学案 复习三角形的内切圆和外接圆
三角形的外接圆与内切圆的性质与判定
三角形的外接圆与内切圆的性质与判定在数学中，三角形的外接圆与内切圆是两个重要的概念。
它们具有一些独特的性质，并且可以通过一些准确的判定方式来确定。
本文将详细介绍三角形的外接圆和内切圆的性质，并给出它们的判定条件。
一、三角形外接圆的性质外接圆是指能够与三角形的三个顶点都相切的圆。
下面是外接圆的一些重要性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线交点处，也就是三角形的三条垂直平分线的交点。
2. 外接圆的半径等于三角形的边长的一半的倒数，即R = (abc)/(4S)，其中a、b、c为三角形的边长，S为三角形的面积。
3. 外接圆的直径等于三角形中最长边的边长。
4. 外接圆的切线与三角形的边相切，且切点在边的中点处。
二、三角形内切圆的性质内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
下面是内切圆的一些重要性质：1. 内切圆的圆心位于三角形的角平分线交点处，也就是三角形的三条角平分线的交点。
2. 内切圆的半径等于三角形面积除以半周长的值，即r = S/p，其中S为三角形的面积，p为三角形的半周长。
3. 内切圆的切点分别是三角形的三个顶点。
4. 内切圆的切线与三角形的边相切，且切点在边的中点处。
三、三角形外接圆与内切圆的判定条件根据三角形的性质，我们可以通过以下条件来判定三角形是否存在外接圆或内切圆：1. 外接圆存在的条件：当且仅当三角形的三个角的外角和为360度时，三角形存在外接圆。
2. 内切圆存在的条件：当且仅当三角形的三个角的内角和为180度时，三角形存在内切圆。
除了上述判定条件外，我们还可以通过计算三角形的边长、角度、面积等来进一步确定外接圆和内切圆的位置和属性。
总结：三角形的外接圆与内切圆是三角形的重要概念，它们具有一些独特的性质。
外接圆与三角形的垂直平分线、外角和、直径等相关；内切圆与三角形的角平分线、内角和、半径等相关。
我们可以通过计算三角形的边长、角度、面积来判定三角形是否存在外接圆或内切圆。
初中数学精品教案：尺规作图-作三角形的外接圆内切圆--教学设计
《尺规作图》——作三角形的外接圆、内切圆教学设计《尺规作图》——作三角形的外接圆、内切圆【内容和内容解析】：作三角形的外接圆和内切圆是五种基本尺规作图的综合运用。
它是在学生已经掌握了线段的垂直平分线、角平分线、三角形的外接圆和内切圆知识之后对尺规作图能力的一个提升。
此内容的教学重点是培养学生严谨的分析能力和严密的推理能力。
整个教学中贯穿了转换、类比、归纳等数学思想方法，切实帮助学生规范数学语言能力以及提高了学生的审美观，更加强了学生对伟大数学家们的敬爱之情，体现数学在实际生活中的“真、善、美”。
通过这节内容的学习，学生对圆心的寻找和半径的求解会有个更清醒的认识，对五种基本作图更加熟悉，同时为后面四边形甚至多边形外接圆和内切圆的理解奠定坚实的基础。
本节课从淘宝引入尺规作图的定义，又从“破镜重圆”引发出问题1---作三角形的外接圆，再从如何使宝箱之门最大引出问题2---作三角形的内切圆。
以宝箱和淘宝为线索，让学生发现问题--- 分析问题----解决问题，充分发挥学生的潜能，培养学生敏锐的数学眼光和综合的分析、概括能力，最大限度地挖掘了尺规作图的资源价值。
【目标和目标解析】：《尺规作图》是义务教育课程标准试验教科书上的内容,它分散在七至八年级数学课本部分章节中，初中阶段共学了五种基本作图。
初中阶段的尺规作图是五种基本作图：(①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的角平分线；④过一点作已知直线的垂线；⑤作已知线段的垂直平分线）的有限次组合。
尺规作图作为数学图形的一种方法，不是脱离自然而孤立存在的。
只要留心观察我们的日常生活，就不难发现，在我们身边存在着各种各样利用尺规来作的图形。
尺规作图从另一个角度展现了数学的应用价值和美学价值，可以使学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学生对数学美的体验，促进其形成正确的数学观。
《尺规作图》可以说是为学生打开了几何的另一扇窗口。
尺规作图的学习对训练逻辑思维能力的培养有特殊的作用，学生学习的不仅仅是知识，所以，我把这节课定位为——一节认知课。
三角形的外接圆和内切圆的性质
三角形的外接圆和内切圆的性质三角形是几何学中重要的基本形状之一，其外接圆和内切圆是与其密切相关的几何概念。
本文将探讨三角形的外接圆和内切圆的性质及其应用。
一、三角形外接圆外接圆是指可以完全包围三角形的圆，圆心位于三角形的外部，且圆的半径等于外接圆的直径。
以下是外接圆的性质：1. 外接圆的圆心：三角形的三条边的垂直平分线的交点即为外接圆的圆心。
2. 外接圆的半径：外接圆的半径等于三角形的任何一条边的一半。
3. 直径关系：三角形的任意一条边都是外接圆的直径。
外接圆的性质使得它在解决三角形相关问题时具有重要的地位。
例如，利用外接圆的性质，我们可以求得三角形的面积、周长等。
二、三角形内切圆内切圆是指可以切刚好接触三角形内部的圆，圆心位于三角形的内部，且圆切到三角形的每一边。
以下是内切圆的性质：1. 内切圆的圆心：三角形内切圆的圆心位于三角形的内角平分线的交点。
2. 内切圆的半径：三角形的内切圆半径等于三角形的面积除以半周长。
3. 接触点关系：内切圆与三角形的每一条边都有且只有一个接触点。
