北师大版数学必修四课件：平面向量的概念与表示
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北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.2.1向量的加法课件
-8-
2.1
1
向量的加法
3
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2
【做一做 1-3】 在边长为 1 的正方形 ABCD 中,| ������������ + ������������ + ������������| 等于( A.0 ) B.1 C. 2D. 3
解析:|������������ + ������������ + ������������ | = |������������ + ������������ | = |������������| = 1.
-7-
2.1
1
向量的加法
3
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2
【做一做 1-1】 ������������ + ������������ 等于( A. ������������ B. ������������C. ������������D. ������������
)
答案:C 【做一做1-2】 已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向 ( ) A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 D.与向量b的方向相反 答案:A
解(1)������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ . (2)������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ =0. (3)������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = 0.
2.2 平面向量的表示及其运算 课件 高中数学必修4(北师大版)
⃗ =(-2,-4). ∴点 C、D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0), ������������
2 2
a2=|a|sin 45°=4× =2 2 ,
2
2
⃗, ∴a=(2 2 ,2 2 )=������������
∴A 点的坐标为(2 2 ,2 2 ). 将 b 的起点平移至原点,令 b 的终点为 B', 由题意可知∠B'Ox=120°, 所以 b1=|b|cos 120°=3×(- )=- ,
零
成比例
1
已知 i、j 分别为与 x 轴正方向、y 轴正方向相同的 两个单位向量,若 a=(3,4),则 a 可以用 i、j 表示为 ( A ).
A.a=3i+4j C.a=-3i+4j
【解析】a=(3,4)=3i+4j.
B.a=3i-4j D.a=4i+3j
2
已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( C ).
A.(-2,-4) C.(-4,-8)
B.(-3,-6) D.(-5,-10)
【解析】由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b, 得 1×m=2×(-2)⇒m=-4,从而 b=(-2,-4),那么 2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8).
3
设 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λa+b 与向量 c=(-4,-7) 2 共线,则 λ= .
3 3
⃗ 的坐标. D 和������������
【解析】设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由题意得 ⃗ =(x1+1,y1-2),������������ ⃗ =(3,6),������������ ⃗=(-1-x2,2-y2), ������������
《向量的概念 》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】
随堂练习
例 2 (1)已知 B，C 是线段 AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和
终点最多可以写出
个互不相等的非零向量。
(2)一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方
向向北偏西 40°走了 200 km 到达 C 点，最后改变方向，向东行驶了 100 km 到达
随堂练习
1．判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1)若向量A→B与C→D是共线向量，则 A，B，C，D 必在同一直线上； (2)若向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； (3)向量A→B的长度与向量B→A的长度相等； (4)单位向量都相等。
随堂练习
【解】 对于(1)，有向线段共线要求线段必须在同一条直线上。 而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不 一定在同一条直线上，所以(1)错；
向量平行 或共线
a与b平行或共线，记作a∥b
表示两个向量的有向线段所
在的直线平行或重__合__
规 定 ： _零_向__量__ 与 任 一 向 量 共
线
新课学习
2.向量及其表示
(1)定义
既有_大__小_，又有_方__向_的量叫作向量。
(2)有向线段
具有__方__向 和_长__度_ 的线段叫作有向线段。其方向是由__起__点 指向__终_ 点 ，以A为起点、B为
零向量，综上知共 6 个互不相等的非零向量。 【答案】 6
随堂练习
(2)①向量A→B，Байду номын сангаас→C，C→D如图所示。
②由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线， 又|A→B|＝|C→D|， ∴在四边形 ABCD 中，AB═ ∥CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→D＝B→C，∴|A→D|＝|B→C|＝200(km)。
数学必修ⅳ北师大版2.2平面向量的概念课件.
