x6643-江苏省2010年南京师范大学附属中学高三模拟考试(数学).
江苏省南京师范大学附属实验学校高三第二学期模拟数学试卷
江苏省南京师范大学附属实验学校高三第二学期模拟数学试卷一．填空题（每题5分，共70分）1．若(bia+)i (RbRa∈∈,)是实数,则=a．2．命题“对任意Rx∈，都有12+x≥x2”的否定是．3．设集合}32|),{(=-=yxyxA，}42|),{(=+=yxyxB，则满足BAM⊆的集合M的个数是．4.若平面向量ba与)1,1(-=的夹角是180°，且bb则,22||=等于 .5．某校有教师200人,男学生1300人,女学生1200人,现用分层抽样的方法从所有师生中取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为 .6．已知函数3110log)2(2-=xxf，则(5)f的值是 .7.一个正三棱柱的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的表面积是．8.下列程序运算后的结果是 .第7题图第8题9.若,6sin)(xxfπ=则=++++)2009()5()3()1(ffff .10.在数列{}na中，如果对任意*n N∈都有211n nn na aka a+++-=-（k为常数），则称{}na为等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0；⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nna=-+,则数列{}na是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确的命题的序号为______________.11.已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b )，且b>2a 2,则f (x )·g (x )＞0的解集是____ _____.12．设点O 在△ABC 的内部且满足:04=++OC OB OA ，现将一粒豆子随机撒在△ABC 中，则豆子落在△OBC 中的概率是______________13.对于非零的自然数n,抛物线1)12()(22++-+=x n x n n y 与x 轴相交于n n B A ,两点,若以|n n B A |表示这两点间的距离,则|11B A |+|22B A |+|33B A |+ ┅ +|20092009B A | 的值 等于______ ______ 14．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是 边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设，1λ=DEDF ，2λ=AC AE ，且2121=+λλ，记△BDF 的面积为S ＝f (,,21λλ)， 则S 的最大值是解: 因为△ABC 的面积为1, 2λ=ACAE ,所以,△ABE 的面积为2λ,因为D 是AB 的中点,所以, △BDE 的面积为22λ,因为1λ=DEDF ,所以△BDF 的面积为321)2(212122121=+≤λλλλ,当且仅当21λλ=时,取得最大值.做到这二、解答题：15. 如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为)54,53(，三角形AOB 为正三角形．（Ⅰ）求COA ∠sin ；（Ⅱ）求2||BC 的值．（14分）16.下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面.(14分)aaa第15题图OxyBA C34(,55ED OCBA（1）请画出四棱锥S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA ⊥面ABCD ，E 为AB 中点，求证⊥SEC 面面SCD17. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，（15分） （1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．18.已知圆C ：224x y +=.（15分）（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.a a a a a a ABC DMNP19. 设()2ln q f x px x x=--，（e 为自然对数的底数）且f （e ）= qe －pe －2（ 16分） （1）求p 与q 的关系；（2）若()f x 在其定义域内为单调递增函数，求p 的取值范围； （3）设()2eg x x=且0p >，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求实数p 的取值范围。
江苏省南京师范大学附属中学高考数学模拟考试卷
江苏省南京师范大学附属中学2007年高考数学模拟考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷（第1题至10题），第Ⅱ卷（第11题至21题）．共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k k n kn n P k C p p -=- 一组数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-++-其中x 为这组数据的平均值一、选择题：本大题共10小题；每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A B y x y x A ==+=∈{}{|}01122，，，，则A 与B 的关系为 （ B ） A. A B =B. A B ⊂≠C. A B ⊃≠D. A B ⊇23. 不等式组30,0x y y +≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（ D ）A ．1B ．21C ．41 D ．81 4. 下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3π=x 对称的一个函数是（ B ）A ．)6sin(π-=x yB ．)6sin(π+=x yC ．)3sin(π+=x y D ．)32sin(π-=x y5．设a >0, b >0,则以下不等式中不恒成立的是 （D ）A.2a bb a+≥ B. b a -≥a -b C. a 2+b 2+2≥2a +2b D. a 3+b 3≥2ab26.如果直线04122=-++++=my kx y x kx y 与圆交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线 01=-+y x 对称，则k -m 的值为 （ A ）A ．4B ．2C ．-2D ．-47.已知等差数列{}n a 的前n 次和为n s ，且55,1052==s s ，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q （*n N ∈）的直线一个方向向量的坐标可以是 （B ） A ．（21,2） B.（2,21--） C.（1,21--） D. （1,1--） 8. 已知函数y ＝32321x x +-在区间(,0)m 上为减函数, 则m 的取值范围是 （ B ）A ．49m ≥-B ．409m -≤< C ．49m <- D ． 409m -<<9. 如图为正八面体的展开图，则在原正八面体中直线AB 、CD所成的角的度数为( D )A ．900B ．600C ．450D ． 30010. 在数1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足54433221,,,a a a a a a a a ><>< 的排列总数为 （ C ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 48第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分． 11. 已知二项式(x -x1)n 的展开式中含x 3的项是第4项，则n 的值为____________.9 12. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对分别为a 、b 、c ，若120A =,a =4,b c +=则ABC ∆的面积为13. 双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的半焦距为c , 直线2y x =与双曲线的一个交点的横坐标恰为c ，则该双曲线的离心率为 ． 2+114．在半径为10cm 的球面上有A 、B 、C 三点，且AB =83cm ，∠ACB =60°，则球心O 到平面ABC 的距离为______________cm. 6cm15. 甲乙两班每班选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是： ①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛.已知每盘比赛双方胜出的概率均为21,则甲班代表队三盘比赛中两胜一负的概率是_____. 设A={1班第1盘胜}, B={1班第2盘胜}, C={1班第3盘胜}83818181)()()(=++=++∴C B A P BC A P C AB P 16．已知函数2()||(,0)f x x ax b x R b =--∈≠，给出以下三个条件: (1) 存在0R x ∈，使得00()()f x f x -≠； (2) (3)(0)f f =成立；(3) ()f x 在区间[,)a -+∞上是增函数.若()f x 同时满足条件 和 （填入两个条件的编号），则()f x 的一个可能的解析式为()f x = .答案：满足条件(1)(2)时,231y x x =-+等；满足条件(1)(3)时,221y x x =++等；满足条件(2)(3)时,239y x x =+-等.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分14分） 已知),cos 2,(sin ),cos ,cos 35(x x x x ==其中[,]62x ππ∈,设函数23()||.2f x a b b =⋅++ （Ⅰ）求函数)(x f 的的值域； （Ⅱ）若)(x f =8, 求函数()12f x π-的值.解：（1）222233()||cos 2cos 4cos sin 22f x a b b x x x x x =⋅++=++++……2分251cos 25cos 5cos 25222x x x x x +=++=+⨯+5sin(2)56x π=++ …………………………5分由67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得, 1)62sin(21≤+≤-∴πx ………………7分5,()[,10].622x f x ππ∴≤≤时函数的值域为 ……………………8分 （2）3()5sin(2)58,sin(2)665f x x x ππ=++=+=则,67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得所以4cos(2),65x π+=-()12f x π-=5sin 255sin(2)57.662x x ππ=+=+-+=+18．（本小题满分14分）在直角梯形ABCD 中，∠A =∠D =90°，AB ＜CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB=AD=a ，DC=2a ,SD =a 2，过DC 作截面EFCD 与SA ，SB 分别交于点E ，F .（Ⅰ）求证：四边形EFCD 为直角梯形； （Ⅱ）求二面角D-SC-B 的大小； （Ⅲ）当SFFB 为何值时，能使△DFC 解：（Ⅰ）∵ CD ∥AB ，AB ⊂平面SAB ∴CD ∥平面SAB,面EFCD ∩面SAB =EF ，∴CD ∥EF ∵090D ∠=,CD AD ∴⊥又SD ⊥面ABCD∴SD CD ⊥ CD ∴⊥平面SAD ，∴CD ED ⊥又EF AB CD <<EFCD ∴为直角梯形（Ⅱ）取CD 中点G ，连BG ，则BG//AD ，易得BG ⊥面SDC作GM ⊥SC 于M ，连BM ，则由三垂线定理得BM ⊥SC，故∠BMG 即为所求二面角的平面角。
数学_2010年江苏省某校高考数学模拟试卷(1)(含答案)
