2017-2018学年北京师大二附中高一(上)期中数学试卷
北京师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题 含答案 精品
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{=A ，}3,2{=B ，则集合=B AA. }3,2,1{B. }3,2,1,0{C. }2{D. }3,1,0{2. 下列函数中，在其定义域内是减函数的是A. 3x y =B. 2x y =C. 1+-=x yD. xy 2= 3. 若0<a ，10<<b ，则有A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>2 4. “a=0”是“21)(x ax x f -=为奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 5. 下列不等式中，不正确的是A. 21≥+x xB. 012>++x xC. 254522≥++x x D. 若3>x ，则531≥-+x x 6. 函数q px x x f ++=2)(满足对任意的x ，均有)1()1(x f x f -=+，那么)0(f ，)1(-f ，)1(f 的大小关系是A. )0()1()1(f f f <-<B. )1()1()0(f f f <-<C. )1()0()1(-<<f f fD. )1()0()1(f f f <<- 7. 若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为 A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.58. 已知)(x f 为定义在[-1，1]上的奇函数，且)(x f 在[0，1]上单调递减，则使不等式0)31()(<-+x f x f 成立的x 的取值范围是A. )21,(-∞ B. )21,0[ C. )21,31[ D. ),21(+∞ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
北京师范大学第二附属中学2017届高三上学期期中考试数学理试卷 Word版含答案
一、选择题：1. 已知集合{}{}2|11,|2,M x x N x x x Z =-<<=<∈，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}0M N =D ．M N N =2.复数z 满足3z i i =-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,c 2a A ===，且bc <，则b =（ ）A ．3B ．．2 D 4.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，下列四命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//n m B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβC ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α 5.将函数sin 2y x =的图象先向左平移4π个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（ ） A ．sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．22cos y x =C ．22sin y x = D ．cos y x = 6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83 C ．4 D ．437.如果关于x 的方程213ax x +=的正实数解有且仅有一个，那么实数a 的取值范围为（ ） A ．{}|0a a ≤ B ．{}|02a a a ≤=或 C ．{}|0a a ≥ D ．{}|02a a a ≥=-或 8.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x '=-（()f x '为函数()f x 的导函数），在[],a b 上有且只有一个不同的零点，则称()f x 是()g x 在[],a b 上的“关联函数”，若()323422x x f x x =-+，是()2g x x m =+在[]0,3上的“关联函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．[]1,0- C ．(],2-∞- D ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题9.设复数z 满足()122i z i -=+，其中i 是虚数单位，则z 的值为___________．10.若3,2a b == ，且a 与b 的夹角为60°，则a b -=____________．11.命题:p “2,10x R x x ∀∈-+>”，则p ⌝为_____________． 12.已知3,,sin 4245x x πππ⎛⎫⎛⎫∈-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2x =___________．13.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且2y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述：①()y f x =是周期函数；②x π=是它的一条对称轴；③(),0π-是它图象的一个对称中心；④当2x π=时，它一定取最大值．其中描述正确的是___________．14.若对任意(),,x A y B A R B R ∈∈⊆⊆有唯一确定的(),f x y 与之对应，则称(),f x y 为关于,x y 的二元函数，现定义满足下列性质的(),f x y 为关于实数,x y 的广义“距离”： （1）非负性；(),0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性：()(),,f x y f y x =；（3）三角形不等式：()()(),,,f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立．给出三个二元函数：①(),f x y x y =-；②()()2,f x y x y =-；③(),f x y =所有可能成为关于,x y 的广义“距离”的序号为____________． 三、解答题15.已知函数()sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的单调递减区间； （2）设α是锐角，且1sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． 16.在ABC ∆中，,b,c a 分别是内角,,A B C 的对边，且cos cosC 2B ba c=-+． （1）求角B ；（2）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积．17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --为60°，1,AP AD ==E ACD -的体积． 18.已知函数32f x ax bx c =-+++图象上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+． （1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式；（2）若函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围． 19.已知函数()()()cos ,2xf x xg x e f x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数． （1）求曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程；（2）若对任意,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()()g x xf x =的解的个数，并说明理由． 20.已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，其中()1,1,2,a R i n n l A ∈≤≤>表示和()1i j a a i j n +≤<≤中所有不同值的个数．（1）设集合{}{}2,4,6,8,2,4,8,16P Q ==，分别求()l P 和()l Q ；（2）若集合{}2,4,8,,2nA = ，求证：()()12n n l A -=；（3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案一、选择题二、填空题：x R ∃∈，使得210x x -+≤成立 12. 2425- 13. ①③ 14. ① 三、解答题 15. （1）()11sin sin sin cos sin 2cos 24444222f x x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()222k x k k Z πππ≤≤+∈得()2k x k k Z πππ≤≤+∈，16.（1）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，得2s i n ,2s i n ,2s i n a R Ab R Bc R C ===，所以等式cos cos 2B bC a c=-+可化为 cos 2sin cos 22sin 2sin B R BC R A R C =-+ ， 即cos sin ,2sin cos sin cos cos sin cos 2sin sin B BA B C B C B C A C=-+=-+ ， 故()2sin cos cos sin sin cos sin A B C B C B B C =--=-+， 因为A B C π++=，所以()sin sin A B C =+，故1cos 2B =-， 所以0120B =；（2）由余弦定理，得222132cos120b a c ac ==+-⨯，即2213a c ac ++=， 又4a c +=，解得13a c =⎧⎨=⎩，或31a c =⎧⎨=⎩，所以11sin 1322ABC S ac B ∆==⨯⨯=． 17.（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ， 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点，所以EO //PB ，因为EO ⊂平面,AEC PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ， ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则()11,,22D E AE ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()(),0,00B m m >，则()(),C m AC m =，设()1,,n x y z = 为平面ACE 的法向量，则1100n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0102mx y z ⎧+=+=，可取1n =-⎝ ，又()21,0,0n = 为平面DAE 的法向量，由题设121cos ,2n n =12=，解得32m =， 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12， 三棱锥E ACD -的体积11313222V =⨯⨯=18.（1）()232f x x ax b '=-++，函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3，所以()1323f a b '=-++=-，即20a b +=，① 又()112f a b c =-+++=-，得1a b c ++=-，②函数()f x 在2x =-时有极值，所以()21240f a b '-=--+=，③ 由①②③解得2,4,3a b c =-==-， 所以()32243f x x x x =--+-；（2）由（1）知2b a =-，所以()23f x x bx b '=--+，因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()23f x x bx b '=--+在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，则()()2122000f b b f b '-=-++≥⎧⎪⎨'=≥⎪⎩，得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞． 19.（1）由题意得，()()()0sin ,cos ,0cos01xf x xg x e x g e ====；()()()cos sin ,01x g x e x x g ''=-=；故曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程为1y x =+； （2）对任意,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()g x xf x m ≥+恒成立可化为 ()()min m g x xf x ≤-⎡⎤⎣⎦，,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设()()(),,02h x g x xf x x π⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()cos sin sin cos cos 1sin xx x h x e x x x x x e x x e x '=---=--+，因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()()cos 0,1sin 0x xe x x e x -≥+≤；故()0h x '≥， 故()h x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故当2x π=-时，()min 22h x h ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； 故2m π≤-；（3）设()()()H x g x xf x =-，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 则当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()()cos sin sin cos cos 1sin x x x H x e x x x x x e x x e x '=---=--+，当2x π=，显然有02H π⎛⎫'<⎪⎝⎭； 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由sin 1tan 1,11cos 11x x x x e x x x x e e -+=≥=-<++，即有sin cos 1x x x e x x e ->+， 即有()0H x '<，所以当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，总有()0H x '<， 故()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故函数()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至多有一个零点；又40424H e πππ⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，022H ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭；且()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的， 故函数()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． 