高中数学：第二章2.5平面向量应用举例 (1)
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算(...》43PPT课件 一等奖名师
rr
当0°≤ ＜ 90°时 a b为正；
rr
当90°＜ ≤180°时 a b 为负。
当
=90°时
r
a
r
b
为零。
rr 注意：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0＝0
例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 120 ，求a ·b.
解： a ·b =|a | |b |cosθ
5 4 cos120
课堂小结： 1.平面向量数量积的定义 2.投影的定义 3.平面向量数量积的几何意义
课后作业：
1.课本P106 1题 2题 3题
敬请指导
.
例3
求证：(1)
(a b)2
a
2
2a
b
2
b
；
2
2
(2) (a b) (a b) a b .
证明： (1) (a b)2 (a b) (a b)
aaabbabb
a
2
2a
b
2
b
；
(2) (a b) (a b) a a a b b a b b
2
2
a b .
例 4 已知 | a | 6，| b | 4，a 与 b 的夹角为 60，
1. 一种新的运算
2. “ · ”不能省略，也不能写成“×”
3.
a
b表示数量而不表示向量
，与实数a
b
不同，ar
br,ar
r b,
ar
都是向量；
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什 么时候为负，什么时候为0？
rr r r
a b | a || b | cos
rr
若向量 a，b 为非零向量，则
高中数学25 平面向量的应用举例
2.5平面向量的应用举例2.5.1平面几何中的向量方法由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。
下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图2..5.1,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？分析：不妨设=，=，则=+，=-，。
与= ·=（+）·（-）=a·a+a·b+b·a+b·b+2a·b。
同理-2a·b。
观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得+=2（）=2+）。
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
思考如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。
解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。
这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
例2 如图2.5-2，连接□ABCD 的一个顶点至AD 、DC 边的中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上的两点要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可。
2.5平面向量应用举例
ur G
|
,
分 的析 关绳 系子？受到的拉力大小FuFr 1与两绳子间的夹角θ
u ur
u ur
F1 F2
uur | F1
|
ur |G |
2
cos
2
ur G
2020/1/16
uu r
|G u r(4|)如20果0绳3N 子,的θ在最什大么承范受围力内为,绳|F 子1|才2 不0会0N 断u,r ？
关系？
D
C
结论：
A2C D2B 2(A2B A2D )
A
B
矩形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和 的两倍。
探索：
平行四边形 ABCD中，以上关系是否
依然成立？
2020/1/16
结例1、论证：明平行四边形两条对角线的平方和等于两
条条邻邻边边平平方方和和的的两两倍倍。。
D
C
已知：平行四边形ABCD。
（3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物 理现象.
2020/1/16
如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬 挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根 绳子的拉力是____1_0_N__.
120º
|
uur F1
|
ur |G |
2 cos
ur
2
G
2020/1/16
例艘4船.如从图A处,一出u条ur发河到的河两对岸岸平,已行知,河船的的宽速度度d=|5vur10| 01m0k,m 一/h, ,水流速度 |v2|2km/h,问行驶航程最短时,所用时间 是多少？(精确到0.1min)
F
由
200 2 cos
3
2
平面向量应用举例
A
b· (a－c)＝0. c· (a－b)＝0. a· (c－b)＝0
① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
2 2 2 2
C
探索：平行四边形 ABCD 中， 以上关系是否依然成立？
A
B
例1、证明平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。 D 已知：平行四边形ABCD。 求证： AC 2 BD2 2( AB2 AD2 )
A B
C
结 论： 平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。
a b | a || b | cosθ 2.重要性质: 设a 、b都是非零向量,则
(1)
(2)
a b 0 . a b _________
|a| . a a _____ a ______ 2 | a | __________ . a
2 2
(3) | a b
≤ | a || b | . 当且仅当a / /b时，等号成立． | ____
向量运算 翻译几何结果
练习1:求证：直径所对的圆周角为直角.
