专题10 圆锥曲线热点难点突破-2018年高考数学文考纲解读
2018年高考文数解析几何圆锥曲线精选试题及知识点分析
文数解析几何1.已知椭圆L：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点(2,2)在L上．(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【答案】解：(Ⅰ)抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，由题意可得c=2，即a2−b2=4，又点(2,在L上，可得4a+2b=1，解得a=22，b=2，即有椭圆L：x28+y24=1；(Ⅱ)证明：设直线l的方程为y=kx+b(k,b≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线y=kx+b代入椭圆方程x28+y24=1，可得(1+2k2)x2+4kbx+2b2−8=0，x1+x2=−4kb1+2k2，即有AB的中点M的横坐标为−2kb1+2k，纵坐标为−k⋅2kb1+2k+b=b1+2k，直线OM的斜率为k OM=y M xM=−12⋅1k，即有k OM⋅k=−12．则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【解析】(Ⅰ)求得抛物线的焦点，可得c=2，再由点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+b(k,b≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，可得直线OM的斜率，进而得到证明．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程和a，b，c的关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．2.设椭圆C：x2a+y2b=1(a>b>0)，过点Q(2,1)，右焦点F(2,0)，(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l：y=k(x−1)(k>0)分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若CN=MD，求k值，并求出弦长|MN|．【答案】解：(Ⅰ)椭圆过点Q(1)，可得2a+1b=1，由题意可得c=2，即a2−b2=2，解得a=2，b=2，即有椭圆C的方程为x24+y22=1；(Ⅱ)直线l：y=k(x−1)与x轴交点C(1,0)，y轴交点D(0,−k)，联立y=k(x−1)x2+2y2=4，消y得，(1+2k2)x2−4k2x+2k2−4=0，①设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=4k21+2k2，CN=(x2−1,y2)，MD=(−x1,−k−y1)，由CN=MD，得：x1+x2=4k21+2k2=1，解得k=±22.由k>0得k=22代入①得2x2−2x−3=0，x1+x2=1，x1x2=−32，可得|MN|=2⋅(x1+x2)2−4x1x2=32⋅1+6=422．【解析】(Ⅰ)将Q的坐标代入椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)求出直线l与x，y轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值，运用弦长公式可得弦长|MN|．本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量相等的条件，同时考查弦长公式的运用，以及运算能力，属于中档题．3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A．(1)求该椭圆的方程：(2)过点D(2,−2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【答案】解：(1)由题意可知：椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)，焦点在x轴上，2c=2，c=1，椭圆的离心率e=ca =22，则a=，b2=a2−c2=1，则椭圆的标准方程：x22+y2=1；(2)证明：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，A(2,0)，当直线PQ不存在时，不符合题意。
2018版高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第十章 圆锥曲线与方
考点1
Contents
考情精解读
数学
考情精解读 1
考纲解读
命题规律
命题趋势
第十章
考试大纲
01 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
数学
考情精解读 2
考纲解读
命题规律
命题趋势
第十章
考点 2016全国 2015全国 2014全国
轨迹方程 的求法
·全国Ⅰ,20,12 分
·全国Ⅲ,20(Ⅱ)
数学
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数学
题型全突破 5
考法2 定义法求轨迹方程
第十章
考法指导 定义法求轨迹方程的步骤: (1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义; (2)设标准方程,求方程中的基本量; (3)求轨迹方程. 注意 利用定义法求轨迹方程时,要看所求轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如
果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限. 制.
第十章
数学
题型全突破 8
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第十章
数学
题型全突破 9
第十章
数学
题型全突破 10
Hale Waihona Puke 考点4 参数法求轨迹方程.
第十章
数学
题型全突破 11
考法示例4 若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1,l2分别与x轴、y轴交于A,B
两点,则AB中点M的轨迹方程为
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第十章
题型全突破
数学
题型全突破 1
考法1 直接法求轨迹方程
第十章
考法指导 直接法求轨迹方程的一般步骤: (1)建立恰当的直角坐标系; (2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程; (3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲线的方程. 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价
高三数学-2018年高考数学圆锥曲线方程考前辅导讲座 精
圆锥曲线方程考前辅导讲座【考点审视】1． 考点分析：圆锥曲线是平面几何的核心内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中占总分的15%左右。
综观近年来的高考试题，一是圆锥曲线在高考试题中所占的比重大，题型、题量、难度保持相对稳定，且选择题、填空题、解答题均涉及；二是难度所占比重大，解答题多次在“压轴题”中出现，集中体现对同学们综合知识和灵活应变能力的考查。
估计2018年高考中，对圆锥曲线的考查仍将保持稳定。
圆锥曲线的概念和性质，求曲线方程或点的轨迹，直线与圆锥曲线的关系，两圆锥曲线的关系，定值、最值问题仍将是主要考查内容。
特别注意解析几何与向量、三角、代数结合的学科内综合性的问题。
2． 考试要求：⑴掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程； ⑵掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质； ⑶掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线的简单几何性质；⑷了解圆锥曲线的一些实际应用，了解用坐标研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。
【疑难点拔】 1．要点归纳：⑴圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质。
⑵直线和圆锥曲线的位置关系，常用联立方程组、判别式来判断，特别当直线与圆锥曲线有两个相异的公共点时，则此直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
注意弦长公式。
⑶关于圆锥曲线的中点弦问题，常用点差法，或联立方程组解决。
⑷轨迹问题①常用方法有：直接法；待定系数法；定义法；转移法；参数法。
②区别是“求轨迹”还是“求轨迹方程”，若是“求轨迹”，求出方程后，还应指出方程所表示的曲线类型。
③要注意轨迹的范围问题。
⑸圆锥曲线的最值问题：解法一般分为两种，一是几何法，特别是圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来处理；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用重要不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等来求解。
2．错题分析例1． 设F 1、F 2是双曲线1201622=-y x 的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离。
2018届高考数学(全国通用)二轮复习压轴大题精品讲义 第2讲 圆锥曲线的热点问题
第2讲 圆锥曲线的热点问题[明考情]圆锥曲线的热点问题作为直线与圆锥曲线的位置关系的延伸与深化，是高考的必考点，高考中常选取其中一个热点问题作为圆锥曲线的压轴题目. [知考向]1.范围与最值问题.2.定值、定点问题.3.探索性问题.考点一 范围与最值问题方法技巧 圆锥曲线的最值和范围问题解题常见思路 (1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立相关关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.1.已知点A (1，0)，点M 是圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的任意一点，线段MA 的垂直平分线与直线CM 交于点E . (1)求点E 的轨迹方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围.解 (1)由题意知|EM |＝|EA |，|CE |＋|EM |＝22， 所以|CE |＋|EA |＝22＞2＝|CA |，所以点E 的轨迹是以点C ，A 为焦点的椭圆，其轨迹方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则将直线与椭圆的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝2，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， Δ＞0，m 2＜2k 2＋1.①x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.因为点O 在以PQ 为直径的圆的内部，故OP →·OQ →＜0，即x 1x 2＋y 1y 2＜0， 而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－2k 22k 2＋1，故由x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1＜0，得m 2＜2k 2＋23，且满足①式，所以m 2＜23，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63. 2.如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称.(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0.①则x 1x 2＝b 2－112＋1m 2＝2m 2(b 2－1)m 2＋2， x 1＋x 2＝2b m 12＋1m 2＝4mbm 2＋2，y 1＋y 2＝－1m (x 1＋x 2)＋2b ＝－1m ×4mb m 2＋2＋2b ＝2bm 2m 2＋2.设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②，得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且点O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立.故△AOB 面积的最大值为22. 