2015届高考数学(苏教,理科)复习课件：第五章数列第一节数列的概念与简单表示法

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2015年高考数学一轮总复习精品课件：第五章+数列 5.1 数列的概念与简单表示法(共28张PPT)

乘法”等.
(1)已知 a1 且 an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即
an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).
所有等式左右两边分别相加,代入 a1 得 an.
(2)已知 a1 且

=f(n)(n≥2),可以用“累乘法”,
1 024
1
2
1
2
( -1)
2
·
1 -2
2
关闭
·…·
1 2
2
·
1 1
2
=
.
( -1)
2
≥
1
64
,当 n≥5
.∴从第 5 项开始各项均小于
1
1 000
.
答案
考点一
考点二
考点三
第十七页，编辑于星期五：十一点十一分。
探究突破
方法提炼
由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用“累加法”“累
2.在数列{an}中,已知 a1=a,a2=b,an+1+an-1=an(n≥2),则 a6 等于(D)
A.a
B.b
C.b-a
D.a-b
第十页，编辑于星期五：十一点十一分。
梳理自测

(a,b,c
+
3.已知数列{an}的通项 an=
是(
都是正实数),则 an 与 an+1 的大小关系
)
A.an>an+1
如果已知数列{an}的
的递推公式.它是数列的一种表示法.
6.数列与函数的内在联系
从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为

5-1第一节数列的概念与简单表示法(2015年高考总复习)

第22页
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第五章
第一节
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新课标A版数学
听课记录
(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，„， 2n－1 所以 an＝ n . 2 (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，„；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项为
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第五章
第一节
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5．an 与 Sn 的关系若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则
S1 an＝ Sn－Sn－1
n＝1， n≥2.
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第五章
第一节
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第五章
第一节
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新课为 N*的特殊的函数，所以函数的单调性、周期性在数列中是应用的重点，对于数列的单调性、周期性的判断可类比函数的单调性与周期性的判断方法．
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第五章
第一节
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题型二
由 an 与 Sn 的关系求通项公式
2 【例 2】 (2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn
－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式 an； n＋1 (2)令 bn＝ 2 2，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明：对于任 n＋2 an 5 意的 n∈N ，都有 Tn< . 64

2015届高考数学总复习第五章第一节数列的概念与简单表示法课时精练试题文(含解析)

1.设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第六项 B ．第七项 C ．第八项 D ．第九项答案：B2．(2012·衡水中学调研)观察下列数：1,3,2,6,5,15,14，x ，y ，z ，…则x ，y ，z 的值依次为( )A ．13,39,123B ．42,41,123C ．24,23,123D ．28,27,123解析：观察各项可以发现：x 为前一项的3倍即42，y 为前一项减1即41，z 为前一项的3倍即123.故选B.答案：B3．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.138解析：由递推关系，由a 8逆推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85，故选C.答案：C4．(2012·石家庄二模)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 解析：因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈Z ，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，即最大值为a 2＝a 3＝0.故选D.答案：D5．(2013·惠州一模)在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．8解析：数字共有n 个，当数字n ＝6时，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，所以第25项是7，故选C.答案：C6．(2013·济宁质检)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n . 两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0，∴a n ＝0 (n ∈N *)，故选C. 答案： C7．(2013·赤峰模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( )A ．5B ．6C ．5或6D ．7解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案：C8．(2013·海口质检)如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．解析：用a n 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，…，由此可得{a n }是以12为首项，以4为公差的等差数列．∴a 23＝a 1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100. 答案：1009．(2013·吉林省实验中学二模)已知数列{a n }中a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且单调递增，则k 的取值范围是 ____________.解析：因为{a n }是单调递增数列，所以对n ∈N *，不等式a n ＜a n ＋1恒成立，即n 2－kn ＜(n ＋1)2－k (n ＋1)恒成立，化简得k ＜2n ＋1恒成立，所以k ＜3.答案：(－∞，3)10. (2013·唐山模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2(n ∈N *)．答案：n 2(n ∈N *)11．(2013·安徽合肥二模)数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋b n，若对任意的n ∈N *都有a n ≥a 5，则实数b 的取值范围是__________．解析：由题意可得b ＞0，因为对所有n ∈N *，不等式a n ≥a 5恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4≥a 5，a 6≥a 5，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 4≥5＋b5，6＋b 6≥5＋b 5，解得20≤b ≤30，经验证，数列在(1,4)上递减，在(5，＋∞)上递增，或在(1,5)上递减，在(6，＋∞)上递增，符合题意．所以b ∈[20,30]．答案：[20,30]12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求{a n }的通项公式．解析：由题意，得S n ＝2n ＋1－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.13．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2(n ∈N *)．14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n ＝2013，求n .解析：(1)∵a 1＝1，且a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)．∴a 2＝a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＋1na n (n ≥1)．∴a n ＋1－a n ＝1na n (n ≥2)．∴a n ＋1＝n ＋1n a n ， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n (n ≥2)． ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 22＝12， ∴a n ＝n2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n2，n ≥2.(2)∵a n ＝n2＝2 013，∴n ＝4 026.。

高考数学一轮总复习第五章数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件苏教苏教高三全册数学课件

数的一类特殊函数．
2．命题形式多种多样，三种题
型都有可能出现，试题难度中等.
第三页，共四十六页。
01知识梳理诊断自测 02考点探究明晰规律课时作业
第四页，共四十六页。
01 知识梳理诊断自测
课前热身稳固根基
第五页，共四十六页。
知识点一
数列的概念
1．数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
第九页，共四十六页。
2．递推公式：如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且从第二项 (或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
第十页，共四十六页。
1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
第二十九页，共四十六页。
(3)构造法 ∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴aan＋n＋1＋11＝3， ∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3，又 a1＋1＝2， ∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．
第三十页，共四十六页。
方法技巧
第三十一页，共四十六页。
第二十二页，共四十六页。
方法技巧已知 Sn 求 an 的常用方法是利用 an＝SSn1－，Snn＝－11，，n≥2 转化为关于 an 的关系式，再求通项公式．主要分三个步骤完成： (1)先利用 a1＝S1，求得 a1. (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系式，利用 an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)便可求出当 n≥2，n∈N*时的通项公式． (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2，n∈N*时 an 的表达式，如果符合则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．

