东北大学2012-2013(1)概率统计试题及答案
2012年秋季学期 概率论考题及答案
哈工大 2012年秋季学期概率论与数理统计 试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件A 、B 相互独立，事件B 、C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为__________ ．2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布， 则21e X Y-=-的概率密度为()Y f y =______ ____．3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0()20, 0xx x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，利用契比雪夫不等式估计概率≥<<)51(X P ______．4．已知铝的概率密度2~(,)X N μσ，测量了9次，得 2.705x =，0.029s =，在置信度0.95下，μ的置信区间为______ ____．5．设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，令),min(Y X Z =，),max(Y X W =, 则)1(≥+W Z P = ．（0.0250.050.050.025(8)23060,(8)18595,(9) 1.8331,(9) 2.2622t t t t =⋅=⋅==()1.960.975Φ=，()1.6450.95Φ=)二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．设0()1, 0()1, ()()P A P B P B A P B <<<<=，则与上式不等价的是（A ）A 与B 不相容. （B ）()()P B A P B A =.（C ）)()(A P B A P =. （D ）)()(A P B A P =． 【 】2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，则 （A ）1EX λ=，21DX n λ=． （B ）,λ=X E n X D λ=． （C ）,nX E λ=2n X D λ=． （D ）,λ=X E λn X D 1=． 【 】 3．设随机变量X 的概率密度为2, 01()0, x x f x <<⎧=⎨⎩其他，则)2(DX EX X P ≥-等于（A）99-. （B）69+. （C ）928-6. （D）69-． 【 】 4．如下四个函数，能作为随机变量X 概率密度函数的是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,11)(2x x x x f . （B ）0,157(),1116160, 1x f x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩.（C ）1()e ,.2xf x x -=∈R . （D ）1e ,0()0,0x x f x x -⎧->=⎨≤⎩ . 【 】5．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ-=X Sn Y 其中X 为样本均值，2S 为样本方差，则 【 】 （A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n - （D ）~(1,1)Y F n -．三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求=A “该段时间内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。
2012―2013学年第二学期概率论与数理统计试卷(本科及专升本)
第 1 页 共 3 页一、单项选择题（每小题3分，共21分）1．对于事件B A ,，若∅=B A ，则下列说法中正确的是 （ ） A 、B A ,为对立事件B 、0)(=A P 或0)(=B PC 、B A ,互不相容D 、B A ,独立2．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列说法中错误的是 （ ） A 、)(x F 是不减函数B 、)(x F 必为),(+∞-∞上的连续函数C 、0)(=-∞FD 、1)(≤x F3．设连续型二维随机变量的联合概率密度函数为),(y x f ，则必有 （ ）A 、1),(0≤≤y x fB 、),(y x f 为xOy 平面上的连续函数C 、1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f D 、1),(=+∞+∞f4．设Y X ,是两个随机变量，则下式中一定成立的是 （ ）A 、)()()(Y E X E Y X E +=+B 、)()()(Y E X E XY E =C 、)()()(YD X D Y X D +=+ D 、)()()(Y D X D XY D =5．随机变量 n X X X ,,,21 相互独立，服从同一分布，且具有期望和方差，0)(,)(2>==σμk k X D X E ，当n 充分大时，近似服从)1,0(N 的是 （ ）A 、σμn n Xnk k∑=-1B 、21σμn n Xnk k∑=-C 、σμn n Xnk k∑=-1D 、21σμn n Xnk k∑=-6．设4321,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布的样本，其中θ未知， 以下估计量中哪个不是θ的无偏估计量？ （ ） A 、443211X X X X T +++=B 、722343211X X X X T +++=C 、3643211X X X X T +++=D 、5243211X X X X T +++= 7．对于一个原假设为0H 的假设检验问题，有可能犯的第一类错误是指（ ）A 、0H 成立时，检验结果接受0HB 、0H 成立时，检验结果拒绝0HC 、0H 不成立时，检验结果接受0HD 、0H 不成立时，检验结果拒绝0H二、填空题（每小题3分，共24分）1．设C B A ,,为三个事件，则事件“C B A ,,都不发生” 可以用C B A ,,的运算关系表示为 ．2．10片药片中有5片是安慰剂，从中任取2片，其中至少有1片是安慰剂的概率为 ．3．三人独立地去破译一份密码，各人能译出的概率分别为3.0,2.0,1.0， 三人中至少有一人能将此密码译出的概率为 ．第 2 页 共 3 页4．一射击运动员每次射击命中的概率为7.0，以X 表示他首次命中时 累计已射击的次数，则{}3=X P 为 ．5．随机变量X 在4,3,2,1中等可能地取一个值，随机变量Y 在X ~1中 等可能地取一个整数值，则{}4=Y P 为 ． 6．随机变量)2,0(~U X ，则=)(X D ． 7．总体)6(~2χX ，1021,,,X X X 是来自X 的样本，则=)(X D．8．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值， 则~X ．三、解答题（第1题8分，第2题9分，共17分）1．对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为80%，而当机器发生某种故障时，产品的合格率为30%．每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为90%．（1）求每天早上第一件产品是合格品的概率；（2）若某天早上第一件产品是合格品，求此时机器调整良好的概率．2．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=其它,031,10,1)(x kxx xx f（1）确定常数k ； （2）求()20<<X P ．四、解答题（第1题10分，第2题10分，共20分）1．设随机变量X 与Y 的联合分布律为 求：（1）常数a 值；（2）X 与Y 是否独立？为什么？(3) 设Y X Z +=，求Z 的分布律．第 3 页 共 3 页X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎪≤>-0,00,313x x e x．1000800元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．五、解答题（第1题8分，第2题10分，共18分）X 具有分布律 )1<<θ为未知参数．,2,1,3321===x x x 求θ的矩估计值．2．某批铁矿石的9个样品中的含铁量，经测定为（%）35 36 36 38 38 39 39 40 41设测定值总体服从正态分布，但参数均未知， （1）求样本均值和样本标准差；（2）在01.0=α下能否接受假设：这批铁矿石的含铁量的均值为39%？ （3554.3)8(005.0=t ）。
2012数值分析试题及答案
aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
)
,
j 1
i 1,2,, n
(1) 求此迭代法的迭代矩阵 M ；
(2) 证明：当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，此迭代格式收敛.
解：迭代法的矩阵形式为：
x(k1) x(k) D 1 (b Ax (k) ) D 1 (D A)x(k) D 1b
x2 3/5
）.
线 …
8．对离散数据 xi yi
1 0 1 2 的拟合曲线 y 5 x 2 的均方差为( 2.5 1.58 ).
2 1 1 3
6
…
…
…
9．设求积公式
2
f (x)dx
1
A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1) 是插值型求积公式，则积分系
… 数 A0 3/ 4 , A1 0 , A2 9 / 4 .