→ → → ∴3AD＝2AC＋AB，
→ 2 → 1→ 2 1 ∴AD＝ AC＋ AB＝ b＋ c. 3 3 3 3
23
题型分类·深度剖析
题型三 共线向量定理及应用
思维启迪 解析
【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线， → → (1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b， → CD＝3(a－b)，求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a ＋kb 共线．
5
3. 共线向量定理 a 是一个非零向量， 若存在一个实数 λ， 使得 b＝λa，则向量 b 与非零向量 a 共线．
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
8 2 东北方向 1 b－2a
－2
A C
解析
6Leabharlann 题型分类·深度剖析题型一
平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高
【例 1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A， → B， C， D 是不共线的四点， 则AB → ＝DC是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件；③若 a＝b，b ＝c，则 a＝c；④a＝b 的充要条 件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是______．
→ → → 1 5 ∴OM＝OB＋BM＝ a＋ b. 6 6 → 又∵OD＝a＋b，
→ → 1→ 1→ 1→ ∴ON＝OC＋ CD＝ OD＋ OD 3 2 6
2→ 2 2 ＝ OD＝ a＋ b， 3 3 3
20
题型分类·深度剖析
题型二
向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高
→ → 【例 2】 如图，以向量OA＝a，OB → 1→ → ＝b 为邻边作▱OADB， BM＝ BC， CN 3 1→ → → → ＝ CD，用 a，b 表示OM，ON，MN. 3
→ 2 → 1→ 2 1 ∴AD＝ AC＋ AB＝ b＋ c. 3 3 3 3
23
题型分类·深度剖析
题型三 共线向量定理及应用
思维启迪 解析
【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线， → → (1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b， → CD＝3(a－b)，求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a ＋kb 共线．
5
3. 共线向量定理 a 是一个非零向量， 若存在一个实数 λ， 使得 b＝λa，则向量 b 与非零向量 a 共线．
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
8 2 东北方向 1 b－2a
－2
A C
解析
6Leabharlann 题型分类·深度剖析题型一
平面向量的概念辨析
解析 答案 探究提高
【例 1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A， → B， C， D 是不共线的四点， 则AB → ＝DC是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件；③若 a＝b，b ＝c，则 a＝c；④a＝b 的充要条 件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是______．
→ → → 1 5 ∴OM＝OB＋BM＝ a＋ b. 6 6 → 又∵OD＝a＋b，
→ → 1→ 1→ 1→ ∴ON＝OC＋ CD＝ OD＋ OD 3 2 6
2→ 2 2 ＝ OD＝ a＋ b， 3 3 3
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题型分类·深度剖析
题型二
向量的线性运算
思维启迪 解析 探究提高
→ → 【例 2】 如图，以向量OA＝a，OB → 1→ → ＝b 为邻边作▱OADB， BM＝ BC， CN 3 1→ → → → ＝ CD，用 a，b 表示OM，ON，MN. 3
数学北师大必修四课件：第二章 平面向量 2.6
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)若 a≠0,则与 a 共线的单位向量有两个,分别为|������������| 和 |-������������|. (
)
(2)对任意向量a,总有a2=|a|2. ( )
(3)直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个方向向量为(A,B).
一二三四五
首页
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
四、两个向量垂直 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 【做一做 4】 已知������������=(-1,2),������������=(3,m),且������������ ⊥ ������������,则 m= .
解析:2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为θ,
则
cos
θ=(2|2������������++���������)���|·|(���������-���-���������|���)
=
9 3√2×3
=
√22.
又 θ∈[0,π],故夹角为π4.
答案:C
探究一
探究二
探究三
§6 平面向量数量积的坐标表示
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.掌握平面向量数量积的坐标 表达式,会用平面向量数量积 进行坐标运算. 2.会用坐标运算求向量的模, 会求两个向量的夹角. 3.会用数量积的坐标运算判断 两个向量的垂直关系. 4.能运用数量积解决有关问 题.
高中数学必修四北师大版 2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示ppt课件(17张)
示。 （ 1）向量加减法的坐标等于向量坐 标的加减法 （2）实数与向量的积的坐标等于是属于向 量坐标的积。 （3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的 坐标减去 起点坐标。
注意事项
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的
起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置
有关。
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的
法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学
习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要
内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，
充分体现了转化和数形结合的思想方法.
误区解密：
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1， 求 d.
【解析】
k)．
(1)a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋
2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)
课堂总结
平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加
a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、 ya ，使得 = xi + y j
我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a =（x，y） 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标
平面向量的坐标运算 自主探究
向量是可以作运算的，运用所学的知识研究两个向 量的和与差的坐标表示，及实数与向量积的坐标表
顶点D的坐标。
预习测评
向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)， OA 则 (xy 2－ x1， ＝________，若 A(x1， 1)， B(y x22－ ，y y12) )，则 AB ＝
(
________________________.
北师大版必修四4《平面向量基本定理》多媒体优质课件
答：物体所受滑动摩擦力大小为50N，方向 与斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3N, 方向与斜面垂直向上.
---
D
F C
E
A
B
---
1.下列说法中，正确的有（ ②③ ） ①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示 该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表 示该平面所有向量的基底； ③零向量不可以为基底中的向量.
N AM F
E G
因为 | A G | =10（kg）×10（m/s2）=100（N）， |A F | |A G |s in 3 0 1 0 0 1 - -- 5 0 (N ),
2
|A E | |A G |c o s3 0 1 0 0 3 5 03 (N ), 2
所 以 , | A M | | A F | 5 0 N , | A N | | A E | 5 0 3 N .
---
1.平面向量基本定理 平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共
线向量的线性组合,根据向量的加法和减法法则及其 几何特点即可解题. 2.基底 （1）零向量不能作基底. （2）平面中的任意不共线向量都可以作为基底，一旦
选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.
---
不用相当的独立功夫，不论在哪个严重的 问题上都不能找出真理；谁怕用功夫，谁 就无法找到真理.