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边 的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 演示
E
猜想：
AR=RT=TC
D
F
C
R
T
A
B
高一数学必修课本目录
【高中数学课本】高中数学必修1~5目录高中数学必修一：第一章. 集合与函数概念1.1. 集合1.2. 函数及其表示1.3. 函数的基本性质第二章. 基本初等函数（I）2.1. 指数函数2.2. 对数函数2.3. 幂函数第三章. 函数的应用3.1. 函数与方程3.2. 函数模型及其应用高中数学必修二：第一章. 空间几何体1.1. 空间几何体的结构1.2. 空间几何体的三视图和直观图1.3. 空间几何体的表面积与体积第二章. 点、直线、平面之间的位置关系2.1. 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.3. 直线、平面垂直的判定及其性质第三章. 直线与方程3.1. 直线的倾斜角与斜率3.2. 直线的方程3.3. 直线的交点坐标与距离公式第四章. 圆与方程4.1. 圆的方程4.2. 直线、圆的位置关系4.3. 空间直角坐标系高中数学必修三：第一章. 算法初步1.1. 算法与程序框图1.2. 基本算法语句1.3. 算法案例第二章. 统计2.1. 随机抽样2.2. 用样本估计总体2.3. 变量间的相关关系第三章. 概率3.1. 随机事件的概率3.2. 古典概型3.3. 几何概型高中数学必修四：第一章. 三角函数1.1. 任意角和弧度制1.2. 任意角的三角函数1.3. 三角函数的诱导公式1.4. 三角函数的图像与性质1.5. 函数y=Asin（ωx+φ）的图像1.6. 三角函数模型的简单应用第二章. 平面向量2.1. 平面向量的实际背景及基本概念2.2. 平面向量的线性运算2.3. 平面向量的基本定理及坐标表示2.4. 平面向量的数量级2.5. 平面向量应用举例第三章. 三角恒等变换3.1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2. 简单的三角恒等变换高中数学必修五：第一章. 解三角形1.1. 正弦定理和余弦定理1.2. 应用举例1.3. 实习作业第二章. 数列2.1. 数列的概念与简单表示法2.2. 等差数列2.3. 等差数列的前n项和2.4. 等比数列2.5. 等比数列的前n项和第三章. 不等式3.1. 不等关系与不等式3.2. 一元二次不等式及其解法3.3. 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.4. 基本不等式。
高一数学必修4课件：2-5平面向量应用举例
第二章
2.5
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[证明] c.
→ → → 如图所示，设CB＝a，CA＝b，AB＝c，则a＝b＋
∴a2＝(b＋c)· a＝a· b＋a· ① c 又a与b的夹角为∠C，a与c的夹角大小等于∠B的大小， 故①式可化为：|a|2＝|a||b|cosC＋|a||c|cosB， 即|a|＝|b|cosC＋|c|cosB， 也即a＝b cosC＋c cosB.
第二章
2.5
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命题方向
向量在物理中的应用
用向量法研究物理问题 (1)求力向量，速度向量常用的方法一：一般是向量几 何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题．
1 1 [答案] 10 －2
第二章
2.5
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新课引入 任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题．蒸汽机 的发明推动了工业革命，极大地解放了生产力，促进了社会 经济的发展，而网络的发明与发展则促进了全球化的发展和 地球村的形成．
第二章
2.5
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2.5
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→ → 1．若向量 OF1 ＝(1,1)， OF2 ＝(－3，－2)分别表示两个力 → → → → F1 ，F2 ，则|F1 ＋F2 |为( A．(5,0) C. 5 )
识讨论力及角的关系．
第二章
2.5
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[解析]
第二章 平面向量应用举例
思路分析：由题目可获取以下主要信息： ①△ABC 的三个顶点坐标已知； ②D、E、F 分别为三边的中点． 解答本题可利用向量共线及垂直关系进行处理．
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解：(1)由已知得点 D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)， 设 M(x，y)是直线 DE 上任意一点， → → → → 则DM∥DE.DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)． ∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0， 即 x－y＋2＝0 为直线 DE 的方程． 同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
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平面向量在平面几何中的应用 【例 1】 已知 Rt△ABC，∠C＝90° ，设 AC＝m，BC ＝n， 1 (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD＝ AB； 2 (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的长度(用 m，n 表示)．
答案：B
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4． 一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸 的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为 4 km/h，则河水的 2 km/h 流速大小为________．
解析：
由图可知 v 水＝2 km/h.