高考数学第五章第一节数列的概念课件理苏教

2 4 6 a b 10
则实数对(a,b)是________.
【解析】由a-b=8,a+b=11,解得 a
3 答案：(19 ， ) 2 2 19 3 ,b . 2 2
2.已知数列{an}的通项公式为an=log2(n2+7),则5是该数列的第 _______项. 【解析】令log2(n2+7)=5，则n2+7=25=32,∴n2=25，由n∈N*得
n=5.
答案：5
3.数列{an}的通项公式是an= 和为9，则m=_______. 【解析】由题意可知an= ∴m=99. 答案n 1 n ，∴Sm= m 1 -1=9，
4.数列{an}中，a1=1，对所有的n∈N*，都有a1a2a3…an=n2，则 a3+a5=_________. 【解析】当n≥2时，可得a1a2a3…an-1=(n-1)2，再由a1a2a3…an =n2可得，a 答案：61
6.已知数列{an},Sn为{an}的前n项和，且有Sn=2an-1,则an=
_______.
【解析】当n=1时，a1＝S1=2a1-1,∴a1=1.
∵Sn=2an-1,
∴当n≥2时，Sn-1=2an-1-1,
∴Sn-Sn-1=2an-2an-1,
∴an=2an-2an-1,
∴an=2an-1,∴ a n =2,
②数列的表示方法
列表法 _______
图象法 _______
2.数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an-1(或前几项) 间的关系可以用一个式子来表示，即 ____________________ an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.

