① 矩阵乘法一般不满足交换律，因此，矩阵相乘时必须注意顺序，AB 叫做（用）A .左乘B ，BA 叫做（用）A 右乘B ，一般AB ≠BA .② 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.③ 矩阵乘法不满足消去律.即当乘积矩阵AC AB =且O A ≠时，不能消去矩阵A ，得到C B =.④ 同阶方阵A 与B 的乘积的行列式，等于矩阵A 的行列式与矩阵B 的行列式的乘积.即B A AB ⋅=.（方阵A 的行列式记作A ）⑤ 若A 是一个n 阶方阵，则Am m个A AA A =称为A 的m 次幂. 不难验证，矩阵乘法满足下列运算规律：结合律 A(BC)(AB)C =；分配律 AC AB C)A(B +=+，BC AC B)C (A +=+；数乘矩阵的结合律 (AB)B)A(A)B (k k k ==.５.矩阵的转置定义9.６ 将n m ⨯型矩阵n m ij a ⨯=)(A 的行与列互换得到的m n ⨯型矩阵，称为矩阵A 的转置矩阵，记为T A .即如果⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211A ， 则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn nnm m a a a a a a a a a212221212111TA 容易验证，转置矩阵具有下列性质： （1）A )(A TT =；（2）k k =T T(A)A ；（3）TTTB A B)(A +=+； （4）TTTA B (AB)=.例9.2.7 若113201-⎛⎫= ⎪⎝⎭A， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=201231C求AC 、CA 以及TA 、TC .解 利用矩阵乘法，有131132120102-⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯+-⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯-+-⨯=2110320120)1(2231)1(31032)1()1(1 .8283⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+-⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=123002)1(022********)1(22112133)1(03)1()1(231)1(102311201231C A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=204724015.由转置矩阵的定义，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=130121TA ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213021T C .三、矩阵的初等变换在解线性方程组时，经常对方程实施下列三种变换： (1)交换方程组中某两个方程的位置； (2)用一个非零常数k 乘以某一个方程；（3）将某一个方程的k 倍（0≠k ）加到另一个方程上去.显然，这三类变换并不会改变方程组的解，我们称这三种方程的运算为方程组的初等变换.把这三类初等变换转移到矩阵上，就是矩阵的初等变换.定义7 对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等行变换： （1）对换矩阵两行的位置；（2）用一个非零的数k 遍乘矩阵的某一行元素； （3）将矩阵某一行的k 倍数加到另一行上.并称（1）为对换变换，称（2）为倍乘变换，称（3）为倍加变换.在定义中，若把对矩阵施行的三种“行”变换，改为“列”变换，我们就能得到对矩阵的三种列变换，并将其称为矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.为了方便，引入记号：行初等变换表示为：①j i r r ↔ ②(0)i kr k ≠ ③j i r kr +. 列初等变换表示为：①j i c c ↔ ②(0)i kc k ≠ ③j i c kc +.定义8 如果矩阵A 经过若干次初等变换后变为B ，则称A 与B 是等价的，记作B A ≅.显然，等价是同型矩阵间的一种关系，具有反身性、对称性、传递性.定理1 任意矩阵n m ij a ⨯=)(A 都可通过初等变换化为等价标准形，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≅O OK E D A r. 例9.2.8 将矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101211015321A 化为等价标准形.解 11232123512351011024621010369r r r r +-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A 23212312123123510110123012301230000r r r r r r +-+--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭. 定义9.9 对单位矩阵E 进行一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵. 初等矩阵有三种：（1）对矩阵E 交换两行（或列）所得的初等矩阵；j i ij ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101101)( E（2）对矩阵E 的第i 行（或列）乘以常数k ，得到的初等矩阵；i k k i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11))(( E （3）对矩阵E 的第j 行（或列）乘以常数l 加到第i 行（或列）上，得到的初等矩阵；j i l l ij ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11011))(( E容易验证：对于矩阵E ，左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵E 作一次初等变换. 定理2 对n m ⨯矩阵A 的行（或列）作一次初等变换所得到的矩阵B ，等于用一个相应的m 阶（或n 阶）初等矩阵左（或右）乘A .例9.2.9 以矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110211103A 为例验证定理9.2解 （1）交换矩阵A 的第二、三行，得到的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2111101031A .初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100001)23(E 左乘矩阵A ，得到的矩阵为=2A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001301112011⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-211110103. 