【精品】2020届高考数学(鲁京津琼)专用精练：第九章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系含解析

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【精品】2020届高考数学(鲁京津琼)专用精练：第九章阶段强化练(七)含解析

阶段强化练(七)一、选择题1．(2019·成都诊断)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( )A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32 答案 D解析由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D. 2．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 答案 C解析因为x 23－y 29＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ，即为y ＝±3x ，故选C.3．(2019·河北衡水中学调研)已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±3xC ．y ＝±13x D ．y ＝±33x 答案 A解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A.4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( )A.45B.35C.34D.15答案 A解析直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34，又b 2＋c 2＝a 2⇒⎝⎛⎭⎫34c 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1，3]D ．[3，＋∞)答案 A解析双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k2－4， ① x 1x 2＝4， ②根据抛物线定义及|F A |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2， ③且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89， ∵0<k <1，∴k ＝223.故选D. 7．(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为( )A ．2 B.2147 C ．2 2 D ．2 3 答案 C解析由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即b a＝7，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝22，故选C.8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案 A解析如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以b a ＝ 2. 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |等于( )A ．2 B. 3 C ．2 3 D ．3答案 A解析由抛物线C ：y 2＝4x ，得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥QF ，所以四边形QMRF 为平行四边形，|FR |＝|QM |，又由PQ 垂直l 于点Q ，可知|PQ |＝|PF |，因为∠NFR ＝60°，所以△PQF 为等边三角形，所以FM ⊥PQ ，所以|FR |＝2，故选A.10．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32C. 3 D ．2 答案 A解析因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a. 又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A ，B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点( )A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0) C ．(2,0) D ．(－2,0)答案 B解析根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，与抛物线方程联立，消元得y 2－2ty －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP ，BP 的斜率互为相反数，所以y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝0，所以2ty 1y 2＋(m ＋1)(y 1＋y 2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t (－2m )＋2tm ＋2t ＝0,2t (m －1)＝0，因为t ≠0，所以m ＝1，所以过定点(1,0)，故选B.12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．2 D ．3答案 A解析如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，该式可变成3e 21＋1e 22＝4.故选A. 二、填空题13．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．答案 2 2解析双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2. 14．(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|P A |＝________.答案 4解析由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)，即x 2－y 24＝1(x >0)，故P 为双曲线x 2－y 24＝1右支上一点，且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|P A |－|PB |＝2a ＝2，|P A |＝2＋2＝4.15．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是________．答案 1解析设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |·|CD |＝(|AF |－1)(|DF |－1)＝(x 1＋1－1)(x 2＋1－1)＝x 1x 2，由y ＝k (x －1)与y 2＝4x 联立方程消y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1x 2＝1，因此|AB |·|CD |＝1.16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足|P A ||PB |＝2，△P AB 的面积最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则椭圆的离心率为________．答案 32解析依题意A (－a ,0)，B (a ,0)，设P (x ，y )，依题意得|P A |＝2|PB |，(x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，两边平方化简得⎝⎛⎭⎫x －53a 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫43a 2，故圆心为⎝⎛⎭⎫5a 3，0，半径r ＝4a 3. 所以△P AB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163，解得a ＝2， △PCD 的最小面积为12·2b ·⎝⎛⎭⎫5a 3－4a 3＝b ·a 3＝23，解得b ＝1.故椭圆的离心率为e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－14＝32. 三、解答题17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －3)2＋(y －b )2＝r 2(r 为正数，b ∈R )．(1)若对任意给定的r ∈(0，＋∞)，直线l ：y ＝－x ＋r ＋4总能把圆M 的周长分成3∶1的两部分，求圆M 的标准方程；(2)已知点A (0,3)，B (1,0)，且r ＝103，若线段AB 上存在一点P ，使得过点P 的某条直线与圆M 交于点S ，T (其中|PS |<|PT |)，且|PS |＝|ST |，求实数b 的取值范围．解 (1)根据题意可得，圆心到直线的距离为22r 恒成立，即|3＋b －r －4|2＝22r ，整理得|b －1－r |＝r ，去绝对值符号可得b －1－r ＝r 或b －1－r ＝－r ，根据恒成立，可得b ＝1，所以圆M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝r 2.(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A ，即为|AM |≤3r ，即(0－3)2＋(b －3)2≤9×109，解得2≤b ≤4，再考虑点B ，即为|BM |≤3r ，即(1－3)2＋b 2≤10，解得－6≤b ≤6，两者取并集，得到b 的取值范围是[－6，4]．18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点A (1,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点P (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．(1)解由题意得2p ＝1，所以抛物线方程为y 2＝x .(2)证明设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝t (y ＋1)＋3，代入抛物线方程得y 2－ty －t －3＝0.所以Δ＝(t ＋2)2＋8>0，y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝－t －3.所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1(y 1＋1)(y 2＋1)＝1y 1y 2＋y 1＋y 2＋1 ＝1－t －3＋t ＋1＝－12，所以k 1·k 2是定值．。

2020高考全国一轮数学理科第九章解析几何

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(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何阶段自测卷(六)(含解析)

