中考数学等腰三角形教案 华东师大版
2024年中考数学复习课件 第18讲 等腰三角形与直角三角形
要点梳理
典题精析
备考练习
14
第18讲 等腰三角形与直角三角形
（2）如图②， △ 仍是等边三角形，
点 在 的延长线上，连接 ，判
断 ∠ 的度数及线段 ， ，
之间的数量关系，并说明理由．
图3
思路点拨 由等边三角形的性质,可将 转化为 .若能将 转化为 ,
（2）点 是否也在边 的垂直平分线上？请说明理由.
解：点 也在边 的垂直平分线上.
理由如下： ∵ = ， ∴ 点 在边 的垂直平分线上.
要点梳理
典题精析
备考练习
22
第18讲 等腰三角形与直角三角形
考点四 直角三角形的性质
名师指导 在直角三角形中求角度时，通常利用“直角三角形的两锐角互
上的中线， 为 的中点．若 = 8 ，
3
= 5 ，则 = ___．
20
第18讲 等腰三角形与直角三角形
（2）求 的长.
思路点拨 利用垂直平分线的性质,可将 转化为 .
因此根据勾股定理,求出 长就可以了.
解： ∵ ∠ = 90∘ ， = 12 = 5， ∴ =
，
图6
2 + 2 = 122 + 52 =13.
∵ 是 的垂直平分线， ∴ = = 13
①有一个角是______的三角形是直角三角形
直角
②有两个角______的三角形是直角三角形
互余
判定
2+
③（勾股定理的逆定理）若三角形的三边长 ， ， 满足______
2 = 2
_______，则这个三角形是直角三角形
中考数学专题复习教案：共顶点的等腰三角形与全等
共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）一、内容和内容解析1．内容基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.2．内容解析本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.二、目标和目标解析1．目标（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.三、教学问题诊断分析学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.四、教学过程设计引言我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.1. 复习巩固问题1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些判定？ 师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.问题2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？（1）若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.（2）若△ABD 和△AEC 均为等腰三角形，其中AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，请找出下列各图形中的全等三角形.师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下面设置的探究学习提供了有利条件.2. 探究学习问题3 如图，已知A 是线段BC 上一点，分别以AB 、AC 为边在同侧作等边△ABD 和△AEC.（1）填空：BE= ，∠ABE= ，∠DFB= °.（2）求证： AF 平分∠BFC.（3）求证： AF ＋DF=BF.师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.追问1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.追问2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.追问3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？师生活动: 学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.追问4：若BE 、AD 交于点M ，CD 、AE 交于点N ，链接MN ，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？△AMN 是什么三角形？MN 与BC 有怎样的位置关系？师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给与恰当评价.问题4 如图，若将上题中的等边△AEC 绕点A 都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力. 问题5 如图，若将上题中的等边△ABD 和△AEC 改为等腰△ABD 和△AEC ，其中AD=AB ，AE=AC ， ∠BAD=∠EAC=a. 上述结论是否都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历3. 微课展示4. 巩固应用1. 已知△ABC 和△AEF ，AB=AC ，AE=AF ，∠BAC=∠EAF ，BE 、CF 交于M ，连接MA.（1）如图1，若∠BAC=60°，则△BAE ≌ ；∠CMB= .图1B图2图3BC （2）如图2，若∠BAC=90°，则∠CMB= .（3）如图3，若∠BAC=a, 直接写出∠AME 的度数（用含a 的式子表示）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，指导，师生共同评价.设计意图：巩固加深对探究学习中（1）-（3）问题的认识，再次体会由特殊到一般的探讨问题的过程.2. 如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，若B(a,b)且a 、b 满足(20b +-=，D 为y 轴上一动点，以AD 为边作等边△ADC ，CB 交y 轴于E.（1）如图1，求点A 的坐标.（2）如图2，D 为y 轴正半轴上一点，C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点坐标是否变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理（3）如图3，D 在y 轴负半轴上，以DA 为边向右构造等边△DAC ，CB 交y 轴于E 点，如果D 点在y 轴负半轴上运动时，仍保持△DAC 为等边三角形，连BE ，试求CE ，OD ，AE 三者的数量关系，并证明你的结论.师生活动：用平面直角坐标系中直角的特征，用 30设计意图：直角解决问题，（3）通过有梯度的练习，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课解决共顶点的等腰三角形与全等问题关键是什么？（2）本节课解决一条线段为一个角的角平分线的方法有几种？（3）本节课解决线段之间的和差关系的方法是什么？（4）本节课的探究学习用到了什么思想方法？设计意图：让学生自由发表自己的看法，教师从知识内容、学习过程和思想方法三个方面进行引导. 归纳知识，小结方法，使学生建构自己的知识体系.培养学生合作交流的习惯。
2022八年级数学上册第13章全等三角形集训课堂测素质等腰三角形的性质与判定课件新版华东师大版4
(2)点P是MN上的一点，且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB. ①求证：△BPM是等腰三角形； 证明：∵BP平分∠ABC，∴∠PBM＝∠PBC. ∵MN∥BC， ∴∠MPB＝∠PBC， ∴∠PBM＝∠MPB， ∴MB＝MP， ∴△BPM是等腰三角形．
②若△ABC的周长为a，BC＝b(a＞2b)，求△AMN的周长 (用含a，b的式子表示)． 解：由①知MB＝MP，同理可得NC＝NP， ∴△AMN的周长＝AM＋MP＋NP＋AN＝ AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC. ∵△ABC的周长为a，BC＝b， ∴AB＋AC＋b＝a，∴AB＋AC＝a－b， ∴△AMN的周长＝a－b.