2
2
2
2
2
2
R[ f ] 0 f (x)dx 0 p1 (x)dx 0 f (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 p1(x)dx
2 f (4) ( x ) (x 1 )2 (x 1 )2 dx f (4) () 2 (x2 1)2 dx
…
四、(10 分)利用复化 Simpson 公式 S2 计算定积分 I
2
cos
xdx
的近似值，并估
0
… 计误差。
… …
解：
I
S2
1 [cos0 6
cos2
2012秋季期概率I试卷标准答案127
北方工业大学《概率论与数理统计I 》课程试卷答案及评分标准A 卷2012年秋季学期开课学院： 理学院考试方式：闭卷考试时间：120 分钟班级 姓名 学号 注意事项：1.最后一页可以撕下作稿纸，但不能把试卷撕散，撕散试卷作废。
2.可以使用简易计算器，但不可使用有存储功能的文曲星、掌上电脑等，否则视为作弊。
一、填空题：（每题4分，共20分）1. 设A 与B 为互斥事件，()0>B P ，则()=B A P 02. 设随机变量 ),(~p n B X 且 4.2=EX ，44.1=DX ，则 =n 6 ，=p 0.4 。
3. 已知)1,0(N ~X ，则}0X {P >= 0.5 。
4. 设22,),,(~σμσμN X 均未知,样本容量为n ，样本方差为2s , 2σ的95%的置信区间为 ()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11,112222212n s n n s n ααχχ。
5. 设随机变量4321X ,X ,X ,X 相互独立，服从相同的正态分布),(N 2σμ，则)X 2X X 2X X X X X (21Y 4321242322212--+++=σ服从 )2(2χ 分布。
二、选择题（每题4分，共20分）1. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是 （C ）订线装（A ） 8 （B ） 16 （C ） 34 （D ） 442.随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()C X E X P ==)}({。
（A ）1-e （B ）121-e（C ）22-e（D ）221-e3. 设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为 (A ) 。
（A ）a 21 （B ） a2 （C ）a +21 （D ） a 211-4. 为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()43(y x Ke y x f y x 为二维随机向量()Y ,X 的联合密度,则K 必为（ C ） 。
(完整版)12-13-1概率统计期中试卷(理工)答案
1天津工业大学（2012—2013学年第一学期）《概率论与数理统计》（理工类）期中试卷 (2012/11)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在其它处视为作弊。
本试卷共有8页，共八道大题，请核对后做答，若有疑问请与监考教师联系。
一．填空题（本题满分28分）1.设B A ,是两个事件，5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，30)(.B A P =，则)(B A P Y )(A B P2.某系统连接方式如图,4个独立工作的元件k A 可靠的概率为)4321(,,,k p k =.3.一袋中装有7只球，其中3只白球、4只红球，现从袋中依次取出3只球，取到的白球的数目为X ，则X 的分布律在有放回在不放回情形下为 -----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线----------------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线---------------------------------------------24.设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧<<=0 10 )(其它,x ,Ax x f X ，则常数A13+=X Y 的概率密度=)(y f Y5．设随机变量X 的分布律为则X 的分布函数为=)(x F X．6．设随机变量)(λ~X π（泊松分布），且20)(-==e X P ，则常数λ≤)2(X P7．设随机变量)61(,U ~X （均匀分布），则X的概率密度函数为t 的二次方程012=+-Xt t 有实根的概率为8．设随机变量X 的概率密度函数为2(3)4(),x f xx +-=-∞<<+∞则23+=X Y ；而概率)2(->Y P 知9772.0)2(=Φ）．3二．（本题满分10分）设某厂有甲乙丙三条流水线生产同一种产品，产量分别占15%，80%，5%；次品率分别为0.02，0.01和0.03；三条流水线的产品混放在同一库房。
1概率论试卷2012-2013_3
2, 0 x 1,0 y x 为：f(x,y)= 其他 0,
求 E XY 及 D( XY ) .
x
x
1 , x 2 y, 当 0 y 1 时， f X |Y x | y y y ………………………………….5 分 0.
1 , x 2 y x, 当 0 x 1 时， fY | x y | x x x 2 ………………………………….5 分 0.
院
班
级
学
号
姓
名
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
得分
六.计算题 （每小题 5 分，共 10 分）
六、 （10 分）设二维连续型随机变量 X , Y 的联合概率密度为：
：
得分
六.计算题 （每小题 5 分，共 10 分）
如果各周需要量相互独立，求两周需要量的概率密度函数。 解 设第一周需要量为 X，第二周需要量为 Y.则 X,Y 的密度函数均为
xe x , x 0, f ( x) x 0. 0,
， 所 以 (
x 5000 ) (2.3). 50
故
x 5000 2.3 50
A
）
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共计 15 分）
：
B. F (b) F (a) P( X a) ； D. F (b) F (a) P( X b) .
1.已知事件 A ， B 有概率 P( A) 0.4 ， P( B) 0.5 ，条件概率 P( B | A) 0.3 ， 则 P( A B) _0.62_____ ．
2012-2013-1概率统计A期末考试卷B卷参考答案与评分标准
江科技学院2012-2013学年第一学期期末考试试卷B 卷考试科目 概率论与数理统计A 考试方式 闭 完成时限 2小时 拟题人 审核人 批准人 2012 年 1 月 16 日参考答案及评分标准一、选择题。
在题后括号内，填上正确答案代号。
（本大题共7小题，每小题3分，共21分）（1）A ； （2）B ； （3）D ； （4）A ； （5）C ； （6）D. （7）C. 二、填空题。
在题中“ ”处填上答案。
（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 12A A B ⋃； 2. 0.1 、 0.2 ； 3.2π； 4. 0.1 ；5. 0.2967；6. 2 、 27. [5.9775,6.2225] . 三． 计算题.（本大题共6小题，总计52分）1．（8分）解：（1）设A=“此人是男人”，B=“此人是色盲患者”，则由全概率公式，有()()(|)()(|) 0.50.050.50.00250.02625;P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= …………..4分（2）由贝叶斯公式，()()(|)0.50.95(|)0.4878.1()10.02625()P AB P A P B A P A B P B P B ⨯====--…………..8分 2.（8分）解：联合分布律为…………..4分两个边缘分布律为 (6)分…………..8分3.（12分）解：(1) 1 0 42,01()(,)0, X xydy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他，同理，2,01()0, Y y y f y <<⎧==⎨⎩其他； …………..2分因此,,(,)()()X Y x y f x y f x f y ∀-∞<<+∞=， 所以X 与Y 相互独立；…..4分 （2） 1 1 011{1}(,)4;6xx y P XY f x y dxdy dx xydx -+≤+≤===⎰⎰⎰⎰………..8分（3） 1 02()23E X x xdx =⋅=⎰，…10分 1 1 0 04()49E XY dx xy xydy =⋅=⎰⎰...12分4.（8分）解：22()22(1)3(1)32E X θθθθθ=+⨯-+⨯-=-，由()E X x =，得4323θ-=，解得θ的矩估计值为56θ=；…………..4分 似然函数为225()2(1)2(1)L θθθθθθθ=⋅-⋅=-，则对数似然函数为ln ()ln25ln ln(1)L θθθ=++-，令l n ()5101d L d θθθθ=-=-，解得θ的极大似然估计值为56θ=.…………..8分 5.（8分）解：X 服从二项分布(100,0.2)B ，概率分布为100100()0.20.8kk k P X k C -==⋅⋅；…………..3分()()()()(1430) 2.5 1.5 2.5 1.510.927P X ⎛≤≤≈Φ-Φ ⎝=Φ-Φ-=Φ+Φ-= …………..8分 6.（8分）解：要检验01:70,:70,H H μμ=≠…………..2分检验统计量为6(70)X t S -==，…………..4分 查表得0.0252(35)(35) 2.0301t t α==，因此拒绝域为{|| 2.0301}t >，…………..6分算得t 的观测值为6(66.570)1.42.030115t ⨯-==<，不在拒绝域内， 故接受0H ，即可以认为全体考生的平均成绩为70分 …………..8分四．证明题（本题6分） 证明:212-ln(1)()()()(1)=()2y e yY X X F y P Y y P y P X e f x dx ---∞-=≤=-≤=≤-⎰………..3分2222,0()()(1)20, y yyY Y X e y f y F y f e e---⎧>'==-⋅=⎨⎩其他, 所以2)1ln(X Y --=服从参数为2的指数分布 …………..6分。
