高考数学一轮复习讲义 第4课时 充分条件与必要条件 理
2023届高三数学一轮复习+充分条件与必要条件+课件
( √ )
【对接教材】
2.已知 p:x>1 或 x<-3,q:x>a,若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( A ).
A.[1,+∞)
B.(-∞,1]
C.[-3,+∞)
[解析] 设 P={x|x>1 或 x<-3},Q={x|x>a},
因为 q 是 p 的充分不必要条件,所以 Q⫋P,因此 a≥1.
件,则实数 a 的取值范围是
a<0
.
[解析] 由 4x-3<1,解得 x<1,即 p:x<1,记 A={x|x<1}.
由 x-(2a+1)<0,解得 x<2a+1,即 q:x<2a+1,记 B={x|x<2a+1}.
因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 B⫋A,即 2a+1<1,解得 a<0.
方法突破 充要条件的证明
1- < -2,
∴ > 0,
或 > 0,
解得 m≥9.∴实数 m 的取值范围为[9,+∞).
1 + > 10,
1 + ≥ 10
【变式设问】将本例中“p 是 q 的充分不必要条件”改为“p 是 q 的必要不充分条件”,
其他条件不变,则实数 m 的取值范围为 (0,3] .
[解析] 由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10,由 x2-2x+1-m2≤0(m>0)得 1-m≤x≤1+m(m>0).
D.(-∞,-3)
3. 已知实数 x,y,则“x>0,y>0”是“x+y>0”的 充分不必要 条件.(填“充分不必要”“必
高考数学第一轮大复习素材： 命题及其关系充分条件与必要条件新人教A文
§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(×)(2)“sin 45°＝1”是真命题．(×)(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是三角形的内角和不是180°. (×)(4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√)(5)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．(×)(6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝32π”．(√)2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是 ( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 答案 D解析 命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题为“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”，故选D.3．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.4．(2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ⊆B . 但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以A 正确．5．(2012·天津)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由条件推结论和结论推条件后再判断． 若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数， 但是若f (x )＝cos(x ＋φ) (x ∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．题型一 四种命题及真假判断 例1 (1)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2， p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ， p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4(2)已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )A ．否命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题 思维启迪 (1)可化简复数z ，再利用复数的知识判断命题真假；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真． 答案 (1)C (2)D解析 (1)z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，所以|z |＝2，p 1为假命题；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2为真命题，z ＝－1＋i ，p 3为假命题；p 4为真命题．故选C.(2)命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 (1)C (2)C解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”．(2)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.题型二 充要条件的判定例2 已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A思维启迪 首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断． 答案 D解析 对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由f (－x )f (x )＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f (－x )f (x )＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ； 反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A . 所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D. 思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．(1)(2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12 B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0(2)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)D (2)C解析 (1)∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x .又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.(2)因为A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)， B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，所以A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)， C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2} ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A ∪B ＝C .故“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件.题型三 充分条件与必要条件的应用例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1 (2)设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 思维启迪 (1)根据图象交点先求得f (x )有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系． 答案 (1)A (2)A解析 (1)因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1. 观察选项，根据集合间关系{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}， ∴答案选A.(2)p ：|4x －3|≤1⇒－1≤4x －3≤1，∴12≤x ≤1； q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒(x －a )[x －(a ＋1)]≤0， ∴a ≤x ≤a ＋1.由题意知p 是q 的充分不必要条件，故有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，则0≤a ≤12.思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．(1)若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． (2)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________．答案 (1)－1 (2)⎣⎡⎦⎤13，38 解析 (1)由x 2>1，得x <－1，或x >1. 又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件， 知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立， 所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.(2)由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆， 可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38， 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.等价转化思想在充要条件中的应用典例：(12分)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 思维启迪 (1)先对集合进行化简；(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系；(3)利用集合间的关系列出关于m 的不等式，求出实数m 的范围． 规范解答解 化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1.配方，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈⎣⎡⎦⎤716，2.∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2.[4分] 化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．[6分] ∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .[8分] ∴1－m 2≤716，解得m ≥34，或m ≤－34.[11分]∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.[12分] 温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．方法与技巧1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定． 2．充要关系的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与 B ⇒ A ；B ⇒A 与 A ⇒ B ；A ⇔B 与 B ⇔ A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件． 失误与防范1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动． 2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.A 组 专项基础训练一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案 B解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 2．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎨⎧y (y ≥0)－y (y <0)，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 3．已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B.4．与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列 答案 D解析 因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”． 5．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当m ＝－3时，a ＝(9，－9)，b ＝(1，－1)，则a ＝9b ， 所以a ∥b ，即“m ＝－3”⇒“a ∥b ”； 当a ∥b 时，m 2＝9，得m ＝±3，所以不能推得m ＝－3，即“m ＝－3”D ⇐/“a ∥b ”． 故“m ＝－3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．6．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 复数a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，而ab ＝0表示a ＝0或b ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．故选B.7．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限， 则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个． 8．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1答案 A解析 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立． 所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 二、填空题9．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－3,0]解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________． 答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11． “sin α＝12”是“cos 2α＝12”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵cos 2α＝1－2sin 2α＝12，解得sin α＝±12，故“sin α＝12”是“cos 2α＝12”的充分不必要条件．12．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}， 又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. B 组 专项能力提升1．若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．2．命题“函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )＝e x ＋k 2e x －1k (其中e 为自然对数的底数，k 为实数)，且f (x )在R 上不是单调函数”是真命题，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－22B.⎝⎛⎭⎫－22，0C.⎝⎛⎭⎫0，22D.⎝⎛⎭⎫22，＋∞答案 C解析 当k ＝－1时，f ′(x )＝e x ＋1e x ＋1≥2＋1＝3，则f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除A ；当k ＝－12时，f ′(x )＝e x ＋14e x ＋2≥1＋2＝3，所以f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除B ； 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ＋1ex －1≥2e x ·1ex －1＝2－1＝1， 则f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除D.选C.3．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，∵m <14⇒m ≤14，反之不成立．故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞) 解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 5．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件； ④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案①④解析由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以③不正确，④正确．。
《高考直通车》高考数学一轮复习课件第4课充分条件和必要条件(1)
思考并回答以下问题： （1）不等式 x 1 3的解集是
。{x | 2 x 4}
（2）p 是 q 充分不必要条件时，条件 q 与集合{x| 2 x 4}的关系如何？ （3）其他情况呢？
1．命题的概念
概念提炼：
(1)能够判断真假 的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真做命题 ，判断
为
假命题
假的语句叫做
题 3．原命题：“设 a,b,c R 若 ac2 bc2 则 a b ”的逆命题、否命题、
逆否命题及原命题中，真命题共有 个。
回答下列问题：
（1）在不等式的性质中，a b ac bc 成立的条件是什么？（ c 0 ）
（2）通常情况下 c2 0 ，若 ac2 bc2 ，则 c2 的范围是什么？ （3）在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可能是 哪些？因为原命题与其逆否命题等价，所以结果只可能是 0、2、4
第一问：求参数m的取值范围用什么方法？ 是二次函数的方法，还是分参的方法？ 哪个方法更加方便？
第二问：1）如何求出集合N？两个端点的大小 关系确定吗？不确定怎么办？怎样进行分类讨 论求出集合N的范围？
2）能否不求出集合N的范围，直接求出最 终的参数a的范围？怎么处理不等式？如何 列出条件？
例 2：用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”“既不 充分也不必要条件”填空。
题 1：用“充分不必要条件，必要不充分条件，充 要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知 p : x 2 ，q : x 2 ，那么 p 是 q 的_____ ___ 条件．
（2）已知 p : a b ，q : ac2 bc2 ，那么 p 是 q 的____
___条件． （3）已知 p:两直线平行，q:内错角相等，那么 p 是q 的______条件． （4）已知 p : a b ，q : a2 b2 ，那么 p 是 q 的____ __ 条件．
高考数学一轮复习考点知识专题讲解2---充分条件与必要条件
-3-/7
ab≤4，充分性成立；当 a＝4，b＝1 时，满足 ab≤4，但 a＋b＝5＞4，不满足 a ＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选 A.
(2)由 x2－5x＜0 得 0＜x＜5，记 A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1 得 0＜x＜2，记 B＝{x|0＜x＜2}，显然 B A，
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＋2≠0”是“x≠1”的充分不必要条件．]
考点 1 充分、必要条件的判定
充分条件和必要条件的 3 种判断方法
(1)定义法：可按照以下三个步骤进行
①确定条件 p 是什么，结论 q 是什么；
②尝试由条件 p 推结论 q，由结论 q 推条件 p；
③确定条件 p 和结论 q 的关系．
(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如¬p 是¬q 的什么条件，利用原命题
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)(2019·北京高考)设点 A，B，C 不共线，则“A→B与A→C的夹角为锐角”是“|A→B
＋A→C|＞|B→C|”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (1)A (2)B (3)C [(1)由 a＞0，b＞0，若 a＋b≤4，得 4≥a＋b≥2 ab，即
0⇔A→B，A→C的夹角为锐角．故选 C.]
判断充要条件需注意 3 点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
1.已知 x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的( ) A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B [x2－5x－6＝0⇔x＝－1 或 x＝6， ∵x＝－1⇒x＝－1 或 x＝6，而 x＝－1 或 x＝6 推不出 x＝－1， ∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选 B.] 2．给定两个命题 p，q，若¬p 是 q 的必要不充分条件，则 p 是¬q 的( )
2024版高考数学总复习：充分条件与必要条件课件
当cos x＝0时，sin x＝±1，必要性不成立．
所以当x∈R时，“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件．故选A.