2010年江苏省某校高考数学模拟试卷（1）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. sin(−300∘)=________．2. 已知复数z =−i(1+2i)，其中i 是虚线单位，则|z|=________．3. 已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤3}，B ={x|x +1>0}，则集合A ∩∁U B =________．4. 某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为________．5. 已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x −2y −4=0与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为________．6. 下图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是________．7. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1，2a +5，则数列{a n }的通项公式a n =________．8. 同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是________．9. 若向量a →，b →满足|a →|=√2，|b →|=1，a →⋅(a →+b →)=1，则向量a →，b →的夹角的大小为________．10. 若方程lnx +2x −10=0的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是________． 11. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是________． 12. △ABC 中，若A =2B ，则ab 的取值范围是________．13. 某同学在研究函数f(x)=x 1+|x|(x ∈R)时，分别给出下面几个结论：①f(−x)+f(x)=0在x ∈R 时恒成立； ②函数f(x)的值域为(−1, 1)；③若x 1≠x 2，则一定有f(x 1)≠f(x 2)； ④函数g(x)=f(x)−x 在R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有________．14. 在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m+T =a m 对任意正整数m 均成立，那么就称{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．已知数列{x n }满足x n+1=|x n −x n−1|(n ≥2, n ∈N ∗)，且x 1=1，x 2=a(a ≤1, a ≠0)，当数列{x n }周期为3时，则该数列的前2007项的和为________二、解答题（共12小题，满分0分）15. 已知a →=(sinx +2cosx, 3cosx)，b →=(sinx, cosx)，且f(x)=a →⋅b →． （1）求函数f(x)的最大值；（2）求函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间．16.如图，在四棱锥O −ABCD 中，AD // BC ，AB =AD =2BC ，OB =OD ，M 是OD 的中点． 求证：(I)直线MC // 平面OAB ； (II)直线BD ⊥直线OA ．17.某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，∠ABC =120∘，按照设计要求，其横截面面积为6√3平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周 长（梯形的底BC 与两腰长的和）必须最小，设水渠深ℎ米． （1）当ℎ为多少米时，用料最省？（2）如果水渠的深度设计在[3,2√3]的范围内，求横截面周长的最小值． 18. 已知⊙C 1:x 2+(y +5)2=5，点A(1, −3) （1）求过点A 与⊙C 1相切的直线l 的方程；（2）设⊙C 2为⊙C 1关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切线长之比为√2？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． 19. 已知函数f(x)＝x 4+ax 3+2x 2+b(x ∈R)，其中a ，b ∈R ． (Ⅰ)当a =−103时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；(Ⅲ)若对于任意的a ∈[−2, 2]，不等式f(x)≤1在[−1, 1]上恒成立，求b 的取值范围． 20. 设{a n }是各项均为正数的无穷项等差数列．（本题中必要时可使用公式：12+22+33+⋯+n 2=n(n+1)(2n+1)6）（I ）记S n =a 1+a 2+...+a n ，T n =a 12+a 22+...+a n 2，已知S n ≤n 2+n −1，T n ≥4n 3−n 3(n ∈N ∗)，试求此等差数列的首项a 1及公差d ；（II ）若{a n }的首项a 1及公差d 都是正整数，问在数列{a n }中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{a′m }？若存在，请写出{a′m }的构造过程；若不存在，说明理由．21. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交于AC于点E ，交⊙O 于点D ，若PE =PA ，∠ABC =60∘，PD =1，BD =8，求线段CE 的长． 22. 已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A(1, 2)变成了点A′(4, 5)，点B(3, −1)变成了点B′(5, 1)，求矩阵M ．23. 自极点O 作射线与直线ρcosθ=3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得OM ⋅OP =12，求点P 的轨迹方程，并判断点P 的轨迹与直线l ：{x =t +2y =2t +1（t 是参数）的位置关系．24. 设a ∈R 且a ≠−√2，试比较√2+a√2−a 的大小．25. 回答下列问题：（1）设f(x)=(1+x)n ，f(x)展开式中x 2的系数是10，求n 的值；（2）利用二项式定理证明：∑(n k=1−1)k+1kC n k=0． 26. 某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．(I)求一次抽奖中奖的概率；(II)若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X （元）的概率分布和期望E(X)．2010年江苏省某校高考数学模拟试卷（1）答案1. √322. √53. {x|−2≤x ≤−1}4. 205. √326. 47. 3n−18. 599. 3π4 10. 5 11. π412. (1, 2) 13. ①②③ 14. 133815. 解：（1）因为a →=(sinx +2cosx, 3cosx)，b →=(sinx, cosx)， 所以，f(x)=(sinx +2cosx)sinx +3cosx ⋅cosx =1+sin2x +1+cos2x =√2sin(2x +π4)+2，所以，当2x +π4=π2+2kπ，k ∈Z ，即x =π8+kπ，k ∈Z 时， f(x)取得最大值√2+2；（2）由（1）由知f(x)的最小正周期是π， 由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2，得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8，k ∈Z ，所以f(x)在[0, π]上的递增区间为[0,π8]和[5π8，π]∴ f(x)的最大值为√2+2；f(x)在[0, π]上的递增区间为[0,π8]和[5π8，π]． 16. 证明：(1)设N 是OA 的中点，连接MN ，NB ， 因为M 是OD 的中点，所以MN // AD ，且2MN =AD ， 又AD // BC ，AD =2BC ， 所以MNBC 是平行四边形， 所以MC // NB ，又MC 不在平面OAB 上，NB ⊂平面OAB ， 所以直线MC // 平面OAB ；(2)设H 是BD 的中点，连接AH ， 因为AB =AD ，所以AH ⊥BD ， 又因为OB =OD ，所以OH ⊥BD 所以BD ⊥面OAH 所以BD ⊥OA 、17. 解：（1）6√3=12(AD +BC)ℎ，AD =BC +2×ℎcot60∘=BC +2√33ℎ，6√3=12(2BC +2√33ℎ)ℎ， 使得BC =6√3ℎ−√33ℎ=√3ℎ+6√3ℎ≥6√2．设外周长为l ，则l =2AB +BC =2ℎsin60∘+6√3ℎ−√33ℎ， 当√3ℎ=6√3ℎ，即ℎ=√6时等号成立，外周长的最小值为6√2，此时堤高ℎ为√6米；（2）√3ℎ+6√3ℎ=√3(ℎ+6ℎ)，设3≤ℎ1<ℎ2≤2√3．解ℎ2+6ℎ2−ℎ1−6ℎ1=(ℎ2−ℎ1)(1−6ℎ1ℎ2)>0，l 是ℎ的增函数，所以l min =√3×3+6√33=5√3（米），（当ℎ=3时取得最小值）．18. 解：（1）C 1(0,−5)，r 1=√5，因为点A 恰在⊙C 1上，所以点A 即是切点，K C 1A =−3+51=2，所以k 1=−12，所以，直线l 的方程为y +3=−12(x −1)，即x +2y +5=0； （2）因为点A 恰为C 1C 2中点，所以，C 2(2, −1)，所以，⊙C 2：(x −2)2+(y +1)2=5， 设P(a,0),PC 12−5PC 22−5=2①，或PC 22−5PC 12−5=2②，由①得，a 2+20(a−2)2−4=2，解得a =−2或10，所以，P(−2,0)或(10,0)，由②得，a 2−4aa 2+20=2，求此方程无解．综上，存在两点P(−2, 0)或P(10, 0)适合题意．19. （1）f ′(x)＝4x 3+3ax 2+4x ＝x(4x 2+3ax +4)． 当a =−103时，f ′(x)＝x(4x 2−10x +4)＝2x(2x −1)(x −2)．令f ′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2=12，x 3＝（2）当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0,12)，(2, +∞)内是增函数，在(−∞, 0)，(12,2)内是减函数．（2）f ′(x)＝x(4x 2+3ax +4)，显然x ＝0不是方程4x 2+3ax +4＝0的根．为使f(x)仅在x ＝0处有极值，必须4x 2+3ax +4≥0成立，即有△＝9a 2−64≤(0) 解些不等式，得−83≤a ≤83．这时，f(0)＝b 是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是[−83,83]．(Ⅲ)由条件a ∈[−2, 2]，可知△＝9a 2−64<0，从而4x 2+3ax +4>0恒成立． 当x <0时，f ′(x)<0；当x >0时，f ′(x)>(0)因此函数f(x)在[−1, 1]上的最大值是f(1)与f(−1)两者中的较大者． 为使对任意的a ∈[−2, 2]，不等式f(x)≤1在[−1, 1]上恒成立， 当且仅当{f(1)≤1f(−1)≤1 ，即{b ≤−2−ab ≤−2+a ，在a ∈[−2, 2]上恒成立．所以b ≤−4，因此满足条件的b 的取值范围是(−∞, −4]．20. 解：(I)依题意：S n =na 1+n(n−1)2d ，a n =a 1+(n −1)d ，所以a n 2=a 12+2a 1(n −1)d +(n −1)2d 2，T n =na 12+n(n −1)a 1d +16(n −1)n(2n −1)d 2，则{na 1+n(n−1)2d ≤n 2+n −1na 12+n(n −1)a 1d +16(n −1)n(2n −1)d 2≥4n 3−n 3即{(2−d)n 2+n(2−a 1−d)−2≥0(1)2(d 2−4)n 2+3d(2a 1−d)n +6a 12−6a 1d +d 2+2≥0(2)则n ∈N ∗恒成立， 所以{2−d ≥0d 2−4≥0因为数列为无穷项，所以d ≥0，所以d =2， 代入（1）（2）得{(2−a)n −1≥0(3)2(a 1−1)n +(a 1−1)2≥0(4)当n =1代入（3），得2−a 1−1≥0，所以a 1≤1， 由（4），当a 1<1时，对充分大的n ，（4）不成立，所以，a 1=1 经检验，a 1=1，d =2满足题意； (II){a n }为a 1，a 1+d ，a 1+2d ，…，取a 1′=a 1，a 2′=a 1+da 1′=(1+d)a 1，a 3′=a 1′+d(a 1′+a 2′)=a 1′+da 1+da 2′=a 2′+da 2′=(1+d)a 2′a m ′=a 1′+d(a 1′+a 2′+...