阶段自测卷(六)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2019·四川诊断)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 B ．(0,1)C ．(1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 答案 C解析抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由抛物线y 2＝4x 得2p ＝4，解得p ＝2，则焦点坐标为(1,0)，故选C.2．(2019·抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －7＝0 C ．3x －2y －4＝0 D ．3x ＋2y －8＝0答案 B解析设要求的直线方程为2x ＋3y ＋m ＝0，把点(2,1)代入可得4＋3＋m ＝0，解得m ＝－7. 可得要求的直线方程为2x ＋3y －7＝0，故选B.3．(2019·陕西四校联考)直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定答案 B解析将圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24， ∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，∵圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b 22a 2＋b2＝a 2＋b 22＝r ，∴圆与直线的位置关系是相切．故选B.4．(2018·山西四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63D.62答案 B解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ,0)到y ＝b ax 的距离为2，即|bc |a 2＋b2＝2，又b >0，c >0，a 2＋b 2＝c 2，∴bcc＝b ＝2.∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a＝35＝355. 5．(2019·凉山诊断)已知双曲线E 的渐近线方程是y ＝±2x ，则E 的离心率为( ) A.2或2 B. 5 C.52D.5或52答案 D解析当双曲线焦点在x 轴上时，依题意得b a＝2，故双曲线的离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.当双曲线焦点在y 轴上时，依题意得a b ＝2，即b a ＝12，故双曲线的离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52.故选D. 6．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为( ) A.4x 225＋y26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，得c a ＝12，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，即2a ＋2c ＝6，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1，故选D.7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 答案 C解析由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.8．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若AF 1⊥AF 2，12F AF S ∆＝2，则椭圆C 的方程为( ) A.x 26＋y 22＝1 B.x 28＋y 24＝1 C.x 28＋y 22＝1 D.x 220＋y 216＝1 答案 A解析由题意，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，且AF 1⊥AF 2，且12F AF S ∆＝2，则可知|OA |＝c ，设A (x ，y )，则x ＝c cos30°＝32c ，y ＝c sin30°＝12c ，即A ⎝⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入椭圆的方程可得3c 24a 2＋c24b2＝1，又由12F AF S ∆＝2，得S ＝12×2c ×12c ＝12c 2＝2，解得c 2＝4，且c 2＝a 2－b 2，所以a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，故选A. 9．(2019·新乡模拟)已知点M (x ，y )是抛物线y 2＝4x 上的动点，则(x －2)2＋(y －1)2＋(x －1)2＋y 2的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 A解析因为(x －1)2＋y 2表示点M (x ，y )到点F (1,0)的距离，即点M (x ，y )到抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1的距离，因为(x －2)2＋(y －1)2表示点M (x ，y )到点A (2,1)的距离，所以(x －2)2＋(y －1)2＋(x －1)2＋y 2的最小值为点A (2,1)到抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1的距离3，即((x －2)2＋(y －1)2＋(x －1)2＋y 2)min ＝3.故选A.10．(2019·河北衡水中学调研)已知y 2＝4x 的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交y 2＝4x 于A ，B ，两点∠AFB ＝60°，则|AB |等于( ) A.476B.473C ．4D ．3答案 B解析设A (x 1,2x 1)，B (x 2,2x 2)，x 2>x 1>0，因为k QA ＝k QB ，即2x 2x 2＋1＝2x 1x 1＋1，整理化简得x 1x 2＝1， |AB |2＝(x 2－x 1)2＋(2x 2－2x 1)2， |AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，代入余弦定理|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |cos60°，整理化简得，x 1＋x 2＝103，又因为x 1x 2＝1，所以x 1＝13，x 2＝3，|AB |＝(x 2－x 1)2＋(2x 2－2x 1)2＝473，故选B.11．(2019·成都七中诊断)设抛物线C ：y 2＝12x 的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且FN →＝λFM →(λ>0)，若|MF |＝4，则λ等于( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3答案 D解析如图，过M 向准线l 作垂线，垂足为M ′，根据已知条件，结合抛物线的定义得|MM ′||FF ′|＝|MN ||NF |＝λ－1λ，又|MF |＝4，∴|MM ′|＝4，又|FF ′|＝6， ∴|MM ′||FF ′|＝46＝λ－1λ，∴λ＝3. 故选D.12．(2019·长沙长郡中学调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)具有相同焦点F 1，F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，若∠F 1PF 2＝π3，则e 21＋e 22的最小值是( ) A.2＋32 B ．2＋3 C.1＋232D.2＋34答案 A解析根据题意，可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |PF 1|－|PF 2|＝2m ，解得|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，根据余弦定理，可知(2c )2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a －m )cos π3，整理得c 2＝a 2＋3m 24，所以e 21＋e 22＝c 2a 2＋c 2m 2＝a 2＋3m 24a 2＋a 2＋3m 24m2＝1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 2a 2＋a 2m 2≥1＋32＝2＋32(当且仅当a 2＝3m 2时取等号)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·长春质检)若椭圆C 的方程为x 23＋y 24＝1，则其离心率为________．答案 12解析根据椭圆方程得到a ＝2，b ＝3，c ＝1，e ＝c a ＝12.14．(2019·南昌八一中学、洪都中学联考)若F 1，F 2是椭圆x 25＋y 24＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是________．答案 5解析因为点P 在椭圆x 25＋y 24＝1上，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，又|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝(5)2＝5，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，所以|PF 1||PF 2|的最大值为5.15．(2018·兰州调研)点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．答案 35－5解析把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4. 圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝3 5. 所以|PQ |的最小值是35－5.16．(2019·广东六校联考)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆C 1：x 2＋(y ＋1)2＝2相交于A ，B 两点，且△C 1AB 的面积取得最大值，又直线l 与抛物线C 2：x 2＝2y 相交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是______________．答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)解析根据题意得到△C 1AB 的面积为12r 2sin θ，当角度为直角时面积最大，此时△C 1AB 为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d ＝1，根据点到直线的距离公式得到|1＋t |1＋k2＝1⇒1＋k 2＝(1＋t )2⇒k 2＝t 2＋2t ，直线l 与抛物线C 2：x 2＝2y 相交于不同的两点M ，N ，联立直线和抛物线方程得到x 2－2kx －2t ＝0，只需要此方程有两个不等根即可，Δ＝4k 2＋8t ＝4t 2＋16t >0，解得t 的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞)．三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2018·重庆朝阳中学月考)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)求a 为何值时，l 1∥l 2； (2)求a 为何值时，l 1⊥l 2.解 (1)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(a －1)＝1×2，2(a 2－1)≠6(a －1)，解得a ＝－1或a ＝2(舍去)， ∴当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴a ·1＋2·(a －1)＝0，解得a ＝23，∴当a ＝23时，l 1⊥l 2.18．(12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0.(1)证明：对任意实数m ，直线l 恒过定点且与圆C 交于两个不同点； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程．(1)证明直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0可化为m (2x ＋y －7)＋(x ＋y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，所以直线l 恒过点P (3,1)，而点P (3,1)在圆C 内，所以对任意实数m ，直线l 恒过点P (3,1)且与圆C 交于两个不同点．(2)解由(1)得，直线l 恒过圆C 内的定点P (3,1)，设过点P 的弦长为a ，过圆心C 向直线l 作垂线，垂足为弦的中点H ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋|CH |2＝25，弦长a 最短，则|CH |最大，而|CH |≤|CP |，当且仅当H 与P 重合时取等号，此时弦所在的直线与直线CP 垂直，又过点P (3,1)，所以，当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，弦所在的直线方程为2x －y －5＝0.19．(12分)(2019·湛江调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，且右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求△PAB 的面积．解 (1)由已知得c ＝22，ca ＝63，解得a ＝2 3. b 2＝a 2－c 2＝4,所以椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，代入椭圆方程得 4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0), 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4，因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥A B.所以PE 的斜率为k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2，此时方程(*)为4x 2＋12x ＝0.解得x ＝0或－3，所以y ＝2或－1，所以|AB |＝32，此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.20．(12分)(2019·四川诊断)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F (－2,0)，上顶点B (0,2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同两点M ，N ，且线段MN 的中点G 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意可得c ＝2，b ＝2，由a 2＝b 2＋c 2得a 2＝22＋22＝8，所以a ＝22，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段MN 的中点G (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 28＋y24＝1，消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，则Δ＝96－8m 2>0，所以－23<m <23，且x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m3，因为点G (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 2＝1，解得m ＝±355，满足－23<m <23，所以m 的值为±355.21．(12分)(2019·化州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点坐标为(1,0)，短轴长为2 2.(1)求椭圆的方程；(2)过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A ，B 两点，若△OAB (O 为直角坐标原点)的面积为324，求直线AB 的方程．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c ＝1，b ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝3，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)当直线AB 与x 轴垂直时，|AB |＝433，此时S △AOB ＝233不符合题意，故舍掉；当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k (x ＋1)，消去y 得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋(3k 2－6)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－6k 22＋3k2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋[k (x 1＋1)－k (x 2＋1)]2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 4(2＋3k 2)2－12k 2－242＋3k 2＝48(k 2＋1)2(2＋3k 2)2 ＝43(k 2＋1)2＋3k2，原点O 到直线AB 的距离d ＝|k |1＋k2，∴S △AOB ＝12|AB |d ＝12×43(k 2＋1)2＋3k 2×|k |1＋k 2＝23k 2＋1·|k |2＋3k2，由S △AOB ＝324，得k 2＝2，故k ＝±2，∴直线AB 的方程为y ＝2(x ＋1)或y ＝－2(x ＋1)，即2x －y ＋2＝0或2x ＋y ＋2＝0.22．(12分)(2019·新乡模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，过点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，延长BF 2交椭圆C 于点M ，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的离心率及方程；(2)试问：是否存在定点P (x 0,0)，使得PM →·PB →为定值？若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知，|F 1F 2|＝2c ＝2，则c ＝1，又△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，即a ＝2，则e ＝c a ＝12，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)假设存在点P ，使得PM →·PB →为定值．若直线BM 的斜率不存在，则直线BM 的方程为x ＝1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则PM →·PB →＝(x 0－1)2－94. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为y ＝k (x －1)，设点B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝8k24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，由于PM →＝(x 2－x 0，y 2)，PB →＝(x 1－x 0，y 1)，则PM →·PB →＝x 1x 2－(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(x 0＋k 2)(x 1＋x 2)＋k 2＋x 20 ＝(4x 20－8x 0－5)k 2＋3x 20－124k 2＋3，因为PM →·PB →为定值，所以4x 20－8x 0－54＝3x 20－123，解得x 0＝118，故存在点P ，且x 0＝118.。