3.已知抛物线y 2＝4x ，直线l ：y ＝－12x ＋b 与抛物线交于A ，B 两点.(1)若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；(2)若直线l 与y 轴负半轴相交，求△AOB (O 为坐标原点)面积的最大值. 解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x ，化简得y 2＋8y －8b ＝0.由Δ＝64＋32b ＞0，解得b ＞－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b . 设圆心Q (x 0，y 0)，则有x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4， r ＝|y 0|＝4，|AB |＝1＋(－2)2|y 1－y 2|＝5(64＋32b )＝2r ＝8，解得b ＝－85.所以x 0＝2b ＋8＝245，圆心Q ⎝⎛⎭⎫245，－4，故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2452＋(y ＋4)2＝16. (2)因为直线与y 轴负半轴相交，所以b ＜0. 又直线与抛物线交于两点，由(1)知b ＞－2， 所以－2＜b ＜0，直线l 的方程为y ＝－12x ＋b ，整理得x ＋2y －2b ＝0，点O 到直线l 的距离d ＝|－2b |5＝－2b5，所以S △AOB ＝12|AB |d ＝－42b ·2＋b ＝42·b 3＋2b 2.令g (b )＝b 3＋2b 2，－2＜b ＜0，g ′(b )＝3b 2＋4b ＝3b ⎝⎛⎭⎫b ＋43， 当b 变化时，g ′(b )，g (b )的变化情况如下表：由上表可得g (b )的最大值为g ⎝⎛⎭⎫－43＝3227. 所以当b ＝－43时，△AOB 的面积取得最大值3239.4.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －32交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝24.M 是线段OC 延长线上一点，且|MC |∶|AB |＝2∶3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.解 (1)由题意知e ＝c a ＝22，2c ＝2，所以c ＝1，a ＝2，则b ＝1， 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0，由题意知Δ＞0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)， 所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝21＋k 211＋8k 211＋2k 21.由题意可知圆M 的半径r 为r ＝23|AB |＝2231＋k 211＋8k 211＋2k 21.由题设知k 1k 2＝24， 所以k 2＝24k 1，因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x ，联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21， 因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21.由题意可知，sin ∠SOT 2＝r r ＋|OC |＝11＋|OC |r.而|OC |r＝1＋8k 211＋4k 212231＋k 211＋8k 211＋2k 21＝3241＋2k 211＋4k 211＋k 21，令t ＝1＋2k 21，则t ＞1，1t ∈(0，1)， 因此|OC |r ＝32·t2t 2＋t －1＝32·12＋1t －1t 2＝32·1－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94≥1， 当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22，所以sin∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6， 所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22.考点二 定值、定点问题方法技巧 (1)定点问题的常见解法①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点； ②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意. (2)定值问题的常见解法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.5.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况.理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又点C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.6.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于y 轴对称且经过点M (2，1). (1)求抛物线C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M 作抛物线C 的两条弦MA ，MB ，设MA ，MB 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＋k 2＝－2时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值. 解 (1)设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)， 由点M (2，1)在抛物线C 上，得4＝2p ， 则p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设该等边三角形OPQ 的顶点P ，Q 在抛物线上， 且P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x 2P ＝4y P ，x 2Q ＝4y Q ，由|OP |＝|OQ |，得x 2P ＋y 2P ＝x 2Q ＋y 2Q ，即(y P －y Q )(y P ＋y Q ＋4)＝0.又y P >0，y Q >0，则y P ＝y Q ，|x P |＝|x Q |， 即线段PQ 关于y 轴对称. ∴∠POy ＝30°，y P ＝3|x P |， 代入x 2P ＝4y P ，得x P ＝±43， ∴该等边三角形边长为83，S △POQ ＝48 3. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝14x 21－1x 1－2＋14x 22－1x 2－2＝14(x 1＋2＋x 2＋2)＝－2.∴x 1＋x 2＝－12，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝－3.7.(2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点. 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上.因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1). 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0， 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1).8.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E 的离心率为12，椭圆E 的一个焦点和抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，过直线l ：x ＝4上一点M 引椭圆E 的两条切线，切点分别是A ，B . (1)求椭圆E 的方程；(2)若在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点(x 0，y 0)处的切线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，求证：直线AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标.(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为抛物线y 2＝－4x 的焦点是(－1，0)，所以c ＝1. 又c a ＝12，所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝3，所以所求椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设切点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 上一点M 的坐标为(4，t )， 则切线方程分别为x 1x 4＋y 1y 3＝1，x 2x 4＋y 2y3＝1.又两切线均过点M ，即x 1＋t 3y 1＝1，x 2＋t3y 2＝1，即点A ，B 的坐标都适合方程x ＋t3y ＝1.又两点确定唯一的一条直线， 故直线AB 的方程是x ＋t3y ＝1，显然对任意实数t ，点(1，0)都适合这个方程， 故直线AB 恒过定点C (1，0). 考点三 探索性问题方法技巧 探索性问题的求解方法(1)处理这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出与已知、定理或公理相符的结论，则存在性得到肯定；若导致矛盾，则否定存在性.若证明某结论不存在，也可以采用反证法.(2)采用特殊化思想求解，即根据题目中的一些特殊关系，归纳出一般结论，然后进行证明，得出结论.9.(2017·湖南东部五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c ，0)且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2，1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的对称性知，|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4， ∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32， ∴bc a ＝32，∴bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0， ∴b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件.故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k2， x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，Δ＝32(6k ＋3)＞0，∴k ＞－12.∵OP 2＝4P A →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2) ＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去，∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .10.(2016·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点， 故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ， 代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ).代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点.11.在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，理由如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a .当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)的离心率e ＝22，其右焦点到直线2ax ＋by －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，求实数m 的取值范围.(3)过点P ⎝⎛⎭⎫0，－13的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意知e ＝c a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2，可得a ＝2b ，c ＝b .