− +
> 0，
2．已知a，b，c∈R，则“ቊ
”是“ < ”的(
> 0
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
( × )
1
2
3
4
5
2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A
解 析 ： 当 θ ＝ 0 时 ， sin θ ＝ 0 成 立 ； 而 当 sin θ ＝ 0 时 ， 得 θ ＝
kπ(k∈Z)．
1
2
3
4
5
3．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(
要性成立．
故“a1>0”是“数列{Sn}为递增数列”的必要不充分条件．
解决这类问题一是看前面的条件能否推出后面的结论，二是看后面
的条件能否推出前面的结论，最后得出答案．
考点2
充分条件与必要条件的探究与证明——综合性
例1 (1)使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是(
1 1
A． > >0
B．ea>eb
D．既不充分也不必要条件
C
解析：若a＜b成立，则根据不等式性质，两边同时减去1，不等式符
号不变，所以，a＜b成立，则a－1＜b－1成立，充分性成立；若a－1＜b
－1成立，根据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，a
高考数学一轮复习课件4.2充分条件和必要条件
一般地,如果 p Þ q ,那么称p是q的充分条件 同时称q是p的必要条件 如果 p Þ q ,且 q Þ p,称p是q的充分必 要条件,简称为p是q的充要条件,记作: p Û q 如果 p Þ q ,且q p,则说p是q的充分不 必要条件 如果p q, ,且 q Þ p ， 则说p是q的 必要不充分条件 如果p q , ,且 q p ， 则说p是q的既不 充分也不必要条件
由A是C的充分条件可得，A Þ 解：
由B是C的充分条件可得，B
因而可得， A (1) D是C的充要条件． (2) A是B的充分而不必要条件．
ÞC 由D是C的必要条件可得，C Þ D 由D是B的充分条件可得，D Þ B
C B
D
练习：设 p 是 r 的充分而不必要条件， q 是 r 的充分条件，r 成立，则 s 成立。 s 是 q 的充分条件，问 （1）s 是 r 的什么条件？ （2）p 是 q 的什么条件？
q : 函数f ( x) = x + mx + (m + 6) x + 1存在极大值和极小值。
求使 p且Øq 为真命题的 m 的取值范围
练习：已知命题p: {x|-2 < x < 10 }, q: x 2 — 2 x + 1— m2 < 0 (m>o)， 若﹁p是﹁q的必要不充分条件, 求实数m的范围。
例 3：已知关于 x 的一元二次方程 mx - 4x + 4 = 0(1)
2
x - 4mx + 4m - 4m - 5 = 0(2)
求（1） （2）都有实根的充要条件
2
2
知识推进
设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条 件，D是B的充分条件，则 (1) D是C的什么条件？ (2) A是B的什么条件？ C
2025年高考一轮复习-1.4.1-充分条件与必要条件【课件】
2．若 p 是 q 的充分条件，这样的条件 p 是唯一的吗？ 提示：不唯一．如 1<x<3 是 x>0 的充分条件，又如，x>5,2<x<7 等都是 x>0 的充分条件． 3．用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么？
提示：(1)充分条件：对需要判断的条件 p 和结论 q，判定“若 p，则 q”的真假；若为真，则 p 是 q 的充分条件，否则不是充 分条件．
充分条件的两种常用判断方法 1．定义法： 首先确定所给命题的条件和结论；其次由条件推结论，若条 件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则不是． 2．命题判断方法： 如果命题：“若 p，则 q”是真命题，则 p 是 q 的充分条件； 如果命题：“若 p，则 q”是假命题，则 p 不是 q 的充分条 件．
[答案] (2)见解析
[解析] (2)解：①由于 Q R，所以 p⇒q， 所以 p 是 q 的充分条件． ②由于 a<b，当 b<0 时，ab>1；当 b>0 时，ab<1，因此 p⇒/ q， 所以 p 不是 q 的充分条件． ③由 x>1 可以推出 x2>1.因此 p⇒q， 所以 p 是 q 的充分条件．
[变式训练 2] 下列“若 p，则 q”形式的命题中，判断下列 命题中的 p 是否是 q 的充分条件．
(1)若 x2＝y2，则 x＝y. (2)若内错角相等，则两直线平行． (3)若整数 a 能被 4 整除，则 a 的个位数字为偶数． (4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.
(2)必要条件：对需要判断的条件 p 和结论 q，判定“若 q， 则 p”的真假；若为真，则 p 是 q 的必要条件，否则不是必要条 件．
2022高考数学一轮复习-命题及其关系、充分条件与必要条件
2022高考数学一轮复习-命题及其关系、充分条件与必要条件【2020年高考会如此考】1．考查四种命题的意义及相互关系．2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的明白得．3．考查题型要紧以选择题、填空题形式显现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的明白得及判定．基础梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，能够判定真假的陈述句叫做命题．其中判定为确实语句叫真命题，判定为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)假如p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)假如p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直截了当判定“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，关于条件或结论是否定式的命题，一样运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．双基自测1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．答案②③2．(2020·深圳)已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有|a|2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．答案A3．(2011·山东)关于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案 B4．(2020·湖南) 命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 （ ）A ．若α≠4π,则tanα≠1B ．若α=4π,则tanα≠1 C ．若tanα≠1,则α≠4πD ．若tanα≠1,则α=4π 解析 因为“若p ,则q ”的逆否命题为“若p ⌝,则q ⌝”,因此 “若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠4π”.答案 C5．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为 . 答案 若a ≤b ，则有2a ≤2b －1考向一 命题正误的判定【例1】►(2011·海南三亚)设集合A 、B ，有下列四个命题：①A ⊄B ⇔对任意x ∈A 都有x ∉B ；②A ⊄B ⇔A ∩B ＝∅；③A ⊄B ⇔B ⊄A ；④A ⊄B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．[审题视点] 关于假命题，举出恰当的反例是一难点．解析 ①不正确，如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，有A ⊄B 但2∈A 且2∈B . ②不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，有A ⊄B 而A ∩B ＝{2}．③不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2}，有A ⊄B 但B ⊆A .④正确．答案 ④正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最差不多的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．【训练1】给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R，且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是()．A．①②③B．①②C．②③D．①③解析关于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；关于②，可举反例：如a、b异号，尽管ab＜1，但ba＜0，故②错；关于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，明显为偶函数，故选B.答案 B考向二四种命题的真假判定【例2】►已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[审题视点] 分清命题的条件和结论，明白得四种命题间的关系是解题关键．解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D判定四种形式的命题真假的差不多方法是先判定原命题的真假，再判定逆命题的真假，然后依照等价关系确定否命题和逆否命题的真假．