内切圆的性质也是解决三角形相关问题时的重要工具。
内切圆在实际应用中具有广泛的运用，如在工程设计中用于定位和测量等方面。
三、外接圆和内切圆的关系三角形的外接圆和内切圆之间存在着一定的关系。
当三角形存在内切圆时，内切圆的圆心、三角形的外接圆的圆心和三角形的垂心（三条高的交点）位于同一条直线上。
这个性质被称为"欧拉-威尔逊定理"，它将三角形的外接圆、内切圆和垂心联系在了一起，为解决复杂的三角形问题提供了便利。
四、应用举例1. 利用外接圆性质解决问题：已知三角形的三个顶点坐标，可以通过求外接圆的圆心和半径，进而计算出三角形的面积、周长等。
2. 利用内切圆性质解决问题：已知三角形的边长，可以通过求内切圆的半径，进而计算出三角形的面积、周长等。
3. 利用外接圆和内切圆关系解决问题：已知三角形内接圆的半径和外接圆的半径，可以进一步计算出其他相关的几何参数。
三角形内切圆和外接圆的性质
三角形内切圆和外接圆的性质在数学几何中，三角形内切圆和外接圆是两个重要的概念，它们具有一些特殊的性质。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质及其相关定理。
一、三角形内切圆的性质三角形内切圆是指与三角形的三边都相切于一个点的圆。
下面是三角形内切圆的一些性质：1. 三角形内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交于一点，称为内切圆心。
2. 由内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等。
3. 三角形的三条边与内切圆的切点连接起来，构成的三个三角形面积之和等于原三角形的面积。
4. 内切圆的半径等于三角形的周长除以两倍的三角形的面积。
这些性质都可以通过几何推导或利用一些定理来证明。
二、三角形外接圆的性质三角形外接圆是指与三角形的三个顶点都在同一个圆上的圆。
下面是三角形外接圆的一些性质：1. 三角形外接圆的圆心是三角形的三条中垂线的交点。
2. 外接圆的半径等于三角形的任意一条边的长度的一半除以正弦值。
3. 外接圆的直径等于三角形的外接圆切线之间的距离。
4. 外接圆的切线与三角形的边相交于同一个点。
同样，这些性质也可以通过几何推导或利用一些定理来证明。
三、相关定理在三角形内切圆和外接圆的性质基础上，还有一些重要的定理与之相关，如下所示：1. 欧拉定理：三角形的内心、重心、垂心和外心四个点共线。
2. 欧拉-波利亚公式：三角形的内心到三个顶点的距离之和等于三角形的外心到三个顶点的距离之和，且和为内切圆半径的三倍。
3. 欧拉三角恒等式：三角形的外心、垂心和内心的距离平方之和等于内切圆的半径的平方加上九倍的四面角和两倍的外角和。
这些定理在解决三角形相关问题时具有重要的应用价值，深化了对三角形内切圆和外接圆的理解。
综上所述，三角形内切圆和外接圆具有一系列的性质和定理，这些性质和定理有助于我们更深入地研究和理解三角形的特性。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆在数学几何学中，三角形是一个基本的几何形状。
而三角形的外接圆与内切圆是与之密切相关的概念。
本文将介绍三角形的外接圆与内切圆的定义、性质以及相关定理，帮助读者深入理解这两个圆的特点和作用。
一、外接圆的定义及性质外接圆是指能够完全包含三角形的圆，圆心在三角形的外部。
下面以三角形ABC为例，说明外接圆的构造和性质。
构造外接圆的方法之一是利用三角形的垂直平分线。
从三角形ABC 的三个顶点A、B、C分别作垂直平分线，垂直平分线的交点即为外接圆的圆心O，连接OA、OB、OC即可构成外接圆。
外接圆的性质如下：1. 三角形的三条边的中垂线交于同一点，即外接圆的圆心是中垂线的交点。
2. 外接圆的半径等于任意一条边的垂直平分线到边的中点的距离。
3. 外接圆的直径等于三角形的任意一边。
二、内切圆的定义及性质内切圆是指能够与三角形的三条边相切的圆，圆心在三角形的内部。
下面以三角形ABC为例，说明内切圆的构造和性质。
构造内切圆的方法之一是利用三角形的角平分线。
从三角形ABC的三个顶点A、B、C分别作角平分线，角平分线的交点即为内切圆的圆心I，连接IA、IB、IC即可构成内切圆。
内切圆的性质如下：1. 内切圆的圆心I是三角形的内角平分线的交点。
2. 内切圆的半径等于三角形的三条边的交点到三角形各边的距离。
3. 内切圆的半径与三角形的三条边的切点分别连成的线段相互连通，构成的三个三角形面积相等。
三、外接圆与内切圆的关系外接圆和内切圆的位置和关系是数学中的一个重要问题。
接下来我们将介绍外接圆与内切圆的关系及相关定理。
1. 对于任何一个三角形，外接圆的半径大于或等于内切圆的半径。
2. 对于等边三角形，外接圆和内切圆重合，半径相等。
3. 对于等腰三角形，内切圆的半径等于底边中线的长度。
4. 外接圆的半径等于内切圆的半径与三角形的半周长之和的一半。
结论：外接圆与内切圆的半径之间存在一定的关系，可以通过这个关系推导出三角形的相关性质。
三角形的外接圆与内切圆