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答案：B
Байду номын сангаас
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3．用力 F 推动一物体 G，使其沿水平方向运动 s，F 与 垂直方向的夹角为 θ，则 F 对物体 G 所做的功为( ) A．F· cosθ s· B．|F|· sinθ |s|· C．|F|· cosθ s· D．|F|· sinθ s·
2.5 平面向量应用举例
0
三、垂心
三角形三边上的高交于一点， 这一点叫三角形的垂心。
A
E
F o D
AB OC, BC 3
B
D
C
二、外心
三角形三边的中垂线交于一点， 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
A
O
A
O
A C
B
C
B
例题2 若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ） A．内心 B．外心 解析：由向量模的定义知 O 到 C．垂心 D．重心
一、向量四种运算总结：
运算类型 代数式运算 几何运算
a
b
坐标运算
运算性质
ab ba (a b) c a (b c) AB BC AC
a b a (b) AB BA OB OA AB
加 法 减 法
ab
a b
ab ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
a
b
数 乘
a
ab 数量积 a b cos
0 0 0
a
a (x1, y1 )
a
b
a· b=|b|·（向量a在b方向上的投影）
a b x1 x2 y1 y2
a∥b a∥ b x1 y2 x2 y1 0
O是 ABC 的垂心
B
C
O A O B O B O C O C O A
例3. 点O是Δ ABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA， 则点O是Δ ABC的（ D ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点
第二章平面向量在几何物理中的应用举例【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
当堂检测
角度2 垂直问题
例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是
矩形,用向量证明:PA⊥EF.
探究一
探究二
当堂检测
证明设正方形边长为 a,由于 P 是对角线 BD 上的一点,可设
=λ(0≤λ≤1).
则 = − = -λ = -λ( + )=(1-λ)-λ.
激趣诱思
知识点拨
(3)要证 A,B,C 三点共线,只要证明存在唯一一个实数 λ≠0,使=λ,
或若=a,=b,=c,存在一个实数 t,使 c=ta+(1-t)b.
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线
(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·
b=0
| || |
π
=
2
2×
=
3
2
3
3
2
.
π
因为 0<∠EAC<2 ,所以∠EAC=6 .
反思感悟 利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图
形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题
也有两种方向,一是利用向量的基求解,二是利用坐标运算.在求解
过程中,务必注意向量的方向.
探究一
因为实际速度=游速+水速,所以游速为
− = ,
在 Rt△AOB 中,由已知||=4 3,||=4,
因此 ∥ ,
又因为 , 有公共点 F,所以 A,E,F 三点共线.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟 证明A,B,C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.
2016高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例
3
4x DA
DC
3
4x 2
2
DC
4
2
25
(3
4x)2
2
DC
25，
所以| PA 3PB | 的最小值为5.
2.用向量解决平面几何问题的两种思想 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将 题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计 算. (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题 中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
【补偿训练】1.如图，平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角 线BD=2，则对角线AC的长为____．
2
CD .
(2)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ ≠0，使
AB CD 成立，且AB与CD无公共点. (3)要证明两线段垂直，如AB⊥CD，则只要证明数量积 AB CD 0. (4)要证明A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ ≠0，使 AB AC. (5)要求一个角，如∠ABC，只要求向量 BA与向量 BC 的夹角即可.
A.(0，5)
B.(4，-1)
C.2 2 D.5
【解析】选D.因为F1+F2=(2，2)+(-2，3)=(0，5)，
所以|F1+F2|=5.
