数学建模习题集

数学建模习题

1．木材采购问题

一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。已知：该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为：（a+bu）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u为贮存时间（季度数）。已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为：

2．飞机投放炸弹问题

某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。

3．三级火箭发射问题

建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。

（1）设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v=r

R;，R为地球半

g

径，r为卫星与地心距离，g为地球表面重力加速度。要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v应为多少。

（2） 设火箭飞行中速度为v （t ），质量为m （t ），初速为零，初始质量0m ，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽视重力和阻力对火箭的影响。用动量

守恒原理证明v （t ）=)

(ln 0t m m u 。由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。

（3） 火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料仓等）s m ，其中s m 在f m +s m 中的比例记作λ，一般λ不小于10%。证明若

p m =0（即火箭不带卫星）

，则燃料用完时火箭达到的最大速度为m ν=-λln u .已知目前的u=3km/s ，取λ=10%，求m ν。这个结果说明什么。

（4） 假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃

料质量以和1-的比例同时减少，用动量守恒原理证明v （t ）=（1-λ）u )

(ln 0t m m 。问燃料用完时火箭末速为多少，与前面的结果有何不同。

（5） （4）是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的机构部分。记i m 为第i 级火箭质量（燃料和结构），λi m 为结构质量（λ对各级是一样的）。有效载荷仍用p m 表示，当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点火。再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，

比例系数为k 。证明3级火箭的末速3ν=3uln 1

1++k k λ。计算要使3ν=10.5km/s ，发射1吨重的卫星需要多重的火箭（u ，λ用以前的数据）。若用2级或4级火箭，结果如何。由此得出使用3级火箭发射卫星的道理。

4．评选优秀班集体

用AHP 建立评选优秀班集体的数学模型（以四个班为例进行评价）

5．梯子长度问题

一栋楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽a=2米，高b=3米，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。现在清洁工只有一架7米长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？若取a=1.8米，在只用6.5米长梯子的情况下，温室最多能修建多高？

6．曲线拟合

预期的只的绝对偏差总和为最小。

（2）求拟合以上数据的直线，目标为使y的观察值同预期值的最大偏差为最小。（3）求拟合以上数据的二次曲线y=cx^2+bx+a，分别用（1）（2）两种目标。

7．疏散问题

甲市一家大公司由5个部门（A、B、C、D、E）组成。现要将它的几个部门迁出甲市，迁至乙市或丙市。除去因政府鼓励这样做之外，还有用房便宜、招工方便等好处。对这些好处已作出数量估价，单位万元如下：

然而，疏散之后各部门见的通讯费用将增加。各部门间的通讯量如表：

不同城市间单位通讯量的费用如下表（单位：元）

试求各个部门应置于何市，使年费用最少？

8．鱼雷击舰问题

一敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方1公里处。我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。问敌舰航行多远时将被击中。

9．投资模型

投资一笔钱，即可获得某种利率的利息。通常一些小储户，当有钱时便一笔一笔地存入。同时，当因某种特别需要时—如去度假，又将资金提出。即你帐上的资金量不仅取决于你存去的日期，还取决于如何计息。而利息也是经常变动的，这样情况会更加复杂。

构造一个数学模型来告诉你在任一时刻你的银行帐上有多少钱。（存款每月按复利计息，每项存款在存入后的第二个月即开始得利）。

一个“相反”的问题是：为某种用途需12个月内存一笔钱，每个月你应存入多少。

10．保险储备策略问题

某企业每年耗用某种材料3650件，每日平均耗用10件，材料单价10元，一次订购费25元，每件年储存费2元，每件缺货一次费用4元，平均交货期10

1）求最佳订货量及订货次数（设为不允许缺货的情形）

2）求最佳订货点和保险储备量

（考虑订货期内需求量增加引起缺货，建立保险储备。订货期内缺货，采取缺货不处理方式，寻求目标函数使年度总费用最小）

注释：保险储备：企业在经济活动中，按照某一经济定货批量和在定货点发出订单后，如果需求量增大或送货延迟，就会发生缺货或供货中断。为防止由此造成的损失，需要多储备一些存货以备应急之需，称为保险储备（安全存量）。这些存货在正常情况下不动用，只有当存货过量使用或送货延迟时才动用。

11题：适当换车真的省钱吗？

本市出租车收费制度在98年进行了调整，由原来5公里起步价14.4元、每公里车费1.8元变为3公里起步价10元、每公里2元，并且10公里以上每公里增收50％、特殊时段(23：00～6：00) 每公里增收30％。制度改变后，一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。可现在，这种乘客越来越少见了。请问适当换车真的省钱吗？建立数学模型解释上述现象。

12、购房购车模型

“自备款只需七万元人民币，其余由银行贷款，五年还清，相当于每月只需付1200元，就可拥有属于自己的住房。”“首付三四万元，就可开走一辆桑塔纳车。”报纸上此类广告比比皆是，买房与购车是未来消费的两大热点。若考虑现金支付与银行贷款相结合的办法，利用数学建模方法为工薪阶层制定购房或购车