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上海延安中学2012学年度高一第二学期数学期中试卷和答案

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人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

高一数学期中考试题及答案

高一数学期中考试题及答案

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。

A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {2,3}D. {1,4}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值是多少？A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知直线y=-3x+5与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 5)B. (1, 2)C. (5/3, 0)D. (0, 0)6. 已知sin(α)=3/5，α∈(0,π)，求cos(α)的值。

A. 4/5B. -4/5C. √(1-(3/5)^2)D. -√(1-(3/5)^2)7. 一个函数f(x)是奇函数，且f(1)=2，求f(-1)的值。

A. 2B. -2C. 0D. 18. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 7C. 8D. 99. 已知一个函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。

A. -2B. 0C. 2D. 410. 已知一个等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项的值。

A. 162B. 243C. 486D. 729二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求对称轴的方程。

___________________________12. 已知等比数列的前n项和为S_n=3^n-1，求首项a1。

___________________________13. 已知正弦定理公式为a/sinA=b/sinB=c/sinC，求三角形ABC的面积，已知a=5，sinA=3/5。

___________________________14. 已知某函数的导数f'(x)=6x^2-4x+1，求f'(1)的值。

上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案

上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案

高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，那么x 等于 .2. 2lg 3lg 91lg 27lg8lg 1000lg 0.3lg1.2-+-= .3.若21a b a >>>，则log ,log ,log bb a b a b a的大小顺序是 . 4.函数()212log 617y x x =-+的值域是 . 5．函数223y x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是 .6.若方程()22log 222ax x -+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，则实数a 的取值范围是 . 7.已知一个扇形的周长为6，该扇形的中心角为1弧度，则该扇形的面积是 .8.已知点()sin cos ,tan P θθθ-在第一象限，则在[]0,2π内θ的取值范围是 .9.已知()1sin 34πθ+=，求()()()()()()cos cos 2cos 2cos cos cos cos 1πθθπθππθθθπθ+-+=+++-+-⎡⎤⎣⎦ . 10.已知tan 1tan 1αα=--，则sin 3cos sin cos αααα-=+ . 11.求值：4466sin cos 1sin cos 1αααα+-=+- . 12.函数()f x 满足()()1cos 02f x x x π=≤≤，则4sin 3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 13.若()()54cos ,sin ,,,0,13522ππαβααβπ⎛⎫-==-∈-∈ ⎪⎝⎭，则cos β= . 14.若sin sin sin 0,cos cos cos 0αβγαβγ++=++=，则()cos αβ-= .二、选择题：15．已知221,0,0x y x y +=>>，且()1log 1,log 1a a x m n x+==-，则log a y 等于 A. m n + B. m n - C.()12m n + D.()12m n - 16．函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象关于 A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D.直线y x =对称17．已知()()log 10,1a g x x a a =+>≠，在()1,0-上有()0g x >，则()1x f x a +=在A.(),0-∞上递增B.(),0-∞上递减C.(),1-∞-上递增D. (),1-∞-上递减18=，则α的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限19．锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为A. 3π-B. 3π-C. 32π-D.32 20．如果θ是第一象限角，那么恒有 A. sin 02θ> B. tan 12θ< C. sin cos 22θθ> D.sin cos 22θθ<三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21.已知1sin cos 3αα+=，其值： （1）sin cos αα；（2）33sin cos αα+（3）55sin cos αα+.22.已知()()2121x x a f x a R ⋅-=∈+是R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）求()f x 的反函数；（3）对任意()0,k ∈+∞的解不等式()121log x f x k-+>.23.已知α是锐角. （1）如果()tan cot 3log sin 4ααα-=-，求tan log cos αβ的值； （2）如果7sin sin 8αβ=，且1tan tan 4αβ=，求csc α的值.22.已知函数()()()log 30,1a f x x a a a =->≠，当点(),P x y 是函数图象上的点时，点()2,Q x a y --是函数()y g x =的图象上的点.（1）写出函数()y g x =的解析式；（2）当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，试确定a 的取值范围.。

2023年上海延安中学高一下期中数学试卷及答案

2023年上海延安中学高一下期中数学试卷及答案

2023年延安中学高一年级下学期期中试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.―2023°的终边在第_________象限.2.已知1cos 3α=，则cos 2=α__________．3.在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 的正半轴，顶点为坐标原点，若角α的终边经过点()1,2-，则sin α=__________.4.若34AB a b =- ，53AC a b =+ ，则BC =_________.5.若扇形的圆心角为30°，半径为2，则该扇形的面积为__________.6.函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为______.7.已知3sin 5x =-，[]π,πx ∈-，则x =_________.8.已知tan 2θ=，则sin cos(2)23cos sin()2πθπθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭________．9.已知函数sin y x =在定义域为π,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为1,2⎡-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为_________.10.若存在常数a 使关于xcos x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同解123,,x x x ，则123x x x ++=_________.11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4S b c a =+-，则B ∠=__________．12.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x <时，()0f x <；若对任意π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()4sin 22sin cos 320sin cos f m f m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭恒成立，则实数m的取值范围是__________.二、选择题（每小题3分，共12分）13.“α是锐角”是“α是第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.在下列函数中，既是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的严格增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是（）A.sin 2y x =B.cos 2y x =C.sin y x= D.sin y x=15.对于函数()sin(26f x x π=+,下列命题①函数图象关于直线12x π=-对称;②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把sin 2y x =的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把sin()6y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是(▲)A.0B.1C.2D.316.设函数()()()3cos 0f x x ωϕω=+>，若π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()π0f =，()f x 在ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上为严格减函数，那么ω的不同取值的个数为（）A.5B.4C.3D.2三、解答题（共52分）17.已知tan tan αβ、是方程240x ++=的两根，且ππππ,2222αβ-<<-<<求：（1）()tan αβ+（2）αβ+18.已知三个内角、、A B C 所对的边分别为1,,4,cos 4a b c a B ==-，（1）若sin 2sin A C =，求ABC 的面积；（2）设线段AB 的中点为D，若CD =，求ABC 外接圆半径的值.19.某同学用“五点法”画函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：（1）请写出表格中空格处的值，写出函数()f x 的解析式，并画出函数()f x 的大致图像；（2）将函数()f x 的图像向右平移2π3个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，求()123log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦的单调减区间.20.随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C A ---为某区的一条健康步道，,AB AC 为线段， BC是以BC 为直径的半圆，AB =，4AC =km.π6BAC ∠=（1）求 BC的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A D C --（B D 、在AC 两侧），其中,AD CD 为线段.若π3ADC ∠=，求新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道A B C --的路程增加多少长度？21.已知函数()22cos cos f x x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期，值域；（2）定义：对于任意实数1x ，2x ，{}11212212,max ,,x x x x x x x x ≥⎧=⎨<⎩，设()}maxsin ,cos g x x a x =，x ∈R （a 为常数），若对任意1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()12g x f x =恒成立，求实数a 的取值范围.2023年延安中学高一年级下学期期中试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.―2023°的终边在第_________象限.【答案】二【解析】【分析】利用角终边相同公式得到α的终边与137︒的终边相同，从而得到α的终边所在象限.【详解】因为20233606137α=-︒=-︒⨯+︒，而90137180︒<︒<︒，所以α的终边在第二象限.故答案为：二.2.已知1cos 3α=，则cos 2=α__________．【答案】79-【解析】【详解】1cos 3α=()217cos 22cos 12199αα∴=-=⨯-=-3.在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 的正半轴，顶点为坐标原点，若角α的终边经过点()1,2-，则sin α=__________.【答案】5-【解析】【分析】直接根据三角函数的定义即可得结果.【详解】由于角α的终边经过点()1,2-，所以25sin 5α==-，故答案为：5-.4.若34AB a b =- ，53AC a b =+ ，则BC =_________.【答案】27a b + ##72b a+【解析】【分析】根据BC AC AB=-计算得到答案.【详解】()()533427a B AC AB b b bC a a -=+-=-=+故答案为：27a b+5.若扇形的圆心角为30°，半径为2，则该扇形的面积为__________.【答案】π3【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，圆心角为α，半径为r ，π6α=，2r =.所以扇形的面积为2111ππ422263S rl r α===⨯⨯=.故答案为：π36.函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为______.【答案】3,,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】tan y x =的增区间是,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，由此可列式求解.【详解】令24x πα=-，因为tan y α=的增区间是,,22k k k Z ππαππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭，所以2,224,k k k x Z πππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭-，所以3,,2828x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈⎪⎝⎭.故答案为3,,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.7.已知3sin 5x =-，[]π,πx ∈-，则x =_________.【答案】3arcsin 5-或3πarcsin 5-+【解析】【分析】首先确定[π,0]x ∈-，然后根据反正弦函数的定义求解．【详解】3sin 5x =-，[]π,πx ∈-，则[π,0]x ∈-，所以3arcsin 5x =-或3πarcsin 5-+.故答案为：3arcsin5-或3πarcsin 5-+．8.已知tan 2θ=，则sin cos(2)23cos sin()2πθπθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭________．【答案】12-【解析】【分析】由已知利用诱导公式化简，再利用同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】因为tan 2θ=，所以sin()cos(2)cos cos 1123sin sin tan 2cos()sin()2πθπθθθπθθθθπθ-+-+==-=------．故答案为：12-．9.已知函数sin y x =在定义域为π,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为31,2⎡-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为_________.【答案】4ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由定义域和对应的值域即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题意，在sin y x =中，定义域为π,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为32⎡-⎢⎣⎦，周期为2π，∴π331sin 2a x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，解得：4ππ32a -≤≤-，故答案为：4ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.10.若存在常数a 使关于xcos x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同解123,,x x x ，则123x x x ++=_________.【答案】8π3##8π3【解析】【分析】方程化为πsin(62a x +=，由函数πsin(6y x =+在[0,2π]x ∈上的图象，可得1a =满足题意，由此可求得123,,x x x ，即可得结论．cos x x a +=即为πsin(62ax +=，由于πsin(6y x =+的最小正周期是2π，作出πsin(6y x =+在[0,2π]x ∈时的图象，如图，只有直线12y =与它有三个交点，cos x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同解123,,x x x ，不妨设123x x x <<，则10x =，32πx =，由2ππsin()sin 66x +=，得22π3x =，所以1238π3x x x ++=．故答案为：8π3．11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4S b c a =+-，则B ∠=__________．【答案】4π【解析】【详解】试题分析：∵222cos 2b c a A bc+-=，∴22211sin ()24S bc A b c a ==+-，∴11sin 2cos 24bc A bc A =⨯，∴tan 1A =，4A π=．∵cos cos sin a B b A c C +=，∴2sin()sin A B C +=，∴sin 1C =，∴2C π=，∴4B π=．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得tan 1A =，可得4A π=，再用正弦定理把cos cos sin a B b A c C +=中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得90C =︒，最后根据三角形内角和，进而求得B ．