3.力F=(-1，-2)作用于质点P，使P产生的位移为s=(3，4)，则力F对 质点P做的功是________. 【解析】因为W=F·s=(-1，-2)·(3，4)=-11，所以力F对质点P做 的功是-11. 答案：-11
2.5 平面向量应用举例
【知识提炼】 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤” (1)建立平面几何与向量的联系，用_向__量__表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为_向__量__问__题__. (2)通过_向__量__运__算__研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
2.5.1平面向量应用举例三道
3
故AT=RT=TC
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则
AC a b, CB a， b
2
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2 如图，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想：
D
F T
C
AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设 AB a , AD b 则 AC a b 由于 AR 与AC 共线，故设 AR r n(a b) , n R 又因为 ER与 EB 共线，
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
D E R
F T B
C
因为 AR AE ER
1 1 所以 r 1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
AB 2 BC 2 CD2 DA2 2( a b )
AC BD a b
陕西省柞水中学高中数学必修四(北师大版)第二章学案 向量应用举例(一)
【导学案】平面向量的应用举例（一） 班级 姓名 组号 编写人：党显武 审核人：王松涛【学习目标】1、 了解直线的方向向量与法向量的概念，会求直线的方向向量与法向量；2、 会运用平面向量的方法解决解析几何中的点到直线的距离问题公式的推导，直线平行与垂直问题，直线的夹角问题；3、 体会运用向量解决解析几何问题的方法思路。
【重点难点】重点：向量法解决解析几何问题难点：解析几何问题向向量的转化【知识链接】 【学习过程】一、预习自学（一）直线的方向向量与法向量得定义： 1、定义：若一个非零向量所在的直线与直线l 平行或共线，则把这个非零向量m 叫直线l 的一个方向向量；与直线l 的方向向量m 垂直的非零向量n 叫直线l 的一个法向量。
2、通常直线22;0(0)l Ax By C A B ++=+≠的一个方向向量记作(,)m B A =-.若斜率k 存在，也可记为m =（1，k ）一个法向量(,)n A B =,也可记为1(1,)n k=-(二)认真阅读课本P101—102页内容，归纳总结向量法推导点到直线的距离公式的过程步骤. 第一步、确定两个向量：1、直线22;0(0)l Ax By C A B ++=+≠的一个法向量为(,)n A B =2、在直线上任选一点(,)P x y ，则向量MP =第二步、确定夹角：过点M 作MD ⊥l 于D,则在Rt MPD ∆中， cos PMD ∠=cos ,MP n =第三步、解三角形：在cos Rt MPD d MP PMD ∆=•∠中，=二、合作探究问题一：用向量法求点P （1，2）到直线:210l x y ++=的距离。
问题二： 已知点(1,2),(3,4),(2,5)A B C --,求经过点A 且垂直于直线BC 的直线l 的方程. 问题三：已知两条直线12:(23)10,:(25)(6)70,l mx m y l m x m y ---=+++-=分别求实数m 的值，使得两直线（1） 平行； （2）垂直三、达标检测1、直线:34120l x y -+=的一个方向向量是， ；一个法向量是 .2、12:20,:20tan .l x y l x y θθ+-=-=的夹角为，试求3、向量(5,1):310m l x my m =-+-==是直线的法向量，则实数。
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高一上：必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例高一下必修4第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式高二上必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量间的相关关系第三章概率3．1 随机事件的概率3．2 古典概型3．3 几何概型必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系选修2-1第三章空间向量与立体几何 ---理科学3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法高二下---理科选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理高二下---文科选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算。
平面向量应用举例
2.5 平面向量应用举例一、学习目标设定1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．二、导入情境创设如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N 的灯具，则每根绳子的拉力是多少？三、学习策略分析本节课采用“情境—问题”的课堂教学模式，即在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、探究等活动中发现并证明基本不等式，并在此过程中逐步提高推理论证能力及数形结合能力。
四、自主学习设计1． 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 2． 平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法 120o10N相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．五、课时对点练习1．某人先位移向量a ：“向东走3 km ”，接着再位移向量b ：“向北走3 km ”，则a ＋b 表示( )．A ．向东南走3 2 kmB ．向东北走3 2 kmC ．向东南走3 3 kmD ．向东北走3 3 km2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB→＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值，最小值分别是( )．A ．4,0B ．16,0C ．2,0D ．16,44．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则 △ABC 为( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形 5．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是______________________________________．六、课堂内容小结平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．七、探究延伸拓展1.以O 为原点，OF 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.设OF ·FG =1，点F 的坐标为(t ，0)，t ∈［3，+∞)，点G 的坐标为(x 0，y 0).(1)求x 0关于t 的函数x 0=f(x)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；(2)设△OFG 的面积S=631t ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当|OG |取得最小值时椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，若点P 的坐标为(0，92)，C 、D 是椭圆上的两点，且PC =λPD (λ≠1)，求实数λ的取值范围.2.如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m 的线段,其端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动,设点M 满足=λ(λ是不等于1的正常数),试问:是否存在两个定点E 、F,使得|ME |、||、||成等差数列?若存在,求出E 、F 的坐标;若不存在,请说明理由.3. 已知△OPQ的面积为S，且OP·PQ=1，OP=m，S=43m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q.(1)当m∈(1，2)时，求|OQ|的最大值，并求出此时的椭圆C方程；(2)在(1)的条件下，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于D点，且MP=λ1PN，MD=λ2DN请找出λ1、λ2之间的关系，并证明你的结论.。
高中数学2.5平面向量应用举例(教、学案)
2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
高中数学《平面向量应用举例》教案 新人教A版必修4
课题：§2.5 平面向量应用举例一、预习目标预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。
另外，在思考一下几个问题：1.例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？3．例3中，⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习内容1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.二、学习过程探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）举出几个具有线性运算的几何实例．例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++．试用几何方法解决这个问题利用向量的方法解决平面几何问题的 “三步曲”？（1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b ==（1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,.a b 表示向量AO 。
例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km)？变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 (4,3),(2,10)A B s s ==，（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s; (2)计算s 在A s 方向上的投影。
1-7 平面向量的应用举例(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.