+a m−1′)=a m−1′+da m−1′=(1+d)a m−1′=(1+d)m−1a 1 故数列{a n }是以a 1为首项，1+d （大于1）为公比的非常数等比数列； 又由{a n }的取法可知，a 1′+a 2′+...+a m−1′是正整数之和，记做k ． 所以，a m ′=a 1+dk ，从而a m ′是a 1，a 1+d ，a 1+2d ，…，中的项， 所以，存在这样的非常数列的无穷项等比数列，它包含在{a n }中． 21. 解：∵ PA 是圆O 的切线，PDB 是圆O 的割线， ∴ PA 2=PD ⋅PB ，又PD =1，BD =8， ∴ PA =3，又PE =PA ，∴ PE =3．∵ PA 是圆O 的切线，∴ ∠PAE =∠ABC =60o ， 又PE =PA ，∴ △PAE 是等边三角形，∴ PE =3． ∴ DE =PE −PD =2，∴ BE =BD −DE =6． 由相交弦定理，得AE ⋅CE =BE ⋅DE ，∴ CE =4． 22. 解：设M =[ac ，即[a +2b c +2d ， 所以{a +2b =43a −b =5c +2d =53c −d =1，解得M =[2123. C 、解：P(ρ, θ)，则M(ρ′, θ)，因为OM ⋅OP =12，所以ρρ′=12， 又ρ′cosθ=3，所以ρ3cosθ=12，即点P 的轨迹方程为ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4，直线l 的普通方程为：2x −y −3=0， 则圆心(2, 0)到直线l 的距离为：d =√5=√55<2，所以直线l 与点P 的轨迹相交． 24. 解：√2+a−(√2−a)=2√2+a ，当a >−√2且a ≠0时，∵2√2+a>0，∴√2+a>√2−a ；当a =0时，∵2√2+a=0，∴√2+a=√2−a ；当a <−√2时，∵2√2+a<0，∴√2+a<√2−a .综上，当a >−√2且a ≠0时，√2+a>√2−a ，当a =0时，√2+a=√2−a ，当a <−√2时，√2+a<√2−a .25. 解(1)(1+x)n 展开式中的x 2的系数是C n 2=10，即n(n−1)2=10，得n =5（2）由(1−x)n =C n 0−C n 1x ++(−1)2C n 1x 2+(−1)n C n n x n两边求导得−n(1−x)n−1=−C n 1+2C n 2x ++(−1)r kC n r x n−r ++(−1)n nC n n x n−1两边同时乘以−1，再令x =1得∑(n n=1−1)k+1kC n k=0． 26. 解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C 63种结果，而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C 21C 42+C 22C 41设“一次抽奖中奖”为事件A ，∴ P(A)=C 21C 42+C 22C 41C 63=1620=45即一次抽奖中奖的概率为45； (2)X 可取0，10，20，P(X =0)=(0.2)2=0.04，P(X =10)=C 21×0.8×0.2=0.32， P(X =20)=(0.8)2=0.64，∴ X 的概率分布列为∴ E(X)=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．。
2010年江苏高考数学模拟试卷(6)共10页
2010年江苏高考数学模拟试卷(6)参考公式: 样本数据x1,x2,…xn的方差s2=1nΣni=1(x1-x)2,其中x=1nΣni=1x1一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在相应位置上.1.函数f(x)=1-2x的定义域为.2.直线4x-3y-12=0在两坐标轴上的截距之和.3.己知复数z满足z•i=3+4i,(i为虚数单位),则复数z的模为.4.在两个袋内分别装有标记数字1、2、3、4、5的5张卡片,现从每个袋中各任取一张卡片,则所得两数之和等于7的概率为.5.若函数f(x)=x2+ax,x∈[1,3]是单调函数,则实数a的取值范围是.6.使得函数y=cos(x+φ)为奇函数的φ的最小正值为.7.如图所示,是2009年底CCTV举办的全国钢琴、第8题图小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为.8.右图是一个算法的流程图,最后输出的S=.9.椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为.10.“a∈[2,+∞)”是“实系数一元二次方程x2-ax+1=0有实根”的.条件(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空)11.己知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0,若直线l与圆C相切,则实数a的值为.12.如图,在平面上,若直角三角形ABC的直角边BC和斜边AB的长分别为a、c,过直角顶点C作CD⊥AB于D,记BD的长为b,则a、b、c的关系为a2=bc.类似地.在空间,若四面体ABCD的棱AB、AC、AD两两垂直,过顶点A作AO⊥面BCD(如图所示),记△ABC、△BOC、△BCD的面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3的关系为.13.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则(a+b)2cd的最小值是.14.己知等差数列{an}的各项都不为零,公差d>0,且a4+a7=0,记数列1an的前n项和为Sn,则使Sn>0成立的正整数n的最小值是.二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)A、B是直线y=1与函数f(x)=2cos2ωx2+cos(ωx+π3)(ω>0)图象的两个相邻交点,且|AB|=π2.(1)求ω的值;(2)在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=-12,c=3,△ABC的面积为33,求a的值.16.(本小题满分14分)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D为CC1的中点,AB1与A1B相交于点O,连结OD.(1)求证:OD∥平面ABC;(2)求证:AB1⊥平面A1BD17.(本小题满分14分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地”△ABD,其中AB长为定值a,BD长可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值S1S2称为“草花比y”.(Ⅰ)设∠DAB=θ,将y表示成θ的函数关系式;(Ⅱ)当BE为多长时,y有最小值?最小值是多少?18.(本小题满分16分)已知数列{an}的各项均是正数,其前n项和为sn,满足(p-1)sn=p2-an,其中p为正常数,且p≠1(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=12-logpan(n∈N*),数列{bnbn+2}的前n项和为Tn,求证Tnb>0;如图,半椭圆x2b2+y2a2=1(y≥0)内切于矩形ABCD,且CD交y轴于点G,点P是半圆x2+y2=b2(y≤0)上异于A,B的任意一点,当点P位于点M(63,-33)时,△AGP的面积最大.(1)求曲线C的方程;(2)连PC、PD交AB分别于点E、F,求证:AE2+BF2为定值.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=12[3ln(x+2)-ln(x-2)].(I)求x为何值时,f(x)在[3,7]上取得最大值;(Ⅱ)设F(x)=aln(x-1)-f(x),若F(x)是单调递增函数,求a的取值范围.附加题部分1.选修4-1:几何证明选讲如图,在四边形ABCD中,△ABC≌△BAD.求证:AB∥CD2.选修4-2:矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M的变换作用下,点A(1,2)变成了点A′(4,5),B(3,-1)变成了点B′(5,1),求矩阵M.3.选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆C的圆心坐标为C(2,π3),半径R=5,求圆C的极坐标方程.4.选修4-5:不等式选讲?ヒ阎?a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥135.某小组有6个同学,其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2个同学曾经参加过数学研究性学习活动.(1)现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;(2)若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量,求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).6.已知a>0,b>0,n>1,n∈N*.用数学归纳法证明:an+bn2≥(a+b2)n.2010年江苏高考数学模拟试卷(6)参考答案一、填空题:1.(-∞,12]2.-1.3.54.4255.(-∞,-6]∪[-2,+∞)6.π27.858.309.120°10.充分不必要 11.-3412.s21=s2s3 13.4 14.11二、解答题:15.解析:(Ⅰ)f(x)=1+cosωx+12cosωx-32sinωx=1-3sin(ωx-π3).由函数的图象及|AB|=π2,得函数的周期T=2πω=2×π2,解得ω=2.又∵f(A)=1-3sin(2A-π3)=-12∴sin(2A-π3)=32.又∵△ABC是锐角三角形,-π3 则OE∥AB,又OE?て矫?ABC,AB?计矫?ABC,∴OE∥平面ABC,同理DE∥平面ABC又OE∩DE=E∴平面OED∥平面ABC而OD?计矫?OED,∴OD∥平面ABC(2)连B1D,AD,∵ABB1A1是正方形,∴AB1⊥A1B∵Rt△ACD≌Rt△B1C1D,∴AD=B1D又O是AB1的中点,∴AB1⊥DO,∵A1B∩DO=O∴AB1⊥平面A1BD.17.解:(Ⅰ)因为BD=atanθ,所以△ABD的面积为12a2tanθ(θ∈(0,π2))设正方形BEFG的边长为t,则由FGAB=DGDB,得ta=atanθ-tatanθ, 解得t=atanθ1+tanθ,则s2=a2tan2θ(1+tanθ)2所以s1=12a2tanθ-s2=12a2tanθ-a2tan2θ(1+tanθ)2,则y=s1s2=(1+tanθ)22tanθ-1(Ⅱ)因为tanθ∈(0,+∞),所以y=12(tanθ+1tanθ+2)-1=12(tanθ+1tanθ)≥1当且仅当tanθ=1时取等号,此时BE=a2.所以当BE长为a2时,y有最小值1.18.解析:(1)由题设知(p-1)a1=p2-a1,解得a1=p.由(p-1)sn=p2-an(p-1)sn+1=p2-an+1两式作差得(p-1)(sn+1-sn)=an-an+1所以(p-1)an+1=an-an+1,即an+1=1pan,可见,数列{an}是首项为p,公比为1p的等比数列.an=p(1p)n-1=(1p)n-2(Ⅱ)bn=12-logpp2-n=12-(2-n)=1nbnbn+2=1n(n+2)=12(1n-1n+2)Tn=b1b3+b2b4+b3b5+…bnbn+2=12[(11-13)+(12-14)+(13-15)+(14-16)+…(1n-1n+2)]=12(1+12-1n+1-1n+2)0,所以b=1,当半圆x2+y2=b2(y≤0)在点M处的切线与直线AG平行时,点P到直线AG的距离最大,此时△AGP的面积取得最大值,故半圆x2+y2=b2(y≤0)在点M处的切线与直线AG平行, 所以OM⊥AG,又KOM=yM-0xM-0=-22,所以KAG=2=ab,又b=1,所以a=2, 所以曲线C的方程为x2+y22=1(y≥0)或x2+y2=1(y≤0).