(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系练习(含

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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系［基础达标］1．已知集合A＝{（x，y）｜x，y为实数,且x2＋y2＝1}，B＝｛（x，y）｜x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．3C．2 D．1解析：选C.（直接法）集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心（0，0）到直线x＋y＝1的距离d＝错误!＝错误!〈1＝r，所以直线与圆相交．2．直线l：x－y＋m＝0与圆C:x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点,则m的取值范围是( ) A．[－错误!，错误!］B．［－2错误!，2错误!］C．[－错误!－1，错误!－1］D．［－2错误!－1,2错误!－1]解析:选D。

圆C的标准方程为(x－2)2＋（y－1）2＝4，圆心为(2，1）,半径为2，圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!，若直线l与圆C恒有公共点，则错误!≤2，解得－2错误!－1≤m≤2错误!－1，故选D。

3．若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2错误!,则a的值为( )A．±2 B．2C．－2 D．无解解析：选A。

圆x2＋y2＝a2的圆心为原点O，半径r＝|a｜.将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0左右分别相减，可得a2＋ay－6＝0,即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2＋ay－6＝0。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第九章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A.－43 B.－34C. 3D.2解析由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝|1×a＋4－1|1＋a2＝1，解之得a＝－43.答案 A2.(2017·长春模拟)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2x＋y－5＝0B.2x＋y－7＝0C.x－2y－5＝0D.x－2y－7＝0解析∵过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，∵圆心与切点连线的斜率k＝1－03－1＝12，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.答案 B3.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B. 答案 B4.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点.答案 C5.(2017·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34 B.y ＝－12 C.y ＝－32D.y ＝－14解析圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12. 故选B. 答案 B 二、填空题6.(2016·全国Ⅲ卷) 已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23，∴A(－3，3)，B(0，23).过A，B作l的垂线方程分别为y－3＝－3(x＋3)，y－23＝－3x，令y＝0，得x C＝－2，x D＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.答案 47.(2017·兰州月考)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________.解析把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝（4＋2）2＋（2＋1）2＝3 5.所以，|PQ|的最小值是35－5.答案35－58.(2017·贵阳一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________.解析设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离.设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝2 2.所以|PM|的最小值为2 2.所以|PQ|＝|PM|2－1≥（22）2－1＝7. 答案7三、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM→·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1，由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.10.已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. (1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长.法一 (1)证明由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，（x －1）2＋（y ＋1）2＝12，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝2 11－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27.法二(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝5<23＝R，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C 内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝27，即直线l被圆C截得的最短弦长为27.11.(2017·衡水中学月考)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为()A.1B.3C.19 D.49解析x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则a2＋（2b）2＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以1a2＋1b2＝⎝⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2⎝⎛⎭⎪⎫a2＋4b29＝19⎝⎛⎭⎪⎫5＋a2b2＋4b2a2≥19⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a2b2·4b2a2＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2，即a ＝±2b 时取等号. 答案 A12.(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A.－53或－35 B.－32或－23 C.－54或－45D.－43或－34解析由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D. 答案 D13.已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________.解析曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2，0]，对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6， ∴m ＝6＋x P2∈[2，3]. 答案 [2，3]14.(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方. (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设圆心C (a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍).所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立.。