2015届高考数学(理)一轮复习讲义数列的概念及简单表示

2015届高考数学（理）一轮复习讲义：数列的概念及简单表示法1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N ＋递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )(3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )(5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ )(6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( √ )2．(2014·银川模拟)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，则T 2 013的值为( )A ．－12B ．－1 C.12 D ．2答案 B解析选B 由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 013＝(－1)671＝－1.3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1.综上，a n＝(－2)n－1.5． (2013·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝3n －2 解析由已知221111++++++=n n n n n n n n A B B A A BB A S S 梯形梯形112211++++++∆∆∆∆-=-n n n n n n n n A O B A O B A O B A O B S S S S ，即S △OBnAn ＋11222++++∆∆=n n n n A O B A O B S S由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，因此{a 2n }为等差数列且a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，故a n ＝3n －2.题型一由数列的前几项求数列的通项例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….思维启迪先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．思维升华根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是a n ＝________________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)(－1)n ·(6n －5) (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.题型二由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .思维启迪当n ＝1时，由a 1＝S 1，求a 1；当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1消去S n ，得a n ＋1与a n 的关系．转化成由递推关系求通项．解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.思维升华数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________.(2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. (3)在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .则{a n }的通项公式为________．思维启迪观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式．答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1 (3)a n ＝n (n ＋1)2解析 (1)由题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n. 因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.(3)由题设知，a 1＝1.当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3. 以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n (n ＋1)2，又∵a 1＝1，∴a n ＝n (n ＋1)2.思维升华已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于 ( )A ．－16B ．16C ．31D ．32答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2，故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．思维启迪 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N ＋上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．规范解答解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.[4分]②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N ＋，∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.[8分](2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，所以－k 2<32，即得k >－3.[12分]温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N ＋上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．方法与技巧1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式．失误与防范1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2．数列的通项公式不一定唯一．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.(－1)n ＋12B ．cosn π2C ．cosn ＋12π D ．cosn ＋22π 答案 D解析令n ＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2). ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15答案 A解析由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)] ＝3×5＝15.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 ∵数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，令t ＝(23)n －1，t ∈(0,1]，t 是减函数，则a n ＝t 2－t ＝(t －12)2－14，由复合函数单调性知a n 先递增后递减．故有最大项和最小项，选C.5．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56B.65C.130D ．30答案 D解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30.二、填空题6．已知数列{n 2n 2＋1}，则0.98是它的第________项．答案 7解析 n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7.7．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N ＋，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案6116解析由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝(n n －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116.8．已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．答案 (－3，＋∞) 解析方法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得 2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 方法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图像的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数，故只需满足f (1)<f (2)，即λ>－3. 三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)．故数列从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n (n ＋1)10n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由．解 a n ＋1－a n ＝9n ＋1(n ＋2)10n ＋1－9n (n ＋1)10n ＝9n 10n ·8－n10，当n <8时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝8时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >8时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 8＝a 9>a 10>a 11>…，故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项，且a 8＝a 9＝98×9108＝99108.B 组专项能力提升 (时间：30分钟)1．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为( )A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种答案 C解析设跳到第n 个格子的方法种数有a n ，则到达第n 个格子的方法有两类： ①向前跳1格到达第n 个格子，方法种数为a n －1；②向前跳2格到达第n 个格子，方法种数为a n －2，则a n ＝a n －1＋a n －2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B.72C.92D.132答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.3．若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析由题意得⎩⎨⎧k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1k (k ＋4)(23)k≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4.4．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎨⎧23(n ＝1)1n (n ≥2).(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴{c n }是递减数列．5．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围．解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为 b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．2015届高考数学（理）一轮复习讲义：5.1数列的概念与简单的表示方法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．[对应学生用书P 80]【梳理自测】一、数列的有关概念1．数列－3，7，－11，15，…的通项公式可能是( ) A．a n＝4n－7 B．a n＝(－1)n(4n＋1) C．a n＝(－1)n(4n－1) D．a n＝(－1)n＋1(4n－1)2．已知数列{a n}的通项公式为a n＝nn＋1，则这个数列是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列3．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2a n－1＋1，则a5的值为( )A．30 B．31C．32 D．33答案：1.C 2.A 3.B◆以上题目主要考查了以下内容：(1)数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．(2)数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.(3)数列的表示法①列举法：a1，a2，a3，…，a n，…；②图象法：数列可用一群孤立的点表示；③解析法(公式法)：通项公式或递推公式．(4)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．二、S n与a n的关系1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．642．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n(n ＝1，2，3，…)，则通项公式a n ＝________．答案：1.A 2.2n －11◆以上题目主要考查了以下内容：若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.【指点迷津】1．一种特殊性数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．数列的图象是一群孤立的点． 2．与集合的两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．[对应学生用书P 81]考向一由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)0.8，0.88，0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…； (5)0，1，0，1，….【审题视点】观察数列中每项的共同特征及随项数变化规律，写通项公式．【典例精讲】 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…， ∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1. (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 （n 为奇数）1 （n 为偶数）或a n ＝1＋（－1）n2或a n ＝1＋cos n π2.【类题通法】 1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征．2．观察、分析要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决．3．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式所得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)2，0，2，0，…； (2)12，34，78，1516，…； (3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (4)7，77，777，7 777，….解析：(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2（n 为奇数），0（n 为偶数）.(2)a n ＝2n－12n .(3)a n ＝(－1)n1n （n ＋1）.(4)a n ＝79×(10n－1)．考向二由S n 求a n(2014·湖南省高三检测)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f(S n ＋2)－f(a n )＝f(3)(n∈N *)，则a n 为( )A ．2n －1B ．nC ．2n －1D ．(32)n －1【审题视点】利用函数单调性把f (S n ＋2)－f (a n )＝f (3)转化为S n 与a n 的关系，利用S n －S n －1＝a n ，求a n .【典例精讲】由题意知f (S n ＋2)＝f (a n )＋f (3)(n ∈N *)， ∴S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)，两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)，又n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2， ∴a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴a n ＝(32)n －1.【答案】 D【类题通法】已知S n 求a n 时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论；特别注意a n ＝S n －S n－1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”． (3)由S n －S n －1＝a n ，推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝3n＋b ，则a n ＝________．解析：a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b)－(3n －1＋b)＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝12·3n －1，n ≥2考向三由递推公式求通项公式(2012·高考大纲全国卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．【审题视点】利用S n －S n －1＝a n 转化为a n 与a n －1的关系a n ＝f(n)a n －1.采用累乘法求a n . 【典例精讲】 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1 ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…… a n －1＝nn －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2. 【类题通法】由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“累加法”、“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f(n)(n ≥2)，可以用“累加法”，即a n －a n －1＝f(n)，a n －1－a n－2＝f(n －1)，…，a 3－a 2＝f(3)，a 2－a 1＝f(2)．所有等式左右两边分别相加，代入a 1得a n .(2)已知a 1且a na n －1＝f(n)(n ≥2)，可以用“累乘法”，即a n a n －1＝f(n)，a n －1a n －2＝f(n －1)，…，a 3a 2＝f(3)，a 2a 1＝f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a 1得a n .3．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 解析：a 2＝a 1＋5，a 3＝a 2＋8，∴a n －1＝a n －2＋3(n －2)＋2，a n ＝a n －1＋3(n －1)＋2， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋5＋2 ＝2＋3n －12×n ＝n （3n ＋1）2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.[对应学生用书P 82]数列与函数混淆致误(2014·大连模拟)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．【正解】 ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)，又a 1＝33适合上式，∴a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n ＝n ＋33n －1.令f(x)＝x ＋33x －1(x ＞0)，则f′(x)＝1－33x2，令f′(x)＝0得x ＝33.∴当0＜x ＜33时，f ′(x)＜0，当x ＞33时，f ′(x)＞0，即f(x)在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增．又5＜33＜6，且f(5)＝5＋335－1＝535，f(6)＝6＋336－1＝212， ∴f(5)＞f(6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.【答案】212【易错点】a n n ＝n ＋33n－1≥233－1，为最小值时，即把n 和x 认为等同的，而此时n ＝33∈N *是不可以的．【警示】 a n ＝f (n )是n 的函数，其定义域为N *，而不是R.1．(2012·高考大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B .⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C .⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D .12n －1解析：选B .当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，解得3a n ＝2a n ＋1， ∴a n ＋1a n ＝32， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n ＝1）12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2（n ≥2），∴S n ＝1＋12－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．(2013·高考安徽卷)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．解析：记△OA 1B 1的面积为S ，则△OA 2B 2的面积为4S. 从而四边形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均为3S. 即得△OA n B n 的面积为S ＋3(n －1)S ＝(3n －2)S. ∴a 2n ＝3n －2，即a n ＝3n －2. 答案：a n ＝3n －23．(2013·高考全国新课标卷)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．解析：根据数列的前n 项和与通项公式的关系先求解首项，再进一步确定是个特殊数列．当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)，∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2， ∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， ∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －14．(2013·高考湖南卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．解析：根据a n ＝S n －S n －1(n ≥2)建立关于a n 的关系式，根据a n 的关系式归纳寻找其规律后求解．∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1，∴a n ＝(－1)na n －(－1)n －1a n －1＋12n .当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.根据以上{a n }的关系式及递推式可求．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋123＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1.答案：(1)－116 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1第1讲数列的概念与简单表示法[最新考纲]1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.知识梳理1．数列的概念 (1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项． (2)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)数列的前n 项和在数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和． 2．数列的表示方法 (1)表示方法列表法列表格表达n 与f (n )的对应关系图象法把点(n ，f (n))画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用通项公式表达的方法递推公式使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表达数列的方法(2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n }的函数a n ＝f (n ))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值． *3．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列 a n ＋1＞a n 其中 n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性∀n ∈N *，存在正整数常数k ，a n ＋k ＝a n4.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.辨析感悟1．对数列概念的认识(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列．(×) (2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×) 2．对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式，只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.(×)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×) (5)(2013·开封模拟改编)已知S n ＝3n ＋1，则a n ＝2·3n －1.(×) [感悟·提升]1．一个区别 “数列”与“数集”数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)．2．三个防范一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)．二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为a n ＝⎩⎨⎧1，n 为奇数，0，n 为偶数.三是已知S n 求a n 时，一定要验证n ＝1的特殊情形，如(5).学生用书第79页考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (2)32，1，710，917，….解 (1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，因此可得数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n·2n －32n .(2)将数列统一为32，55，7，10，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.考点二由a n 与S n 的关系求通项a n【例2】 (2013·广东卷节选)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S nn ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4；(2)由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n －na n ＋1＝－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.规律方法给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .【训练2】设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋2＝3×2n －1，∴a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3×2n －1－2.学生用书第80页考点三由递推公式求数列的通项公式【例3】在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________； (2)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.审题路线 (1)变形为a n ＋1－a n ＝n ＋1⇒用累加法，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)⇒得出a n .(2)变形为a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)⇒再变形为a n ＋1＋1a n ＋1＝13⇒用累乘法或迭代法可求a n .解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1. 又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，法一a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n.因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故a n ＝2×3n －1－1. 法二由a n ＋1＋1a n ＋1＝3，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，当n ≥2时，a n ＋1＝3(a n －1＋1)，∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)＝32(a n －2＋1)＝33(a n －3＋1)＝…＝3n －1(a 1＋1)＝2×3n －1， ∴a n ＝2×3n －1－1；当n ＝1时，a 1＝1＝2×31－1－1也满足． ∴a n ＝2×3n －1－1.答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1 规律方法数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．【训练3】设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0，又a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∴a n＝1n . 答案 1n1．求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．由S n 求a n 时，a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式．3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．思想方法4——用函数的思想解决数列问题【典例】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析由题意及等差数列的性质，知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103.两式相减，得a 15－a 10＝103＝5d ，所以d ＝23，a 1＝－3. 所以nS n ＝n ·[na 1＋n (n －1)2d ]＝n 3－10n 23.令f (x )＝x 3－10x 23，x ＞0，则f ′(x )＝13x (3x －20)，由函数的单调性，可知函数f (x )在x ＝203时取得最小值，检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49. 答案－49[反思感悟] (1)本题求出的nS n 的表达式可以看做是一个定义在正整数集N *上的三次函数，因此可以采用导数法求解．(2)易错分析：由于n 为正整数，因而不能将203代入求最值，这是考生容易忽略而产生错误的地方．【自主体验】1．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )．A.163B.133 C ．4D ．0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 答案 D2．已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数，故只需满足－λ2＜32，即λ＞－3.答案 (－3，＋∞)对应学生用书P285基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·深圳中学模拟)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )．A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)解析将0写成01，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n －1)，n ∈N *；分母为奇数列，可表示为2n －1，n ∈N *，故选C. 答案 C2．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )．A.56B.65C.130 D ．30解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.答案 D3．(2014·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝( )． A ．－10 B ．6 C ．10 D ．14解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10. 答案 C4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )． A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析法一 (构造法)由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列．且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n .法二 (累乘法)：n ≥2时，a n a n －1＝nn －1，a n －1a n －2＝n －1n －2.…a 3a 2＝32，a 2a 1＝21，两边分别相乘得a na 1＝n ，又因为a 1＝1，∴a n ＝n .答案 D5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )． A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析 ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)，即a n ＋1a n＝32(n ≥2)，又a 2＝12，∴a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，∴S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案 B。