BABB圆 的 教 案《圆》八、三角形的外心、外接圆与圆的内接三角形.1、经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形.说明：①锐角△的外心在△的形内（如图①），直角△的外心在斜边的中点（如图②），钝角△的外心在△的形外（如图③）③对于任意三角形它的外接圆只有1个（∵3条中垂线交点只有1个），而对于任意圆它的内接△则有无数个，如下图：△ABC 、△AED 、△ACD 、△ECD 、△BCD 、△ACE 等都是⊙O 的内接三角形.2、应用举例：例1 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求其外接圆半径.例2 如图，四边形ABCD 中，OA=OB=OC ，∠ABC=110°，求∠AOC 的度数.3、变式练习1．边长为6cm 的等边三角形的外接圆的半径长为__________cm.2． △ABC 内接于⊙O ，且AB=AC=5cm ，∠BAC=120°，则⊙O 的半径=________cm. 3．△ABC 的三边长为3，2，其三条高的交点为A ，外心为O ，则OA=_____________.4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 为弧BC 上任意一点，AD=6cm ，BD=5cm ，CD=3cm ，求DE 的长.九、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆可以作一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2．直角三角形的内切圆半径r 与三边a 、b 、c （c 为斜边）的关系是2a b c r +-=.C例4 已知边长分别为5、12、13的三角形作其内切圆，求其内切圆的半径. 变式练习：1．以边长为3、4、5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相似，这三个圆的半径依次是_____________，这个三角形的内切圆半径是___________.2．△ABC ，∠A=68°，点I 是内心，则∠BIC=___________.3．如图AP 是⊙O 的切线，P 为切点，OA 交⊙O 于B ，若∠A=40°， 则∠APB=_________.例5 如图，EF 与⊙O 切于点A ，AC 是⊙O 的一条弦，B 是⊙O 上一点，若∠FAC=40°，求∠ABC 的度数.例6 AE 、AD 、BC 是⊙O 的切线切点为E 、D 、F.（1）求证：AD=AE ；（2）若AD=20，求△ABC 的周长.例7 如图，AT 是⊙O 的切线，ABC 是⊙O 的割线，求证：AT2=AB ·AC.例8 已知：PA 、PB 与⊙O 分别相切于A 、B ，AC 是⊙OAPC=60°，AC=PD 的长.例9 如图△ABC 中，AC=BC ，E 是内心，AE 是延长线交△ABC 的外接圆于D.求证：（1）BE=AE ；（2）AB AEAC ED =.例10 已知：点I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 的外接圆于D ，交BC 于点E. （1）证明ID=BD ；（2）设ID=2，AD=x ，DE=y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，如果△ABC 是等边三角形，求DE 的值.十一、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
三角形的外接圆和内切圆(复习)
三角形的外接圆和内切圆 教学目标
1、能回忆起三角形的外接圆及外心，内切圆及内心。 2、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。
3、运用有关知识解决有关问题。
重点：
外接圆及内切圆的画法；外心和接圆与内切圆的画法：
1、什么是三角形的外接圆与内切圆？ 2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？ 1、①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。 ②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
三、选择题： 下列命题正确的是（
C）
A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆
作业：
1、课本117页B组3题。 A
1 2
2、思考题：
条件同上例， 求证：IE是AE和
DE的比例
中项。 B
I
3 4 5
D E
C
老师、同学们：
1
A
2
证明： 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4 ∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5 ∴ ∠ 1= ∠ 5 ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI 又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
I
3
B
4 5
D
E
C
小结与质疑：
1、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。 2、三角形的外心及内心。 3、求特殊三角形的外接圆、内切圆半径。 4、有关证明题。
2、试比较三角形的外心与内心的区别，并填写下表：
实质
三角形的外心 三角形的内心
性质
三角形的外心与内心
1、①外心是指三角形外接圆的圆心； ②内心是指三角形内切圆的圆心。