2012年考研数学概率论真题与答案--WORD版
2012年概率论考研真题与答案1. （2012年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与4的指数分布，则{}P X Y <=_________. 【A 】A ．15 B. 13 C. 25 D. 45解：X 与Y 的概率密度函数分别为：,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩， 44,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 因为X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合密度函数为44,0,0(,)()()0,x y X Y e x y f x y f x f y --⎧>>=⋅=⎨⎩其他 {}40(,)4x y xx yP X Y f x y dxdy dx e dy +∞+∞--<∴<==⎰⎰⎰⎰450145xyx xe dx edy e dx +∞+∞+∞---===⎰⎰⎰2. （2012年数学一）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为______.A ．1 B.12 C. 12- D. 1- 答案：D.解：设两段长度分别为X 和Y ，显然满足1X Y +=，即1Y X =-+，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为1-.3. （2012年数学三）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，{}221P X Y +≤=_________. 【D 】A ．14 B. 12 C. 8π D. 4π解：X 与Y 的概率密度函数分别为：1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他， 1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他又X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合密度函数为1,0,1(,)()()0,X Y x y f x y f x f y <<⎧=⋅=⎨⎩其他， 从而 {}222211(,)4D x y P X Y f x y dxdy S π+≤+≤===⎰⎰.4. （2012年数学三）设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)(0)N σσ>的简单随机样本，则统计量12342X X X X -+- 的分布为_________. 【B 】A. (0,1)NB. (1)tC.2(1)χ D. (1,1)F解：因为2(1,)i X N σ ，所以212(0,2)X X N σ-(0,1)N 234(2,2)X X N σ+(0,1)N ，22342(2)(1)2X X χσ+- . 因为1234,,,X X X X2342(2)2X X σ+-也相互独立， 从而1234(1)2X X t X X -=+-5. （2012年数学一、三）设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，11(),()23P AB P C ==，则()____P AB C =. 【34】解：由于A 与C 互不相容，所以AC φ=，则ABC φ=，从而()0P ABC =;10()()()32()14()()13P ABC P AB P ABC P AB C P C P C --====-6. （2012年数学一、三）设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为（1）求{}2P X Y =；（2）求(,)Cov X Y Y -.解：（1）{}{}{}120,02,14P X Y P X Y P X Y ====+===.（2） 由(,)X Y 的概率分布可得,,X Y XY 的概率分布分别为，，所以 23EX =,1EY =,2522,,()333EY DY E XY ===(,)()0Cov X Y E XY EX EY =-⋅=故： 2(,)(,)3Cov X Y Y Cov X Y DY -=-=-7. （2012年数学一）设随机变量X 和Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ和2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且0σ>. 设Z X Y =-. （1）求Z 的概率密度2(,)f z σ；（2）设12,,,n Z Z Z 是来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ；（3）证明 2σ是2σ的无偏估计量. 解：（1） 因为2(,)X N μσ ，2(,2)Y N μσ ，且X 和Y 相互独立，故2(0,3)Z X Y N σ=-2226(;),z f z z R σσ-∴=∈（2）似然函数为 2116221()(;)ni i nz i i L f z σσσ=-=∑==∏两边取对数，得222211l n ()l n 26nii nL n zσσσ==--∑关于2σ求导，得2222221ln ()1+26()nii d L n z d σσσσ=-=∑ 令22ln ()0,d L d σσ= 解得λ的最大似然估计值 22113n i i z n σ==∑ 因此，λ的最大似然估计量 22113n i i Z n σ==∑（3） 2221111()()()33n n i i i i E E Z E Z n n σ====∑∑2221111[()()]333n n i i i i E Z D Z n n σσ===+==∑∑ 故 2σ是2σ的无偏估计量. 8. （2012年数学三）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为1的指数分布. 记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则（1）求V 的概率密度()V f v ；（2）求()E U V +. 解：（1） X 与Y 的分布函数均为1,0()0,0x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩{}min ,V X Y =的分布函数为{}{}{}{}()min ,1min ,V F v P X Y v P X Y v =≤=-> {}21,1(1())P X v Y v F v =->>=--21,00,0v e v v -⎧-≥=⎨<⎩故V 的概率密度为22,0()()0,0v V V e v f v F v v -⎧>'==⎨≤⎩（2） min(,)max(,)U V X Y X Y X Y +=+=+()()()()2E U V E X Y E X E Y ∴+=+=+=.。
东北大学概率论与数理统计期末考试