3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年3月21日星期一10时58分39秒10:58:3921 Marc h 2022
谢谢观赏
You made my day!
集训课堂 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一上午10时58分39秒10:58:3922.3.21
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月上午10时58分22.3.2110:58March 21, 2022
(2)若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数． 解：∵BC＝DC，∠BCD＝130°， ∴∠CBD＝∠CDB＝12(180°－∠BCD) ＝12×(180°－130°)＝25°. ∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝50°＋25°＝75°.
18 【 中 考 ·怀 化 】 如 图 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， △EBC是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△DCE；
2014届中考数学(华师版)复习方案：19等腰三角形
∵BD、CE 是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°. 又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)． ∴∠EBC＝∠DCB, ∴AB＝AC. ∴△ABC 是等腰三角形． (2)点 O 在∠BAC 的平分线上．理由如下： 连接 AO. ∵△BDC≌△CEB，∴DB＝EC. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE. 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO. ∴点 O 是在∠BAC 的平分线上．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
归 类 探 究
探究一 等腰三角形的性质的运用
命题角度： 1. 等腰三角形的性质； 2. 等腰三角形“三线合一”的性质．
例 1 如图 19－1，在等腰三角形 ABC 中， AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，∠ABC 的平分 线 BG，交 AD 于点 E，EF⊥AB，垂足为 F. 求证：EF＝ED.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
考点4
线段的垂直平分线
经过线段的中点且与这条线段垂直的直线叫做这条线 段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
定义
性质
相等 ________
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
判定
垂直平分线 上 _______________
上的高互相重合，简称“三线合一”
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
(1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两底角的平分线相等 拓 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
【全效学习 中考学练测】中考数学 第23课时 等腰三角形课件(考点管理+归类探究+易错警示+课时
∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE. (2)如图，作CH⊥BQ交BQ于H，
则由CP＝CQ，得PQ＝2HQ.
在Rt△BHC中，由已知和(1)，得 ∠CBH＝∠CAO＝30°，
1 ∴CH＝ BC＝4. 2
在Rt△CHQ中，
变式答图
HQ＝ CQ2－CH2＝ 52－42＝3， ∴PQ＝2HQ＝6.
点．
1．[2013· 广安]等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，
则它的周长为 A．25 C．32 B．25或32 D．19 (
C )
2．[2013· 成都]如图23－1，在△ABC中，∠B＝∠C，AB ＝5，则AC的长为 ( D )
图23－1
A．2
C．4
B．3
D．5
3．[2013· 绵阳]如图23－2，AC，BD相交于O，
方作等边△CDE，连结BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE； (2)延长BE至Q，P为BQ上一点，连结CP，CQ使CP
＝CQ＝5，若BC＝8时，求PQ的长．
图23－10
解：(1)证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE， 且∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵BE，CD是△ABC的两条高， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，
∴△BDC≌△CEB(AAS)，
∴∠DBC＝∠ECB， ∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
(2)点O在∠BAC的角平分线上． 理由：∵△BDC≌△CEB， ∴DC＝EB. ∵OB＝OC， ∴OD＝OE. 又∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴点O在∠BAC的角平分线上．
专题19 等腰三角形(解析版)-备战2024年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练
专题19等腰三角形【专题目录】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【题型】一、等腰三角形的定义【题型】二、根据等边对等角求角度【题型】三、根据三线合一求解【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形【题型】五、根据等角对等边求边长【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合【题型】七、等边三角形的性质【题型】八、含30°角的直角三角形【考纲要求】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3.掌握线段中垂线的性质及判定．【考点总结】一、等腰三角形等腰三角形等腰三角形概念有两边相等的三角形角等腰三角形。
等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（三线合一）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.【考点总结】二、等边三角形【考点总结】三、直角三角形【技巧归纳】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【类型】一、作“三线”中的“一线”1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，过点A 作EF ∥BC ，且AE ＝AF.求证：DE ＝DF.等边三角形等边三角形概念三条边都相等的三角形，叫等边三角形。
它是特殊的等腰三角形。
等边三角形性质和判定（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
中考数学复习讲义课件 第4单元 第18讲 等腰三角形与直角三角形
(4)如图 3，若∠A＝36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，求证：AD＝BC．
图3 [分析]根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝72°，根据角平分线的定 义得到∠ABD＝∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，根据等腰三角形的判定即 可得到结论．
(2)写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系，并说明理由． 解：∠BEC＋∠BDC＝110°. 理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β. 在△ABE 中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE. ∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝α. ∴∠ABC＝∠ABE＋α＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE. 在△BDC 中，∵BD＝BC，∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋ 2∠ABE ＝ 180 ° . ∴ β ＝ 70 ° － ∠ABE. ∴ α ＋ β ＝ 40 ° ＋ ∠ABE ＋ 70° － ∠ABE＝110°，即∠BEC＋∠BDC＝110°.