探 究 点 一 ： 设 a ， b 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ， 用 平 行 四 边 形 法 则 作 出 a + b ， a + 2 b ， 2 a + （ b 用 A C 来 表 示 ）
---
探 究 点 二 ： 设 a ， b 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ， c 是 这 一 平 面 内 的 向 量 ， 我 们 能 否 把 c 用 a ， b 表 示 出 来 ？
---
D
F C
E
A
B
---
1.下列说法中，正确的有（ ②③ ） ①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示 该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表 示该平面所有向量的基底； ③零向量不可以为基底中的向量.
N AM F
E G
因为 | A G | =10（kg）×10（m/s2）=100（N）， |A F | |A G |s in 3 0 1 0 0 1 - -- 5 0 (N ),
2
|A E | |A G |c o s3 0 1 0 0 3 5 03 (N ), 2
所 以 , | A M | | A F | 5 0 N , | A N | | A E | 5 0 3 N .
---
1.平面向量基本定理 平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共
线向量的线性组合,根据向量的加法和减法法则及其 几何特点即可解题. 2.基底 （1）零向量不能作基底. （2）平面中的任意不共线向量都可以作为基底，一旦
选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.
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不用相当的独立功夫，不论在哪个严重的 问题上都不能找出真理；谁怕用功夫，谁 就无法找到真理.
探 究 点 一 ： 设 a ， b 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ， 用 平 行 四 边 形 法 则 作 出 a + b ， a + 2 b ， 2 a + （ b 用 A C 来 表 示 ）
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探 究 点 二 ： 设 a ， b 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ， c 是 这 一 平 面 内 的 向 量 ， 我 们 能 否 把 c 用 a ， b 表 示 出 来 ？
北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.3.2平面向量基本定理课件
3.2
平面向量基本定理
-1-
3.2
平面向量基本定理
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.了解平面向量基本定理及其意义,能运用它解决有关问题. 2.理解基底的意义,会用基底表示向量.
-2-
3.2
平面向量基本定理
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
平面向量基本定理 如果e1,e2(如图①)是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这 一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2(如图 ②),其中不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 基底.
答案:A
������ ������
-9-
3.2
平面向量基本定理
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型二
用基底表示向量
【例 2】
如图,在△OAB 中, ������������ =a, ������������ =b,M,N 分别是边 OA,OB 上的 1 1 点,且������������ = 3 ������, ������������ = 2 ������. 设������������与������������相交于点������ , 用向量a,b 表示������������.
反思平面向量基本定理中强调:e1,e2是两个不共线的向量,所以 e1,e2能作为基底就必须满足e1,e2不共线.
-7-
3.2
平面向量典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知向量a,b是两个非零向量,给出以下四个条件: ①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在不相等的实数λ,μ,使λa+μb=0;③ xa+yb=0(其中x+y=0);④已知梯形ABCD, 其中������������ =a, ������������ =b (AB,CD为腰).其中能判定a,b一定可以作为基底的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
平面向量基本定理
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3.2
平面向量基本定理
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典例透析
随堂演练
1.了解平面向量基本定理及其意义,能运用它解决有关问题. 2.理解基底的意义,会用基底表示向量.
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3.2
平面向量基本定理
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知识梳理
典例透析
随堂演练
平面向量基本定理 如果e1,e2(如图①)是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这 一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2(如图 ②),其中不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 基底.
答案:A
������ ������
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3.2
平面向量基本定理
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典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型二
用基底表示向量
【例 2】
如图,在△OAB 中, ������������ =a, ������������ =b,M,N 分别是边 OA,OB 上的 1 1 点,且������������ = 3 ������, ������������ = 2 ������. 设������������与������������相交于点������ , 用向量a,b 表示������������.
反思平面向量基本定理中强调:e1,e2是两个不共线的向量,所以 e1,e2能作为基底就必须满足e1,e2不共线.
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3.2
平面向量典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知向量a,b是两个非零向量,给出以下四个条件: ①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在不相等的实数λ,μ,使λa+μb=0;③ xa+yb=0(其中x+y=0);④已知梯形ABCD, 其中������������ =a, ������������ =b (AB,CD为腰).其中能判定a,b一定可以作为基底的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
高中数学必修四北师大版 平面向量的实际背景及基本概念ppt课件(25张)
[自主解答] 向量 AB ， BC ， CD 如图．
例2中汽车的实际位移可用图中的哪个向量表示？ 解：实际位移即为向量 AD .
[悟一法] 画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的 方向，最后根据向量的大小确定终点标出箭头方向．
[通一类]
2．在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中，用 直尺和圆规画出下列向量．
解： (1)正确，由于 |a|＝| AB |＝|AB|，|b|＝| BA |＝|BA|＝|AB|，因 此有|a|＝|b|. (2)不正确，由单位向量的定义知，凡长度为 1 的向量均称为单位 向量，但是对方向没有任何要求，因此说法(2)不正确． (3)正确，因为| AB |＝| BA |，所以当 AB 是单位向量时，BA―→也 是单位向量． (4)正确，由于向量| AP |＝1，所以点 P 是以点 A 为圆心的单位圆 上的一点．反过来，若点 P 是以点 A 为圆心，1 为半径的单位圆 上的任一点，则由于| AP |＝1，所以向量 AP 是单位向量，因此说 法(4)正确.