(2)点C(1,2),点D(-1,2),设P(x0,y0),则有直线PC的方程为y-2=y0-2x0-1(x-1),令y=0,得xE=1-2(x0-1)y0-2,所以AE=2-2(x0-1)y0-2;直线PD的方程为y-2=y0-2x0+1(x+1),令y=0,得xF=-1-2(x0+1)y0-2 所以BF=2+2(x0+1)y0-2;则AE2+BF2=[2-2(x0-1)y0-2]2+[2+2(x0+1)y0-2]2=4x20+4(y0-2)2+82y0-2+ 8又由x20+y20=1,得x20=1-y20,代入上式得=8-4y20(y0-2)2+82y0-2+8=8-4y20+82(y0-2)(y0-2)2+8=-4(y0-2)2(y0-2)2+8=4,所以AE2+BF2为定值.20、解:(Ⅰ)f′(x)=12[3x+2-1x-2]=x-4x2-4.∴当24时,f′(x)>0.∴f(x)在(2,4)上是减函数,在(4,+∞)上是增函数.∴f(x)在[3,7]上取得最大值应在端点处取得.∵f(3)-f(7)=12[3ln5-ln1]-12[3ln9-ln5]=12[ln625-ln729]0恒成立∴(a-1)x2+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)恒成立下面分情况讨论(a-1)x2+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)恒成立时,a的解的情况,当a-10在(2,+∞)上恒成立当a-1>0,又有两种情况:①52+16(a-1)(a+1)≤0;?ア?-52(a-1)≤2且(a-1)•22+5×2-4(a+1)≥0由①得16a2+9≤0,无解,由②得a≥14 ∵a-1>0.∴a>1综上所述各种情况,当a≥1时,(a-1)x2+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立∴所求的a的取值范围为[1,+∞)附加题部分1.A.选修4-1:几何证明选讲证明:由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA.∴A,B,CD四点共圆从而∠CAB=∠CDB再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA∴∠DBA=∠CDB∴AB∥CD.2.解:设M=a bc d,则由a bc d12=45,a bc d3-1=51,得a+2b=4,c+2d=53a-b=53c-d=1所以a=2b=1c=1d=2因此2 11 2.3.解法一:设P(ρ,θ)是圆上的任意一点,则PC=R=5.由余弦定理,得ρ2+22-2×2×ρcos(θ-π3)=5.化简,得ρ2-4ρcos(θ-π3)+1=0,此即为所求的圆C的方程.解法二:将圆心C(2,π3)化成直角坐标为(1,3),半径R=5,故圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=5.再将C化成极坐标方程,得(ρcosθ-1)2+(ρcosθ-3)2=5.化简,得ρ2-4ρcos(θ-π3)+1=0,此即为所求的圆C的方程.4.证明:因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)≥(a+b+c)2-2(a2+b2+c2)所以.3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1,故a2+b2+c2≥13.5.解:(1)记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的A,则其概率为P(A)=C14C12C26=815.答:恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为815.(2)随机变量ξ=2,3,4P(ξ=2)=C24C26=25P(ξ=3)=C14C12C26=815P(ξ=4)=C22C26=115∴随机变量ξ的分布列为ξ234P2*******∴Eξ=2×25+3×815+4×115=836.证明(1)当n=2时,左边-右边=a2+b22=(a+b2)2=(a-b2)2≥0,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,k>1)时,不等式成立,即ak+bk2≥(a+b2)k.因为a>0,b>0,k>1,k∈N*,所以(ak+1+bk+1)-(akb+abk)=(ak-bk)(a-b)≥0,于是ak+1+bk+1≥akb+abk.当n=k+1时,(a+b2)k+1=(a+b2)k•a+b2≤ak+1+bk+12•a+b2= ak+1+bk+1+akb+abk4≤ak+1+bk+1+ak+1+bk+14=ak+1+bk+12.即当n=k+1时,不等式也成立.综合(1),(2)知,对于a>0,b>0,n>1,n∈N*,不等式an+bn2≥(a+b2)n总成立.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。
2010年江苏省高三模拟试题(数学)Word版含答案
江苏省2010年高考预测考试数学一．填空题1.已知(1)1z i -=，则复数z 在复平面上对应的点位于第 象限。
2.“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 条件。
3.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)A ，则b 的值为 。
4.若样本1a ，2a ，3a 的方差是2，则样本21a +3，22a +3，21a +3的方差是 。
5.下列流程图（假设函数rnd （0,1）是产生随机数的函数，它能随机产生区间（0,1）内的任何一个实数）。
随着输入N 的不断增大，输出的值q 会在某个常数p 附近摆动并趋于稳定，则常数p 的值是 。
6.设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值是 。
7.已知1c o s 32π=，21cos cos 554ππ=，231cos cos cos 7778πππ=，…， 根据这些结果，猜想出的一般结论是 。
8.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的序号是 。
①m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭；②a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭③//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；④////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭9.动点(,)P a b 在不等式2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a b w a +-=-的取值范围是 。
10.ABC 内接于以O 为圆心半径为1的圆，且3450OA OB OC ++=,则ABC 的面积 S = 。
11.过双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的右顶点A 作斜率-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC =,则双曲线的离心率是 。
12.当θ取遍所有值时，直线cos sin )4x y πθθθ⋅+⋅=+所围成的图形面积为。
江苏省南京市2010届期末迎一模高三数学期末模拟试卷(一)
南京市2010届期末迎一模高三数学期末模拟试卷（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数1ii+在复平面内对应的点位于第 象限． 2．集合2{0,2,},{1,}A a B a ==，若{0,1,2,4,16}A B = ，则a 的值为_____． 3．抛物线214x y =的准线方程为_______． 4．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ． 5．若数列1,,,,4a b c 成等比数列，则b 的值为_______.6．已知函数3,100()(5),100x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(89)f = ．7.已知两个点(2,1)A -和(1,3)B -分布在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围为_________.8．已知函数()f x 是二次函数，不等式()0f x >的解集是(0,4)，且()f x 在区间[1,5]-上的最大值是12，则()f x 的解析式为 ．9．已知命题p ：函数y ＝lg x 2的定义域是R ，命题q ：函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集，给出命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q ．其中真命题个数为_______．10．连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则)(A P 最大时，m = ．11．已知椭圆的方程为2221(0)16x y m m +=>,如果直线2y x =与椭圆的一个交点M 在x 轴的射影恰为椭圆的右焦点F ,则椭圆的离心率为__________.12．给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题： （1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； （3）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//；（4）若m l m l //,//,//,//则βαβα 其中真命题是 （填序号）13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项公式为n2，则数列{n a }的前n 项和n S = ．14.如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC =BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ； （2）求证：PC 1∥面MNQ ．15．某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15.(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？ (3)已知185,185y z ≥≥,求第三车间中女工比男工少的概率.A 1AB CPMNQ B 1C 116．已知不等式1)(1)ax x -+（＜0 (a ∈R ).(1) 若x =a 时不等式成立,求a 的取值范围; (2) 当0a ≠时，解这个关于x 的不等式.17. 已知椭圆2214x y +=的左、右两个顶点分别为A ，B ，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C 1与圆C 2． (1)求证：无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值； (2)当t 变化时，求为圆C 1与圆C 2的面积的和S 的最小值．2009-2010学年度第一学期高三数学期末模拟一解答一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数1ii+在复平面内对应的点位于第 一 象限． 2．集合2{0,2,},{1,}A a B a ==，若{0,1,2,4,16}A B = ，则a 的值为__4___． 3．抛物线214x y =的准线方程为___1x =-____． 4．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为280x y -+=． 5．若数列1,,,,4a b c 成等比数列，则b 的值为___2____. 6．已知函数3,100()(5),100x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(89)f = 101 ．7.已知两个点(2,1)A -和(1,3)B -分布在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围为____.（(9,8)-）8．已知函数()f x 是二次函数，不等式()0f x >的解集是(0,4)，且()f x 在区间[1,5]-上的最大值是12，则()f x 的解析式为2()3(2)12f x x =--+．9．已知命题p ：函数y ＝lg x 2的定义域是R ，命题q ：函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集，给出命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q ．