18．(2021·包头)某工程队准备从 A 到 B 修建一条隧道，测量员在直线 AB 的同一侧选定 C，D 两个观测点，如图．测得 AC 长为322km，CD 长为34( 2 ＋ 6)km，BD 长为32km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°(A，B，C，D 在 同一水平面内)．
(1)求 A，D 两点之间的距离； 解：过 A 作 AE⊥CD 于 E， 则∠AEC＝∠AED＝90°. ∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°. ∴CE＝12AC＝34 2，AE＝ 3CE＝34 6. ∴DE＝CD－CE＝34( 2＋ 6)－34 2＝34 6.
2020年中考数学压轴题专题2 等腰三角形的存在性问题学案(原版+解析)
专题二等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA ＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一 【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点．（1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D ,满足∠DAB =45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN 与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D 从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D 与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长．（3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B 时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当PAB∆的面积S最大时，求此时PAB∆的面积S及点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点Q，使QAB∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a=--与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标； （2）连结AD ，CD ，求△ACD 的面积；（3）设动点P 从点D 出发，沿线段DE 匀速向终点E 运动，取△ACD 一边的两端点和点P ，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P 为顶角顶点，求所有满足条件的点P 的坐标． 16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A （4，4），B （5，0）和原点O ，P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D （m ，0），并与直线OA 相较于点C ．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；（3）当点P 在直线OA 的上方时，是否存在一点P ，使射线OP 平分∠AOy ，若存在，请求出P 点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +1010CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A ,B ( A 在B 的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.专题二 等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
2022年秋华师大版初二上册数学作业课件：13.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质
14．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC， 求证：∠DAC＝2∠D.
证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝∠CBD ＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∠DAC＝∠C，∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC， ∠DAC＝∠C，∴∠DAC＝2∠D
15．(练习题3变式)如图，点D，E在△ABC的 证明：过点 A 作 AM⊥BC 于 M，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BM＝CM，DM＝EM，∴BM－DM＝CM
－EM，即 BD＝CE
边BC上，且AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
C
7．如图，a∥b，等边三角形ABC的顶点B在 直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为( )
9．(枣庄中考)如图所示，在△ABC中，AB＝ AC，∠A＝30°，A E为BC延长线上一点，∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为 () A．B 15° B．17.5° C．20° D．22.5°
3．(2017·烟台)某城市几条道路的位置关系
4．(例题1变式)(2017·滨州改编)如图，在 △ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝ DC，BD＝BA，求∠B的度数．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DC＝DA，∴∠C＝∠DAC.∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝ ∠DAC＋∠C＝2∠C＝2∠B.设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α.又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝ 180°，∴α＋2α＋2α＝180°，∴α＝36°，∴∠B＝36°
中考数学复习方案第四单元三角形第20课时等腰三角形
[解析(jiě xī)]由AB=AC可得△ABC是等腰
) 三角形,根据等腰三角形的“三线合一”
A.BC
B.CE
性质可知点B与点C关于直线AD对称,因
C.AD
D.AC
此连接CP,则BP=CP,所以BP+EP的最小
值为CE,故选B.
图20-8
第十七页，共三十三页。
基
础
知
识
巩
固
3.[2018·娄底]如图20-9,△ABC中,AB=AC,
60°
;
性质 (2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合;
(3)等边三角形是轴对称图形,有⑥
3
条对称轴
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义);
判定 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
面积 S=
3
4
a2,a是等边三角形的边长
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC=36°,∴∠ABD=∠EDB=∠A,
∴AD=BD,EB=ED,即△ ABD 和△ EBD 是等腰三角形.
∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,
即△ BCD 是等腰三角形.
∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC,∠ADE=∠C,∴∠AED=∠ADE,∴AE=AD,
[答案(dáàn)] A
△ABC中,BO和CO分别(fēnbié)平分∠ABC和∠ACB, [解析]∵BO平分∠ABC,
过O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若
∴∠DBO=∠OBC.∵DE∥BC,
BD+CE=5,则线段DE的长为(
∴∠DOB=∠OBC,
中考数学复习专题教案13等腰三角形与直角三角形教案
