(泰安专版)中考数学第一部分基础知识过关第六章圆第22讲与圆有关的位置关系课件
华师版 初中九年级数学 中考总复习常考易考 教材基础知识整理梳理 第六单元 圆 第22讲 与圆有关的位置关系
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.
知识点四：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
(泰安专版)中考数学 第一部分 基础知识过关 第六章 圆 第22讲 与圆有关的位置关系精练-人教版初
第22讲与圆有关的位置关系A组基础题组一、选择题1.☉O的半径r=5 cm,圆心到直线的距离OM=4 cm,在直线上有一点P,且PM=3 cm,则点P( )A.在☉O内B.在☉O上C.在☉O外D.可能在☉O上或在☉O内2.下列语句中,正确的是( )3.(2018某某)如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D.若∠ACB=50°,则∠BOD等于( )A.40°B.50°C.60°D.80°4.如图,PA,PB切☉O于A,B两点,∠APB=80°,C是☉O上不同于A,B的任一点,则∠ACB等于( )A.80°B.50°或130°C.100°D.40°5.(2018某某)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为( )6.如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,则∠AIB和∠AOB的关系为( )A.∠AIB=∠AOBB.∠AIB≠∠AOBC.2∠AIB-∠AOB=180°D.2∠AO B-∠AIB=180°7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( )A. B.C.二、填空题5 cm和12 cm,则它的外接圆半径为,内切圆半径为.9.(2018某某某某)如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=°.三、解答题10.(2018东营)如图,CD是☉O的切线,点C在直径AB的延长线上.(1)求证:∠CAD=∠BDC;(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长.11.(2017东营)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线DE,交AC于点E,AC的反向延长线交☉O于点F.(1)求证:DE⊥AC;(2)若DE+EA=8,☉O的半径为10,求AF的长.B组提升题组一、选择题1.下图是一块三角形余料,已知AB=20 cm,BC=7 cm,AC=15 cm,现将余料裁剪成一个圆形材料,则该圆的最大面积是( )A.π cm2B.2π cm2C.4π cm2D.8π cm22.如图,☉O的半径为2,点A的坐标为(2,2),直线AB为☉O的切线,B为切点,则B点的坐标为( )A. B. C. D.二、填空题3.(2018某某)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE=°.4.(2018某某)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作☉O,☉O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为.三、解答题5.(2018某某)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,∠BAC=36°,过点A作AD∥BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与☉O交于点F.(1)求∠DAF的度数;(2)求证:AE2=EF·ED;(3)求证:AD是☉O的切线.6.(2018某某)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的☉O经过点C,连接AC、OD交于点E.(1)证明:OD∥BC;(2)若tan∠ABC=2,证明:DA与☉O相切;(3)在(2)的条件下,连接BD交☉O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.7.(2017某某)如图,已知△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,BD⊥AB,交AC的延长线于点D.(1)E为BD的中点,连接CE,求证:CE是☉O的切线;(2)若AC=3CD,求∠A的大小.8.(2017威海)已知:AB为☉O的直径,AB=2,弦DE=1,直线AD与BE相交于点C,弦DE在☉O 上运动且保持长度不变,☉O的切线DF交BC于点F.(1)如图1,若DE∥AB,求证:CF=EF;(2)如图2,当点E运动至与点B重合时,试判断CF与BF是否相等,并说明理由.第22讲与圆有关的位置关系A组基础题组一、选择题4.B 连接OA,OB.∵PA,PB切☉O于A,B两点,∴∠PAO=∠PBO=90°.∵∠P=80°,∴在四边形APBO中,∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°.当点C在优弧AB上时,∠ACB=∠AOB=50°.当点C在劣弧AB上时,∠ACB=180°-50°=130°.故选B.5.A 连接DO,∵P D与☉O相切于点D,∴∠PDO=90°.∵BC⊥PC,∴∠PCB=90°,∴DO∥BC,∴△POD∽△PBC,∴=,∴=,∴PA=4,故选A.6.C ∵点O是△ABC的外心,∴∠C=∠AOB.∵点I是△ABC的内心,∴∠IAB=∠CAB,∠IBA=∠CBA.∴∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)=180°-(180°-∠C)=90°+∠C,∴2∠AIB=180°+∠C,∴2∠AIB=180°+∠AOB,即2∠AIB-∠AOB=180°.7.A 连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中,∵AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点, ∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,∵∠A=∠B=90°,CD=AB=4,∴四边形AFOE,FBGO是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=AD-AE=3.∵DM是☉O的切线,∴DN=DE=3,MN=MG,∴CM=5-2-MN=3-MN.