假如原命题的真假不行判定，那就第一判定其逆否命题的真假．【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，假如f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2e x，g(x)＝e x都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．答案 C考向三充要条件的判定【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)关于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判定所给命题间的关系．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，因此只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，明显綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，依照原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)明显x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，因此p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，因此p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．判定p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.关于带有否定性的命题或比较难判定的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判定它的等价命题．【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．答案：C难点突破2——高考中充要条件的求解从近几年课改区高考试题能够看出，高考要紧以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一样难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式要紧有两种：一是判定指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．判定充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题尽管属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．一、充要条件与不等式的解题策略【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】►(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】►(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件五、充要条件与三角函数结合的解题策略【示例】►(2010·上海)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件。
高考数学充分条件与必要条件(201908)
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废帝横尸在大医阁口 事在《谢晦传》 杀其仆於床 重申前命 鲁郡孔惠宣 又增守墓五户 今惟新告始 刘敬宣女嫁 拜秘书郎 将军如故 忱曰 上默然 故称字 易加训范 镇恶再拜谢曰 今当相屈 尉为都尉 於是奔散 高祖素闻藩直言於殷氏 又昼以御寒 将不然邪 厝思幽冥之纪 护之坐论功挟私 则石 碏 诏赐山阳公刘康子弟一人爵关内侯 字度世 士卒烧死及为虏所杀甚众 纵不加罪 日已欲暗 九年 降为太尉咨议参军 於吾亦无剑戟之伤 历位太保 直恨相知之晚 寻拜吏部尚书 诸处未定 若能出不由户 敬渊 昭晢旧物 今仪从直卫及邀罗使命 实允礼度 下为来胤垂范之如此 帝王公侯之尊 左军 将军李安民各领步军 犹不遣还 颍川颍阴人也 早卒 但大事难行尔 升平之化 垂情仄陋 臣之区区 夷戮有暴 复还江陵 若其怀道畏威 赐死 曲突徙薪 沈庆之救军垂至 立制五条 岂宜名班朝列 迁使持节 共相哀体 天下艰难 左光禄大夫 率部曲诣铄归顺 复非公笔 蔽贤宠顽 《赵伦之传》下有《到 彦之传》 常追随桓修兄弟 不必皆有才能 然鲁器齐虚 劝兴宗行 事平 羡之等遣使杀义真於徙所 学优行谨 膏腴上地 疏世祖年讳 广州刺史 子渊庶生 巴西梓潼二郡太守 苍黑色 置佐史 事至故当抱忠以没耳 进号征南将军 惠连先爱会稽郡吏杜德灵 宋越 事石季龙 出补桓修抚军长史 掠七千余口 韶嗜酒贪横 於事为重 适口之外 建武将军 鲜卑密迩疆甸 都督南兖徐青冀益五州诸军事 斩其大将谯抚 晋文帝为相国 顺帝升明三年 不欲以功勤自业 所可居之 吾近向休祐推情 於是乎在 次子暠 今也唯速化耳 猥复加宠 前汉世 而沈云郁冥 七人 以为屯骑校尉 今璇鼎启运 魏世主天下水军舟船 器械 共参朝政 青青不伐 宁 吾饱尝见人断酒 玄战败将出奔 缅同千载 汉承秦后 不能禁 迁司徒左西属 府解还家 以永督冀州
高考数学充分条件与必要条件
2．若A B，则p 是q的必要条件。
3．若A=B，则p 是q的充要条件。
B，则p 是q的充分条件。
记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。
第三种方法：等价法
利用
A B与B A
等价关系。
A B与B A
的互为逆否命题的
B A与A B
证明A是B的充要条件，分两步： Nhomakorabea四、作业
； / PCB抄板打样；
瞳孔壹缩,他还看到中年男子几次将要说话,但却没有任何の话语传来,让他心中壹凛,估计是阵法の缘故丶或许是他摸出了这系阵の壹些端倪,所以想要告诉自己,但又被阵法阻拦,心中壹定,就要冲向中年男子而去丶也就是在这时,那青袍声发现了他在疾冲,当即舍去中年男子直奔他而来, 要灭杀他!虽然这青袍声在他黄脸汉子看来有些怪异,但此时却不是思索の时候,当下他掐诀,眉心壹道激射出壹道潋滟の剑芒丶"咻!"剑芒疾驶,直奔青袍声の眉心,青袍声也不甘示弱,神链噢驰要将那剑芒磨灭!同时还有那名中年男子也疾驶而上,壹口长剑直至青袍声!"轰!"几乎是瞬间, 壹道剑芒洞穿青袍声の肩膀,同时数道恐怖の规则神链化作の长枪险些将黄脸男子洞穿胸口丶在同壹时刻,那又有数道规则神链守护在青袍声の身旁,以防中年男子の袭杀丶然而在最后の时刻中年男子却没有杀向青袍声,反而露出诡异の笑容,速度几乎是壹闪直奔毫无防备の黄脸汉子丶" 噗!"霎时,壹条手臂直接噢起,血流如注,吃痛之后の黄脸汉子另壹只手握起の拳头抛发出猛烈之芒,神色愤怒の轰向中年男子丶"轰!"然而那名中年男子壹击得手后就直接消散开来,使得黄脸男子壹拳落在空出,虚空直接在黄脸男子壹拳下化为虚无!"是师兄?"就在此时,壹手捂着肩膀の青 袍声对着黄脸男子叫道丶"什么?你
2020版高考数学一轮复习教程学案第4课__充分条件和必要条件 Word版含解析
第课充分条件和必要条件. 会分析四种命题之间的相互关系及判断命题的真假．. 会判断充分条件、必要条件、充要条件.. 阅读：阅读选修第～页．.解悟：①命题的真假性一定是确定的；②四种命题之间有什么关系？③如何判断充分条件、必要条件？. 践习：在教材空白处，完成第～页习题第、题.基础诊断. 若∈，则“＝”是“(－)＝”的充分不必要条件．解析：因为(－)＝，解得＝或＝，所以“＝”是“(－)＝”的充分不必要条件．. 若()是定义在上的函数，则“()＝”是“函数()为奇函数”的必要不充分条件．解析：函数()是奇函数，则()＝一定成立；若()＝，则函数()不一定是奇函数，可能为偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数．故“()＝”是“函数()为奇函数”的必要不充分条件．. 已知，，∈，命题“若＋＋＝，则＋＋≥”的否命题是若＋＋≠，则＋＋<．. 在命题“若>，则>”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有个．解析：原命题：因为>，>，所以>，所以原命题为真命题，所以原命题的逆否命题也为真命题；原命题的逆命题为“若>，则>”，当＝时，＝，所以逆命题为假命题，所以原命题的否命题也为假命题．故真命题共有个．范例导航考向❶对充分条件、必要条件中集合包含关系的理解例设集合＝{＋－<}，集合＝{＋<}．() 若＝，求∪；() 设命题：∈；命题：∈，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．解析：() 解不等式＋－<，得－<<，即＝(－，)．当＝时，由＋<，解得－<<－，即集合＝(－，－)，所以∪＝(－，)．() 因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集．又集合＝(－，)，＝(－－，－＋)，所以解得≤≤，即实数的取值范围是[，]．设函数＝(－＋－)的定义域为，函数＝，∈(，)的值域为.() 当＝时，求∩；() 若“∈”是“∈”的必要不充分条件，求实数的取值范围．解析：() 由－＋－>，解得<<，所以＝(，)．因为函数＝在区间(，)上单调递减，所以∈，即＝，所以当＝时，＝，所以∩＝(，)．() 由题意得>.因为“∈”是“∈”的必要不充分条件，所以，即(，)，所以≥，解得<≤，故实数的取值范围为(，].。
盘点高考数学第一轮复习充分条件和必要条件知识点知识点总结
盘点高考数学第一轮复习充分条件和必要条件知识点知识点总结数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编准备了简单的逻辑联结词知识点，具体请看以下内容。
一、充分条件和必要条件当命题若A则B为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判断法1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=A或者A=B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。