12.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x <时，()0f x <；若对任意π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()4sin 22sin cos 320sin cos f m f m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是__________.【答案】()3,+∞【解析】【分析】采用赋值法可求得()f x 为奇函数，由奇函数性质可确定当0x >时，()0f x >；利用已知关系式可将不等式化为()()4sin 22sin cos 320sin cos f m m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，令πsin cos4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，采用分离变量法可得2m t t >+，结合对勾函数性质可求得结果.【详解】令120x x ==，则()()()000f f f =+，解得：()00f =；取1x x =，2x x =-，则()()()f x x f x f x -=+-，即()()0f x f x +-=，()f x \为定义在R 上的奇函数；当0x <时，()0f x <，∴当0x >时，()0f x >；令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1t θθθ==-，当π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π2sin ,142θ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，t ⎡∴∈⎣；由()()()4sin 22sin cos 320sin cos f m f m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭得：()()4sin 22sin cos 320sin cos f m m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭；()()4sin 22sin cos 320sin cos m m θθθθθ∴-++-++>+，即()2412320t m t m t --+-++>，()()()2222t t m t t t-∴->-+，t ⎡∈⎣，22t ⎡⎤∴-∈⎣⎦，2m t t∴>+，2y t t =+在⎡⎣上单调递减，max 2123t t ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，3m ∴>，即m 的取值范围为()3,+∞.故答案为：()3,+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的恒成立问题的求解；本题的解题关键是能够采用赋值法，结合抽象函数关系式得到函数的奇偶性，结合已知关系式可将恒成立的不等式转化为自变量满足的不等式，从而采用分离变量法进行求解.二、选择题（每小题3分，共12分）13.“α是锐角”是“α是第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据锐角与象限角的概念及充分条件、必要条件求解.【详解】因为α是锐角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400︒是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件，故选：A14.在下列函数中，既是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的严格增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是（）A.sin 2y x =B.cos 2y x =C.sin y x =D.sin y x=【答案】C 【解析】【分析】由周期性排除一个选项，由奇偶性排除一个选项，再由单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】选项ABC 中函数的最小正周期都是π，而选项D 中函数不是周期函数，其图象如下所示：排除D ；易知函数sin 2y x =是奇函数，排除A ；π(0,)2x ∈时，2(0,π)x ∈，则cos 2y x =是减函数，排除B ；根据函数sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上严格单调递增，且其最小正周期为2π，则()sin x y f x ==在在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上严格单调递增，其最小正周期为π，且()()()sin sin sin f x x x x f x -=-=-==，又因为其定义域为R ，则其为偶函数，故C 正确，故选：C ．15.对于函数()sin(26f x x π=+,下列命题①函数图象关于直线12x π=-对称;②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把sin 2y x =的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把sin()6y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是(▲)A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【详解】考点：正弦函数的对称性；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．专题：综合题．分析：①把x=-π12代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；②把x=5π12，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移个π6单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y=sin （x+π6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．解答：解：①把x=-π12代入函数f （x ）=sin （2x+π6）=0，所以，①不正确；②把x=5π12，代入函数f （x ）=sin （2x+π6）=0，函数值为0，所以②正确；③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移π6个单位得到函数为f （x ）=sin （2x+3π），所以不正确；④函数图象可看作是把y=sin （x+π6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数f （x ）=sin （2x+π6），正确；故选C ．点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．16.设函数()()()3cos 0f x x ωϕω=+>，若π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()π0f =，()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上为严格减函数，那么ω的不同取值的个数为（）A.5 B.4C.3D.2【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期T 的范围，从而得ω的范围，再由函数值为0得出,ωϕ的关系式，从而得出216()5k k ω=-，12,Z k k ∈，取出可能的ω，确定出ϕ值，即可得结论．【详解】π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上为严格减函数，则ππ436T ≥-，2π3T ≥又π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()π0f =，因此π5ππ266T ≤-=，5π3T ≤，又0ω>，所以2π2π5π33ω≤≤，即635ω≤≤，由ππ()3cos()066(π)3cos(π)0f f ωϕωϕ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，则1πππ62k ωϕ+=+且2πππ2k ωϕ+=+，12,Z k k ∈，216()5k k ω=-，12,Z k k ∈，因此ω=65，125，若65ω=，则12πππ526πππ52k k ϕϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，取3π10ϕ=，63π()3cos()510f x x =+满足题意，若125ω=，则122πππ5212πππ52k k ϕϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，取10πϕ=，12π()3cos(510f x x =+满足题意，ω的值有2个．故选：D ．三、解答题（共52分）17.已知tan tan αβ、是方程240x ++=的两根，且ππππ,2222αβ-<<-<<求：（1）()tan αβ+（2）αβ+【答案】（1（2）2π3-【解析】【分析】（1）利用韦达定理可得tan tan tan tan 4αβαβ+=-=，再利用两角和的正切公式即可得解；（2）先判断tan tan αβ、的符号，从而可求得,αβ的范围，即可得出αβ+的范围，从而可得出答案.【小问1详解】解：因为tan tan αβ、是方程240x ++=的两根，所以tan tan tan tan 4αβαβ+=-=，所以()tan tan 33tan 1tan tan 14αβαβαβ+-+===--；【小问2详解】解：因为tan tan tan tan 4αβαβ+=-=，所以tan 0,tan 0αβ<<，故ππ0,022αβ-<<-<<，所以π0αβ-<+<，所以2π3αβ+=-.18.已知三个内角、、A B C 所对的边分别为1,,4,cos 4a b c a B ==-，（1）若sin 2sin A C =，求ABC 的面积；（2）设线段AB 的中点为D ，若CD =，求ABC 外接圆半径的值.【答案】（1（2）4105【解析】【分析】（1）由题知2a c =，进而根据余弦定理，结合已知得b =，sin 4B =，再根据三角形面积公式计算即可；（2）在BCD △中由余弦定理得2c =，进而在ABC 中，b =，再根据正弦定理求解即可.【小问1详解】解：因为sin 2sin A C =，所以2a c =，因为14,cos 4a B ==-，所以2c =，因为()0,B π∈，所以215sin 1cos 4B B =-=，所以ABC 的面积为1115sin 4215224ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△.【小问2详解】解：因为线段AB 的中点为D ，19CD =，14,cos 4a B ==-，所以在BCD △中，由22221619124cos 4422c ca CD B c c a ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭===-⋅⋅，解得2c =（6c =-舍），所以在ABC 中，2222cos 24b a c ac B =+-=，即26b =，因为()0,B π∈，所以215sin 1cos 4B B =-=，所以由正弦定理得ABC 外接圆半径R 满足268102sin 5154b R B ===，所以ABC 外接圆半径4105R =19.某同学用“五点法”画函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x2π3-π310π3（1）请写出表格中空格处的值，写出函数()f x 的解析式，并画出函数()f x 的大致图像；（2）将函数()f x 的图像向右平移2π3个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，求()123log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦的单调减区间.【答案】（1）4π7π,33，，()1π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象见解析（2）ππ(2π,2π](Z)62k k k ++∈【解析】【分析】（1）根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可；（2）根据平移变换及周期变换的规则可得函数()g x 的解析式,求出定义域，再由复合函数的单调性求解即可.【小问1详解】设第一行两个数分别为12,x x ，第四行待求数为2y ，依题意可知，2π03ππ32ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得123ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又ππsin 32f A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故由11ππ23x +=，21π3π232x +=，解得124π7π,33x x ==，又2221π3π()232f x y x ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭=，综上：124π7π,33x x ==，2y =()1π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,函数图象为：【小问2详解】函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，得到12ππ12332y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x x =，函数()123log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦中，()302g x ->，即()32g x >，所以()32g x x =>，即1sin 2x >，所以π5π2π2π,Z 66k x k k +<<+∈，即函数的定义域为()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎫++∈⎪⎝⎭，因为12log y t =为减函数，所以当2t x -=为增函数时，即ππ2π2π,Z 62k x k k +<≤+∈时，函数()123log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦为减函数.即函数的单调减区间为ππ(2π,2π](Z)62k k k ++∈.20.随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C A ---为某区的一条健康步道，,AB AC 为线段， BC是以BC为直径的半圆，AB =，4AC =km.π6BAC ∠=（1）求 BC的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A D C --（B D 、在AC 两侧），其中,AD CD 为线段.若π3ADC ∠=，求新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道A B C --的路程增加多少长度？【答案】（1）πkm（2）8π--【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得BC ，从而求得 BC的长度（2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道A D C --的最长路程，由此求得增加的长度.【小问1详解】联结BC ，在ABC 中，由余弦定理可得，2BC ===，所以 12π1π2BC=⨯⨯⨯=，即 BC的长度为()πkm ；【小问2详解】记AD a,CD b ==，则在ACD 中，由余弦定理可得：22π2cos163a b ab +-=，即2216a b ab +-=，从而()221631632a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭所以()21164a b +≤，则8a b +≤，当且仅当4a b ==时，等号成立；新建健康步道A D C --的最长路程为()8km ，故新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道A B C --的路程增加)8πkm --21.已知函数()22cos cos f x x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期，值域；（2）定义：对于任意实数1x ，2x ，{}11212212,max ,,x x x x x x x x ≥⎧=⎨<⎩，设()}maxsin ,cos g x x a x =，x ∈R （a 为常数），若对任意1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()12g x f x =恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为πT =，值域为[]1,3-.（2）2323,33a ⎡∈-⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）结合二倍角余弦公式和辅助角公式化简()f x ，由三角函数的性质求解即可；（2）根据题意可得，()()()()min min max max ,g x f x g x f x ≥≤，求出()g x 的值域，列出关于a 的不等式组，即可求解.【小问1详解】()2π2cos cos cos 2212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，因为x ∈R ，所以[]πsin 21,16x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以π2sin 216x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭[]1,3-，所以函数()f x 的值域为[]1,3-.【小问2详解】若对于任意1R x ∈，总存在2R x ∈，使得()()12g x f x =恒成立，则(){}(){}y y g x y y f x =⊆=，}sin sin cos()max sin,coscos,cos sinx x a xg x x a xa x a x x≥==>⎪⎩，sin cosx a x≥sin cos0x a x-≥，即πsin06a x⎛⎫-≥⎪⎝⎭，若0a≥，则πsin06x⎛⎫-≥⎪⎝⎭，即π2π2ππ,Z6k x k k≤-≤+∈，即π7π2π,2π66x k k⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()sin2g x x a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，同理当cos sina x x>，即5ππ2π,2π66x k k⎛⎫∈-++⎪⎝⎭时，()cos,2g x a x a a⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，故()32g x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3123aa≥⎧⎪⎪-≥-⎨≤，解得230,3a⎡∈⎢⎣⎦，所以实数a 的取值范围是230,3⎡⎢⎣⎦.若a<0，则πsin06x⎛⎫-≤⎪⎝⎭，即π2ππ2π,Z6k x k k-≤-≤∈，即5ππ2π,2π66x k k⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦时，()3sin,2g x x a⎤=∈⎥⎣⎦，同理当cos sina x x>，即π7π2π,2π66x k k⎛⎫∈++⎪⎝⎭时，()cos,2g x a x a a⎛⎤=∈-⎥⎝⎦，故()3,2g x⎤∈⎥⎣⎦，所以3123aa<⎧≥-⎨⎪⎪≤⎩，解得23,03a⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭，故2323,33a⎡∈-⎢⎣⎦。