在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+NM)2=(3-NM)2+42,∴NM=,∴DM=3+=,故选A.二、填空题8.答案 6.5 cm;2 cm解析∵直角边长分别为5 cm和12 cm,∴斜边长是13 cm,∴这个直角三角形的外接圆的半径为×13=6.5(cm).根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半,可得其内切圆的半径是=2(cm).9.答案44解析连接OB,∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,∴∠OBA+∠CBP=90°,∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°,∵OA=OB,∠OAB=22°,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠APO=∠CBP=68°,∵∠APO=∠CPB,∴∠CPB=∠CBP=68°,∴∠OCB=180°-68°-68°=44°,故答案为44.三、解答题10.解析(1)证明:连接OD,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵CD是☉O的切线,OD是☉O的半径, ∴∠ODB+∠BDC=90°.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠OBD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BDC.(2)∵∠C=∠C,∠CAD=∠BDC,∴△CDB∽△CAD,∴=.∵=,∴=.∵AC=3,∴CD=2.11.解析(1)证明:∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DE是☉O的切线,OD是半径,∴DE⊥OD,∴DE⊥AC.(2)如图,过点O作OH⊥AF于点H,则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°,∴四边形ODEH是矩形,∴OD=EH,OH=DE.设AH=x.∵DE+AE=8,OD=10,∴AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.在Rt△AOH中,由勾股定理知AH2+OH2=OA2,即x2+(x-2)2=102,解得x1=8,x2=-6(不合题意,舍去).∴AH=8.∵OH⊥AF,∴AH=FH=AF,∴AF=2AH=2×8=16.B组提升题组一、选择题1.C 当该圆为三角形内切圆时面积最大,设内切圆半径为r cm,则该三角形面积为·r·(AB+BC+AC)=21r.根据已知条件易得△ABC的面积S=42 cm2,则可得r=2,所以所求的最大面积为4π cm2.故选C.2.D 过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.∵☉O的半径为2,点A的坐标为(2,2),即OC=2=x A,∴AC=2=y A,∴AC是圆O的切线,∴在Rt△OCA中,tan∠AOC===,∴∠AOC=60°.又∵直线AB为☉O的切线,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC=60°.又∵OB=2,∴OD=1,BD=,即B点的坐标为(-1,).故选D.二、填空题3.答案60解析∵AB,AC分别与☉O相切于点D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC.在菱形ABOC中,AB=BO,∵点D是AB的中点,∴BD=AB=BO,∴∠BOD=30°,∴∠B=60°,又∵OB∥AC,∴∠A=120°,∴在四边形ADOE中,∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°.4.答案解析如图,连接OF,∵FG为☉O的切线,∴OF⊥FG.∵Rt△ABC中,D为AB中点,∴CD=BD,∴∠DCB=∠B.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC,∴∠CFO=∠B,∴OF∥BD,∴AB⊥FG.∵O为CD的中点,∴F为BC的中点,∴CF=BF=BC=4.∵Rt△ABC中,AB==10,∴sin∠B==,∴在Rt△BGF中,FG=BFsin∠B=4×=.三、解答题5.解析(1)∵AD∥BC,∴∠D=∠CBD,∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=×(180°-∠BAC)=72°,∴∠AFB=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=×72°=36°,∴∠D=∠CBD=36°,∴∠BAD=180°-∠D-∠ABD=180°-36°-36°=108°,∠BAF=180°-∠ABF-∠AFB=180°-36°-72°=72°,∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=108°-72°=36°.(2)证明:∵∠CBD=36°,∠FAC=∠CBD,∴∠FAC=∠D,∵∠AED=∠AEF,∴△AEF∽△DEA,∴=,∴AE2=EF·ED.(3)证明:连接OA、OF,∵∠ABF=36°,∴∠AOF=2∠ABF=72°,∵OA=OF,∴∠OAF=∠OFA=×(180°-∠AOF)=54°,由(1)知∠DAF=36°,∴∠OAD=36°+54°=90°,即OA⊥AD,又∵O A为半径,∴AD是☉O的切线.6.解析(1)证明:如图1,连接OC,则OA=OC,图1 ∴点O在线段AC的垂直平分线上,同理,点D也在线段AC的垂直平分线上,∴OD是线段AC的垂直平分线,∴OD⊥AC,AE=EC,∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=90°,即BC⊥AC,∴OD∥BC.(2)证明:∵tan∠ABC=2,∴BC=AC,由(1)得E是AC的中点,∴AE=AC,∴BC=AE.∵AB=AD,∴Rt△ABC≌Rt△DAE,∴∠BAC=∠ADE,∴∠OAD=∠BAC+∠EAD=∠ADE+∠EAD=90°,∴AB⊥AD,∴DA与☉O相切.(3)如图2,连接AF,则AF⊥BD,图2∵BC=1,∴AC=ED=2,∴AD=CD=AB==,∴AO=BO=AB=,∴OD==.∵AB=AD,AB⊥AD,∴△ABD是等腰直角三角形,∴BD=AB=.且F是BD的中点,∴FD=BD=,∴==,∵∠EDF=∠BDO,∴△DEF∽△DBO,∴==,∴EF=BO=.7.