书写时用带箭头的小写字母 a ， b ， c ，…表示向量．
3．向量的长度(模) | AB |(或|a|)表示向量 AB (或 a)的 大小 ，即长度(或称模)．
4．向量的有关概念 零向量 单位向量 平行向量 (共线向量) 长度等于 零 的向量，记作 0 长度等于 1个单位 的向量 方向 相同或相反 的非零向量．
向量a，b平行，记作 a∥b .
规定：零向量与任一向量 长度相等 且方向 相同 的向量． 向量a，b相等，记作 a＝b
相等向量
[小问题·大思维] 1．“向量就是有向线段，有向线段就是向量”这一说法 对吗？ 提示：不对．向量只有大小和方向两个元素，与起点无
北师大版必修4高中数学第2章平面向量11.1位移速度和力1.2向量的概念
1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方 向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是 向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、 向量长度为半径的圆．
2.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30°方向行驶 2 千米到 D 地，然后 从 D 地沿北偏东 60°方向行驶 6 千米到达 C 地， 从 C 地又向南偏西 30°方向行驶了 2 千米才到达 B 地．
→ OA.
1．向量共线有三种情形： ①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量． 2．向量的平行与直线平行的关系 两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示 向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线 m，n，l， m∥n，n∥l，则 m∥l；若向量 a，b，c，a∥b，b∥c，而 a，c 不一定 平行．
向量的表示 【例 2】 一艘军舰从基地 A 出发向东航行了 200 海里到达基地 B，然后改变航线向东偏北 60°航行了 400 海里到达 C 岛，最后又改 变航线向西航行了 200 海里到达 D 岛． (1)试作出向量A→B，B→C，C→D；
(2)求|A→D |.
[思路探究] 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定 向量的方向，然后结合向量的大小确定向量的终点．
(1)在如图所示的坐标系中画出A→D，D→C，C→B，A→B； (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量．
[解] (1)向量A→D，D→C，C→B，A→B如图所示．
(2)由题意知A→D＝B→C，∴AD 綊 BC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→B＝D→C， ∴B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60°，6 千米”．
高中数学北师大版必修4第二章《平面向量》ppt课件
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
1.向量的加法运算 三角形法则
AB+BC= AC
A
C BO
平行四边形法则
B
C
OA+OB= OC
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
例2
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
练习4 n为何值时, 向量a=（n，1）与b=(4,n)
共线且方向相同?
答案： n= 2
思考: 何时 n=±2 ?
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
例3 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y)
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
非零向量平行（共线）的充要条件
向量表示： a∥b
a=λb （λ∈R,b≠0）
坐标表示：设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则
平面向量复习
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析 巩固练习
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要量的基本定理
向量的数量积
北师大版高中数学必修4课件2§4.1平面向量的坐标表示 课件
3 1 － 3－ 2 2
1→ → 2． 已知点 A(2,3)， B(－1,5)， 且AC＝3AB， 则点 C 的坐标为
【解析】 2 1→ → → ＝OA → ＋AC →＝ AC＝ AB＝－1，3 ，设 O 为坐标原点，则 OC 3
11 1 ， ，即 3 11 C1， 3 。
→ |＝1，∠AOB＝150° ∵|OB ， ∴B(－cos 30° ，sin 30° )，即
B－
3 1 ， 。 2 2
3 3 → ∵|OC|＝3， ∴C(－3sin 30° ， －3cos 30° )， 即 C－2，－2 3 3 1 3 1 → 又∵A(2,0)∴AB＝ － ， －(2,0)＝ － －2， 2 2 2 2 3 3 3－3 3 1 → BC＝－2，－2 3－－ ， ＝ ， 2 2 2
第二章·平面向量
§4.1平面向量的坐标表示
复习引入：
1.向量的加、减、数乘运算；
2.平面向量基本定理。
探究新知：
阅读教材P88～P89“4.2”以上部分，完成下列问题。
图 241
如图241所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向 相同 单位 的两个 基底 向量i，j作为 ，对于平面上的向量a，由平面向量基本定 ；我们把有序 xi ＋ yj 有且只有 理可知 一对有序实数(x，y)，使得a＝ (x，y) 称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)。 实数对
。
【答案】
11 1， 3
小结：
1．向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当 向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标。 2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几 何图形，利用三角函数的定义进行计算。
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教学过程（三）击鼓传花，自主探究
5、向量的关系 （1）模相等的向量有： （2）模相等，方向相同的向量有： （3）模相等，方向相反的向量有: （4）方向相同或相反的向量有: （5） AB,BC 是共线向量吗？（6）AC，DG是平行向量吗？ （7）AC与DG是共线向量吗？（8）AB 与AC是平行向量吗？
类比直线、线段的符号表示，获得向量的符号表示
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教学过程（二）问题引领，逐步探究 3、向量的大小(模) 向量 A B 的大小，也就是向量 A B 的长度(或称 模).