1
＝ ＝ .
2
高中数学
必修第二册
湖南教育版
3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
2
2
3
2
3
2
3
1
3
∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，
高中数学 平面向量应用举例
分割 A(0, 0), B(1, 0), 则下面说法正确的是 ( )
(A) C 可能是线段 AB 的中点
(B) D 可能是线段 AB 的中点
(C) C, D 可能同时在线段 AB 上
(D) C, D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
分析: 点 C, D 调和分割 A, B, 则
AC = l AB,
证明: ∵∠A 是直角,
A
AB AC = 0.
BD, BC 同向,
2 BD
C
BDBC = |BD||BC | = AB .
于是 ADBC = (AB BD)BC
= ABBC BDBC
2
= ABBC AB
= AB(BC AB)
= AB AC =0. ∴AD⊥BC.
例1. 平行四边形是表示向量加法与 减法的几何模型. 如图, AC = AB AD, A
在向量中判定平行, 可用共线的条件 b=la, 可
用坐标 x1y2-x2y1=0. 判定垂直, 用向量的数量积为零. 平面几何用的几何方法, 几乎完全在图形中找关
系. 向量方法是将几何问题转化为代数问题, 用代数 计算的方法解决几何问题.
例(补充). 如图, 在直角三角形ABC中, 角A是直 角, D是BC边上一点, AB2=BD·BC. 求证: AD⊥BC.
(B) D 可能是线段 AB 的中点
(C) C, D 可能同时在线段 AB 上
(D) C, D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
分析: 点 C, D 调和分割 A, B, 则
AC = l AB,
AD = AB,
1
l
1
=
2.
即 (c, 0)=l(1, 0), (d, 0)=(1, 0).
潍坊高中数学目录表
潍坊高中数学目录表第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任一角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=asin(ωx ψ)1.6 三角函数模型的直观应用领域本章综合第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量内积2.5 平面向量应用举例本章综合第三章三角恒等变换3.1 两角和与高的正弦、余弦和正弦公式3.2 简单的三角恒等变换本章综合一)两角和差公式 (写的都要记)sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa ?cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)二)用以上公式可以面世以下二倍角公式tan2a=2tana/[1-(tana)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2(上面这个余弦的很重要)sin2a=2sina*cosa三)半角的只需记住这个：tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa)四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sina)^2=(1-cos2a)/2(cosa)^2=(1+cos2a)/2五)用以上降幂公式可以面世以下常用的化简公式1-cosa=sin^(a/2)*21-sina=cos^(a/2)*21.先易后难。
就是先搞直观题，再搞综合题，应当根据自己的实际，果断UX21LI2677E啃不动的题目，从易至容易，也必须特别注意认真对待每一道题，力求有效率，无法走马观花，存有容易就脱，危害解题情绪。
2.先熟后生。
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第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例
A 级 基础巩固
一、选择题
1．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用而处于平衡状态．已知F 1与F 2的夹角为60°，且F 1，F 2的大小分别为2 N 和4 N ，则F 3的大小为( )
A ．6 N
B ．2 N
C ．2 5 N
D ．27 N 解析：由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F 3|2＝|－F 1－F 2|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos 60°＝22＋42＋2×2×4×1
2＝28，所以
|F 3|＝27 N.
★答案★：D
2．平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →
＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )
A ．菱形
B ．梯形
C ．矩形
D ．平行四边形
解析：由题意知a －b ＝d －c ，
所以BA →＝CD →
，所以四边形ABCD 为平行四边形． ★答案★：D
3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F 做的功为
( )
A ．100焦耳
B ．50焦耳
C ．503焦耳
D ．200焦耳
解析：设小车位移为s ，则|s |＝10米 W F ＝F·s ＝|F ||s |·cos 60°＝ 10×10×1
2＝50(焦耳)．
★答案★：B
4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →
＝5，则AC 的长为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：因为BD →＝AD →－AB →＝12
AC →－AB →
.