其中真命题个数为_______．（2）10．连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则)(A P 最大时，m = 7 ．11．已知椭圆的方程为2221(0)16x y m m+=>,如果直线y 与椭圆的一个交点M 在x 轴的射影恰为椭圆的右焦点F ,则椭圆的离心率为__________. 12．给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题： （1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； （3）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//； （4）若m l m l //,//,//,//则βαβα 其中真命题是（1）、（2）、（3）（填序号）13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项公式为n2，则数列{n a }的前n 项和n S =221-+n ．二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．14．（本题满分14分）如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC =BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ； （2）求证：PC 1∥面MNQ ． 证明：（1）∵AC=BC ， P 是AB 的中点 ∴AB ⊥PC∵AA 1⊥面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥面ABC 而AB 在平面ABC 内 ∴CC 1⊥AB ， ∵CC 1∩PC =C ∴AB ⊥面PCC 1；又∵M 、N 分别是AA 1、BB 1的中点，四边形AA 1B 1B 是平行四边形，MN ∥AB ， ∴MN ⊥面PCC 1 ∵MN 在平面MNQ 内，∴面PCC 1⊥面MNQ ； 7分 （2）连PB 1与MN 相交于K ，连KQ ，∵MN ∥PB ，N 为BB 1的中点，∴K 为PB 1的中点． 又∵Q 是C 1B 1的中点∴PC 1∥KQ而KQ ⊂平面MNQ ，PC 1⊄平面MNQ ∴PC 1∥面MNQ ． 14分 15．（本题满分14分）某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15.(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？ (3)已知185,185y z ≥≥,求第三车间中女工比男工少的概率. 解：（1）由题意可知0.15,1501000xx ==； 4分 （2）由题意可知第三车间共有工人数为1000(173177)(100150)400-+-+=名，则设应在第三车间级抽取m 名工人，则50,201000400mm ==． 8分 （3）由题意可知400y z +=，且185,185y z ≥≥，满足条件的(,)y z有(185,215),(186,214)，……(215,185)，共有31组．设事件A ：第三车间中女工比男工少，即y z <，满足条件的(,)y z 有(185,215),(186,214)，……(199,201)，共有15组．故15()31P A =． 13分 A 1ABCP MNQ B 1C 1答：（1）150x =，（2）应在第三车间抽取20名工人，（3）第三车间中女工比男工少的概率为1531. 16．（本题满分15分）已知不等式1)(1)ax x -+（＜0 (a ∈R ).(1) 若x =a 时不等式成立,求a 的取值范围; (2) 当0a ≠时，解这个关于x 的不等式. 解：（1）由x =a 时不等式成立，即2(1)(1)0a a -+<，所以2(1)(1)0a a +-<， 所以1a <且1a ≠-．所以a 的取值范围为(,1)(1,1)-∞-- ． 6分 （2）当0a >时，11a>-，所以不等式的解：11x a -<<；当10a -<<时，11a <-，所以不等式的解：1x a<或1x >-； 当1a <-时，11a >-，所以不等式的解：1x <-或1x a>． 综上：当0a >时，所以不等式的解：11x a-<<； 当10a -<<时，所以不等式的解：1x a<或1x >-； 当1a <-时，所以不等式的解：1x <-或1x a>． 15分 17. （本题满分15分）已知椭圆2214x y +=的左、右两个顶点分别为A ，B ，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C 1与圆C 2．(1)求证：无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值；(2)当t 变化时，求为圆C 1与圆C 2的面积的和S 的最小值． 解：（1）易得A 的坐标)0,2(-,B 的坐标)0,2(M 的坐标)24,(2t t -，N 的坐标)24,(2t t --，线段AM 的中点P )44,22(2t t --，直线AM 的斜率t t k =+-=22421又AM PC ⊥1, ∴直线1PC 的斜率ttk -+-=2222 ∴直线1PC 的方程44)22(2222t t x t t y -+---+-=∴1C 的坐标为)0,863(-t 5分同理2C 的坐标为)0,863(+t∴4321=C C ,即无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值 8分 （2）圆1C 的半径为1AC 8103+=t 圆2C 的半径为83102tBC -=)1009(3222221+=+=t BC AC S πππ （2-＜t ＜2）显然t 0=时，S 最小，825min π=S 15分。
江苏南京师范大学附属中学届高三考前模拟考试数学试题
江苏南京师范大学附属中学届高三考前模拟考试数学试题This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 20202017届南京师大附中高三年级模拟考试数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}{}21,2,3,4,|20A B x x x ==-->，则A B = .2. 已知复数z 满足()13z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的模z = .3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车的时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过50km/h 的汽车的辆数为 .4.如右图所示的流程图中，输出S 的为 .5．函数()()12log 23f x x =-的定义域是 .6.袋中装有大小、形状完全相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 .7.已知正四棱锥的底面边长为4cm 5cm ，则该四棱锥的侧面积是 2cm .8.设变量,x y 满足约束条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，若目标函数z ax y =+的最小值为-2，则a = .9.设函数()()233sin cos 0f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，则()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为 .10.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若满足41130a a +=，则2114S S = . 11.若1b a >>，且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为 . 12.已知P 是圆221x y +=上一动点，AB 是圆()()225124x y -+-=的一条动弦（A,B是直径的两个端点），则PA PB ⋅的取值范围为 .13.设()34f x ax x =-，对[]1,1x ∀∈-总有()1f x ≤，则a 的取值集合为 .14.在ABC ∆中，已知边a,b,c 的对应角分别为A,B,C ，若2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A = .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知)sin sin sin .C A B -=（1）求b c a-的值； （2）若32b BA BC =⋅=，求ABC ∆的面积.16.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，1//,.2CD AB AD DC AB == （1）若M 是PB 的中点，求证：//CM 平面PAD ；（2）若,AD AB BC PC ⊥⊥，求证：平面PAC ⊥平面PBC .17.（本题满分14分）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.18.（本题满分16分）平面直角坐标系中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点53⎝⎭25. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0K 作一直线与椭圆C 交于A,B 两点，过A,B 两点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为11,A B ，试问直线1AB 与1A B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.19.（本题满分16分）设()[]sin ,0,2xf x e x ax x π=⋅+∈，（a 为常数） （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间()0,2π内的极大值、极小值各有一个，求实数a 的取值范围.20.（本题满分16分）设{}n a 为各项均不相等的数列，n S 为它的前n 项和，满足()11,.n n na S n N R λλ*+=+∈∈（1）若11,a =，且123,,a a a 成等差数列，求λ的值；（2）若{}n a 的各项均不为零，问当且仅当λ为何值时，234,,,,,n a a a a 成等差数列试说明理由.数学附加卷21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为O 的直径，D 为O 上一点，过D 作O 的切线交AB 的延长线于点C,若DA=DC,求证：AB=2BC.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a R ∈，若点()1,1P 在矩阵A 的变换下得到点()0,1P '-，求矩阵A 的两个特征值.C.选修4-4：坐标系与参数方程已知P 是曲线2cos :3x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，2πθπ≤≤）上一点，O 为原点，若直线OP 的倾斜角为3π，求点P 的直角坐标.D.选修4-5：不等式选讲已知实数,x y 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A,求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.23.（本小题满分10分）（1）设()22601261x x a a x a x a x ++=++++，求23,a a ；（2）设((20172525x =+++，求x 的整数部分的个位数字.。