20.（1）由246,2682810,4610.4812,6814+=+=+=+=+=+=，得()5l P =， 由246,281021618,4812.41620,81624+=+=+=+=+=+=得()6l Q =； （2）因为()1i j a a i j n +≤<≤共有()212n n n C -=项，所以()()12n n l A -≤， 对于集合{}2,4,8,,2nA = ，任取i j a a +和k l a a +，其中1,1i j n k l n ≤<≤≤<≤，当j l ≠时，不妨设j l <，则122j i j j l k l a a a a a a ++<=≤<+，即i j k l a a a a +≠+；当j l =时，若()1i j a a i j n +≤<≤的值两两不同， 因此，()()12n n l A -=；（3）不妨设123n a a a a <<<< ，则可得1213121n n n n a a a a a a a a a a -+<+<<+<+<<+ ，从而()1i j a a i j n +≤<≤中至少有23n -个不同的数，即()23l A n ≥-，取{}1,2,3,,n A = ，则{}3,4,5,,21i j a a n +∈- ，即i j a a +的不同值共有23n -个， 因此，()l A 的最小值为23n -．。
北京师大附中2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用
2018年10月2018～2019学年度北京师大附中高一上学期期中考试数学试题数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1.已知集合 ＝ ＝ ,则 A. B. ＝ C. ＝ D. ＝2.若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R,则关于实数a 的下列说法中正确的是A.1a =-或3B.1a =-C.3a >或1a <-D.13a -<<3.下列函数中,在区间 ＋ 上是增函数的是 A. ＝ B. ＝ C. ＝ ＋ D. ＝4.给定四个函数:① ＝ ＋；② ＝；③ ＝ ＋ ；④ ＝＋,其中是奇函数的有A.1个B.2个C.3个D.4个5.函数 ＝ 在R 上为增函数,且 ＋ ,则实数m 的取值范围是 A. B. ＋C. ＋D. ＋6.函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A.B.C.D.7.A. B. C. D.8. 是区间 ＋ 上的偶函数并且在区间 ＋ 上是减函数,则下列关系中正确的是 A. B. C. ＝ D.二者无法比较 9.设,则A. B. C. D.二、解答题10.已知函数 ＝ ＋的定义域为A, ＝ ＋ 的值域为B 。
(1)求A,B ；(2)设全集 ＝ ,求11.已知集合 ＝ ＝ ＋ (1)若 ＝ ,求a 的取值范围； (2)若 ＝ ,求a 的取值范围。
12.已知函数 ＝ ＋ ＋ (1)当a ＝1时,求函数 的值域。
(2)若函数 在区间 上是单调函数,求实数a 的取值集合。
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷(word)
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{=A ，}3,2{=B ，则集合=B AA. }3,2,1{B. }3,2,1,0{C. }2{D. }3,1,0{2. 下列函数中，在其定义域内是减函数的是A. 3x y =B. 2x y =C. 1+-=x yD. xy 2= 3. 若0<a ，10<<b ，则有A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>2 4. “a=0”是“21)(x ax x f -=为奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 下列不等式中，不正确的是A. 21≥+x xB. 012>++x xC. 254522≥++x x D. 若3>x ，则531≥-+x x 6. 函数q px x x f ++=2)(满足对任意的x ，均有)1()1(x f x f -=+，那么)0(f ，)1(-f ，)1(f 的大小关系是A. )0()1()1(f f f <-<B. )1()1()0(f f f <-<C. )1()0()1(-<<f f fD. )1()0()1(f f f <<-7. 若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为 A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.58. 已知)(x f 为定义在[-1，1]上的奇函数，且)(x f 在[0，1]上单调递减，则使不等式0)31()(<-+x f x f 成立的x 的取值范围是A. )21,(-∞ B. )21,0[ C. 21,31[ D. ),21(+∞ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
最新题库北京市首都师大附中高一上学期数学期中试卷带答案
10．（ 5 分）已知函数
【解答】 解：∵函数
∴ f（ ） =
=﹣2，
=f（﹣ 2）=
．
故答案为： ．
，则 ，
=
．
11．（5 分）若函数 y=x2﹣3x﹣4 的定义域为 [ 0，m] ，值域为 [ ﹣ ，﹣4] ，则 m 的取值范围是 [ ，3] ． 【解答】 解：∵ f（x）=x2﹣3x﹣ 4=（x﹣ ）2﹣ ， ∴ f（ ） =﹣ ，又 f（0）=﹣4， 故由二次函数图象可知： m 的值最小为 ； 最大为 3． m 的取值范围是： ≤m≤ 3． 故答案 [ ，3]
则有 f（n）=﹣ n2+4n=
=﹣5，解可得 n=5 或﹣ 1（舍）即 5 是它的均值
点，②正确，
对于③，函数 f（ x）=log2x 在区间 [ a，b] 都是平均值函数， 则 log2x=
恒成立，明显错误，③错误； 对于④，若函数 f（ x）=﹣x2+mx+1 是区间 [ ﹣1，1] 上的平均值函数，
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9．（5 分）若点
在幂函数 y=f（x）的图象上，则 f（ 4） =
．
10．（ 5 分）已知函数
，则
=
．
11．（5 分）若函数 y=x2﹣3x﹣4 的定义域为 [ 0，m] ，值域为 [ ﹣ ，﹣4] ，则 m
13．（5 分）已知关于 x 的方程 ax2+x+2=0 的两个实根一个小于 0，另一个大于 1， 则实数 a 的取值范围是 （﹣ 3，0） ． 【解答】 解：关于 x 的方程 ax2+x+2=0 对应的二次函数 f（x）=ax2+x+2 若 a＞0，即图象开口向上， ax2+x+2=0 的两个实根一个小于 0，另一个大于 1，只需 f（0）＜ 0，且 f（ 1）＜ 0， 即 2＜0 且 a+3＜ 0，则 a∈?； 若 a＜0，即图象开口向下， ax2+x+2=0 的两个实根一个小于 0，另一个大于 1，只需 f（0）＞ 0，且 f（ 1）＞ 0， 即 2＞0 且 a+3＞ 0，则﹣ 3＜a＜0． 综上可得 a 的范围是（﹣ 3， 0）． 故答案为：（﹣ 3，0）．
数学---北京首都师大附中2017-2018学年高一(上)期中试卷(解析版)
北京首都师大附中2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（5分）已知集合M={x∈Z||x|≤3}，则下列结论中正确的个数是（）①2.5∈M②0⊆M③{0}∩M={0}④∅∈M⑤集合M是无限集．A．0 B．1 C．2 D．3．2．（5分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．与y=x+1 B．y=x与（a＞0且a≠1）C．与y=x﹣1 D．y=lg x与3．（5分）给定映射f：（a，b）→（a+2b，2a﹣b），则在映射f下，（3，1）的原象是（）A．（1，3）B．（1，1）C．（3，1）D．4．（5分）设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．（5分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）设偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）=f（b+2）B．f（a+1）＞f（b+2）C．f（a+1）＜f（b+2）D．不能确定7．（5分）若指数函数f（x）=a x的图象与射线3x﹣y+5=0（x≥﹣1）相交，则（）A．a∈（0，] B．a∈[，1）C．a∈[，1）∪（1，+∞）D．a∈（0，]∪（1，+∞）8．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（）①y=x2是区间[﹣1，1]上的平均值函数，0是它的均值点；②函数f（x）=﹣x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，它的均值点是5；③函数f（x）=log2x在区间[a，b]（其中b＞a＞0）上都是平均值函数；④若函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是（0，2）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题9．（5分）若点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（4）=．10．（5分）已知函数，则=．11．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是．12．（5分）函数的单调递减区间为．13．（5分）已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是．14．（5分）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是．三、解答题15．（8分）（Ⅰ）（Ⅱ）．16．（8分）已知集合A={x|x+4x=0}，集合B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．17．（10分）某车间生产一种仪器的固定成本是10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：H（x）=，其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数（用f（x）表示）；（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）18．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）判断函数的单调性并用定义法证明；（3）解不等式：f（t﹣1）+f（t）＜0．19．（12分）如果函数f（x）满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f（x）称为H 函数，例如：f（x）=x就是H函数．（1）判断下列函数：①y=x2②y=2x﹣1③中，哪些是H函数？（只需写出结果，不用说明理由）（2）判断函数g（x）=[ln x]+1是否为H函数，并证明你的结论；（3）是否存在实数a，b，使得函数f（x）=[b•a x]是H函数？如果存在，求出实数a，b的值，如果不存在，请说明理由．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵集合M={x∈Z||x|≤3}，∴①2.5∉M，故错误；②0∈M，故错误③{0}∩M={0}，故正确；④∅⊆M，故错误⑤集合M是有限集，故错误．故选：B.2．B【解析】对于选项A：函数的定义域不包含1，而一次函数y=x+1的定义域是R，显然不是同一个函数．对于选项B：因为=x log a a=x，且定义域都为R，所以为同一个函数．对于选项C：函数=|x|﹣1与一次函数y=x﹣1的对应法则不同，故不是同一个函数．对于选项D：函数y=lg x的定义域为x＞0，而函数y=lg x2的定义域是x≠0，显然不是同一个函数．故选B．3．B【解析】∵映射f：（a，b）→（a+2b，2a﹣b），设映射f下（3，1）的原象是：（a，b）则（a+2b，2a﹣b）=（3，1）即a+2b=3，且2a﹣b=1解得a=1，b=1即映射f下（3，1）的原象是：（1，1）故选B4．A【解析】∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故答案选A.5．B【解析】依题意，，解得0≤a＜，故选B．6．B【解析】∵f（x）=log a|x﹣b|为偶函数，∴b=0∵f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，∴0＜a＜1∴f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减，∴0＜a+1＜b+2∴f（a+1）＞f（b+2）．故选：B．7．D【解析】当a＞1时，必会有交点，当a＜1时，过（﹣1，2）是临界点，当f（x）过（﹣1，2）时，a=，若要f（x）与射线有交点，其图象需在（﹣1，2）的上方，比如过（﹣1，3）点此时a=，由此可知a的取值范围为（0，]．