2010-2011(1)概率统计试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共30分.）1. 随机事件是样本点的集合.口袋中有5只外形相同的球，分别编号1,2,3,4,5，从中同时取3只球，则球的最小号码为1的事件为{ } .2. 设随机变量X 的密度函数为f(x)P {–1< X <1}= . （Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.）3. 设D (X )≠0,D (Y )≠0，那么由D (X + Y ) = D (X – Y )一定有X , Y ．（独立、不独立、相关、不相关）4. 若随机变量X 1,X 2,X 3相互独立，且X 1～P (2), X 2～E (1), X 3～B (4,0.25)，则E (X 1 – 4X 2X 3)= ， D (2X 1 – 3X 2 + X 3)= .5. 已知E (X )=12, D (X )=1，那么利用切比雪夫不等式估计P {9 < X < 15} .6. 设X 1,X 2,…, X n 相互独立，均服从χ2(8)依概率收敛于 . 7. 当样本容量一定时，显著性水平α越小，即犯第 类错误的概率就越 ，而犯第 类错误的概率就越 .8. 设X 1,X 2,…, X n 是来自均匀总体U (1,7)E，E .9. 设X 1,X 2,…, X 10是来自正态总体N (0, 0.5)的一个样本，则(X 1 – X 2)2 + (X 3 – X 4)2 + … + (X 9 – X 10)2 ～92X X ++++～ 分布. 10. 已知来自总体N (μ, 0.92)，容量为9，则μ的置信度为0.95的置信区间为 . (z 0.05=1.645, z 0.025=1.96, t 0.05(8)=1.8595, t 0.025(8)=2.306.) 二、（共10 分）1.（4分）某产品40件为一批，每批产品中没有次品的概率为0.4，有1, 2, 3件次品的概率分别为0.3, 0.2, 0.1.今从某批产品中随机地取10件，求其中恰有1件次品的概率.（注：只列出计算概率的算式，不要求计算结果.）2.（6分）已知随机变量X取四个值–1,0,2,3（1）求常数c；（2）计算P{ X < 3 | X > –1}.三、（12分）已知随机变量(X, Y)（1）求D(2X–Y)；（2）判断X, Y的独立性与相关性；（3）求Z = max{ X,Y}的分布律.四、（共22 分）1.（6分）设随机变量X求Y=X2的密度函数.2.（16分）设随机变量(X, Y) 1）求P{ X <1}；（2）并判断X, Y的独立性；（3（4）求Z = X + Y的分布.五、（6分）设各零件的重量是相互独立的随机变量，它们均服从相同的分布，期望、均方差分别为0.5kg和0.1kg，求2500只零件的总重量超过1240kg的概率.）六、（8分）设X1,X2,…, X n是来自总体X的简单随机样本，X的密度函数为其中a(a > 0)未知，求a的矩估计和最大似然估计.七、（6分）规定企业污水中汞的最高允许排放浓度为0.05mg/L.今从某企业排放的污水中抽取了9个水样，测得汞含量的样本均值为0.051mg/L，样本均方差为0.003mg/L.假设每升污水中汞的含量服从正态分布，那么在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量超标吗？(假设H0:μ≤ 0.05, H1:μ > 0.05. t0.10(9)=1.3830, t0.10(8)=1.3968, t0.05(9)=1.8331, t0.05(8)=1.8595.）八、（6分）下面是A班和B班各10位学生的某科考试成绩（10分制）：A班成绩：6 5 8 8 7 6 10 4 9 7B班成绩：8 7 7 10 5 8 10 6 8 6平均成绩分别为7,7.5，成绩均方差分别为 1.83, 1.65.又定义极差).（1）求每班成绩的众数、中位数和极差；（2）试根据平均成绩、成绩均方差与（1）中的结果，对两班的成绩作对比评点.答案一、1. {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}; 2. 0.4772; 3. 不相关; 4. –2,5. ≥8/9;6. 8;7. 一，小，二，大;8. 4, 3;9. χ2(5), F (5,5); 10. (4.412, 5.588).二、1. 解2. 解 (1) 得c =16/37 . (2) P { X < 3 | X > –三、 解 (1) D (2X – Y )=4 D (X )+D(Y ) –4cov(X ,Y )= 4D (X )+D(Y ) –4(E (X ,Y ) –E (X )E (Y )) E (X )=0, E (X 2)=1,D (X )=1; E (Y )=–0.2, E (Y 2)=0.4, D (Y )=0.36; E (X ,Y )=0.4 D (2X – Y )=4×1 + 0.36 – 4×0.4 = 2.76 (2) ∵ cov(X ,Y )=0.4∴ X ,Y 相关 ∵ P {X =1,Y =–1}=0≠P {X =1} P { Y =–1}=0.5×0.3=0.15 ∴ X ,Y 不独立(3) Z-1 0 1p 0.3 0.2 0.5五、 解 设X i 表示第i 个零件的重量，则E (X i )=0.5, D (X i )=0.12，i =1,2,..,2500. 根据中心极限定理可知，2500只零件的总重量X = X 1+X 2+…+ X 2500近似地服从N (2500×0.5, 2500×0.01)= N (1250, 25)，于是所求事件的概率四、1. 解 方法一∵ ∴ 方法二因此2. 解(1) P{ X(2)X,Y不独立.(3) 当x > 0(4)当z≤0当z > 0所以Z的概率密度为六、解E(X令1+a a的当x1,x2,…, x n≥a时，似然函数为())--+++=n nx a x nae x1,x2,…, x n≥0，取对数并求导数，有故L(a)是a的增函数，即a越大，L(a)的值就越大. 但由x1,x2,…, x n≥a可知，a≤min{x1,x2,…, x n}. 因此a 的最大似然估计量为a=min{X1,X2,…, X n}.七、解提出假设H0:μ≤ 0.05, H1:μ > 0.05，检验统计量拒绝域为H0，即认为在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量不超标.八、解(1)A班众数6,7,8 B班众数8A班中位数7 B班中位数7.5A班极差6 B班极差5(2) B班学生的成绩好于A班的.一、因为B高于A，说明B班学生的成绩整体上好于A班学生的成绩；二、B小于A，以及B班的极差小于A班的极差，都说明A班学生的成绩分布相对比较分散；三、A班的众数多小于B班的众数，又说明A班学生的成绩在低分段的相对比较多.2011-2012(1)概率统计试题及参考答案一、选择题（每小题3分，共15分）1. AB AB[]..2.230.40.6-⎛⎝X的分布函数为[ ].2,0.4,20.6, 3.xxx<--≤≥2,x<-3.[ ].4.不正确的是[ ].2(1) nχ-.5. 对原假设H0和备择假设H1，[ ]为犯第一类错误.(A) H1真，拒绝H1；(B) H1不真，拒绝H1；(C) H1真，接受H1；(D) H1不真，接受H1.二、填空题（每小题4分，共20分）1. 设事件A1, A2, A3相互独立，且P(A i)=1/3( i=1,2,3)，则A1, A2, A3至少发生一个的概率为.2. 设随机变量X,Y,Z相互独立，概率密度函数分别为则E (3X – YZ 2)=. 3.X 与Y （独立，不独立，相关）.4.B (10, 0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差，则E)= .5. . 随机调出其中36位考生的成绩，算得平均分是66.5，标准差为15. 为检验这次考试的平均成绩是否为70分，应提出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为.三、（12分）设随机变量(X ,Y )（1）求Z = 2X – Y 的分布律；（2）求Cov (X , Y )；（3）判断X , Y 的独立性与相关性.四、（共11分） 1.（6()f x ⎧=⎨⎩1）求常数a ；（2）求分布函数F (x ).2.（5()f x⎪=⎨⎪⎩.五、（12分）设二维随机变量(X ,Y )在由直线x =2, y = x /2及x 轴所围成的区域内服从均匀分布，求：（1）（2）Z =X +Y 的概率分布.六、（10分）某系统装有三个电子元件. 假设：系统启动时它们同时开始工作；三个元件工作状态相互独立，且无故障工作的时间T i (i =1,2,3)常工作（正常工作的时间记为T ）.（1（2）给出T 与T 1、T 2、T 3的函数关系；（3）求T 的概率密度函数.七、（共12分）1.（6()f x ⎧⎪=⎨⎪⎩X 1,X 2,…, X n 是来自总体X 的简单随机样本，求a 的矩估计.2.（6分）已知总体X X 的一组样本值中有3个为0、4个为2、2个为3.八、（8分）基于人一年内的死亡率为0.1%，并经过市场调研，某保险公司设计了一种年险：参加保险的人，只须在一年的第一天交付保险费10元，一旦死亡，家属可从保险公司领取2000元. 试问：（1）至少有多少人参加该保险才能保证保险公司亏本的概率为0？（提示：首先设参保人数，再设随机变量，表示出保险公司“不亏本”事件，然后利用中心极限定理计算概率）（2）若一年内有n 人投保，则保险公司一年内所获利润、平均利润各是多少？（3）结合（1）、（2）的结果，简单．．谈谈你对保险及保险公司的看法.（本．题约定．．．答案一、B D A C D二、1. 19/27; 2. 2; 3. N(1, 15) 或4. 1.6；5. H0 :μ=70，H0: μ≠70三、（1（2）Cov(X, Y)= E(XY) – E(X)E(Y)=1*2*0.1–0.5*0.4=0（3）P{X=1, Y=1}=0≠0.1=P{X=1}·P{Y=1}，所以X, Y不独立.因为Cov(X,Y)=0ρ(X,Y)=0，故X, Y不相关.四、1.（1）∵∴（22. ∵∴六、（1（2）T =max{T 1,T 2,T 3}（3（1（2七、1. 令 a2. 似然函数为L (θ)=( θ2)3(1-θ)4θ2 (1-θ)2=θ8 (1-θ)6令 d L (θ) /d θ=2θ7 (1-θ)5(4(1-θ) - 3θ)=0，0 八、设有n 人参加保险，其中有X 根据中心极限定理可知， (0.001N（1）不亏本：10n >= 2000X，不亏本的概率为0，即P{10n >= 2000X}= P{X<= n/200}所以至少得有999人参加该保险.（2）利润：10n–2000X平均利润：10n–2000E(X)= 10n–2n=8n（3）。
12-13II 期末考试答案
A1 A2 A3 ；
(D) A1 A2 A3 .
