东北农业大学网络教育学院在职高升专期末测试题高等数学

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东北农业大学网络教育学院在职高升专期末测试题
23220007 高等数学
一、填空题(每题2分，共5题)
1. 函数1142-+
-=x x y 的定义域是_[-2,1)Y(1,2]__
2. x x x 1
)21(lim 0+→=( 2
e ) 3. 设函数
)(x f y =在点x 可导，则函数)()(x kf x g =（k 是常数）在点x 可导 （可导、不可导）。

4. )1ln(+-=x x y 在区间 )0,1(- 内单调减少，在区间 ),0(+∞ 内单调增加。

5. y x y x z -++=
1
1的定义域为(){}x y x y x <<-,；
二、单项选择题(每题4分，共5题)
1. 下列函数是初等函数的是（ B ）。

A.3sin -=x y
B.1sin -=x y
C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,
112x x x x y D. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y
2. x x
x 2sin lim
0→ （ B ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 1-
3. )12ln(-=x y ，则)1(f '=（ B ）
A . 0 B. 2 C. 1 D. 3
4. 若
()()x f x F ='，则()()=⎰dx x f d （ B ） A. ()x f B. ()dx x f C. ()x F D. ()dx x F
5. 方程02=-'y y 的通解是（ C ）
A x y sin =
B x e y 24=
C x ce y 2=
D x e y =
三、计算题(每题5分，共8题)
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1. 求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域
解：120
201<≤-⇒⎩⎨⎧≥+>-x x x 2. 13lim 242+-+∞→x x x x x
解：1
3lim 242+-+∞→x x x x x 2
2/13/11lim
x x x x +-+=∞→ 0= 3. 求函数
x x y sin 1cos 1+-=
的微分。

4. 求)1ln(4+=x y 在[]2,1-上的最大值与最小值。

解：1
443
+='x x y ，令0='y ，求得驻点为0=x 17ln )2(,2ln )1(,0)0(==-=y y y
所以最大值是17ln )2(=y ，最小值是0)0(=y
5. 判断广义积分dx x
e x ⎰∞+-0的敛散性，若收敛，计算其值。

解：dx x e x ⎰∞
+-00022|2e e +∞+∞
==-=⎰
4. 求函数
133+-=x y y x z 的一阶偏导数 解：23323,3xy x y
z y y x x z -=∂∂-=∂∂ 7. 改变二次积分⎰⎰y y dx y x f dy ),(1
0的次序
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解：⎰⎰=e e y dx y x f dy ),(10
8. 求微分方程0sin sin cos cos =+ydy x ydx x 的解
解：分离变量得xdx ydy cot tan -=
两边积分得⎰⎰
-=xdx ydy cot tan
从而)sin arccos(x C y =
四、求解题(每题4分，共5题)
1. x x f 1)(=
，求x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0
解：()()()200011lim 11lim lim x
x x x x x x x x x f x x f x x x -=∆+-=∆-∆+=∆-∆+→∆→∆→∆
2. 求由参数方程()⎩
⎨⎧-=+=t t y t x arctan 1ln 2
所确定的函数的二阶 解：2))
1(ln()arctan (2t t d t t d dx dy =+-= 3. 求函数323x x y -=的单调区间
解:函数3
23x x y -=的定义域是()+∞∞-, )2(3362--=-='x x x x y ,令0='y ,求得驻点为2,0==x x
,0),0,(<'-∞∈y x 函数单调递减
,0),2,0(>'∈y x 函数单调递增
,0),,2(<'+∞∈y x 函数单调递减
4. 求由曲线22x y =，2x y =与
2=y 所围成的平面图形面积。

解：求得交点)2,1(),2,1(-
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3
8328)2(220-=-=⎰dy y y S
5. 一曲线通过点)3,2(，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这条曲线。

解：设切线L 与曲线切点为P=(x,y)，在x 和y 轴上交点分别为A 和B ，
因为P 为AB 的中点，所以A=(2x,0)，B=(0,2y)。

根据导数的几何意义（切线L 的斜率），得到 dy/dx=(2y-0)/(0-2x)=-y/x.
分离变量 dy/y=-dx/x ，
积分 lny=-lnx+lnC
得通解 y=C/x
将初始条件 x=2,y=3 代入，得 C=6，
所求曲线就是特解 y=6/x 。

五、应用题(每题5分，共2题)
1. 把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

解：设圆锥体积为V ， 解：设圆锥体积为V ，圆形铁片半径为R ，则
圆锥底面半径πα2R r =，高22222⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=παR R r R h 所以圆锥体积222
2
3242431αππαπ-==R h r V ，)2,0(πα∈
2. 要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为372cm ，其底边成2:1的关系，问各边的长怎样，才能使表面积为最小. 解：设底边长为x x 2,。

高为h
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)3(,3,0)(,0216
821642722227224272,722222222>''=='=-='+=⨯⨯+⨯+==
=⨯⨯s x x s x x s x x x
x x x x s x h h x x 所以x=3时取最小值，各边长分别为3，4，6。