运用“整体代入法”巧解几何图形题课堂版

小学数学教案：巧妙运用几何知识解决问题

小学数学教案：巧妙运用几何知识解决问题巧妙运用几何知识解决问题几何知识在小学数学教学中占据重要地位。

运用几何知识解决问题，不仅可以培养学生的观察力和逻辑思维能力，还可以帮助他们理解和应用数学概念。

本文将介绍一些巧妙运用几何知识解决问题的教学案例。

一、线段的拼接与分割线段是几何学中的基本概念，可以通过拼接和分割来解决一些问题。

比如，给定一根长度为10厘米的线段AB，要求将其分为3个等长的线段。

学生可以利用尺子或刻度尺沿着线段测量，然后将线段在合适的位置分割，得到三个等长的线段。

在教学中，可以引导学生发现线段的拼接与分割可以通过比较和加减运算来解决。

比如，已知线段AC的长度为5厘米，线段BD的长度为3厘米，学生可以通过计算线段AC和线段BD的长度之和，得到线段AD的长度。

二、平行线与垂直线的应用平行线和垂直线的特性在解决问题时非常重要。

比如，已知两条平行线段AB和CD，要求在这两条平行线段之间找出一条与线段AB垂直的线段EF。

学生可以利用直尺或直角尺，将直角工具的一边与线段AB重合，然后移动另一边，直到它与线段CD重合。

此时，垂直线段EF就可以确定了。

在教学中，可以通过给出平行线和垂直线的图形，引导学生观察并发现它们之间的关系。

例如，让学生观察两条平行线上任意两点的连线与这两条平行线的关系，帮助学生理解垂直线的概念。

三、三角形的性质运用三角形是几何学中的重要概念，其性质在解决问题时有着广泛的应用。

比如，已知三角形ABC，且已知其中一边AB的长度为6厘米，角C的大小为60度，要求确定三角形ABC的另外两个角的大小。

学生可以通过使用三角板或量角器，将角C的大小调整为60度，然后利用角的对边关系，测量出角A和角B的大小。

在教学中，可以通过给出不同的三角形图形，让学生猜测和验证三角形的性质。

例如，让学生观察一个直角三角形，并测量两条直角边的长度，帮助学生发现这两条直角边的平方和等于斜边的平方。

四、平行四边形的运用平行四边形是几何学中的特殊四边形，其性质在解决问题时有着独特的应用。

(完整版)整体代入法整理

“整体代入法”在数学求值中的妙用整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想(一)整式求值：【例1】已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( )A ．18B ．12C ．9D ．7 相应练习：1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（）A .﹣1B .1C .﹣5D .52、若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式221x x -+的值等于（）．A ．2B ．3C ．－2D ．43、若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=4、当x=1时，代数式x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式x 3+bx+7的值为（）A ．7B ．10C ．11D ．12（二）分式求值：例2：先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0．相应练习：1、当时，求代数式的值．2．先化简，再求值： 2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程2x 2+6x+2=0的根3．已知a 2+2a=4，求的值．4.已知x 2－2x －1=0，且x<0，则=__________．5、已知，则代数式的值为_________．二、方程(组)与不等式（组）中的整体思想【例3】已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是相应练习：1．如果(a 2+b 2) 2－2(a 2+b 2)－3=0，那么a 2+b 2=___． 2．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )A ．y 2+2y+1=0B ．y 2－2y+1=0C ．y 2+2y －1=0D ．y 2－2y －1=03、已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为4．解方程 22523423x x x x+-=+5、已知是方程一个根，求的值.6、已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m --+的值7、若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0的两个根，则x 12+x 22= ．8、已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242(1)4aa a ++⋅-的值。