因为右焦点(c ，0)到直线2ax ＋by －2＝0的距离为23，所以|2ac －2|4a 2＋b 2＝23，又c ＝b ，a ＝2b ，a ＞b ≥1，解得b ＝1，所以a 2＝2，c ＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y 可得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＞0⇒－3＜m ＜ 3.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m3，所以线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－2m 3，m3. 因为MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内， 所以⎝⎛⎭⎫－2m 32＋⎝⎛⎭⎫m 32≥1⇒m ≥355或m ≤－355. 综上可知，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－3，－355∪⎣⎡⎭⎫355，3.(3)假设存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过该定点. 当AB ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1； 当AB ⊥y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，那么这个定点Q 的坐标为(0，1).当直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为y ＝kx －13(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，可得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝4k3(2k 2＋1)，x 3x 4＝－169(2k 2＋1)，则QA →＝(x 3，y 3－1)，QB →＝(x 4，y 4－1)，从而QA →·QB →＝x 3x 4＋(y 3－1)(y 4－1)＝x 3x 4＋⎝⎛⎭⎫kx 3－43⎝⎛⎭⎫kx 4－43 ＝(1＋k 2)x 3x 4－43k (x 3＋x 4)＋169＝(1＋k 2)·－169(2k 2＋1)－43k ·4k 3(2k 2＋1)＋169＝0，故QA →⊥QB →，即点Q (0，1)在以AB 为直径的圆上.综上，存在定点Q (0，1)，使以AB 为直径的圆恒过这个定点.例 (12分)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由. 审题路线图(1)联立直线方程与椭圆方程―→一元二次方程―→中点坐标―→求出斜率乘积 (2)先假定四边形OAPB 能为平行四边形―→找几何关系：平行四边形的对角线互相平分 ―→转化成代数关系：x P ＝2x M ―→求k 规范解答·评分标准(1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).……………………………………………………………………2分将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.……………………………………………4分于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.………………………………………6分 (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形.…………………………………………………7分 因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ， 所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9 .………………………………9分将点⎝⎛⎭⎫m3，m 的坐标代入l 的方程，得b ＝m (3－k )3， 因此x M ＝k (k －3)m3(k 2＋9).………………………………………………………………………10分四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km3k 2＋9＝2×k (k －3)m3(k 2＋9)， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形.………………12分 构建答题模板[第一步] 先假定：假设结论成立.[第二步] 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.[第三步] 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设. [第四步] 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.1.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，D ，E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且2DEF S △＝1－32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)在椭圆C 1落在第一象限的图象上任取一点作C 1的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值.解 (1)由题意知e ＝c a ＝32，故c ＝32a ，b ＝12a .∵2DEF S △＝12(a －c )×b ＝12⎝⎛⎭⎫a －32a ×a 2＝14⎝⎛⎭⎫1－32a 2＝1－32.故a 2＝4，即a ＝2，b ＝12a ＝1，c ＝3，∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵l 与椭圆C 1相切于第一象限内的一点， ∴直线l 的斜率必存在且为负. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 整理可得⎝⎛⎭⎫k 2＋14x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0.①根据题意可得方程①有两相等实根，∴Δ＝(2km )2－4⎝⎛⎭⎫k 2＋14(m 2－1)＝0，整理可得m 2＝4k 2＋1.②∵直线l 与两坐标轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－mk ，0，(0，m )且k ＜0，∴l 与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12·m 2－k ，③②代入③，可得S ＝(－2k )＋1－2k≥2(当且仅当k ＝－12时取等号)，∴l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.2.(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)， NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0). 由NP →＝2NM →，得x 0＝x ，y 0＝22y ，因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明 由题意知F (－1，0).设Q (－3，t )，P (m ，n )， 则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )， OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n ). 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0， 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →， 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .3.(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值.(1)解 由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知，A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1. 当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， ∴|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.4.如图所示，已知椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点构成边长为5的菱形，原点O 到直线AB 的距离为125，其中A (0，a )，B (－b ，0).直线l ：x ＝my ＋n 与椭圆M 相交于C ，D 两点，。
2018届浙江省高考试题逐类透析――圆锥曲线
七、平面解析几何（二）圆锥曲线一、高考考什么？[考试说明]5．掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质。
6．会解决直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系。
7．了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系。
8. 了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程。
[知识梳理]弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A（）、B（），则：＝＝通径：椭圆、双曲线，抛物线定义及基本量：椭圆双曲线抛物线定义基本量离心率抛物线：若的焦点弦为AB，，则：①②；③[全面解读]圆锥曲线是高中数学教学的核心内容之一，在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
综观历年高考，试题中几乎考查了解析几何教学中的所有内容，重点考查了定义、位置关系、弦长、离心率、渐近线等问题，有较高的思维度和灵活性，通过一定量的计算，分析研究圆锥曲线的性质特点，充分考查解析几何的本质。
[难度系数] ★★★★☆二、高考怎么考？[原题解析][2004年]（4）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是( )A．y2=8-4x B．y2=4x-8 C．y2=16-4x D．y2=4x-16（9）若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx 的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ( )A． B． C． D．[2005年]（13）过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．[2008年]（12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=___________。
[2009年]（9）过双曲线（）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．[2010年]（8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A． B．C． D．（13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为________。
2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析
2018 年第 7—8 期 （总第 187—188 期）
中国数学教育
ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU
№7—8，2018 General，№187—188
2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析
任佩文，张 强，霍文明 （河北正中实验中学；河北省教育科学研究所；河北正定中学）
摘 要：2018 年高考数学试卷中，“圆锥曲线与方程”专题占有很大的比重 . 知识方面，命题者注 重对圆锥曲线的标准方程和基本概念进行考查，注重对利用平面图形的几何性质对圆锥曲线的方程进 行研究的考查，注重圆锥曲线与平面向量知识的综合，体现了圆锥曲线试题在高考中的基础性、全面 性和综合性 . 数学思想和能力方面，命题者重视对圆锥曲线中的核心素养——数学运算素养的考查， 重视对数形结合思想通过“以形助数”简化运算、优化思维的考查，重视向量的工具性作用在圆锥曲 线中的应用 .
