浙江师范大学初等数学竞赛试题

2015年浙江师范大学初等数学竞赛试题答案每题20分，共160分1. 已知函数()()ln 1f x x =+,数列{}()*n a n N ∈满足()1n n a f a +=。

证明数列{}()*na n N ∈单调递减.解 若10a >，下用数学归纳法证0n a >。

(ⅰ)当1n =时，10a >；(ⅱ)设当n k =时，0k a >。

又因为()1k k a f a +=()ln 1k a =+，所以10k a +>。

由(ⅰ)(ⅱ)可得，对于任意*n N ∈，0n a >。

此时n n a a =，所以11n n n n a a a a ++-=-()n n f a a =-()ln 1n n a a =+-。

令()()()ln 10g x x x x =+->，则()01xg x x -'=<+，所以()g x 在()0,+∞单调递减，所以()()00g x g <=，即当0x >时，()ln 1x x +<。

又0n a >，因此()ln 1n n a a +<，故10n n a a +-<，所以数列{}()*n a n N ∈单调递减.同理可证，当10a <时，数列{}()*na n N ∈单调递减。

【小于0答案有误，不存在，但也要有讨论过程】综上，数列{}()*na n N ∈单调递减。

【1.a1正负分类讨论，不分开-5分2.其他证明过程酌情给分】2.已知函数()xf x e =，()21g x x =+，数列{}()*n a n N ∈满足()()1n n f a g a +=。

试问是否存在常数()1,2M ∈，当()10a ,M ∈时，恒有()0n a ,M ∈()*n N ∈。

若存在，请写出M 满足的关系式，若不存在，请说明理由.解 实数M 存在，满足()210Me M -+=…①。

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4分先证方程①有且仅有唯一解。

令()()21xh x e x =-+，则()2xh x e '=-。

当()1,2x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在单调递增。

又因为()130h e =-<，()2250h e =->，所以()h x 在()1,2有且只有一个零点，即存在唯一实数()1,2M ∈使得方程①成立。

下用数学归纳法证明，当21MeM =+时，当()10a ,M ∈时，恒有()0n a ,M ∈()*n N ∈。

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8分 （ⅰ）当1n =时，()10a ,M ∈；（ⅱ）设当n k =时，()0k a ,M ∈。

因为()()1k k f a g a +=，所以121k ak e a +=+。

又()0k a ,M ∈，所以()121121k a k e a ,M +=+∈+，即()11k a M e ,e +∈，因此()10k a ,M +∈。

由（ⅰ）（ⅱ）可得，当()10a ,M ∈时，恒有()0n a ,M ∈()*n N ∈。

8分【1.只写出关系式给4分，超简略说明给6分，只证明不给分或酌情给分 2.关系应该为等式，如果出现不等式统统给8分3.给出关系式，加完整说明给满分，不需要和答案一致，合理即可。

】3. 如下图，已知曲线C ：y ＝x 2 (0≤x ≤1)，O (0，0)，Q (1，0)，R (1，1)．设点A 1是线段OQ 的中点，过A 1作x 轴的垂线交曲线C 于P 1，过P 1作y 轴的垂线交RQ 于B 1，记a 1为矩形A 1P 1B 1Q 的面积．点A 2，A 3分别是线段OA 1，P 1B 1的中点，过A 2，A 3分别作x 轴的垂线交曲线C 于P 2，P 3，过P 2，P 3分别作y 轴的垂线交A 1P 1，RB 1于B 2，B 3，记a 2为两个矩形A 2P 2B 2 A 1与矩形A 3P 3B 3B 1的面积之和．(Ｉ) 记a n 为2n －1个矩形面积之和.求a 2与a n ； (Ⅱ) 求数列的前n 项和S n ．解 (Ｉ) 由题意知P 1(12，21()2)，故a 1＝12×21()2＝18． 又P 2(212，221()2)， P 3(232，223()2)， 故(第3题图)a 2＝212×[221()2＋223()2－222()2]＝612×(12＋32－22)＝332． 。

4分由题意，对任意的k ＝1，2，3，…，n ，有12k i P -+(212k i +，221()2k i +)， i ＝0，1，2，…，2k －1－1， 故a n ＝12n ×[21()2n ＋23()2n －22()2n ＋25()2n －24()2n ＋…＋221()2n n -－222()2n n -]＝312n ×[12＋32－22＋52－42＋…＋(2n －1)2－(2n －2)2] ＝312n ×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n －1－1)＋1]} ＝312n ×11[14(21)1]22n n --+⨯-+⨯＝21212n n +-． 。