显然，有21A E (23)A A ==.（2）将矩阵A 的第2行乘以常数3加到第一行上，得到的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110211736B ；初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010031E(12(3))左乘矩阵A ，得到的矩阵为=C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010031⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅110211103⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110211736.显然有C E (12(3))A B ==.（3）由读者验证，将矩阵A 的第2行乘以常数3 等于初等矩阵左乘))3(2(E 矩阵A .习题 9.21.一空调商店销售三种功率的空调：1P 、1.5P 、2P.商店有两个分店，六月份第一分店售出以上型号的空调数量分别为48台、56台和20台；六月份第二分店售出了以上型号的空调数量分别为32台、38台和14台.（1）用一个矩阵A 表示这一信息；（2）若在五月份，第一分店售出了以上型号的空调数量分别为42台、46台和15台；第二分店出售了以上型号的空调数量分别为34台、40台和12台.用与A 相同类型的矩阵M 表示这一信息.（3）求M A +,并说明其实际意义. 2.计算（1）()43214321-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2) ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--43214321（3）2sin cos cos sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθθθ (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111073251110 (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---311423035410312 (6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---105024603530304012 3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211201A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=131021B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=240101C ，求TB)C A (+2.4.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A E )2(T -． 5.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3011A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201B ，验证 ：T T T A B AB =)(. 6.如果两个矩阵A 与B ，满足BA AB =，则称矩阵A 与B 可交换.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求所有与矩阵A 可交换的矩阵.7.如果方阵A ，满足A A =T ，则称矩阵A 是对称矩阵.求证：T AA 及A A T都是对称矩阵.8.将下列矩阵化成其等价标准形：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----422133211 （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---412324112300§9.3 矩阵的秩与逆矩阵一、矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念,它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系,而且在讨论线性方程组解的情况中也有重要应用.１.矩阵的k 阶子式定义10 设A 是n m ⨯矩阵,在A 中位于任意选定的k 行k 列交点上的2k 个元素,按原来次序组成的k 阶行列式,称为矩阵A 的一个k 阶子式,其中{}n m k ,min ≤.例如，矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100142321A ,取A 的第一、二行，第一、三列的相交元素，排成行列式1231 为A 的一个二阶子式.由子式的定义知:子式的行、列是以原行列式的行、列中任取的，所以可以组成92323=C C 个二阶子式.对一般情况，共有k C C k n k m 个阶子式.注 k 阶子式是行列式.非零子式就是行列式的值不等于零的子式. ２.矩阵的秩定义11 如果矩阵A 中存在一个r 阶非零子式,而任一r +1阶子式（如果存在的话）的值全为零,即矩阵A 的非零子式的最高阶数是r ，则称r 为A 的秩，记作)(A r =r .例9.3.1 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=81131433111221A 的秩.解 因为A 的一个二阶子式053121≠-=-所以 A 的非零子式的最高阶数至少是2,即()2≥A r .A 的所有三阶子式：个43433=C C.0811143311220,81314311121,081314311121,0113331221=---=--=--=-- 即所有的三阶子式均为零,故()2=A r不难得到，矩阵的秩具有下列性质 （1）)()(Tr r A A =；（2）},min{)(0n m r ≤≤Α. 若},min{)(n m r =A ，则称矩阵A 为满秩矩阵.并规定零矩阵O 的秩为零,即0)(=O r .若矩阵A 为n 阶方阵，当0≠A 时，有n r =)(A ，称A 为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，必须从一阶子式开始计算，直到某阶子式都为零时才能确定，显然非常麻烦，为此我们来研究阶梯形矩阵.3. 阶梯形矩阵定义12 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵.（1）矩阵若有零行（元素全部为零的行），零行全部在下方；（2）各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随着行标的递增而严格增大.由定义可知,如果阶梯形矩阵A 有r 个非零行,且第一行的第一个不为零的元素是11j a ,第二行的第一个不为零的元素是22j a ,…,第r 行的一个不为零的元素是r rj a ,则有11r j j n ≤≤≤≤,其中n 是阶梯形矩阵A 的列数.