2024届江苏省南京市南京师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A ．33B ．233C ．3D ．232．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-3．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =（ ） A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4] 4．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．5．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）．A ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦ C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭ D ．(0,)A B =+∞6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ）A ．()()0.63(3)log 132f ff -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<- C ．()()0.632log 13(3)f f f <-<- D ．()()0.632(3)log 13f f f <-<-7．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ---=8．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝16，a 3a 4＝﹣32，则S 8＝（ ）A ．﹣21B ．﹣24C ．85D ．﹣859．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ）A ．14B ．12C ．10D ．810．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5 11．已知函数2()sin3sin cos 444f x x x x πππ=-，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ） A ．2018 B ．1009 C ．1010D ．2020 12．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(终1)南京市2010届高三数学第一次模拟考试试卷
则h′(x)＝＝．
因为x∈[，e]，所以x＋2＞2≥2lnx，
所以当x∈(，1)时，h′(x)＜0，此时h(x)是减函数；
当x∈(1，e)时，h′(x)＞0，此时h(x)是增函数．……………………………………14分
因为h()＝＜0，h(e)＝＞0
所以当x∈[，e]时，[h(x)]max＝h(e)＝．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
6．根据如图所示的算法语句，可得输出的结果是▲．
7．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，am＋2＋am＋1＝6am，则{an}的前4项和是
▲．
8．过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程是▲．
9．若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝▲．
因为0＜θ＜，所以＜2θ＋＜，所以＜sin(2θ＋)≤1．
所以当2θ＋＝，即θ＝时，S的最大值是m2．
答：S的最大值是m2，相应的θ的值是．……………………………………14分
18．（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）
解：（1）由条件知点M在圆O上，
所以1＋a2＝4．则a＝±．…………………………………………………………2分
证明：（1）因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，
2024学年江苏省南大附中高三年级第一次模拟数学试题
2024学年江苏省南大附中高三年级第一次模拟数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12802．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e3．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -5．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．3B ．32C ．53D ．26．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<7．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．128．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．129．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．52B ．2C ．5D ．15210．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．223B ．223-C ．223±D ．1311．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12-12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南京师大附中高考模拟试卷答案
南京师大附中高考模拟试卷答案数 学参考答案： 一、选择题：1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．A ９．C 10．A 11．C 12．D 二、填空题：13. －２ 14．１１ １５．⇒⎭⎬⎫⊂⊥βαa a α⊥β 或 ⇒⎭⎬⎫⊥βα//a a α⊥β１６．3 １７．⎥⎦⎤⎝⎛3,0π １８．10241 三、解答题19．解：（Ⅰ）记至少有一次中一等奖的事件为Ａ，则其概率Ｐ（Ａ）＝3102812C C C ＋3101822C C C ＝158． 答：至少有一次中一等奖的概率为158． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 注：本小问缺少事件命名、答，各扣一分．（Ⅱ）每次抽取奖券都是相互独立的，其中后四次分别看作独立重复实验． ．．．．．．．．７分 设第一次中一等奖，后四次中恰有２次中二等奖的事件为B ， ．．．．．．．．．．．８分 则其概率Ｐ（B ）2224)1031()103(102-⋅=C =0.05292 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１分 答：第一次中一等奖，后四次中恰有２次中二等奖的概率为0.05292． ．．．．．．．．．．１2分 20．解：（Ⅰ）2()32().f x x a b x ab '=-++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 由题意(2)5,(1)0f f ''==，代入上式，解之得：a =1，b =1． ．．．．．．．．．．5分 （２）当b =1时，()0f x '=令得方程232(1)0.x a x a -++= 因,0)1(42>+-=∆a a 故方程有两个不同实根21,x x ． ．．．．．．．．．．．．8分 不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('x f 的符号如下： 当时，1x x <)('x f ＞０； 当时，21x x x <<)('x f ＜０； 当时，2x x >)('x f ＞０因此1x 是极大值点，2x 是极小值点． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分南京师范大学附属中学 南京师大附中江宁分校２００６年高考模拟试卷所以，当b =1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．．．．．12分． 21．21．解:（Ⅰ）设P 点在平面ABCD 上的射影为O, 连接CO,则∠PCO 就是PC 与平面ABCD 所成的角,--------------------------1分 取AB 的中点M,连接PM 、OM,因为PA=PB,所以PM ⊥AB,由三垂线定理的逆定理得OM ⊥AB,,所以∠PMO就是二面角P -AB-C 的平面角，即∠PMO=600，--------------2分 在ΔPAB 中，002,PO PMsin 60PMcos601,==∴==== OM AB,⊥过O作ON ⊥BC 交BC 于N,则BN=MO=1,在Rt ΔCON 中==分在RtΔPOC 中 ，tan∠PCO=POPCO OC ==∴∠=即PC 与平面ABCD 所成的角为分 (Ⅱ)连接AC 、BD.交于点H,则H 为AC 的中点，取PC 中点E ，则PA ∥HE,-----7分HE BED PA BED,PA BED,E ⊂⊄∴平面，平面平面所以点为所求。
江苏省南京师大附属实验学校2010届高三数学国庆假期数学作业(五)
南京师范大学附属实验学校2010国庆假期数学作业（五）班级 姓名 （本试卷满分160分，测试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1、已知集合A=｛x | lg|x|=0｝，B=｛x | 12＜2x+1＜4｝,则A ∩B= ．2、函数y= f (x)（ x ∈[－2，2]）的图象如图所示，则f (x)＋f (－x)= ．3、在△ABC 中，sin cos A Ba b =，则∠B= ． 4、若z1=a ＋2i ，z2=3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值是 ．5、已知向量a=（2,1）,b=（x,2）,且a ＋b 与a －2b 平行，则x 等于 ．6、设ω是正实数，如果函数f(x)=2sinωx 在[－π4，π3]上是增函数，那么ω的取值范围是 ． 7、设,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则； ②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则. 其中所有正确命题的序号是 。
8、过点P （1，2）得直线l 将圆05422=--+x y x 分成两个弓形，当大小弓形的面积之差最大时，直线l 的方程为 ；9、若数列}{n a 满足12 (01),1 (1).n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =,则2008a = . 10、已知圆1)2(22=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率=e ；11、已知)4,2(),1,(,==∈AC k AB Z k ，若10||≤AB ，则ABC ∆是直角三角形的概率是 ；12、已知nS 是等差数列{}()n a n N *∈的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题：⑴0d <；－11 1 －12－2 O xy⑵110S >；⑶120S <；⑷ 数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确命题的序号是 ___。
江苏南京师范大学附属中学届高三考前模拟考试数学试题