题号 得分 阅卷教师 得 分
一
二
三
四
五
总分
阅卷教师
9、同时抛掷 3 枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ D ） (A) 0.5; (B) 0.25 ; (C) 0.125 ; (D) 0.375 . 10、若 X ~ N (0,1) ，则 P(| X | 2 )=（ A ） (A) 2[1 (2)] ； (B) 2(2) 1 ； (C) 2 (2) ； (D) 1 2(2) .
B Y ~ N (2 , 22 ) ； D
X , Y 互不相容．
4、尽管一再强调考试不要作弊，但每次考试往往总有一些人作弊。假设某校以 往每学期期末考试中作弊同学人数 X 服从参数为 5 的泊松分布，则本次期末考 试中没有同学作弊的概率为 e 5 ； 5、设 X ~ b(n1 , p) ， Y ~ b(n2 , p) 且 X 、Y 相互独立，则 X Y ~ b(n1 n2 , p) ；
（2）由 Bayes 公式
„„„„„„„„„„„ (2 分)
ex , 0 x f ( x, y )dy „„„„„（2 分） 0 , 其他 .
A Be 16、设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x) 0
2 x
, x 0, , x 0.
1、设 P( A) 1 / 4 ， P( B A) 1 / 3 ， P( A B) 1 / 2 ，则 P( A B)
班级：
| | | | | |
线
2、袋中有 10 个球（3 个红球，7 个白球） ，每次取 1 个，无放回地抽取两次， 则第二次取到红球的概率为 0.3 ; 3 、设 A 、 B 、 C 是随机事件， A 与 C 互不相容， P( AB) 1/ 2, P(C) 1/ 3, 则
12-13I 概率论与数理统计试卷(A)48学时参考答案
FY ( y ) P{Y y} P{ X 2 y} P{ y X
将 FY ( y) 关于 y 求导数，即得 Y 的概率密度为
0 5 5 5 1 5 4 5
2、10 张彩票中有 5 张是有奖彩票。从中任意抽取 5 张，其中至少有两张中奖
C C CC 113 的概率为 1 5 5 或 ； 126 C10 C10 X 1, X 0, 3、设随机变量 X ~ U (1,2) ，令 Y ，则 Y 的分布律为 pk 1, X 0.
Y 的边缘分布律为
Y
p j
2
1
3 8
0
1
3 8
(3)
P{1
X
7 } 2
7 F ( ) F (1) 2
41 48
„„（2 分）
1 4
3 1 3 0 1 0 8 4 8 3 1 3 同理， E Y 1 0 1 0 8 4 8 1 1 1 E XY 1 0 1 0 4 2 4
f x, k 6 x y 0 x 2, 2 y 4 y 其它 0
1.5) .
1 e z f Z ( z ) (e 1)e z 0
阅卷教师 得 分
, 0 z 1， , 1 z， , 其他.
„„„„„„（2 分）
1 1
1 3 2 3
X i ，则根据列维- 林德柏格中心
X 2 , , X n
极限定理，当 n 充分大时， S n 近似服从正态分布，只须 X 1 ,
12-13概率统计B答案
《概率论与数理统计》试卷 第- 2 -页 共7页2(A) 12/25 (B) 6/25 (C) 3/5 (D) 1/27袋中有3只白球, 2只红球,从中抽取两只,如果作放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为: A ;(A) 12/25 (B) 6/25 (C) 3/5 (D) 1/28.在区间(0,1)上任取两个数,则这两个数之和小于1/2的概率为 D ;(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/89. 三个人独立破译一个密码，他们单独破译的概率分别为111,,345，则此密码能被破译的概率为 C 。
(A) 13/60 (B) 24/60(C) 36/60(D) 47/6010. 三间工厂生产某种元件,假设三间工厂生产元件的份额之比为3:4:3,第一间厂生产的元件的次品率为1%,第二间厂生产的元件的次品率为2%,第一间厂生产的元件的次品率为3%,请问:抽查这三间厂生产的一个元件,该元件为次品的概率为 B .(A) 1% (B) 2%(C) 3%(D) 4%11．某公司业务员平均每见两个客户可以谈成一笔生意，他一天见了5个客户，设他谈成的生意为X 笔，则X 服从的分布为 A ； (A) B （5，0.5） (B) (1,0.5)B (C) (5,0.5)N(D) (5)E12.假设某市公安交警支队每天接到的122报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布()P λ来描述.已知{19}{20}.P X P X ===则该市公安交警支队每天接到的122报警电话次数的方差为 C . (A) 18 (B) 19(C) 20(D) 2113.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。
设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为则这种电器的寿命的方差为 D 小时.(A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 100000014.设随机变量X 具有概率密度110001, 0()10000, t e t f t -⎧>⎪=⎨⎪⎩其它《概率论与数理统计》试卷 第- 3 -页 共7页3则常数k = B .(A) 1/2 (B) 1(C) 3/2 (D) 215.在第14小题中, {0.50.5}P X -≤≤= A .(A) 1/4 (B) 3/4 (C) 1/8 (D) 3/816.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为 B 的概率最大; (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 917.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的最小点数(max{,}U X Y =)为1的概率为 C . (A) 7/36 (B) 9/36(C) 11/36(D) 13/3618.设松山湖园区理工学院后门22路汽车的载客人数服从10λ=的泊松分布，今任意观察一辆到理工学院后门的汽车，车中无乘客的概率为 A ; (A) 10e- (B) 1/10 (C) 1/10!(D) 102!e -19.设随机变量X ~ N （100，64），Y ~ N （100，36），且X 与Y 相互独立，则,X –Y 服从 C 分布.(A) (100,64)N (B) (100,36)N (C) (0,100)N (D) (0,28)N20. 在第19小题中,P(X –Y<20) = D .