表2 卷别 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 全国Ⅲ卷 北京卷 天津卷
2018年高考圆锥曲线部分大题解析
1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,P A P B 的中点均在C上。
（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。
解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。
（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||(4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有代入得21428d d =±=±(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。
2018年高考数学考纲与考试说明解读(2021年整理精品文档)
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2018年高考数学考纲与考试说明解读专题一：函数、极限与导数的综合问题（一）不等式、函数与导数部分考查特点分析与建议全国课标卷考查内容分析（考什么)（一）结论：考查的核心知识为：函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数)；函数的性质：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性;函数的图象：包含显性与隐性；导数的应用:导数的概念及其几何意义;利用导数求单调区间、极值、最值与零点;结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．（二）试题题型结构：全国卷基本上是2道选择题或填空题、1道解答题，共3道题.分值为22分．（三）试题难度定位:全国卷对函数与导数的考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一道为中等难度，另一道作为选择、填空的“压轴题"进行考查；解答题均放置于“压轴"位置．小题考点可总结为八类：（1）分段函数； (2）函数的性质; （3)基本函数； （4）函数图像； (5）方程的根（函数的零点)；（6）函数的最值; (7）导数及其应用; (8)定积分。
解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题,有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个．纵观近几年全国新课标高考题,常见的考点可分为六个方面：（1）变量的取值范围问题； （2）证明不等式的问题；（3）方程的根（函数的零点）问题; （4）函数的最值与极值问题； （5）导数的几何意义问题； （6)存在性问题.考点：题型1 函数的概念 例1 有以下判断：①f （x ）＝错误!与g （x ）＝错误!表示同一函数； ②函数y ＝f (x ）的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f （x ）＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数; ④若f (x )＝|x －1|－|x ｜，则f 错误!＝0。
最新-2018年高考数学试题分项版解析专题10 圆锥曲线(
2018年高考试题解析数学（理科）分项版10 圆锥曲线一、选择题:1.(2018年高考新课标全国卷理科4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 452.(2018年高考新课标全国卷理科8)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 83. (2018年高考福建卷理科8)双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．54．(2018年高考浙江卷理科8)如图，F1，F2分别是双曲线C：22221x ya b-=(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是A BC5.(2018年高考山东卷理科10)已知椭圆C：的离心率为，双曲线x²-y²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为6.(2018年高考安徽卷理科9)过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =,则AOB ∆的面积为（ ）()A ()B ()C ()D7. (2018年高考湖南卷理科5)已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又 C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴= ，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==∴C 的方程为220x -25y =1.【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.8. (2018年高考四川卷理科8)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
专题10 圆锥曲线 捷进提升篇-2018年高考数学备考中等生百日捷进提升系列 含解析 精品
第十章圆锥曲线【背一背重点知识】1．椭圆的定义：（1）第一定义：平面内到两定点F1，F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹．（2）第二定义：平面内与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹．（0<e<1）．2．图形、方程及其几何性质：【讲一讲提高技能】 1. 必备技能：（1）要能够灵活应用圆锥曲线的两个定义（及其“括号”内的限制条件）解决有关问题，如果涉及到其两焦点(或两相异定点)，那么优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视第一定义和三角形中正余弦定理等几何性质的应用，尤其注意圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用．（2）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|．因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在． （3）求椭圆的标准方程①定义法：根据椭圆定义，确定22,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．②待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a b c 、、的方程组，解出22,a b ，从而写出椭圆的标准方程．（4）椭圆中有一个十分重要的△OF 1B 2(如图)，它的三边长分别为a bc 、、．易见222c a b =-，且若记12OF B θ∠=，则cos ce aθ==．（5）在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如： ①a c +与a c -分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；②椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长22b a，过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值．（6）共离心率的椭圆系的方程：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率是)(22b a c a c e -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，0a b >>的离心率也是ace = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程． 2．典型例题：例1．【2018湖北宜昌高三1月调研】在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为、，左顶点为，左焦点为，若直线与直线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】依题意，直线与直线互相垂直，，，，，，故选．【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．例2．【2018贵州遵义高三上学期第二次联考】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于A B 、两点．若6AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________．【答案】03e ≤＜【练一练提升能力】1．【2018河南豫南九校高三下学期第一次联考】已知两定点()1,0A -和()1,0B ，动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】试题分析：()1,0A -关于直线:3l y x =+的对称点为()3,2A '-，连接A B '交直线l 于点P ，则椭圆C的长轴长的最小值为A B '=C 的离心率的最大值为5c a ==，故选A ．2．【2018广东珠海高三3月质量检测】过点作斜率为的直线与椭圆： 相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为__________．【答案】双曲线的定义与标准方程、几何性质【背一背重点知识】 1．双曲线的定义：（1）第一定义：平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值为定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹． （2）第二定义：平面内与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹．（1e >）． 2．图形、方程及其几何性质：【讲一讲提高技能】1．必备技能：A．求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．B．几种特殊情况的标准方程的设法(1)与双曲线22221x ya b-=共渐近线的双曲线方程为2222(0)x ya bλλ-=≠．