代入法之整体代入法洋葱数学七年级下册

代入法是解决数学问题的一种常见方法，在数学七年级下册我们学习了整体代入法和洋葱代入法。

这两种代入法都是比较常见且实用的解题方法，能够帮助我们更深入地理解数学问题，提高解题的效率和准确性。

让我们来了解一下整体代入法。

整体代入法是解决一些多步骤、复杂的数学问题时常用的方法。

它的核心思想是将一个复杂的问题整体看待，通过一些关键的步骤或方法进行代入，从而简化问题，使其更易于求解。

这种方法适合于那些需要分步骤求解的问题，能够帮助我们更快速地找到解题的突破口，从而解决问题。

我们来看一下洋葱代入法。

洋葱代入法是一种从内而外逐步推进的解题方法，它的名字来源于洋葱的剥皮过程。

在使用洋葱代入法时，我们会先对问题进行分层分析，然后逐步进行代入，从内层向外层推进，直到解决问题。

这种方法适合于那些需要逐步推进、逐层分析的问题，能够帮助我们依次解决问题的各个部分，最终得出整体的解答。

在数学七年级下册的学习中，我们会遇到许多需要整体代入法和洋葱代入法来解决的问题。

对于一个复杂的算术题，我们可以通过整体代入法将其分解成多个简单步骤，然后逐步代入求解；对于一个需要逐步推进的几何问题，我们可以通过洋葱代入法逐层进行分析，逐步得出最终的解答。

整体代入法和洋葱代入法都是非常实用的解题方法，它们能够帮助我们更深入地理解数学问题，提高解题的效率和准确性。

当我们遇到复杂的数学问题时，可以根据问题的性质和要求选择合适的代入方法，从而更好地解决问题。

通过学习整体代入法和洋葱代入法，我们也能培养自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。

在今后的学习和工作中，这些能力和方法都将起到重要的作用，帮助我们更好地理解和解决各种问题。

在实际应用中，我个人认为整体代入法更适合用于解决复杂的算术题和函数问题，而洋葱代入法更适合用于解决几何问题和逻辑推理问题。

通过灵活运用这两种代入法，我们能更好地应对各种数学问题，提高解题的效率和准确性。

代入法是解决数学问题的一种重要方法，而整体代入法和洋葱代入法则是其中比较常见且实用的方法。

整体代入法整理.doc

“整体代入法”在数学求值中的妙用整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想( 一 ) 整式求值：2 4 6【例 1】已知代数式 x x )3x 2－ 4x+6 的值为 9，则 3 的值为 (A ． 18B ． 12C ． 9D ． 7 相应练习：1. （ 2011 盐城， 4， 3 分）已知 a ﹣b=1 ，则代数式 2a ﹣ 2b ﹣3 的值是（）A. ﹣1B. 1C. ﹣ 5 D . 52、若代数式 4x 2 2x 5 的值为 7，那么代数式 2x 2 x 1的值等于（）． A ． 2 B ．3 C ．－ 2 D ．43、若 3a 2-a-2=0, 则 5+2a-6a 2=4、当 x=1 时，代数式 x 3+bx+7 的值为 4，则当 x= － l 时，代数式 x 3+bx+7 的值为（）A ． 7B ． 10C ． 11D ． 12（二）分式求值： a 2 a 1 a 4 例 2：先化简，再求值 a 2 2a a 2 4a 4a 2 ，其中 a 满足 a 2－ 2a －1=0．相应练习：1、当时，求代数式的值．2．先化简，再求值： a 2 4 1 2 ，其中 a 是方程 2x 2+6x+2=0 的根a 2 4a 4 2 a a 2 2a1。

专题03 整体代入法(解析版)中考二轮专题复习之数学思想和方法以及常见题型满分练(全国通用)