(A) 2.28% (B) 15.87% (C) 84.13% (D) 97.72%21.已知(100,0.01)X B ,则E(X 2) = D .(A) 0.9 (B) 0.99 (C) 1.9 (D) 1.9922.已知D(X) = 2,E(Y) = 3，E( Y 2 )= 10，X 和Y 相互独立,则D(2X+Y+2) = C .(A) 7 (B) 8 (C) 9(D) 1022.已知D(X) = 1，D （Y) = 1，X 和Y 的相关系数1/3XY ρ=.则D(X+2Y) = C .(A) 10/3 (B) 11/3 (C) 19/3 (D) 20/323.设随机向量(X,Y)具有联合密度函数2,0,()0,x x k f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.《概率论与数理统计》试卷 第- 4 -页 共7页4(,)f x y =(3), 0,0,0, x y ke x y -+⎧>>⎨⎩其它.则密度函数中的常数k = C .(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 424.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为：=)(x f X 23, 01,0, 其它x x ⎧≤≤⎨⎩， =)(y f Y 2, 00 , 其它y y ≤≤⎧⎨⎩. 已知随机变量X 和Y 相互独立.则概率{}P Y X >= B . (A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.6 (D) 0.8 25.设X 1，X 2，X 3是来自总体X 的简单随机样本，则下列统计量11221233123111111,(),,223236T X X T X X X T X X X =+=++=++中,属于无偏估计的统计量中最有效的一个为 B .(A) 1T (B) 2T (C) 3T (D) 12,T T 26.设201,...,X X 及140,...,Y Y 分别是总体)10,20(N 的容量为20和40的两个独立样本，这两组样本的样本均值分别记为Y X ,.Y X -服从分布 D .(A) 1(0,)2N (B) 3(20,)4N (C) 1(20,)2N (D)3(0,)4N 27.在第26小题中, {P X Y -≤= C . (A) 15.87% (B) 57.62% (C) 78.81% (D) 84.13%28.在第26小题中,4021()10ii Y Y =-∑服从分布 B .(A)2(40)χ (B) 2(39)χ (C) (39)t (D) (40)t29. 在第26小题中,202140212(20)(20)i i ii X Y ==--∑∑服从分布 B .《概率论与数理统计》试卷 第- 5 -页 共7页5(A) (40,20)F (B) (20,40)F (C) (19,39)F (D) (39,19)F 30. 在样本量和抽样方式不变的情况下,若提高置信度,则 A ; （A ） 置信区间的宽度会增大 （B ） 置信区间的宽度会缩小 （C ） 置信区间的宽度可能缩小也可能增大 （D ） 不会影响置信区间的宽度 31. 在对同一个总体的参数进行检验时，若在α=0.01显著性水平下拒绝原假设H 0，则在α 等于0.05的显著性不平下 B ; （A ）肯定接受H 0 （ （B ）肯定拒绝H 0（C ）可能拒绝H 0 也可能接受H 0 （D ）有时拒绝H 0 有时接受H 0 32.设总体X 的密度函数为,0,()0,.x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其它参数λ未知, 12,,,n X X X 是来自总体X 的样本,则λ的矩估计量为 C .(A) ˆX λ= (B) ˆ2X λ= (C) ˆ1/X λ= (D) 2ˆX λ= 33.设总体(0,)X U θ ,θ未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的样本,则θ的极大似然估计量为 D .(A) ˆX θ= (B) ˆ2X θ= (C)12ˆmin{,,,}nX X X θ= (D)12ˆmax{,,,}nX X X θ= 34.假设检验的第一类错误(弃真)是指: D (A) 0H 为假但接受0H (B) 0H 为假且拒绝0H (C) 0H 为真且接受0H (D) 0H 为真但拒绝0H35. 某工厂在生产过程的产品检验假设H 0:产品是合格的,显著性水平为5%,工厂厂长问什么是显著性水平,正确的说法是 B . (A) 如果产品是不合格的,有5%的概率检验为合格; (B) 如果产品是合格的,有5%的概率检验为不合格; (C) 如果产品是合格的,有95%的概率检验为不合格; (D) 如果产品是不合格的,有95%的概率检验为不合格;《概率论与数理统计》试卷 第- 6 -页 共7页6二、计算题（共30分）1. 设中石油的桶装石油的重量重服从正态分布，规定每桶重量是250公斤，标准差为1.5公斤，有的消费者由于重量不足250公斤而来投诉，公司解释这是由于随机原因引起的，因为有的桶装石油重量超过250公斤. （1）消费者购买一桶其重量超过253公斤的概率有多大？ （2）若一次购买9桶，其平均重量不到249.5公斤的概率有多大？ (本题满分12分,每小题6分)解：（1）设一桶石油的重量为X ，则X ～2(250, 1.5)N(253)P X >＝1-250253250{}1(2)10.99720.02281.5 1.5X P --≤=-Φ=-=; （2）设9桶石油的平均重量为X ，则X ～2(250, 0.5)N ,(249.5)P X <＝249.5250()(1)1(1)10.84130.15870.5-Φ=Φ-=-Φ=-=.2. 从一批牛奶中随机抽取16盒检测其三聚氰胺的含量。
东北大学概率论与数理统计课后习题答案
求P(B). 解 由于 P(AB)=P(A)＋P(B)－P(A＋B) =P(A)＋P(B)－1+P(A＋B) =P(A)＋P(B)－1+P(A B)
所以, P(A)＋P(B)－1=0
即, P(B)＝1－P(A)＝1－p
精选课件
13
第一章习题1.3(第19页)
2. 在1500个产品中, 有400个次品, 1100个正品, 从中
=1, 2, 3,… ，A={1, 2, 3}
(3)把单位长度的一根细棒折成 三段, 观察各段的长度,
A表示“三段细棒能构精选成课件一个三角形”.
1
=(a, b, 1－a－b)|a, b>0且a+b<1,
=(a, b, c)|a, b, c>0且a+b＋c＝1,
A={(a, b, 1－a－b)|0<a, b<0.5且a+b>0.5}
(2) P=3/12=1/4＝0.25
精选课件
16
6. 假设2个叫Davis的男孩, 3个叫Jones的男孩, 4个叫Smith
的男孩随意地坐在一排9座的座位上. 那么叫Davis的男孩
刚好坐在前两个座位上, 叫Jones的男孩坐在挨着的3个座
位上, 叫Smith的男孩坐在最后4个座位上的概率是多少?