(天津专用)2020版高考数学大一轮复习9.1直线方程与圆的方程精练

9.1 直线方程与圆的方程【真题典例】挖命题【考情探究】分析解读从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.破考点【考点集训】考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是.答案x-2y+3=0考点二直线与直线的位置关系3.已知圆的方程为(x+1)2+y2=2,则圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1B.C.2D.2答案 B4.已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为( )A.4B.-4C.2D.-2答案 A5.已知a∈R,则“直线y=ax-1与y=-4ax+2垂直”是“a=”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B考点三圆的方程6.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 B7.(2015课标Ⅰ, ,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案-+y2= 5炼技法【方法集训】方法1 直线方程的求法1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案 D方法2 两直线平行与垂直问题的解决策略2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是( )D.A.2B.8C.5答案 A3.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为,则a= ;若l1⊥l2,则a= ;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为.答案-1;1;2方法3 关于对称问题的求解策略4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为( )A.(x-1)2+y2=1B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=1答案 C方法4 圆的方程的求法5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案x2+y2-2x=06.(2016江苏改编,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=5=5.因为BC=OA==25,而MC2=d2+,所以25= 55+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.评析本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系,考查分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2013天津文,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )A.-B.1C.2D.答案 C2.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到,则圆C的方程为.直线2x-y=0的距离为55答案(x-2)2+y2=9B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2016课标Ⅱ, ,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.2答案 A2.(2015课标Ⅱ, ,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2B.8C.4D.10答案 C3.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=04.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-35.(2018课标Ⅱ, 9, 分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由- ,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则-5,-解得,或,-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.6.(2017课标Ⅲ, , 分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 ,可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·=-=-1,所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为9,-,圆M的半径为 5,圆M的方程为-9+= 5.解后反思解直线与圆锥曲线相交问题时,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.疑难突破将直径所对的圆周角为9 °转化为两向量数量积等于0,进而由根与系数的关系进行整体运算求解.7.(2015课标Ⅰ, , 分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=-+-= a-=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)C组教师专用题组1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B. C. D.1答案 C2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤ ,则点P的横坐标的取值范围是.答案[-5,1]4.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准．．方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--1【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018天津河西三模,4)设a∈R,则“a= ”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,则“m= ”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A二、填空题(每小题5分,共20分)3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是.答案x-y+1=04.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为.答案205.(2017天津一中3月月考,12)圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为.答案(x+3)2+(y-2)2=56.(2018天津河东一模,12)已知A(0,),B(1,0),点P为圆x2+y2+2x=0上的任意一点,则△PAB面积的最大值为.答案。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用名师精编讲义：第九章 9.6 双曲线 Word版含解析

§9.6双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质概念方法微思考1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响．∵e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，故当a >b >0时，1<e <2，当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e > 2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )题组二教材改编2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5B ．5C. 2 D ．2答案 A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bca 2＋b 2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0. 4．经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案 x 215－y 215＝1解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)，故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三易错自纠5．(2016·全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A.6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53答案 D解析由条件知y ＝－b a x 过点(3，－4)，∴3ba ＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________．答案 x 24－y 2＝1解析由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型一双曲线的定义例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆答案 B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， ∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2| ＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 引申探究1．本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3. 2．本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1 设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 (27，8)解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2<m 2＋42，42<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27<2m ＋2<8.题型二双曲线的标准方程例2 (1)(2018·大连调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0,12)；③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 ①设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①焦点位置不确定时，设Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③与x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．跟踪训练2 (1)(2018·天津河西区模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为8，右顶点(a ,0)到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 225－y 216＝1 D.x 216－y 225＝1 答案 A解析由虚轴长为8，可得b ＝4，∵右顶点A (a,0)到双曲线C 的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为125，∴aba 2＋b 2＝125，解得a ＝3，∴则双曲线C 的方程为x 29－y 216＝1，故选A.(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析由y ＝52x ，可得b a ＝52. ① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9. ② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.题型三双曲线的几何性质命题点1 与渐近线有关的问题例3 已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.命题点2 求离心率的值(或范围)例4 (2018·天津河东区模拟)双曲线方程为x 2a 2－y 2＝1，其中a >0，双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线的离心率为( ) A.233 B. 3 C. 2 D.32答案 A解析根据题意，可以求得双曲线的渐近线的方程为x ±ay ＝0，而圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，结合题意有|2±0|1＋a2＝1，结合a >0的条件，求得a ＝3，所以c ＝3＋1＝2，所以有e ＝23＝233，故选A.思维升华 1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a b x .反之，已知渐近线方程为y ＝±ba x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．2．求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a2－1＝e 2－1. 跟踪训练3 (2018·茂名模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．4 C.233 D. 3答案 A解析因为△ABF 2为等边三角形，所以不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ，因为A 为双曲线右支上一点，所以|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，因为B 为双曲线左支上一点，所以|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos 120°，得c 2＝7a 2，则e 2＝7，又e >1，所以e ＝7.故选A.高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法．例1 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1答案 A解析设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32，故选A.例2 已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 2 D ．2 3答案 B解析不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知，取A 点坐标为⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，取B 点坐标为⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则C 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－b 22a 且F 1(－c ,0)．由AC ⊥BF 1知AC →·BF 1→＝0，又AC →＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，BF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ，可得2c 2－3b 42a 2＝0，又b 2＝c 2－a 2，可得3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，则有3e 4－10e 2＋3＝0，可得e 2＝3或13，又e >1，所以e ＝ 3.故选B.1．(2018·云南民族中学月考)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，点(4，－2)在它的一条渐近线上，则离心率等于( ) A. 6 B. 5 C.62 D.52答案 B解析渐近线方程为y ＝－a b x ，故(4，－2)满足方程－2＝－a b ×4，所以a b ＝12，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋b 2a2＝5，故选B. 2．(2018·海淀模拟)设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为x 2－y 24＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若C 的方程为x 2－y 24＝1，则a ＝1，b ＝2，渐近线方程为y ＝±bax ，即为y ＝±2x ，充分性成立；若渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，∴“C 的方程为x 2－y 24＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( ) A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1答案 D解析因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.4．(2018·金华模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2| ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2| ＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2 答案 B解析由题意及正弦定理得 sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14， ∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|·cos ∠PF 2F 1 ＝2×4×14＝2.故选B.6．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( ) A ．4＋ 2 B ．4(1＋2) C ．2(2＋6) D.6＋3 2答案 B解析由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为|P A |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|P A |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B.7．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S ＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4 答案 B解析由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由2OMF S＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.8．(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，233B.⎝⎛⎭⎫233，＋∞C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 A解析由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，233，故选A.9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________. 答案 1 2解析由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.10．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．答案 4解析由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|BA |＝|BF 1|，∵△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形． ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22， ∴1F AB S＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.11．(2018·安阳模拟)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________．答案 (0,2)解析对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)． 12．若点P 在双曲线x 2－y 29＝1上，则点P 到双曲线渐近线的距离的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，31010解析双曲线的一条渐近线方程是3x －y ＝0，由渐近线的性质，知当点P 是双曲线的一个顶点时，点P 到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)，所以点P 到渐近线的最大距离为|±3－0|10＝31010.又双曲线与渐近线没有交点，所以点P 到双曲线渐近线的距离的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，31010.13．(2018·南昌调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6答案 C 解析如图，直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，设直线PF 2与直线y ＝b a x 的交点为N ，易知N ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c .又线段PF 2的中点为N ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c 2c ，2ab c .因为点P 在双曲线C 上，所以(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2c 2b 2＝1，即5a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 5.故选C.14．(2018·福建六校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，F A 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．答案 43解析设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称，又△APQ 的一个内角为60°，∴∠P AF ＝30°，∠PF A ＝120°，|AF |＝|PF |＝c ＋a ， ∴|PF 1|＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得，|PF 1|2＝|PF |2＋|F 1F |2－2|PF ||F 1F |cos ∠F 1FP ，即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负)．15．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝8，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△P AF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若|AQ |＝3，求E 的离心率．解如图所示，设PF 1，PF 2分别与△P AF 2的内切圆切于M ，N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |， |NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|,2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝c a ＝43＝433.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝6|PF 2|，求此双曲线的离心率e 的最大值．解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝6|PF 2|，∴|PF 1|＝125a ，|PF 2|＝25a . 当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝14425a 2＋425a 2－4c 22·125a ·25a ＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝⎛⎭⎫1，75. 当P ，F 1，F 2三点共线时， ∵|PF 1|＝6|PF 2|，∴e ＝c a ＝75，综上，e 的最大值为75.。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练第九章第2讲两直线的位置关系 Word版含解析