解析(1)证明:连接OC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=∠DCB=90°.∵E为BD的中点,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠ECB+∠OCB=∠EBC+∠OBC.∵BD⊥AB,∴∠OCE=∠OBE=90°,∴CE是☉O的切线.(2)设CD=m,则AC=3m.由(1)知∠ACB=∠DCB,又易得∠A=∠CBD,∴△ACB∽△BCD,∴=,∴BC2=AC·CD,∴BC=m,∴tan A==,∴∠A=30°.8.解析(1)证明:如图1,连接OD,OE, ∵A B=2,∴OA=OD=OE=OB=1.∵DE=1,∴OD=OE=DE,∴△ODE是等边三角形,∴∠ODE=∠OED=60°.∵DE∥AB,∴∠AOD=∠ODE=60°,∠EOB=∠OED=60°,∴△AOD和△BOE是等边三角形,∴∠OAD=∠OBE=60°,∴∠CDE=∠OAD=60°,∠CED=∠OBE=60°,∴△CDE是等边三角形.∵DF是☉O的切线,∴OD⊥DF,∴∠EDF=90°-60°=30°,∴∠DFE=90°,∴DF⊥CE,∴CF=EF.(2)相等,理由如下:如图2,点E运动至与点B重合时,BC是☉O的切线, ∵☉O的切线DF交BC于点F,∴BF=DF,∴∠BDF=∠DBF,∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴∠BDF+∠FDC=∠DBF+∠C=90°,∴∠FDC=∠C,∴DF=CF,∴BF=CF.图1图2。
近年中考数学第一部分基础知识过关第六章圆第23讲与圆有关的计算精练(2021年整理)
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第23讲与圆有关的计算A组基础题组一、选择题1。
（2017广东广州）如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,若圆锥的底面圆半径是,则圆锥的母线长为（)A. B.2 C.3D。
52.（2018浙江衢州）如图,AB是圆锥的母线,BC为底面半径，已知BC=6 cm,圆锥的侧面积为15π cm2,则sin∠ABC的值为( )A。
B.C。
D。
3。
（2017临沂）如图，AB是☉O的直径，BT是☉O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是( ）A。
2 B.—πC。
1 D。
+π4.(2017甘肃兰州）如图,正方形ABCD内接于半径为2的☉O，则图中阴影部分的面积为( ）A。
π+1B。
π+2C。
π-1 D。
π-25.(2018四川绵阳）蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25π m2,圆柱高为3 m,圆锥高为2 m的蒙古包，则需要毛毡的面积是( )A。
(30+5)π m2B。
40π m2C.（30+5)π m2D.55π m26.（2018东营）如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是( )A.3B.3C。
中考数学第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系
方法
考法 切线的判定及性质
提分特训
1.[2021武汉中考]如图, AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,点C是的
中点,过点C作AD的垂线,垂足是点E.连接AC交BD于点F.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若 =
6,求cos∠ABD的值.
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法 切线的判定及性质
2
+−
的半径r=
(其中a,b为直角边长,c为斜边长).
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算 基础点
设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.
180°
R·cos
或
边心距r
a 2
2
−( )
2
周长C
na
面积S
1
nar
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算 基础点
在Rt△OBG中,由勾股定理得OG2+BG2=OB2.
∴(r-
3 2
2
2
2
2t) +(2t) =r ,解得r= t,
2
2 2 2
∴cos∠ABD= = 3 2 = .
3
2
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法 切线的判定及性质
提分特训
2.如图,点O是菱形ABCD的对角线AC上的一点,以点O为圆心,OA为
作业
真题
命题点1 切线的判定(5年3考)
初中数学中考知识点考点学习课件PPT之 与圆有关的位置关系知识点学习PPT
图（2）
方法二:如图（3），连接 , .
图（3）
是 的直径， .在 中，∵点 是 的中点，
， . ， . ， ， ，即 .又 是 的半径， 为 的切线．
（3） 如图（3）， 的外接圆为 ，过点 作 的切线，过点 作该切线的垂线，交 于另一点 ，垂足为 ，连接 .
一图串考法
考法 切线的性质（8年5考）
1.[2022河南,20] 为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环 与水平地面相切于点 ,推杆 与铅垂线 的夹角为 ,点 , , , , 在同一平面内.当推杆 与铁环 相切于点 时,手上的力量通过切点 传递到铁环上,会有较好的启动效果.
,点 在射线 上 切半圆 于点
证明:连接 . , .又 , , , . 切半圆 于点 , .又 且 , 平分 , , .
4.[2017河南,18] 如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点 ，过点 作 ，与过点 的切线交于点 ，连接 .
图（4）
命题角度 与切线有关的证明与计算
例1 在 中， .
（1） 如图（1）， 的平分线交 于点 ,以点 为圆心， 的长为半径画圆．
图（1）
① 求证： 是 的切线；
证明：如图（1），过点 作 于点 .
图（1）
， .又 平分 ， , 是 的切线.
特立探究设正 边形的边长为 ，外接圆半径为R.则：正六边形： ；正方形： ；正三角形： .
一题串考点
已知在 中，点 为 的中点.
（1） 如图（1），连接 ，若 ， ，以点 为圆心， 为半径画圆.