2015届高考数学总复习第五章第一节数列的概念与简单表示法精讲课件文

an＝______.
…的通项公式是
解析：(1)这是个混合数列，可看成故通项公式an＝2n＋ (n∈N＋)．
(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为： 10＋0,10＋1,10＋0,10＋ 1，….故
其一个通项为an＝10＋
(n∈N＋)．
，则分母
(3)通项符号为(－1)n，如果把第一项－1看作－
解得a1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)，整理得
＝3，
∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝
(2) 分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助
分子、分母的关系． (3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列 (后面将复习到)和其他方法来解决． (4) 此类问题无固定模式，主要靠观察 ( 观察规律 ) 、比较( 比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．
解析：(1)由a1a2a3…an＝n2得a1a2a3…an an＋1＝(n＋1)2，
所以n2an＋1＝(n＋1)2，得an＋1＝，n≥1，
把上面各式相加，得an＝a1＋lg ＝1＋lg ＝lg(5n＋5)．
答案：(1)
(2)an＝lg(5n＋5)
已知Sn与an的关系式，求通项公式an 【例3】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1， (a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由题
列，故{an}的通项为an＝3n－1(n∈N*)．
点评：已知{an}的பைடு நூலகம்n项和Sn，求an时应注意以下三点：
(1)应重视分类讨论法的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”． (3)由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝

2015届高考数学(理)一轮复习配套课件5-1数列的概念(含递推公式)(人教A版)

一轮复习 · 新课标数学 · 理（上册）
第一节数列的概念(含递推公式)
基础回扣· 思维辨析
试题调研· 考点突破
好题演练· 智能提升
课时提升演练
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记忆最新考纲
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数
2 n ＋1 n＋1 以 an＝(－1) · . 2n＋1
9 99 999 9 999 (5)将数列各项改写为，，，，„，分母都是 3， 3 3 3 3 而分子分别是 10－1,102－1,103－1,104－1，„， 1 n 所以 an＝ (10 －1)． 3
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教师用书独具——————————————— (2014· 北京模拟)在如图所示的数表中，第 i 行第 j 列的数记为 ai，j，且满足 a1，j＝2j－1， ai,1＝i， ai＋1，j＋1＝ai，j＋ai＋1，j(i， j∈N*)，则①此数表中的第 2 行第 7 列的数是________； ②记第 3 行的数 3,5,8,13,22,39 ， „ 为数列 {bn} ，则数列 {bn} 的通项公式是 __________________．第1行 1 2 4 8 „ „ „ „
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[思路点拨]
(1)找规律，后一个数比前一个数都大 2，且把
各项减去 1 之后为 2,4,6,8，„. (2)规律：每一项的分子比分母少 1，分母与项数之间的关系为 2n 形式． (3)利用(－1)n 进行控制，各项的绝对值的分母为依次递增的自然数列，区分奇、偶数项．奇数项分子为 1，偶数项分子为 3. (4)利用(－1)n＋1 控制数列，观察各项绝对值组成的数列，分母为 2n＋1，分子为 n2＋1. a a (5)利用 aaa„a＝ ×(99„9)＝ ×(10n－1)去考虑． 9 9