第讲两直线的位置关系一、选择题.直线＋＋＝和＋＋＝的位置关系是( ).平行 .垂直.相交但不垂直 .不能确定解析直线＋＋＝的斜率＝－，直线＋＋＝的斜率为＝－，则≠，且≠－.故选.答案.(·刑台模拟)“＝－”是“直线＋＋＝和直线＋(－)＋＝平行”的( ).充分不必要条件 .必要不充分条件.充要条件 .既不充分也不必要条件解析依题意得，直线＋＋＝和直线＋(－)＋＝平行的充要条件是解得＝－，因此选.答案.过两直线：－＋＝和：＋＋＝的交点和原点的直线方程为( )－＝＋＝－＝＋＝解析法一由得则所求直线方程为：＝＝－，即＋＝.法二设直线方程为－＋＋λ(＋＋)＝，即(＋λ)－(－λ)＋＋λ＝，又直线过点(，)，所以(＋λ)·－(－λ)·＋＋λ＝，解得λ＝－，故所求直线方程为＋＝.答案.直线－＋＝关于直线＝对称的直线方程是( )＋－＝＋－＝＋＋＝＋－＝解析设所求直线上任一点(，)，则它关于直线＝的对称点(－，)在直线－＋＝上，即－－＋＝，化简得＋－＝.答案.(·安庆模拟)若直线：＋＋＝(＞)与直线：＋－＝的距离为，则＝( )解析直线：＋＋＝(＞)，即＋＋＝，因为它与直线：＋－＝的距离为，所以＝，求得＝，故选.答案.(·石家庄模拟)已知倾斜角为α的直线与直线＋－＝垂直，则π)－α))的值为( ).－ .－解析依题设，直线的斜率＝，∴α＝，且α∈[，π)，则α＝，α＝，则)π－α))＝＝α＝αα＝.答案.(·成都调研)已知直线过点(－，)且倾斜角为°，直线过点(，)且与直线垂直，则直线与直线的交点坐标为( ).(，) .(，).(，)解析直线的斜率为＝°＝，因为直线与直线垂直，所以＝－＝－，所以直线的方程为＝(＋)，直线的方程为＝－(－).两式联立，解得即直线与直线的交点坐标为(，).故选.答案.从点(，)射出的光线沿与向量＝(，)平行的直线射到轴上，则反射光线所在的直线方程为( )＋－＝＋－＝＋－＝＋－＝解析由直线与向量＝(，)平行知：过点(，)的直线的斜率＝，所以直线的方程为－＝(－)，其与轴的交点坐标为(，)，又点(，)关于轴的对称点为(－，)，所以反射光线过点(－，)与(，)，由两点式知正确.答案二、填空题.若三条直线＝，＋＝，＋＋＝相交于同一点，则的值为.解析由得∴点(，)满足方程＋＋＝，即×＋×＋＝，∴＝－.。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练第九章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含

第讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题.(·全国Ⅱ卷)圆＋－－＋＝的圆心到直线＋－＝的距离为，则＝( ).－.－解析由圆的方程＋－－＋＝得圆心坐标为(，)，由点到直线的距离公式得＝＝，解之得＝－.答案.(·长春模拟)过点(，)作圆(－)＋＝的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )＋－＝＋－＝－－＝－－＝解析∵过点(，)作圆(－)＋＝的切线有且只有一条，∴点(，)在圆(－)＋＝上，∵圆心与切点连线的斜率＝＝，∴切线的斜率为－，则圆的切线方程为－＝－(－)，即＋－＝.故选.答案.已知圆＋＋－＋＝截直线＋＋＝所得弦的长度为，则实数的值是( ).－ .－.－ .－解析将圆的方程化为标准方程为(＋)＋(－)＝－，所以圆心为(－，)，半径＝，圆心到直线＋＋＝的距离＝＝，故－＝，即－－＝，所以＝－，故选.答案.圆＋＋＋－＝上到直线＋＋＝的距离为的点共有( )个个个个解析圆的方程化为(＋)＋(＋)＝，圆心(－，－)到直线距离＝＝，半径是，结合图形可知有个符合条件的点.答案.(·福州模拟)过点(，－)作圆：(－)＋＝的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为( )＝－＝－＝－＝－解析圆(－)＋＝的圆心为(，)，半径为，以＝＝为直径的圆的方程为(－)＋(＋)＝，将两圆的方程相减得所在直线的方程为＋＝，即＝－. 故选.答案二、填空题.(·全国Ⅲ卷) 已知直线：－＋＝与圆＋＝交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则＝.解析设(，)，(，)，由得－＋＝，解得＝，＝，∴(－，)，(，).过，作的垂线方程分别为－＝－(＋)，－＝－，令＝，得＝－，＝，∴＝－(－)＝.答案.(·兰州月考)点在圆：＋－－＋＝上，点在圆：＋＋＋＋＝上，则的最小值是.解析把圆、圆的方程都化成标准形式，得(－)＋(－)＝，(＋)＋(＋)＝.圆的圆心坐标是(，)，半径长是；圆的圆心坐标是(－，－)，半径是.圆心距＝＝.所以，的最小值是－.答案－.(·贵阳一模)由直线＝＋上的一点向圆(－)＋＝引切线，则切线长的最小值为.解析设直线上一点为，切点为，圆心为，则即切线长，为圆的半径，长度为，＝＝.要使最小，即求的最小值，此题转化为求直线＝＋上的点到圆心的最小距离.设圆心到直线＝＋的距离为，则＝＝.所以的最小值为.所以＝≥＝.答案。

【精选】2020届高考数学(鲁京津琼)专用精练：阶段自测卷(四)含解析

阶段自测卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·衡水中学考试)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10＝100，则a 7的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 C解析由S 10＝100及公差为2，得10a 1＋10×(10－1)2×2＝100，所以a 1＝1.所以a n ＝2n －1，故a 7＝13.故选C.2．(2019·四川诊断)若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 2a 1等于( )A.32B.23C.12 D ．2 答案 A解析设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d . 因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以a 2a 1＝2d ＋d 2d ＝32.故选A.3．(2019·四省联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝30，S 10＝10，则S 16等于( ) A ．－160 B ．－80 C ．20 D ．40 答案 B解析由于数列为等差数列，故⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋15d ＝30，10a 1＋45d ＝10，解得a 1＝10，d ＝－2，故S 16＝16a 1＋120d ＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B. 4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 5．(2019·湖南五市十校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析由数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)得数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，即a 4＝4，同理a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，即a 3＝3，所以a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝7.6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5 000 m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5 000 m ，以后每天比前1天多跑200 m ，则这个同学7天一共将跑( ) A ．39 200 m B ．39 300 m C ．39 400 m D ．39 500 m 答案 A解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5 000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5 000×7＋7×62×200＝39 200 (m)．故选A.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.8．(2019·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2，2a 3，a 4成等差数列，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3a 3等于( )A.139B.79 C ．3 D ．1 答案 A解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列， ∴2×2a 3＝3a 2＋a 4，∴4a 2q ＝3a 2＋a 2q 2，化为q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3.又数列的各项均不相等，∴q ≠1，当q ＝3时，S 3a 3＝a 1(33－1)3－1a 1×9＝139.故选A.9．(2019·广东六校联考)将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： (1，3)，(5，7，9)，(11，13)，(15，17，19)，…，称(1，3)为第1组，(5，7，9)为第2组，依此类推，则原数列中的2 019位于分组序列中的( ) A ．第404组 B ．第405组 C ．第808组 D ．第809组答案 A解析正奇数数列1，3，5，7，9，…的通项公式为a n ＝2n －1，则2 019为第1 010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2 019位于分组序列中的第404组，故选A.10．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n .若点⎝ ⎛⎭⎪⎫S n n ，S n ＋1n ＋1在直线y ＝2x －1上，则a 9等于( ) A ．1 290 B ．1 280 C ．1 281 D ．1 821 答案 C解析由已知可得S n ＋1n ＋1－1＝2⎝⎛⎭⎫S n n －1，又S 11－1＝a 1－1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n －1是首项为1，公比为2的等比数列，所以S nn －1＝2n －1，得S n ＝n (1＋2n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)2n －2＋1，故 a 9＝10×128＋1＝1 281.11．(2019·长沙长郡中学调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋4n ，若首项为13的数列{b n }满足1b n ＋1－1b n ＝a n ，则数列{b n }的前10项和为( )A.175264B.3988C.173264D.181264 答案 A解析由S n ＝n 2＋4n ，可得a n ＝2n ＋3，根据1b n ＋1－1b n ＝a n ＝2n ＋3，结合题设条件，应用累加法可求得1b n ＝n 2＋2n ，所以b n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以数列{b n }的前n 项和为T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，所以T 10＝12⎝⎛⎭⎫32－111－112＝175264，故选A. 12．已知数列{a n }的通项a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)，n ∈N * ，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018<1 ，则实数x 可以等于( )A ．－23B ．－512C ．－1348D ．－1160答案 B解析 ∵a n ＝nx (x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)＝1(x ＋1)(2x ＋1)…[n (x －1)＋1]－1(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ≥2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝x x ＋1＋1x ＋1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)＝1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)，当x ＝－23时，x ＋1>0，nx ＋1<0(2≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)>1.当x ＝－512时，x ＋1>0，x ＋2>0，nx ＋1<0(3≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)<1；当x ＝－1348时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，nx ＋1<0(4≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)>1；当x ＝－1160时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，x ＋4>0，x ＋5>0，nx ＋1<0(6≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)>1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，则d 的值为________．