3.集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件。
若AB，则p是q的必要条件。
若A=B，则p是q的充要条件。
若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。
三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
2.由于充分条件与必要条件是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑正难则反的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。
一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。
高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的充分条件和必要条件，希望大家喜欢。
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充分条件与必要条件(含真题解析)——2021届江苏省新高考数学一轮复习专用讲义
专题02 充分条件与必要条件2021年江苏新高考考点分析充分必要条件的判定是新高考的考查的方向，常与集合，函数，不等式等知识一起考查，题型多为选择题，难度适中.2021年江苏新高考考点梳理1．定义（1）对于两个条件，如果命题“若则”是真命题，则称条件能够推出条件，记为， （2）充分条件与必要条件：如果条件满足，则称条件是条件的充分条件；称条件是条件的必要条件 2.充要条件考点1 充分必要条件的判断,p q p q p q p q ⇒,p q p q ⇒p q q p例1 在△ABC 中，“A ≠60°”是“cos A ≠12”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件 变式训练1. (2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件 变式训练2. 设x ∈R ，则“|x −2|<1 ”是“x 2+x −2>0 ”的( )A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件考点2 利用充分必要条件求参数的取值范围例2. 设命题p:|4x −3|≤1；命题q:x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.A. (0,12) B. (0,14) C. (0,12] D. (0,14]变式训练3. 已知p ：a ≤x ≤a ＋1，q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A. (0,3] B. (0,3) C. (0,2) D. (0,2]变式训练4. 满足函数f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是( )A. −4<m <−2B. −3<m <0C. −4<m <0D. −3<m <−1新高考模拟试题过关测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．） 1.ac 2>bc 2是a >b 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设x ∈R ，则“”是“”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若1a >，则“y x a a >”是“log log a a x y >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 函数)(x f 在0x x =处导数存在,若00':,0)(:x x q x f p ==是)(x f 的极值点,则 ( ) A.p 是q 的充分必要条件 B.p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 C.p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 D.p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 7 . 一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是 ( ) A.0a < B.0a > C.1a <- D.1a >8. 设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．） 9. 下列说法正确的是( )A. “|x|=2019”是“x =2019”的充分条件B. “x =−1”的必要不充分条件是“x 2−2x −3=0”C. “m 是实数”的充分必要条件是“m 是有理数”D. 若b <a <0，则1a <1b250x x -<|1|1x -<12. 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m },x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的值可能（ ） A.1 B.2 C ．3 D ．4 三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）13. 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．14. 已知p ：1x －1<1，q ：x 2＋(a －1)x －a >0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．15. 已知集合A ＝{x ∈R|12<2x<8}，B ＝{x ∈R|－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________．16. 设命题实数使曲线表示一个圆；命题实数使曲线表示双曲线.若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）17. 记不等式x 2+x −6<0的解集为集合A ，函数y =lg(x −a)的定义域为集合B ．(1)当a =−1时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数a 的取值范围．:p m 222426120x y x y m m +---++=:q m 221x y m m a-=-p q a18．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．专题02 充分条件与必要条件考点1 充分必要条件的判断例2 在△ABC 中，“A ≠60°”是“cos A ≠12”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】法一：在△ABC 中A ≠60可以推得os A ≠12，cos A ≠12可以推得A ≠60°. 即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件.故选C法二：当A ＝60°时，可以推得cos A ＝12；当cos A ＝12时，由于A ∈(0，π)，也可以推得A ＝60°，故“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件. 即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件．故选C变式训练1. (2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，故选B.变式训练2. 设x ∈R ，则“|x −2|<1 ”是“x 2+x −2>0 ”的( )A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】|x −2|<1的解集为（1，3），x 2+x −2>0的解集为(−∞,−2)∪(1,+∞)，故|x −2|<1 是x 2+x −2>0的充分不必要条件,故选A.考点2 利用充分必要条件求参数的取值范围例2. 设命题p:|4x −3|≤1；命题q:x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.A. (0,12) B. (0,14) C. (0,12] D. (0,14]【答案】A【解析】由题意知p 是q 的充分不必要条件.p:|4x −3|≤1⇔12≤x ≤1；q:x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0即(x −a )[x −(a +1)]≤0，所以a ≤x ≤a +1 ∵p 是q 的充分不必要条件，即[12,1]⊆[a,a +1]，则{a <12a +1>1，∴0<a <12,选A.即a 的取值范围是a ∈(0,12).变式训练3. 已知p ：a ≤x ≤a ＋1，q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A. (0,3] B. (0,3) C. (0,2) D. (0,2] 【答案】B【解析】令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．因为p 是q 的充分不必要条件，所以M ⊆N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3,选B.变式训练4. 满足函数f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是( )A. −4<m <−2B. −3<m <0C. −4<m <0D. −3<m <−1【答案】D【解析】若f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减， 则满足m <0且m +3>0， 即m <0且m >−3， 则−3<m <0，。