位移
速度 …
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教学过程（二）问题引领，逐步探究
2、向量的表示
10N
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形( √ )
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教学过程（四）辨析概念，例题互动
例2 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF的中心. (1)向量 O A 与 FE相等吗? (2)与向量 O A 长度相等的向量有多少个? (3)与向量 O A 共线的向量有哪几个?
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教学过程（三）击鼓传花，自主探究
5、向量的关系 （1）模相等的向量有： （2）模相等，方向相同的向量有： （3）模相等，方向相反的向量有: （4）方向相同或相反的向量有: （5） AB,BC 是共线向量吗？（6）AC，DG是平行向量吗？ （7）AC与DG是共线向量吗？（8）AB 与AC是平行向量吗？
类比直线、线段的符号表示，获得向量的符号表示
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教学过程（二）问题引领，逐步探究 3、向量的大小(模) 向量 A B 的大小，也就是向量 A B 的长度(或称 模).
位移
速度 …
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教学过程（二）问题引领，逐步探究
2、向量的表示
10N
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形( √ )
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教学过程（四）辨析概念，例题互动
例2 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF的中心. (1)向量 O A 与 FE相等吗? (2)与向量 O A 长度相等的向量有多少个? (3)与向量 O A 共线的向量有哪几个?
数学北师大必修四课件：第二章 平面向量 2.7
思路分析:可建立平面直角坐标系,求出������������, ������������的坐标,通过证明 ������������ ·������������=0 来证明.也可直接将向量分解,通过数量积运算来证明.
证明:(方法一)建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形ABCD 的边长为2,
则 A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),������������=(2,1),������������=(1,-2). 因为������������ ·������������=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以������������ ⊥ ������������,即 AF⊥ DE.
一二三四
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一、直线的法向量
1.一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量,一
条直线的法向量有无数个.
2.直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量是(B,-A),它的一
去求.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1已知两条平行直线l1:12x+5y-3=0和l2:12x+5y+m=0的 距离为1,则m=( )
A.10
B.-16
C.10或-16
D.13
解析:在 l1 上取点 M
0,
3 5
,则 M 到 l2 的距离 d= 0+5×35+������ =1,
+
������������
2015高中数学北师大版必修四课件：《平面向量的概念与表示》
③④⑤ .
①平行向量的方向相同;②不相等的向量一定不平行;③零
向量只能与零向量相等;④若两个向量在同一条直线上,则
这两个向量一定共线;⑤两个非零向量相等,当且仅当它们的模
相等且方向相同;⑥单位向量都相等.
第十二页，编辑于星期五：十二点 十分。
...
导学固思
【解析】根据平行向量的定义,它们的方向可以相反,故①
的模相等,只能说明它们的长度相等,并不意味着它们的方向
相同或相反.
第十六页，编辑于星期五：十二点 十分。
...
导学固思
相等向量与共线向量
第十七页，编辑于星期五：十二点 十分。
...
导学固思
【解析】(1)与 共线的向量有 、 、 、、 、
、.
(2)与 相等的向量有 、 ;
...
导学固思
(2)存在,如、等.
(3)与 共线的向量有 、 、 、 、 、 和 、
、 .
第二十九页，编辑于星期五：十二点 十分。
...
导学固思
第三十页，编辑于星期五：十二点 十分。
第二章 平面向量
同步书·数学(必修4-第二章)
第一页，编辑于星期五：十二点 十分。
...
导学固思
知识点
新课程标准的要求
层次要求
从位移、速度、 通过对位移、速度、力等实例的分析,了解向量的实际背景,理解平
力到向量
面向量和向量相等的含义,理解向量的几何意义和几何表示
通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义
应用
题等的工具,提高学生的运算能力和解决实际问题的能力
领域目标要求
通过学习,理解向量的概念,掌握几何表示,了解共线向量的
数学北师大必修四课件：第二章 平面向量 2.3.2
A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵������������ + ������������ + ������������=0, ∴点 M 是△ABC 的重心. ∴������������ + ������������=3������������. ∴m=3.故选B. 答案:B
探究一
探究二
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)基底要求两个向量不共线且模为1. ( ) (2)若e1,e2为不共线向量,则e1+e2与e1-e2可构成基底. ( ) (3)若a与b为不共线向量,且有x1a+y1b=x2a+y2b成立,则一定有 x1=x2,且y1=y2. ( ) (4)若������������=x������������+y������������,且 x+y=1,则有 A,B,C 三点共线. ( )
(1)若 D 是 BC 上一点,且|������������|=2|������������|,试用 a,b 表示������������;
(2)若
E
是
BC
上一点,且������������
=
1 4
������������ ,试用
a,b
表示������������ .
思路分析:根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行逐
以及重心的定义求证.