答案－10解析由a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋9d ＝0，2×⎝⎛⎭⎫12a 1＋12×112d ＝2a 1＋d ＋10，解得d ＝－10. 14．(2019·沈阳东北育才中学模拟)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 3＋a 11＋a 19b 7＋b 15＝________.答案129130解析原式＝3a 112b 11＝32·2a 112b 11＝32·a 1＋a 21b 1＋b 21＝32·S 21T 21＝32·2×21＋13×21＋2＝129130.15．(2019·荆州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝(2n －1)sin ⎝⎛⎭⎫n π2＋2 019π，则S 2 019＝________. 答案 2 020解析 ∵a n ＝(2n －1)sin ⎝⎛⎭⎫n π2＋2 019π ＝(1－2n )sinn π2， ∴a 1，a 2，…，a n 分别为－1，0，5，0，－9，0，13，0，－17，0，21，0，…，归纳可得，每相邻四项和为4， ∴S 2 019＝504×4＋a 2 017＋a 2 018＋a 2 019 ＝2 016＋[(1－2×2 017)＋0＋(2×2 019－1)] ＝2 016＋4＝2 020.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知点列P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)，P 3(3，y 3)，…，P n ＋1(n ＋1，y n ＋1)在x 轴上的投影为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1，且点P n ＋1满足y 1＝1，直线P n P n ＋1的斜率1n n P P k ＋＝2n .则多边形P 1Q 1Q n ＋1P n ＋1的面积为________．答案 3×2n －n －3解析根据题意可得y n ＋1－y n ＝2n ，结合y 1＝1，应用累加法，可以求得y n ＋1＝2n ＋1－1，根据题意可以将该多边形分成n 个直角梯形计算，且从左往右，第n 个梯形的面积为S n ＝y n ＋y n ＋12＝3×2n －1－1，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S ＝3(2n －1)－n ＝3×2n －n －3. 三、解答题(本大题共70分)17．(10分)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和． (1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列． (1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0. 解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n ＋k －1 ＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．18．(12分)(2019·安徽皖南八校联考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，且4S n ＝5a n －5，数列{b n }满足b n ＝log 5a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明T n <1.(1)解 ∵4S n ＝5a n －5，∴4a 1＝5a 1－5，∴a 1＝5. 当n ≥2时，4S n －1＝5a n －1－5，∴4a n ＝5a n －5a n －1， ∴a n ＝5a n －1，∴{a n }是以5为首项，5为公比的等比数列， ∴a n ＝5·5n －1＝5n . ∴b n ＝log 55n ＝n .(2)证明 ∵c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.19．(12分)(2019·安徽皖中名校联考)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝2a n －n ＋1，a 1＝3. (1)设数列{b n }满足：b n ＝a n －n ，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求出数列{a n }的通项公式和前n 项和S n . (1)证明 b n ＋1b n ＝a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝2a n －n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2(a n －n )a n －n ＝2，又b 1＝a 1－1＝3－1＝2，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)得b n ＝2n ，∴a n ＝2n ＋n ，∴S n ＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(2n ＋n )＝(21＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.20．(12分)(2019·湖南衡阳八中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －n (n ∈N *)． (1)证明：{a n ＋1}是等比数列； (2) 若数列b n ＝log 2(a n ＋1)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b2n －1·b 2n ＋1的前n 项和T n . (1)证明当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. ∵S n ＝2a n －n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)， ∴a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴ {a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)得a n ＋1＝2n ， ∴b n ＝log 22n ＝n ，∴1b 2n －1·b 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1. 21．(12分)(2019·青岛调研)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n . (1)若对任意n ∈N *，S n ＝n 2＋n ＋12都成立，求a n ；(2)若a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，且数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n . 解 (1)由S n ＝n 2＋n ＋12，得S n －1＝(n －1)2＋n2，n ≥2，两式相减得a n ＝n ，n ≥2，又a 1＝S 1＝32，不满足a n ＝n ， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，n ，n ≥2.(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ， ∵b 1＝a 1＋a 2＝3，{b n }是公比为3的等比数列， ∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．22．(12分)(2019·湖南岳阳一中质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1＝1，点(T n ＋1，T n )在直线x n ＋1－y n ＝12上，若存在n ∈N *，使不等式2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n ≥m 成立，求实数m 的最大值．解 (1)∵S n ＝2a n －2， ① ∴S n ＋1＝2a n ＋1－2， ② ∴②－①得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n (n ≥1)， ∴a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴a n ＝2n .(2)由题意得，T n ＋1n ＋1－T n n ＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n n 成等差数列，公差为12.首项T 11＝b 11＝1，∴T n n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，T n ＝n (n ＋1)2，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n ，当n ＝1时，b 1＝1成立，∴b n ＝n .∴2b n a n ＝2n 2n ＝n2n －1＝n ⎝⎛⎭⎫12n －1，令M n ＝2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n ，只需(M n )max ≥m .∴M n ＝1＋2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n －1，③ 12M n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ，④ ③－④得，12M n ＝1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12－n ×⎝⎛⎭⎫12n＝2－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n， ∴M n ＝4－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1.∵M n ＋1－M n ＝4－(n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n－4＋(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1＝n ＋12n >0. ∴{M n }为递增数列，且(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1>0，∴M n <4. ∴m ≤4，实数m 的最大值为4.。