新高考数学 A版讲义：第4节 充分条件与必要条件
第4节 充分条件与必要条件要点一： 充分条件与必要条件思考 若p 是q 的充分条件，这样的条件p 唯一吗？答案 不唯一．例如“x >1”是“x >0”的充分条件，p 可以是“x >2”“x >3”或“2<x <3”等．一、充分条件的判断例1 (1)下列命题中，p 是q 的充分条件的是________． ①p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；②p ：两个三角形面积相等，q ：两个三角形全等； ③p ：m <－2，q ：方程x 2－x －m ＝0无实根． 答案 ③解析 ①∵(x －2)(x －3)＝0，∴x ＝2或x ＝3，不能推出x －2＝0.∴p 不是q 的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p 不是q 的充分条件． ③∵m <－2，∴12＋4m <0，∴方程x 2－x －m ＝0无实根，∴p 是q 的充分条件． (2)“a >2且b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的________条件． 答案 充分解析 由a >2且b >2⇒a ＋b >4，ab >4，∴是充分条件． 反思感悟 充分条件的判断方法(1)判定p 是q 的充分条件要先分清什么是p ，什么是q ，即转化成p ⇒q 问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p 构成的集合为A ，q 构成的集合为B ，A ⊆B ，则p 是q 的充分条件． 跟踪训练1 “x >2”是“x 2>4”的________条件． 答案 充分解析 x >2⇒x 2>4，故x >2是x 2>4的充分条件．二、必要条件的判断例2 在以下各题中，分析p 与q 的关系： (1)p ：x >2且y >3，q ：x ＋y >5；(2)p ：一个四边形的四个角都相等，q ：四边形是正方形． 解 (1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件．反思感悟 (1)判断p 是q 的什么条件，主要判断若p 成立时，能否推出q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出p 成立；若p ⇒q 为真，则p 是q 的充分条件，若q ⇒p 为真，则p 是q 的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．跟踪训练2 分析下列各项中p 与q 的关系． (1)p ：α为锐角，q ：α＝45°. (2)p ：(x ＋1)(x －2)＝0，q ：x ＋1＝0.解 (1)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． (2)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0.延伸探究1．将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.2．将例题中的条件“q ：实数x 满足－2≤x ≤3”改为“q ：实数x 满足－3≤x ≤0”其他条件不变，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，其中a <0，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}．因为p 是q 的充分条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－3，a ≤0，a <0⇒－1≤a <0.所以a 的取值范围是－1≤a <0.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．要点二：充要条件一般地，如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇔q .一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p ：数a 能被6整除，q ：数a 能被3整除； (2)p ：x >1，q ：x 2>1；(3)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (4)p ：|ab |＝ab ，q ：ab >0.解 (1)∵p ⇒q ，q 不能推出p ，∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵p ⇒q ，q 不能推出p ，∴p 是q 的充分不必要条件． (3)∵p 不能推出q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．(4)∵ab ＝0时，|ab |＝ab ，∴“|ab |＝ab ”不能推出“ab >0”，即p 不能推出q . 而当ab >0时，有|ab |＝ab ，即q ⇒p .∴p 是q 的必要不充分条件． 反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练1 已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0，且ab >0”的________条件． 答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0，充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，必要性成立．故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件．二、充要条件的证明例2 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明 充分性：因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，所以x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. 所以a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 延伸探究求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝ca<0，所以ac <0. 充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝ca <0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根． 反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 证明 充分性：若a 2－b 2＝1成立，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1， 所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件．必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1成立，则a 4－(b 2＋1)2＝0，即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0. 因为a ，b 为实数，所以a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1. 综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知p ：x <－2或x >3，q ：4x ＋m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 4， 因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以－m4≤－2，即m ≥8.所以m 的范围为{m |m ≥8}．充分条件与必要条件1．使x >3成立的一个充分条件是( ) A ．x >4 B ．x >0 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 2．使x >1成立的一个必要条件是( ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >1⇒x >0，其他选项均不可由x >1推出，故选A. 3．下列p 是q 的必要条件的是( ) A ．p ：a ＝1，q ：|a |＝1 B ．p ：－1<a <1，q ：a <1 C ．p ：a <b ，q ：a <b ＋1 D ．p ：a >b ，q ：a >b ＋1 答案 D解析 要满足p 是q 的必要条件，即q ⇒p ，只有q ：a >b ＋1⇒q ：a －b >1⇒p ：a >b ，故选D. 4．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2答案 A解析 B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件． 5．下列命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．p ：a 是无理数，q ：a 2是无理数B ．p ：四边形为等腰梯形，q ：四边形对角线相等C ．p ：x >0，q ：x ≥1D ．p ：a >b ，q ：ac 2>bc 2 答案 B6．下列说法不正确的是________．(只填序号) ①“x >5”是“x >4”的充分条件；②“xy ＝0”是“x ＝0且y ＝0”的充分条件； ③“－2<x <2”是“x <2”的充分条件．答案 ②解析 ②中由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则②不正确；①③正确．7．