圆的复习三角形的内切圆与外接圆
《圆的复习——三角形的内切圆与外接圆》武汉市第十二初级中学张毓文一、教学目标通过学习，学生进一步巩固“三角形内切圆与外接圆”相关知识，并学会应用这些知识解决数学问题。
在解决问题过程中，让学生感受形成图形运动变化的思想，能用运动变化的观点看问题。
二、教学重点与难点重点：复习三角形内切圆与外接圆，并学会应用相关知识解决问题。
难点：知识的综合运用。
三、教学过程设计（一）知识回顾：内切圆: _______________________叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的________；三角形内切圆的圆心是三角形____________的交点。
外接圆: _______________________叫三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的________；三角形外接圆的圆心是三角形____________的交点。
（二）牛刀小试1. 如图，ΔABC中，∠A=50°，点I是ΔABC的内心，点O是ΔABC的外心，请分别求出∠BIC、∠BOC的度数.2.如图，Rt△ABC中，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，BC=4，CA=3，求△ABC的内切圆半径r及外接圆半径R.3. 等边三角形△ABC 外接圆半径R 与内切圆半径r 的比值为多少？(三)综合应用如图，⊙O 为△ABD 的外接圆，C 为 AB 的中点，点E 在CD 上，CE=AC ；（1）如图1，求证：E 为△ABD 的内心；（2）如图2，AB 为⊙O 的直径，AB=10，AD=8.①求S △ADE ；②求CEAE 的值。
（3）如图3，AB 为⊙O 的直径，若点D 在⋂AB 上运动，过点E 作EQ ⊥BD 交BD 于Q ，猜想DC OB EQ +的值是否为定值？图3思考：如图，扇形AOD 中，∠AOD=90°，OA=6，点P 为弧AD 上任意一点（不与点A 和D 重合），PQ ⊥OD 于Q ，点I 为△OPQ 的内心，过O ，I 和D 三点的圆的半径为r ．则当点P 在弧AD 上运动时，r 的值满足（ ） A.B.C.D.A （四）总结提升通过这节课的学习你有哪些收获？（五）课后作业1.如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（ ）A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠C 、121802AIB AOB ∠-∠=D 、121802AOB AIB ∠-∠=2.如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,BC 为直径,AD 平分∠BAC 交⊙O 于D,点M 为△ABC 的内心.(1)求证: DM BC 2=;(2)若 =DM。
三角形的内切圆和外接圆
三角形的内切圆和外接圆【基础知识】切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
三角形的内切圆：和三角形三条边都相切的圆，叫三角形的内切圆。
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心。
三角形的外接圆：过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点的交点，叫做三角形的外心。
【例题】1.如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时，⊙C与AB相切？3.已知：如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度数．4. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A ．2B ．3 CD．5. △ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求△ABC 的内切圆的半径长。
6. 任意△ABC 中内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F. 求证：△DEF 是锐角三角形。
7. 如图，已知ABC ∆内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ，求证：ABC ∆是等腰三角形.·ABCOEP【巩固练习】1.一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形2.如右图，I 是ABC ∆的内心，则下列式子正确的是（ ） A 、∠BIC=︒180-2∠A B 、∠BIC=2∠A C 、∠BIC=︒90+∠A/2 D 、∠BIC=︒90-∠A/23.ABC ∆外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ∆的外心是ABC ∆的 。
三角形的内切圆与外接圆探究
三角形的内切圆与外接圆探究三角形是几何学中最基本的形状之一，而其中与三角形相关的内切圆与外接圆更是具有特殊的性质和重要的应用。
本文将探究三角形的内切圆与外接圆的特点、性质，并讨论其在实际问题中的应用。
一、内切圆内切圆是指能恰好与三角形的三条边相切的圆，它的圆心与三角形的三条边各自相切点的连线交于一点，且半径相等。