专题03 整体代入法【规律总结】整体代入法，在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值。

有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。

【典例分析】例1、在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD. −2b【答案】B【解析】解：S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b．故选：B．利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．例2、若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为______．【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018故答案为：2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．例3、解下列各题：(1)若n满足(n−2023)(2021−n)=−6，求(n−2023)2+(2021−n)2的值．(2)已知：m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，求：m3−2mn+n3的值．【答案】解：(1)∵(n−2023)(2021−n)=−6，∴原式=(n−2023+2021−n)2−2(n−2023)(2021−n)=(−2)2−2×(−6)=4+12=16；(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，∴m2−n=2，n2−m=2，∵m≠n，∴m−n≠0，∴①−②得m2−n2=n−m∴(m−n)(m+n)=−(m−n)，∵m−n≠0，∴m+n=−1∴原式=m3−mn−mn+n3=m(m2−n)+n(n2−m)=2m +2n=2(m +n)=2×(−1)=−2．【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识．(1)将给出的代数式进行变形为(n −2023+2021−n)2−2(n −2023)(2021−n)，然后整体代入求值即可；(2)先根据m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n)，求出m +n =−1，然后将给出的代数式进行变形，最后整体代入求解即可．【好题演练】一、选择题1. 已知a +b =12，则代数式2a +2b −3的值是( ) A. 2B. −2C. −4D. −312 【答案】B 【解析】解：∵2a +2b −3=2(a +b)−3，∴将a +b =12代入得：2×12−3=−2故选：B ．注意到2a +2b −3只需变形得2(a +b)−3，再将a +b =12，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．2. 若α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为( ) A. −13B. 12C. 14D. 15【答案】B【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a，x 1x 2=c a .也考查了一元二次方程解的定义．根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=−12，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x 2−5x −1=0的实数根，∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，∵α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，∴α+β=52，αβ=−12，∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×(−12)+1=12．故选B ．3. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a ).a 2a−2的值是( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+2a −1=0，可以得到a 2+2a =1，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：(a −4a )⋅a 2a−2=a 2−4a ⋅a 2a−2=(a+2)(a−2)a ⋅a 2a−2=a 2+2a ，由a 2+2a −1=0得a 2+2a =1，故原式=1．故选C ．4.已知1x −1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是()A. −72B. −112C. 92D. 34【答案】D【解析】解：∵1x−1y=3，∴y−xxy=3，∴x−y=−3xy，则原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy=−6xy+3xy−3xy−xy=−3xy−4xy=34，故选：D．由1x −1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．5.已知x1，x2是方程x2−3x−2=0的两根，则x12+x22的值为()A. 5B. 10C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca，利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=−2，再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−2，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−2)=13．故选：D．6.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下()A. 31元B. 30元C. 25元D. 19元【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10−8x中即可求出结论．【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10=3x+5y−4，∴y=x+7，∴5x+3y+10−8x=5x+3(x+7)+10−8x=31．故选A．二、填空题7.已知ab=a+b+1，则(a−1)(b−1)=______．【答案】2【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．将ab=a+b+1代入原式=ab−a−b+1，合并即可得．【解答】解：当ab=a+b+1时，原式=ab−a−b+1=a+b+1−a−b+1=2，故答案为：2．8.将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，经过点(−2,5)，则8a−4b−11的值是______．【答案】−5【解析】解：将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，表达式为：y=ax2+bx+2，∵经过点(−2,5)，代入得：4a−2b=3，则8a−4b−11=2(4a−2b)−11=2×3−11=−5，故答案为：−5．根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(−2,5)代入，得到4a−2b=3，最后将8a−4b−11变形求值即可．本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．9.若a+b=1，则a2−b2+2b−2=______．【答案】−1【解析】解：∵a+b=1，∴a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2=a−b+2b−2=a+b−2=1−2=−1．故答案为：−1．由于a+b=1，将a2−b2+2b−2变形为a+b的形式，整体代入计算即可求解．本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用．10.若实数x满足x2−2x−1=0，则2x3−7x2+4x−2017=______．【答案】−2020【解析】【分析】把−7x2分解成−4x2与−3x2相加，然后把所求代数式整理成用x2−2x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．【解答】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，2x3−7x2+4x−2017=2x3−4x2−3x2+4x−2017，=2x(x2−2x)−3x2+4x−2017，=6x−3x2−2017，=−3(x2−2x)−2017=−3−2017=−2020，故答案为−2020．11.已知|x−y+2|+√x+y−2=0，则x2−y2的值为________．【答案】−4【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0.由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可．【解答】解：∵|x−y+2|+√x+y−2=0，∴x−y+2=0，x+y−2=0，即x−y=−2，x+y=2，∴x 2−y 2=(x +y)(x −y)=2×(−2)=−4，故答案为−4．12. 已知m +n =3mn ，则1m +1n 的值为______．【答案】3【解析】【试题解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+n mn 是解题的关键．原式通分后可得出m+n mn ，代入m +n =3mn 即可求出结论．【解答】解：原式=1m +1n =m+n mn ，又∵m +n =3mn ，∴原式=m+n mn =3．故答案为：3．三、解答题13. 已知x =√2+1，y =√2−1，分别求下列代数式的值；(1)x 2+y 2；(2)y x +x y ．【答案】解：(1)∵x =2+1=√2−1，y =2−1=√2+1，∴x −y =−2，xy =2−1=1，∴x 2+y 2=(x −y)2+2xy =(−2)2+2×1=6；(2)∵x 2+y 2=6，xy =1，∴原式=x 2+y 2xy =61=6．【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．(1)先将x 、y 进行分母有理化，得到x =√2−1，y =√2+1，再求出x −y 与xy 的值，然后根据完全平方公式得出x 2+y 2=(x −y)2+2xy ，再整体代入即可；(2)将所求式子变形为x 2+y 2xy ，再整体代入即可．14. 阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组{x −y −1=0, ①4(x −y)−y =5. ②由①得x −y③，把③代入②，得4×1−y =5．解得y =−1．把y =−1代入③，得x =0．∴{x =0y =−1这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组{2x −3y −2=0,①2x−3y+57+2y =9．②．【答案】解：由①得：2x −3y =2③，将③代入②得：1+2y =9，即y =4，将y =4代入③得：x =7，则方程组的解为{x =7y =4．【解析】由第一个方程求出2x −3y 的值，代入第二个方程求出y 的值，进而求出x 的值，即可确定出方程组的解．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15. 阅读材料，善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2(2x +5y)+y =5③把方程①代入③得2×3+y =5∴y =−1把y =−1代入①得x =4∴方程组的解为{x =4y =−1请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5 ①9x −4y =19② (2)已知x 、y 满足方程组{5x 2−2xy +20y 2=822x 2−xy +8y 2=32，求x 2+4y 2的值；【答案】解：(1)由②得：3x +6x −4y =19，即3x +2(3x −2y)=19③，把①代入③得：3x +10=19，即x =3，把x =3代入①得：y =2，则方程组的解为{x =3y =2； (2)由5x 2−2xy +20y 2=82得：5(x 2+4y 2)−2xy =82，即x 2+4y 2=82+2xy 5，由2x 2−xy +8y 2=32得：2(x 2+4y 2)−xy =32，即2×82+2xy 5−xy =32，整理得：xy =4，∴x 2+4y 2=82+2xy 5=82+85=18．【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；(2)方程组第一个方程变形表示出x 2+4y 2，第二个方程变形后代入求出xy 的值，进而求出x 2+4y 2的值．16. (1)已知x 3⋅x a ⋅x 2a+1=x 31求a 的值；(2)若n 为正整数，且x 2n =4，求(3x 3n )2−4⋅(x 2)2n 的值。