第五单元三角形第21课时等腰三角形及直角三角形教学目标【考试目标】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和一个. 三角形为等腰三角形的条件；了解等边三角形的概念及性质；2.了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件；3.会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.【教学重点】1.了解掌握等腰三角形的有关概念及性质.2.学会等腰三角形的判定.3.掌握等边三角形的性质及判定方法.4.掌握线段垂直平分线与角平分线的相关性质.5.学会直角三角形的相关性质与判定方法.教学过程一、体系图引入，引发思考二、引入真题、归纳考点【例1】（2016年菏泽）如图，△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为 （ A ）A ．25：9B ．5：3C ．D.【解析】解：过A作AD⊥BC 于D ，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD ，B′C′=2B′D′，∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=0.5AD•BC=0.5AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB， 3355：35：S△A′B′C′=0.5A′D′•B′C′=A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′， ∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A.【例2】（2016年苏州）如图，在△ABC 中，AB=10，∠B=60°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且BD=BE=4，将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△B'DE（点B'在四边形ADEC 内），连接AB'，则AB'的长为________ .【解析】过点B′作B′F⊥AD，垂足为F ，因为BD=BE=4，∠B=60°,所以△BDE 是等边三角形.由折叠的性质可得DB′=BD=4，∠BDE=∠B′DE=60°，所以∠ADB′=60°，所以在Rt△B′FD 中，DF=2，B′F= .因为AB=10，所以AF=4，所以 【例3】（2016年西宁）如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，OA⊥PD 于点D ，PC=4 ，则,PD= 2 .【解析】过点P 作PE⊥OB 于点E.∵OP 平分∠AOB，∴PD=PE，∠AOB=2∠AOP=30°.∵PC∥OA，∴∠ECP=∠AOB=30°，∴PE=0.5PC=2，∴PD=PE=2.【例4】（2016年江西）如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB=8，AD=7，E 为AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是 .【解析】据题意，如果点P 落在AD 边上，则AE=AP=5，底边长PE 2=AP 2+AE 2=52+52=50，PE= ；如果点P 落在DC 边上，则底边长 AE=5；如果点P 落在BC 边上，则两条腰AE=EP=5，所以 所以等腰三角形AEP 的底边长是 或5或 .三、师生互动，总结知识72().72324''2222=+=+=F B AF AB 25，4352222=-=-=EB EP BP 54482222=+=+=BP AB AP 5425先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业布置作业：同步导练教学反思学生对特殊三角形的掌握情况很好，望多加复习巩固，做到熟练会用.。
第1讲 等腰三角形与直角三角形-教案
（2）回忆全等三角形的性质。
2.等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。
【知识导图】
【教学建议】
有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。
1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选C．
2.（2014秋•西城区校级期中）已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
故答案为：130°．
4.如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法 ，保留作图痕迹）；
（2）求证：BM=EM．
【答案】见解析
【解析】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作等腰△ABD和等腰△ACE，且顶角∠BAD＝∠CAE，连接BE、CD，BE与CD有什么数量关系？请说明理由；
中考数学 专题18 等腰三角形与直角三角形(解析版)
第四篇图形的性质专题18等腰三角形与直角三角形知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理归纳1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°． 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b＜a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°—2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒ 注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相等的问题．【例1】（2019内蒙古包头市，第10题，3分）已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根，则m 的值是（ ）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或36 【答案】A ．【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a =b 时；结合韦达定理即可求解． 【详解】当a =4时，b ＜8．∵a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根，∴4+b =12，∴b =8不符合； 当b =4时，a ＜8．∵a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根，∴4+a =12，∴a =8不符合； 当a =b 时．∵a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根，∴12=2a =2b ，∴a =b =6，∴m +2=36，∴m =34． 故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．考点：1．一元二次方程的解；2．根的判别式；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．归纳2：等边三角形基础知识归纳：1．定义三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3．判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例2】（2019四川省宜宾市，第7题，3分）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF=120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A 3B23C3D3【答案】C．【分析】连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，由点O是等边三角形ABC的内心可以得到∠OBC=∠OCB=30°，结合条件BC=2即可求出△OBC的面积，由∠EOF=∠BOC，从而得到∠EOB=∠FOC，进而可以证到△EOB≌△FOC，因而阴影部分面积等于△OBC的面积．【详解】连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵点O为△ABC的内心，∴∠OBC=∠OBA12=∠ABC，∠OCB12=∠ACB，∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°，∴OB=OC．∠BOC=120°．∵ON⊥BC，BC=2，∴BN=NC=1，∴ON=tan∠OBC•BN33=⨯133=，∴S△OBC12=BC•ON33=．∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠EOF﹣∠BOF=∠AOB﹣∠BOF，即∠EOB=∠FOC．在△EOB和△FOC中，∵30OBE OCFOB OCEOB FOC∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EOB≌△FOC（ASA），∴S阴影=S△OBC3=故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．考点：1．三角形的重心；2．全等三角形的判定与性质；3．