中考数学总复习第1部分基础过关第六单元圆课时22圆的有关概念与性质课件
思路点拨 利用垂径定理求半径或线段长时，注 意勾股定理、解直角三角形等知识的运用．
图形
几何语言 ∵CD 是⊙O 的直径， CD⊥AB 于 M，
︵
∴AM＝MB，AD ＝
︵︵︵
BD ，AC ＝BC
文字语言 推论：1.平分弦(不是直径)的 直径垂直于弦，并且平分弦所 垂 对的两条弧 径 (2.弦的垂直平分线经过圆心， 定 并且平分弦所对的两条弧 理 3.平分弦所对的一条弧的直 径垂直平分弦，并且平分弦所 对的另一条弧)
顶点在圆心的角叫做圆心角(如④
圆心角 _∠__A_O__B__是A︵B 所对的圆心角)
顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我
圆周角 们把这样的角叫做圆周角(如⑤_∠__A_C__B_
︵
是AB 所对的圆周角)
2.圆的性质 (1)对称性：圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是圆的对称轴；圆是中心对称图 形，圆⑥心______就是它的对称中心． (2)旋转不变性：把圆绕圆心旋转任意一个 角度，所得的图形都与原图形重合．
训练 1.如图2，A，B，C，D为⊙O上的 点，DC＝AB，则AD与BC的大小关系是B( )
A．AD＞BC B．AD＝BC C．AD＜BC D．不能确定
图2
︵︵︵
2．如图 3，AB 是⊙O 的直径，BC＝CD＝DE， ∠COD＝34°，则∠AEO 的度数是__5_1_°__.
图3
考点
圆周角定理及其推论(6年4考，重点)
过考点
考点
圆心角、弧、弦之间的关系(6年2考)
考情分析 2017年第21题、2016年第18题均 涉及到圆心角、弧、弦之间的关系．
︵
例 1 如图 1，AB，CD 是⊙O 的直径，AE＝
中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第六章 圆 课时22 与圆有关的位置关系课件
12/12/2021
21
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(2)解：由(1)可知，BC＝2DE＝2×4＝8， 在Rt△ABC中，∵AC＝2OA＝2×3＝6. ∴AB＝ BC2＋AC2＝ 82＋62＝10， ∴cosB＝BACB＝180＝45. ∴在Rt△BCD中，cosB＝BBDC＝45，∴B8D＝45，解得BD＝352.
• ∴DC＝R，∴BC＝R.
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• 练习2 (2018·烟台)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心(nèixīn)，
∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE是度数为 ( )
C
• A．56°
• B．62°
• C．68°
• D．78°
相交(xiāngjiāo)或相切
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知识点二 切线的性质(xìngzhì)和判定
• 1．切线的性质 • (1)圆的切线⑤______垂___直_过于切点的半径．
• (2)经过圆心且垂直于切线的直线经过⑥________.切点
• (3)经过切点且垂直于切线的直线经过⑦_____圆__心_.
_____2__.2
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重难点 ·突破
考点(kǎo diǎn)1 切线的性质 重点
• 例1 (2018·黄冈)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的 延长线交于点P，过B点的切线(qiēxiàn)交OP于点C．
初中数学基础知识课件第六单元圆第22课时与圆有关的位置关系PPT模板
02
考点突破
典例“串”考点
例 如图，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，BC＝4.
例题图
(1)以点 B 为圆心，以 4 为半径作⊙B，则⊙B 与 AC 位置关系是__相__切______； (2)如图①，以点 A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交 AB 于点 D，延长 CA 交⊙A 于
点 E，连接 ED、CD，若∠B＝30°.则∠ECD＝_6_0_°____，∠CED＝_3_0_°____，CD
43 的长为_____3_____；
例题图①
(3)若 AC＝3，则 Rt△ACB 的内切圆半径为___1_______； (4)如图②，以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，点 E 是线段 AC 的中点，连接 ED， DC. ①∠ADC＝_____9_0____°，DACE＝____12______； ②若∠A＝30°，则 AD 的长为____6______．
《九章算术》——勾股容圆 【中考对接】 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步， 问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 8 步，股 (长直角边)长为 15 步．问该直角三角形内切圆的直．径．是多少步．”该问题的答案 是__6____步．
与圆有关的位置关系
例题图②
03
考向课堂
真题“明”考法
命题点 切线性质的相关计算(6 年 A､B 卷均 4 考,与阴影部分面积结合考查 1 次)
1. (2019 重庆 A 卷 4 题 4 分)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切
点，BC 与⊙O 交于点 D，连接 OD，若∠C＝50°，则∠AOD 的度数为( C )
初中数学基础知识课件
中考数学复习课件：第22课时 与圆有关的位置关系
第22课时 与圆有关的位置关系
当堂反馈
4.(2016·连云港)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单 位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心， r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，那么 r的取值范B围为( )
A. 2 2<r< 17 B. 17 <r< 3 2 C. 17<r<5 D. 5<r< 29
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第22课时 与圆有关的位置关系
【知识梳理】
1.点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，那么： (1) d<r⇔点在___圆__内___． (2) d＝r⇔点在___圆__上___． (3) d>r⇔点在___圆__外___．
3
第22课时 与圆有关的位置关系
2.直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距 离为d，那么： (1) d<r⇔直线l与圆___相__交___． (2) d＝r⇔直线l与圆__相__切____． (3) d>r⇔直线l与圆___相__离___．