201X春七年级数学下册第1章《二元一次方程组》微专题2 巧解二元一次方程组习题湘教版

整理课件
2
专题训练类型 1 用整体代入法解二元一次方程组 1. 解方程组32x（＋32xy＋＝25yx）＋＝2， 11x＋7.
解：xy＝＝－－23.，(把 3x＋2y 看作整体，直接代入)
整理课件
3
类型 2 用整体加减法解方程组或求值
2. 方程组abxx＋＋bayy＝＝45，的解是yx＝＝12，，则 a＋b＝
6. 解方程组xx23－＋12yy＝＝174，时，若设1x＝m，1y＝n，则原方程组可变形为关于 m，n 的方程组32mm＋－2nn＝＝147，，解这个方程组可得到它的解为mn＝＝－5，4.由1x＝5，1y＝－4，求
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7
得
原
方
程组Biblioteka 的解为x＝15， y＝－14.
利
用
上
述
方
法
解
方
程
组
5x＋2y＝11，
微专题2 巧解二元一次方程组
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1
专题解读 1．解二元一次方程组的常用方法是代入法和加减法，这两种方程有着不同的适用范围． 2．解二元一次方程组除以上两种方法外，还有一些特殊解法．如：整体代入法、整体加减法、设辅助元法、换元法等，因此解方程组时不要急于求解，要先观察方程组的特点，因题而异，灵活选择方法，才能事半功倍．
(D )
A．1
B．－1
C．－3
D．3
3. (2018·舟山区三模)如果实数 x，y 满足方程组
2xx＋－y＝2y＝4，1，那么 x2－y2＝_2_．
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4
4. 解方程组33yx－＋42（（xx＋＋yy））＝＝5－. 1，②①
解：把方程①和②整体相加，得 x＋y＝4.③ 分别把③代入①和②，得 x＝－3，y＝7，所以原方程的解为xy＝＝7－. 3，