综上a的范围是（0，]∪（1，+∞），故选：D．8．C【解析】根据题意，依次分析题目中的四个结论：对于①，若y=x2是区间[﹣1，1]上的平均值函数，设其均值点为n，则有f（n）=n2=﹣0，解可得n=0，即0是它的均值点，①正确；对于②，若函数f（x）=﹣x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，设其均值点为n，则有f（n）=﹣n2+4n==﹣5，解可得n=5或﹣1（舍）即5是它的均值点，②正确，对于③，函数f（x）=log2x在区间[a，b]都是平均值函数，则log2x=恒成立，明显错误，③错误；对于④，若函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则关于x的方程﹣x2+mx+1=在（﹣1，1）内有实数根，而﹣x2+mx+1=⇒x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1（舍），必有x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，2），④正确；其中①②④正确；故选：C．二、填空题9．2【解析】∵点（2，）在幂函数y=f（x）=x a的图象上，∴2a=，解得a=，∴f（x）=，f（4）==2．故答案为：2．10．【解析】∵函数，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=．故答案为：．11．[，3]【解析】∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：≤m≤3．故答案[，3].12．（2，5]【解析】由﹣x2+4x+5≥0，解得：﹣1≤x≤5，而函数y=﹣x2+4x+5的对称轴是x=2，故y=﹣x2+4x+5在[﹣1，2）递增，在（2，5]递减，故答案为：（2，5]．13．（﹣3，0）【解析】关于x的方程ax2+x+2=0对应的二次函数f（x）=ax2+x+2，若a＞0，即图象开口向上，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a+3＜0，则a∈∅；若a＜0，即图象开口向下，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a+3＞0，则﹣3＜a＜0．综上可得a的范围是（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）．14．[，]【解析】Rt△PCF中，PF==同理可得，Rt△P AB中，P A=∴P A+PF=+∵当A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，P A+PF取得最小值=当P在点B或点C时，P A+PF取得最大值+1∴≤P A+PF≤+1，可得函数f（x）=AP+PF的值域为[，]．故答案为：[，]．三、解答题15．解：（I）原式=+=﹣（2+）=﹣．（II）原式=﹣﹣lg5+3lg2+lg100=9+3﹣（1﹣lg2）+3lg2+2=14+4lg2．16．解：（1）∵集合A={x|x+4x=0}={﹣4，0}，集合B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．A∪B=B，∴A⊆B，∴0，﹣4为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两根，由根与系数关系得：，解得a=1．（2）∵A∩B=B，∴B⊆A．①当B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2+1）=8a+8＜0，∴a＜﹣1．②当B≠∅时，当△=0时，即a=﹣1，此时B={0}⊆A，∴a=﹣1．当△=0，即a＞﹣1时，B=A，由（1）知a=1．综上所述{a|a≤﹣1，或a=1}．17．解：（1）设月产量为x台，则总成本为t=10000+100x，总收益满足函数：H（x）=，∵f（x）=H（x）﹣t，∴利润f（x）=．（2）当0≤x≤200时，f（x）=﹣（x﹣150）2+12500，∴f（x）max=f（150）=12500．当x＞200时，f（x）=﹣100x+30000在（200，+∞）上是减函数，∴f（x）max＜f（200）=10000＜12500，∴当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是12500元．18．解：（1）∵函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴由f（0）=0，得b=0．又∵，∴，解之得a=1；因此函数f（x）的解析式为：，满足f（﹣x）=﹣f（x）为奇函数，（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．转化为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），∴，解不等式得.19．解：（1）函数：①y=x2②y=2x﹣1③中，只有③是H函数．（2）函数g（x）=[ln x]+1是H函数．证明如下：任意x∈N*，[ln x]+1∈N*．不妨设[ln x]+1=k，k∈N*，由[ln x]+1=k，可得k﹣1≤ln x＜k，即1≤e k﹣1≤x＜e k．∵任意k∈N*，恒有e k﹣e k﹣1=e k﹣1（e﹣1）＞1成立，∴一定存在x∈N*，满足e k﹣1≤x＜e k，∴设任意k∈N*，总存在x∈N*，满足[ln x]+1=k，∴函数g（x）=[ln x]+1是H函数．（3）当b≤0时，有f（2）=[ba2]≤0，∴函数f（x）=[ba x]都不是H函数；当b＞0时，①若a≤0，有f（1）=[ba]≤0，∴函数f（x）=[ba x]都不是H函数．②若0＜a≤1，由指数函数性质得，ba x≤ba，∴任意x∈N*，都有f（x）=[ba x]≤[ba]．函数f（x）=[ba x]都不是H函数．③若a＞1，令ba m+1﹣ba m＞2，则m＞log a，∴一定存在正整数k，使得ba k+1﹣ba k＞2，∴任意n1，n2∈N*，使得ba k＜n1＜n2＜ba k+1，∴f（k）＜n1＜n2≤f（k+1）．又∵当x＜k时，ba x＜ba k，∴f（x）≤f（k）；当x＞k+1时，ba x＞ba k，∴f（x）≥f（k+1），∴函数f（x）=[ba x]都不是H函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数f（x）=[ba x]都不是H函数．。
北京师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{=A ，}3,2{=B ，则集合=B AA. }3,2,1{B. }3,2,1,0{C. }2{D. }3,1,0{2. 下列函数中，在其定义域内是减函数的是 A. 3x y = B. 2x y =C. 1+-=x yD. xy 2=3. 若0<a ，10<<b ，则有 A. 2ab ab a >> B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>24. “a=0”是“21)(xaxx f -=为奇函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 下列不等式中，不正确的是A. 21≥+xxB. 012>++x xC.254522≥++x x D. 若3>x ，则531≥-+x x 6. 函数q px x x f ++=2)(满足对任意的x ，均有)1()1(x f x f -=+，那么)0(f ，)1(-f ，)1(f 的大小关系是A. )0()1()1(f f f <-<B. )1()1()0(f f f <-<C. )1()0()1(-<<f f fD. )1()0()1(f f f <<-7. 若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.58. 已知)(x f 为定义在[-1，1]上的奇函数，且)(x f 在[0，1]上单调递减，则使不等式0)31()(<-+x f x f 成立的x 的取值范围是A. )21,(-∞B. )21,0[C. )21,31[D. ),21(+∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
北京师大二附中2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．4．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．C．4 D．7．如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0或a=2}C．{a|a≥0}D．{a|a≥0或a=﹣2}8．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2]D．二、填空题9．设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为．10．若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为．12．已知，则cos2x=．13．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是．14．若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是．三、解答题15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x•f（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？2016-2017学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．【考点】正弦定理．【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．4．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】由题意知，用平行和垂直的定理进行判断，对简单的可在长方体中找反例．【解答】解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α．故选D．5．将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换步骤，进行解答即可．【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=cos2x将该函数所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得y=cosx的图象所以函数的解析式为y=cosx．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，利用体积公式可得结论．【解答】解：由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，则该几何体的体积是=故选D．7．如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0或a=2}C．{a|a≥0}D．{a|a≥0或a=﹣2}【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故我们可将关于x的方程有且仅有一个正实数解，转化为方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，求出函数的导函数后，分类讨论函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，即方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，构造函数f（x）=ax3﹣3x2+1，则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．又∵f'（x）=3x（ax﹣2）①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解满足要求；②当a＞0时，则得f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，f（0）=1，知若要满足条件只有x=时，f（x）取到极小值0，x=入原方程得到正数解a=2，满足要求；③当a＜0时，同理f（x）在（﹣∞，）和（0，+∞）上单调递减，在（，0）上单调递增f（0）=1＞0，所以函数f（x）的图象与x轴的正半轴有且仅有一个交点，满足题意综上：a≤0或a=2．故答案为：{a|a≤0或a=2}8．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2]D．【考点】导数的运算．【分析】先对f（x）求导，由题意可得h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：f′（x）=x2﹣3x+4，∵f（x）与g（x）在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选：A．二、填空题9．设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为2．【考点】复数求模．【分析】变形可得复数z=，化简可得z=2i，可得其模．【解答】解：∵（1﹣i）z=2+2i，∴z====2i，∴|z|=2故答案为：210．若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=【考点】向量加减法的应用．【分析】向量求模的运算，要求向量的模，一般用求模的公式，先求向量的平方运算，题目中给的条件能让我们先求数量积，进而求向量的模．【解答】解：∵||=3，||=2，且与的夹角为60，∴||====，故答案为：．11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为∃x∈R，x2﹣x+1≤0．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．12．已知，则cos2x=．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知可得cosx﹣sinx=﹣，利用二倍角公式两边平方可求sin2x，进而结合2x的范围，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵sin（﹣x）=（cosx﹣sinx）=﹣，解得：cosx﹣sinx=﹣，∴两边平方可得：1﹣sin2x=，可得：sin2x=，∵x∈（，），2x∈（，π），∴cos2x=﹣=．故答案为：．13．