所以BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，
即14
AC →
2＝1.
所以|AC →
|＝2，即AC ＝2. ★答案★：B
5．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )
A.13
B.12
C.23
D.34 解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →， 得PA →＋PB →＋BA →＋PC →
＝0，
即PC →＝2AP →
，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．
故S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23. ★答案★：C 二、填空题
6．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.
解析：如图所示，船速|υ1|＝5(km/h)，
水速为υ2，实际速度|υ|＝10(km/h)，所以|υ2|＝100－25＝75＝53(km/h)．
★答案★：5 3
7．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →
＝8，则这个三角形的形状是________．
解析：因为AB →·AC →
＝4×4·cos A ＝8， 所以cos A ＝12，所以∠A ＝π3，
所以△ABC 是正三角形． ★答案★：正三角形
8．已知力F 1，F 2，F 3满足|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝1，且F 1＋F 2＋F 3
＝0，则|F 1－F 2|＝________．
解析：由F 1＋F 2＋F 3＝0，可得F 1＋F 2＝－F 3，所以(－F 3)2＝(F 1
＋F 2)2，化简可得：F 23＝F 21＋F 2
2＋2F 1·F 2，由于|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝1，
所以2F 1·F 2＝－1，所以|F 1－F 2|＝
（F 1－F 2）2＝
F 21－2F 1·F 2＋F 22＝
1－（－1）＋1＝ 3.
★答案★： 3 三、解答题
9．在直角坐标平面xOy 内，已知向量OA →＝(1，5)，OB →
＝(7，1)，OM →＝(1，2)，点P 为满足OP →＝tOM →(t ∈R)的动点，当PA →·PB →
取得最小值时，求：
(1)向量OP →
的坐标； (2)cos ∠APB 的值．
解：(1)因为OP →＝tOM →
＝(t ，2t )， PA →＝OA →－OP →
＝(1－t ，5－2t )， PB →＝OB →－OP →
＝(7－t ，1－2t )，
所以PA →·PB →
＝(1－t )(7－t )＋(5－2t )(1－2t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.
当PA →·PB →
取得最小值时，t ＝2， 所以OP →
＝(2，4)．
(2)因为PA →＝(－1，1)，PB →
＝(5，－3)， |PA →|＝2，|PB →
|＝34，
所以cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →|·|PB →
|
＝－4
1717.
10．已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ．力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少(取重力加速度大小为10 m/s 2)?
解：如图所示，设木块的位移为s ， 则：F·s ＝|F |·|s |cos 30°＝ 50×20×3
2
＝5003(J)．
将力F 分解成竖直向上的分力f 1和水平方向的分力f 2. 则|f 1|＝|F |sin 30°＝50×1
2
＝25(N)．
所以|f |＝μ(|G |－|f 1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)． 因此f·s ＝|f |·|s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 故力F 和摩擦力f 所做的功分别为500 3 J 和－22 J.
B 级 能力提升
1．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →
)＝0，则△ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
解析：DB →＋DC →－2DA →＝(DB →＋AD →)＋(DC →＋AD →)＝AB →＋AC →
， 所以(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →
2＝0.
即AB →2＝AC →2，所以|AB →|＝|AC →|. ★答案★：B
2．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力对物体m 所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．
解析：物体m 的位移大小为|s |＝
2sin 37°＝10
3
(m)，则支持力对
物体m 所做的功为W 1＝F ·s ＝|F ||s |cos 90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G ||s |cos 53°＝5×9.8×
10
3
×0.6＝98(J)．
★答案★：0 98
3.如图所示，ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积．
解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM 的中垂线，设AM 与EF 交于点N ，则N 是AM 的中点，又正方形边长为8，
所以M (8，4)，N (4，2)．
设点E (e ，0)，则AM →＝(8，4)，AN →
＝
(4，2)，AE →＝(e ，0)，EN →
＝(4－e ，2)， 由AM →⊥EN →得AM →·EN →
＝0，
即(8，4)·(4－e ，2)＝0，解得e ＝5，即|AE →
|＝5. 所以S △AEM ＝12|AE →||BM →|＝1
2×5×4＝10.。