其一般形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯00000000000002221112121rn rj n r j n r j nm a a a a a a a a a r A , 其中，()r i a r ij ,,2,1,0 =≠， 而下方r m -行的元素全为0.注 (1)阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数r . (2)任意矩阵通过初等变换都能化为阶梯形矩阵.（3如果阶梯形矩阵的非零行的首非零元素都是1，且所有首非零元素所在的列的其余元素都是零，则称此矩阵为行简化阶梯形矩阵.由秩的定义可以证明以下重要结论，（本书略去证明）. 定理3 初等变换不改变矩阵的秩.由此得到求矩阵秩的有效方法：通过初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵,其非零行的行数就是矩阵的秩.例9.3.2 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=211121112A 的秩. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=++-↔3303301212111121212111211122131212r r r r r r A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−+00033012132r r .所以 矩阵A 的秩为2,即2)(=A r .二、逆矩阵1. 逆矩阵的概念代数方程b ax =，当0≠a 时，有解b a a b x 1-=÷=（其中111==--aa a a ）.类似地，对于矩阵方程B AX =，它的解X 是否也能表示为B A 1-？若能,这里的1-A 是矩阵吗？如何来求得1-A ？定义13 设A 是n 阶方阵，如果存在一个n 阶方阵B ，使E BA AB == （9.5）则称矩阵A 是可逆矩阵,简称A 可逆,并把方阵B 称为A 的逆矩阵，记为1-A，即1-=A B .例如，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=461351341B因为 =AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001，=BA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001，即A ,B 满足E BA AB ==,所以矩阵A 可逆，其逆矩阵B A =-1.在公式（9.5）中A 与B 的地位是平等的,因此也可以称B 为可逆矩阵，称A 为B 的逆矩阵，即A B=-1.注 （1）单位矩阵E 的逆矩阵就是它本身，因为E EE =.（2）任何n 阶零矩阵都不可逆.因为对任何与n 阶零矩阵同阶的方阵B ，都有O OB BO ==.（3）如果方阵A 是可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的.2.逆矩阵的求法对矩阵A ，何时可逆？若A 可逆，又如何求1-A 呢？ （1）利用伴随矩阵求逆矩阵定义9.14 设n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a 212221212111A ，将行列式A 的2n 个代数余子式ij A 排成下列n 阶矩阵，并记为*A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A212221212111*A 则矩阵*A 叫做矩阵A 的伴随矩阵.定理9.4 （求1-A 的一种方法---伴随矩阵法）n 阶方阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，且当A 可逆时，*-=A AA11. 证 必要性.因为A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故1||||||||11===--E A A AA ，所以0||≠A .充分性.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211A ，且0≠A . 由矩阵乘法和行列式的性质，有=*AA ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn 2n1nn22212n12111A A A A A A A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=||000||000||A A A E A ||=因为0||≠A ，所以E AA A =)(||1*. 于是，得 E A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛*||1. 同理可证 E A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛*||1. 所以有 *1||1A A A =-. 定理得证. 例9.3.3 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A 的逆矩阵.解 因为02≠=A ，所以矩阵A 可逆.24121)1(;20121)1(;40141)1(133112211111=-=-=--==--=+++A A A ；24120)1(;40220)1(;80241)1(233222222112=-=-=-==-=+++A A A ； 11110)1(;21210)1(;31211)1(333332233113-=-==--=-=--=+++A A A .所以==-*1||1A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2112312411212324822421. （2）利用初等行变换求逆矩阵可以证明：由方阵A 作矩阵（E A ），用矩阵的初等行变换将（E A ）化为（C E ），C 即为A 的逆阵1-A .例9.3.4 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121112211A 的逆矩阵. 解)(E A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→+-+-10113001251000121110012101011200121131212 r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−+-+-1351400012510011301101130012510001211123232 r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−++-1411431451001451411430101431451410011411431451000125100113011323351413r r r r r 所以 =-1A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--141143145145141143143145141.3.逆矩阵的运算性质（1）若E AB =（或E BA =），则1-=A B ，1-=B A .事实上，由E AB =，得1||===E ||B ||A ||AB ，故0||≠A ，于是A 可逆，在等式E AB =两边同时左乘1-A ，即得1-=A B ，同理易得1-=B A .