2017届南京师大附中高三年级模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分1. 已知集合{}{}21,2,3,4,|20A B x x x ==-->,则A B = .2. 已知复数z 满足()13z i i +=-,其中i 是虚数单位,则复数z 的模z = .3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得的汽车的时速绘制成如图所示的频率分布直方图,根据图形推断,该时段时速超过50km/h 的汽车的辆数为 .4.如右图所示的流程图中,输出S 的为 .5．函数()()12log 23f x x =-的定义域是 .6.袋中装有大小、形状完全相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .7.已知正四棱锥的底面边长为4cm ,5cm ,则该四棱锥的侧面积是 2cm .8.设变量,x y 满足约束条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,若目标函数z ax y =+的最小值为-2,则a = .9.设函数()()233sin cos 0f x x x x ωωωω=->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π,则()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为 .10.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若满足41130a a +=,则2114S S = . 11.若1b a >>,且3log 6log 11a b b a +=,则321a b +-的最小值为 . 12.已知P 是圆221x y +=上一动点,AB 是圆()()225124x y -+-=的一条动弦A,B 是直径的两个端点,则PA PB ⋅的取值范围为 .13.设()34f x ax x =-,对[]1,1x ∀∈-总有()1f x ≤,则a 的取值集合为 .14.在ABC ∆中,已知边a,b,c 的对应角分别为A,B,C,若2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+,则tan A = .二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.本题满分14分在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知)sin sin sin .C A B -=1求b c a-的值； 2若32b BA BC =⋅=,求ABC ∆的面积.16.本题满分14分如图,在四棱锥P ABCD-中,1//,.2CD AB AD DC AB ==1若M 是PB 的中点,求证：//CM 平面PAD ； 2若,AD AB BC PC ⊥⊥,求证：平面PAC ⊥平面PBC .17.本题满分14分园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米,圆心角为θ弧度的扇形观景水池,其中O 为扇形AOB 的圆心,同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元,水池造价为每平米400元,步道造价为每米1000元.1当r 和θ分别为多少时,可使得广场面积最大,并求出最大面积；2若要求步道长为105米,则可设计出的水池最大面积是多少.18.本题满分16分平面直角坐标系中,椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点53,22⎛ ⎝⎭,25. 1求椭圆C 的标准方程；2过点()2,0K 作一直线与椭圆C 交于A,B 两点,过A,B 两点作椭圆右准线的垂线,垂足分别为11,A B ,试问直线1AB 与1A B 的交点是否为定点,若是,求出定点的坐标；若不是,请说明理由.19.本题满分16分设()[]sin ,0,2xf x e x ax x π=⋅+∈,a 为常数 1当0a =时,求()f x 的单调区间；2若()f x 在区间()0,2π内的极大值、极小值各有一个,求实数a 的取值范围.20.本题满分16分设{}n a 为各项均不相等的数列,n S 为它的前n 项和,满足()11,.n n na S n N R λλ*+=+∈∈1若11,a =,且123,,a a a 成等差数列,求λ的值；2若{}n a 的各项均不为零,问当且仅当λ为何值时,234,,,,,n a a a a 成等差数列试说明理由.数学附加卷21.选做题在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题纸的指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图,AB 为O 的直径,D 为O 上一点,过D 作O 的切线交AB 的延长线于点C,若DA=DC,求证：AB=2BC.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其中a R ∈,若点()1,1P 在矩阵A 的变换下得到点()0,1P '-,求矩阵A 的两个特征值.C.选修4-4：坐标系与参数方程已知P 是曲线2cos :3x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩θ为参数,2πθπ≤≤上一点,O 为原点,若直线OP 的倾斜角为3π,求点P 的直角坐标.D.选修4-5：不等式选讲已知实数,x y 满足2x y z ++=,求22223x y z ++的最小值.必做题第22题、第23题,每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.本小题满分10分某小组共10人,利用暑期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.1记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A,求事件A 发生的概率；2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望.23.本小题满分10分1设()22601261x x a a x a x a x ++=++++,求23,a a ；2设((20172525x =+++,求x 的整数部分的个位数字.。
江苏省南京师范大学附属中学高三上学期10月段考数学试卷
江苏省南京师范大学附属中学高三上学期10月段考数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}2220,log 1A xx x B x x =--<=<∣∣，则A B =I （ ） A ．∅ B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(1,2)-2．若复数z 满足()1i i 3z ⋅+=+（i 是虚数单位），则z 的模长等于（ ）A ．1BC D 3．已知公差大于0的等差数列{}n a 的前6项和为24-，257a a =，则7a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．设32log 2a =，2log 3b =，43c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b c a >>5．已知π1tan()43α+=，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为（ ）A ．32-B ．1-C ．1D ．326．2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为32.25g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r 满足函数模型()()0.25*0103R,N n t n r r r r t n +=+-⋅∈∈，其中0r 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） A ．14次B ．15次C ．16次D ．17次7．两个相交平面构成四个二面角，我们称其中小于或等于90o 的二面角称为这两个相交平面的夹角.现在正方体任取四个顶点，若这四个顶点共面，则称该平面为该正方体的一个“表截面”则在正方体中，两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为（ ） A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o8．已知,A B 是圆22:4O x y +=上两点，且2AB =，直线4x my =+上存在点P 使得OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，则m 的取值范围为（ ）A ．,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭二、多选题9．设,a b 为正实数，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．n 0()l a b ->B ．11()()22a b <C ．11a b a b->- D ．11a b b a->- 10．已知1x ，2x ，是函数()tan()(0,ππ)f x x ωϕωϕ=+>-<<的两个零点，且12x x -的最小值为π3，若将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度后得到的图象关于原点对称，则ϕ的可能值为（ ）A ．3π4B ．π4C ．π4-D ．π811．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 中点，则下列说法正确的是 （ ）A ．BD ⊥平面1A AEB ．B 到平面1AB E 的距离为53C ．平面1AB E 和底面1111D C B A 所成角的余弦值为23D ．若此正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若函数(12)y f x =+，1(2)2y x f x =-+都为偶函数，令()()g x f x '=，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的图象关于1x =对称B ．()g x 的图象关于点12,2⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．(1)1g =D ．1001()2475k g k ==∑三、填空题13．设a r ，b r为单位向量，且1a b +=r r ，则2a b -=r r .14．如图，在平面四边形ABCD 中，45,60,150,22A B D AB BC ∠=︒∠=︒∠=︒==，则四边形ABCD 的面积为.15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点F 的抛物线2x y =交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则双曲线的离心率为.16．已知实数x ，y 满足ln e ln x x y y =+，则e x y --的最大值为.四、解答题17．已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，510a =，756S =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13n a n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和．18．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos c b a B +=． (1)求角A ；(2)若角A 的平分线与BC 交于点M ，BM =CM =AM 的长． 19．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面,,,ABC AB BC M N =分别为棱,AC PA 的中点.(1)证明：BM PC ⊥；(2)若2AB AC ==，二面角A BN M ---P ABC 的体积. 20．为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为13，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X ，求X 的分布列及()E X ； (2)记一共进行的比赛局数为Y ，求(5)≤P Y ．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过其右焦点F 且与x 轴垂直的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且满足||3PQ =.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且与椭圆交于点A ，B ，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆交于点C ，D ，求四边形ACBD 面积S 的取值范围.22．已知函数3()sin 3xf x x x =-+. (1)求证：()f x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在惟一的极小值点；(2)判断函数()f x 在(0,)+∞上零点的个数，并说明理由.。
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2010年南京师范大学附属中学高三年级模拟考试数学试卷注意事项：1、本试卷共160分，考试用时120分钟。
2、答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上，考试结束后，交回答题纸。
参考公式：样本数据221211,,,()n n i i x x x S x x n ==-∑ 的方差为，其中x 为样本平均数．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共40分。