上海高一下学期期中数学试题(解析版)

上海高一下学期期中数学试题(解析版)

一、填空题1．终边落在轴负半轴的角的集合为______. x α【答案】.{|2ππ,Z}x x k k =+∈【分析】根据终边相同角的表示方法，即可求解.【详解】根据终边相同角的表示方法，可得终边轴负半轴的角的集合为. x α{|2ππ,Z}x x k k =+∈故答案为：. {|2ππ,Z}x x k k =+∈2．已知,则________tan 2α=2cos 2(sin cos )ααα=-【答案】3-【分析】先根据二倍角余弦公式化简，再利用弦化切，代入切的值计算得结果.【详解】2222cos 2cos sin cos sin 1tan 123(sin cos )(sin cos )cos sin 1tan 12ααααααααααααα-+++=====------故答案为：3-【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及切化弦方法，考查基本分析求解能力，属基础题.3．已知，，则=_____1tan()62πα+=tan(36πβ-=tan()αβ+【答案】7-【分析】,然后由两角和的正切公式可得.()()66ππαβαβ+=++-【详解】根据两角和的正切公式可得:tan()tan[()(66ππαβαβ+=++-tan()tan()661tan()tan()66ππαβππαβ++-=-+-. 1321132+=-⨯7=-故答案为:.7-【点睛】本题考查了两角和的正切公式,属于基础题.解题关键是将拆成两个已知角αβ+之和.66ππαβ++-4．若，则的取值范围是______. 2cos 1mx m =+m 【答案】1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过讨论的取值范围，即可得出，进而求出的取值范围. cos x 1mm +m 【详解】由题意，R x ∈，而， 2cos 1mx m =+1cos 1x -≤≤则， 2111mm -≤≤+当时，解得或； 211mm ≥-+1m <-13m ≥-当时，解得， 211mm ≤+11m -<≤综上：.1,13m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：.1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______． 【答案】2rad 【分析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为，根据题意，由，求解.α24R l +=112lR =【详解】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为， α则．①24R l +=由扇形的面积公式，得．②12S lR =112lR =由①②得，， 1R =2l =∴． 2rad lRα==∴扇形的圆心角为． 2rad 故答案为： 2rad6．方程的解集为______.)()lglg cos x x =-【答案】5π2π,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】根据题意，由对数函数的单调性化简，再结合三角函数的运算，即可得到结果.【详解】在上単调递增，由，lg y x = ()0,∞+∴)()lg lg cos x x =-，即，所以，，cos x x =-tan x =5ππ6x k =+k ∈Z 又，，，，sin 0x >cos 0x ->π2π2ππ2k x k ∴+<<+k ∈Z 即是第二象限角，即解集为.x 5π2π,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 故答案为: .5π2π,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z7．在内，使成立的的取值范围为____________ ()0,2πsin cos x x ≤x 【答案】50,,244πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】把不等式变形为,不等式的左边用辅助角公式变形为正弦型函数的形式,运用sin cos 0x x -≤正弦型函数的正负性,.可以求出的取值范围.x【详解】,即sin cos sin cos 0)0222()44x x x x x k x k k Z ππππππ≤⇒-≤⇒-≤⇒+≤-≤+∈,又因为,所以.5922()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈()0,2x π∈50,,244x πππ⎛⎤⎡⎫∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭故答案为50,,244πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【点睛】本题考查了三角不等式的解法,应用辅助角公式是解题的关键.本题还可以在同一直角坐标系内画出函数,的图象,运用数形结合思想可以解出, 还可以画出单位圆,sin cos y x y x ==、()0,2x π∈利用正弦线和余弦线的知识也可以解答出来. 8．若，则函数的最大值为_________ ．42x ππ<<3tan 2tan y x x =【答案】-8【详解】试题分析：设2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴2tan t x =当且仅当时成立()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----2t =【解析】函数单调性与最值9．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经xOy θx 过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正()00,P x y OP r =0r >00sos y x rθ+=sos θ余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是______.（填上所有正确的序号）sos y θ=①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线⎡⎣3π4x =对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 2π【答案】①④【分析】利用三角函数的定义得到，，0cos x r x =0sin y r x =，再逐项判断. 00πsos sin cos 4y x y x x x x r +⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭【详解】对于①：由三角函数的定义可知，，0cos x r x =0sin y r x =，故①正确； 00πsos sin cos 4y x y x x x x r +⎛⎫⎡∴===+=+∈ ⎪⎣⎝⎭对于②：由于，，πsos 4y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()π00104f ⎛⎫∴=+=≠ ⎪⎝⎭函数关于原点对称是错误的，故②错误；∴对于③：当时， 3π4x =3π3πππ0444f ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象关于对称是错误的，故③错误： ∴3π4x =对于④：由于，函数为周期函数，且最小正周期为，故④正确，πsos 4y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴2π综上，故正确的是①④. 故答案为：①④10．函数的值域为________.()()224sin164xf x x x x π=-+-≤≤【答案】[]3,29【分析】分析函数在区间的单调性，利用单调性得出函数的最大值和最小()y f x =[]1,6()y f x =值，由此可得出函数的值域.()()16y f x x =≤≤【详解】设，，作出函数在区间上的图象如下图所()22g x x x =-()4sin4xh x π=-()y g x =[]1,6示：可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ()y g x =[]1,2[]2,6当时，，由，得，由，得，所以，16x ≤≤3442x πππ≤≤442x πππ≤≤12x ≤≤3242x πππ≤≤26x ≤≤函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，()y h x =[]1,2[]2,6则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，()()()f x g x h x =+[]1,2[]2,6所以，， ()()2min 222224sin34f x f π==-⨯+-=又， ()211214sin54f π=-⨯+-=()2666264sin 294f π=-⨯+-=，，()()16f f <()()max 629f x f ∴==因此，函数的值域为.()()224sin164xf x x x x π=-+-≤≤[]3,29故答案为.[]3,29【点睛】本题考查函数值域的求解，将函数分拆成两个简单函数来分析单调性，进而分析原函数的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．已知，则的取值范围是______. 223sin 2sin 5sin αβα+=22sin sin αβ+【答案】{}130,29⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意得到，求得或，结合22530sin sin sin 122βαα≤=-≤20sin 3α≤≤sin 1α=，即可求解.22251sin sin sin sin 22αβαα+=-【详解】因为，可得，223sin 2sin 5sin αβα+=22530sin sin sin 122βαα≤=-≤解得或， 20sin 3α≤≤sin 1α=又由22251sin sin sin sin 22αβαα+=-因为，或，所以.20sin 3α≤≤sin 1α={}25113sin sin 0,2229αα⎡⎤-∈⋃⎢⎥⎣⎦故答案为：.{}130,29⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦12．已知函数，（），若函数在区间内没有()2sincoscos 22f x x x x ωωω=-0ω>R x ∈()f x ()π,2π零点，则的取值范围为_______.ω【答案】1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先由二倍角公式和辅助角公式得到，再令，得到()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0f x =，，根据函数在区间内没有零点，得到，然后ππ4k x ωω=+Z k ∈()f x ()π,2π()πππ,2π4k x ωω=+∉由，得到k 的范围，然后将函数在区间内没有零点，转化为在()πππ,2π4k ωω+∈()f x ()π,2π内没有整数求解.11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭【详解】解：，()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由，得，即，. ()0f x =ππ4x k ω-=ππ4k x ωω=+Z k ∈函数在区间内没有零点，()f x ()π,2π，若. ()πππ,2π4k x ωω∴=+∉()πππ,2π4k ωω+∈则， 11244k ωω-<<-若函数在区间内没有零点，等价于在内没有整数，()f x ()π,2π11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭则，即， 12π2πππ2ω⋅≥-=01ω<≤若内有整数，.11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭则当时，由，得，即0k =110244ωω-<<-1418ωω⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩1184ω<<若当时，由，得，即，此时.1k =111244ωω-<<-5458ωω⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩5584ω<<518ω<≤当时，由，得，即此时超出范围.2k =112244ωω-<<-9498ωω⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩9984ω<<ω即若内有整数，则或.11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭1184ω<<518ω<≤则若内没有整数，则或，11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭108ω<≤1548ω≤≤故答案为：.1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、单选题13．若在中，是的（ ）条件 ABC A ""A B >"sin sin "A B >A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要 D ．既非充分又非必要【答案】C【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得A B >a b >sin sin a bA B=．sin sin A B >若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知． sin sin A B >sin sin a bA B=a b >A B >所以，“”是“”的充要条件． A B >sin sin A B >故选：C ．14．已知知 △ABC 内接于单位圆.则长为sin A 、sin B 、sin C 的三条线段（ ） . A ．能构成一个三角形， 其面积大于△ABC 面积的 12B ．能构成一个三角形， 其面积等于△ABC 面积的 12C ．能构成一个三角形， 其面积小于△ABC 面积的 12D ．不一定能构成三角形 【答案】C【详解】由正弦定理得，故以sin A 、sin B 、sin C 组成的三角形与△ABC 2sin sin sin a b c A B C===相似， 其面积为△ABC 面积的, 选C. 1415．把时，下列关于辅助角的表述中，不正确的是sin cos (0)a b ab θθ+≠)θϕ+ϕ（ ）A ．辅助角一定同时满足ϕsin ϕ=cos ϕ=B ．满足条件的辅助角一定是方程的解 ϕtan bx a=C ．满足方程的角一定都是符合条件的辅助角 tan bx a=x ϕD ．在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角的终边都重合 ϕ【答案】C【分析】首先利用辅助角公式对式子化简，得到辅助角的正弦值、余弦值.选项A 、B 可直接代入来说明是正确的；选项C 通过所求解的不确定性来说明是错误的；选项D 根据三角函数的定义来说明是正确的. 【详解】因为sin cos a b θθ+θθ⎫=+⎪⎭， ()θϕ=+其中，.cos ϕ=sin ϕ=0ab ≠选项A ：由上述解答知，选项A 正确.选项B ：因为，所以满足条件的辅助角一定是方程的解，故选项B 正sin tan cos b a ϕϕϕ==ϕtan bx a=确.选项C ：因为由可以得到，但也可以得到，tan b x a =sin cos x x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足方程的角不一定都是符合条件的辅助角，故选项C 不正确. tan bx a=x ϕ选项D ：因为当一个角的正弦值、余弦值都确定时，它与单位圆的交点就确定了，所以当两个角的正弦值、余弦值都相等时，它们与单位圆的交点必在同一点，所以它们的终边相同，故选项D 正确. 故选：C.16．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所ABC A A B C 对的边分别为，，.已知，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一a b c a 45B =︒A 边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；60A =︒b =乙同学认为应该填写条件为“，则下列判断正确的是（ ） c =A ．甲正确，乙不正确 B ．甲不正确，乙正确 C ．甲、乙都正确 D ．甲、乙都不正确【答案】B【分析】根据，，得到，再利用正弦定理求得边b ，c ，验证即可. 60A =︒45B =︒75C =︒【详解】可得，， 60A =︒ 45B =︒，75C ∴=︒又 ()sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+︒=︒︒+︒︒=由正弦定理得，sin sin a b A B=， sin45sin 75b c==︒︒解得，bc =若条件为，b ==sin A =或，答案不唯一，不符合题意，60A ∴=︒120A =︒若条件为c =，解得2=sin A=或，60A ∴=︒120A =︒，，答案唯一，符合题意，c a > 60A ∴=︒故答案为 c =故选：B.三、解答题17．已知.1tan 43πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求的值；tan θ（2）求的值.sin 2sin()sin cos 22πθπθθθ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.12-15【解析】（1）化，然后利用两角差的正切公式可得答案；tan tan 44ππθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）先利用二倍角公式、诱导公式化简，然后弦化切可得答案.【详解】（1）； tan tan 44tan tan 441tan tan44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-=⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭111312113-==-+⨯（2）sin 2sin()sin cos 22πθπθθθ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭222sin cos sin cos cos sin θθθθθθ=-+-.222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos tan 15θθθθθθθθθ+-+-===++18．在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足ABC A a b c A B C .()2cos cos b A C =(1)求的大小；A (2)现给出三个条件：（1）；（2）；（3）.试从中选出两个可以确定的2a =π4B ==c ABC A 条件写出你的选择，并以此为依据求的面积.（需写出所有可行的方案） ABC A 【答案】(1)； π6(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果.（2）根据题意，分别选（1）（3），（1）（2），（2）（3），结合正弦定理与余弦定理以及三角形的面积公式即可得到结果.【详解】（1）因为，结合正弦定理可得，()2cos cos b A C =，()2sin cos cos B C A A C =化简可得，2sin cos cos cos B A C A A C =即，又，()2sin cos B A A C B =+=sin 0B ≠得，即.cos A =[]0,πA ∈π6A =（2）①②③①若选择（1）（3），由余弦定理可得，，即 2222cosa b c bc A =+-)2242b b =+-解得，则， 2b=c =1sin 2S bc A ∴==②若选择（1）（2）由正弦定理可得，2sin 1sin sin sin 2a b a b B A BA=⇒===又， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A BA B =+=+==1sin 12S ab C ∴==③若选择（2）（3），则, ππ7πππ6412C A B =--=--=由正弦定理可得，sin sin sin sin c b c CC B b B =⇒=且， c bsin sin CB=≠所以这样的三角形不存在.19．如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段EF FGBC是函数，的图象，图象的最高点为.边界的sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈[4,0]x ∈-(1,2)B -中间部分为长1千米的直线段，且.游乐场的后部分边界是以为圆心的一段圆弧. CD //CD EF O A DE(1)求曲线段的函数表达式；FGBC (2)如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线ODE OMPQ EF上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区OD P A DEPOE θ∠=面积的最大值及此时的值.OMPQ θ【答案】（1），，；（2） 22sin(63y x ππ=+[4x ∈-0]6πθ=【分析】（1）由题意可得，，代入点求，从而求解析式；（2）作图求得2A =12T =φ12226OMPQ S OM PP cos sin πθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 【详解】（1）由已知条件，得，2A =又，，． 34T =212T ωπ==∴6π=ω又当时，有，． =1x -2sin()26y πϕ=-+=23πϕ∴=曲线段的解析式为，，． ∴FGBC 22sin()63y x ππ=+[4x ∈-0]（2）如图，，，，OC 1CD =2OD ∴=6COD π∠=作轴于点，在中，， 1PP x ⊥1P1Rt OPP ∆1sin 2sin PP OP θθ==在中，， OMP ∆sin120sin(60)OP OMθ=︒︒-． ∴sin(60)sin(60)2cos sin120OP OM θθθθ⋅︒-=︒-=︒122OMPQ S OM PP cos sin θθθ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭A24sin cos 2sin 22θθθθθ==． )6πθ=+(0,)3πθ∈当时，即 262ππθ+=6πθ=【点睛】本题主要考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．20．己知函数（，）的周期为，图像的一个对称中心为，()()sin f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<ππ,04⎛⎫ ⎪⎝⎭将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移()f x 个单位长度后得到函数的图象. π2()g x (1)求函数的解析式；()f x (2)若与在轴右侧的前三个交点分别为、、，求的面积的值；()y f x =()y g x =y A B C ABC A S (3)当，求实数与正整数，使在恰有2023个零点.1a ≥a n ()()()F x f x ag x =+()0,πn 【答案】(1)()cos2f x x =(2) 2πS =(3)，.1a =1349n =【分析】（1）由周期为求得，再根据图象的一个对称中心为求得； πωπ,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ϕ（2）利用伸缩变换和平移变换得到，再令得到A ，B ，C ，然后利用三角形面()g x ()()0f x g x -=积公式求解；（3）由，得到，设或（），再分，()0F x =22sin sin 10x a x --=1sin x t =2sin x t =12t t ≠()11,1t ∈-，求解.11t =-11t =【详解】（1）解：，2ππ2T ωω==⇒=当时，（）， π4x =ππsin 0π22k ϕϕ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭Z k ∈取； ()ππsin 2cos222f x x x ϕ⎛⎫=⇒=+= ⎪⎝⎭（2）将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），()f x得到，cos y x =再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数， π2()πcos sin 2g x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭由，得，即，cos2sin x x =21-2sin sin x x =22sin sin 10x x +-=解得或. 1sin 2x =1-得、、， π1,62A ⎛⎫ ⎪⎝⎭5π1,62B ⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 12π3π2322S ∴=⋅⋅=（3）由，.()2cos2sin 2sin sin 1F x x a x x a x =+=-++()0πx n ∈,令，对称轴， 22sin sin 10x a x --=1sin 44a x =≥不妨设或（），显然，，1sin x t =2sin x t =12t t ≠10t ≠20t ≠若，则在上必有偶数个零点，得或，()1sin 1,1x t =∈-()F x ()0,πn 1sin 1x t ==1-当，则（舍去）；11t =-1a =-当，则，此时在上有3个零点， 11t =2112a t =⇒=-()F x ()0,2π故， 20222113493n =⨯+=综上所述，，.1a =1349n =21．已知函数，（其中，）()sin sin cos cos cos 2k k k f x kx x kx x x =+-*N k ∈R x ∈(1)当时，求函数的严格递增区间；1k =()f x (2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）； 1k =()()()2f x g x a f x =+π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦0a >(3)若函数为常值函数，求的值.()f x k 【答案】(1)，； ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦Z k ∈(2) ()max 9469,494a g x a a <≤=⎪>⎪+⎩(3).3k =【分析】（1）当时，化简为，再由1k =()sin sin cos cos cos21cos2f x x x x x x x =+-=-，，求解即可；2π22ππk x k ≤≤+Z k ∈（2）由（1）得， 从而，令，先求得()22sin f x x =()()()2242sin 4sin f x x g x a f x a x ==++22sin t x =，则转化为求，的最大值，分和两种情况求解30,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()1g x h t a t t==+30,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦90,4a ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦94a >即可；（3）由函数为常值函数，采用赋值法求得的值，再代入验证即可.()f x k 【详解】（1）当时，1k =()sin sin cos cos cos21cos2f x x x x x x x =+-=-由，，得，. 2π22ππk x k ≤≤+Z k ∈πππ2k x k ≤≤+Z k ∈故的严格递增区间为，. ()f x ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）由（1）可知，当时，，1k =()21cos 22sin f x x x =-=则， ()()()2242sin 4sin f x x g x a f x a x==++令，当时，则，所以， 22sin t x =π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦2π20,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1cos 2,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭则，即. 31cos 20,2x ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦30,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是， ()()1g x h ta t t ==+30,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦①当时，90,4a ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦()1h t a t t =≤=+t =②当时，在上递减，则在上是增函数，则当时，最大值为94a >a y t t =+30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦()h t 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦32t =， 649a +综上所述，()max 9469,494a g x a a <≤=⎪>⎪+⎩（3）由函数为常值函数，令，则原式，()f x 0x =0=令，则原式（为正整数）； π2x =()πsin10412k k k n =--=⇒=-n 令，则原式，即， πx k =π2πcos cos 0k k k k=--=π2πcos =cos k k k k -因为（为正整数），即为正奇数，所以， 41k n =-n k π2πcos =cos k k-即，则， π2πcos cos 0k k +=2ππ2cos cos 10k k+-=解得或， πcos1k =-π1cos 2k =又因为（为正整数），所以.41k n =-n 3k =当时，原式为3k =333223sin3sin cos3cos cos 2sin3sin sin cos3cos cos cos 2x x x x x x x x x x x x +-=+-()()223sin3sin 1cos cos3cos 1sin cos 2x x x x x x x =-+--223sin3sin cos3cos sin3sin cos cos3cos sin cos 2x x x x x x x x x x x =+---()3cos2sin cos sin3cos cos3sin cos 2x x x x x x x x =-+-323cos2sin cos sin4cos 2cos2sin 2cos2cos 2x x x x x x x x x =--=--.()2333cos21sin 2cos 2cos 2cos 20x x x x x =--=-=所以当时，函数为常值函数.3k =()f x 【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数为常值函数，因此可以采用赋值法先确定的()f x k 值，再代入验证即可.。