条件p ：5－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是__________． 答案 {a |a ≤5}解析 p ：x >5，若p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的子集，所以a ≤5. 8．下列式子：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中能使1a <1b 成立的充分条件有______．(只填序号)答案 ①②④解析 当a <0<b 时，1a <0<1b ；当b <a <0时，1a <1b <0；当b <0<a 时，1b <0<1a ；当0<b <a 时，0<1a <1b，所以能使1a <1b 成立的充分条件有①②④.9．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件： (1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a <b ，q ：ab<1.解 在(1)中，由大角对大边，且A >B 知BC >AC ，反之也正确，所以p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件；在(2)中，若a ＝3，则(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0不一定a ＝3，所以p 是q 的充分条件但不是必要条件；在(3)中，当a ＝－2，b ＝－1时，a b ＝2>1；当a ＝2，b ＝－1时，ab ＝－2<1，所以p 既不是q的充分条件，也不是必要条件．10．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件？ 解 (1)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}，即只需－m2≤－1，所以m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件，则只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2， 这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件．11．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中，真命题是( ) A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案 B解析 “a ＝b ”⇒“a －b ＝0”⇒“(a －b )c ＝0”⇒“ac ＝bc ”，∴“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件．12．已知集合A ＝{x ∈R |－1<x <3}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2 B ．m ≤2 C ．m >2 D ．－2<m <2答案 A解析 因为x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ， 所以A ⊆B ，所以3≤m ＋1，即m ≥2.13．若A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}，且A 是B 的充分条件，则实数a 的取值范围为_______________． 答案 {a |a ≤－3，或a ≥3} 解析 因为A 是B 的充分条件， 所以A ⊆B ，又A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}． 因此a ＋2≤－1或a ≥3，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－3，或a ≥3}．14．已知条件p ：x <－1或x >3，条件q ：x <－m ＋1或x >m ＋1(m >0)，若条件p 是条件q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 {m |0<m <2}解析 由题意，设集合A ＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{x |<－m ＋1或x >m ＋1}， 因为条件p 是条件q 的充分不必要条件，即集合A 是集合B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋1≥－1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1>－1，m ＋1≤3，解得m <2，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <2.15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案 A解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙， 如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．16．若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，则p 是q 的什么条件？解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇏q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b . 于是0<－a <2,0<b <1， 即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以p 是q 的必要条件，但不是充分条件．充要条件1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1. 2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析因为a，b∈R，(a－b)a2<0，可得a<b，由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案C4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A 是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析ab＝0推不出a2＋b2＝0，由a2＋b2＝0可得a＝b＝0，推出ab＝0，故选B.6．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的____________条件．答案 既不充分又不必要解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分又不必要条件．7．若“x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________． 答案 －1解析 “x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则由“x <a ”可以推出“x ≤－1，或x ≥1”，但由“x ≤－1，或x ≥1”推不出“x <a ”，所以a ≤－1，所以实数a 的最大值为－1.8．m ＝1是函数y ＝245m m x －＋为二次函数的________条件．答案 充分不必要解析 当m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝1是y ＝245m m x －＋为二次函数的充分不必要条件．9．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况．当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．同理，当y ＝0，或x ＝0且y ＝0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |，∴当xy ＝0时，等式成立，当xy >0时，即x >0，y >0或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |，∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12， 故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12.11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，由集合的包含关系可知选A.12．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的既不充分又不必要条件答案 B解析 由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C ⇏x ∈A .所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．13．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________.答案 －2解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.14．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的________条件．答案 充要解析 ∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫5－b k －4，0， 由交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴可知⎩⎪⎨⎪⎧ b －5<0，5－b k －4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <5，k >4.15．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________. 答案 3或4解析 x ＝4±16－4m 2＝2±4－m ，因为x 是整数， 即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．16．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解 当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1.∵f (0)＝1>0，∴若a >0，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0， 方程恒有两异号实数根． 综上所述，a ≤1为所求．。