12分 所以a 2＝332， a n ＝21212n n +-， n ∈N *．(Ⅱ) 由(Ｉ)知a n ＝1211122n n ++-， n ∈N *，故S n ＝11(1)42112n ⨯--－11(1)84114⨯--＝11(1)22n ⨯-－11(1)64n ⨯-＝2121232132n n n ++-⨯+⨯．。

20分【1．本题关键得出答案，对于给不出答案的过程没有分； 2. a2的没有约分，-1分；3.最终答案和正确答案化简形势不同没有关系，改卷时经过验证。

】4. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3sin sin 4A C =．(1) 求角B 的大小；(2) 若[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域．解（Ⅰ）因a 、b 、c 成等比，故2b ac =. 由正弦定理得2sin sin sin B A C =.又3sin sin 4A C =，23sin 4B =. 由sinB ＞0知，sin B =. 由B ∈(0，π)知B ＝3π或23π. 。

5分又2b ac =，则b a ≤或b c ≤，即b 不是△ABC 的最大边，故3B =π. 。

10分 （Ⅱ）因3B =π，故()sin()sin sin cos cos sin sin 333f x x x x x x πππ=-+=-+3sin )26x x x π=-. 因[0,)x π∈，故5666x πππ-≤-<，1sin()[,1]62x π-∈-.因此值域是[. 。

20分 【 1.第一小问必须说明2π/3不可能取到，否则 -5分（cosB>0,或其他方式可排除的给满分）；2．第二问区间开闭错误，-2分，全为开区间-5分； 3. 最大最小值一个错误，-5分；4.辅助角公式的比例系数3忘记乘，最终值域为{-1/2,1}，-5分；】.()f x x x a bx =-+5.设，(1)当2=a ，)(x f 是增函数，求b 的取值范围；；(2)当2-=b ，且对任意)4,2(-∈a ，关于x 的方程)()(a tf x f =总有三个不相等的实数根，求t 的取值范围.解（1）⎩⎨⎧≤++-≥-+=+-=2,)2(2,)2(2)(22x x b x x x b x bx x x x f因()f x 连续，)(x f 递增，故⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-222222b b ，即2≥b。

8分 【没有等于号，-2分】（2）⎩⎨⎧≤-+-≥+-=--=ax x a x ax x a x x a x x x f ,)2(,)2(2)(22，ta a tf 2)(-=，当a a a a ≤+<-<≤2222,42时，上递增在)22,()(--∞a x f ，在),22(a a -上递减，在),(+∞a 上递增，所以a a f x f a a a f x f 2)()(,14)22()(2-==+-=-=极小极大，因此⎪⎩⎪⎨⎧->+--<-ta a a ta a 214222对42<≤a 恒成立，解得10<<t。

14分当2222,22+<<-<<-a a a a 时，上递增在)22,()(--∞a x f ，在)22,22(+-a a 上递减，在),22(+∞+a 上递增，所以,14)22()(2+-=-=a a a f x f 极大 极小值为 22()1,24a a f a +=--- 所以,1421422+-<-<---a a ta a a 对22<<-a 恒成立，解得10≤≤t 【没有取到等于 -2分】综上10<<t 。

20分【本题根据答题的讨论情况，对于第二问，即使错解，按篇幅酌情给以2~4分】6. 已知12,,,,n x x x R +∈L 且12 1.n x x x =L 求证12))1)n n x x x ≥L证（1）若121,n x x x ====L 等号成立。

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5分（2）若12,,,n x x x L 不全相等，必有一个变量大于1，而另一个小于1，不妨设121, 1.x x ><令1212(,,,)))n n f x x x x x x =L L 。

因为1212)1)x x x x -121221)(1)0x x x ==-->因此12123(,,,)(1,,,,).n n f x x x f x x x x >L L 这说明把12(,)x x 调整成12(1,)x x 后，12(,,,)n f x x x L 的值变小，依此类推，每调整一次,12(,,,)n f x x x L 的值减少一次，这样，最多经过1n -次调整，12(,,,)n x x x L 变成(1,1,L，12123123(,,,)(1,,,,)(1,1,,,)(1,1,,1)1)n n nn f x x x f x x x x f x x x x f >>>>=L L L L L。

20分 【1. 本题合理答案皆可得分2.明显错误的证明不给分3.必须说明部分同学的数学归纳法证明只走了形式，还是不给分，“此次考试打擦边球失败”】7 已锐角三角形ABC 中，.C B A >>在ABC ∆的内部（包括边界）上找一点P ，使得P 到三边的距离之和最小。