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是①③．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性和对称性对每一个选支进行逐一判定即可．【解答】解：∵为偶函数∴f（﹣x+）=f（x+），对称轴为而y=f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣x+）=﹣f（x﹣）=f（x+）即f（x+）=﹣f（x﹣），f（x+π）=﹣f（x），f（x+2π）=f（x）∴y=f（x）是周期函数，故①正确x=（k∈Z）是它的对称轴，故②不正确（﹣π，0）是它图象的一个对称中心，故③正确当时，它取最大值或最小值，故④不正确故答案为：①③14．若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是①．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离“的定义需满足三个条件对各个函数判断是否具有这三个性质．【解答】解：对于①，f（x，y）=|x﹣y|≥0满足（1），f（x，y）=|x﹣y|=f（y，x）=|y ﹣x|满足（2）；f（x，y）=|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数对于②不满足（3）对于③不满足（2）故答案为①三、解答题15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）=cos2x，由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）由α是锐角，且，得=，α=，故f（α）=cos2x=cos．【解答】解：（Ⅰ）=cos2x﹣sin2x=cos2x．由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，可得kπ≤x≤kπ+，故求f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）∵α是锐角，且，∴=，α=．∴f（α）=cos2x=cos==﹣．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1，可得f′（1）=﹣3，再根据f（1）=﹣1，又由f′（﹣2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式．（2）由题意函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间[﹣2，0]大于或等于0，从而求出b的范围．【解答】解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b，因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，所以f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1．（1）函数f（x）在x=﹣2时有极值，所以f'（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，所以f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3．（2）因为函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，则得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x•f（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．【考点】余弦函数的图象．【分析】（1）利用导数的几何意义即可求出曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）构造函数H（x）=g（x）﹣xf（x），；利用导数判断函数的单调性，根据根的存在性定理即可判断函数H（x）在上零点的个数．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=sinx，g（x）=e x sinx，∴g（0）=e0sin0=0；g'（x）=e x（cosx+sinx），∴g'（0）=1；故曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y=x；（2）设H（x）=g（x）﹣xf（x），；则当时，H'（x）=e x（cosx+sinx）﹣sinx﹣xcosx=（e x﹣x）cosx﹣（e x﹣1）sinx，当，显然有；当时，由，即有，即有H'（x）＜0，所以当时，总有H'（x）＜0，故H（x）在上单调递减，故函数H（x）在上至多有一个零点；又，；且H（x）在上是连续不断的，故函数H（x）在上有且只有一个零点．20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？【考点】数列的应用；计数原理的应用．【分析】（Ⅰ）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l （P）和l（Q）；（Ⅱ）先由a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得；再利用定义推得所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．（Ⅲ）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜＜a n，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n．由此即可证明l（A）的最小值2n﹣3．【解答】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．（Ⅱ）证明：因为a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以．又集合A=2，4，8，，2n，任取a i+a j，a k+a l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），当j≠l时，不妨设j＜l，则a i+a j＜2a j=2j+1≤a l＜a k+a l，即a i+a j≠a k+a l．当j=l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l．因此，当且仅当i=k，j=l时，a i+a j=a k+a l．即所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，所以．（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3．不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a n，可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n+a n，﹣1所以a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数，即l（A）≥2n﹣3．事实上，设a1，a2，a3，，a n成等差数列，考虑a i+a j（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，当i+j≤n时，a i+a j=a1+a i；+j﹣1+a n；当i+j＞n时，a i+a j=a i+j﹣n因此每个和a i+a j（1≤i＜j≤n）等于a1+a k（2≤k≤n）中的一个，或者等于a l+a n（2≤l≤n﹣1）中的一个．所以对这样的A，l（A）=2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3．2016年12月18日。
北京师范大学附属中学2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试题(解析版)
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，则集合A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据并集的运算性质计算即可.【详解】集合，所以集合，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合2.下列函数中，在其定义域内是减函数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据单调性的定义对选项逐一判断即可.【详解】对于在定义域内是增函数，不满足题意；对于在递减，在递增，不满足题意；对于定义域内是减函数，满足题意；对于在和都单调递减，但在整个定义域没有单调性，不满足题意，故选C.【点睛】本题最主要考查函数单调性的定义，意在考查对基本概念的掌握与应用，属于简单题.3.若，，则有A. B.C. D.【答案】B【分析】令，可排除选项，利用不等式的性质可证明.【详解】令，可排除选项，对，，又，，，，同理，即，，即，故选B.【点睛】利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.4.“a=0”是“为奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接根据函数的奇偶性的定义与性质，结合充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】，的图象关于原点对称，所以是奇函数；若为奇函数，则，即不能推出，所以，是为奇函数充分非必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的定义与性质、充分条件与必要条件的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.5.下列不等式中，不正确的是A. B.C. D. 若，则【解析】【分析】利用特殊值判断；利用判别式判断；利用单调性判断；利用基本不等式判断D.【详解】在中，若，则，故不成立；在中，，不等式的解集为，故成立；在中，,设,在上递增，所以有最小值，故成立；在中，，，当且仅当时取等号，的最小值为5，成立；不正确的结论是，故选A.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）6.函数满足对任意的x，均有，那么，，的大小关系是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据的图象开口朝上，由可得函数图象以为对称轴，由此可得函数在上为减函数，从而可得结果.【详解】函数对任意的均有，函数的图象开口朝上，且以为对称轴，函数在上为减函数，，故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的对称性与二次函数的单调性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7.若函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5【答案】C【解析】试题分析：因为，，所以选D．考点：二分法求零点．8.已知为定义在[-1，1]上的奇函数，且在[0，1]上单调递减，则使不等式成立的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性将不等式再转化为,结合函数的定义域，列不等式组求解即可.【详解】因为为奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减所以化为，,又因为的定义域是，所以，解得，使不等式成立的x的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2017-2018学年北京市师范大学附属中学高一数学上期中考试试题(含答案)
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷（AP）本试卷满分100分，考试时间为120分钟。
第一部分：中文卷（80分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则A. B.C. D.【答案】D【解析】集合，，则.故选D.2. 若函数的定义域和值域都为R，则关于实数a的下列说法中正确的是A. 或3B.C. 或D.【答案】B【解析】若函数的定义域和值域都为R，则.解得或3.当时，，满足题意；当时，，值域为{1}，不满足题意.故选B.3. 下列函数中，在区间上是增函数的是A. B.C. D.【答案】A【解析】已知函数为上的增函数，，为R上的减函数；在和上单调递减.故选A.4. 给定四个函数：①；②；③；④，其中是奇函数的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①函数的定义域为R,则,则函数f(x)是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数；③函数的定义域为R,f(0)=0+1=1≠0,则函数f(x)为非奇非偶函数；④函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),,则函数f(x)是奇函数，故选B.5. 函数在R上为增函数，且，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】函数在R上为增函数，且，所以，解得.故选C.6. 函数与的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】显然函数过原点，故排除A,二次函数函数的零点为和，一次函数的零点为.两函数图象在x轴上有一个公共点，故排除B,C.D.由一次函数图象可得a＜0,b>0,函数函数开口向下，零点,此选项正确.故选D.点睛：二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)图象与系数的关系(1)a决定开口方向及开口大小,当a＞0时,开口向上;当a＜0时,开口向下;(2)c决定二次函数与y轴交点的位置.当x=0时,y=c,所以二次函数与y轴有且只有一个交点(0,c).①当c=0时,抛物线经过原点;②当c＞0时,抛物线与y轴交于正半轴;③当c＜0时,抛物线与y轴交于负半轴.2、一次函数y=kx+b图象跨越的象限:k＞0,b＞0,则函数经过一、二、三象限;k＞0,b＜0,函数经过一、三、四象限;k＜0,b＞0时,函数经过一、二、四象限;k＜0,b＜0时,函数经过二、三、四象限.7. 设，，，则a,b,c之间的关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调增，因为，则，综上所述选A．考点：1.对数函数;2.幂函数的单调性8. 函数的零点所在的大致区间是A. （1，2）B.C.D. 和（3，4）【答案】C【解析】函数单调递增，且有.所以函数有一个零点在区间内.故选C.点睛：本题主要考查了函数的零点与方程的关系;分段函数的应用等知识点. 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：要求函数在上是连续的曲线，且.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9. 奇函数的定义域为，若当时，的图象如下图，则不等式的解是_________【答案】【解析】由于奇函数关于原点对称,故函数(x)在定义域为[−5,5]的图象如图由图象知不等式f(x)<0的解集是，故答案为：.10. 函数，则_________【答案】【解析】试题分析：由知．考点：分段函数11. 若函数在（]上单调递减，则p的取值范围是________【答案】【解析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为.在（]上单调递减，在单调递增.所以，解得.答案为.12. 的值是_____________。