证明:(1)因为
D
是
BC
边中点,所以������������
=
������������
=
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)基底要求两个向量不共线且模为1. ( ) (2)若e1,e2为不共线向量,则e1+e2与e1-e2可构成基底. ( ) (3)若a与b为不共线向量,且有x1a+y1b=x2a+y2b成立,则一定有 x1=x2,且y1=y2. ( ) (4)若������������=x������������+y������������,且 x+y=1,则有 A,B,C 三点共线. ( )
(1)若 D 是 BC 上一点,且|������������|=2|������������|,试用 a,b 表示������������;
(2)若
E
是
BC
上一点,且������������
=
1 4
������������ ,试用
a,b
表示������������ .
思路分析:根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行逐
以及重心的定义求证.
证明:(1)因为
D
是
BC
边中点,所以������������
=
������������
=
数学北师大必修四课件：第二章 平面向量 2.4
1 3
������������ ,
������������
=
1 3
������������ .求证:������������
∥
������������ .
(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时,
它们是同向还是反向?
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易错辨析
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平面向量的坐标运算
【例 2】 (1)已知向量 a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求 a+3b,
3a-2bƴ),B(7,5),C(1,8),求������������, ������������, ������������ +
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【做一做2】 若向量a=(x+3,x2-3x-4)与 ������������相等,已知A(1,2)和
B(3,2),则x的值为( )
A.-1 B.-1或4 C.4 D.1或-4
解析:由题意可得������������=(2,0),而������������=a,
∴������������ ∥ ������������.
题.
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北师大版高中数学必修4课件2§1.2向量的概念 课件
向量平行 表示两个向量的有向线段所
或共线 在的直线平行或重__合__
规定：_零__向__量_ 与任一 向量共
线
2.向量及其表示 (1)定义 既有_大__小_，又有方__向__的量叫作向量。 (2)有向线段 具有方___向_ 和长___度_ 的线段叫作有向线段。其方向是由_起__点_ 指向_终__点，
图 2-1-1
(1)与 a 的模相等的向量有多少个？ (2)与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与 a 共线的向量有哪些？ (4)请分别一一列出与 a，b，c 相等的向量。
【精彩点拨】 由题目可获得以下主要信息：
①六边形 ABCDEF 是正六边形； ②O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c；
【答案】 ②③
4．设在平面上给定了一个四边形 ABCD，点 K，L，M，N 分别是 AB，
BC，CD，DA 的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量K→L相
等的向量是
。
【解析】
因为 K，L 分别是 AB，BC 的中点，所以 KL∥AC，KL＝12AC，同 理 MN═ ∥12AC，所以 KL∥MN，KL＝MN，所以K→L＝N→M
第二章·平面向量
§1.2向量的概念
探究新知：
阅读教材P73～P75 “练习”以上部分，完成下列问题。 1．向量的有关概念
名称 零向量 单位向量
定义 长度为零的向量 长度为单位1的向量叫作单位向量
表示方法 0
1．向量的有关概念
相等向量 长度相等且_方__向_相同的向量
若a等于b，记作a＝b
a与b平行或共线，记作a∥b
③求各相应向量。 解答本题要充分借助几何图形的性质及向量 相关概念进行判断，从而解决相应问题。
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第二章 平面向量
.. 导. 学 固思
层次要求 从位移、速度、 通过对位移、速度、力等实例的分析,了解向量的实际背景,理解 力到向量 平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何意义和几何表示 通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义 1.掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则和平行四边 从位移的合成到 形法则求两向量的和 向量的加法 2.掌握向量加法的交换律和结合律,并会运用它们进行向量运算 3.掌握向量的减法,会利用向量的三角形法则求两个向量的差 通过实例,掌握数与向量的积的定义以及运算律,并理解其几何意 义 从速度的倍数到 1.了解向量的线性运算及其几何意义 数乘向量 2.了解两个向量共线的判定定理及性质定理 3.了解平面向量的基本定理及其意义 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 平面向量的坐标 2.会用坐标表示平面向量的加法、减法以及数乘向量 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物 从力做的功到向 理意义 量的数量积,平 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系 面向量数量积的 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面 坐标表示 向量的垂直关系 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与 平面向量的 其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物 应用 理问题等的工具,提高学生的运算能力和解决实际问题的能力
.. 导. 学 固思
2
已知a,b为两个单位向量,下列结论正确的是( D ). A.a=b C.若a∥b,则a=b B.a=b或a=-b D.|a|=|b|
【解析】单位向量的模为1,但方向不确定.
3
下列命题中,正确的序号是 ③④⑤ .
①平行向量的方向相同;②不相等的向量一定不平行;③零
向量只能与零向量相等;④若两个向量在同一条直线上,则 这两个向量一定共线;⑤两个非零向量相等,当且仅当它们 的模相等且方向相同;⑥单位向量都相等.
以用有向线段来表示.