方法归纳 看到圆的切线就应想到过切点的半径与切线垂直， 从而为角度求值或勾股定理的运用作铺垫．
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第22课时 与圆有关的位置关系
考例点3演(2练016·白银)如图，在△ABC中，AB＝AC，
点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E， ⊙O经过A、B、D三点．
(1) 求证：AB是⊙O的直径； (2) 判断 DE与⊙O的位置关 系，并加以证明； (3) 若⊙O的半径为3， ∠BAC＝60°，求DE的长．
A. 70° B. 35° C. 20° D. 40°
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第22课时 与圆有关的位置关系
第1部分 第6章 第2节 与圆有关的位置关系
第二节 与圆有关的位置关系
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泰安考情分析 考点知识精讲 知能精准突破 10分钟小练 强化训练
答案：(1)证明见解析 (2) 7
解析：(1)连接 OD． ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠C＝∠A＝60°． ∵OC＝OD， ∴△OCD 是等边三角形． ∴∠CDO＝∠A＝60°．
第二节 与圆有关的位置关系
第二节 与圆有关的位置关系
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泰安考情分析 考点知识精讲 知能精准突破 10分钟小练 强化训练
2 切线的判定 能力点
(2022·东平检测)如图，以等边三角形 ABC 的 BC 边为 直径画圆，交 AC 于点 D，DF⊥AB 于点 F，连接 OF，且 AF＝1．
(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)求线段 OF 的长度．
性质
的直线必经过切点．
垂直关系．简记作：见切点，
(3)经过切__点__且__垂__直__于切线 连半径，现垂直．
的直线必经过圆心．
第二节 与圆有关的位置关系
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泰安考情分析 考点知识精讲 知能精准突破 10分钟小练 强化训练
考点二：切线的性质
核心点拨
总结：如果一条直线符合下列 由切线的性质定理可知，
A．27° C．35°
B．29° D．37°
第二节 与圆有关的位置关系
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泰安考情分析 考点知识精讲 知能精准突破 10分钟小练 强化训练
A 解析：连接 OD． ∵⊙O 与边 AC 相切于点 D， ∴∠ADO＝90°． ∵∠BAC＝36°， ∴∠AOD＝90°－36°＝54°． ∴∠AFD＝12∠AOD＝12×54°＝27°．故选 A．
【K12教育学习资料】[学习](泰安专版)2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第六章 圆 第
2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第六章 圆 第](https://img.taocdn.com/s3/m/99c9fced5022aaea998f0faf.png)
第22讲与圆有关的位置关系A组基础题组一、选择题1.☉O的半径r=5 cm,圆心到直线的距离OM=4 cm,在直线上有一点P,且PM=3 cm,则点P( )A.在☉O内B.在☉O上C.在☉O外D.可能在☉O上或在☉O内2.下列语句中,正确的是( )A.长度相等的弧是等弧B.在同一平面上的三点确定一个圆C.三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等3.(2018福建)如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D.若∠ACB=50°,则∠BOD等于( )A.40°B.50°C.60°D.80°4.如图,PA,PB切☉O于A,B两点,∠APB=80°,C是☉O上不同于A,B的任一点,则∠ACB等于( )A.80°B.50°或130°C.100°D.40°5.(2018重庆)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为( )A.4B.2C.3D.2.56.如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,则∠AIB和∠AOB的关系为( )A.∠AIB=∠AOBB.∠AIB≠∠AOBC.2∠AIB-∠AOB=180°D.2∠AOB-∠AIB=180°7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( )A. B.C. D.2二、填空题8.直角三角形的两条直角边长分别是5 cm和12 cm,则它的外接圆半径为,内切圆半径为.9.(2018江苏连云港)如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=°.三、解答题10.(2018东营)如图,CD是☉O的切线,点C在直径AB的延长线上.(1)求证:∠CAD=∠BDC;(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长.11.(2017东营)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线DE,交AC于点E,AC的反向延长线交☉O于点F.(1)求证:DE⊥AC;(2)若DE+EA=8,☉O的半径为10,求AF的长.B组提升题组一、选择题1.下图是一块三角形余料,已知AB=20 cm,BC=7 cm,AC=15 cm,现将余料裁剪成一个圆形材料,则该圆的最大面积是( )A.π cm2B.2π cm2C.4π cm2D.8π cm22.如图,☉O的半径为2,点A的坐标为(2,2),直线AB为☉O的切线,B为切点,则B点的坐标为( )A. B. C. D.二、填空题3.(2018安徽)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE=°.4.(2018山西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作☉O,☉O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为.三、解答题5.(2018菏泽)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,∠BAC=36°,过点A作AD∥BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与☉O交于点F.(1)求∠DAF的度数;(2)求证:AE2=EF·ED;(3)求证:AD是☉O的切线.6.(2018广东)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的☉O经过点C,连接AC、OD交于点E.(1)证明:OD∥BC;(2)若tan∠ABC=2,证明:DA与☉O相切;(3)在(2)的条件下,连接BD交☉O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.7.