上海高一下学期期中数学试卷试题(解析版)

上海高一下学期期中数学试卷试题(解析版)

一、填空题1．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________. 【答案】4【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【详解】根据扇形的面积公式得，．1142422S lr ==⨯⨯=故答案为：4 2．已知，且是第二象限角，则___________． 4sin 5α=αcos α=【答案】 35-【详解】∵是第二象限角， α∴． cos 0α<又， 4sin 5α=∴．3cos 5α===-答案：35-3．在中，，，，那么的面积等于______． ABC A 2a =1b =π3C =ABC A【分析】由三角形面积公式即可求【详解】由三角形面积公式得. 11sin 2122ABC S ab C ==⨯⨯A4．已知向量，，则与共线，则实数_________．()2,3a =-r ()3,2b λ= a bλ=【答案】94-【分析】根据向量平行得到，解得答案.2233λ⨯=-⨯【详解】向量，，与共线，则，解得.()2,3a =-r ()3,2b λ= a b2233λ⨯=-⨯94λ=-故答案为：94-5．已知，，则满足条件的__________（用反三角记号表示）1cos 3x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x =【答案】1πarccos 3-【分析】根据反三角函数求解即可.【详解】因为，，所以.1cos 3x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11cos πarccos 33x arc ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故答案为：1πarccos 3-6．已知，则在上的数量投影为__________．()()1,2,3,2a b ==- a b【分析】根据题意，由向量的数量投影的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，设与的夹角为， ()()1,2,3,2a b ==- a bθ则在上的数量投影为a b cos a b a b a a a bb θ⋅⋅=⨯===故答案为7．设是两个单位向量，向量，且，则的夹角为______. ,m n 2a m n =-()2,1a = ,m n【答案】/90︒2π【分析】利用向量数量积的定义和运算律求解即可.【详解】由()2,1a = =又因为是两个单位向量，所以， ,m ncos ,cos ,m n m n m n m n ⋅== 所以，()2222244a m n m m n n =-=-⋅+解得，即的夹角为，cos ,0m n = ,m n90︒故答案为：90︒8．函数_________ y =【答案】 522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域． 【详解】由题意知，， 11sin 0sin 22x x -≥⇒≥即， 522,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以的定义域为： ()f x 522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故答案为： 522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 9．已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数，都有()3sin2xf x =1x 2x x ，则的最小值为______．()()()12f x f x f x ≤≤12x x -【答案】2π【解析】根据存在实数，，使得对任意的实数，都有，得到1x 2x x ()()()12f x f x f x ≤≤分别是函数的最小值和最大值，则一定是半个周期的整数倍，再求出函()()12,f x f x ()f x 12x x -数的最小正周期即可. ()3sin2xf x =【详解】因为存在实数，，使得对任意的实数，都有， 1x 2x x ()()()12f x f x f x ≤≤所以分别是函数的最小值和最大值， ()()12,f x f x ()f x 所以一定是半个周期的整数倍， 12x x -又函数的最小正周期是， ()3sin 2xf x =4T π=所以， 1222x n n x Tπ=⨯=-所以的最小值为 12x x -2π故答案为：2π【点睛】本题主要考查三角函数的周期性的求法及应用以及最值问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.10．已知函数，且，则___．()()πsin 20π6f x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭()()()13f f αβαβ==≠αβ+=【答案】/ 43π43π【分析】利用正弦函数的的对称性可得，由此求得的值． ππ3π222662αβ+++=⋅αβ+【详解】∵函数，()()πsin 20π6f x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，ππ13π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦（）， ()()13f f αβ==αβ≠则由正弦函数的对称性可得：， ππ3π222662αβ+++=⋅所以， 4π3αβ+=故答案为：. 4π311．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得，，，，则A 、B 35m CD =135ADB ∠= 15BDC DCA ∠=∠= 120ACB ∠= 两点的距离为___________m ．【答案】【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得. BCD △BD ABD △AB 【详解】因为，，所以，，所135ADB ∠= 15BDC DCA ∠=∠= 150ADC ∠= 15DAC DCA ∠=∠= 以，35AD CD ==又因为，所以，，120ACB ∠= 135BCD ∠= 30CBD ∠=在中，由正弦定理得，解得BCD △sin BD BCD ∠sin CDCBD=∠3512=BD =在中，由余弦定理得，ABD △2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以，解得．(22235235AB ⎛=+-⨯⨯ ⎝m AB =故答案为：12．已知满足，当，，若函数()f x ()(8)f x f x =+[0,8)x ∈()[)[)π4sin ,0,4428,4,8x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____.2()()()1g x f x af x a =+--[8,8]x ∈-a 【答案】(9,5)--【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的[8,8]x ∈-图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，()f x ()(8)f x f x =+()f x结合，作出函数在上的图象，如图示： ()[)[)π4sin ,0,4428,4,8x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩[8,8]x ∈-因为，[][]2()()()1()1()(1)g x f x af x a f x f x a =+--=-++故时，即或，()0g x =()1f x =()(1)f x a =-+则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不()g x [8,8]x ∈-()f x 1,(1)y y a ==-+同的交点，由图象可知，和的图象有6个不同的交点，1y =()f x 则和的图象需有2个不同的交点，即， (1)y a =-+()f x 4(1)8a <-+<故，95a -<<-则实数的取值范围为， a (9,5)--故答案为：(9,5)--【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解.二、单选题13．下列说法正确是（ ） A ．角60和角600是终边相同的角o o B ．第三象限角的集合为 3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．终边在轴上角的集合为 y ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣D ．第二象限角大于第一象限角 【答案】C【分析】根据终终边相同角的表示，可以判断A 错误，C 正确；根据象限角的表示可以判断B 错误；举特例可以判断D 错误.【详解】，与终边不相，故A 错误；600360240︒=︒+︒60︒第三象限角的集合为，故B 错误； 3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭∣终边在轴上角的集合为， y π3π2π,Z 2π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣即， ππ2π,Z (21)π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ∣∣即，故C 正确； ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣是第二象限角，第一象限角，，120︒390︒120390︒<︒故D 错误； 故选：C.14．函数的图像向左平移个单位得到下列哪个函数（ ）πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4A ． B ．πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．D ．πcos 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πcos 24y x ⎛⎫ ⎪⎝+⎭=【答案】D【分析】根据相位平移,结合诱导公式即可求解.【详解】的图像向左平移个单位得到，πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4()πππsin 2cos 2444f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D15．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若(m)y (s)t sin()(0,π)y t ωϕωϕ=+><该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且1t 2t ()31230t t t t <<<122t t +=，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）235t t +=A ．B ．C ．1D ．1s 32s 3s 4s 3【答案】C【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解. 2π3ω=2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭t【详解】因为，，，所以，又，所以， 122t t +=235t t +=31t t T -=3T =2πT ω=2π3ω=则，由可得，2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0.5y >2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以， π2π5π2π2π,Z 636k t k k ϕ+<+<+∈所以，故，135333,Z 42π42πk t k k ϕϕ+-<<-+∈531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s ． 故选：C.16．已知，给出下述四个结论:()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ①是偶函数; ②在上为减函数;()y f x =()y f x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭③在上为增函数; ④的最大值为. ()y f x =(,2)ππ()y f x =其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③④C ．①②③D ．①④【答案】D【分析】利用偶函数的定义即可判断①；利用举反例即可判断②和③；分四个范围对进行化()f x 简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到时的最值，结合偶函数即可判断 0x ≥【详解】解：对于①，易得的定义域为，关于原点对称，()f x R 因为()()()sin |||sin |cos |||cos |sin |||sin |cos |||cos |f x x x x x x x x x -=-+-+-+-=+-++，所以是偶函数，故正确；()sin |||sin |cos |||cos |x x x x f x =+++=()y f x =对于②和③，因为， 55555sin |||sin |cos |||cos |044444f πππππ⎛⎫=+++=+=⎪⎝⎭， 7777711sin sin cos cos 06666622f πππππ⎛⎫=+++=-+= ⎪⎝⎭且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错753642ππππ<<<()y f x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭(,2)ππ误；对于④，当时，22,N 2k x k k πππ≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x，()sin sin cos cos 2sin cos 4x x x x x x x π⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭因为，所以， 22,N 2k x k k πππ≤<+∈322,N 444k x k k πππππ+≤+<+∈，所以； sin 14x π⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭()2f x ≤≤当时，22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，sin sin cos cos 2sin x x x x x =++-=因为，22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以，所以； 0sin 1x <≤0()2f x <≤当时，322,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ；sin sin cos cos 0x x x x =-+-=当时，3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，sin sin cos cos 2cos x x x x x =-++=因为， 3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以，所以，0cos 1x ≤<0()2f x ≤<所以，综上所述，当时，的最大值为为偶函数，所以当时，的0x ≥()f x ()f x 0x<()f x 最大值也为，故的最大值为④正确； ()y f x =故选：D【点睛】方法点睛：利用四个象限对进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用()y f x =三角函数的性质进行求解值域三、解答题17．已知.sin(π)cos 2()3πcos tan(π2π)f ααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)已知，求的值.162πf α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) ()cos f αα=-(2)12-【分析】（1）直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简； （2）直接利用倍角公式求解.【详解】（1）；sin(π)cos sin sin sin sin 2()cos sin 3πsin tan sin cos tan(π)co 2πs f ααααααααααααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭====--⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭（2）由（1）得，1cos 662ππf αα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1cos 62πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.2211cos 22cos 1213226ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知单位向量，，与的夹角为.1e 2e 1e 2e π3(1)求证；()1222e e e -⊥(2)若，，且，求的值. 12m e e λ=+ 1232n e e =-m n = λ【答案】(1)证明见解析 (2)或. 2λ=3λ=-【分析】(1)利用向量数量积的运算即可证明； (2)根据向量的模和数量积的计算公式即可求解.【详解】（1）因为，与的夹角为， 121== e e 1e 2e 3π所以，()222122122122π1222cos 2111032e e e e e e e e e -⋅=⋅-=-=⨯⨯⨯-= 所以.()1222e e e -⊥（2）由得，m n = ()()22121232e e e e λ+=- 即.()()221122921230e e e e λλ-++⋅-=因为，与的夹角为，121== e e 1e 2e π3所以，，22121e e == 12π111cos 32e e ⋅=⨯⨯= 所以，()()21912123102λλ-⨯++⨯-⨯=即.所以或.260λλ+-=2λ=3λ=-19．已知向量.()()()cos ,sin2,2cos ,1,m x x n x f x m n ==-=⋅(1)求函数的最小正周期和严格増区间，()f x(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.()f x ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x 【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为πT =5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈(2)故时，；当时，取得最小值，最小值为.π8x =-()f x 1+3π8x =()f x 1【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换()f x 公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间. （2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）已知向量，，()cos ,sin 2m x x = ()2cos ,1n x =-所以.()2π2cos sin 21cos 2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ 故函数的最小正周期为； ()f x 2ππ2T ==由，解得：，， π2ππ22π4k x k -≤+≤5ππππ88-≤≤-k x k Z k ∈故函数的严格增区间为.()f x 5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈（2）由于，得.ππ,82x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π20,44x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故当，即时，；π204x +=π8x =-()f x 1+当，即时，取得最小值，最小值为. π2π4x +=3π8x =()f x 120．在中，角的对边分别为，已知. ABC A ,,A B C ,,a b c sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+(1)求角的大小；B (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 2a =ABC A ABC A 【答案】(1) π3B =(2) (3+【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； A 【详解】（1）由正弦定理，， sin sin sin a b c A B C==由sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+可得，22cos cos a ac B bc A b ac ++=+由余弦定理，2222222cos ,2cos ac B a c b bc A b c a =+-=+-则，则，222a cb ac +-=2221cos 22a cb B ac +-==因为，所以； 0πB <<π3B =（2）由为锐角三角形，，可得， ABC A π3B =ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由正弦定理，则， sin sin sin a b cA B C ==22πsin sin 3cA A==⎛⎫-⎪⎝⎭则， 2π2sin 31sin A b cA ⎛⎫-⎪⎝⎭====则的周长为ABC A 22cos cos 12333sin 2sin cos 22A A a b c A A A +++===由，则，因为ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,2124A⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π2tanπ12tan π61tan 12==-，解得或（舍去），2ππtan101212+-=πtan 212=πtan 212=-所以，则周长范围是. ()tan22A∈(3+21．已知函数，，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总()y f x =x D ∈存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的P 级递减周期函数，周期()()f x T P f x +<⋅()f x 为T ；若恒有成立，则称函数是D 上的P 级周期函数，周期为T .()()f x T P f x +=⋅()f x (1)判断函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？()23f x x =+(2)已知，是上的P 级周期函数，且是上的严格增函数，当2T π=()y f x =[)0,∞+()y f x =[)0,∞+时，.求当时，函数的解析式，并求实0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()sin 1f x x =+())()*,1N 22x n n n ππ⎡∈+∈⎢⎣()y f x =数P 的取值范围；(3)是否存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你()1cos 2xf x kx ⎫⎛=⋅ ⎪⎝⎭的结论.【答案】(1)是，理由见解析；⎝⎭⎣⎦(3)存在，. 2,Z m k m Tπ=∈【分析】（1）利用P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P 级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作1,2,3n =答.（3）假定存在符合题意的k 值，利用P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R ，()23f x x =+， 22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x -+=+-++=-+=-+>即，成立，R x ∀∈(1)2()f x f x +<所以函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数. ()f x （2）因，是上的P 级周期函数，则，即2T π=()y f x =[)0,∞+(()2f x P f x π+=⋅()()2f x P f x π=⋅-，而当时，，当时，，，[0,)2x π∈()sin 1f x x =+[,)2x ππ∈[0,)22x ππ-∈()sin 12f x P x π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，，则， 3[,)2x ππ∈[,)22x πππ-∈()()2sin 12f x Pfx P x ππ⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，，则， 3[,2)2x ππ∈3[,)22x πππ-∈()33sin 122f x Pf x P x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦……当时，，则，[,(1))22x n n ππ∈+[(1),)222x n n πππ-∈-()sin 122n f x Pf x P x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦并且有：当时，，当时，，当时，[0,)2x π∈[1,2)y ∈[,)2x ππ∈[,2)y P P ∈3,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22[,2)y P P ∈，……，当时，，[,(1))22x n n ππ∈+[,2)n n y P P ∈因是上的严格增函数，则有，解得，()y f x =[)0,∞+22312222n nP P P P P P P-≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩ 2P ≥⎝⎭⎣⎦（3）假定存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，1()()cos 2xf x kx =⋅即，恒有成立，则，恒有成R x ∀∈()()f x T T f x +=⋅R x ∀∈()11cos cos 22x Txkx kT T kx +⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭立，即，恒有成立，当时，，则，，R x ∀∈()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅0k ≠x ∈R R kx ∈R kx kT +∈于是得，，要使恒成立，则有cos [1,1]kx ∈-()[]cos 1,1kx kT +∈-()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅21T T ⋅=±，当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，21T T ⋅=12TT=2x y =1y x=12TT=此时恒成立，则，即， ()cos cos kx kT kx +=2,Z kT m m π=∈2,Z m k m Tπ=∈当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，21T T ⋅=-12TT =-2x y =1y x =-12TT=-所以存在，符合题意，其中满足. 2,Z m k m Tπ=∈T 21T T ⋅=【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。