07 利用整体代入思想解题

∴
点评：本题三次构造，然后用替换，逐渐靠近答案，难度升级【难度】较难
10．已知是方程一个根，求的值．【答案】2015 【解析】试题分析：
把已知方程变形求出与，代入所求代数式，即可求解．
试题解析：解：∵是方程一个根
∴ ∴，
【难度】较难
（整体加减） 11．已知，则【答案】12 【解析】试题分析：已知因式分解得，而，故即可得解．试题解析：解：由得
∴ 故选B．【难度】较易
类型三函数与图象中的整体思想
19．已知与成正比例（1）试说明是的一次函数；（2）如果时，，时，，求与的函数关系式．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）我们把与都看成一个整体，设，得出从而说明是的一次函数（2）当我们把握两组数值代入解析式中后得到一个三元二次方程组，显然不能求出每个未知数的值，但我们可以把看作一个整体，就可以求出，，从而求出与的函数关系式是，在这个问题中两次用到整体思想．试题解析：解：（1）∵与成正比例，
∴设整理得 ∵是常数，且 ∴是的一次函数．（2）解：当时，；时，，解得这个函数的解析式
【难度】一般
类型四几何与图形中的整体思想
（整体转换）
【例题9】如图，
．
【答案】【解析】试题分析：
由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将视为一个整体，那么应与△中外角相等，同理，分别与，相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．试题解析：解：如图，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角和
类型三函数与图象中的整体思想
【例题8】已知和成正比例（其中、是常数）（1）求证：是的一次函数；（2）如果时，；时，，求这个函数的解析式．【答案】

七年级数学思想方法讲解之整体代入法

的值为______.
3
• 2.若3a-2b=9，则代数式 1 b 3 a 2 的
值是_____.
24
• 3、如图，在高2米，底为3米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少需___米。
• 4、若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需11元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需____元。
2
三、转化所求式后再代入
• 例3、若 x2 3x 6，则 6x 2x2 ____
例4、2x2 3x 7的值为8，则 4x2 6x 9
• 例5、已知-x+2y=6，求3（x-2y）²-5(x-2y)+6的值。
练习
1.已知 x2 x y ，则方程 x2 x2 2 x2 x 1 0
可变形为
()
A．y2 2y 1 0 B．y2 2 y 1 0 C．y2 2 y 1 0 D．y2 2 y 1 0
• 2.已知a2 2a 3 0，求代数式
3a2 6a 1 的值．
3.若 3a2 a 2 0 ，则 5 2a 6a2 ___
四、同时转化所求式和已知式，寻找共同式子
4.(绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1 支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．
五、整体代换，拆项法混合使用 1、已知m²-m-1=0，求代数式m³-2m+2019的值
• 2、已知m是方程x²+2x-5=0的一个根，求 m³+2m²-5m-9的值.
六、在幂的运算中应用
1．已知 10a＝2，10b＝3，求 103a＋b 的值．解：103a＋b＝103a·10b＝(10a)3·10b＝23×3＝24.