(2017衡阳)如图,已知△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,BD⊥AB,交AC的延长线于点D.(1)E为BD的中点,连接CE,求证:CE是☉O的切线;(2)若AC=3CD,求∠A的大小.8.(2017威海)已知:AB为☉O的直径,AB=2,弦DE=1,直线AD与BE相交于点C,弦DE在☉O 上运动且保持长度不变,☉O的切线DF交BC于点F.(1)如图1,若DE∥AB,求证:CF=EF;(2)如图2,当点E运动至与点B重合时,试判断CF与BF是否相等,并说明理由.第22讲与圆有关的位置关系A组基础题组一、选择题1.B2.D3.D4.B 连接OA,OB.∵PA,PB切☉O于A,B两点,∴∠PAO=∠PBO=90°.∵∠P=80°,∴在四边形APBO中,∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°.当点C在优弧AB上时,∠ACB=∠AOB=50°.当点C在劣弧AB上时,∠ACB=180°-50°=130°.故选B.5.A 连接DO,∵PD与☉O相切于点D,∴∠PDO=90°.∵BC⊥PC,∴∠PCB=90°,∴DO∥BC,∴△POD∽△PBC,∴=,∴=,∴PA=4,故选A.6.C ∵点O是△ABC的外心,∴∠C=∠AOB.∵点I是△ABC的内心,∴∠IAB=∠CAB,∠IBA=∠CBA.∴∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)=180°-(180°-∠C)=90°+∠C,∴2∠AIB=180°+∠C,∴2∠AIB=180°+∠AOB,即2∠AIB-∠AOB=180°.7.A 连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中,∵AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点, ∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,∵∠A=∠B=90°,CD=AB=4,∴四边形AFOE,FBGO是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=AD-AE=3.∵DM是☉O的切线,∴DN=DE=3,MN=MG,∴CM=5-2-MN=3-MN.在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+NM)2=(3-NM)2+42,∴NM=,∴DM=3+=,故选A.二、填空题8.答案 6.5 cm;2 cm解析∵直角边长分别为5 cm和12 cm,∴斜边长是13 cm,∴这个直角三角形的外接圆的半径为×13=6.5(cm).根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半,可得其内切圆的半径是=2(cm).9.答案44解析连接OB,∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,∴∠OBA+∠CBP=90°,∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°,∵OA=OB,∠OAB=22°,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠APO=∠CBP=68°,∵∠APO=∠CPB,∴∠CPB=∠CBP=68°,∴∠OCB=180°-68°-68°=44°,故答案为44.三、解答题10.解析(1)证明:连接OD,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵CD是☉O的切线,OD是☉O的半径, ∴∠ODB+∠BDC=90°.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠OBD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BDC.(2)∵∠C=∠C,∠CAD=∠BDC,∴△CDB∽△CAD,∴=.∵=,∴=.∵AC=3,∴CD=2.11.解析(1)证明:∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DE是☉O的切线,OD是半径,∴DE⊥OD,∴DE⊥AC.(2)如图,过点O作OH⊥AF于点H,则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°,∴四边形ODEH是矩形,∴OD=EH,OH=DE.设AH=x.∵DE+AE=8,OD=10,∴AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.在Rt△AOH中,由勾股定理知AH2+OH2=OA2,即x2+(x-2)2=102,解得x1=8,x2=-6(不合题意,舍去).∴AH=8.∵OH⊥AF,∴AH=FH=AF,∴AF=2AH=2×8=16.B组提升题组一、选择题1.C 当该圆为三角形内切圆时面积最大,设内切圆半径为r cm,则该三角形面积为·r·(AB+BC+AC)=21r.根据已知条件易得△ABC的面积S=42 cm2,则可得r=2,所以所求的最大面积为4π cm2.故选C.2.D 过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.∵☉O的半径为2,点A的坐标为(2,2),即OC=2=x A,∴AC=2=y A,∴AC是圆O的切线,∴在Rt△OCA中,tan∠AOC===,∴∠AOC=60°.又∵直线AB为☉O的切线,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC=60°.又∵OB=2,∴OD=1,BD=,即B点的坐标为(-1,).故选D.二、填空题3.答案60解析∵AB,AC分别与☉O相切于点D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC.在菱形ABOC中,AB=BO,∵点D是AB的中点,∴BD=AB=BO,∴∠BOD=30°,∴∠B=60°,又∵OB∥AC,∴∠A=120°,∴在四边形ADOE中,∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°.4.答案解析如图,连接OF,∵FG为☉O的切线,∴OF⊥FG.∵Rt△ABC中,D为AB中点,∴CD=BD,∴∠DCB=∠B.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC,∴∠CFO=∠B,∴OF∥BD,∴AB⊥FG.∵O为CD的中点,∴F为BC的中点,∴CF=BF=BC=4.∵Rt△ABC中,AB==10,∴sin∠B==,∴在Rt△BGF中,FG=BFsin∠B=4×=.三、解答题5.解析(1)∵AD∥BC,∴∠D=∠CBD,∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=×(180°-∠BAC)=72°,∴∠AFB=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=×72°=36°,∴∠D=∠CBD=36°,∴∠BAD=180°-∠D-∠ABD=180°-36°-36°=108°,∠BAF=180°-∠ABF-∠AFB=180°-36°-72°=72°,∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=108°-72°=36°.