(2)渐近线为ny xm=±的双曲线方程为2222(0)x ym nλλ-=≠．(3)与双曲线22221x ya b-=共焦点的双曲线方程为2222221()x yb aa bλλλ-=-<<--．(4)与椭圆22221x y a b+=(0)a b >>有共同焦点的双曲线方程为2222221()x y b a a b λλλ-=<<--． C ．双曲线渐近线的斜率与离心率的互化渐近线的斜率为b a ±或a b ±，它与离心率可通过以下关系联系起来：22222221()c a b b e a a a+===+． D ．直线与双曲线的位置关系问题，通常涉及双曲线的性质、最值、弦长、垂直、中点等问题．解决的方法通常是把双曲线方程C ：22221x y a b-=与直线方程l ：y ＝kx ＋m(m ≠0)联立消去y ，可整理成2222()b a k x -2222220a mkx a m a b ---=的形式，当2220b a k -=，即bk a=±时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线l 与双曲线C 只有一个交点，也就是说“直线l 与双曲线C 有一个交点”是“直线与双曲线相切”的必要而不充分条件．当2220b a k -≠，即bk a≠±时，再通过研究整理出来的一元二次方程去解决有关弦长、最值等问题． 2．典型例题：例1．【2018江西重点中学盟校高三第一次联考】一般情况下，过双曲线作双曲线的切线，其切线方程为，若过双曲线上一点作双曲线的切线，该切线过点且该切线的斜率为，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】将代入切线方程得，故切线方程可化为，其斜率为，将切点代入双曲线方程得，所以离心率为．故选．例2．【2018安徽黄山高三一模】已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e 的最大值为（ ） A．3 B．3C ．2D ．3【答案】A【解析】考查一般性结论，当12F PF θ∠=时：设12,PF m PF n ==，椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为2a ，两曲线的焦距为c ，结合题意有：122,2m n a m n a +=-=，两式平方相加可得：()2222122m n a a +=+，两式平方作差可得：2212mn a a =-，由余弦定理有：22242cos c m n mn θ=+-， 则：()()222221212422cos c a a a a θ=+--，()()2221221cos 1cos c a a θθ=-++，即22121cos 1cos 122e e θθ-+=+，结合二倍角公式有：222212sin cos 221e e θθ+=．本题中，3πθ=，则有：221213441e e +=，即2212121311442e e e e =+≥=，则121e e ≤22121122,3e e ==时等号成立，据此可得121e e．故选A ． 【名师点睛】圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．【练一练提升能力】1．【2018江西南昌高三一模】已知为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为( )A ．4B ．C ．2D ．【答案】D2．【2018山西晋中高三1月高考适应性调研】已知点是双曲线（，）右支上一点，，分别是双曲线的左，右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的离心率为__________．【答案】2【解析】利用内切圆半径，化为，根据双曲线的定义，有，所以双曲线的离心率．故答案为：2．抛物线的定义与标准方程、几何性质【背一背重点知识】 1．抛物线的定义：平面内与定点和直线的距离相等的点的轨迹．（e =1） 2．图形、方程及其几何性质3．关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则（1）221212,4p x x y y p ==-；（2）22sin pAB θ=；（3）以AB 为直径的圆与准线相切；（4）焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；（5）112.||||FA FB P+= 【讲一讲提高技能】 1必备技能：A ．对于抛物线的标准方程22(0)y px p =±>与22(0)x py p =±>，重点把握以下两点： (1)p 是焦点到准线的距离，p 恒为正数；(2)方程形式有四种，要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．B ．抛物线的几何性质以考查焦点与准线为主．根据定义，抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等，可得以下规律：(1)抛物线22(0)y px p =>上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02pMF x =+； (2)抛物线22(0)y px p =->上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02pMF x =-； (3)抛物线22(0)x py p =>上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02p MF y =+； (4)抛物线22(0)x py p =->上一点00(,)M x y 到焦点F 的距离02pMF y =-． C ．直线与抛物线的位置关系类似于前面所讲直线与椭圆、双曲线的位置关系．特别地，已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点的直线交抛物线于A B 、两点，设1122(,),(,)A x y B x y ． 则有以下结论：(1)12AB x x p =++，或22sin pAB α=(α为AB 所在直线的倾斜角)；(2)2124p x x =；(3)212y y p =-．过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p ． 2典型例题：例1．【2018江西上饶高三上学期一模】已知点是抛物线上的一点，若以其焦点为圆心，以为半径的圆交抛物线的准线于、两点，若且满足，当的面积为时，则实数的值为( ) A ．4 B ． C ． D ．【答案】B【解析】 由，移项得-，化简为，即，可得，又由图知，则在中，，设A 到BC 的距离为d ，则，解得p=，故选B ．【名师点睛】本题考查圆锥曲线和三角函数的综合问题，属于中难档题目．首先根据题中给出角的等式，利用二倍角公式和诱导公式，结合因式分解求出角的值，再根据三角形的面积公式，结合抛物线的定义以及圆的定义，将三角形的底和高都用抛物线方程中的p 和角来表示，列出三角形ABC 的面积，求出p 的值．例2．【2018广东佛山顺德区高三下学期学情调研考试】设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，M 为抛物线C 上的一点，O 为原点，使OFM 为等腰三角形的点M 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】C【解析】当MO=MF 时，由两个点M ；当OM=OF 时，有两个点M ，所以点M 的个数为4个．故选C ． 【名师点睛】本题考查抛物线的性质．本题中，OFM 为等腰三角形，有两种情况，分别是MO=MF 和OM=OF ，结合抛物线的对称性，所以有4个点M 满足要求． 【练一练提升能力】1．【2018广东佛山顺德区高三下学期学情调研考试】设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，M 为抛物线C 上的一点，O 为原点，若OFM 为等腰三角形，则OFM 的周长为（ ）A ．4B ．1C 2 或4D 1 或4 【答案】D2．【2018河北衡水衡水一中高三八模】已知抛物线214y x =与圆()()222:12C x y r -+-= (0)r >有公共点P ，若抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则r =__________．【解析】设点P （x 0，14x 20），则由x 2=4y ，求导y′=12x ，∴抛物线在P 点处的切线的斜率为k=12x 0， ∵圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=r 2（r ＞0）的圆心的坐标为C （1，2），∴k PC =2001241x x --，∴k PC •k=2001241x x --•12x 0=﹣1，解得：x 0=2∴P （2，1），∴r=丨PC 丨（一）选择题（12*5=60分）1．【2018吉林长春普通高中高三质量监测（二）】已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则△的周长为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知点A 在椭圆上，∴，同理． ∴的周长为．故选C ．2．【2018山西孝义高三下学期名校最新高考模拟卷（一）】若双曲线222:1(0)6x y C a a -=>的焦距为，则实数a 为( )A ．2B ．4CD 【答案】A【解析】双曲线222:1(0)6x y C a a -=>的焦距为 2.a =⇒= 故答案为：A ． 3．【2018吉林长春普通高中高三质量监测（二）】已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则△内切圆的半径为 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】由得，根据椭圆的定义可知的周长为，面积为，解得，故选D ．4．【2018海南高三二模】已知点()4,0M -，椭圆2221(02)4x y b b +=<<的左焦点为F ，过F 作直线l （l 的斜率存在）交椭圆于A ，B 两点，若直线MF 恰好平分AMB ∠，则椭圆的离心率为（ ）A ．14 B C ．12 D 【答案】C【解析】∵l 的斜率存在，可设直线l 为：()y k c x =+，带入椭圆方程可得：()222222248c 440bk x k x k c b +++-=，设()()1122A B x y x y ，，，则212228c 4k x x b k +=-+，2221222444k c b x x b k -=+，又直线MF 恰好平分AMB ∠，∴AM BM 0k k +=即1212044y yx x +=++，∴()()1221440y x y x +++=，()()()()1221k c 4c 40x x k x x +++++=， ∴2()()12124c 8c 0x x x x ++++=，∴()22222222448c 24c 8c 044k c b k b k b k ⎛⎫-⨯++-+= ⎪++⎝⎭，∴228c 80b b -=，∴c 1=，又a 2=，∴1e 2=，故选C ．