问题2
向量的表示方法:
有向线段 起点与终点字母
.. 导. 学 固思
问题3 向量的有关概念:
模
1个单位
(4)平行向量:①方向 相同或相反 的两个非零向量叫作 平行向量(也称共线向量);②规定向量0与任一向量平行 .
.. 导. 学 固思
(5)相等向量与相反向量: 大小相同,方向相同 的两个向量是 相等向量;
行驶,虽然行驶了相同向量的概念、向量与数量、向量与有向线段的区别:
①在数学中,把既有大小又有方向的量叫作 等.
能 力、速度、加速度、位移 数量 代数 向量 向量 .如:
问题1
不能
方向
线段AB 有向线段 起点
方向
长度
.. 导. 学 固思
向量只有
大小 和方向两个要素,与 起点 无关;向量可
.. 导. 学 固思
第1课时 平面向量的概念与表示
.. 导. 学 固思
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念和向量的几何表示.
3.理解相等向量的含义及向量的一些概念. 4.理解零向量的特点.
.. 导. 学 固思
一只帆船刚开始在风平浪静的海上行驶,但突遇“热带 风暴”,使得它的航向发生了偏移,没有按照规定的航向
,不 ,不会
平行.同一条直线上
.. 导. 学 固思
1
给出下列物理量:①质量;②速度;③力;④位移;⑤
路程;⑥密度;⑦功.
其中是向量的有( A.2个 B.3个 ). C.4个 D.5个
【解析】判断一个量是不是向量,就是看它是否同时具备 向量的两个要素:大小和方向.由于速度、位移、力都是由大小 和方向确定的,所以是向量;而质量、路程、密度、功有大小而 没有方向,所以不是向量.
【解析】共线向量或平行向量是指方向相同或相反
的两个非零向量,所以①正确,③不正确;长度相等且方向
相同的向量叫相等的向量,故②正确;规定零向量与任一向 量平行,故④正确;⑤混淆了两个向量的模相等和两个实数 相等的概念,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等 ,并不意味着它们的方向相同或相反.
.. 导. 学 固思
4
.. 导. 学 固思
与向量相关的概念 关于向量有下列说法: ①方向相同或相反的非零向量是平行向量; ②长度相等且方向相同的向量叫相等的向量; ③有公共起点的向量叫共线向量;
④零向量与任一向量共线;
⑤若|a|=|b|,则a=b或a=-b. 其中正确说法的序号是 ①②④ .
.. 导. 学 固思
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【解析】根据平行向量的定义,它们的方向可以相反,
故①不正确;由于模不相等的向量,它们也可以共线,故②不
正确;由于零向量只能与零向量相等,故③正确;由共线向量 的定义知,当两个向量在同一条直线上时,这两个向量不论 方向如何,它们一定共线,故④正确,但是应注意当两个向量 共线时,它们却不一定在同一条直线上;由两向量相等的定 义知,⑤正确;虽然单位向量的模都相等,但它们的方向可以 不相同,因此⑥不正确.
大小相同 ,方向相反 的两个向量互为相反向量 .
问题4 平行向量(共线向量)与平行线段、共线线段的区别:
平行向量(共线向量)不是几何图形,没有几何位置关 系,表示两个非零平行向量的有向线段可以
平行 ,也可
以在
同一条直线上 ;平行线段和共线线段是几何图形,
有位置关系,两条平行线段所在的直线一定
平行 会共线 ,反过来,两条共线线段一定在
知识点
新课程标准的要求
领域目标要求
通过学习,理解向量的概念,掌握几何表示,了解共线向量 的概念,掌握向量加法、减法、数乘运算,了解平面向量基本 定理,理解和掌握平面向量的坐标运算,掌握向量共线的判定 和性质 本部分概念较多,要结合实际领会概念的意义,在知识理 解和掌握的基础上,要注意向量的运算与数量之间运算的比 较,明确它们的区别与联系 向量既是代数对象,又是几何对象,向量的线性运算(加减、数 乘)、平面向量基本定理以及向量的数量积,都要从“数”与 “形”两方面进行充分的探究,因此,我们要注意数形结合思 想方法在向量中的灵活应用 通过学习,了解向量在数学、物理等学科的很多分支中 有着广泛的应用,能运用向量的方法解决某些简单的平面几 何问题、力学问题与其他一些实际问题
.. 导. 学 固思
层次要求 从位移、速度、 通过对位移、速度、力等实例的分析,了解向量的实际背景,理解 力到向量 平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何意义和几何表示 通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义 1.掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则和平行四边 从位移的合成到 形法则求两向量的和 向量的加法 2.掌握向量加法的交换律和结合律,并会运用它们进行向量运算 3.掌握向量的减法,会利用向量的三角形法则求两个向量的差 通过实例,掌握数与向量的积的定义以及运算律,并理解其几何意 义 从速度的倍数到 1.了解向量的线性运算及其几何意义 数乘向量 2.了解两个向量共线的判定定理及性质定理 3.了解平面向量的基本定理及其意义 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 平面向量的坐标 2.会用坐标表示平面向量的加法、减法以及数乘向量 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物 从力做的功到向 理意义 量的数量积,平 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系 面向量数量积的 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面 坐标表示 向量的垂直关系 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与 平面向量的 其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物 应用 理问题等的工具,提高学生的运算能力和解决实际问题的能力
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2
已知a,b为两个单位向量,下列结论正确的是( D ). A.a=b C.若a∥b,则a=b B.a=b或a=-b D.|a|=|b|
【解析】单位向量的模为1,但方向不确定.