这一结论说明，如果要验证B 是A 的逆矩阵，只要验证一个等式E AB =或E BA =即可，不必再按定义验证两个等式.（2）A A =--11)(.（3）若A 可逆，则TA 也可逆，且T T )()(11--=A A . 事实上，由于A 可逆，则E AA=-1，所以E E AA ==-T T )(1，即E A A =-T T )(1，由逆矩阵的运算性质（1），得T T )()(11--=A A . （4）若B A,均可逆，则AB 也可逆，且111)(---=A B AB .例9.3.5 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3512B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=130231C求满足AXB =C 的矩阵X .解 若1-A ，1-B存在，则在C AXB =的两边同时左称乘1-A ，右乘1-B ，得1111----=CB A AXBB A ，即11--=CB A X .由例9.3.3知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-211231241121A，又求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-25131B .从而11--=CB A X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=21123124112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛130231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2513⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5113373⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2513.92223561126⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=例9.3.6 已知321,,x x x 到321,,y y y 的线性变换为⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=2133212321242xx y x x x y x x y 试求以321,,y y y 到321,,x x x 的线性变换.解 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321y y y Y ，则所给线性变换的矩阵形式为AX Y =.若1-A 存在，则两边左乘1-A ，得到Y A X 1-=，由例9.3.3可知1-A 存在，于是Y A X 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21123124112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-=3213213212123242y y y y y y y y y 从而，得到从321,,y y y 到321,,x x x 的线性变换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=+-=+-=3213321232112123242y y y x y y y x yy y x习题 9.31.根据矩阵秩的定义求下列矩阵的秩.(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡343322321 (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---135243121 2.求下列矩阵的秩.(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121123322111 (2)⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----121023*********1 (3)⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11011111100222021110 (4) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------342432226λλλ3．求下列方阵的逆矩阵：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110210321 （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111103231 4．设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=022011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210321B ，计算1)(-BA ． 5．解下列矩阵方程 （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11220110X )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1030121213X 6．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011213112A ，设2()2f E λλλ=--，求)(A f . 7．试证：设A 是n 阶矩阵，若O A =3，则21)(A A E A E ++=--．§9.4 线性方程组的概念与克莱姆法则生产活动和科学技术中的许多问题经常可以归结为解一个线性方程组.虽然在中学我们已经学过用加减消元法或代入消元法解二元或三元一次方程组，又知道二元一次方程组的解的情况只可能有三种：有唯一解、有无穷多解、无解.但是在许多实际问题中，我们遇到的方程组中未知数个数常常超过三个，而且方程组中未知数个数与方程的个数也不一定相同.如⎪⎩⎪⎨⎧=+-+---=++-+=---+232132074322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？如果解不唯一，解的结构如何呢？在有解的情况下，如何求解？一、线性方程组的概念与二元、三元线性方程组类似，含n 个未知量，由m 个线性方程构成的线性方程组的一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* 方程组可以用矩阵表示为B AX =.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211A 称为方程组的系数矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21B 称为方程组的常数项矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 21X 称为方程组的未知量矩阵.