5．【2018山东济宁高三一模】已知、是双曲线：的左、右焦点，若直线与双曲线在第一象限交于点，过向轴作垂线，垂足为，且为（为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 由题意得，连接，则为等边三角形，所以，则为直角三角形，且，又因为，所以，所以，故选D ．6．【2018湖南长沙一中高三高考模拟卷一】已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线C 上，且AK =，则AFK 的面积为 （ ）A ．4B ．6C ．8D ．12 【答案】C7．【2018山西晋城高三上学期一模】某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率12e =．设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为,,a b c ，则,,a b c 满足的关系是（ ）A ．2b a c =+B ．2b ac =C ．a b c =+D ．2b ac = 【答案】B【解析】椭圆为黄金椭圆，c e c a ===，22222b a c a ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭22,a ac b ac ==∴=，故选B ． 8．【2018广东茂名高三上学期第一次综合测试】已知抛物线28y x =的准线与x 轴交于点D ，与双曲线221x y m-=交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△ADF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )A B ． C D 【答案】D【解析】由题意得抛物线的准线方程为2x =-，准线与x 轴的交点为()2,0D -． 因为ADF ∆为等腰直角三角形，所以4AD DF ==，故点A 的坐标为()2,4-，由点A 在双曲线221x y m -=上，可得()22241m--=，解得417m =，即2417a =，所以221117c m =+=，所以双曲线的离心率2c e a ===．选D ． 9．【2018河南中原名校高三上学期第五次联考】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，过点()4,0E 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A ．3+B ．7C ．3+D ．9 【答案】C【解析】∵抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，∴2p =，故抛物线方程为24y x =．设直线l 的方程为4x my =+，将此方程代入24y x =消去x 整理得24160y my --=，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1216y y =-．∴2212212144y y AF BF ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2212342y y =++3≥ 3=，当且仅当221242y y =，即22122y y =时等号成立，故选C ． 10．【2018河南高三一轮复习诊断调研】设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，点()1,1A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设()F'1,0-，则F'PF 2a,P +=即PF 2a F'P =-，又椭圆E 上存在一点P 使得A PF 9P +=，∴'A PF A 2a F 9P P P +=+-=，即'A F 92a P P -=-，∵'F'A F F'A P P A -≤-≤，∴'1A F 1P P -≤-≤，即192a 1-≤-≤，解得4a 5≤≤．∵c 1=，∴1154e ≤≤．故选：C 11．【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线 (，)与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，所以，则，解得，双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，则双曲线的离心率为，故选C ．12．【2018广西壮族自治区玉林高中高三模拟】已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一动点P ，P 不同于,A B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是（ ） A ．33,0,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()3,00,4⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),00,1-∞⋃【答案】D（二）填空题（4*5=20分）13．【2018河南濮阳高三一模】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F 和2F 是椭圆的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若2ABF 的内切圆半径为1，122FF =，123y y -=，则椭圆离心率为________________．【答案】23【解析】设2ABF ∆周长为L ，则21141222ABF S L r a a ∆=⨯⨯=⨯⨯=，又212121123322ABF S F F y y ∆=-=⨯⨯=，则323,2a a ==，又1c =，则23e =，故填：23．14．【2018甘肃高三第一次诊断性考试】已知为坐标原点，双曲线 ()的右焦点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于异于原点的，若点与中点的连线与垂直，则双曲线的离心率为__________． 【答案】【解析】因为点与中点的连线与垂直，故得到三角形OAF 是等腰直角三角形，故底角AOF 为45度，故a=b ，离心率为．15．【2018河南商丘高三第一学期期末考试】以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)p >为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于,M N 两点，若MNF ∆为正三角形，则抛物线C 的标准方程为 ．【答案】2x = 【解析】由题意，以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)p >为焦点的抛物线C 的准线y =2p -代入双曲线222x y -=，可得x =△MNF 为正三角形，∴p =p >0，∴p = 16．【2018安徽江南十校高三3月联考】已知双曲线，的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，．则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意可得，当且仅当时等号成立，故的最小值为．。
2018版高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第十章 圆锥曲线与方
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第十章·第四讲 直线与圆
易错提醒 1.过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切,过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭 圆相切,过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条与对称轴平行 或重合的直线;过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一条 与对称轴平行或重合的直线;过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一 条与对称轴平行或重合的直线. 3.过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和两 条与渐近线平行的直线;过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线 和两条与渐近线平行的直线;过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条 与渐近线平行的直线.
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第十章·第四讲 直线与圆
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第十章·第四讲 直线与圆
【突破攻略】
求解定值问题的基本思路 (1)先求出这个几何量或代数表达式; (2)对表达式进行化简,整理成y=f(m,n,k)的最简形式; (3)根据已知条件列出必要的方程(或不等式),消去参数,最后求出定值, 根据已知条件列出方程k=g(m,n)代入y= f(m,n,k),得到y=h(m,n)+c(c为常 形式.
3.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线相交时,直线与椭圆有两个公共点,与双曲线、抛物线有一个或两个公共点. (1)直线与椭圆有 两个交点⇔ 相交,直线与椭圆有 一个交点⇔ 相切,直线与椭圆 没有交点⇔ 相离.
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第十章·第四讲 直线与圆
(2)直线与双曲线有两个交点⇒相交. 当直线与双曲线只有一个公共点时,除了直线与双曲线相切外,还有可能是直线与双曲线相交, 此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线 没有交点⇔ 相离. (3)直线与抛物线有 两个交点⇒ 相交. 当直线与抛物线只有一个公共点时,除了直线与抛物线相切外,还有可能是直线与抛物线相交, 此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线 没有交点⇔ 相离.