任取200个, 求: (1) 恰有90个次品的概率; (2) 至少有2个
东北大学2012、2013年攻读硕士研究生学位研究生 试题
2013年真题一、填空题1、面心立方晶体晶胞中原子数【】，致密度是【】，配位数是【】2、布拉菲点阵有【】种，分属【】个晶系3、金属结晶过程中，多冷度越大，临近晶核半径【】，形核功【】二、名词解释1、柯肯达尔效应2、孪生3、再结晶4、冷变形三、简答1、柏氏矢量守恒定律？由此得到的两个推论是什么？2、晶粒细化对材料力学性能的影响？实际生产中怎样细化晶粒？3、Fe-C合金中渗碳体有几类？产生条件是什么？画出每种渗碳体示意图。
4、为什么材料热加工后比铸态性能好？5、分析比较65钢，T8，40Cr，20CrMnTi淬透性和淬硬性。
6、什么是晶面族，什么事晶向族？属于{110}的所有镜面。
7、8四、计算题1、按晶体的钢球模型，若球的直径不变，当Fe从fcc转变为bcc时，计算其体积膨胀量是多少？经X射线衍射测定，在912度时，a-Fe的a=0.2892nm，r-Fe的a=0.3633nm，计算从r-Fe转变为a-Fe时，体积膨胀为多少？与上一问比较，为什么会出现这样的差异。
2、若将纯铁棒置于Wc=0.013碳势的渗碳气氛中加热至920度，经10小时保温后，求渗碳层中碳浓度分布的规律。
已知D=1.5*10-7cm2/s。
五、论述题试述Al-Cu合金的脱熔序列及可能出现的脱熔相基本特征。
为什么脱熔过程会出现过度相？时效的实质是什么？20122012年东北大学826材料学真题一、名词解释(25分)点群；二次再结晶；超塑性；相；扩散激活能二、1、写出(111)晶面所有的滑移系，并在晶胞中画出。
（5分）2、若沿[112]晶向施加100MPa拉伸应力，试求其分切应力。
(20分)三、比较置换固溶体、间隙固溶体、有序固溶体、间隙相的结构特征及性能（15分）四、1、解释合金强化与金属基纤维复合强化的本质区别（10分）2、试解释提高陶瓷韧性的两种方式。
（5分）五、1、脱溶过程析出第二相颗粒形状与哪些因素有关。
（5分）2、分析第二相粒子Ostwald熟化的原因及过程（10分）六、分析固态相变与凝固相变的相同点及不同点（10分）七、两种材料的扩散激活能分别为Q1=85KJ/mol，Q2=195KJ/mol，比较它们从20摄氏度上升到500摄氏度的扩散速率的改变（15分）八、富A相的相图如下：1、指出理论上适合做铸造合金，变形合金的成份范围，以及可热处理强化与不可热处理强化的成份范围。
2012-2013(1)概率统计(B)(定稿)(答案)
徐州工程学院试卷《概率统计》试卷 第 1 页 共 1 页 2012 — 2013 课程名称 概率统计 试卷类型 B 答案一、填空题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1．34；2. 43；3. 4ln 3；4.111.4；5.（8.82，38.71）. 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1.A ；2. B ；3. C ；4. D ；5. B.三、（本题10 分）解：以A 记事件“取到的是甲袋”，以B 记事件“取到的是乙袋”，以C 记事件“取到白球”，则131231()()()()()()()252770P C P AC P BC P C A P A P C B P B =+=+=⋅+⋅=．…………10分 四、（本题12 分）解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰，得 1201()1xdx a x dx +-=⎰⎰，解得2a =； …………6分 （2）13{}22P X <<=3121123(2)4xdx x dx +-=⎰⎰． …………6分 五、（本题16 分）解：（1）()X f x =0,0(,),0y x xx f x y dy e dy e x ∞+∞---∞≤⎧⎪=⎨=>⎪⎩⎰⎰， …………6分 )Y f y （=00,0(,),0y y y y f x y dx e dx ye y ∞---∞≤⎧⎪=⎨=>⎪⎩⎰⎰； …………6分 （2）因为())(,)X Y f x f y f x y ⋅≠（，所以X 和Y 不是相互独立的. …………4分六、（本题12 分）解：（1）()E X =222220001117(,)()[]88166xf x y dxdy dx x x y dy x y xy dx ∞∞-∞-∞=⋅+=+=⎰⎰⎰⎰⎰； …………6分（2）()E XY =2222320001114(,)()[]816243xyf x y dxdy dx xy x y dy x y xy dx ∞∞-∞-∞=⋅+=+=⎰⎰⎰⎰⎰． …………6分七、（本题10 分） 解：01()()x E X xf x dx x e dx θμθθ-∞∞-∞===⋅=⎰⎰，即θμ=， …………8分 以1A 代替μ，得到θ估计量为X θ∧=． …………2分八、（本题10 分）解：检验假设0:32.50H μ= 1:32.50H μ≠， …………2分其拒绝域为：0.025 1.96z z ∂=≥=， 现在9,31.51, 1.1n x σ===，则 2.7 1.96z ==>， …………6分 拒绝原假设0H ，即不能认为这批零件的平均尺寸是32.50. …………2分。
2012-2013公共基础《概率论》期末考试试卷参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012-2013学年第 1 学期 考试科目： 概率论考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、设A 与B 互斥(互不相容)，则下列结论肯定正确的是( D )。
(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 必相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=2、设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布如下，则有( C )成立。
010.20.8X P 010.20.8Y P(A) ()0P X Y == (B) ()0.4P X Y ==(C) ()0.68P X Y == (D) ()1P X Y ==3、设随机变量ξ的概率密度为()x ϕ，η=12ξ，则η的分布密度为( A )。
(A)1122y ϕ-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 112y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (C) 12y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (D)2(12)y ϕ- 4、设随机变量ξ服从2λ=的泊松分布,则随机变量2ηξ=的方差为( A )。
(A) 8； (B) 4； (C) 2； (D) 16.5、设2~(0,1),~(,)N N a ξησ,则η与ξ之间的关系是( B )。
(A) a ξησ-=; (B) a ησξ=+; (C)2a ξησ-= ; (D)2a ησξ=+.二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1、设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件()A B C =__{1,2,5,6,7,8,9,10} ________。
2、抛一枚硬币三次，ξ和η分别表示出现正面的次数和出现反面的次数，则{}P ξη>=__12_______。
3、3、设随机变量X 的分布函数0,0.2,()0.9,1,F x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 111122x x x x <--≤<≤<≥，则{03}P X ≤≤=_0.8_。
东北大学概率论与数理统计期末试题
其中 a(a> 0)未知，求 a 的矩估计和最大似然估计. 七、 （6 分） 规定企业污水中汞的最高允许排放浓度为 0.05mg/L.今从某企业排放的污水中抽取了 9 个水样， 测得汞含量的样本均值为 0.051mg/L， 样本均方差为 0.003mg/L.假设每升污水中汞的含量服从正态分布， 那 么在显著水平 0.10 下该企业排放的污水中汞含量超标吗？(假设 H0: μ≤0.05, H1: μ>0.05. t0.10(9)=1.3830, t0.10(8)=1.3968, t0.05(9)=1.8331, t0.05(8)=1.8595.） 八、 （6 分）下面是 A 班和 B 班各 10 位学生的某科考试成绩（10 分制） ： A 班成绩：6 5 8 8 7 6 10 4 9 7
0 0
ˆ X 1 . 令 1+a = X ，得 a 的矩估计 a
当 x1,x2,„,xn≥a 时，似然函数为
L(a) e( x1 a ) e( x2 a ) e( xn a ) e( x1 x2 xn ) na ，x1,x2,„,xn≥0，
取对数并求导数，有
z e 2 e z , z 0, 所以 Z 的概率密度为 f Z ( z ) z 0. 0,
六、解 E(X)=
xf ( x)dx xe ( x a ) dx
a
t x a
0
(t a)e t dt
tet dt a et dt 1 a
X 0.05 t (8) ， S/ 9
拒绝域为 T t0.1 (8) 1.3968 由于
东北大学概率论课件及习题答案
关于的符号:
当 > 0时,称X与Y为正相关. 当 < 0时,称X与Y为负相关.