2017-2018北京西城师大二附高三上期中【文】数学真题卷
北京师大二附中2017—2018学年度高三年级（文科）期中数学一、选择题（共8小题；共40分）1．若集合{21}A x x =-<<，{1B x x =<-或3}x >，则A B = （）．A ．{21}x x -<<-B ．{23}x x -<<C ．{11}x x -<<D ．{13}x x <<【答案】A 【解析】∵集合{21}A x x =-<<，{1B x x =<-或3}x >， ∴{21}A B x x =-<<- ．故选A ．2．函数()lg(63)f x x -的定义域为（）．A ．(,2)-∞B ．(2,)∞+C ．[1,2)-D ．[1,2]-【答案】C【解析】要使函数()lg(63)f x x -有意义，则10630x x +⎧⎨->⎩≥，解得12x -<≤， ∴函数()y f x =的定义域为[1,2)-．故选C ．3．设a ，b ，c ∈R ，且a b >，则（）．A ．ac bc >B ．11a b <C ．22a b >D ．33a b >【答案】D【解析】A 项，当0c ≤时，若a b >，则ac bc ≤，故A 错误；B 项，当1a =，2b =-时，满足a b >，但11a b>，故B 错误； C 项，当1a =-，2b =-时，满足a b >，但22a b <，故C 错误； D 项，由3y x =在R 上单调递增知，当a b >时，33a b >，故D 正确．故选D ．4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a =（）．A ．1±B ．2±C ．4±D ．8±【答案】C【解析】抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则22a =，解得4a =±． 故选C ．5．已知实数x ，y 满足020x y x y -⎧⎨-⎩≥≤+，则2y x -的最大值是（）． A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由2z y x =-，得1122y x z =+，平移直线1122y x z =+， 由图可知，当直线1122y x z =+经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大． 由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ，此时max 2111z =⨯-=． 故选C ．6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）．A． B． C． D ．2【答案】B【解析】根据三视图，在棱长为2的正方体做出四棱锥P ABCD -，如图所示，易知最长的棱为PA ，且PA故选B ．7．等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（）．俯视图正（主）视图侧（左）视图C BADPA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在等比数列{}n a 中，若14a a <，即311a a q <，10a >，则31q >，即1q >，从而2531a q a =>，即“35a a <”成立，故充分性成立； 反之，等比数列1，2-，4，8-，16满足35a a <，但14a a <不成立，故必要性不成立，所以“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件．故选A ．8．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（）．A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案【答案】D【解析】设获一等奖和二等奖的人数分别为x ，(,*)y x y ∈N ，由题意得201020032x y x y x +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，解得24x ≤≤，616y ≤≤，故x 取2，3，4．故最多可以购买4份一等奖奖品，故A 正确；y 可取6，7，8， ，16，最多可以购买16份二等奖品，故B 正确；购买奖品至少要花费220610100⨯+⨯=元，故C 正确；当2x =时，y 有6，7，8，9， ，16，共有11种．当3x =时，y 有9，10， ，14，共有6种．当4x =时，y 有12，共1种．所以共有116118=++种不同的购买奖品方案，故D 错误．故选D ．二、填空题（共6小题，共30分）9．已知tan 2α=，则2sin cos sin cos αααα-=+__________． 【答案】1【解析】由于tan 2α=，则2sin cos 2tan 12211sin cos tan 121αααααα-⨯-⨯-===+++．10．若2()40f x ax ax =--<恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(16,0]-【解析】当0a =时，()40f x =-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，2()40f x ax ax =--<恒成立，则20160a a a <⎧⎨∆=<⎩+，解得：160a -<<．综上所述，160a -<≤，即实数a 的取值范围是(16,0]-．11．方程lg 4x x =+的根0(,1)x k k ∈+，其中k ∈Z ，则k =__________．【答案】3【解析】令()lg 4f x x x =-+，则由题意0()0f x =，且()f x 在(0,)∞+上单调递增．∵(1)lg11430f =-=-<+，(2)lg220f =-<，(3)lg310f =-<，(4)lg40f =>，由零点存在定理可知0(3,4)x ∈，故3k =．12．已知圆C 的圆心是直线10x y -=+与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y =++相切，则圆C 的方程为__________．【答案】22(1)2x y =++【解析】∵圆C 的圆心是直线10x y -=+与x 轴的交点，∴令10x y -=+中0y =，得1x =-，即圆心为(1,0)-．又∵圆C 与直线30x y =++相切，∴圆C 到直线30x y =++的距离d r =，即r = 故圆C 的方程为22(1)2x y =++．13．在ABC △中，点D 在BC 边上，且23CD CB = ，CD r AB sAC = +，则r s =+__________． 【答案】0 【解析】∵23CD CB = ，∴222()333CD AB AC AB AC =-=- ． 又CD r AB sAC = +，∴23r =，23s =-，故0r s =+．14．某同学对函数()cos f x x x =进行研究后，得出以下四个结论：①函数()y f x =的图象是轴对称图形；②对任意实数x ，()||f x x ≤恒成立；③函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数()y f x =的图象与直线y x =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等．其中正确的序号是___________．(请写出所有正确解困序号)．【答案】②④【解析】对于①，∵()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，∴函数()f x 是奇函数．∴函数()y f x =的图象关于原点对称，是中心对称图形，不是轴对称图形，故①错误；对于②，∵cos [1,1]x ∈-，∴()cos ||f x x x x =≤对任意实数x 恒成立，故②正确；对于③，令()cos 0f x x x ==，得0x =或ππ2x k =+，可得()f x 的图象与x 轴有无穷多个公共点，但相邻交点的距离可能不相等，故③错误；对于④，令()cos f x x x x ==，得cos 1x =，从而2πx k =，()k ∈Z ，故()f x 的图象与y x =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离等于2π，故④正确．综上所述，正确结论的序号是②④．15．已知等差数列{}n a 满足1210a a =+，432a a -=．（1）求{}n a 的通项公式．（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？【答案】【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由1210a a =+，432a a -=可知， 12102a d d =⎧⎨=⎩+，∴14a =，2d =， ∴42(1)22n a n n =-=++．（2）设等比数列{}n b 的公比为q ．∵238b a ==，3716b a ==，∴121816b q b q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得142b q =⎧⎨=⎩， ∴561432128b b q =⋅=⨯=，令22128n =+，得63n =．故6b 与数列{}n a 中的第63项相等．16．已知函数2()cos 222x x x f x ． （1）求()f x 的最小正周期．（2）求()f x 在区间[π,0]-上的最小值．【答案】【解析】（1）2()cos 222x x x f xcos )x x -x xπsin 4x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+， ∴()f x 的最小正周期2πT =．（2）当π0x -≤≤时，3πππ444x -≤≤+，∴π1sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤+，∴π1sin 04x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤+，即1()0f x --≤， ∴()f x 在区间[π,0]-上的最小值为1-．17．在ABC △中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos b A B ． （1）求角B ．（2）若b =ac 的最大值．【答案】【解析】（1）因为sin cos b A B，则由正弦值定理可得sin sin cos B A A B ， 由于sin 0A ≠，所以sin B B，即tan B =又0πB <<， ∴π3B =． （2）∵b =π3B =， ∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =-+，即2212a c ac =-+．∵222a c ac ≥+，∴22122a c ac ac ac =--≥+，即12ac ≤，当且仅当a c == 故ac 的大值为12．18．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD DC CB a ===，60ABC ∠=︒．平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AF a =，点M 在线段EF 上．（1）求证：BC AM ⊥．（2）试问当AM 为何值时，AM ∥平面BDE ？证明你的结论．（3）求三棱锥A BFD -的体积．【答案】【解析】（1）证明：由题意知，梯形ABCD 为等腰梯形，且2AB a =，AC =， ∴222AC BC AB =+，∴AC BC ⊥．又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACEF ．又AM ⊂平面ACEF ，∴BC AM ⊥．MDBC EF A NA FEC BDM（2）当AM =时，AM ∥平面BDE ．证明如下：当AM =时，可得FM =，故EM ． 在梯形ABCD 中，设AC BD N = ，连结EN ．由已知可得:1:2CN NA =，所以AN =，故EM AN =． 又EM AN ∥，∴四边形ANEM 是平行四边形，∴AM NE ∥．又NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．故当AM =时，AM ∥平面BDE ． （3）由已知可得ABD △的面积2S =，故231133A BFD F ABD ABD V V S AF a --==⨯⨯=⨯=△．19．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程． （2）是否存在与椭圆C 交于A ，B 两点的直线:()l y kx m k =∈R +，使得|2||2|OA OB OA OB =- +成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b=>>+，半焦距为c , 依题意有121c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩，解得：2a =，1c =，∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程是：22143x y =+． （2）存在直线l ，使得|2||2|OA OB OA OB =- +成立，理由如下： 设直线l 的方程为：y kx m =+， 由22143y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++得222(34)84120k x kmx m -=+++． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-->+，化简得：2234k m ≥+．