上海市高一下学期期中数学试题试卷(解析版)

上海市高一下学期期中数学试题试卷(解析版)

一、填空题1．两个非零平面向量的夹角的取值范围是____________． 【答案】[0,π]【分析】根据平面向量的夹角的定义即可得夹角的取值范围. 【详解】由题意两个非零平面向量的夹角的取值范围是， [0,π]故答案为：[0,π]2．函数的最小正周期为___________．πtan 53x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】3π【分析】根据正切函数的周期公式即可求得答案.【详解】由题意函数的最小正周期为，πtan 53x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π3π1||3=-故答案为：3π3．若，且的坐标为____________．a b A (2,1),||a b =-=b 【答案】或(4,2)-(4,2)-【分析】根据向量共线设，再结合向量的模求解即可. (2,)b λλ=-【详解】由，可设，则，a b A b aλ=(2,)b λλ=- 由， ||b =22(2)()20λλ+-=解得，故或，2λ=±(4,2)b =- (4,2)b =-故答案为：或(4,2)-(4,2)-4．已知，点D 满足，若，则_________．ABC A 23BD DC =(,R)AD AB AC λμλμ=+∈ μ=【答案】35【分析】由平面向量基本定理结合可得，即可求出的值.23BD DC =(,R)AD AB AC λμλμ=+∈ μ【详解】由，得，23BD DC = 52BC CD =-所以， ()52AC AB AD AC -=-- 即，3522AC AB AD -=-所以，所以，，2355AD AB AC =+ 2=5λ35μ=故．35μ=故答案为：.355．若方程的两根为与，则___________．23570x x +-=tan αtan βsin()cos()αβαβ+=-【答案】54【分析】根据两角和差的正余弦公式化简后转化为正切函数即可得解.【详解】由题意，， 57tan tan tan tan 33αβαβ+=-⋅=-，5sin()sin cos cos sin tan tan 537cos()cos cos sin sin 1tan tan 413αβαβαβαβαβαβαβαβ-+++====-++-故答案为：546．若，且与的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是__________．(2,1),(,3)a b t =-=a b 【答案】()3,66,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【分析】由已知得且不共线，结合向量的坐标运算可得出关于的不等式组，由此可解0a b ⋅<,a b t 得实数的取值范围.t 【详解】因为，，且与的夹角为钝角， ()2,1a =- (),3b t = a b所以且不共线，0a b ⋅<,a b 则，()()2,1,3230230t t t ⎧-⋅=-<⎨--⨯≠⎩解得且，即.32t <6t ≠-()3,66,2t ⎛⎫∈-∞-⋃- ⎪⎝⎭故答案为：.()3,66,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭7．若，点D 在第一象限且，则实数的取值范围是(4,2),(3,5),(5,1)A B C AD AB AC λ=+λ____________． 【答案】(3,5)-【分析】根据向量的坐标运算结合已知可求得点D 的坐标，根据其在第一象限即可求得答案. 【详解】由题意得，设，),(1,3)(1,1AB AC =-=-(,)D m n 由可得，AD AB AC λ=+(4,2)1,3)(1,3)(1,1)(m n λλλ---=--=+-则，故，4123m n λλ-=-⎧⎨-=-⎩35m n λλ=+⎧⎨=-⎩故D 点坐标为，由于D 在第一象限，3,5)(λλ+-故， 30,3550m n λλλ=+>⎧∴-<<⎨=->⎩即实数的取值范围是， λ(3,5)-故答案为：(3,5)-8．定义在上的函数的图像与的图像的交点为P ，则点P 到x 轴的π0,2⎛⎫⎪⎝⎭23cos2y x =+y x =距离为____________． 【答案】3【分析】设交点，则，联立和，变形整理即可00(,)P x y 00y x =0023cos 2y x =+00y x =求得答案.【详解】由题意设交点，则00(,)P x y 00y x =因为，则，0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0y ∈令，即， 0023co n s 2i x x +=200506sin x x -=+所以，即，20002n in )95x x -=+0020259y y +-=解得（负值舍去）， 03y =即点P 到x 轴的距离为3， 故答案为：39．在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是1ABCDEF P AD BP ⋅___________． 【答案】[]1,3-【分析】利用数量积的几何意义去求的取值范围即可解决.AD BP ⋅【详解】正六边形中，过点作于，ABCDEF B BB AD '⊥B '则，，，2AD = 1cos 602AB AB '==13222B D AD AB ''=-=-= ，cos ,AD BP AD BP AD BP ⋅=⋅ 由图可知，在方向上的投影的取值范围是， BP AD cos ,BD BP AD ,B A B D ⎡⎤''-⎣⎦ 所以，，cos ,AD B A AD BP AD BP AD B D ''-⋅≤⋅≤⋅即，故的取值范围为. 1cos ,3AD BP AD BP -≤⋅≤ AD BP ⋅[]1,3-故答案为：. []1,3-10．若，则的取值范围是_______________． 1cos sin 2αβ+=sin sin αβ+【答案】1122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】根据已知条件，结合辅助角公式，化简得到，利用正弦函π1sin sin 42αβα+=-+数的性质，即可求解.【详解】由，可得， 1cos sin 2αβ+=1π1sin sin sin cos 242αβααα+=-+=-+因为， []πsin(1,14α-∈-π)4α⎡-∈⎣.π1114222α⎡⎤-+∈+⎢⎥⎣⎦故答案为：.1122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦11．如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若ABC A 3BAC π∠=D AB P CD 13t AC AB AP =+，则的最小值为__________.ABC A AP【分析】设，由，可得：,AB AC m n == 1sin 2BA AB A C C ⋅⋅∠= 6mn =再由，可得：，则1233t AC AB t AC A AP D =++= 13t =AP == 后由可得解.222m n mn +≥【详解】设,AB AC m n ==ABC A1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠ 12mn ==6mn ∴=为中点，D AB 2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴ 又C 、P 、Q 三点共线，，即213t ∴+=13t =1133AP AC AB ∴=+则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=≥当且仅当.m n ==【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12．在中，，且的取值范围是__________． ABC A 222a c b ac +-=b =2a c +【答案】【分析】运用余弦定理先求出，再利用正弦定理求出关于的表达式，作恒等变换，B ∠2a c +A ∠根据正弦函数的性质求出的值域.2a c +【详解】，()2222221π,cos ,0,π,223a cb ac b ac B B B ac +-+-=∴==∈= 由正弦定理得，。

上海市延安中学第二学期期末考试(高一数学)

上海市延安中学第二学期期末考试(高一数学)
上海市延安中学2012学年度第二学期期末考试（高一数学）（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（本大题共45分，每小题3分）1、在等差数列{an}中，已知a12，a24，则a4=___________.2、在等比数列{an}中，已知a12，a24，则a4=___________.3、函数ysinx的最小正周期为___________.4、函数ysinxcosxcos2x的值域为___________.5、等差数列1,5,,2013的各项的和为___________.6、若公比为100的等比数列{an}的每一项均为正数，则{lgan}ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公差为___________的等差数列.7、已知数列{an}的前n项和Sn2n2，则该数列的通项公式an=___________.8xcosx2sin(x)，其中02，则的值为___________.9、函数ycos(2x)的单调增区间是___________.10、函数yarccos3x的反函数的值域为___________.11、方程sin2x1的解集为___________. 212、已知tanx2，且x(,)，则x=___________.13、若等差数列{an}的公差d0，且a2、a5、a14恰成公比为q的等比数列，则q=___________.14、已知f(k)k(k1)(k2)2k(kN*)，则f(k1)f(k)=___________.15、已知数列{an}的前n项和Snn3，则1(a1a10)10的值为___________. 2二、选择题（本大题共12分，每小题3分）16、在等差数列{an}中，已知ak1，ak1sin2，则ak2=（）（A）cos2（B）cos2（C）cos2（D）cos2.17、记等差数列{an}的前n项和为Sn，如果已知a5a21的值，我们可以求得（）（A）S23的值（B）S24的值（C）S25的值（D）S26的值.18、一个公比为2的等比数列的前5项的和为1，则其前10项的和为（）（A）30（B）31（C）32（D）33.19、在数列{an}中，已知a31，a53，a79，则{an}一定（）（A）是等差数列（B）是等比数列（C）不是等差数列（D）不是等比数列.(an1)220、已知数列{an}的前n项和Sn，那么（）4（A）此数列一定是等差数列（B）此数列一定是等比数列（D）以上说法都不正确.（C）此数列不是等差数列，就是等比数列三、简答题（本大题共40分）21、（本题8分）已知cos222、（本题8分）4，0.（1）求tan的值；（2）求tan4的值. 52试用数学归纳法证明：对任意正整数n，都有12n(12n). 23、（本题8分）在ABC中，已知a4，c5，且SABC6，求b. 3332 24、（本题8分）设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足2a22a32a42a5，S77.（1）求数列{an}的通项公式（6分））；（2）求数列{an}的前n项和Sn（2分）. 25、（本题8分）已知数列{an}的每一项都为正数，a114，a2，且对满足stpq25的正整数s,t,p,q，都有apaq1anasat.记bn.1an(1as)(1at)(1ap)(1aq)（1）证明：数列{bn}是等比数列（5分）；（2）求数列{an}的通项公式（3分）.上海市延安中学2012学年度第二学期期末考试（高一数学）（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（本大题共45分，每小题3分）1、在等差数列{an}中，已知a12，a24，则a4=_____-16______.2、在等比数列{an}中，已知a12，a24，则a4=______-16_____.3、函数ysinx的最小正周期为______2_____.4、函数ysinxcosxcos2x的值域为______[11,]_____. 445、等差数列1,5,,2013的各项的和为______507528_____.6、若公比为100的等比数列{an}的每一项均为正数，则{lgan}是公差为______2_____的等差数列.7、已知数列{an}的前n项和Sn2n2，则该数列的通项公式an=_____4n2,nN*____.8xcosx2sin(x)，其中02，则的值为______11_____. 69、函数ycos(2x)的单调增区间是_____[2k,2k],kZ______. 2210、函数yarccos3x的反函数的值域为______[,]_____. 113311、方程sin2x15or xk,kZ}_____.的解集为______{x|xk2121212、已知tanx2，且x(,)，则x=______arctan2 or arctan2_____.13、若等差数列{an}的公差d0，且a2、a5、a14恰成公比为q的等比数列，则q=_____3_____.)f(k)=__3(k1)__. 14、已知f(k)k(k1)(k2)2k(kN*)，则f(k115、已知数列{an}的前n项和Snn3，则1(a1a10)10的值为_____1360____. 2二、选择题（本大题共12分，每小题3分）16、在等差数列{an}中，已知ak1，ak1sin2，则ak2=（D）（A）cos2（B）cos2（C）cos2（D）cos2.17、记等差数列{an}的前n项和为Sn，如果已知a5a21的值，我们可以求得（C）（A）S23的值（B）S24的值（C）S25的值（D）S26的值.18、一个公比为2的等比数列的前5项的和为1，则其前10项的和为（D）（A）30（B）31（C）32（D）33.19、在数列{an}中，已知a31，a53，a79，则{an}一定（C）（A）是等差数列（B）是等比数列（C）不是等差数列（D）不是等比数列.(an1)220、已知数列{an}的前n项和Sn，那么（D）4（A）此数列一定是等差数列（B）此数列一定是等比数列（D）以上说法都不正确.（C）此数列不是等差数列，就是等比数列三、简答题（本大题共40分）21、（本题8分）已知cos24，0.（1）求tan的值；（2）求tan4的值. 52（1）(0,3sin2)2(0,)sin2，从而tan3 251cos2sin232tan224tan4cos241tan227（2）tan222、（本题8分）试用数学归纳法证明：对任意正整数n，都有12n(12n). 3332（1）当n1时，左边=11，右边=11，等式成立.（2）假设当nk(kN*,k1)时，等式成立，即1323k3(12k)2，则当nk1时，32(12kk1)2(12k)22(k1)(12k)(k1)21k1323k3(k1)(2kk1)1323k3(k1)32等式也成立.从而（1）（2）可知等式对任意正整数n均成立. 23、（本题8分）在ABC中，已知a4，c5，且SABC6，求b.2S12634SABCacsinBsinBABC，从而cosB2ac4555当cosB4时，由余弦定理得b3 54时，由余弦定理得b5当cosB24、（本题8分）设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22a32a42a52，S77.（1）求数列{an}的通项公式（6分））；（2）求数列{an}的前n项和Sn（2分）.（1）设公差为d0，则由a22a32a42a52a22(a2d)2a42(a4d)2，化简可得2(a22a42)2d(a2a4)0(a2a4)(a2a4d)0，又d0，故a2a40，从而a2a4d0，又S77a47a4.进而11.从而a3a2da4da4a32，故数列{an}的通项公式为an1(n4)22n7,nN*.（2）数列{an}的前n项和Sn52n7nn26n,nN*. 214，a2，且对满足stpq2525、（本题8分）已知数列{an}的每一项都为正数，a1的正整数s,t,p,q，都有apaq1anasat.记bn.1an(1as)(1at)(1ap)(1aq)（1）证明：数列{bn}是等比数列（5分）；（2）求数列{an}的通项公式（3分）.（1）证法一：由已知a2ana1an114，代入a1，a2可得25(1a2)(1an)(1a1)(1an1)45an12an12a11331561an1n9(1an)3(1an1)1an1an11an11anan22an1b1an11anan21an1an1an1*由定义对任意的nNn1bn1an11an1n1an3(1an)1an3an21从而数列{bn}是以证法二：1为公比的等比数列. 31bp1bq1bs1bt1b1bq1an1bn1bs1btp由bn代入已知可得，anst

