两类有限表示型自内射代数Clebsch-Gordan问题的计算
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箭图（ｑｕｉｖｅｒ）和它们的表示是由 Ｇａｂｒｉｅｌ［２］提出的．如今，它 们 已 是 代 数 表 示 论 中 的 重 要 工 具．对 箭 图 的表示范畴，可以通过逐点 以 及 逐 箭 向 的 方 式 定 义 张 量 积．按 这 种 方 式 定 义 的 张 量 积，人 们 计 算 了 环 圈 （ｌｏｏｐ）箭图路代数的 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ问 题［３５］．文 献 ［６７］中 计 算 了 有 限 表 示 型 路 代 数 中 犃，犇，犈６ 型 的 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ问题．对ｔａｍｅ型的路代数，文献［８］和文献［９１０］分别计算了 犃珟 型和弦代数（ｓｔｒｉｎｇａｌｇｅｂｒａ） 的 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ 问题．
５４８
杭 州 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２０１９ 年
示α 的起点和终点，即狊 和狋 可看作由犙１到 犙０的映射．一个箭图 犙 常表示成犙＝（犙０，犙１，狊，狋）．箭图 犙 中 的路（ｐａｔｈ）指的是有限序列狆＝α犾…α２α１，其中每个α犻都 是 箭 向 且狋（α犻）＝狊（α犻＋１），１≤犻≤犾－１．特 别 地，顶 点可看作长度是０ 的路．一个箭图 犙 的路代数 犓犙 作为向量空间是以犙 所有的路为基，而乘法定义为路 的连接，即对于 犙 中两条路狆 和狇，若狆 的终点和狇 的 起 点 不 同，就 定 义 乘 积狇·狆＝０，否 则 就 定 义 乘 积 狇·狆为 这 两 条 路 的 连 接狇狆．
两类有限表示型自内射代数 犆犾犲犫狊犮犺犌狅狉犱犪狀问题的计算
杨世莹，俞晓岚
（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 ３１１１２１）
摘 要：研究两类有限表示型自内射代数，它们的表示范畴可用类似箭图 表 示 范 畴 中 逐 点 以 及 逐 箭 向 的 方 式定义张量积，从而计算相应的 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ问题．
关 键 词 ：箭 图 表 示 ；张 量 积 ；ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ 问 题 中 图 分 类 号 ：Ｏ１５ 犕犛犆２０１０：１６Ｇ２０ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７４２３２Ｘ（２０１９）０５０５４７０８
ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ问题最初起源于由 Ｃｌｅｂｓｃｈ 和 Ｇｏｒｄａｎ 提出的二值代数型（ｂｉｎａｒｙａｌｇｅｂｒａｉｃｆｏｒｍ）［１］．现 在 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ问题通常指的是如下问题：将群 犌 的 两 个 不 可 分 解 表 示 的 张 量 积 分 解 成 不 可 分 解 表 示的直和．事实上，对带有张量积的 ＫｒｕｌｌＳｃｈｍｉｄｔ范畴，都可研究 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ 问题．
（犙，ρ犻，犻∈犜）是 带 关 系 的 箭 图 ． 设（犙，犐）是犐界定箭图，其中犐＝〈ρ犻，犻∈犜〉，犜 是有限集，如果表示 犡＝（犡犻，犡α，犻∈犙０，α∈犙１）满足对
于 每个关系ρ犻＝犮犻１狆犻１ ＋…＋犮犻犿狆犻犿 ，均有犮犻１犡犻１ ＋…＋犮犻犿犡犻犿 ＝０，则称表示 犡 为犐界定表示，也称 犡 为带 关系（ρ犻，犻∈犜）的表示．众所周知，犓犙／犐 的（有限 维）模 范 畴 和 犙 的犐界 定 （有 限 维）表 示 范 畴 是 等 价 的， 证 明 参 见 文 ［１１］．
第１８卷 第５期 ２０１９ 年 ９ 月
杭 州 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨａｎｇｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
犱狅犻：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４２３２Ｘ．２０１９．０５．０１５