2018年高考圆锥曲线部分小题解析
圆锥曲线2018年高考小题解析一、 考点分析1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题；7. 定值问题；8. 最值问题。
二、 真题解析1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则||AB =___________解析：2222230(1)4x y y x y ++-=⇒++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r =圆心到直线1y x =+的距离d =，由勾股定理得||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB =（1）求l 的方程；（2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。
解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8sin p AB θ==，则sin 2θ=，tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =-（2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得00003112-6x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：在上图中过焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，取AB 的中点M ，三点分别向准线作垂线，垂足分别为,,C D N ，因为1()2MN AC BD =+，,AC AF BD BF ==，所以11()22MN AF BF AB =+=，所以AB 为直径的圆与准线相切。
2018年高考圆锥曲线部分大题解析
1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。
（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。
解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。
（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||4)2PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈因此，PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r r ，证明：,,FP FA FB u u u r u u u r u u u r为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP =u u u r根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=-u u u r u u u r121||||4()2FA FB x x +=-+u u u r u u u r联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r故满足2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，所以,,FP FA FB u u u r u u u r u u u r为等差数列设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有1212||||||||2d FA FB x x =±-=±-=u u u r u u u r代入得2,1428d d =±=± 3.【2018全国3 文20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r r，证明2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r。
2018年高考圆锥曲线部分小题解析
渐近线的距离为_________.
解析： ，渐近线
所以点 到渐近线的距离为
令 ，则
因为求的是比值，因此没必要求出 具体的数字，因为无论 是多少，其比值都是相同的。
10.【2018北京文10】已知直线 过点 且垂直于 轴，若 被抛物线 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.
解得
3.圆锥曲线的离心率问题
19.【2018全国2理12】已知 是椭圆 的左右焦点， 是 的左顶点，点 在过点 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则C的离心率为________.
解析：如上图，
所以 ，因为
所以
20.【2018全国2文11】已知 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心率是________.
所以当 时， 取得最大值。
26.【2018浙江21】如图，已知点P是 轴左侧（不含 轴）一点，抛物线 上存在不同的两点 满足 的中点均在 上。
（1）设 中点为 ，证明： 垂直于 轴；
（2）若 是半椭圆 上的动点，求 面积的取值范围。
Байду номын сангаас解析：（1）设
中点满足：
中点满足：
所以 是方程 即 的两个根，所以 ，故 垂直于 轴。
解析：题目中如果是按照常规的点到直线距离来算，则要同时面对两个变量，点 在单位圆上，则 最大时等于圆心 到直线的距离加半径，这样就可以不用考虑 的变化对最值的影响。
是圆 上的点，所以
25.【2018浙江17】点 ，椭圆 上两点 满足 ，则当 =_______时，点 横坐标的绝对值最大。
分析：若设 点横坐标为 ，则题目转化为当 为何值时， 最大
专题10 圆锥曲线热点难点突破-2018年高考数学文考纲解读
1．已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，O 为坐标原点，若以点M (0,8)为圆心，|OA |的长为半径的圆交抛物线C 于A ，B 两点，且△ABO 为等边三角形，则p 的值是( )A.38 B ．2 C ．6 D.23【答案】D 【解析】由题意知|MA |＝|OA |，所以点A 的纵坐标为4，又△ABO 为等边三角形，所以点A 的横坐标为433，又点A 是抛物线C 上一点，所以163＝2p ³4，解得p ＝23. 2．已知焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a ＋y 2a 2＋1＝1，随着a 的增大该椭圆的形状( ) A ．越接近于圆 B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆【答案】D 【解析】由题意知4a ＞a 2＋1且a ＞0，解得2－3＜a ＜2＋3，又e 2＝1－b 2a 2＝1－a 2＋14a ＝1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .因此当a ∈(2－3，1)时，e 越来越大，当a ∈ (1,2＋3)时，e 越来越小，故选D.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2,3]C ．(1,3]D ．(1,2]4．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33 B ．1 C.233 D ．2【答案】A 【解析】设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a＋b )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2.∵a ＋b ＝AF ＋BF ＝2MN ，∴|AB |2≥34|2MN |2，∴|MN ||AB |≤33. 5．过点A (0,1)作直线，与双曲线x 2－y 29＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( ) A ．0B ．2C ．4D ．无数 【答案】C 【解析】过点A (0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A (0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．6．椭圆y 2＋x 2m 2＝1(0＜m ＜1)上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 【答案】B 【解析】当点P 是短轴的顶点时∠F 1PF 2最大，因此若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则∠F 1PF 2≥90°，所以∠F 2PO ≥45°(O 是原点)，从而ca ≥22，即1－m 2≥12，又0＜m ＜1，所以0＜m ≤22. 7．设点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＋S △IPF 2＝2S △IF 1F 2，则该椭圆的离心率为( )A.12B ．22 C.32 D.3－128．已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B ．x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 【答案】D 【解析】椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32， 所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.因为双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，所以渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ， 所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ³255b ＝4， 所以b 2＝5，所以a 2＝4b 2＝20. 所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D.。
0圆锥曲线()-2017年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破含解析
【2017年高考考纲解读】（1）中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B级要求；(2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质,A级要求;（3）顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求；曲线与方程，A级要求。
（4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题。
【重点、难点剖析】1．圆锥曲线的定义（1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；（2）双曲线：|｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a(2a 〈|F1F2|）．2．圆锥曲线的标准方程(1）椭圆:错误!＋错误!＝1(a〉b>0）（焦点在x轴上）或错误!＋错误!＝1（a>b〉0）(焦点在y轴上）;(2)双曲线:错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)(焦点在x轴上)或错误!－错误!＝1（a>0，b>0)(焦点在y轴上）．3．圆锥曲线的几何性质(1）椭圆：e＝错误!＝错误!；(2)双曲线：①e＝错误!＝错误!。
②渐近线方程：y＝±错误!x或y＝±错误!x.4．求圆锥曲线标准方程常用的方法（1)定义法（2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a不具有p的几何意义；②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为错误!＋错误!＝1(m＞0，n＞0）;双曲线方程可设为错误!－错误!＝1(mn＞0）．这样可以避免讨论和繁琐的计算．5．求轨迹方程的常用方法（1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；（2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；(3）代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意:①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式;③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等。
6．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1），P2(x2,y2）,则所得弦长｜P1P2｜＝1＋k2|x2－x1|或｜P1P2｜＝错误!｜y2－y1｜。
高三数学复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第10章 圆锥曲线与方
2018版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第10章圆锥曲线与方程试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第10章圆锥曲线与方程试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第十章圆锥曲线考点1 椭圆及其性质1。
（2016·新课标全国Ⅰ，5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ）A.错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!1.解析如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝错误!×2b＝错误!b.在Rt△OFB中，|OF|×｜OB｜＝｜BF|×|OD|，即cb＝a·错误!b，代入解得a2＝4c2,故椭圆离心率e＝错误!＝错误!,故选B.答案B2.（2016·新课标全国Ⅲ，12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左焦点,A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A。
错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!2.解析设M(－c，m)，则E错误!,OE的中点为D,则D错误!,又B，D，M三点共线，所以错误!＝错误!,a ＝3c，e＝错误!.答案 A3。
【精品】专题10圆锥曲线(教学案)-2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破