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834km x x k -=++，212241234m x x k -=+． 若|2||2|OA OB OA OB =- +成立，则22|2||2|OA OB OA OB =- +，化简得0OA OB ⋅= ， ∴12120x x y y =+．即1212()()0x x kx m kx m =+++，∴221212(1)()0k x x km x x m =+++++，222224128(1)03434m km k km m k k -⋅-⋅=++++， 化简得2271212m k =+． 将227112k m =-代入2234k m >+中，得：22734112m m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭+，整理得234m >． 又由227121212m k =≥+，得2127m ≥，∴2127m ≥，解得m 或m ≤，故实数m 的取值范围是,⎛⎫-∞∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭+．20．已知函数2e ()(0)xa f x a x=≠． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间．（2）设2()()ln g x f x x x=--，若()g x 在区间(0,2)上有两个极值点，求实数a 的取值范围． 【答案】【解析】（1）当1a =时，2e ()x f x x =，3e (2)()x x f x x-'=， 令()0f x '>，解得2x >或0x <；令()0f x '<，解得02x <<， ∴()f x 的单调增区间是(,0)-∞和(2,)∞+，单调减区间是(0,2)．（2）由题意知，22e 2()()ln ln x a g x f x x x x x x=--=--，(0,2)x ∈， ∴3(2)(e )()x x a x g x x --'=，(0,2)x ∈． 若()g x 在区间(0,2)上有两个极值点，则()e x h x a x =-在(0,2)有2个实数根， 即e x x a =在(0,2)有2个实数根，即y a =与e xx y =的图象有2个交点． 设()e x x F x =，(0,2)x ∈，则1()e x x F x -'=，(0,2)x ∈． ∴当(0,1)x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增，当(1,2)x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减， ∴()F x 在(0,2)上的最大值为1(1)e F =． 又(0)0F =，22(2)e F =， ∴要使方程e x x a =有两个不等实根，则221e ea <<． 故若()g x 在区间(0,2)上有两个极值点，则实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
北京大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
图象的画法．依据阅读材料1 ，请写出 5 个不同类型的初等函数的解析式，并且注明其定义域． （1）__________；（ 2 ）__________；（ 3 ）__________；（ 4 ）__________；（ 5 ）__________．
【答案】（1 ） y = 2x +1 ， x R ；（ 2 ） y = x2 + x +1， x R ；（ 3 ） y = 2x ， x R ；（ 4 ） y = log2 x ， x (0,+) ；（ 5 ） y = x3 ， x R ．
【解析】一次函数为 y = ax + b(a 0) ，定义域是 R ；二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) ，定义域是 R ；
指数函数 y = ax （ a 0 且 a 1），定义域是 R ；对数函数 y = loga x ，定义域是 (0, +) ；
幂函数
y
=
xa
．常见的幂函数有
二、（共计 29 分，附加题 8 分）有关函数的图象以及函数图象的变换（教材 61 页探索与研究的拓展）． 已知函数： （1 ） f (x) = x2 ， f1(x) = (x +1)2 ， f2 (x) = (x −1)2 ， f3 (x) = x2 +1 ， f4 (x) = x2 −1 ． （ 2 ） g(x) = 2x ， g1(x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x−1 ， g4 (x) = 2x −1 ． 依据上述条件，完成下列问题：
【解析】某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x 1,2,3,4,5) 2 个笔记本需要 y 元，则 y = 5x ，x 1,2,3,4,5 ．
【精品】2017-2018学年北京师大附中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，则（）A．N?M B．M∪N=M C．M∩N={2}D．M∩N={0，2}2．（4分）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A．a=﹣1或3 B．a=﹣1 C．a＞3或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜33．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．g（x）=﹣2x C．h（x）=﹣3x+1 D．4．（4分）给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（4分）函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（0，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）6．（4分）函数y=ax2+bx与y=ax+b，（ab≠0）的图象只能是（）A．B．C．D．7．（4分）设a=，b=，c=lg，则a，b，c之间的关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是．10．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．11．（4分）若函数f（x）=x2+px+3在（﹣∞，1]上单调递减，则p的取值范围是．12．（4分）log425﹣2log410+log45?log516的值是．13．（4分）函数f（x）=的定义域为．14．（4分）计算：=．三、解答题：请写出解题步骤（共24分）15．（6分）已知函数的定义域为A，g（x）=x2+1的值域为B．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求A∩（?U B）16．（6分）已知集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}（1）若A∩B=?，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．17．（6分）计算：．18．（6分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c最小值为﹣1，且f（2﹣x）=f（2）+f （x）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，求m的取值范围．2017-2018学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，则（）A．N?M B．M∪N=M C．M∩N={2}D．M∩N={0，2}【分析】由M与N求出两集合的并集，交集，并判断出包含关系即可．【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，∴M∪N={﹣2，0，1，2，3，4}；M∩N={0，2}，N?M，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A．a=﹣1或3 B．a=﹣1 C．a＞3或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜3【分析】分类讨论，二次项系数等于0时，二次项系数不等于0时，两种情况进行分析．【解答】解：若a2﹣2a﹣3≠0，则f（x）为二次函数，定义域和值域都为R是不可能的．若a2﹣2a﹣3=0，即a=﹣1或3；当a=3时，f（x）=1不合题意；当a=﹣1时，f（x）=﹣4x+1符合题意．故选：B．【点评】本题考查函数的值域和定义域，体现分类讨论的数学思想方法．3．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．g（x）=﹣2x C．h（x）=﹣3x+1 D．【分析】f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，g（x）=﹣2x、h（x）=﹣3x+1和s（x）在区间（0，+∞）上都是减函数．【解答】解：在A中，f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，故A正确；在B中，g（x）=﹣2x在区间（0，+∞）上是减函数，故B错误；在C中，h（x）=﹣3x+1在区间（0，+∞）上是减函数，故C错误；在D中，s（x）在区间（0，+∞）上是减函数，故D错误．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断，考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（4分）给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．【解答】解：∵，∴是奇函数；∵定义域不关于原点对称，∴不是奇函数；∵（﹣x）3+1≠﹣（x3+1），∴不是奇函数；函数的定义域为{x|x≠0}，=，∴是奇函数综上，奇函数的个数为2个故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判定，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（4分）函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（0，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【分析】由题意根据函数的单调性的定义可得2m＞﹣m+9，由此解得m的范围．【解答】解：∵函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），∴2m＞﹣m+9，解得m＞3，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．6．（4分）函数y=ax2+bx与y=ax+b，（ab≠0）的图象只能是（）A．B．C．D．【分析】从直线的斜率与截距入手，找出ab的符号，再验证抛物线的对称轴是否适合．【解答】解：A、B中，从直线上看，a、b为正值，∴抛物线的对称轴为＜0，故AB不符合；C、D中，从直线上看，a＜0，b＞0，∴＞0，C，D都适合，但是点（，0）都适合y=ax2+bx与y=ax+b，∴两个函数的图象都过点（，0），只有D适合．故选：D．【点评】本题主要考查函数图象与函数的性质，常见的一次函数与二次函数的性质要熟记．7．（4分）设a=，b=，c=lg，则a，b，c之间的关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c【分析】分别根据幂函数的单调性和对数函数的性质计算出a，b，c的取值范围即可得到结论．【解答】解：∵幂函数y=x在定义域上单调递增，∴，即b＞a＞0，∵c=lg＜0，∴c＜a＜b．故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用幂函数的单调性和对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．8．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）【分析】判断函数的单调性以及函数的连续性，利用零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数是单调增函数，也连续函数，因为f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，可得f（2）f（3）＜0，所以函数的零点所在区间为（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，注意函数的单调性与连续性的判断．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5} ．【分析】由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象，结合图象解题．【解答】解：由奇函数图象的特征可得f（x）在[﹣5，5]上的图象．由图象可解出结果．故答案为{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．【点评】本题是数形结合思想运用的典范，解题要特别注意图中的细节．10．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【分析】先求，，故代入x＞0时的解析式；求出=﹣2，，再求值即可．【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查分段函数的求值问题，属基本题．求f（f（a））形式的值，要由内而外．11．（4分）若函数f（x）=x2+px+3在（﹣∞，1]上单调递减，则p的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】求出二次函数的对称轴方程，由二次函数的减区间，可得在对称轴的右边，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x2+px+3在的对称轴为x=﹣，在（﹣∞，﹣]递减，由题意可得﹣≥1，解得p≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查二次函数的性质：单调性，考查运算能力，属于基础题．12．（4分）log425﹣2log410+log45?log516的值是1．【分析】利用对数、运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：log425﹣2log410+log45?log516=+=﹣1+2=1．