Ｖｏｌ．１８ Ｎｏ．５ Ｓｅｐ．２０１９
本小节简单回顾箭图及其表示的定义，有关箭图表示理论 比 较 系 统 的 阐 述，可 以 参 见 文［１１］．箭 图 犙 指的是由顶点（ｖｅｒｔｅｘ）和箭向（ａｒｒｏｗ）构成的定向图，其 顶 点 集 和 箭 向 集 分 别 记 成 犙０和 犙１．若 犙０和 犙１都 是有限集，则称 犙 是有限箭图，以下提到的箭图指的都是有限箭图．对箭向α，我们用狊（α）和狋（α）分别表
本文将研究两类有限表示型自内射代数，它们的表示 范畴 同样可 以用 逐 点 以 及 逐 箭 向 的 方 式 定 义 张 量积，从而计算相应的 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ 问题．
１ 准备知识
本节将介绍文中采用的一些记号和涉及到的定义．我 们 约 定 全 文 中 的 犓 是 一 个 固 定 的 代 数 闭 域，涉 及到的向量空间以及代数都指的是 犓 上的．除非特别指明，本文中的代数指的都是有限维代数，模都是有 限生成的． １．１ 路 代 数 及 其 表 示
每个系数犮犻∈犓，狆１…狆犿 是 具 有 相同起点与终点，且长度大于等于２ 的路．若 犓犙 的理想犐 是由有限多个关系生成，即犐＝〈ρ犻，犻∈犜〉，其 中 犜 是有限 集，则 称犐 是 犓犙 的 容 许 （ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ）理 想．此 时，称 （犙，犐）是犐界 定 （ｂｏｕｎｄｅｄ）箭 图，也 称
定义１ 箭图 犙 的表示 犡 是指 犡 ＝（犡犻，犡α，犻∈犙０，α∈犙１），其 中 对 任 意犻∈犙０，犡犻都 是 向 量 空 间，对 任意α∈犙１，犡α：犡狊（α）→犡狋（α）都是线性映射．如果每个 犡犻都是有限维的，则称 犡 为有限维表示．
除非特别指明，以下表示指的都是 有 限 维 表 示．如 果 狆＝α犾…α２α１是 路，则 记 犡狆 为 线 性 映 射 犡狆 ＝犡α犾 …犡α１ ．表示 犡 到表示犢 的态射犳 是指（犳犻，犻∈犙０），其 中 每 个 犳犻：犡犻→犢犻 都 是 线 性 映 射，使 得 对 任 意 箭 向 α：犻→犼，下 图 交 换 ：
收 稿 日 期 ：２０１８１０２５ 修 回 日 期 ：２０１９０３０４ 基 金 项 目 ：国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 （１１８７１１８６）． 通 信 作 者 ：俞 晓 岚 （１９８２— ），女 ，副 教 授 ，博 士 ，主 要 从 事 非 交 换 代 数 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｘｌｙｕ＠ｈｚｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
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杭 州 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２０１９ 年
示α 的起点和终点，即狊 和狋 可看作由犙１到 犙０的映射．一个箭图 犙 常表示成犙＝（犙０，犙１，狊，狋）．箭图 犙 中 的路（ｐａｔｈ）指的是有限序列狆＝α犾…α２α１，其中每个α犻都 是 箭 向 且狋（α犻）＝狊（α犻＋１），１≤犻≤犾－１．特 别 地，顶 点可看作长度是０ 的路．一个箭图 犙 的路代数 犓犙 作为向量空间是以犙 所有的路为基，而乘法定义为路 的连接，即对于 犙 中两条路狆 和狇，若狆 的终点和狇 的 起 点 不 同，就 定 义 乘 积狇·狆＝０，否 则 就 定 义 乘 积 狇·狆为 这 两 条 路 的 连 接狇狆．
两类有限表示型自内射代数 犆犾犲犫狊犮犺犌狅狉犱犪狀问题的计算
杨世莹，俞晓岚
（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 ３１１１２１）
摘 要：研究两类有限表示型自内射代数，它们的表示范畴可用类似箭图 表 示 范 畴 中 逐 点 以 及 逐 箭 向 的 方 式定义张量积，从而计算相应的 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ问题．
关 键 词 ：箭 图 表 示 ；张 量 积 ；ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ 问 题 中 图 分 类 号 ：Ｏ１５ 犕犛犆２０１０：１６Ｇ２０ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７４２３２Ｘ（２０１９）０５０５４７０８
ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ问题最初起源于由 Ｃｌｅｂｓｃｈ 和 Ｇｏｒｄａｎ 提出的二值代数型（ｂｉｎａｒｙａｌｇｅｂｒａｉｃｆｏｒｍ）［１］．现 在 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ问题通常指的是如下问题：将群 犌 的 两 个 不 可 分 解 表 示 的 张 量 积 分 解 成 不 可 分 解 表 示的直和．事实上，对带有张量积的 ＫｒｕｌｌＳｃｈｍｉｄｔ范畴，都可研究 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ 问题．
（犙，ρ犻，犻∈犜）是 带 关 系 的 箭 图 ． 设（犙，犐）是犐界定箭图，其中犐＝〈ρ犻，犻∈犜〉，犜 是有限集，如果表示 犡＝（犡犻，犡α，犻∈犙０，α∈犙１）满足对
于 每个关系ρ犻＝犮犻１狆犻１ ＋…＋犮犻犿狆犻犿 ，均有犮犻１犡犻１ ＋…＋犮犻犿犡犻犿 ＝０，则称表示 犡 为犐界定表示，也称 犡 为带 关系（ρ犻，犻∈犜）的表示．众所周知，犓犙／犐 的（有限 维）模 范 畴 和 犙 的犐界 定 （有 限 维）表 示 范 畴 是 等 价 的， 证 明 参 见 文 ［１１］．
第１８卷 第５期 ２０１９ 年 ９ 月
杭 州 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨａｎｇｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
犱狅犻：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４２３２Ｘ．２０１９．０５．０１５
Ｖｏｌ．１８ Ｎｏ．５ Ｓｅｐ．２０１９
本小节简单回顾箭图及其表示的定义，有关箭图表示理论 比 较 系 统 的 阐 述，可 以 参 见 文［１１］．箭 图 犙 指的是由顶点（ｖｅｒｔｅｘ）和箭向（ａｒｒｏｗ）构成的定向图，其 顶 点 集 和 箭 向 集 分 别 记 成 犙０和 犙１．若 犙０和 犙１都 是有限集，则称 犙 是有限箭图，以下提到的箭图指的都是有限箭图．对箭向α，我们用狊（α）和狋（α）分别表
本文将研究两类有限表示型自内射代数，它们的表示 范畴 同样可 以用 逐 点 以 及 逐 箭 向 的 方 式 定 义 张 量积，从而计算相应的 ＣｌｅｂｓｃｈＧｏｒｄａｎ 问题．
１ 准备知识
本节将介绍文中采用的一些记号和涉及到的定义．我 们 约 定 全 文 中 的 犓 是 一 个 固 定 的 代 数 闭 域，涉 及到的向量空间以及代数都指的是 犓 上的．除非特别指明，本文中的代数指的都是有限维代数，模都是有 限生成的． １．１ 路 代 数 及 其 表 示
每个系数犮犻∈犓，狆１…狆犿 是 具 有 相同起点与终点，且长度大于等于２ 的路．若 犓犙 的理想犐 是由有限多个关系生成，即犐＝〈ρ犻，犻∈犜〉，其 中 犜 是有限 集，则 称犐 是 犓犙 的 容 许 （ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ）理 想．此 时，称 （犙，犐）是犐界 定 （ｂｏｕｎｄｅｄ）箭 图，也 称
定义１ 箭图 犙 的表示 犡 是指 犡 ＝（犡犻，犡α，犻∈犙０，α∈犙１），其 中 对 任 意犻∈犙０，犡犻都 是 向 量 空 间，对 任意α∈犙１，犡α：犡狊（α）→犡狋（α）都是线性映射．如果每个 犡犻都是有限维的，则称 犡 为有限维表示．
除非特别指明，以下表示指的都是 有 限 维 表 示．如 果 狆＝α犾…α２α１是 路，则 记 犡狆 为 线 性 映 射 犡狆 ＝犡α犾 …犡α１ ．表示 犡 到表示犢 的态射犳 是指（犳犻，犻∈犙０），其 中 每 个 犳犻：犡犻→犢犻 都 是 线 性 映 射，使 得 对 任 意 箭 向 α：犻→犼，下 图 交 换 ：
收 稿 日 期 ：２０１８１０２５ 修 回 日 期 ：２０１９０３０４ 基 金 项 目 ：国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 （１１８７１１８６）． 通 信 作 者 ：俞 晓 岚 （１９８２— ），女 ，副 教 授 ，博 士 ，主 要 从 事 非 交 换 代 数 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｘｌｙｕ＠ｈｚｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