内切圆与三角形的关系紧密，具有以下重要特点。
1. 内切圆的圆心位置内切圆的圆心与三角形的角平分线交于一点，该点称为三角形的内心。
内心是三角形的一个重要几何特征，其坐标可通过各边长度及角度的计算得到。
2. 内切圆的半径长度内切圆的半径长度由三角形的边长和角度共同决定。
以三角形边长分别为a、b、c，则内切圆的半径r可通过以下公式计算得到：r = (a+b+c) / (2s)其中，s为三角形的半周长，即s = (a+b+c) / 2。
这一公式被称为内切圆半径的公式，也可以通过角度公式进行推导。
3. 内切圆与三角形的面积关系积为S、内切圆的半径为r，则有以下等式成立：S = sr其中的s为三角形的半周长。
这一等式称为三角形面积公式。
从该公式中可以看出，当三角形的面积一定时，内切圆的半径也是固定的。
二、外接圆外接圆是指能恰好通过三角形的三个顶点的圆，它包含整个三角形于其内部，且圆心位于三角形的垂直平分线的交点处。
外接圆也具有一些重要的特性和应用。
1. 外接圆的圆心位置外接圆的圆心与三角形的垂直平分线的交点处于同一点，该点称为三角形的外心。
外心也是三角形的一个重要几何特征，其坐标可通过三个顶点的坐标计算得到。
2. 外接圆的半径长度外接圆的半径长度由三角形的边长决定，可以使用下列公式计算：R = a / (2sinA) = b / (2sinB) = c / (2sinC)其中，R为外接圆的半径，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C为对应边上的角度。
这一公式称为外接圆半径的公式，也可以通过角度公式进行推导。
《三角形的内切圆》 学历案
《三角形的内切圆》学历案一、学习目标1、理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质。
2、能够通过尺规作图作出三角形的内切圆。
3、会运用三角形内切圆的相关知识解决实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）三角形内切圆的概念和性质。
（2）三角形内切圆的作法。
2、难点运用三角形内切圆的性质解决实际问题。
三、学习过程（一）知识回顾1、圆的相关概念：圆心、半径、直径、圆周率等。
2、直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。
3、切线的性质和判定定理。
（二）引入新课我们已经学习了圆和三角形的一些知识，那么圆和三角形能否结合在一起呢？比如，在一个三角形内部能否存在一个圆，使得这个圆与三角形的三边都相切呢？这就是我们今天要学习的三角形的内切圆。
（三）三角形内切圆的概念1、定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。
（四）三角形内切圆的性质1、内心到三角形三边的距离相等，都等于内切圆的半径。
2、三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径乘积的一半。
（五）三角形内切圆的作法1、准备工具：圆规、直尺。
2、步骤：（1）作三角形任意两个内角的平分线，交于一点，这点就是三角形的内心。
（2）以内心为圆心，以内心到三角形一边的距离为半径作圆，这个圆就是三角形的内切圆。
（六）例题讲解例 1：已知三角形 ABC 的三边分别为 5、12、13，求其内切圆的半径。
解：因为 5²＋ 12²＝ 13²，所以三角形 ABC 是直角三角形。
设内切圆的半径为 r，根据三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径乘积的一半，可得：（5 ＋ 12 ＋ 13) × r ÷ 2 ＝ 5 × 12 ÷ 230r ＝ 30r ＝ 1答：三角形 ABC 的内切圆半径为 1。
例 2：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 60°，∠ACB ＝ 80°，点 I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数。
三角形的内切圆与外接圆几何形中的圆与三角形关系
三角形的内切圆与外接圆几何形中的圆与三角形关系在几何学中，三角形与圆之间存在着紧密的关系。
其中，三角形的内切圆和外接圆是研究三角形与圆关系的重要内容。
本文将从内切圆和外接圆的定义、性质和应用三个方面探讨圆与三角形之间的关系。
一、内切圆的定义、性质及应用1. 定义：三角形的内切圆是与三角形的三条边都相切于一点的圆。
2. 性质：（1）内切圆的圆心与三角形的角平分线交于一点，该点称为内切圆心。
（2）内切圆的半径等于三角形三边之和与周长的一半的比值。
（3）内切圆与三角形的接点构成三角形的内切圆切点三角形，内切圆切点三角形的面积是原三角形面积的四分之一。
3. 应用：（1）内切圆可以用于确定三角形的性质和计算其面积。
（2）内切圆与三角形的关系可用于解决一些实际问题，如建筑、机械等。
二、外接圆的定义、性质及应用1. 定义：三角形的外接圆是以三角形三个顶点为圆心的圆。
（1）外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
（2）外接圆的半径等于三角形三边的乘积与面积的比值的倒数。
（3）外接圆的直径等于三角形的周长。
3. 应用：（1）外接圆可以用于确定三角形的性质和计算其面积。