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第五章第一节数列的概念与简单表示法理

【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第五章第一节数列的概念与简单表示法年份题号分值所考查的知识点 11 5等差数列的前n 项和及项数问题及数列的综合应用．1．在复习数列的概念时，应注意：(1)数列是以正整数为自变量的一类特殊函数；(2)并不是所有的数列都能用通项公式表示，有的数列的通项公式不是唯一的；(3)运用递推关系求数列通项公式时，可用特殊到一般的方法找出规律，也可将数列转化为等差或等比数列求解；(4)在an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2中，要特别注意n ＝1的情况．2．在复习等差数列、等比数列时，应注意：(1)等差、等比数列的定义在解题中的应用；(2)等差、等比数列的中项公式、通项公式和求和公式的使用方法；(3)灵活处理数列与不等式、函数相结合的综合问题．这些是广东高考要考查的重点和热点．预计2014年高考对该部分内容的考查，会以两种形式出现，一种以小题考查通项公式、递推关系、数列求和等问题，属中等题；一种是在大题中将数列问题与函数、不等式结合在一起进行综合考查，属难题．第五章数列根据上述分析、预测，复习中应注意：1．数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决，如通项公式、前n 项和公式等．2．运用方程的思想解等差(比)数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1，d (或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．3．分类讨论的思想在本章尤为突出．学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q＝1和q≠1两种情况等．4．等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外．如an与S n的转化，将一些数列转化成等差(比)数列来解决等．复习时，要及时总结归纳．5.深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．切实抓好两个“特殊数列”的通项公式和前n项和公式的推导过程及方法．6．解题要善于总结基本数学方法．如迭代法、逐差(积)求和(商)法、裂项相消法、观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法等，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果．第一节数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．二、通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an＝f(n)．数列的实质是定义域为正整数集N*(或N*的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．通项公式an＝f(n)即为函数的解析式．其中项数n相当于自变量，项an相当于函数值．三、递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2，…)，那么这个式子就叫做数列{an}的递推公式．如数列{an}中，a1＝1，an＝1＋2an－1，其中式子an＝1＋2an－1就是数列{an}的递推公式．四、数列的表示1．列举法：如1,3,5,7,9，…2．图解法：由(n，an)点构成．3．解析法：用通项公式an＝f(n)表示，如an＝2n＋1.4．递推法：用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项，如a1＝1，an＝1＋2an －1.五、数列分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列．六、数列{an }的前n 项和S n S n ＝a 1＋a 2＋…＋an .注：前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋an －1＋an ＝g (n )也为n 的函数．七、数列{an }的前n 项和S n 与通项an 的关系an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.注：如果求出的a 1也满足n ≥2时的an ，则可统一写成同一个关系式，否则分段书写．八、数列中最大、最小项的求法若an 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ an ≥an ＋1，an ≥an －1；若an 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧an ≤an ＋1，an ≤an －1，考虑数列的单调性．1．(2012·江门市一模)已知数列{}an 的前n 项和S n ＝n 2－3n ，若它的第k 项满足2<ak <5，则k ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：ak ＝S k －S k －1＝k 2－3k －[(k －1)2－3(k －1)]＝2k －4，依题意有2<2k －4<5，得k ＝4.故选C.答案：C2．(2012·天津一中月考)已知数列a 1＝1，a 2＝5，an ＋2＝an ＋1－an (n ∈N *)，则a 2 014＝( )A ．1B ．－4C ．4D ．－1解析：逐项计算可知，{an }是周期为6的周期数列，前6项分别是1,5,4，－1，－5，－4，所以a 2 014＝a 2 010＋4＝a 4＝－1.故选D.答案：D3．(2012·温州中学月考)已知数列{}an 中，a 1＝4，an ＝4n －1an －1(n >1，n ∈N )，则通项公式为________．解析：由an ＝4n －1an －1可得a 2＝4a 1，a 3＝42a 2，a 4＝43a 3，…，an ＝4n －1an －1，上述n －1个等式相乘，得an ＝41＋2＋…＋(n －1)a 1＝2n 2－n ＋2. 答案：2n 2－n ＋24．(2012·浙江高考参考样卷)设S n 是数列{an }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n S n －1(n ≥2)，则S n ＝________.解析：由an ＝S n －S n －1(n ≥2)，得S n －S n －1＝－S n S n －1，即1S n －1S n －1＝1，又∵1S 1＝1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S 是以1S 1＝1为首项，公差d ＝1的等差数列．∴1S n ＝1S 1＋(n －1)×1＝n .∴S n ＝1n .答案：1n►品味高考1．(2012·浙江卷)设公比为q (q >0)的等比数列{an }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析：将S 4＝3a 4＋2，S 2＝3a 2＋2两个相减，得a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，根据等比数列的通项公式化简得，2q 2－q －3＝0，解之得：q ＝32(舍去q ＝－1)．答案：322．(2011·浙江卷)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.解析：最大项为第k 项，则有⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0.∴⎩⎨⎧k 2≥10，1－10≤k ≤1＋10.又∵k ∈N *，∴k ＝4. 答案：4►高考预测1．(2012·济南市月考) 已知数列{an }满足a 1＝36，an ＋1＝an ＋2n, 则ann的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：∵ an ＋1－an ＝2n ，∴an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋36＝n (n －1)＋36，∴an n ＝n 2－n ＋36n ＝n ＋36n －1≥2n ·36n －1＝11.故选B. 答案：B2．(2012·粤西北九校联考改编)在数列{an }中，a 1＝13，S n 为数列{an }的前n 项和且S n＝n (2n －1)an ，则an ＝________.解析：∵S n ＝n (2n －1)an ，S n －1＝(n －1)(2n －3)an －1(n ≥2)，两式相减得(2n ＋1)an ＝(2n－3)an －1(n ≥2)，由累乘方可得an ＝14n 2－1，而a 1＝13也满足上式．答案：14n 2－1。

2015届高考数学总复习配套课件：5-1 数列的概念及简单表示法

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即得an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1＝5×2×23×…×n－n 1＝5n，即an＝5n.
有限公
[答案] (1)n2＋1 (2)5n
司
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第二十页，编辑于星期五：十点十四分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干考点解密
研考向要点探究
悟典题能力提升
提升
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子
提素能
高效
训练集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是
数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑山
东
数列方法的特征性．
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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第六页，编辑于星期五：十点十四分。
高考总复习 A 数学（文）
n为奇数 n为偶数
，有的数列没有通项公式．
山东金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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第九页，编辑于星期五：十点十四分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干考点解密
研考向要点探究
2．已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0，…，则下列各式不可以作
悟典题为数列{an}的通项公式的一项是( )
山东
3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44.
金
太
答案：A
阳
书
业
有
限
公
司
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第十四页，编辑于星期五：十点十四分。

苏教版高三数学复习课件5.1 数列

第五知识块
第1课时
数列
数列
了解数列的概念和几种简单的表示法/了解数列是自变量为正整数的一类函数．
【命题预测】数列在历年高考中都占有较重的地位，一般情况下会有一至两个客观性试题和一个解答题，客观性试题主要考查等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式或基本知识和基本性质的灵活应用．
(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋n，且a1＝0，求an.