等边三角形的性质．归纳3：直角三角形基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余．（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用．【例3】（2019山东省东营市，第14题，3分）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是．【答案】643+．【分析】作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BD，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∴BD=DC．在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AD12=AB3=，由勾股定理得：B D22AB AD=-=3，∴BC=2BD=6，∴△ABC的周长为：6+23+23=6+43．故答案为：643+．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．考点：1．等腰三角形的性质；2．含30度角的直角三角形；3．勾股定理．归纳4：勾股定理基础知识归纳：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2；基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形的性质结合起来考查．【例4】（2019北京，第12题，2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA= °（点A，B，P是网格线交点）．【答案】45．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【详解】延长AP交格点于D，连接BD，则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，∴∠DPB=∠P AB+∠PBA=45°．故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．考点：1．三角形的外角性质；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理．【2019年题组】一、选择题1．（2019四川省内江市，第9题，3分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一根，则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或16【答案】A．【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，继而相加即可得．【详解】解方程x2﹣8x+15=0，得：x=3或x=5，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16．故选A．【点睛】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解答此题的关键．考点：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．2．（2019宁夏，第5题，3分）如图，在△ABC中AC=BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD=AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C=40°，则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°【答案】C．【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．【详解】∵AC=CB，∠C=40°，∴∠BAC=∠B12=（180°﹣40°）=70°．∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED12=（180°﹣70°）=55°．∵GH∥DE，∴∠GAD=∠ADE=55°．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．考点：1．平行线的性质；2．等腰三角形的性质．3．（2019山西省，第5题，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1=145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】C．【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB=75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．【详解】∵AB=AC，且∠A=30°，∴∠ACB=75°．在△ADE中，∵∠1=∠A+∠AED=145°，∴∠AED=145°﹣30°=115°．∵a∥b，∴∠AED=∠2+∠ACB，∴∠2=115°﹣75°=40°．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．考点：1．平行线的性质；2．等腰三角形的性质．4．（2019衢州，第7题，3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°【答案】D．【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．【详解】∵OC=CD=DE，∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC．∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°，∴∠ODC=25°．∵∠CDE+∠ODC=180°﹣∠BDE=105°，∴∠CDE=105°﹣∠ODC=80°．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 考点：等腰三角形的性质．5．（2019湖北省荆州市，第5题，3分）如图，矩形ABCD 的顶点A ，B ，C 分别落在∠MON 的边OM ，ON 上，若OA =OC ，要求只用无刻度的直尺作∠MON 的平分线．小明的作法如下：连接AC ，BD 交于点E ，作射线OE ，则射线OE 平分∠MON ．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】C ．【分析】利用矩形的性质得到AE =CE ，则OE 为等腰三角形底边上的中线，利用等腰三角形的性质可得到射线OE 平分∠MON ．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴AE =CE ，而OA =OC ，∴OE 为∠AOC 的平分线． 故选C ．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质和等腰三角形的性质．考点：1．等腰三角形的性质；2．矩形的性质；3．作图—基本作图．6．（2019湖南省常德市，第7题，3分）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB =AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．26 【答案】D ．【分析】利用△AFH ∽△ADE 得到AFH ADE S S =V V （FH DE ）2916=，所以S △AFH =9x ，S △ADE =16x ，则16x ﹣9x =7，解得x=1，从而得到S△ADE=16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．【详解】如图，根据题意得△AFH∽△ADE，∴AFHADESS=VV（FHDE）2=（34）2916=．设S△AFH=9x，则S△ADE=16x，∴16x﹣9x=7，解得x=1，∴S△ADE=16，∴四边形DBCE的面积=42﹣16=26．故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．考点：1．等腰三角形的性质；2．相似三角形的判定．7．（2019湖南省长沙市，第12题，3分）如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD55+BD的最小值是（）A．5B．5C．3D．10【答案】B．【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanABEAE==2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH5=BD，推出CD5+BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【详解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°．