故答案为：1．【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、是基础题．13．（4分）函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1} ．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，且分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，得0＜x≤2且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．14．（4分）计算：=5．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．三、解答题：请写出解题步骤（共24分）15．（6分）已知函数的定义域为A，g（x）=x2+1的值域为B．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求A∩（?U B）【分析】（1）利用函数的定义域能求出集合A，利用函数g（x）=x2+1的值域能求出集合B．（2）由A={x|﹣1≤x＜2}，B={y|y≥1}，求出C U B={y|y＜1}，由此能求出A∩（C U B）．【解答】解：（1）∵函数的定义域为A，∴A={x|}={x|﹣1≤x＜2}，∵g（x）=x2+1的值域为B．∴B={y|y=x2+1}={y|y≥1}．（2）∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={y|y≥1}．∴C U B={y|y＜1}，A∩（C U B）={x|﹣1≤x＜1}．【点评】本题考查集合的求法，考查补集、交集的求法，考查函数性质、交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（6分）已知集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}（1）若A∩B=?，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．【分析】（1）求出B={x|x≥3或x≤﹣2}，由A∩B=?，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，当A≠?时，列出不等式组，由此能求出a的取值范围．（2）由A∪B=B，A?B，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，A≠?时，或，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}={x|x≥3或x≤﹣2}，A∩B=?，∴当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，解得a≥1，当A≠?时，，解得﹣．综上，a的取值范围是[﹣，+∞）．（2）∵A∪B=B，∴A?B，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，解得a≥1，A≠?时，或，解得a≤﹣．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．（6分）计算：．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：==第11页（共12页）。
北京师范大学第二附属中学2017届高三上学期期中考试数学文试题 含答案
北京师大二附中2016-—2017学年度第一学期期中高三数学（文）科试题班级：姓名:学号：一、选择题（共8小题，共40分) 1. 复数21ii-等于 ( ）A.B 。
C.D 。
2。
若{}2,3,4A =，{},,,B x x n m n A m A m n ==⋅∈∈≠，则集合B 的元素个数为()A ．2B ．3C ．4D ．53。
已知向量(2,4),(1,1)==-a b ，则2-=a b （） A ．()3,9 B ．()5,9 C ．()3,7 D ．()5,74。
为了得到函数sin 2y x =的图象，可以将函数sin(2)6y x π=-的图象（）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位5.已知nS 是等差数列}{na 的前n 项和,且11635S S =+，17S 则的值为（）A ．117B ．118C ．119D ．1206。
已知某几何体的三视图如图所示， 其中正(主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()A ．243π-B ．3242π- C ．24π- D ．242π- 7.已知,,0a b R t ∈>，下列四个条件中，使a b >成立的必要不充分条件是（）A ．a b t >-B ．a b t >+C ．a b >D ．44ab >8.不等式组0013x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩的解集记为D ，下面有四个命题： 1:(,)P x y D ∀∈，则21x y -≥-2:(,)P x y D ∃∈，则22x y -<- 3:(,)P x y D ∀∈，则27x y ->4:(,)P x y D ∃∈，则25x y -≤其中正确．．命题是（）A ．23,P P B ．12,P P C ．13,P P D ．14,P P二、填空题(共6小题，共30分） 9. 幂函数的图象过点，则此幂函数的解析式是．10。
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2017-2018学年北京师大二附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5} 2．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．{x|x＞﹣1} 3．（5分）下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=log3（﹣x）4．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3}B．{5}C．{1，2，4}D．{0，4，5}5．（5分）设函数y=log2x﹣1与y=22﹣x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f （x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）7．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣3，0]D．[﹣3，1]8．（5分）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（）①f（x）=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”；③“λ～特征函数”至少有一个零点；④f（x）=e x是一个“λ～特征函数”．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题；共30分）9．（5分）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是．10．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由如表给出：则当f[g（x）]=2时，x=．11．（5分）函数f（x）=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点．12．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=．13．（5分）已知函数f（x）=2ax2+2x﹣3 在x∈[﹣1，1]上恒小于零，则实数 a 的取值范围为．14．（5分）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若，则．则（1）f（4）=；（2）f（n）的解析式（用n表示）f（n）=．三、解答题（共6小题；共80分）15．若集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．16．已知设函数f（x）=log a（1+2x）﹣log a（1﹣2x）（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．17．定义在[﹣4，4]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣4，0]时，f（x）=+（a∈R）．（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；（2）若x∈[﹣2，﹣1]时，不等式f（x）≤﹣恒成立，求实数m的取值范围．18．某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f（x）表示学生注意力指标，该小组发现f（x）随时间x（分钟）的变化规律（f（x）越大，表明学生的注意力越集中）如下：（a＞0，a≠1）若上课后第5 分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由．（Ⅲ）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？19．设a∈R，函数f（x）=|x2+ax|（1）若f（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围；（2）记M（a）为f（x）在[0，1]上的最大值，求M（a）的最小值．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．2017-2018学年北京师大二附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题；共40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．2．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．{x|x＞﹣1}【分析】函数的定义域是：，由此能求出结果．【解答】解：函数的定义域是：，解得{x|x＜﹣1或x＞}．故选：A．【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要认真审题，注意对数的真数大于零，分母不等于零．3．（5分）下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=log3（﹣x）【分析】根据奇函数的定义与函数的单调性对四个选项逐一判断，不难得出答案．【解答】解：A中的函数是指数函数，不符合题意；B中的函数在定义域内不具有单调性，故不对；C中的函数是奇函数，且在定义域内是减函数，是正确选项；D中的函数定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，解题关键根据每个函数的解析式研究其定义域的对称性及函数图象的对称性以及函数的单调性是否是递减的性质．4．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3}B．{5}C．{1，2，4}D．{0，4，5}【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4，5}，（A∪B）={0，4，5}．∴∁∪故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．5．（5分）设函数y=log2x﹣1与y=22﹣x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】设函数f（x）=（log2x﹣1）﹣（22﹣x），由f（2）＜0，f（3）＞0，得出f（x）在（2，3）内有零点，即得出结论．【解答】解：设函数f（x）=（log2x﹣1）﹣（22﹣x），则f（2）=1﹣1﹣1=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1﹣=log23﹣=log2＞0，所以函数f（x）在（2，3）内有零点，即函数y=log2x﹣1与y=22﹣x的图象交点为（x0，y0）时，x0所在区间是（2，3）．故选：C．【点评】本题考查了对数函数的化简与运算问题，也考查了函数零点的应用问题，是基础题目．6．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f （x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）【分析】根据y=f（x+8）为偶函数，则f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又f（x）在（8，+∞）上为减函数，故在（﹣∞，8）上为增函数，故可得答案．【解答】解：∵y=f（x+8）为偶函数，∴f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，∴f（x）在（﹣∞，8）上为增函数．由f（8+2）=f（8﹣2），即f（10）=f（6），又由6＜7＜8，则有f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10）．故选：D．【点评】本题主要考查偶函数的性质．对偶函数要知道f（﹣x）=f（x）．7．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣3，0]D．[﹣3，1]【分析】①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2﹣3x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+3x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣3x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣3，即a≥﹣3．综上可得，a的取值为[﹣3，0]，故选：C．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．8．（5分）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（）①f（x）=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”；③“λ～特征函数”至少有一个零点；④f（x）=e x是一个“λ～特征函数”．