【2018年高考考纲解读】(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求. （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题. 【重点、难点剖析】 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e ＝ca ＝1－b 2a2； (2)双曲线：①e ＝ca＝1＋b 2a2. ②渐近线方程：y ＝±b ax 或y ＝±a bx . 4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)；双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算． 5．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； (3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等. 6．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． (1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算． 7．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |∈[b ，a ]； ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2，a 2]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有①|OP |≥a ； ②|PF 1|≥c －a . 8．定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 9．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.【题型示例】题型1、圆锥曲线的定义与标准方程【例1】【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【答案】A【变式探究】【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，又22212222222111111()(1)(1)(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++=42422112n n n n ++>+ ，故121e e >．故选A ．【举一反三】 (2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .(2)法一 如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a ca 2－2b 2， y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b4c2.＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ， 即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3.【变式探究】(1)(2014·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 (2)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．【命题意图】(1)本题主要考查双曲线的概念及其几何性质、直线的斜率等知识，意在考查考生的转化与化归思想、数形结合思想的应用与运算求解能力．(2)本题主要考查椭圆的几何性质、向量的坐标运算等知识．根据线段长度|AF 1|＝3|F 1B |转化为向量的坐标运算求出点B 的坐标，代入方程求b 2的值，意在考查考生的转化与化归思想，运算求解能力，分析、解决问题的能力，逻辑推理能力． 【答案】(1)A (2)x 2＋32y 2＝1【变式探究】(2015·福建，18)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 解 法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y22＝1 得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0. 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 2＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，题型2、圆锥曲线的几何性质【例2】【2017浙江，2】椭圆22194x y+=的离心率是A B C．23D．59【答案】B【解析】33e==B．【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【举一反三】(2015·陕西，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10，易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2， 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12， 从而x 1x 2＝8－2b 2，于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）， 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10， 解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.【变式探究】(1)(2014·重庆)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 (2)(2014·湖南)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝________.【命题意图】(1)本题主要考查双曲线的定义与性质，意在考查考生的基本运算能力．(2)本题主要考查抛物线的图象、性质和正方形的性质，结合数形结合思想、转化思想和方程思想求解参数的比值问题，关键是由BC ＝CD 得出点D 为抛物线的焦点． 【答案】(1)B (2)1＋ 2【感悟提升】 1．圆锥曲线的离心率椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和双曲线开口大小的一个量，其取值范围分别是0<e <1和e >1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 2．双曲线的渐近线(1)求法：把双曲线标准方程等号的右边1改为零，分解因式可得．(2)用法： ①可得b a 或a b的值；②利用渐近线方程来求双曲线的方程．(3)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线．这里强调p 的几何意义是焦点到准线的距离．(4)要能灵活运用平时解题过程中推导出来的一些结论，如椭圆中焦点三角形的面积公式S △F 1PF 2＝b 2tan θ2，双曲线中的S △F 1PF 2＝b 2tanθ2(其中θ＝∠F 1PF 2)等，可简化运算过程，节省时间．(上述结论可结合正、余弦定理推导)【变式探究】 (2013·浙江卷改编)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．【答案】62【规律方法】求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a ，c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a ，c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．【变式探究】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为________．【答案】 (1)2 (2)2－1题型3、求动点的轨迹方程【例3】 【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点 F. 【答案】（1）（2）见解析【解析】解：（1）设P （x ，y ），M （）,则N （），由得.因为M （）在C 上，所以.因此点P 的轨迹为.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m，n ），则，.【变式探究】【2016高考山东文数】（本小题满分14分） 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( 【解析】（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ， 因为m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x my 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M14y =-， 即点M 在定直线41-=y 上. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ，所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 【举一反三】(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．所以B (m ，－n )．设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或 (0，－2)．【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足A M →·B M →＝－2，求点M 的轨迹方程．x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0，所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．【规律方法】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．【变式探究】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝24x ＋2，化简得7x 2＋8x －8＝0，解之得x 1＝－4＋627，x 2＝－4－627.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187.题型四 双曲线的定义及标准方程例4．【2016年高考北京文数】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】2【举一反三】(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11B ．9C ．5D ．3解析 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B. 答案 B【变式探究】(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1解析 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.答案 C【举一反三】(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 23－y 24＝1题型五 双曲线的几何性质例5．【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B. 2)C.D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << C. 【变式探究】【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 【答案】2【解析】假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以22b |AB |a=，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以E 的离心率为2. 【举一反三】(2015·四川，5)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析 焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D. 答案 D【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2答案 D【特别提醒】(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析 由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33. 答案 A题型六 抛物线的几何性质例6．【2016高考天津文数】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为则p 的值为_________.【举一反三】(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.答案 D【变式探究】(2015·浙江，5)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析 由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A.答案 A【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．题型七 直线与圆锥曲线的位置关系例7．【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为2,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与圆N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ）22142x y+=.(II)3π.故21214t k ++=， 所以()222161611112ND tNFt t t=+=++++ . 令1y t t =+，所以211y t'=-. 当3t ≥时， 0y '>,从而1y t t=+在[)3,+∞上单调递增， 因此1103t t +≥， 等号当且仅当3t =时成立，此时0k =， 所以22134ND NF≤+=，由（*）得m <<且0m ≠.故12NF ND≥， 设2EDF θ∠=， 则1sin 2NF NDθ=≥， 所以θ的最小值为π6， 从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线L 的斜率是0.综上所述：当0k =， ()(m ∈⋃时， EDF ∠取到最小值π3. 【变式探究】【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0(①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上 所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).3【举一反三】(2015·重庆，10)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【变式探究】(2014·辽宁，10)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43解析 ∵A (－2，3)在抛物线y 2＝2px 的准线上，∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线AB 的方程为x＝k (y －3)－2①，将①与y 2＝8x 联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k （y －3）－2，y 2＝8x ，得y 2－8ky ＋24k ＋16＝0②，则Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0，即2k 2－3k －2＝0，解得k ＝2或k ＝－12(舍去)，将k ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8，8)，又F (2，0)，∴k BF ＝8－08－2＝43，故选D.答案 D【举一反三】(2015·山东，15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．。