∵tanABEAE==2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a55（舍弃），∴BE=2a5∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE5）∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH55DH AEBD AB===，∴DH55=BD，∴CD 5BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD5+BD≥5CD5BD的最小值为5．故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．考点：1．等腰三角形的性质；2．解直角三角形；3．动点型；4．最值问题；5．压轴题．8．（2019辽宁省丹东市，第7题，3分）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根，则k的值是（）A．8B．9C．8或9D．12【答案】B．【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．【详解】当等腰三角形的底边为2时，此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的有两个相等实数根，∴△=36﹣4k=0，∴k=9，此时两腰长为3．∵2+3＞3，∴k=9满足题意，当等腰三角形的腰长为2时，此时x=2是方程x2﹣6x+k=0的其中一根，∴4﹣12+k=0，∴k=8，此时另外一根为：x=4．∵2+2=4，∴不能组成三角形．综上所述：k=9．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．考点：1．一元二次方程的解；2．根的判别式；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（2019台湾，第4题，3分）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a，矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（）A．4a+2b B．4a+4b C．8a+6b D．8a+12b【答案】C．【分析】根据已知条件即可得到结论．【详解】∵正三角形面积为a，矩形面积为b，∴图2中直角柱的表面积=2×4a+6b=8a+6b．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，列代数式，正确的识别图形是解题的关键．考点：1．列代数式；2．认识立体图形；3．几何体的表面积；4．等边三角形的性质．10．（2019甘肃省天水市，第8题，4分）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（13C．31）D．33【答案】B．【分析】过点B作BH⊥AO于H点．由△OAB是等边三角形，可求出OH和BH长．【详解】过点B作BH⊥AO于H点．∵△OAB 是等边三角形，∴OH =1，BH 3=，∴点B 的坐标为（1，3）． 故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质． 考点：1．坐标与图形性质；2．等边三角形的性质．11．（2019内蒙古赤峰市，第14题，3分）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作： ①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； ②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（ ）A ．22019B ．201812C ．201912D ．202012【答案】C ．【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的一半即可解答．【详解】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积112S =，第二次：余下面积2212S =，第三次：余下面积3312S =，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为2019201912S =．故选C ．【点睛】本题考查了图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 考点：1．等腰直角三角形；2．剪纸问题；3．规律型．12．（2019台湾，第9题，3分）公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？（）A．84B．86C．160D．162【答案】A．【分析】中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得到三角形的个数为3+40×2+1．【详解】3+40×2+1=84．答：步道上总共使用84个三角形地砖．故选A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．也考查了规律型问题的解决方法，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．考点：1．规律型：图形的变化类；2．等腰直角三角形．13．（2019四川省内江市，第10题，3分）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.6B．1.8C．2D．2.6【答案】A．【分析】根据旋转变换的性质得到AD=AB，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】由旋转的性质可知，AD=AB．∵∠B=60°，AD=AB，∴△ADB为等边三角形，∴BD=AB=2，∴CD=CB﹣BD=1.6．故选A．【点睛】本题考查了旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．考点：1．勾股定理；2．旋转的性质；3．动面型．14．（2019四川省成都市，第5题，3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1=30°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【答案】B．【分析】根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ADC=30°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45°，即可得到∠1=45°﹣30°=15°．【详解】∵AB∥CD，∴∠1=∠ADC=30°．又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45°，∴∠1=45°﹣30°=15°．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．考点：1．平行线的性质；2．等腰直角三角形．15．（2019四川省眉山市，第11题，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF ⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）A．1B．74C．2D．125【答案】B．【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，设DE=x，则CE=AE=8﹣x．在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，OA=OC．∵EF⊥AC，∴AE=CE，设DE=x，则CE=AE=8﹣x．在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62=（8﹣x）2，解得：x74=，即DE74=．故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．勾股定理；3．矩形的性质．16．（2019四川省绵阳市，第10题，3分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2=（）A．15B．55C．355D．95【答案】A．【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【详解】∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，∴5θ﹣5θ=5，∴cosθ﹣sinθ5=，∴（sinθ﹣cosθ）215=．故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，难度适中．考点：1．数学常识；2．勾股定理的证明；3．解直角三角形的应用．17．（2019滨州，第10题，3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A ．AB 41=，BC =4，AC =5 B ．