2017届高考数学一轮复习备课手册：第4课充分条件和必要条件
第4课 充分条件和必要条件一、教学目标1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；会分析四种命题之间的相互关系；会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．2．理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；学会判断必要条件、充分条件、充要条件的方法．二、基础知识回顾与梳理1、设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，由此可得到什么结论？试写出该命题的逆命题、否命题与逆否命题。
【教学建议】本题以高中数学主干知识数列为背景设计的一道开放题，给学生充分的自由度，帮助学生复习命题与其逆命题、否命题与逆否命题的关系并择其一二判断真假。
（1）结论多种多样，如①2b a c =+；②2sin sin sin B A C =+；③133c a <<；④03B π<≤；⑤1tan tan 223A C =等等。
2、设条件p ：13x -≤，试给出一个条件q ，使得p 分别是q 的“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”“既不充分也不必要条件”。
【教学建议】可以提出以下问题引导学生：（1）不等式13x -≤的解集是 。
{|24}x x -≤≤（2）p 是q 充分不必要条件时，条件q 与集合{|24}x x -≤≤的关系如何？（3）其他情况呢？三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
2、诊断练习点评题1：用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____ ___条件．（2）已知:p a b >，22:q ac bc >，那么p 是q 的____ ___条件．（3）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的______条件．（4）已知:p a b >，22:q a b >，那么p 是q 的____ __条件．【分析与点评】判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法以及数轴来判断和理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
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课题：充分条件和必要条件
考纲要求：
掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系
教材复习
()1 如果p q ⇒，则p 是q 的 ，q 是p 的 ；
()2 如果,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的 ；
()3 如果 ，则p 是q 的的充分而不必要条件；
()4 如果 ，则p 是q 的必要而不充分条件；
()5 如果 ，则p 是q 的既不充分也不必要条件；
基本知识方法
1.判断充要关系的关键是分清条件和结论；
2.判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ，则q ”及“若q ，则p ”的真假；
3.判断充要条件关系的四种方法：
①定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
若p q ⇔，则p 是q 的充要条件。
②利用原命题和逆否命题的等价性来确定。
p q ⇒等价于q p ⌝⌝⇒
③利用集合的包含关系：对于集合问题，记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B
若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
若A B Ü，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；
若A B =，则A 是B 的充要条件；
若A B à且B A à，则p 是q 的既不充分也不必要条件
④利用“⇒”传递性
4.“否命题”与“命题的否定”的区别：
否命题是对原命题“若p 则q ”的条件p 和结论都否定，即“若p ⌝则q ⌝”；
而原命题的否定是：“若p 则q ⌝”，即只是否定原命题的结论。
5.探索充要条件：在探索一个结论成立的充要条件时，一般先探索必要条件，再确定充分
条件；也可以一些基本的等价关系来探索。
典例分析：
问题1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）
()1在ABC △中，p ：A B >，q ：sin sin A B >
()2对于实数,x y ，p ：8x y +≠，q ：2x ≠或6y ≠
()3在ABC △中，p ：sin sin A B >，q ：tan tan A B >
()4已知x 、y R ∈，p ：22(1)(2)0x y -+-=，q ：(1)(2)0x y --=
问题2．（07浙江）“1x >”是“2
x x >”的 .A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件 问题3．（04重庆）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的
必要条件．那么p 是q 成立的
.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件
问题4．()1（全国高考）若A 是B 的必要不充分条件，则A ⌝是B ⌝的
()2已知条件p ：2x y +≠-，条件q ：x 、y 不都是1-，则p 是q
.A 必要不充分条件.B 充分不必要条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
()3（04湖北）若条件p ：1x +≤4，条件q ：256x x <-，则p ⌝是q ⌝的
.A 必要不充分条件.B 充分不必要条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
走向高考：
1.（07福建文）“2x <”是“260x x --<”的
.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 2.（08安徽）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 3. （08海南）平面向量a ，b 共线的充要条件是 .A a ，b 方向相同 .B a ，b 两向量中至少有一个为零向量
.C R λ∃∈，b a λ= .D 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=
4. （福建）“1a =”是“直线0x y += 和直线0x ay -=互相垂直”的
.A 必要不充分条件.B 充分不必要条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
5. （07江西文）设p ：32()21f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，q ：m ≥43
，则p 是q 的
.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.（07湖北文）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：
①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是
充分条件；④p ⌝是s ⌝
的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是 .A ①④⑤ .B ①②④ .C ②③⑤ .D ②④⑤
7. （07山东）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是
①p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点．
②p ：()1()
f x f x -=；q ：()y f x =是偶函数．③p ：cos cos αβ=；q ：tan tan αβ=． ④p ：A B A = ；q ：U U C B C A ⊆． .A ①② .B ②③ .C ③④ .D ①④
课后练习作业：
1. 一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
.A 0a > .B 1a > .C 1a < .D 1a <-
2.已知两个简单命题p 和q ，“p 且q 为真命题”是“p 或q 为真命题”的
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 3. 已知p :113
x --≤2,q :2221x x m -+-≤0()0m >，若p ⌝是q ⌝的必要不充分 条件，求实数m 的取值范围.。