上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

()3.若 a 2 > b > a > 1，则 log ,log a,log b 的大小顺序是.b a6.若方程 log (ax 2 - 2 x + 2)= 2 在 ⎢ , 2⎥ 内有解，则实数 a 的取值范围是 ⎣ 2 ⎦ = -1，则 =.f sin ⎪=.,sin α = - ,α ∈ π π ⎪高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.已知 log 7 ⎡⎣log 3 (log 2 x )⎤⎦ = 0 ，那么 x 等于.2.lg 3 - lg 9 + 1 lg 27 + lg8 - lg 10002lg 0.3lg1.2= .bb a 4.函数 y = log (x 2 - 6 x + 17 )的值域是 . 125．函数 y = x 2 - 2ax - 3 在区间 [1,2 ]上存在反函数的充要条件是.2 ⎡ 1 ⎤.7.已知一个扇形的周长为 6，该扇形的中心角为 1 弧度，则该扇形的面积是.8.已知点 P (sin θ - cos θ ,tan θ ) 在第一象限，则在 [0,2π ]内θ 的取值范围是9.已知 sin (3π + θ ) = 1，求4.cos (π + θ ) cos (θ - 2π )cos θ ⎡⎣cos (π + θ )-1⎤⎦ + cos (θ + 2π )cos (π + θ )+ cos (-θ ) =.10.已知 tan α sin α - 3cos αtan α - 1 sin α + cos α11.求值： sin 4 α + cos 4 α - 1 sin 6 α + cos 6 α - 1= .12.函数 f (x )满足 f (cos x ) = 1 x (0 ≤ x ≤ π ) ，则 2⎛ ⎝4π ⎫ 3 ⎭13.若 cos (α - β ) = 5 4 ⎛ - , ⎫, β ∈ (0,π )，则 cos β =13 5 ⎝ 2 2 ⎭14.若 sin α + sin β + sin γ = 0,cos α + cos β + cos γ = 0 ，则 cos (α - β ) =..16．函数 y = lg- 1⎪ 的图象关于 2D. 32 > 02 < 12 > cos 21.已知 sin α + cos α = ，其值：二、选择题：15．已知 x 2+ y 2= 1, x > 0, y > 0 ，且 log (1 + x ) = m ,loga1a1 - x= n ，则 log y 等于aA. m + nB. m - nC. 1(m + n ) D. 1(m - n )2 2⎛ 2 ⎫ ⎝ 1 + x⎭A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D.直线 y = x 对称17．已知 g (x ) = log x + 1 (a > 0, a ≠ 1)，在 (-1,0 ) 上有 g (x ) > 0 ，则 f (x ) = a x +1 在 aA. (-∞,0 )上递增B. (-∞,0 )上递减C. (-∞, -1)上递增D. (-∞, -1)上递减18．已知sinα1 - cos2 α= cos α1 - sin2 α，则 α 的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限19．锐角 α 终边上一点 A 的坐标为 (2sin3, -2cos3 )，则角 α 的弧度数为A. π - 3B. 3 - πC. 3 -20．如果 θ 是第一象限角，那么恒有π2A. sin θB. tanθC. sinθθ 2 D. sin θ 2 < cos θ2三、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.13（1） sin α cos α ；（2） sin 3 α + cos 3 α（3） sin 5 α + cos 5 α .(t an α -cot α ) sin α = - ，求 log（2）如果 sin α = sin β ，且 tan α = tan β ，求 csc α 的值.22.已知 f (x ) = a ⋅ 2x - 1(a ∈ R )是 R 上的奇函数.2x + 1（1）求 a 的值；（2）求 f (x )的反函数；（3）对任意 k ∈ (0, +∞)的解不等式 f -1 (x ) > log 21 + x k.23.已知 α 是锐角.（1）如果 log 34 tan α cos β 的值；7 18 422.已知函数 f (x ) = log (x - 3a )(a > 0, a ≠ 1)，当点 P (x, y ) 是函数图象上的点时，点aQ (x - 2a, - y )是函数 y = g (x )的图象上的点.（1）写出函数 y = g (x )的解析式；（2）当 x ∈[a + 2, a + 3]时，恒有 f (x )- g (x ) ≤ 1，试确定 a 的取值范围.4. 求函数 f ( x ) = sin(-2 x +) 的单调递减区间5. 若锐角 α 、 β 满足 cos α = 3， cos(α + β ) = - ，则 cos β =8. 若函数 f ( x ) = 2sin ω x （ 0 < ω < 1）在区间 [0, ] 上的最大值是 2 ，则 ω =上海市高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 半径为 2，圆心角为 300°的圆弧长为2. 函数 y =| tan x | 的对称轴是3. 在平面直角坐标系中，已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边为 x 轴正半轴重合，终边在直线 y = 3x 上，则 sin 2θ =π35 5 136. 已知函数 f ( x ) = lg(tan x -1) + 9 - x 2 ，则 f ( x ) 的定义域是7. 若长度为 x 2 + 4 、 4x 、 x 2 + 6 的三条线段可以构成一个锐角三角形，则 x 的取值范围是π39. 如图所示，在塔底 B 处测得山顶 C 的仰角为 60°，在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45°，已知塔高 AB = 20 米，则山高 DC =米10. 函数 y = sin x + cos x的值域为1 + sin x cos x11. 已知 f ( x ) = a sin 3 x + b 3 x ⋅ cos 3 x + 4 （ a, b ∈ R ），且 f (sin10 ︒) = 5 ，则 f (cos100 ︒) =12. 设 a 、 b 均为大于 1 的自然数，函数 f ( x ) = a(b + sin x) ， g ( x ) = b + cos x ，若存在实数 m ，使得 f (m ) = g (m ) ，则 a + b =二. 选择题13. 若 MP 和 O M 分别是角 7π的正弦线和余弦线，则（ ）6A. MP < OM < 0B. OM > 0 > MP14. 已知 α , β ∈ (0, ) ，则下列不等式一定成立的是（）析式为 y = 2sin(2 x + ) ；② 该函数图像关于点 ( ,0) 对称；③ 该函数在 [0, ] 上是增函数；④ 若函数 y = f ( x ) + a 在 [0, ] 上的最小值为3 ，则 a = 2 3 ；2 2+ C. OM < MP < 0D. MP > 0 > O Mπ2A. sin(α + β ) < sin α + sin βB. sin(α + β ) > sin α + sin βC. cos(α + β ) < sin α + sin βD. cos(α + β ) > cos α + cos β15. 把函数 y = sin 2 x 的图像沿 x 轴向左平移 π个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标6不变）后得到函数 y = f ( x ) 的图像，对于函数 y = f ( x ) 有以下四个判断：① 该函数的解πππ6 3 6π2其中正确的判断有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个16. 定义在区间 [-3π ,3π ] 上的函数 y = sin | 2 x | 与 y = cos x 的图像的交点个数为（）A. 12 个B. 14 个C. 16 个D. 18 个三. 简答题17. 已知 cos(2θ - 3π ) = 7，且θ 是第四象限角；25（1）求 cos θ 和 sin θ 的值；π3πcos( - θ ) sin(θ - )（2）求 的值；tan θ[cos(π + θ ) - 1] tan(π - θ )cos( -θ )19. 设 ∆ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ，且满足 a cos C + c = b ；18. 已知函数 f ( x ) = cos x(sin x + cos x) + 12；（1）若 tan α = 1，求 f (α ) 的值；2（2）求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间；12（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 1 ，求 ∆ABC 的周长 l 的取值范围；20. 函数 y = f ( x ) 满足 f ( x + 3) = f (1- x) ，且对于 x , x ∈ (2, +∞) ，有 1 2成立，若 f (cos 2 θ + 2m 2 + 2) < f (sin θ + m 2 - 3m - 2) 对 θ ∈ R 恒成立；（1）判断 y = f ( x ) 的单调性和对称性；（2）求 m 的取值范围；f ( x ) - f ( x )1 2 x - x 1 2> 021. 已知函数 f ( x ) 、 g ( x ) 满足关系 g ( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x + ) ；π2（1）设 f ( x ) = cos x + sin x ，求 g ( x ) 的解析式；（2）当 f ( x ) =| sin x | + cos x 时，存在 x , x ∈ R ，对任意 x ∈ R ， g ( x ) ≤ g ( x ) ≤ g ( x ) 恒成立，求1 212| x - x | 的最小值；1 2π 2. x = , k ∈ Z 3. 4. [k π - , k π + ], k ∈ Z6. (- , - ) U ( , )7. ( , )8. 1 152 317.（1） cos θ = ， sin θ = - ；（2） ；；（2）最小正周期 T = π ，单调增区间： [k π - , k π + ], k ∈ Z ；参考答案一. 填空题1.5.10 k π 3 π 5π3 2 5 12 1233 3π π π π 3 65 4 2 4 2 49. 30 + 10 310. [-1,1]`11. 312. 4二. 选择题13. C14. A 15. B 16. B三. 简答题3 4 95 5 418.（1） 17 3π π10 8 819.（1） π 3；（2） l ∈ (2,3] ；20.（1）对称轴 x = 2 ，单调减区间 (-∞, 2) ，单调增区间 (2, +∞ ) ；（2） m ∈ ( 3 - 42 , 3 + 42) ；6 621.（1） g ( x ) = cos 2 x ；（2） 2π ；2. cos 23π5. 在 ∆ABC 中， ∠A =2π， a = 3c ，则 = 8. 已知 θ 是第四象限角，且 sin(θ + ) = - ，则 tan(θ - ) =， sin(α - β ) = - ， α , β ∈ (0, ) ，则 β = （ ）B. C. D.A. y = 2sin(2 x - )B. y = 2sin(2 x - )C. y = 2sin(2 x + )D. y = 2sin(2 x + )上海市高一第二学期期中考试数学卷一. 填空题1. 弧度数为 3 的角的终边落在第象限3π - sin 2=883. 若函数 f ( x ) = a sin x + 3cos x 的最大值为 5，则常数 a =4. 已知 {a } 为等差数列， S 为其前 n 项和，若 a = 8 ， a + a = 0 ，则 S =n n1468a3 b6.函数 y = sin x - 3 cos x 的图像可由函数 y = 3 sin x + cos x 的图像至少向右平移个单位长度得到7. 方程 3sin x = 1 + cos2 x 的解集为π 3 π4 5 49. 无穷数列 {a } 由 k 个不同的数组成， S 为 {a } 的前 n 项和，若对任意 n ∈ N * ， S ∈{1,3} ， n nnn则 k 的最大值为10. 在锐角 ∆ABC 中，若 sin A = 3sin B s in C ，则 tan A t an B tan C 的最小值是二. 选择题11. 已知 sin α =10 5 π 10 5 2A. 5π π π π 12 3 4 612. 函数 y = A s in(ω x + ϕ ) 的部分图像如图所示，则（）ππ63ππ6313. “ sin α < 0 ”是“ α 为第三、四象限角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2），x=-4为f(x)的零点，x=4为y=f(x)的图像的对称轴，且f(x)在(,)单调，则ω的最大值为（）-=，S=63；a a a17.已知函数f(x)=4tan x sin(-x)cos(x-)-3；,]上的单调性与最值；18.已知方程arctan+arctan(2-x)=a；（1）若a=π，求arccos的值；14.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)（ω>0，|ϕ|≤ππππ5π836A.11B.9C.7D.5三.简答题15.在∆ABC中，a2+c2=b2+2ac；（1）求∠B的大小；（2）求cos A+2cos C的最大值；16.已知{a}是等比数列，前n项和为S（n∈N*），且n n（1）求{a}的通项公式；n 1121236（2）若对任意的n∈N*，b是log a和log an2n2n+1的等差中项，求数列{(-1)n b2}的前2n项和；nππ23（1）求f(x)的定义域与最小正周期；（2）求f(x)在区间[-ππ44x2x42（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；1. 二2. -23. ±44. 85. 36. 7. {x | x = k π + (-1)k ⋅ }, k ∈ Z8.9. 410. 122 , k ∈ Z } ， T = π ；, ] ，单调递减： [- ； （2） [arctan ,arctan ] ；（3）19 ；（3）若方程在区间 [5,15] 上有两个相异的解 α 、 β ，求 α + β 的最大值；参考答案一. 填空题π22π4 63二. 选择题11. C12. A 13. B 14. B三. 简答题15.（1） π；（2）1 ；416.（1） a = 2n -1 (n ∈ N * ) ；（2） T = 2n 2 ；n2n17.（1）定义域 {x | x ≠ k π + π（2）单调递增： [- π π π π , - 12 4 4 12]，最大值为 1，最小值为 -2 ；18.（1） π 或 π 1 13 -2 10 - 6 2 10 - 611。