3
下列命题中,正确的序号是 ③④⑤ .
①平行向量的方向相同;②不相等的向量一定不平行;③零
向量只能与零向量相等;④若两个向量在同一条直线上,则 这两个向量一定共线;⑤两个非零向量相等,当且仅当它们 的模相等且方向相同;⑥单位向量都相等.
以用有向线段来表示.
问题2
向量的表示方法:
有向线段 起点与终点字母
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问题3 向量的有关概念:
模
1个单位
(4)平行向量:①方向 相同或相反 的两个非零向量叫作 平行向量(也称共线向量);②规定向量0与任一向量平行 .
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(5)相等向量与相反向量: 大小相同,方向相同 的两个向量是 相等向量;
行驶,虽然行驶了相同向量的概念、向量与数量、向量与有向线段的区别:
①在数学中,把既有大小又有方向的量叫作 等.
能 力、速度、加速度、位移 数量 代数 向量 向量 .如:
问题1
不能
方向
线段AB 有向线段 起点
方向
长度
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向量只有
大小 和方向两个要素,与 起点 无关;向量可
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第1课时 平面向量的概念与表示
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1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念和向量的几何表示.
3.理解相等向量的含义及向量的一些概念. 4.理解零向量的特点.
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一只帆船刚开始在风平浪静的海上行驶,但突遇“热带 风暴”,使得它的航向发生了偏移,没有按照规定的航向
,不 ,不会
平行.同一条直线上
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1
给出下列物理量:①质量;②速度;③力;④位移;⑤
路程;⑥密度;⑦功.
其中是向量的有( A.2个 B.3个 ). C.4个 D.5个
【解析】判断一个量是不是向量,就是看它是否同时具备 向量的两个要素:大小和方向.由于速度、位移、力都是由大小 和方向确定的,所以是向量;而质量、路程、密度、功有大小而 没有方向,所以不是向量.
【解析】共线向量或平行向量是指方向相同或相反
的两个非零向量,所以①正确,③不正确;长度相等且方向
相同的向量叫相等的向量,故②正确;规定零向量与任一向 量平行,故④正确;⑤混淆了两个向量的模相等和两个实数 相等的概念,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等 ,并不意味着它们的方向相同或相反.
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4
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与向量相关的概念 关于向量有下列说法: ①方向相同或相反的非零向量是平行向量; ②长度相等且方向相同的向量叫相等的向量; ③有公共起点的向量叫共线向量;
④零向量与任一向量共线;
⑤若|a|=|b|,则a=b或a=-b. 其中正确说法的序号是 ①②④ .
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【解析】根据平行向量的定义,它们的方向可以相反,
故①不正确;由于模不相等的向量,它们也可以共线,故②不
正确;由于零向量只能与零向量相等,故③正确;由共线向量 的定义知,当两个向量在同一条直线上时,这两个向量不论 方向如何,它们一定共线,故④正确,但是应注意当两个向量 共线时,它们却不一定在同一条直线上;由两向量相等的定 义知,⑤正确;虽然单位向量的模都相等,但它们的方向可以 不相同,因此⑥不正确.
大小相同 ,方向相反 的两个向量互为相反向量 .
问题4 平行向量(共线向量)与平行线段、共线线段的区别:
平行向量(共线向量)不是几何图形,没有几何位置关 系,表示两个非零平行向量的有向线段可以
平行 ,也可
以在
同一条直线上 ;平行线段和共线线段是几何图形,
有位置关系,两条平行线段所在的直线一定
平行 会共线 ,反过来,两条共线线段一定在
知识点
新课程标准的要求
领域目标要求
通过学习,理解向量的概念,掌握几何表示,了解共线向量 的概念,掌握向量加法、减法、数乘运算,了解平面向量基本 定理,理解和掌握平面向量的坐标运算,掌握向量共线的判定 和性质 本部分概念较多,要结合实际领会概念的意义,在知识理 解和掌握的基础上,要注意向量的运算与数量之间运算的比 较,明确它们的区别与联系 向量既是代数对象,又是几何对象,向量的线性运算(加减、数 乘)、平面向量基本定理以及向量的数量积,都要从“数”与 “形”两方面进行充分的探究,因此,我们要注意数形结合思 想方法在向量中的灵活应用 通过学习,了解向量在数学、物理等学科的很多分支中 有着广泛的应用,能运用向量的方法解决某些简单的平面几 何问题、力学问题与其他一些实际问题