（2）外接圆与三角形的关系可用于解决一些实际问题，如导航算法、航海定位等。
三、圆与三角形的关系及应用举例1. 关系：（1）三角形的内切圆与外接圆都能够确定三角形的性质，如角平分线、垂直平分线等。
（2）内切圆、外接圆与三角形的顶点和边的关系可以用于计算三角形的面积、边长等。
2. 应用举例：（1）在建筑领域，利用三角形内切圆与外接圆的关系可以设计出更加稳固的结构，提高建筑物的稳定性。
（2）在机械制造中，通过三角形内切圆与外接圆的关系可以确定机械零部件的尺寸和装配方式，提高产品的精度和质量。
圆与三角形的关系是几何学中重要的研究内容之一。
通过研究三角形的内切圆和外接圆的定义、性质及应用，我们能够更深入地理解圆与三角形之间的紧密联系。
这种关系不仅在理论上有着重要意义，同时在实际应用中也具有广泛的应用价值。
三角形的内切圆与外接圆的性质比较
三角形的内切圆与外接圆的性质比较三角形是平面几何中最基本的图形之一，它的内切圆和外接圆是与三角形密切相关的重要概念。
本文将比较三角形的内切圆和外接圆的性质，从而更好地理解和应用这两个概念。
一、内切圆的性质内切圆指的是可以刚好与三角形的三条边相切的圆。
接下来我们将讨论内切圆的几个重要性质。
1. 内切圆的圆心在三角形的内部：对于任意一个三角形，它的内切圆的圆心必定在三角形的内部。
这是因为内切圆是与三角形的三条边相切的，而三角形的内角是锐角、直角或钝角，因此内切圆的圆心必然在三角形的内部。
2. 内切圆的圆心与三角形的各边的连线垂直：内切圆的圆心与三角形的各边的连线是垂直的。
这是由内切圆的定义和切线与半径垂直的性质所决定的。
3. 内切圆的半径为三角形三条边的连线的交点到相应边的距离：内切圆的半径可以看作是三角形三条边的连线的交点到相应边的距离。
这个距离等于半周长与面积的比值，即r = S / p，其中r表示内切圆的半径，S表示三角形的面积，p表示三角形的半周长。
二、外接圆的性质外接圆指的是可以刚好与三角形的三个顶点相切的圆。
下面我们将讨论外接圆的一些重要性质。
1. 外接圆的圆心在三角形的外部：对于任意一个三角形，它的外接圆的圆心必定在三角形的外部。
这是因为外接圆是与三角形的三个顶点相切的，而三角形的内角是锐角、直角或钝角，因此外接圆的圆心必然在三角形的外部。
2. 外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线：外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线，且在共线的直线上切割成两个互补的弧。
这个共线的直线被称为三角形的欧拉线。
3. 外接圆的直径等于三角形的对边：外接圆的直径等于三角形的对边。
即在外接圆上，连接三角形的两个顶点和对边的中点，这条线段的长度等于外接圆的直径。
三、内切圆与外接圆的联系与应用内切圆和外接圆有着密切的联系，在很多数学问题和几何证明中都会使用到这两个概念。
1. 内切圆与外接圆的圆心连线垂直：由于内切圆和外接圆的性质，它们的圆心与三角形的对边均垂直。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，而其外接圆与内切圆则是与三角形密切相关的圆形。
外接圆是指可以完全包围住三角形的圆形，而内切圆则是能够与三角形的三条边相切的圆形。
在本文中，我们将探讨三角形的外接圆与内切圆的性质及其相关应用。
一、外接圆外接圆是三角形内切圆的逆过程，它是通过三角形的三个顶点上的点构造而成。
具体而言，三角形的外接圆的圆心位于三角形的三个顶点所组成的三角形垂直平分线的交点上，而半径则等于垂直平分线的长度。
外接圆具有一些重要的性质。
首先，它的直径等于三角形的对边之间的距离。
其次，外接圆的半径与三个半垂线之间的关系是，半径等于三个半垂线的乘积除以三角形的面积。
此外，外接圆的面积可以使用海伦公式计算，即面积等于三角形的边长之和除以2再乘以三角形的半周长减去各边长的和。
外接圆在三角形的几何证明以及建模等方面有着广泛的应用。
在证明中，外接圆常常可以帮助我们找到三角形中的一些特殊点，如重心、垂心、内心等。
在建模中，外接圆的概念可以用来解决一些实际问题，如设计一个圆形体育场的看台或者一个能够最大程度容纳一定数量人的矩形房间等。
二、内切圆内切圆是可以与三角形的三条边相切的圆形，它的圆心位于三角形各边的角平分线的交点上。
内切圆的半径等于内切点到三角形各边的距离，也就是三角形的内角的平分线的长度。
内切圆有许多有趣的性质。
首先，它与三角形的接触点可以构成一条直线，即称为内切圆的接触线。
内切圆的接触线与三角形的边在接触点处垂直。
其次，内切圆的半径与三角形的面积成反比例关系，也就是说，当三角形的面积增大时，内切圆的半径减小，反之亦然。
此外，内切圆的面积可以使用海伦公式计算。
内切圆在几何学领域中有着广泛的应用。
在计算三角形的面积时，内切圆可以为我们提供一个简便的计算方法。
此外，在解决由三角形引申的一些实际问题时，内切圆的概念也能够提供一些有益的参考，如优化货物的最优包装、计算土地规划时最大的利用率等。
九年级数学下册 第27章 圆 27.2 与圆有关的位置关系 27.2.3 内切圆、外接圆学案
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————27.2.3内切圆、外接圆【学习目标】1.知道三角形的内心和外心，掌握圆的内接四边形性质。
2.会用内心、外心、圆的内接四边形性质解决问题。
3.形成严密的思维习惯。