整体代入法

中考热点题之题（上饶市秦峰中学朱校华2014·11·18原创）使用整体代入法来解题，正成为时下流行中考题解法之一，应引起广大师生的重视！所谓整体代入法，是针对有的题目已知条件较复杂或字母较多，求出单个字母的取值显得复杂或为难时，不妨把几个字母的代数式组合体看成一个整体，先想方设法求出这个组合体的值，再代入原题所求的（或所列的或所需的）代数式（有的须对其适当变形）中求值以达到解决问题目的的一种解题方法.采用整体代入法解题，不是万能的，仅是解题方法系列中的一种特殊法，但真正用得上的话，可达到简化过程、直接爽快、事半功倍的效果哦！请欣赏下列中考样题:第一类题：“求代数式值”题（理清关系心勿急！）（陕西中考题）1.已知a+x2 = 2013,b+x2 = 2014,c+x2 = 2015,则a+b - c+x2 = ;简析：本题按常规思维，要分别求出a,b,c及x2的值是难以成功的；仔细观察所求代数式a+b - c+x2的结构，易发现可变形为(a+x2)+(b+x2)–(c+x2),于是将a+x2 ,b+x2 ,c+x2 分别看成整体，直接代入后答案为: 2012.请尝试做做下面五题：（广西中考题）2.已知2x2- 3 = 4, 则5x2- 6 = ;（湖南中考题）3.若代数式4x2-2x+5的值为11，则代数式2x2-x+1的值是（）A - 3B 3C 4D 5 （山东中考题）4.已知4x2-3y2= 7, 3x2+2y2= 19，求代数式- 14x2 + 2y2的值？已知xy+x = -1，xy–y = -2,求下列代数式的值？-x-〔2y–2(xy+x)2+3x〕+2〔x+(xy–y)A D（黄冈中考题）6.若x,y,z满足条件①a x- z + m b3与- 2b m a 是同类项；②︱y – z - 2︱+ (n - 2)2=0试求多项式(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 的值？（第8题答案： 15 ；第10题答案：1350 ，关键是知晓∠1+∠2 = 900而∠3 = 450 ）第二类题：“生活与实践”题（学以致用多见识！）（河北中考题）7.小明背对小亮做扑克牌游戏，让小亮按下列四个步骤操作：第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；第二步从左边一堆拿出两张牌，放入中间一堆；第三步从右边一堆拿出一张牌，放入中间一堆；第四步现在左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.这时，小明能准确地说得出中间一堆牌现有的张数来.您认为中间一堆牌现有的张数是， .（简要说明理由！）简析：设原来左、中、右三堆牌各有a张，则第二步后左有(a-2)张、中有(a+3)张、右有(a-1)张，第三步后中间一堆有〔(a+3)-(a-2)〕张,很有意思吧！这里并不需要求出a的具体值，只要计算〔(a+3)-(a-2)〕= 5 即可！爽呀！真是不做不知道．．．．．，做后感觉妙．．．．．！请尝试做做下面题8：（湖北中考题）8.买一支水笔、二副对联和三个笔记本共花费了27元钱，买三支水笔、二副对联和五个笔记本共花费33元钱，则买一支水笔、一副对联和二个笔记本共需花费多少元钱？第三类题：“图形与几何”题（数形结合来赶集！）（梅州市中考）9.如图81叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB + ∠DOC = .C( 图 81 )（图 82 ）简析：依据 “几何直观”，易发现：∠AOB + ∠DOC = (∠AOD + ∠DOC +∠COB )+ ∠DOC = (∠AOD + ∠DOC) +(∠COB + ∠DOC) = ∠AOC + ∠DOB = 900 + 900 = 1800本题关键点在于通过“角度的和表示”变换，巧妙地转化成两个直角之和，并没有具体求出题中 ∠AOB 与∠DOC 分别等于多少度，是“化归思想” 的体现哦！要好好地悟之！下面题10与题9类似：（荆门市中考）10.如图82示，已知方格纸中是四个完全相同的正方形，则∠1+∠2+∠3= .第2题答案：11.5 ；第3题答案：C ；第4题答案：- 52 ；第5题答案：8 ；第6题答案：24 ；先求出m = 3，n = 2，x - z = - 2，y - z = 2，两式相减得x - y = - 4.。

2023-2024学年北京大学附属中学七年级下学期开学考试数学试题+答案解析

2023-2024学年北京大学附属中学七年级下学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各数中，的倒数是()A.3B.C.D.2.2023年11月4日，我国国产首艘大型邮轮“爱达魔都号”正式命名交付，“爱达魔都号”犹如一座“海上现代化城市”，长米，宽米，最大高度米，邮轮总吨位达135500吨．将数字135500用科学记数法表示应为()A.B.C.D.3.下列说法中正确的是() A.是单项式B.的系数是C.是二次二项式D.与是同类项4.如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m ，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是()A. B.C. D.5.下列方程中变形正确的有()①变形为；②变形为；③变形为；④变形为A.①④B.①③C.①②③D.①②④6.如图，D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若，则线段CB 的长度为()A.2acmB.C.3acmD.7.已知有理数x ，y 在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是()A. B. C. D.8.某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为2a 的正方体木块中，挖去一个棱长为a 的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件如图所示将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损20元记为__________元．10.写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是这个单项式可以是：__________.11.若，则的值为__________.12.计算：__________13.如图，小张同学用两个长方形纸片垂直摆放制作了一个“中”字，那么该“中”字的面积是__________用含a 的代数式表示14.如图所示的网格是正方形网格，则__________填“>”“<”或“=”15.如图，一艘快艇S从灯塔O南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔O逆时针方向以每个时间单位的转速旋转1周，当时，快艇S旋转了__________个时间单位．16.对于个位数字不为零的任意三位数M，将其个位数字与百位数字对调得到，则称为M的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为例如523为325的“倒序数”，__________；对于任意三位数满足：的值是__________.三、解答题：本题共9小题，共72分。