(2)证明:∵∠CBD=36°,∠FAC=∠CBD,∴∠FAC=∠D,∵∠AED=∠AEF,∴△AEF∽△DEA,∴=,∴AE2=EF·ED.(3)证明:连接OA、OF,∵∠ABF=36°,∴∠AOF=2∠ABF=72°,∵OA=OF,∴∠OAF=∠OFA=×(180°-∠AOF)=54°,由(1)知∠DAF=36°,∴∠OAD=36°+54°=90°,即OA⊥AD,又∵OA为半径,∴AD是☉O的切线.6.解析(1)证明:如图1,连接OC,则OA=OC,图1 ∴点O在线段AC的垂直平分线上,同理,点D也在线段AC的垂直平分线上,∴OD是线段AC的垂直平分线,∴OD⊥AC,AE=EC,∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=90°,即BC⊥AC,∴OD∥BC.(2)证明:∵tan∠ABC=2,∴BC=AC,由(1)得E是AC的中点,∴AE=AC,∴BC=AE.∵AB=AD,∴Rt△ABC≌Rt△DAE,∴∠BAC=∠ADE,∴∠OAD=∠BAC+∠EAD=∠ADE+∠EAD=90°,∴AB⊥AD,∴DA与☉O相切.(3)如图2,连接AF,则AF⊥BD,图2∵BC=1,∴AC=ED=2,∴AD=CD=AB==,∴AO=BO=AB=,∴OD==.∵AB=AD,AB⊥AD,∴△ABD是等腰直角三角形,∴BD=AB=.且F是BD的中点,∴FD=BD=,∴==,∵∠EDF=∠BDO,∴△DEF∽△DBO,∴==,∴EF=BO=.7.解析(1)证明:连接OC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=∠DCB=90°.∵E为BD的中点,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠ECB+∠OCB=∠EBC+∠OBC.∵BD⊥AB,∴∠OCE=∠OBE=90°,∴CE是☉O的切线.(2)设CD=m,则AC=3m.由(1)知∠ACB=∠DCB,又易得∠A=∠CBD,∴△ACB∽△BCD,∴=,∴BC2=AC·CD,∴BC=m,∴tan A==,∴∠A=30°.8.解析(1)证明:如图1,连接OD,OE, ∵AB=2,∴OA=OD=OE=OB=1.∵DE=1,∴OD=OE=DE,∴△ODE是等边三角形,∴∠ODE=∠OED=60°.∵DE∥AB,∴∠AOD=∠ODE=60°,∠EOB=∠OED=60°,∴△AOD和△BOE是等边三角形,∴∠OAD=∠OBE=60°,∴∠CDE=∠OAD=60°,∠CED=∠OBE=60°,∴△CDE是等边三角形.∵DF是☉O的切线,∴OD⊥DF,∴∠EDF=90°-60°=30°,∴∠DFE=90°,∴DF⊥CE,∴CF=EF.(2)相等,理由如下:如图2,点E运动至与点B重合时,BC是☉O的切线, ∵☉O的切线DF交BC于点F,∴BF=DF,∴∠BDF=∠DBF,∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴∠BDF+∠FDC=∠DBF+∠C=90°,∴∠FDC=∠C,∴DF=CF,∴BF=CF.图1图2。
2019中考数学第一轮复习 第6章第22讲 与圆有关的位置关系(共25张PPT)
技法点拨►解答这类综合题时需要用到直线与圆的位置关系、圆 周角定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解 题时需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所 学知识进行解答．
变式运用►1.已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l 的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为 2的点共有( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
AD⊥OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形
ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE
＝∠ABE，选项C正确；AC不一定垂直于OE，选项D
错误．
6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC， 若∠ABC＝120°，OC＝3，则 的 的长为( B ) A．π B．2π C．3π D．5π
d<r
交点 割线
相切 ②__1__
d＝r
切点 切线
相离 0
③__d>r__
无 无
考点4 切线的性质与判定
性质定理 判定定理
切线长
圆的切线垂直于经过切点的①__半径__
过半径的外端并且②__垂直于__半径的直线是 圆的切线 经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其 中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 切线长；过圆外一点所画的圆的两条切线长③ __相等__，圆心和这一点的连线平分这两条切 线的夹角
真题全练 命题点 切线的性质与判定
1．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边 AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于( ) A．20° B．35° C．A40° D．55°
A ∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∠ACB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝125°，∠BAC＝90°－ ∠ABC＝35°.∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA ＝∠ABC＝55°，∠AMC＝90°.∵∠ADC＝∠AMC＋∠DCM，∴∠DCM ＝∠ADC－∠AMC＝35°，∴∠ACD＝∠MCA－∠DCM＝55°－35°＝ 20°.
【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第22讲 与圆有关的位置关系
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二：切线的性质与判定
3.切线
的判定
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.
知识点四：三角形与圆
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解析 如图,连接P1A,P2A,…,P8A.
根据勾股定理得P1A=5,P2A=3 2,P3A= 17,P4A=5,P5A= 29 ,P6A= 17 ,P7A=5,P8A=2 2 , ∴P8A<P3A=P6A<P2A<P1A=P4A=P7A<P5A, ∵除点A外恰好有三个格点在圆内, ∴这三个格点为P3,P6,P8, ∴ 17 <r≤3
心在斜边的中点处;钝角三角形的外心在三角形的外部.所有三角
形的内心都在三角形的内部.