【重点】用内心、外心、圆的内接四边形性质解决问题。
【难点】用内心、外心、圆的内接四边形性质解决问题。
【使用说明与学法指导】先预习课本P43、P47-48、P54圆的内接四边形、外心和内心内容，勾画重点，独立完成导学案，疑惑随时记录在课本或预习案上，准备课上讨论质疑；预习案一、预习导学：1.过一点可以画多少个圆？2.过两点可以画多少个圆，圆心在哪里？3.过三点一定可以画出一个圆吗，说一说怎样的三点可以画圆？4.画出不在同一直线上的三点的圆？5. 如图所示三角形纸片，请在它的上面截一个面积最大的圆形纸片（画三角形的内切圆）。
6.我会概括（1）三角形的外接圆：（2）三角形的内切圆：（3）外心的性质：（4）内心的性质：（5）圆的内接四边形的性质：二、我的疑惑:合作探究探究一：圆的内接四边形的性质例1：如图，圆的内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是3:2:7，求四边形各内角的度数。
探究二：三角形的外接圆例2：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC =6,AD ⊥BC,且AD=5,求△ABC 外接圆⊙O 的半径径.探究三：三 角形的内切圆例3：△ABC 的内切圆⊙O 与AC 、AB 、BC 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5厘米，BC ＝9厘米，AC ＝6厘米，求AE 、BF 和CD 的长。
当堂练习1.已知点O 是△ABC 的外心，∠BOC=130°，则∠BAC= 度。
2.已知点O 是△ABC 的内心，∠BOC=130°，则∠BAC= 度。
3.己知一个三角形的三边长分别是6、8、10，则这个三角形的外接圆的半径为 ， 内切圆的半径为 。
4.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB=40°，则∠A 的度数是 。
解三角形之高线内切圆外接圆导学案-高三数学一轮复习(9)
学科 数学 年级 时间 年 月 日课题 解三角形之高线、内切圆、外接圆课型课时 第1课时 主备教师学习目标掌握三角形高线、内切圆、外接圆相关性质，应用性质解三角形一、必备知识 1.高的处理方法：（1）.等面积法：两种求面积公式 如11sin 22S bc A BC AD ==⨯（2）.三角函数法：cos ,sin ,BCD BD AB ABD AD AB ABD ∆=∠=∠在中，2.内切圆：等面积构造法求半径()212S S a b c r r a b c∆∆=++⇔=++3.外接圆：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。
锐角三角形外心在三角形内部。
直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 为 外接圆半径 二、典例剖析例1.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin 3sin 0a b A B c a C +-+-=. (1)求角B 的大小；(2)若BC 边上的高为b c -，求sin A .例2.在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C ，的对边，已知()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=-． (1)求角A ；(2)若2a =，且ABC 的内切圆半径34r =，求ABC 的面积例3.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径2R =，且2sin tan tan cos AB C C+=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．三、课后练习1.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2223sin 2a b c c A b c b+-+=+.(1)求角A ；(2)若ABC 是钝角三角形，且2b c =+，求ABC 外接圆半径的取值范围.2.已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos a b C =． （1）判断ABC 的形状并证明；（2）若30C =︒，ABC 的面积23S =，求ABC 的内切圆半径r ．。
九年级数学辅导： 圆 三角形的内切圆和外接圆
弦切角与三角形的内切圆【知识要点】1．弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边 的角。
弦切角定理： 2．三角形的内切圆（1）与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等。
（2）直角三角形内切圆半径2a b c r +-=，任意三角形内切圆半径2Sr a b c=++。