数学课堂实录小学生们解决几何难题

数学课堂实录小学生们解决几何难题今天是数学课的第一堂课，老师带我们解决一些几何难题。

让我们一起来看看小学生们是如何解决这些难题的吧！1. 难题一：计算三角形的面积老师在黑板上画了一个三角形，要求我们计算其面积。

我们知道，三角形的面积可以通过底和高的乘积再除以2来计算。

于是，我首先测量了底边的长度为5厘米，然后测量了高的长度为4厘米。

接下来，我将5厘米和4厘米代入公式，得出面积为10平方厘米。

2. 难题二：计算矩形的周长接着，老师给我们出了一个计算矩形周长的难题。

对于矩形，我们知道其周长可以通过将长和宽相加再乘以2来求得。

我测量了矩形的长为8厘米，宽为4厘米。

将8厘米和4厘米代入公式，得出周长为24厘米。

3. 难题三：判断平行四边形的性质老师接下来让我们判断一个图形是否为平行四边形。

我们知道平行四边形有两组对边平行的性质。

于是，我仔细观察了图形，发现了两组平行边。

确定了这个图形是一个平行四边形。

4. 难题四：计算梯形的面积接着，老师画了一个梯形，要求我们计算其面积。

我们知道梯形的面积可以通过将上底和下底相加再乘以高再除以2来计算。

我测量了上底长为6厘米，下底长为10厘米，高为5厘米。

将这些数值代入公式，得出面积为40平方厘米。

这堂数学课真是有趣又有挑战！通过解决几何难题，我们更加熟悉了各种图形的性质和计算方法。

数学课上，我们通过测量、计算和观察，提高了我们的逻辑思维和问题解决能力。

希望以后还有更多的数学课，让我们不断挑战自己，成为数学小达人！通过这节数学课，我明白了数学并不是一件枯燥无味的学科，它蕴含着很多有趣的问题和挑战。

只要我们用心去理解和掌握，数学就会变得简单而有趣。

希望能够在未来的数学课堂上，继续发现更多有趣的数学问题，提升自己的数学水平。

小学生们在数学课堂上解决几何难题的过程充满了乐趣和创造力，他们用自己的方法和思维去解决问题。

通过这些实例可以看到小学生们在解决几何难题中展现出了他们的观察力、计算能力和逻辑思维能力。

教学活动用形解决几何难题课堂实录

教学活动用形解决几何难题课堂实录今天的数学课上，我使用了一种新颖的教学活动来解决几何难题。

这个活动不仅让学生参与进来，同时也提高了他们解题的能力。

本文将详细记录这个课堂实录。

一、引入我首先向学生们介绍了一道难题：已知一个四边形ABCD，其中AD=BC，∠DAB=∠CBA，证明ABCD是一个平行四边形。

这是一道相对复杂的几何难题，需要学生综合运用几何知识进行推理和证明。

二、活动设计为了引导学生通过形来解决几何难题，我准备了一些实物，包括纸板、剪刀、橡皮筋等。

我将学生分成小组，每个小组分发一份纸板，让他们利用纸板和橡皮筋搭建一个类似于四边形ABCD的形状。

三、实施过程1. 学生们开始利用纸板和橡皮筋搭建形状，尽量使得AD=BC，∠DAB=∠CBA。

2. 学生们发现在这个过程中，形状变换的同时AD和BC的长度保持不变，∠DAB和∠CBA的大小也保持一致。

3. 学生们开始尝试调整纸板和橡皮筋的位置，希望使得形状成为一个平行四边形。

4. 学生们逐渐发现，当AD和BC平行时，形状才能满足AD=BC，∠DAB=∠CBA的条件。

5. 学生们通过反复实践和调整，最终成功搭建出一个平行四边形形状。

四、讨论与总结在整个活动过程中，学生们积极参与，互相讨论，不断调整形状。

通过搭建实物形状，他们更加直观地理解了几何定理，并进一步掌握了解决几何难题的方法。

通过这个教学活动，学生们也意识到形在几何学中的重要性。

形状不仅可以帮助他们理解几何问题，还能引发他们的思考和创造力。

这种以形解决几何难题的教学方法，不仅能激发学生的学习兴趣，还能提高他们解题的能力和逻辑思维能力。

五、课后反思通过这堂课的实施，我发现学生们对于几何难题的理解和解题能力有了较大的提升。

他们通过实际操作形状，更好地理解了几何概念，同时也加深了对几何定理的记忆和理解。

然而，在今后的教学中，我认为还有一些改进的空间。

首先，我可以引入更多的实物，让学生们进行更多的形状实践。

七年级数学人教版上册4.1.1立体图形与平面图形自学互帮导学法课堂优秀教学案例

3.教师关注各小组的学习进度，及时给予指导和帮助，确保小组合作的效果。
4.鼓励学生互帮互助，共同进步，培养学生的团队精神和关爱他人的品质。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行反思，总结立体图形和平面图形的性质和规律。