AB ：B C ：A C =3：4：5C ．∠A ：∠B ：∠C =3：4：5D ．|cosA 12-|+（tanB 3-）2=0【答案】C ．【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】A ．∵22254251641(41)+=+==，∴△ABC 是直角三角形，错误；B ．∵（3x ）2+（4x ）2=9x 2+16x 2=25x 2=（5x ）2，∴△ABC 是直角三角形，错误； C ．∵∠A ：∠B ：∠C =3：4：5，∴∠C 51807590345=⨯︒=︒≠︒++，∴△ABC 不是直角三角形，正确；D ．∵|cosA 12-|+（tanB 3-）2=0，∴132cosA tanB ==，，∴∠A =60°，∠B =30°，∴∠C =90°，∴△ABC 是直角三角形，错误． 故选C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．考点：1．非负数的性质：绝对值；2．非负数的性质：偶次方；3．三角形内角和定理；4．勾股定理的逆定理；5．特殊角的三角函数值．18．（2019聊城，第11题，3分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，一个三角尺的直角顶点与BC 边的中点O 重合，且两条直角边分别经过点A 和点B ，将三角尺绕点O 按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB ，AC 分别交于点E ，F 时，下列结论中错误的是（ ）A ．AE +AF =ACB ．∠BEO +∠OFC =180° C ．OE +OF 22=BCD ．S 四边形AEOF 12=S △ABC 【答案】C ．【分析】连接AO ，易证△EOA ≌△FOC （ASA ），利用全等三角形的性质可得出EA =FC ，进而可得出AE +AF =AC ，选项A 正确；由三角形内角和定理结合∠B +∠C =90°，∠EOB +∠FOC =90°可得出∠BEO +∠OFC =180°，选项B 正确；由△EOA ≌△FOC 可得出S △EOA =S △FOC ，结合图形可得出S 四边形AEOF =S △EOA +S△AOF=S △FOC +S △AOF =S △AOC 12=S △ABC ，选项D 正确．综上，此题得解． 【详解】连接AO ，如图所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，点O 为BC 的中点，∴OA =OC ，∠AOC =90°，∠BAO =∠ACO =45°． ∵∠EOA +∠AOF =∠EOF =90°，∠AOF +∠FOC =∠AOC =90°，∴∠EOA =∠FOC ．在△EOA 和△FOC 中，∵EOA FOC OA OC EAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EOA ≌△FOC （ASA ），∴EA =FC ，∴AE +AF =AF +FC =AC ，选项A 正确；∵∠B +∠BEO +∠EOB =∠FOC +∠C +∠OFC =180°，∠B +∠C =90°，∠EOB +∠FOC =180°﹣∠EOF =90°，∴∠BEO +∠OFC =180°，选项B 正确；∵△EOA ≌△FOC ，∴S △EOA =S △FOC ，∴S 四边形AEOF =S △EOA +S △AOF =S △FOC +S △AOF =S △AOC 12=S △ABC ，选项D 正确． 故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．考点：1．等腰直角三角形；2．旋转的性质；3．动面型．19．（2019江苏省苏州市，第10题，3分）如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点，且AD =AB =2，AD ⊥AB ．过点D 作DE ⊥AD ，DE 交AC 于点E ．若DE =1，则△ABC 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．8 【答案】B ．【分析】由题意得到三角形DEC 与三角形ABC 相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE 与三角形ABC 面积之比，求出四边形ABDE 面积，即可确定出三角形ABC面积．【详解】∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴DE∥AB，∴∠CED=∠CAB．∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB．∵DE=1，AB=2，即DE：A B=1：2，∴S△DEC：S△ACB=1：4，∴S四边形ABDE：S△ACB=3：4．∵S四边形ABDE=S△ABD+S△ADE12=⨯2×212+⨯2×1=2+1=3，∴S△ACB=4．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．考点：1．等腰直角三角形；2．相似三角形的判定与性质．20．（2019浙江省宁波市，第9题，4分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】C．【分析】先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°．【详解】设AB与直线n交于点E，则∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°．又直线m∥n，∴∠2=∠AED=70°．故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．考点：1．平行线的性质；2．等腰直角三角形．21．（2019浙江省宁波市，第12题，4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C．【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得：c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2﹣b2﹣a（c﹣b）=a2﹣ac+ab=a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的长=a﹣（c﹣b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．考点：勾股定理．22．（2019浙江省湖州市，第9题，3分）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）A．2B5C 35D10【答案】D ．【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM =AB ，利用勾股定理即可求得．【详解】如图，经过P 、Q 的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知△AMC ≌△FPE ≌△BPD ，∴AM =PB ，∴PM =AB ．∵PM 223110=+=，∴AB 10=．故选D ．【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．考点：1．勾股定理；2．图形的剪拼；3．操作型．23．（2019海南，第12题，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4．点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ ∥AB 交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为（ ）A ．813B ．1513C ．2513D ．3213【答案】B ．【分析】根据勾股定理求出AC ，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD =∠BDQ ，得到QB =QD ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC 22AB BC =-=3．∵PQ ∥AB ，∴∠ABD =∠BDQ ，又∠ABD =∠QBD ，∴∠QBD =∠BDQ ，∴QB =QD ，∴QP =2QB ． ∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB ，∴CP CQ PQ CA CB AB ==，即42345CP QB QB -==，解得：C P 2413=，∴AP =CA ﹣CP 1513=．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．相似三角形的判定与性质；4．动点型．24．（2019湖北省咸宁市，第2题，3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．考点：勾股定理的证明．25．（2019湖北省黄石市，第8题，3分）如图，在△ABC中，∠B=50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACD+∠CED=（）A．125°B．145°C．175°D．190°【答案】C．【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD=60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED=115°，即可得到∠ACD+∠CED=60°+115°=175°．【详解】∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF12AC=CF．。