上海重点中学2012学年高一第二学期数学期末考试(试卷含答案)

上海重点中学2012学年高一第二学期数学期末考试(试卷含答案)

12012学年度第二学期高一年级数学期末考试试卷 2013.6命题： 审卷： 打印：1. 若sin cos 1α⋅β=，则cos sin α⋅β=_______________.2. 设12,x x 是方程233sincos 055x x -π+π=的两解，则12arctan arctan x x +=________. 3. 000sin 20sin 40sin80⋅⋅= .4. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,73n a a ==，则n d +的最小值等于 ．5. 解方程x +log 2(2x-31)=5__________________。

6. 若tan θ＝－2，则θ+θ-θ2cos 12sin 2cos ＝______________ 7. 函数y=arcos(21－x 2)的值域是_______________． 8. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222cb a += . 9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为_____ 10. 设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =_____________．11. 已知a >0且a ¹1，试求使方程有解的k 的取值范围是___。

12. 设t s r ,,为整数，集合}0,222|{r s t a a tsr<<≤++=中的数由小到大组成数列}{n a ： ,14,13,11,7，则=36a 。

二、选择题13. 设f(x)=x 2－πx, α=arcsin31, β=arctan 45, γ=arcos(－31), δ=arccot(－45)，则（ ） A ．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ) B ．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)C ．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)D ．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)14. 已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。

上海延安实验初级中学数学高一下期中习题(含解析)

上海延安实验初级中学数学高一下期中习题(含解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：12413]已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π 2．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形3．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．(0分)[ID ：12404]已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4） 5．(0分)[ID ：12375]直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）A ．－3B ．－4C ．－6D ．36- 6．(0分)[ID ：12357]如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．87．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ）A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π 8．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12 C ．16 D ．19．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC 2aD ．22a 10．(0分)[ID ：12366]已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A 15B 5C ．64D 10 11．(0分)[ID ：12415]已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22π B ．743π C ．24πD ．36π12．(0分)[ID ：12406]圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-= 13．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π14．(0分)[ID ：12338]某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B ．1033C ．23D ．83315．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16．(0分)[ID ：12521]已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ． 17．(0分)[ID ：12518]若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．18．(0分)[ID ：12513]如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥； ④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）19．(0分)[ID ：12510]若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．20．(0分)[ID ：12485]三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.21．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .22．(0分)[ID ：12455]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.23．(0分)[ID ：12445]正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V ，则球O 的体积是______．24．(0分)[ID ：12507]在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．25．(0分)[ID ：12429]已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______. 三、解答题26．(0分)[ID ：12585]如图，ABCD 是正方形，O 是该正方体的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：BD ⊥平面PAC .27．(0分)[ID ：12564]四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ；（2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.28．(0分)[ID ：12545]如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为3，求二面角B AF C --的正切值．29．(0分)[ID ：12544]已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45时，求弦AB 的长．30．(0分)[ID ：12577]如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.(1)证明：BC ⊥平面ACFE ；(2)设点M 在线段EF 上运动，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求cos θ的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．D4．C5．A6．C7．C8．A9．D10．D11．C12．A13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝6 017．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线18．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD⊥平面ADC可推知BD⊥AC数量积为零②由折叠后AB＝AC＝BC三角形为等边三角形得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC根据正三棱锥的定义判断④平面ADC19．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程20．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球21．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因22．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角23．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥24．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在△APC中有AP＋PC＞AC在△BPD中有PB＋PD＞BD25．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ==本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径. 2．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.3．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案. 【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-，半径1r a =- 又由圆心到直线的距离为11222d -++==所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．C解析：C 【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积． 【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．9．D解析：D 【解析】 【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ， 11222HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.10．D解析：D 【解析】 【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角， 设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===， 设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为104，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解． 【详解】在ABC 中，∵2AB =，4AC =，25BC =AB AC ⊥， 则斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆的圆心，∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=． 故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。

2014-2015年上海市长宁区延安中学高一(下)期中数学试卷含解析

2014-2015年上海市长宁区延安中学高一(下)期中数学试卷含解析

2014-2015学年上海市长宁区延安中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分45分）本大题有15题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）函数y=sin2x的最小正周期是．2．（3分）函数y=﹣tanx的单调递减区间是．3．（3分）使函数取得最小值的x的集合是．4．（3分）求值：arcsin（cos）=．5．（3分）已知sinθ=2cosθ，则tan2θ的值为．6．（3分）已知角α的终边位于函数y=﹣3x的图象上，则cos2α的值为．7．（3分）函数的值域用区间表示为．8．（3分）在△ABC中，已知a=7，b=8，c=13，则角C的大小为．9．（3分）在△ABC中，已知A=45°，B=105°，则的值为．10．（3分）在△ABC中，已知a=5，b=8，并且△ABC的面积为10，则角C的大小为．11．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限角，则tan的值为．12．（3分）化简：cos（44°+θ）cos（θ﹣33°）+sin（θ﹣46°）sin（57°+θ）=．13．（3分）cosx﹣sinx可以写成2sin（x+φ）的形式，其中0≤φ＜2π，则φ=．14．（3分）把函数的图象向右平移个单位，得函数y=sin（x+θ）（0≤θ＜2π）的图象，则θ的值为．15．（3分）已知函数y=Asin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，|φ|≤π，在一个周期内，当时，函数取得最小值﹣2；当时，函数取得最大值2，由上面的条件可知，该函数的解析式为．二、选择题（本大题满分15分）本大题共有5题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．16．（3分）函数y=（）A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数17．（3分）化简cos（2π﹣θ）cos2θ+sinθsin（π+2θ）所得的结果是（）A．cosθB．﹣cosθC．cos3θD．﹣cos3θ18．（3分）方程的解为（）A．，k∈ZB．，k∈Z*C．，k∈ZD．，k∈Z19．（3分）sin3x=3sinx的一个充要条件是（）A．sinx=0B．cosx=0C．sinx=1D．cosx=1 20．（3分）若函数y=既存在最大值M，又存在最小值m，则M+m的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4三、解答题（本大题40分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．21．（8分）求方程（sinx+cosx）tanx=2cosx在区间（0，π）上的解．22．（10分）已知函数f（x）=asin2x+bcos2x（a＞b）的值域为[1，3]（1）求a、b的值与f（x）的最小正周期；（2）用五点法画出上述函数在区间[﹣π，π]上的大致图象．23．（10分）（1）证明三倍角的余弦分式：cos3θ=4cos2θ﹣3cosθ；（2）利用等式sin36°=cos54°，求sin18°的值．24．（12分）设f（x）=（1）若锐角θ满足tan2θ=，问：θ是否为方程f（x）=1的解？为什么？（2）求方程f（x）=1在区间（﹣∞，+∞）上的解集．2014-2015学年上海市长宁区延安中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分45分）本大题有15题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）函数y=sin2x的最小正周期是π．【解答】解：函数y=sin2x的最小正周期是=π，故答案为：π．2．（3分）函数y=﹣tanx的单调递减区间是（kπ﹣，kπ+），k∈Z．【解答】解：由正切函数的图象与性质，知；函数y=tanx的单调递增区间为：（kπ﹣，kπ+），k∈Z，所以函数y=﹣tanx的单调递减区间是：（kπ﹣，kπ+），k∈Z，故答案为：（kπ﹣，kπ+），k∈Z．3．（3分）使函数取得最小值的x的集合是{x|x=4kπ+2π，k∈Z} ．【解答】解：使函数取得最小值时，=2kπ+π，x=4kπ+2π，k∈Z，故x的集合是为{x|x=4kπ+2π，k∈Z}，故答案为：{x|x=4kπ+2π，k∈Z}．4．（3分）求值：arcsin（cos）=﹣．【解答】解：由题意，arcsin（cos）=arcsin（﹣）=﹣，故答案为﹣．5．（3分）已知sinθ=2cosθ，则tan2θ的值为﹣．【解答】解：sinθ=2cosθ，∴=tanθ=2，∴tan2θ===﹣．故答案为：﹣．6．（3分）已知角α的终边位于函数y=﹣3x的图象上，则cos2α的值为﹣．【解答】解：设点的坐标为（a，﹣3a），则r=|a|，a＞0，sinα=﹣，cosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣；a＜0，sinα=，cosα=﹣，cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣．综上，c os2α的值为﹣．故答案为：﹣．7．（3分）函数的值域用区间表示为（﹣，1] ．【解答】解：∵x∈（﹣，），∴sinx∈（﹣，1]，故函数的值域为（﹣，1]，故答案为：（﹣，1]．8．（3分）在△ABC中，已知a=7，b=8，c=13，则角C的大小为．【解答】解：∵在△ABC中a=7，b=8，c=13，∴由余弦定理可得cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴C=故答案为：9．（3分）在△ABC中，已知A=45°，B=105°，则的值为．【解答】解：在△ABC中，∵A=45°，B=105°，∴C=180°﹣A﹣B=30°，由正弦定理得，则==，故答案为：．10．（3分）在△ABC中，已知a=5，b=8，并且△ABC的面积为10，则角C的大小为或．【解答】解：∵a=5，b=8，并且△ABC的面积为10，∴=10，得sinC=，∵0＜C＜π，∴C=或，故答案为：或．11．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限角，则tan的值为．【解答】解：∵sinα=，并且α是第二象限角，∴cosx=﹣=﹣，∴tanα==﹣．由2kπ+＜α＜2kπ+π，求得kπ+＜＜kπ+，故是第一或第三象限角，∴tan＞1．再根据tanα=﹣=，求得tan=或tan=﹣（舍去），故答案为：．12．（3分）化简：cos（44°+θ）cos（θ﹣33°）+sin（θ﹣46°）sin（57°+θ）=0．【解答】解：∵sin（θ﹣46°）=cos（90°﹣θ+46°）=﹣cos（180°﹣136°+θ）=﹣cos （44°+θ），又∵sin（57°+θ）=cos（90°﹣57°﹣θ）=cos（33°﹣θ），∴cos（44°+θ）cos（θ﹣33°）+sin（θ﹣46°）sin（57°+θ）=cos（44°+θ）cos（θ﹣33°）﹣cos（44°+θ）cos（33°﹣θ）=0．故答案为：0．13．（3分）cosx﹣sinx可以写成2sin（x+φ）的形式，其中0≤φ＜2π，则φ=．【解答】解：cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2sin（x+）=2sin（x+φ），∵0≤φ＜2π，∴φ=，故答案为：．14．（3分）把函数的图象向右平移个单位，得函数y=sin（x+θ）（0≤θ＜2π）的图象，则θ的值为．【解答】解：把函数的图象向右平移个单位，得函数y=sin（x﹣﹣）=sin（x﹣+2π）=sin（x+）=sin（x+θ）（0≤θ＜2π）的图象，则θ=，故答案为：．15．（3分）已知函数y=Asin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，|φ|≤π，在一个周期内，当时，函数取得最小值﹣2；当时，函数取得最大值2，由上面的条件可知，该函数的解析式为y=2sin（2x﹣）．【解答】解：由函数的最小值为﹣2，∴A=2，，T=π，=2，∵函数图形过点（，﹣2），代入y=2sin（2x+φ），∴φ=﹣，∴函数的解析式为：y=2sin（2x﹣），故答案为：y=2sin（2x﹣）．二、选择题（本大题满分15分）本大题共有5题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．16．（3分）函数y=（）A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【解答】解：函数y=f（x）==（sinx﹣cosx）﹣sinx=﹣cosx，∵f（﹣x）=﹣cos（﹣x）=﹣cosx=f（x），∴函数y=是偶函数．故选：B．17．（3分）化简cos（2π﹣θ）cos2θ+sinθsin（π+2θ）所得的结果是（）A．cosθB．﹣cosθC．cos3θD．﹣cos3θ【解答】解：∵诱导公式：cos（α+2kπ）=cosα，k∈Z；cos（﹣α）=cosα，sin（π+α）=﹣sinα；余弦的两角和公式：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβcos（2π﹣θ）cos2θ+sinθsin（π+2θ）=cos（﹣θ）cos2θ+sinθ（﹣sin2θ）=cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=cos（θ+2θ）=cos3θ故选：C．18．（3分）方程的解为（）A．，k∈ZB．，k∈Z*C．，k∈ZD．，k∈Z【解答】解：∵，∴x=2kπ+或2kπ+，k∈Z，故选：A．19．（3分）sin3x=3sinx的一个充要条件是（）A．sinx=0B．cosx=0C．sinx=1D．cosx=1【解答】解：∵sin3x=3sinx﹣4sin3x，∴sin3x=3sinx⇔sinx=0故选：A．20．（3分）若函数y=既存在最大值M，又存在最小值m，则M+m的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【解答】解：y===﹣2+．令g（x）=，则M=﹣2+g max（x），m=﹣2+g min（x）．∵g（﹣x）==﹣g（x）．∴g（x）是奇函数．∴g max（x）+g min（x）=0，∴M+m=﹣2+g max（x）﹣2+g min（x）=﹣4．故选：D．三、解答题（本大题40分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．21．（8分）求方程（sinx+cosx）tanx=2cosx在区间（0，π）上的解．【解答】解：（sinx+cosx）tanx=2cosx，即：（sinx+cosx）=2cosx⇔sin2x+sinxcosx=2cos2x⇔cos2x+sin2x=1+cos2x⇔sin2x﹣3cos2x=1⇔sin（2x﹣θ）=1，θ=ar ctan3．⇔sin（2x﹣θ）=，2x﹣θ=arcsin或2x﹣θ=π﹣arcsin，故得x=（arctan3+arcsin）或x=（π﹣arcsin+arctan3）22．（10分）已知函数f（x）=asin2x+bcos2x（a＞b）的值域为[1，3]（1）求a、b的值与f（x）的最小正周期；（2）用五点法画出上述函数在区间[﹣π，π]上的大致图象．【解答】解：（1）f（x）=asin2x+bcos2x（a＞b），由降幂公式，可得：f（x）=a•+b，=（b﹣a）cos2x+（a+b），函数f（x）的值域为[1，3]，（a＞b）（b﹣a）+（a+b）=1，﹣（b﹣a）+（a+b）=3，解得：a=3，b=1，∴f（x）=﹣cos2x+2，T===π，f（x）的最小正周期π；（2）函数在区间[﹣π，π]上的大致图象如图．23．（10分）（1）证明三倍角的余弦分式：cos3θ=4cos2θ﹣3cosθ；（2）利用等式sin36°=cos54°，求sin18°的值．【解答】解：（1）证明：cos3θ=cos（2θ+θ）=cos2θcosθ﹣sin2θsinθ=（2cos2θ﹣1）cosθ﹣2sin2θcosθ=2cos3θ﹣cosθ﹣2（1﹣cos2θ）cosθ=4cos3θ﹣3cosθ．（2）sin36°=cos54°，∵sin36°=2sin18°cos18°∵cos54°=4cos318°﹣3cos18°．∴2sin18°=4cos218°﹣3．则sin18°=2cos218°﹣．2（1﹣sin218°）﹣sin18°﹣=0，令sin18°=t，（t＞0）则有：2﹣2t2﹣t﹣=0，解得：t=，即sin18°的值为24．（12分）设f（x）=（1）若锐角θ满足tan2θ=，问：θ是否为方程f（x）=1的解？为什么？（2）求方程f（x）=1在区间（﹣∞，+∞）上的解集．【解答】解：（1）tan2θ==，即12tan2θ+7tanθ﹣12=0，解得：tanθ=或，∵θ是锐角，可得tanθ=．即那么：sinθ=，cosθ=．∴f（θ）=﹣=1，故得锐角θ满足tan2θ=时，θ是方程f（x）=1的解；（2）由（1）可知，tanx=，x是方程f（x）=1的解．则x=arctan，∴方程f（x）=1在区间（﹣∞，+∞）上的解集为{x|x=arctan+kπ，k∈Z}．。