请把答案填写在答题纸相应位置上）1．sin(300)_____︒-=．2．已知复数i(12i)z =-+，其中i 是虚线单位，则||z =．3．已知全集U =R ，集合{|23}(|10)A x x B x x =-=+>≤≤，，则集合U A B = ð ． 4．某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为 ．5．已知中心在坐标原点的椭圆经过直线240x y --=与坐标轴的两个交点，则该椭圆的 离心率为．6．右图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是．7．已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1， 2a +5，则数列{a n }的通项公式____n a =．8．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是．9．已知向量，a b 满足||1||2()==⊥+，，，则向a b a a b 量，a b 夹角 的大小为 ．10．若方程ln 2100x x +-=的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是．11．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是 ．12．△ABC 中，若A =2B ，则ab 的取值范围是 ．13．已知函数()1||xf x x =-，分别给出下面几个结论：①()f x 是奇函数；②函数()f x 的值域为R ；③若x 1≠x 2，则一定有12()()f x f x ≠；④函数()()g x f x x =+有三个零点． 其中正确结论的序号有．（请将你认为正确的结论的序号都填上）14．在数列{}n a 中，如果存在正整数T ，使得max m a a =对于任意的正整数m 均成立，那么开始输入x k ←0 x ←2x +1 k ←k +1 x >100输出k结束NY就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期。
已知数列max 1{}||(2,)n n n x x x x n n N -=-≥∈满足，如果121,(,0)x x a a R a ==∈≠，当数列{}n x 的周期最小时，该数列前2010项的和是 。
二、解答题（本大题共6小题，共计90分。
请在答题纸指定区域内作答，解答量应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量(sin 2cos ,3cos )(sin ,cos )()x x x x x f x =+==⋅，，a b a b ． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）求函数()f x 在[0，π]上的单调递增区间．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥O —ABCD 中，AD //BC ，AB =AD =2BC ，OB =OD ，M 是OD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线MC //平面OAB ；（Ⅱ）直线BD ⊥直线OA ．OMDA B C17．（本小题满分14分）某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，120ABC ︒∠=， 按照设计要求，其横截面面积为63平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周 长（梯形的底BC 与两腰长的和）必须最小，设水渠深h 米． （Ⅰ）当h 为多少米时，用料最省？（Ⅱ）如果水渠的深度设计在[323]，的范围内，求横截面周长的最小值．18．（本小题满分16分）已知221(5)5(13)C x y A ++=- :，点，． A BCD120°（Ⅰ）求过点A 与1C 相切的直线l 的方程；（Ⅱ）设21C C 为关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切 线长之比为2？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数432()2f x x ax x b a b =+++∈R ，，．（Ⅰ）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在x =0处有极值，试求a 的取值范围；（Ⅲ）若对于任何[2,2]()1[10]a f x x ∈-∈-≤，不等式在，上恒成立，求b 的取值范围．20．（本小题满分16分）（本题中必要时可使用公式：2232(1)(21)1236n n n n ++++++= ）设{}n a 是各项均为正数的无穷项等差数列．（Ⅰ）记2221212n n n nS a a a T a a a =+++=+++ ，，已知32413n n n nS n n T -+-≤≥，*()n ∈N ，试求此等差数列的首项a 1及公差d ；（Ⅱ）若{}n a 的首项a 1及公差d 都是正整数，问在数列{}n a 中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{}ma '？若存在，请写出{}m a '的构造过程；若不存在，说明理由．2010年南京师范大学附属中学高三年级模拟考试附加题注意事项：1、附加题供选修物理的考生使用。
2、本试题共40分，考试时间30分钟。
3、答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上，考试结束后，交回答题纸。
21．［选做题］在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 是O 的内接三角形，PA 是O 的切线，PB 交AC 于点E ，交O 于点D ．若 PE =PA ，60ABC ︒∠=，PD =1，BD =8，求BC 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A （1，2）变成了点A '（4，5），点B （3，-1） 变成了点B '（5，1），求矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程自极点O 作射线与直线cos 3ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得12OM OP ⋅=，求点P 的轨迹方程，并判断点P 的轨迹与直线221x t l y t =+⎧⎨=+⎩:（t 是参数）的位置关系．A O DPE C BD ．选修4—5：不等式选讲 设2a a ∈≠-R 且，试比较222a a-+与的大小．［必做题］第22题、第23题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．（Ⅰ）设()(1)()n f x x f x =+，展开式中2x 的系数是10，求n 的值；（Ⅱ）利用二项式定理证明：11(1)C 0nk knk k +=-=∑．12.已知多项式5431111()52330f n n n n n =++-. (Ⅰ)求(1)f -及(2)f 的值；(Ⅱ)试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．12. (Ⅰ) (1)f -=0,(2)f =16. …………………………………………………………1分 (Ⅱ) 对一切整数n ，()f n 一定是整数.（1）先用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()f n 是整数. ①当n=1时，(1)1f =,结论成立.②假设当n=k （k ≥1，k ∈N ）时，结论成立，即5431111()52330f k k k k k =++-是整数，则当n=k+1时，5431111(1)(1)(1)(1)(1)52330f k k k k k +=+++++-+0514233245041322145555554444452C k C k C k C k C k C C k C k C k C k C +++++++++=+03122333331(1)330C k C k C k C k ++++-+=432()4641f k k k k k +++++根据假设()f k 是整数，而4324641k k k k ++++显然是整数.∴(1)f k +是整数，从而当当n=k+1时，结论也成立.由①、②可知对对一切正整数n ，()f n 是整数. ……………………………………7分 （2）当n=0时，(0)0f =是整数.……………………………………………………8分 (3)当n 为负整数时，令n m =-，则m 是正整数，由（1）()f m 是整数，所以5431111()()()()()()52330f n f m m m m m =-=-+-+---23．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖 券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖 金额之和X （元）的概率分布和期望E （X ）．5． 如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA =1，OB =OC =2，E 是OC 的中点．（1）求异面直线BE 与A C 所成角的余弦值； （2）求二面角A －BE －C 的余弦值．AOECB（第5题）参考答案及评分标准1．32 2．5 3．{|21}x x --≤≤ 4．20 5．32 6．4 7．13n -8．59 9．23π 10．5 11．4π12．（1，2） 13．①②④14．134015．解：（1）因为(sin 2cos 3cos )(sin cos )x x x x x =+=，，，a b ， 所以，()(sin 2cos )sin 3cos cos f x x x x x x =++⋅ =1sin 21cos 2x x +++=2sin(2)24x π++，…………………………（6分）所以，当22,,,428x k k x k k πππππ+=+∈=+∈Z Z 即时，()f x 取得最大值22+；………………………………（10分） （2）由（1）由知()f x 的最小正周期是π， 由3222,,24288k x k k x k k πππππππππ-++-+∈Z ≤≤≤≤得,所以()[0,]f x π在上的递增区间为5[0,][,]88πππ和．………………（14分）16．证明：（1）设N 是OA 的中点，连接MN ，NB ，因为M 是OD 的中点，所以MN //AD ，且2MN =AD ， 又AD //BC ，AD =2BC ，所以MNBC 是平行四边形， 所以MC //NB ，又MC ⊂平面OAB ，NB ⊂平面OAB ，所以直线MC //平面OAB ； ………………………………（7分） （2）设H 是BD 的中点，连接AH ， 因为AB =AD ，所以AH BD ⊥， 又因为OB =OD ，所以OH BD ⊥ 所以BD ⊥面OAH所以BD OA ⊥．……………………………………（14分） 17．解：（1）12363(),2cot 6023AD BC h AD BC h BC h ︒=+=+⨯=+， 212363363(2),233BC h h BC h h =+=-使得设外周长为 l ，则l =2AB +BC =2633633623sin 60h h h h h ︒+-=+≥， 当6336h h h==，即时等号成立，外周长的最小值为62，此时堤高h 为6米； ………………（8分）（2）1263633()32 3.h h h h h h+=+<≤≤，设解21212112666()(1)0h h h h h h h h +--=-->，l 是h 的增函数， 所以min 6333533l =⨯+=（米），（当h =3时取得最小值）．……………（14分） 18．解：（1）11(0,5),5C r -=，因为点A 恰在1C 上，所以点A 即是切点，11351212C A K k -+===-，所以， 所以，直线l 的方程为13(1),2502y x x y +=-++=即；………………（8分）（2）因为点A 恰为C 1C 2中点，所以，2(2,1)C -，所以，222(2)(1)5C x y -+-= ：，设21225(,0)25PC P a PC -=-，①，或2221525PC PC -=-② ， ……………………（11分）由①得，2220210(20)(100)(2)4a a P a +=----，解得或，所以，，或，，由②得，224220a aa -=+，求此方程无解。