思路点拨：(1)转化为等比数列．(2)采用累乘法．(3)采用累加
法．
解：(1)因为an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，所以
所以数列{an＋3}为等比数列．又q＝2，a1＋3＝4，
＝2，
所以an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，an＝2n＋1－3.
2．已知数列前n项和Sn＝2n2＋n，n∈N*，则它的通项公式为
________．
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－
1.
3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋1，则a2 010＝________. 当n＝1 时，上式成立，所以an＝4n－1. 解析：因为an＋1 答案：an＝4n－1 ＝an＋1，所以an＋1－an＝1，所以a2 010＝(a2 010－a2 009)＋(a2 009－a2 008)＋(a2 008－a2 007)＋…＋(a 2－a1) ＝1＋1＋1＋…＋1＝2 009. 答案：2 009

变式1：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式：

(1)
答案：(1)an＝
…；(2)0，
(2)an＝
….
1．由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归

高考数学(苏教,理科)复习课件：第五章数列第一节数列的概念与简单表示法

▪ 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 ▪ 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 ▪ 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 ▪ 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N＋)．
(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×nn1＋1. (3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝ab，，nn为为奇偶数数，. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1.

2015高考数学一轮复习精选课件：第5章第1节数列的概念与简单表示法

即 a1＝a21.因为 a1≠0，所以 a1＝1. 令 n＝2，得 2a2－1＝S2＝1＋a2.解得 a2＝2. 当 n≥2 时，2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1，两式相减，得 2an－2an－1＝an，即 an＝2an－1. 于是数列{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
第一节数列的概念与简单表示法
考 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法纲
(列表、图象、通项公式)．
展示 2．了解数列是编辑于星期五：十二点十七分。
高频考点全通关——an与Sn关系的应用
闯关一：了解考情，熟悉命题角度
【考情分析】
an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题．【命题角度】
Sn－Sn－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；当 n＝1 时，若 a1 不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示． (2)由 an 与 Sn 的关系求 Sn.通常利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)将已知关系式转化为 Sn 与 Sn－1 的关系式，然后求解．
第五页，编辑于星期五：十二点十七分。
a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44.
法二：当 n≥1 时，an＋1＝3Sn，则 an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即 an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第 2 项开始是以 4 为公比的等比数列，
又
a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝
高频考点全通关——an与Sn关系的应用
闯关四：及时演练，强化提升解题技能

2015年高考数学总复习配套教案：5.1数列的概念及其简单表示法

第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法(对应学生用书(文)、(理)70～71页)考情分析考点新知理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式)；了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式．①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.1. (必修5P32习题1改编)一个数列的前四项为－1，12，－13，14，则它的一个通项公式是________．答案：a n＝(－1)n1n2. (必修5P31练习2改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝n＋12n＋3，则这个数列的第5项是________．答案：a5＝6133. (必修5P44习题8改编)若数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n，则a6＋a7＋a8＝________．答案：48解析：a6＋a7＋a8＝S8－S5＝88－40＝48.4. (必修5P32习题6改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2－8n＋5，这个数列的最小项是________．答案：－11解析：由a n ＝(n －4)2－11，知n ＝4时，a n 取最小值为－11.1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数． 2. 数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列．项数无限的数列叫做无穷数列． 3. 数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成是以正整数为定义域的函数a n ＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f(x)，如果f(i)(i ＝1，2，3，…)有意义，那么可以得到一个数列{f(n)}．4. 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式a n ＝f(n)(n ＝1，2，3，…)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．5. 数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[备课札记]题型1 由数列的前几项写通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式： (1) 1，－3，5，－7，9，… (2) 1，0，13，0，15，0，17，…(3) a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(4) 0.9，0.99，0.999，0.9999，… (5) 1，22，12，24，14，… 解：(1) a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)． (2) a n ＝1－（－1）n2n.(3) a n ＝（－1）n ＋1（a －b ）＋a ＋b2.(4) a n ＝1－110n .(5) a n ＝(2)1－n .变式训练写出下列数列的一个通项公式： (1) －12，2，－92，8，－252，…(2) 5，55，555，5555，… (3) 1，3，6，10，15，… 解：(1) a n ＝(－1)nn 22. (2) a n ＝59(10n －1)．(3) a n ＝n （n ＋1）2.题型2 由a n 与S n 关系求a n例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n . (1) S n ＝3n －1； (2) S n ＝n 2＋3n ＋1.解：(1) n ＝1时，a 1＝S 1＝2. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.当n ＝1时，a n ＝1符合上式． ∴ a n ＝2·3n －1. (2) n ＝1时，a 1＝S 1＝5. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2. 当n ＝1时a 1＝5不符合上式．∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n ＋2，n ≥2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)的导函数f′(x)＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值．解：由题意可知：∵ f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)，∴ f ′(x)＝2ax ＋b ，由f′(x)＝－2x ＋7对应相等可得a ＝－1，b ＝7，∴ 可得f(x)＝－x 2＋7x.因为点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，所以有S n＝－n 2＋7n.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，a 1＝6适合上式， ∴ a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0得n ≤4，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. 综上，a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. 题型3 数列的性质例3 如下表定义函数f(x)：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f(a n －1)，n ＝2，3，4，…，求a 2 008.解：a 1＝4，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，…，可得a n ＋4＝a n .所以a 2008＝a 4＝2. 备选变式（教师专享）已知数列{}a n 的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求数列前30项中的最大项和最小项．解：∵a n ＝1＋99－98n －99，∴当n ≤9时，a n 随着n 的增大越来越小且小于1，当10≤n ≤30时，a n 随着n 的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a 10，最小项为a 9.1. 已知a 1＝1，a n ＝n(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是________．答案：a n ＝n解析：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n .∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列，且a n n ＝a 11＝1.∴ a n ＝n.2. 设a ＞0，若a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）n －3，n ≤7，a n －6，n ＞7，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．答案：2＜a ＜3解析：由{a n}是递增数列，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，a 8＞a 7，解得⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ＜－9或a ＞2，∴ 2＜a ＜3.3. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则{a n }的通项公式为__________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2解析：由log 2(1＋S n )＝n ＋1，得S n ＝2n ＋1－1. n ＝1时，a 1＝S 1＝3. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .当n ＝1时a 1＝3不符合上式，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.4. (2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N ，则a 3＝________．答案：－116解析：当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18，则a 1＋a 2＋2a 3＝－18，当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，两式相减得a 3＝－116.5. 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n （n ＋4）⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________．答案：4解析：设最大项为第k 项，则有⎩⎪⎨⎪⎧k （k ＋4）⎝⎛⎭⎫23k ≥（k ＋1）（k ＋5）⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k （k ＋4）⎝⎛⎭⎫23k≥（k －1）（k ＋3）⎝⎛⎭⎫23k －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ≥10或k ≤－10，1－10≤k ≤1＋10，∴ k ＝4.1. 若a n ＝n 2＋λn ＋3(其中λ为实常数)，n ∈N *，且数列{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．答案：(－3，＋∞)解析：解法1：(函数观点)因为{a n }为单调递增数列，所以a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＋3＞n 2＋λn ＋3，化简为λ＞－2n －1对一切n ∈N *都成立，所以λ＞－3.故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．解法2：(数形结合法)因为{a n }为单调递增数列，所以a 1＜a 2，要保证a 1＜a 2成立，二次函数f(x)＝x 2＋λx ＋3的对称轴x ＝－λ2应位于1和2中点的左侧，即－λ2＜32，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．2. 已知a n ＝n ×0.8n (n ∈N *)． (1) 判断数列{a n }的单调性；(2) 是否存在最小正整数k ，使得数列{a n }中的任意一项均小于k ？请说明理由．解：(1) ∵a n ＋1－a n ＝4－n5×0.8n (n ∈N *)，∴n ＜4时，a n ＜a n ＋1；n ＝4时，a 4＝a 5；n ＞4时，a n ＞a n ＋1.即a 1，a 2，a 3，a 4单调递增，a 4＝a 5，而a 5，a 6，…单调递减．(2) 由(1) 知，数列{a n }的第4项与第5项相等且最大，最大项是4554＝1024625＝1399625.故存在最小的正整数k ＝2，使得数列{a n }中的任意一项均小于k.3. 若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．(1) 设数列{a n }为“凸数列”，若a 1＝1，a 2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和；(2) 在“凸数列”{a n }中，求证：a n ＋3＝－a n ，n ∈N *；(3) 设a 1＝a ，a 2＝b ，若数列{a n }为“凸数列”，求数列前2011项和S 2 011.(1) 解：a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－3，a 4＝－1，a 5＝2，a 6＝3，故S 6＝0.(2) 证明：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋3，所以a n ＋3＝－a n .(3) 解：由(2) 的结论得a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，即a n ＋6＝a n . a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b ， ∴S 6＝0.由(2)得S 6n ＋k ＝S k ，n ∈N *，k ＝1，…，6，故S 2 011＝S 335×6＋1＝a 1＝a.4. 已知数列的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)．(1) 求{a n }的通项公式；(2) 令T n ＝⎝⎛⎭⎫45nS n ，是否存在正整数m ，对一切正整数n ，总有T n ≤T m ？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．解：(1) 令n ＝1，由a 1＝2及na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)，① 得a 2＝4，故a 2－a 1＝2，当n ≥2时，有(n －1)a n ＝S n －1＋n(n －1)，② ①－②，得na n ＋1－(n －1)a n ＝a n ＋2n. 整理得a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)．当n ＝1时，a 2－a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列，故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.(2) 由(1)得S n ＝n(n ＋1)，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫45n(n 2＋n)．故T n ＋1＝⎝⎛⎭⎫45n ＋1[(n ＋1)2＋(n ＋1)]，令⎩⎪⎨⎪⎧T n ≥T n ＋1，T n ≥T n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫45n（n 2＋n ）≥⎝⎛⎭⎫45n ＋1[（n ＋1）2＋（n ＋1）]，⎝⎛⎭⎫45n（n 2＋n ）≥⎝⎛⎭⎫45n －1[（n －1）2＋（n －1）]，即⎩⎨⎧n ≥45（n ＋2），45（n ＋1）≥n －1，解得8≤n ≤9.故T 1<T 2<…<T 8＝T 9>T 10>T 11>…故存在正整数m 对一切正整数n ，总有T n ≤T m ，此时m ＝8或m ＝9.1. 数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，数列可以看作是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．2. 根据所给数列的前几项求其通项，需要仔细观察分析，抓住特征：分式中分子、分母的独立特征，相邻项变化的特征，拆项后的特征，各项的符号特征和绝对值特征，并由此进行化归、归纳、联想．3. 通项a n 与前n 项和S n 的关系是一个十分重要的考点．运用时不要忘记讨论a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