如果未知量的个数n 与方程的个数m 相等，那么未知量的系数就可以构成一个行列式．此时就能利用行列式来研究方程组的有关解的问题——克莱姆法则.二、克莱姆法则定理1 (克莱姆法则)设含有n 个未知量n x x x ,,,21 ，由n 个方程所组成的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 如果的系数行列式不等于零，即 0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a D, 那么，方程组有唯一解),,2,1(n j DD x j j ==.其中行列式),2,1(n j D j =是把D 的第j 列元素用方程组右端的常数项代替后得到的n 阶行列式.即nnj n nj n n nj j n j j j a a b a a a a b a a a a b a a D 1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-=证 先证DD x D Dx D D x n n ===,,2211是方程组的一组解，即 ),,2,1(2211n i b DD a D Da D D a i n in i i ==+++成立.为此，构造1+n 阶行列式),,2,1(111111n i a a b a a b a a b nnn nn ini i=该行列式有两行元素相同，其值为0.按第1行展开，由于第1行中元素ij a 的代数余子式为nn j n j n n nn j j j a a a a b a a a a b1,1,111,11,111111)1(+-+-++- j j j nnj n nj n n nj j j j D D a a b a a a a b a a -=-=-⋅-=++-+--+121,1,111,111,11112)1()1()1(.所以有 ,011=---n in i i D a D a D b即 ),,2,1(2211n i b DD a D Da D D a i n in i i ==+++ . 故 DD x D Dx D D x n n === ,,2211是方程组的一组解.再证方程组只有这一组解.设方程组另有一组解n n c x c x c x === ,,2211.则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++n n nn j nj n n n n j j n n j j b c a c a c a c a b c a c a c a c a b c a c a c a c a2211222222121111212111. 依次用D 中第j 列元素的代数余子式nj j j A A A ,,,21 乘上面各恒等式,再把他们两端分别相加，得∑∑∑∑∑======+++++n i ni ij i n i ij in n ij ij j n i ij i ni ij i A b A a c A a c A a c A ac 111122111，而⎩⎨⎧=≠=∑=jk D jk A a ijni ik 01. 上等式化为 n j D Dc j j ,,2,1, ==.因0≠D ，所以 DD c D Dc D D c n n === ,,2211. 故 方程组只有唯一组解DD x D Dx D D x n n === ,,2211.克莱姆法则得证.例1 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+-+=+-+=+++33202212504321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解 方程组的系数行列式,0183210112111120111≠=--=D因此,由克莱姆法则知，此方程组有唯一解.经计算,18321021*******111,363310122111120511,363230112111120151,1832131122111101154321-=--====--==--=D D D D由公式，得,118181==x ,218362==x ,218363==x ,118184-=-=x克莱姆法则给出的结论很完美，讨论了方程组（10.2）解的存在性、唯一性和求解公式，在理论上有重大价值.不考虑克莱姆法则中的求解公式，可以得到下面重要的定理.定理2 如果线性方程组的系数行列式0≠D ，那么方程组一定有解，且解是唯一的. 在线性方程组中，右端的常数n b b b ,,,21 不全为0时，称为非齐次线性方程组.当n b b b ,,,21 全为0时，称为齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a显然021===n x x x 一定是它的一组解，这个解叫做齐次线性方程组的零解.如果有一组不全为零的数是的解，则它叫做齐次线性方程组的非零解.齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解. 对于齐次线性方程组应用定理，则可以得到以下定理:定理3 如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ，则方程组只有零解.根据定理3，如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零.即0=D 是齐次线性方程组有非零解的必要条件，可以证明这一条件也是充分条件.定理4 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为系数行列式0=D . 例2 问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+++0)3(2002)3(3231321x x x x x x x λλλλ 有非零解？解 若方程组存在非零解，则由定理10.4知，它的系数行列式,03201213=++=λλλλD即0)9(=-λλ.解得0=λ或9=λ.故0=λ或9=λ时方程组有非零解.例3 判断下列齐次线性方程组解的情况:(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=++-=+-+=-++00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-++=-++-=+-+02203022003024321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1)系数行列式01622020202211112200202002201111111111111111≠-==-=----=D . 所以 方程组仅有零解04321====x x x x .(2)系数行列式2203221011311112-----=D 最后两列元素对应成比例,所以0=D .故方程组除零解04321====x x x x 外,还有非零解.可以验证1,1,04321-====x x x x 是方程组的解(非零解)且c x x x ===321,0,c x -=4,c 为任何实数都是方程组的解.这说明方程组有无穷多组非零解.克莱姆法则的优点是解的形式简明，理论上有重要价值.但当n 较大时，计算量很大.应用克莱姆法则求解方程组时，要注意克莱姆法则只适用于系数行列式不等于零的n 个方程的n 元线性方程组，它不适用于系数行列式等于零或方程个数与未知量个数不等的线性方程组.。