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用新定义“λ～特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案【解答】解：对于①，设f（x）=C是一个“λ～特征函数”，则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ～特征函数”，故①不正确；对于②，∵f（x）=2x+1，∴f（x+λ）+λf（x）=2（x+λ）+1+λ（2x+1）=0，即2（λ+1）x=﹣2λ﹣λ，∴当λ=﹣1时，f（x+λ）+λf（x）=﹣2≠0；λ≠﹣1时，f（x+λ）+λf （x）=0有唯一解，∴不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，∴f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”，故②正确；对于③，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“λ～特征函数”必有根，即任意“λ～特征函数”至少有一个零点，故③正确．对于④，假设f（x）=e x是一个“λ～特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有eλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=e x是“λ～特征函数”，故④正确故结论正确的是②③④，故选：C．【点评】本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ～特征函数的概念是关键，属于中档题二、填空题（共6小题；共30分）9．（5分）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．10．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由如表给出：则当f[g（x）]=2时，x=3．【分析】利用函数的定义即可得出．【解答】解：由表格可知：f（1）=2，∵f[g（x）]=2，∴g（x）=1，而g（3）=1，∴x=3．故答案为3．【点评】本题考查了函数的定义，属于基础题．11．（5分）函数f（x）=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，1）．【分析】由于结合对数函数y=log a x恒过定点（1，0）可求函数f（x）=log a（x﹣1）+1恒过定点【解答】解：由于对数函数y=log a x恒过定点（1，0）而函数f（x）=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，1）故答案为：（2，1）【点评】本题主要考查了利用对数函数过定点（1，0）的应用，解题的关键是对函数的图象的平移．12．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=27．【分析】用待定系数法求出幂函数y=f（x）的解析式，再计算f（9）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，a∈R，且图象过点，∴2a=2，解得a=，∴f（x）=；∴f（9）==27．故答案为：27．【点评】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．13．（5分）已知函数f（x）=2ax2+2x﹣3 在x∈[﹣1，1]上恒小于零，则实数 a 的取值范围为（﹣∞，）．【分析】通过讨论a的值，判断函数是一次函数还是二次函数，分别根据一次函数、二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：①a=0时，函数f（x）=2x﹣3是增函数，而f（1）=﹣1＜0，∴函数f（x）=2ax2+2x﹣3在x∈[﹣1，1]上恒小于零；②a≠0时，函数f（x）是二次函数，若函数f（x）=2ax2+2x﹣3在x∈[﹣1，1]上恒小于零，则只需，解得：0＜a＜，或，解得：a＜﹣，或，解得：﹣＜a＜0，或无解，综上：a＜，故答案为：（﹣∞，）【点评】本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．14．（5分）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若，则．则（1）f（4）=4；（2）f（n）的解析式（用n表示）f（n）=．【分析】（1）当n=4 时，P4={1，2，3，4}，由此能求出f（4）．（2）任取偶数x∈P n，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m，从而x=m⋅2k，x 是否属于 A 由m 是否属于A 确定．设Q n是P n中所有奇数的集合，则f（n）等于Q n的子集个数．由此能求出结果．【解答】解：（1）当n=4 时，P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A 为{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故f（4）=4．（2）任取偶数x∈P n，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m⋅2k，其中m 为奇数，k∈N*．由条件知，若m∈A，则x∈A等价于k为偶数；若m∉A，则x∈A等价于k为奇数．于是x 是否属于 A 由m 是否属于 A 确定．设Q n是P n中所有奇数的集合，因此f（n）等于Q n的子集个数．当n 为偶数（或奇数）时，P n中奇数的个数是（或），所以，故答案为：4，．【点评】本题考查函数值及函数解析式的求法，考查集合、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（共6小题；共80分）15．若集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据集合的基本运算求A∪B，即可求（∁U B）∩A；（2）根据A∩B=A，建立条件关系即可求实数m的取值范围．【解答】解集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x﹣m＜0}．（1）当m=3时，由x﹣m＜0，得x＜3，∴B={x|x＜3}，∴U=A∪B={x|x＜4}，那么∁U B={x|3≤x＜4}．∴A∩（∁U B）={x|3≤x＜4}．（2）∵A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜m}，∵A∩B=A，∴A⊆B，故：m≥4．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．16．已知设函数f（x）=log a（1+2x）﹣log a（1﹣2x）（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．【分析】（1）根据对数函数的性质建立不等式关系进行求解即可（2）根据函数奇偶性的定义进行证明（3）讨论a的取值范围，结合对数函数的单调性进行求解．【解答】解：（1）要使函数有意义，则，得，即﹣＜x＜，所以f（x）的定义域为．（2）定义域为，关于原点对称又因为f（﹣x）=log a（1﹣2x）﹣log a（1+2x）=﹣f（x）所以f（x）为奇函数．（3）f（x）＞0⇒log a（1﹣2x）﹣log a（1+2x）＞0⇒log a（1﹣2x）＞log a（1+2x），当a＞1 时，原不等式等价为：1+2x＞1﹣2x⇒x＞0，当0＜a＜1 时，原不等式等价为：1+2x＜1﹣2x⇒x＜0，又因为f（x）的定义域为，所以使f（x）＞0 的x 的取值范围，当a＞1 时为；当0＜a＜1 时为．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，结合函数成立的条件，函数的奇偶性以及对数函数的单调性是解决本题的关键．17．定义在[﹣4，4]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣4，0]时，f（x）=+（a∈R）．（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；（2）若x∈[﹣2，﹣1]时，不等式f（x）≤﹣恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的性质即可求出a，设x∈[0，4]，﹣x∈[﹣4，0]，易求f（﹣x），根据奇函数性质可得f（x）与f（﹣x）的关系；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．【解答】解：（1）f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，∴f（0）=1+a=0，∴a=﹣1，∵，设x∈[0，4]，∴﹣x∈[﹣4，0]，∴，∴x∈[0，4]时，f（x）=3x﹣4x（2）∵x∈[﹣2，﹣1]，，即即x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，∵2x＞0，∴，∵在R上单调递减，∴x∈[﹣2，﹣1]时，的最大值为，∴．【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．18．某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f（x）表示学生注意力指标，该小组发现f（x）随时间x（分钟）的变化规律（f（x）越大，表明学生的注意力越集中）如下：（a＞0，a≠1）若上课后第5 分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由．（Ⅲ）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？【分析】（Ⅰ）由题意，100•a﹣60=140，从而求a的值；（Ⅱ）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=﹣15×35+640=115，从而可得答案；（Ⅲ）分别讨论三段函数上f（t）≥140的解，从而求出f（t）≥140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当t=5时，f（t）=140，即100•a﹣60=140，解得，a=4；（Ⅱ）f（5）=140，f（35）=﹣15×35+640=115，由于f（5）＞f（35），故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；（Ⅲ）①当0＜t≤10时，由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；③当20＜t≤40时，﹣15t+640≥140，故20＜t≤，综上所述，5≤t≤，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持﹣5=分钟．【点评】本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．19．设a∈R，函数f（x）=|x2+ax|（1）若f（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围；（2）记M（a）为f（x）在[0，1]上的最大值，求M（a）的最小值．【分析】（1）分类讨论当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，运用单调性，判断求解；（2）对a讨论，分a≥0时，a＜0，再分a≤﹣2时，﹣2＜a≤2﹣2，a＞2﹣2，运用单调性，求得最大值；再由分段函数的单调性，求得最小值．【解答】解：（1）设g（x）=x2+ax，△=a2，x=﹣为对称轴，①当a=0时，g（x）=x2，∴|g（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a=0符合题意；②当a＞0时，g（0）=0，x=﹣＜0，∴|g（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a＞0，符合题意；③当a＜0时，△=a2＞0，g（0）=0，∴|g（x）|在x∈[0，﹣]上单调递增，即只需满足1≤﹣，即有a≤﹣2；∴a≤﹣2，符合题意．综上，a≥0或a≤﹣2；（2）若a≥0时，f（x）=x2+ax，对称轴为x=﹣，f（x）在[0，1]递增，可得M（a）=1+a；若a＜0，则f（x）在[0，﹣]递增，在（﹣，﹣a）递减，在（﹣a，+∞）递增，若1≤﹣，即a≤﹣2时，f（x）在[0，1]递增，可得M（a）=﹣a﹣1；若﹣＜1≤﹣a，即﹣2＜a≤2﹣2，可得f（x）的最大值为M（a）=；若1＞﹣a，即a＞2﹣2，可得f（x）的最大值为M（a）=1+a．即有M（a）=；当a＞2﹣2时，M（a）＞3﹣2；当a≤﹣2时，M（a）≥1；当﹣2＜a≤2﹣2，可得M（a）≥（2﹣2）2=3﹣2．综上可得M（a）的最小值为3﹣2．【点评】本题考查了含绝对值函数的单调性和最值的求法，考查分类讨论的思想方法，以及不等式的解法，属于综合题，有一定的难度．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x i，y i，1﹣x i不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}，．∀Y={y1，y2，…，y i，…，y n}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，x i y i，…，x n y n}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣x i y i，…1﹣x n﹣1y n﹣1，1﹣x n y n}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x k，y k，1﹣x k y k不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，z i，…，z n}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，z i，…，z n}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z k=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分下面再证明k的唯一性：若还有z t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及与集合有关的新定义，读懂题意是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。