中考数学复习必备教案：等腰三角形
中考数学复习必备教案：等腰三⾓形中考数学复习必备：等腰三⾓形知识点回顾知识点⼀:等腰三⾓形的性质——等边对等⾓等腰三⾓形的两个底⾓ .例1：（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（）A ．30oB ．40oC ．45oD ．36o分析：根据等边对等⾓的性质可知：∠ABC ＝∠C ，∠BDC ＝∠C ，∠BAD＝∠ABD ．因此就有∠ABC＝∠C ＝∠BDC ，因此若设∠A ＝x ，则有∠BAD ＝∠ABD ＝x，∠BDC ＝∠ABC ＝∠C ＝2x ．所以可列⽅程：x +2x +2x ＝180°可以解得x ＝36°．同步检测⼀：1.在△ABC 中，AB ＝AC ，①若∠A ＝70°，则∠B ＝ °，∠C ＝ °②若∠B ＝40°，则∠A ＝ °2.（08嘉兴）已知等腰三⾓形的⼀个内⾓为50°，则这个等腰三⾓形的顶⾓为（）Ａ．50° Ｂ．80° Ｃ．50°或80° Ｄ．40°或65° 知识点⼆：等腰三⾓形的性质——三线合⼀等腰三⾓形的、、互相重合。
例2：如图，在△ABC 中，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：AB ＝AC 解：过点A 作AF ⊥BC ∵AD ＝AE ，∴DF ＝EF ，∵BD ＝CE ，∴BF ＝CF ∴AF 垂直平分BC ∴AB ＝AC 同步检测⼆：1.在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∠B ＝70°，BC ＝10㎝，则BD ＝，∠BAD ＝ °知识点三：等腰三⾓形的判定——等⾓对等边在△ABC 中，如果∠A ＝∠B ，则有＝例3：如图，已知BD 是∠ABC 的⾓平分线，DE ∥BC 交AB 于E ，求证：△BED 是等腰三⾓形．解：∵BD 是∠ABC 的⾓平分线∴∠ABD ＝∠CBD ∵DE ∥BC ∴∠CBD ＝∠BDE ∴∠ABD ＝∠BDE ∴BE ＝DE∴△BED 是等腰三⾓形同步检测三：1.在△ABC 中∠A ＝50°，∠B ＝80°，BC ＝10㎝，则AB ＝㎝知识点四：等边三⾓形的性质与判定等边三⾓形的三条边都相等，三个⾓都相等且都等于 °都相等的三⾓形是等边三⾓形；都相等的三⾓形是等边三⾓形；有⼀个⾓是的等腰三⾓形是等边三⾓形例4:如图，C 为线段AB 上⼀点，△ACD ，△CBE 是等边三⾓形，AE 与CD 交于点M ，BD 与CE 交于点N ，AE 交BD 于点O ．求证：⑴AE ＝BD ⑵∠AOB ＝120° ⑶△CMN 是等边三⾓形分析：⑴根据等边三⾓形的性质可⽤SAS 证明△ACE ≌△DCB ，则得AE ＝BD 同时可得∠CEA ＝∠CBD ，⑵因此可由三⾓形的⼀个外⾓等于和它不相邻的两个内⾓之和得∠AOB ＝∠AEB ＋∠EBO ＝∠AEC ＋∠CEB ＋∠EBO ＝∠OBC ＋∠CEB ＋∠EBO ＝∠BEC ＋∠CBE ＝60°＋60°＝120°⑶易知∠DCE ＝60°，故只需证△MCE ≌△NCB 即可.同步检测四：1．若△ABC 是等边三⾓形，D 为AC 的中点，则∠DBC ＝ ° 2．下列三⾓形：①有两个⾓等于60°的三⾓形；②有⼀个⾓为60°的等腰三⾓形；③三个外⾓（每个顶点处各取⼀个外⾓）均相等的三⾓形；④⼀腰上的中线也是这条腰上的⾼的等腰三⾓形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《等腰三角形》复习教案
目标：（1）理解与记忆等腰三角形的性质定理和判定定理及推论。
（2）会利用以上内容进行有关计算与证明。
教学过程： 一 尝试训练（1）：有关角的。
快速抢答！
1。
等腰三角形腰上的高等于底边的一半，求顶角。
2。
等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，求顶角。
3。
等腰三角形底边上的高等于底边的一半，求顶角。
4。
等腰三角形底边上高等于腰的一半，求顶角。
5。
等腰三角形一个内角是400
，则另外两个角分别是 ------
若一个内角是1100
，则另外两个角是------- 问题一：等腰三角形的角有什么性质？
对照训练：等腰三角形两底角相等？（ ）等腰梯形两底角相等？（ ）（讨论怎
样改）
尝试训练（2）：有关边的。
小组讨论，代表发言！ 6。
等腰三角形ABC 中，AB 的长是AC 的2倍，三角形的周长是40，则AB 的长是------ 7。
等腰三角形周长是8厘米，一边长是2厘米，则底边的高是--------厘米
8。
等腰三角形两边分别是6和9，则周长是-------；若两边分别是3和7，则周长
是-------
9。
等腰三角形一腰的中线把周长分为9和12两部分，则三边长分别是-------- 10。
等腰三角形周长是32厘米，一边长是10厘米，则其它两边长分别是-------- 11．△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，则 B cos 6--------
问题二：等腰三角形除角的性质外，还有什么性质？常用辅助线是什么？ 问题三：等边三角形是等腰三角形吗？有什么特殊性质？
问题四：从对称的角度看，腰和底不等的等腰三角形和等边三角形是什么对称图形？ 尝试训练（3）；有关判定的。
上台讲解，互相订正！
12．△ABC 中，AB=AC ，∠A=360
，BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，交于F ，
则图中等腰三角形有
----个。
全等三角形有几对？ 13．△ABC 中，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，BD 与CE 交与O ，给出四个条件： （1）∠EBD=∠DCO （2）∠BEO=∠CDO （3）BE=CD （4）OB=OC
＜1＞上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形？（列出所有可能）
＜2＞选择＜1＞小题中的一种情况，证明△ABC 是等腰三角形。
O
D
D
F
A B C
E
A
B E
C
问题五：等腰三角形的判定有哪些？等边三角形的判定有哪些？
对照训练：两底角相等的三角形是等腰三角形（ ）两底角相等的梯形是等腰梯形
（ ）
二 知识系统
常用辅助线：“三线合一” 三 巩固与提高
14．AB=AC ，在AB 上取点D ，在AC 延长线上取一点E ，使CE=BD ，连结DE 交BC 于G 。
求证：DG=GE
15。
等腰三角形ABC 中，BC=8，AB ，AC 的长分别是关于X 的方程0102
=+-m x x 的两根。
求m 。
四 知识串联，综合应用。
（小组讨论）
16。
等腰△ABC 中，底边BC 上任意一点P 。
则P 点到两腰上的距离之和等于定值（腰
上的高），即PD+PE=CF 若P 点在BC 延长线上，那么PD ，PE 和CF 存在什么关系？写出你的猜想并证明。
（截取法或面积法）
拓展应用：（精讲点播，理解思路，注意方法---推理法，特殊点法）
C
B
D
G
B
A
C
D E F P
C A
B
D F E
A E P
● E 为边长是1的正方形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，P 是CE 上任一点，PQ
⊥BC 与Q ，PR ⊥BE 于R ，则PQ+PR= ●正方形ABCD 对角线是cm 25，E 是BC 边上任一点，EG ⊥BD ，EF ⊥AC 则EF+EG= ●矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 是AD 上任一点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD 则PE+PF=
五 思考作业
已知△ABC 中，AB=Ac ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E 。
（1） 图1，若AB=6，CD=2,求CE 的长。
（2） 图2，当∠A 是锐角时，连结BE ，试判断∠BAC 与∠CBE 的关系，并证明你的结
论。
（3） 若图2中的边AB 不动，边AC 绕点A 按逆时针旋转，当∠BAC 为钝角是，如图
3，CA 的延长线与O 交与E 。
请问：∠BAC 与CBE 的关系是否与（2）中你得到的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由。
六 小结
等腰三角形的应用重点是角和边，常用来证明角和线段相等，也有时用来进行等量代换。
注意两解和常用辅助线。
与圆和其它知识结合时，主要用于量的代换，起到桥梁的作用。
D
C
P
B C Q B
D。