知识点五 正多边形与圆
1.正多边形的相关概念 (1)正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. (2)正多边形的中心:一个正多边形 外接圆的圆心 叫做 这个正多边形的中心. (3)正多边形的半径:正多边形外接圆的 半径 叫做正多 边形的半径. (4)正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的 圆心角 叫 做正多边形的中心角. (5)正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的 边心距 .
考点一 点与圆的位置关系
例1 如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个
格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的
格点中除 点A外 恰好有3个在圆内,则r的取值范围为( B )
A.2 2 <r< 17
C. 17 <r<5
B. 2 17<r≤3 D.5<r< 29
2.正多边形和圆的有关计算
如果把正n边形的有关元素:中心角、半径、边长、边心距、周
长、面积分别用α n、R、an、rn、Pn、Sn表示,那么:
(1)α
n=
3 60
n
;(2)R2= rn2
+ 14 an2 ;(3)Pn=nan;(4)Sn= 12n·rn·an= 12rnPn
.
泰安考点聚焦
考点一 点与圆的位置关系 考点二 直线与圆的位置关系 考点三 切线的位置 考点四 切线的判定
变式1-1 ☉O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2) ,则点P与☉O的位置关系是 ( A ) A.点P在☉O内 B.点P的☉O上 C.点P在☉O外 D.点P在☉O上或☉O外
解析 圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2), ∴OP= 42 2 2 = 20 <5,∴点P在☉O内,故选A. 方法技巧 d(点到圆心的距离)<r(圆的半径)时,点在圆内;d=r 时,点在圆上;d>r时,点在圆外.
第22讲 与圆有关的位置关系
总纲目录
泰安考情分析 基础知识过关 泰安考点聚焦 随堂巩固练习
泰安考情分析
基础知识过关
知识点一 与圆有关的位置关系 知识点二 切线的判定和性质 知识点三 切线长理性 知识点四 三角形的外接圆和内切圆 知识点五 正多边形与圆
知识点一 与圆有关的位置关系
1.与圆有关的位置关系
(3)当直线与圆的公共点不明确时,则过圆心作该直线的垂线,然 后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切 线”来证明.口诀是“作垂直、证相等”.
知识点三 切线长定理
1.切线长的定义:过圆外一点引圆的切线,这一点到切点之间线段 的长叫做这点到圆的 切线长 . 2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的长 相等 ,圆心和这一点的连线 平分 这两条切线的 夹角.
考点二 直线与圆的位置关系
中考解题指导 直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交,
判断位置关系的主要方法:①直线与圆公共点的个数;②比较d(圆 心到直线的距离)和r(圆的半径)的大小关系.
例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4 cm,以点C为圆
心,以2 cm的长为半径作圆,则☉C与直线AB的位置关系是( B )
知识点四
类别 名称 图示
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆
三角形的内切圆
三角形的外心
三角形的内心
描述
经过三角形三个顶点的圆,外心是三角形三边 与三角形三边都相切的圆,内心是三角形三条
垂直平分线的交点
角平分线的交点
性质
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形三边的距离相等
温馨提示 锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外
则m=0;②若d=5,则m=1;③若1<d<5,则m=3;④若d=1,则m=2;⑤若d
<1,则m=4.其中正确命题的个数是 ( C )
2.过同一直线上的三点不能作圆,不在同一直线上的三点确 定一个圆.
知识点二 切线的判定和性质
1.切线的判定 (1)和圆⑦ 只有一个 公共点的直线是圆的切线; (2)到圆心的距离等于⑧ 半径 的直线是圆的切线; (3)经过半径的外端并且⑨ 垂直于 这条半径的直线是圆的 切线.
2.切线的性质 (1)切线的性质定理:圆的切线⑩ 垂直于经过切点 的半径. (2)推论1:经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 . (3)推论2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 . 温馨提示 (1)要证的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的 半径,此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线”来证明.口诀“见半径、证垂直”. (2)给出了直线与圆的公共点,但未给出过这点的半径,则连接公 共点和圆心,根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线”来证明.口诀“连半径、证垂直”.
A.相离
B.相切
C.相交
D.相切或相交
解析 作CD⊥AB于点D.
∵∠B=30°,BC=4 cm, ∴CD=12 BC=2 cm, 即CD等于圆的半径.
∵CD⊥AB,
∴直线AB与☉C相切.故选B.
变式2-1 已知☉O的半径r=3,设圆心O到一条直线的距离为d,圆 上到这条直线的距离为2的点的个数为m,给出下列命题:①若d>5,
类别
位置关系
图示
点与
点在圆外
Hale Waihona Puke 圆的位置点在圆上
关系
点在圆内
直线与 圆的位
相离
置关系
相切
相交
数量关系
d① >
r
d② =
r
d③ <
r
d④ >
r
d⑤ =
r
d⑥ <
r
温馨提示 点与圆的位置关系可通过d(点到圆心的距离)和r(圆 的半径)之间的大小关系进行判断;直线与圆的位置关系可通过d (圆心到直线的距离)和r(圆的半径)之间的大小关系进行判断.