相关系数和协方差具有相同的符号,因此, 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到 这里. 即
正相关表示两个随机变量有同时增加或同 时减少的变化趋势.
负相关表示两个随机变量有相反的变化趋 势.
这 里a是 定 数 ， 我 们 有
E( X ) 1
2
cos tdt 0,E(Y )
1
2
cos(t a)dt 0
2 0
2 0
E( X 2 ) 1 2 cos2 tdt 1 ,E(Y 2 ) 1 2 cos2(t a)dt 1
2 0
2
2 0
2
1 2
1
E( XY ) 2 0
cos t cos(t a)dt cos a 2
都存在，则称矩阵
c11 c12 L c21 c22 L
c1n
c2
n
M M
M
cn1 cn2 L
cnn
为随机变量( X1, X 2 ,L , X n )的协方差矩阵。显然，
上述矩阵是一个对称矩阵。
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如：
0 E{[Y (a0 b0 X )]2} D[Y (a0 b0 X )] [E(Y (a0 b0 X ))]2 故有D[Y (a0 b0 X )] 0，E[Y (a0 b0 X )] 0 由方差的性质4可知，P{Y a0 X b0} 1。
相关系数性质的证明
反之，若存在常数a*,b*,使得P{Y a* X b*} 1， 于是 D[Y (a* X b*)] 0 即得 E{[Y (a* b* X )]2} 0 故有0 E{[Y (a* b* X )]2} min E{[Y (a bX )]2}
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012-2013（1）概率统计试题及答案
一、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设A ,B ,C 是随机事件， A 与C 互不相容，11(),()23
P AB P C ==，则()P AB C = 3 / 4 . 2. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间(0,1)上的均匀分布，则22{1}P X Y +≤=π/ 4 . 3. 设随机变量123,,X X X 相互独立，均服从N (1,1) ，则
3
1
(1)i
i
i iX
=-∑服从 N (-2, 14) .
4. 已知随机变量X ~ E (1), Y ~U (0, 2)，且X 与Y 相互独立，记U =max{ X , Y }，V =min{X , Y }，则E (U + V )= 2 .
5. 设12,,
,m X X X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值与样本方
差.若2+X kS 为2np 的无偏估计量，则=k - 1 .
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 若()0P AB =，则一定成立的是[ D ].
(A) A ,B 互不相容; (B)()0P A =或()0P B =; (C) A ,B 相互独立; (D)()()()P A B P A P B +=+. 2. 用切比雪夫不等式估计100个新生婴儿中男孩数大于40小于60的概率为[ B ].（假定生男孩和生女孩的概率相等.）
(A) ≥0.25; (B) ≥0.75; (C) ≤0.25; (D) ≤0.75.
3. 将一根长度为 l 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为[ D ]. (A) 1; (B) 1/2; (C) -1/2; (D) -1.
4. 设1234,,,X X X X 为来自总体N (0 , σ2)
的分布为[ A ].
(A) t (2); (B) N (0,1); (C) χ2(1); (D) F (1,1). 5.设12,,
,(2)n X X X n ≥为来自泊松分布总体P (λ)的简单随机样本，则对于统计量
11211111,1n n i i
n i i T X T X X n n n
-====+-∑∑，有[ C ]. (A) 12()()D T D T >; (B) 12()()D T D T ≥; (C) 12()()D T D T <; (D) 12()()D T D T ≤.
三、计算题（每小题5分，共10分）
1. 袋子中有10个球，其中有2个红球、5个白球和3个黑球，今从袋中任意地取5个球，求取到了1个红球、2个白球和2个黑球的概率.
2. （1）写出事件A ,B 互不相容与相互独立的数学表达式: ,
()()()AB P AB P A P B =Φ=.
（2）证明：若()0,()0P A P B >>，则A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立.
四、计算题 （每小题6分，共12分）
设随机变量X 的概率密度为2,
0,
()0,
x A x f x -<<⎧=⎨
⎩其他.
1. 求常数A 和{0.5}P X >-.
2. 求随机变量21Y X =-的概率密度.
五、计算题 （每小题6分，共12分）
设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布. 1. 求P { min{ X , Y }≤1}.
2. 求V = X + Y 的概率密度.
六、计算题 （每小题6分，共12分）
1. 设随机变量X ,Y 的联合概率密度为1,01,02(,)0,x y x
f x y <<<<⎧=⎨⎩
其他.，求条件概率密度
|(|)X Y f x y .
2. 设随机变量X ,Y 的联合分布律为\012
01/401/4
101/3021/1201/12
X Y ，求cov(X -Y , Y ).
七、计算题 （6分）
设某社区有1200户居民，每户某月的用电量为0.1kW 、0.14kW 、0.2kW 的概率分别为0.3、0.5、0.2，求该社区这个月的用电总量超过169.2 kW 的可能性.（已知标准正态分布函数值：0.8413
)1(=Φ,0.9332)5.1(=Φ,0.9772)2(=Φ.） 解 记i X 为第i 户居民这个月的用电量，则()()i i 0.14,0.0012E X D X ==，
12001
(168,1.44)i
i X N =∑近似地
，所以
1200
1
169.2168
{169.2}1(
)1(1)0.15871.2i i P X =->≈-Φ=-Φ=∑.
八、计算题 （每小题6，共12分） 参数估计
1. 设随机变量X 的概率密度为22
(),0()0,
a x x a
f x a ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他.，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一
个样本，求a 的矩估计量.
2. 已知总体X 的分布律为
其中θ(01θ<<)未知. X θ的最大似然估计.
九、计算题 （6分）
在酿造啤酒时，麦芽的干燥过程会形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA) . 统计数据表明，以往的干燥工艺所形成的NDMA 的平均含量（以10亿份中的份数计）都高于2.5. 今研发了一种麦芽干燥新工艺，新工艺下采集的一组NDMA 含量（以10亿份中的份数计）数据如下：
2 1 2 2 4 1 2 1 3
设新干燥工艺下的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）服从正态分布．试问：在显著性水平0.05α=下，新工艺下的NDMA 平均含量下降了吗？（已知：z 0.05=1.645，z 0.025=1.96，t 0.05(9)=1.8331，t 0.025(9)=2.2622，t 0.05(8)=1.8595，t 0.025(8)=2.3060.）
解 提出假设： 0: 2.5H μ≤,1: 2.5H μ>， 检验统计量为 2.5
~(8)/3
X T t S -=
， 在显著性水平0.05α=下，拒绝域为 0.05(8)T t ≥.
计算2
2,1x s ==，检验统计量的观测值为 2 2.5
1.5 1.85
951/3
t -=
=-<. 因此，在显著性水平0.05α=下可以认为新工艺下的NDMA 平均含量下降了.。