完美版课件江苏省高考数学总复习-第5章第一节课件-理-苏教版

又 a1＝1 符合该式， ∴an＝6n－5(n∈N*)
(2)bn＝ana3n＋1＝6n－536n＋1＝12 6n1－5－6n1＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝12[(1－17)＋(17－113)＋(113－119)＋…＋ (6n1－5－6n1＋1)]＝12(1－6n1＋1)．
又∵Tn＜2m0对 n∈N*都成立， ∴12(1－6n1＋1)＜2m0，
【思路分析】 (1)将点(n，Snn)代入，分 n ＝1 和 n≥2 两种情况讨论；(2)用累加法求
出 Tn，利用 Tn<2m0对所有 n∈N*都成立求解．
【解】 (1)把点(n，Snn)代入函数 y＝3x－2，
∴Snn＝3n－2，∴Sn＝3n2－2n，当 n＝1 时，a1＝S1＝1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－ 1)2－2(n－1)]＝6n－5.
答案：－14
3．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，
则 10－3 是此数列的第________项．
答案：9
4．已知数列{an}前n项和Sn＝n2－2n＋2， n∈N*，则a3＝________. 答案：3
考点探究·挑战高考
考点突破
由数列的前几项写出数列的通项公式
根据数列的前几项写出其通项公式，首先观察数列中的项与其序号之间的关系，给出的是分数数列时，要将分子、分母分别观察，同时要注意分子分母之间的联系；其次要注意项与项之间的关系，利用逐差法、累加法、累乘法等技巧进行探求．关于数列的通项公式有时是不惟一的．
【解析】 OA1＝A1A2＝1，则 OA2＝ 2，同理 OA3＝ 3，… ∴OAn＝an＝ n.
【答案】 n
【名师点评】由数列的前几项写出其通项公式应先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；分析符号、数字、字母与项数n在变化过程中的联系，初步归纳出公式，再取n的特殊值进行检验，如果有误差再做调整．