上海高一数学下期中试卷及答案

上海高一数学下期中试卷及答案

期中考试高一数学试题班级 姓名 学号 成绩 2013.4.一.填空题（本题满分44分,每小题4分）1.化简2sin2cos21-的结果是 。

2. 如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限。

3.若{}36030,k k Z αα==⋅+∈，则其中在720720-之间的角有 。

4. 若()1tan -=β+α，且3tan =α，则=βtan 。

5. 设02παβ<<<，则()12αβ-的取值范围是 。

6.已知,212tan =θ则()()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-θθ-πθ-ππ-θ12sin 2cos sin cos 。

7. 已知1sin sin 2=+αα，则24cos cos α+= 。

8.在ABC ∆中，若4222c b a S -+=∆，则C ∠的大小是 。

9.已知y x y x sin cos ,21cos sin 则=的取值范围是 .10.在ABC ∆中，2cos sin 2=+B A ，3cos 2sin =+A B ，则∠C 的大小应为 。

11.函数()x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数()x f 在[]b a ,上的面积，已知函数nx y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡n π,0上的面积为()2n N n *∈。

则函数x y 3s i n =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0π上的面积为 ，函数()13sin +-=πx y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,3ππ上的面积为 . 二、选择题（本题满分12分,每小题3分）12. 函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴和一个对称中心是 （ ）.A 4x π= ,,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B 2x π=, ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭.C 4x π=-, ,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D 2x π=- ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭13.若542cos ,532sin=θ=θ，则角θ的终边在 ( ) .A 第I 象限 .B 第II 象限 .C 第I 象限第III 象限 .D 第IV 象限14. 若40πβα<<<，b a =+=+ββααcos sin ,cos sin ,则 （ ）.A a b < .B a b > .1C ab < .2D ab >15. 在ABC ∆中，B A 22cos cos <是B A >的 （ ） A .充分条件但非必要条件 B .必要条件但非充分条件C .充分必要条件D .既非充分条件又非必要条件 三、解答题(本题满分44分)16.（本题满分8分）已知一扇形的圆心角是α，所在的圆的半径为r 。

上海市延安中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

上海市延安中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

上海市延安中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________5．在正方体111ABCD A B C -角的正切值为．
6．设211n a n n =++，由1a ，猜想．（选填“正确”或7．长方体1111ABCD A B C D -的则球的表面积为．
8．如图，在四面体OABC 中，OG xOA yOB zOC =++ ，则乘积
10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法
11．如图，在透明塑料制成的长方体
一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH
二、单选题
A．2B
16．如图，正方体ABCD
直线EF的平面分别与棱
四边形MENF一定为菱形；②若四边形最大值；③若四棱锥A-
中正确结论有多少个?（
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3(1)求证：//PA 平面MBD ；
(2)若2AB PA ==，求直线18．如图，圆锥的顶点是S 且4AC =，3AS =．
(1)求异面直线PQ 与SO 所成角的正切值；
(2)在该圆锥侧面上，求从19．如图，在四棱锥P ABCD -2AB =，2PD BC ==．
(1)求证：CD ⊥平面PAD ；。

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上海市延安中学2012学年度第二学期期中考试（高一数学）（考试时间：90分钟 满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题（本大题共48分，每小题3分） 1、2013-的终边在第___________象限角. 2、若1cos 3α=，则cos 2α=___________. 3、设α的终边过点(1,2)，则sin α=___________. 4、若tan 2α=，则sin 2cos cos 3sin αααα++=___________.5、函数1sin(2)23y x π=+的最小正周期是___________. 6、化简：tan()cos(3)sin()απαππα+-+=___________.7、函数cos(2)4y x π=-的单调递减区间为___________.8、已知5cos 13x =，且x 为第四象限角，则tan 2x=___________. 93sin x x -写成2sin()x ϕ+的形式，其中02ϕπ≤≤，则ϕ=___________. 10、函数lg tan y x =的定义域为___________.11、已知ABC ∆中，三内角满足222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，则A =___________. 12、已知(tan )cos 2f x x =，则(1)f -=___________.13、若α、β为第二象限角，则αβ>是sin sin αβ<的______________________条件. 14、函数3sin 4cos y x x =+在(0,)2x π∈的值域为___________.15、已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为___________.16、在锐角ABC ∆中， 1a =，2B A =，则b 的取值范围为__________.二、选择题（本大题共12分，每小题3分）17、若()sin f x x 是最小正周期为π的奇函数，则()f x 可以是（ ） （A ）sin 2x（B ）cos 2x（C ）sin x（D ）cos x18、已知tan100t =，则cos 20=（ ）（A ）221tt +（B ）2211t t-+（C ）2211t t -+（D ）221tt - 19、将函数sin y x =的图像上的所有点向右平移10π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=-20、关于函数1sin 2cos 21sin 2cos 2x xy x x+-=++有以下说法：（1）在定义域内它是一个奇函数；（2）在定义域内它是一个单调递增函数；（3）它是一个周期函数，最小正周期为π； （4）它的值域为R . 其中正确的个数为（ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个三、简答题（本大题共40分） 21、（本题6分）ABC ∆中，3A π=，最大边与最小边恰好为方程27110x x -+=的两根，求三角形第三边长.22、（本题6分）已知α是三角形的一个内角，且满足1sin cos 5αα+=，求tan α.23、（本题6分）已知4sin()45πα-=-，35sin()413πβ+=，且3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求sin()αβ-的值.24、（本题7分）已知函数2sin 21y x =-+，（1）试写出该函数的定义域、值域、奇偶性及单调区间（不必证明）； （2）利用五点法作出该函数在[0,]x π∈上的大致图像（请列表）.25、（本题7分）已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x πϕϕϕ=+-+(0)2πϕ<<，其图像过1(,)62π.（1）求ϕ的值；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在[0,]4π上的最大值和最小值.26、（本题8分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度4h m =，仰角ABE α∠=，ADE β∠=.（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan 1.24α=，tan 1.20β=，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量的精度.若电视塔实际高度为125m ，试问d 为多少时，αβ-最大？d βαAEC上海市延安中学2012学年度第二学期期中考试（高一数学）（考试时间：90分钟 满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题（本大题共48分，每小题3分） 1、2013-的终边在第______二_____象限角. 2、若1cos 3α=，则cos 2α=______79-_____.3、设α的终边过点(1,2)，则sin α=______55_____. 4、若tan 2α=，则sin 2cos cos 3sin αααα++=______47_____.5、函数1sin(2)23y x π=+的最小正周期是______π_____. 6、化简：tan()cos(3)sin()απαππα+-+=______1_____.7、函数cos(2)4y x π=-的单调递减区间为_____5[,],88k k k Z ππππ++∈______. 8、已知5cos 13x =，且x 为第四象限角，则tan 2x=______23-_____.93sin x x -写成2sin()x ϕ+的形式，其中02ϕπ≤≤，则ϕ=______23π_____. 10、函数lg tan y x =的定义域为______(,),2k k k Z πππ+∈_____.11、已知ABC ∆中，三内角满足222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，则A =_____3π____. 12、已知(tan )cos 2f x x =，则(1)f -=_____0______.13、若α、β为第二象限角，则αβ>是sin sin αβ<的____既非充分又非必要___条件. 14、函数3sin 4cos y x x =+在(0,)2x π∈的值域为______(3,5]_____.15、已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为______2-_____.16、在锐角ABC ∆中， 1a =，2B A =，则b 的取值范围为__________. 二、选择题（本大题共12分，每小题3分）17、若()sin f x x 是最小正周期为π的奇函数，则()f x 可以是（ D ） （A ）sin 2x（B ）cos 2x（C ）sin x（D ）cos x18、已知tan100t =，则cos 20=（ C ）（A ）221tt+（B ）2211t t-+（C ）2211t t -+（D ）221tt- 19、将函数sin y x =的图像上的所有点向右平移10π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ C ） （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=-20、关于函数1sin 2cos 21sin 2cos 2x xy x x+-=++有以下说法：（1）在定义域内它是一个奇函数；（2）在定义域内它是一个单调递增函数；（3）它是一个周期函数，最小正周期为π； （4）它的值域为R . 其中正确的个数为（ A ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个三、简答题（本大题共40分） 21、（本题6分）ABC ∆中，3A π=，最大边与最小边恰好为方程27110x x -+=的两根，求三角形第三边长. 若A 为最大角，则23B C π+<，与23B C π+=矛盾，同理，A 也不为最小角。

从而三角形第三边，即A 的对边a .由已知结合余弦定理可得：2273()2(1cos )4922164112b c a b c bc A a bc +=⎧⇒=+-+=-⋅=⇒=⎨=⎩22、（本题6分）已知α是三角形的一个内角，且满足1sin cos 5αα+=，求tan α. sin 01sin cos (0,1)(,)cos 052απαααπα>⎧+=∈⇒∈⇒⎨<⎩，结合22sin cos 1αα+=可解得4sin 45tan 33cos 5ααα⎧=⎪⎪⇒=-⎨⎪=-⎪⎩23、（本题6分）已知4sin()45πα-=-，35sin()413πβ+=，且3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求sin()αβ-的值.3(,0)cos()4245πππαα-∈-⇒-=，33312(,)cos()44413πππβπβ+∈⇒+=- 363sin()sin()sin[()()]4465ππαβπαβαβ-=-+=-++=24、（本题7分）已知函数2sin 21y x =-+，（1）试写出该函数的定义域、值域、奇偶性及单调区间（不必证明）； （2）利用五点法作出该函数在[0,]x π∈上的大致图像（请列表）. （1）x R ∈，[1,3]y ∈-，非奇非偶函数， 增区间：3[,],44k k k Z ππππ++∈，减区间：[,],44k k k Z ππππ-+∈ （2）略25、（本题7分）已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x πϕϕϕ=+-+(0)2πϕ<<，其图像过1(,)62π.（1）求ϕ的值；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在[0,]4π上的最大值和最小值.（1）代入1(,)62π，c o s 22,3k k Z πϕϕϕπ+=⇒=+∈，又02πϕ<<，故3πϕ= （2）21111()2cos 2cos 2sin(2)24426f x x x x x x π=+-=+=+；从而 1()(2)sin(4)26g x f x x π==+7[0,]4[,]4666x x ππππ∈⇒+∈，所以当12x π=时，max 1()2g x =；当4x π=时，min 1()4g x =- 26、（本题8分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度4h m =，仰角ABE α∠=，ADE β∠=.（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan 1.24α=，tan 1.20β=，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量的精度.若电视塔实际高度为125m ，试问d 为多少时，αβ-最大？（1）410tan 1.23h BD m β===10312411cot cot 1.2 1.24BDH m βα===-- （2）BED αβ∠=-，tan H d α=， 4tan tan 4tan H H dd βββ-=⇒=+，24tan tan 4tan()41tan tan (4)1555H H d d d H H d H H d dαβαβαβ----===-++-+⋅≤==，当且仅当d m =，tan()αβ-取到最大值，即αβ-最大.dβαAEC。

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