2.学生通过自我评价和小组评价，认识自己的优点和不足，提高自我改进的能力。
2.利用多媒体和实物模型，为学生提供丰富的学习资源，增强学生的直观感受，提高空间想象能力。
3.设计多种形式的课堂活动，如小组讨论能力。
4.教师引导学生总结立体图形和平面图形的性质和规律，培养学生归纳和概括的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生良好的数学学习习惯和积极的学习态度。
在案例中，我将结合学科特点和课程内容，展示如何在教学实践中运用自学互帮导学法，以达到良好的教学效果。同时，本案例还将注重人性化的教学语言，避免机械性的机器语言，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高他们的数学素养。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握立体图形和平面图形的概念、特点和基本性质，理解它们之间的关系。
2.提出问题：“你们在日常生活中是否注意过这些图形的特征和性质？它们之间有什么联系和区别？”引发学生思考，为新课的导入做好准备。
3.教师简要介绍本节课的学习内容：立体图形和平面图形的概念、特点和关系，激发学生的好奇心。
（二）讲授新知
1.教师引导学生观察和分析立体图形和平面图形的实例，引导学生发现它们的共同点和不同点。
2.培养学生运用图形语言和符号表示图形的能力，提高空间想象和抽象思维能力。
3.引导学生掌握简单的几何证明方法，培养论证和推理能力。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。

六年级数学教案巧解几何题

六年级数学教案巧解几何题
一、教学目标
通过本节课的学习，学生能够：
1.了解几何图形的基本概念和性质；
2.掌握几何图形的分类方法和判定方法；
3.学会运用几何知识解决实际问题。

二、教学重点
1.几何图形的分类方法和判定方法；
2.几何知识在实际问题中的应用。

三、教学难点
1.如何将几何知识应用到实际问题中；
2.如何判断几何图形的性质。

四、教学过程
1.导入
通过展示一些几何图形的图片，引导学生了解几何图形的基本概念和性质。

2.讲解
（1）几何图形的分类方法和判定方法
通过讲解几何图形的分类方法和判定方法，让学生了解几何图形的性质和特点，掌握判断几何图形的方法。

（2）几何知识在实际问题中的应用
通过讲解一些实际问题，引导学生将几何知识应用到实际问题中，培养学生的实际应用能力。

3.练习
通过一些练习题，让学生巩固所学的几何知识和方法，提高解决几何问题的能力。

4.总结
通过总结本节课的内容，让学生对几何知识和方法有一个全面的了解和掌握。

五、教学反思
通过本节课的教学，学生对几何图形的基本概念和性质有了更深入的了解，掌握了几何图形的分类方法和判定方法，学会了将几何知识应用到实际问题中。

但是，在教学过程中，有些学生对几何知识的掌握还不够扎实，需要在后续的教学中加强练习和巩固。

2024八年级数学下册练册第2招运用整体思想解题的五种技巧课件新版新人教版

4.解方程组：ቐ
−+
＋
= .

− − = ，①
【解】ቐ
由①得4x－5y＝7.③
−+
＋
= . ②

将③代入②，得4y＋2＝6，解得y＝1.
把y＝1代入③，解得x＝3.
ห้องสมุดไป่ตู้ ，
∴原方程组的解为ቊ
= .
整体换元在解方程组中的应用
（−）
＋
如果直接将x，y的值代入计算，显然比较麻烦，但
注意到x3y＋xy3可以化为xy[(x＋y)2－2xy]，将x＋y，xy均
作为一个整体代入求值，可简化计算.
解：∵x＝－，y＝＋，
∴xy＝( － )( ＋ )＝1，
x＋y＝－＋＋＝2 .
∴x3y＋xy3＝xy(x2＋y2)＝xy[(x＋y)2－2xy]
∴∠J＋∠K＋∠L＋∠M＋∠N＋∠O＋∠P＋∠Q＋∠R＋
∠S＋∠T＋∠U＝(180°－∠1)＋(180°－∠2)＋(180°－
∠5)＋(∠180°－∠6)＋(180°－∠4)＋(180°－∠3)＝
180°×6－(∠1＋∠2＋∠5＋∠6＋∠4＋∠3)＝720°.
整体代换在解方程组中的应用
− − = ，
＝1×[(2 )2－2×1]＝22.
整体代换在求值中的应用

1.已知a＋＝1＋

2
【解】a ＋

2
a＋

＝

2
，求a ＋

的值.

＋
－2.将a＋＝1＋

2－2＝9＋2 .
＝(1＋
)

代入上式，得