2015高考数学一轮总复习课件：5.1 数列的概念及简单表示

握这类问题的解决方法．
规律总结：在研究数列的性质时，单调性是热点问题之一，判断数列单调性的常用方法有以下两种：
(1)作差比较法．an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0 ⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
第二十四页，编辑于星期五：十二点三十四分。
迁移发散 1. 下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( C )
n（n－1）
n（n＋1）
A. an＝n2－n＋1 B. an＝ 2
C. an＝ 2
n（n＋2） D. an＝ 2
解析：从图中可观察星星的构成规律，n＝1 时，有 1 个；n＝2 时，有 3 个；
n＝3 时，有 6 个；n＝4 时，有 10 个；…；
•7. 数列应用题将是命题的热点，解这类题关键在于建模及应用数列的一些相关知
识．
第五页，编辑于星期五：十二点三十四分。
§5.1 数列的概念及简单表示
最新考纲（三年9考）
1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图像法、解析法)． 2. 了解数列是一个自变量为整数的函数．
第六页，编辑于星期五：十二点三十四分。
5 10 13 17 a－b (2)数列 3 ， 8 ， 11 ，a＋b， 24 ，…，有序实数对(a，b)可以是( D )
A. (21，－5)
B. (16，－1)
C. －421，121
D. 421，－121
第十七页，编辑于星期五：十二点三十四分。
思路点拨：找出数列的通项公式，应注意观察数列中 an 和 n 的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，(－1)n 和相关数列，等差、等比数列，及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式，在选择题中，可以用特例法或排除法得到结果．

2015高考数学(苏教文)一轮课件：6-1数列的概念与简单表示法

诊突培断破养基高解础频题
第二十一页，编辑于星期五：十五点十三分。
(2)an＋1＝3an＋2，即 an＋1＋1＝3(an＋1)，即aan＋n＋1＋11＝3，法一 aa21＋＋11＝3，aa23＋＋11＝3，aa43＋＋11＝3，…，aan＋n＋1＋11＝3.将这些等式两边分别相乘得aan＋1＋1＋11＝3n. 因为 a1＝1，所以an1＋＋1＋11＝3n，即 an＋1＝2×3n－1(n≥1)，所以 an＝2×3n－1－1(n≥2)，又 a1＝1 也满足上式，故 an＝2×3n－1－1.
按项数分类
按项与项间的大小关系分类
类型有穷数列无穷数列递增数列递减数列常数列
满足条件
项数有限
项数无限
an＋1＞an an＋1＜an an＋1＝an
其中 n∈N＋
诊突培断破养基高解础频题
第三页，编辑于星期五：十五点十三分。
有界数列
存在正数 M，使|an|≤M
按其他标准分类摆动数列 an 的符号正负相间，如 1，－1,1，－1，…
第十九页，编辑于星期五：十五点十三分。
考点三由递推公式求数列的通项公式
【例3】在数列{an}中， (1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________； (2)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝________.
审题路线 (1)变形为 an＋1－an＝n＋1⇒用累加法，即 an＝a1＋ (a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)⇒得出 an. (2)变形为 an＋1＋1＝3(an＋1)⇒再变形为aan＋n＋1＋11＝13⇒用累乘法或迭代法可求 an.
第十一页，编辑于星期五：十五点十三分。

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答案：n2－n＋8
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，„；
1 1 1 1 (2)－，，－，，„； 1×2 2×3 3×4 4×5
(3)a，b，a，b，a，b，„(其中 a，b 为实数)；
(4)9,99,999,9 999，„.
前一项 an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，
那么这个公式叫数列的递推公式．
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
答案：961
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
2． (2014· 苏锡常镇调研)设 u(n)表示正整数 n 的个位数， an＝u(n2) －u(n)，则数列{an}的前 2 014 项和等于________．
解析：因为 n 与 n＋10 的个位数字相同且周期为 10，又 a1 ＝0， a2＝4－2＝ 2，a3＝9－3＝6，a4＝6－4＝2，a5＝5－ 5 ＝0，a6＝6－6＝0，a7＝9－7＝2，a8＝4－8＝－4，a9＝1－9 ＝－8，a10＝0，所以 a1＋a2＋„＋a10＝0，即 a1＋a2＋„＋ a2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝10.
a，n为奇数，公式an＝ b，n为偶数.
(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1.
数学
第一节数列的概念与简单表示法[ Nhomakorabea题通法]
用观察法求数列的通项公式的技巧
(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n 1 来调整．
答案：10
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
1.(2014· 南通二模)将正偶数按如下所示的规律排列：
2 4 8 14
„
6 10
12
16
18
20
则第 n(n≥4)行从左向右的第 4 个数为________．
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
解析：从数表可知，所有的数是由偶数组成的，第 n 行有 n 个 nn－1 偶数，从而前 n－1 行有 1＋2＋„＋(n－1)＝个偶数， 2 nn－1 第(n≥4)行从左向右的第 4 个数是第＋4 个偶数，所以 2 是 n2－n＋8.
n＝1， n≥2.
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
[练一练] 1．(2013· 南京、淮安二模)已知数列{an}的通项为 an＝7n＋2，数
列{bn}的通项为 bn＝n2.若将数列{an}，{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{cn}，则 c9 的值是________．
解析：法一：由 an＝7n＋2，bn＝n
易发现在数列{bn}中符合条件的数呈周期变化，且周
期为 7.每个周期内第 3,4 个数符合题意，故 c9 在第 5 个周期的第 3 个数，即 c9＝(4×7＋3)2＝312＝961. 法二：令 an＝bm，则 7n＋2＝m2，即 7(n－1)＝(m－3)(m＋3)．易知 m＋3 或 m－3 是 7 的整数倍，所以当 m＝ 3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，„时满足等式，故 c9＝312＝961.
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
[试一试]
1．已知数列{an}的前 4 项为 1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为________．
答案：an＝2n－1(n∈N*)
－ 3n 1n为偶数， 2· an＝ 2n－5n为奇数，
2．已知数列{an}的通项公式是 a4· a3＝________.
第一节
数列的概念与简单表示法
第一节
数列的概念与简单表示法
1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数．
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
(2)数列的分类：
分类标准项数
类型有穷数列无穷数列
满足条件
有限项数_____ 无限项数_____
项与项间
的大小关系
递增数列
递减数列常数列
an＋1 > an
an＋1 < an an＋1＝an
其中 n∈N*
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
(3)数列的通项公式：
如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项 an 与它的
＋
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
a2＝16， b4＝16， a14＝100， b10＝100，
2
a1＝9，列出部分项得 b3＝9， a41＝289， b17＝289，
a17＝121， b11＝121，
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
a46＝324， b18＝324，
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N＋)． (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数 1 项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1) × . nn＋1
n
(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项
则
解析：a4· a3＝2×33· (2×3－5)＝54.
答案：54
数学
第一节
数列的概念与简单表示法
1．辨明数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
2．明确 an 与 Sn 的关系
S1 an＝ Sn－Sn－1