（S 为此三角形的面积） 【典型例题】例1、（1）如图1，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 的两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，∠A= ．（2）如图2，CA 为⊙O 的切线，切点为A ，点B 在⊙O 上，如∠CAB=55°，∠AOB= ．（3）如图3，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，则∠ABO =∠-APB 21． （4）如图4，AB 是⊙O 的直径，CE 切⊙O 于点C ，AB CD ⊥，D 为垂足，AB=12cm ，∠B=30°，则 ∠ECB= ，CD= ．例2、如图所示，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PCD 为割线．求证：BC AD BD AC ⋅=⋅图1· A D OB EF·AB CO 图2图3A B PO·图4·ABDC EOPAEC例3、如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，AD 交于三角形的外接圆交于点D ，∠BAC=40o ， 求∠BCD 及CD 的度数。
例4、如图所示，⊙O 是ABC ∆的外接圆，PD 是⊙O 的切线，与AC 的延长线交于点P ，D 是切点，且BC ∥DP ．求证：CP BD DP DE ⋅=⋅例5、如图，ABC ∆的三边长为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆⊙I 的半径为r ，⊙I 与三边切于D 、E 、F 。
求证：2Sr a b c=++。
例6、填空和选择（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 （2）如右图，I 是ABC ∆的内心，则下列式子正确的是（ ）A 、∠BIC=︒180-2∠AB 、∠BIC=2∠AC 、∠BIC=︒90+∠A/2D 、∠BIC=︒90-∠A/2 （3）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ． （4）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为R r ,，则R r := ． （5）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于 ．（6）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 ．︵·I ABC· ACE DBO【经典练习】一、填空题1．如图1，⊙I 切△ABC 于D 、E 、F ，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B=_____。
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“体验型课堂”学习方案数学（九年级下册）班级：姓名：
§复习三角形的外接圆和内切圆
编写者：沈荣武审核者：沈荣武
【学习导言】
1、了解三角形的外接圆及外心，内切圆及内心的概念；
2、会画已知三角形的外接圆和内切圆；
3、理解三角形外心和内心的性质；
4、会运用三角形的外接圆和内切圆的有关知识解决有关问题．
课前尝试（读一读，试一试）
【读一读】阅读教材P57到P59，并记下问题．
【试一试】
1. 请画出锐角三角形的外接圆和内切圆．
2.三角形的外心和内心的比较：
3．⊿ABC中，∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边c，若a=3，b=4，c=5，则这个三角形的内
切圆半径是；外接圆半径是．
4.设⊿ABC的面积为10，周长为10，它的内切圆的半径为．
课内体验（改一改、理一理、辩一辩、测一测）
【改一改】审视学案，交流并修改《试一试》。
【理一理】审视学习要点，思考提出问题，理清知识结构。
【辩一辩】
：
例1、填空：（1）如图，△ABC中，∠A=50°，其内切圆⊙I切△ABC 于D、E、F，
则，∠BIC＝度；∠FDE＝度．
（2）设O为△ABC的外心，若∠AOB=100°，求∠ACB的度数，说明理由．
F
E
B
D
C
A
I
例2、已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E．
求证：EB=EI=EC．
例3已知：⊿ABC中，AB=AC=5,BC=4，O是它的外心，I是它的内心。
请在图形中补上点I 和点O．试求：IO的长．
【测一测】
A组1.判断．
(1)三角形的外心到三角形各边的距离相等．（）(2)直角三角形的外心是斜边的中点．（）2．填空：（1）直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径，内切圆半径．（2）等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比．
三、选择题：
3．下列命题正确的是（）
A．三角形外心到三边距离相等；B．三角形的内心到三个顶点的距离相等；
C．等边三角形的内心、外心重合；D．三角形不一定内切圆；
４.已知正三角形的边长为１０cm．求它的内切圆和外接圆半径．
５．△ABC中，∠ACB＝30°，∠ABC＝26°，O为外心，求∠CAO的大小．
6.如图，⊿ABC是圆内接正三角形，P为劣弧
上一点，已知
AB=,PA=6.（1）求证：
PB+PC=PA；（2）求PB、PC的长（PB＜PC）.
课后反审（审一审、做一做）
【审一审】再仔细审查学案，用红笔作出示意。
【做一做】作业本
D
A
B C
E
I
D
A
C B
A
B。