2020版新高考数学新增分大一轮(鲁京津琼)专用课件：第九章 9.2 两条直线的位置关系

思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
所以m＝1.
1
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4. 若三条直线 y ＝ 2x ， x ＋ y ＝ 3 ， mx ＋ 2y ＋ 5 ＝ 0 相交于同一点，则 m 的值为－ 9 ____.
解析
y＝2x， x＝1，由得 x＋y＝3， y＝2.
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，
故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时， 1 a l1：y＝－2x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 1－a
a 1 由－2· ＝－1，得 1－a
2 a＝3.
方法二
2 由 A1A2＋B1B2＝0，得 a＋2(a－1)＝0，可得 a＝3.
1
2
3
4
5
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7
PART TWO
2
题型分类
深度剖析
师生共研
题型一
两条直线的平行与垂直
例1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
|kx0＋b| 1＋k
2
.( × )
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2020版高考数学(鲁京津琼)新增分大一轮讲义：第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系含解析

§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).概念方法微思考1．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) 题组二教材改编2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．答案 2 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三易错自纠5．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是() A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]答案 D解析圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝|2－1＋m|2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m|2≤2，解得－22－1≤m≤22－1，故选D.6．(2018·石家庄模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4B．42C．8D．8 2答案 C解析因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|＝(a－4)2＋(a－1)2，解得a＝5＋22或a＝5－22，可取C1(5＋22，5＋22)，C2(5－22，5－22)，故|C1C2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.7．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵|OA|＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.题型一直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 (2018·贵州黔东南州联考)在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定答案 A解析因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝0.故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切，故选A. 命题点2 弦长问题例2 已知直线：12x －5y ＝3与圆x 2＋y 2－6x －8y ＋16＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 4 2解析把圆的方程化成标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝9，所以圆心坐标为(3,4)，半径r ＝3，所以圆心到直线12x －5y ＝3的距离d ＝|12×3－5×4－3|122＋(－5)2＝1，则|AB |＝2r 2－d 2＝4 2.命题点3 切线问题例3 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法 ①几何法：利用d 与r 的关系． ②代数法：联立方程之后利用Δ判断．③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．跟踪训练1 (1)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为________．答案相交解析直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交．(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．答案 2 2解析设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝2 2.(3)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________．答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.题型二圆与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例4分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．解将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2,3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1,7)，半径r 2＝50－k ，k <50.从而|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k <6，即14<k <34时，两圆相交．当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切；当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切．所以当k ＝14或k ＝34时，两圆相切．命题点2 公共弦问题例5已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．(1)证明由题意得，圆C 1和圆C 2一般方程化为标准方程，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝16，则圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2， ∴圆C 1和C 2相交．(2)解圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离 d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察． (2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到． (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解．跟踪训练2 (1)(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是() A．内切B．相交C．外切D．相离答案 B解析∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝|a|2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a|22＋(2)2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2<|MN|<r1＋r2，∴两圆相交，故选B.(2)圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－13＝0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为______________．答案x－2y＋6＝0解析两个圆的方程两端相减，可得2x－4y＋12＝0.即x－2y＋6＝0.1．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是() A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)答案 C解析x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，所以1≤m ≤121.故选C.2．直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30B.532C ．42D ．3 3答案 A解析圆(x －1)2＋(y －3)2＝10的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝10，圆心(1,3)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－9＋3|10＝510，故弦|AB |＝210－2510＝30，故选A.3．已知直线l ：x cos α＋y sin α＝2(α∈R )，圆C ：x 2＋y 2＋2x cos θ＋2y sin θ＝0(θ∈R )，则直线l 与圆C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．与α，θ有关答案 D解析圆C ：x 2＋y 2＋2x cos θ＋2y sin θ＝0(θ∈R )，即(x ＋cos θ)2＋(y ＋sin θ)2＝1(θ∈R )，圆心C 的坐标为(－cos θ，－sin θ)，半径为r ＝1.圆心C 到直线l ：x cos α＋y sin α＝2(α∈R )的距离d ＝|－cos θcos α－sin θsin α－2|cos 2α＋sin 2α＝2＋cos(θ－α)．当cos(θ－α)＝－1时，d ＝r ，直线l 和圆C 相切；当－1<cos(θ－α)≤1时，d >r ，直线l 和圆C 相离，故选D.4．(2018·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14答案 B解析圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.5．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．由题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．6．(2018·东北三省联考)直线x ＋2y ＋m ＝0(m >0)与⊙O ：x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，若|OA →＋OB →|>2|AB →|，则m 的取值范围是( ) A ．(5，25) B ．(25，5) C ．(5，5) D ．(2，5)答案 B解析 ∵直线x ＋2y ＋m ＝0与⊙O ：x 2＋y 2＝5交于相异两点A ，B ，∴O 点到直线x ＋2y ＋m ＝0的距离d < 5.记OA →＋OB →＝OD →，则四边形OADB 是菱形，且|OD →|＝2d . ∵|OA →＋OB →|>2|AB →|，∴2d >2|AB →|，即d >|AB →|＝25－d 2，解得d >2.又d <5，∴2<d <5，即2<|m |5< 5. 又m >0，解得m ∈(25，5)．7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 答案 4解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得x 1＝－3，y 1＝3；x 2＝0，y 2＝23，∴A (－3，3)，B (0,23)．过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.8．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 32解析由题意，得圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|P A |＝|PB |＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos60°＝32. 9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 10．(2018·成都模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，若点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分，则1a ＋1b的最小值为____________．答案 7＋4355解析圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，则直线l 与圆C 相离，设圆心到直线的距离为d ，则d －r ＝1，可得|9＋16＋m |9＋16＝6，解得m ＝－55或m ＝5(舍去)．因为点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分，所以3a ＋4b ＝55，a >0，b >0.则1a ＋1b ＝155⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (3a ＋4b ) ＝155⎝⎛⎭⎫7＋4b a ＋3a b ≥155⎝⎛⎭⎫7＋24b a ·3a b ＝7＋4355，当且仅当a ＝－55＋11033，b ＝55－5532时取等号． 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，。

2020版新高考数学一轮(鲁京津琼)精练：第9章第2讲两直线的位置关系 (含解析)

第2讲两直线的位置关系一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C. 答案 C2.(2017·刑台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析依题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，因此选C.答案 C3.过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A.19x －9y ＝0 B.9x ＋19y ＝0 C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0 解析法一由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0. 答案 D4.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A.x ＋2y －1＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x ＋2y ＋3＝0D.x ＋2y －3＝0解析设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0. 答案 D5.(2017·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A.7B.172C.14D.17解析直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172，故选B.答案 B6.(2017·石家庄模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α的值为( ) A.45B.－45C.2D.－12解析依题设，直线l 的斜率k ＝2，∴tan α＝2，且α∈[0，π)，则sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172π－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α＝2sin αcos α＝45.答案 A7.(2017·成都调研)已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( ) A.(3，3)B.(2，3)C.(1，3)D.⎝⎛⎭⎪⎫1，32解析直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x－2).两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3).故选C. 答案 C8.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A.x ＋2y －4＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0解析由直线与向量a ＝(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确. 答案 A 二、填空题9.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.答案－910.(2017·沈阳检测)已知直线l 过点P (3，4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________.解析显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝011.(2017·深圳模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1，1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为________.解析因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2的斜率k ＝2，又直线l 2过点(－1，1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0，3). 答案 (0，3)12.(2017·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________. 解析设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.答案6x－y－6＝013.(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为()A.102 B.10 C.5 D.10解析由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上，∵|PQ|＝9＋1＝10，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10，故选D.答案 D14.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点()A.(0，4)B.(0，2)C.(－2，4)D.(4，－2)解析直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2). 答案 B15.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解析易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形，∴|P A|·|PB|≤|P A|2＋|PB|22＝|AB|22＝102＝5.当且仅当|P A|＝|PB|时，等号成立.答案 516.在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解析设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求.∵k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.① 又∵k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4).答案 (2，4)。

鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何微专题十二圆锥曲线中性质的推广教案含解析

微专题十二圆锥曲线中性质的推广[真题研究]一道高考解析几何试题的命题背景可能就是圆锥曲线的一个性质定理的特殊情况．如果掌握了定理的原理，也就把握了试题的本质．对一些典型的试题，不应满足于会解，可以引导学生深入探究试题背后的知识背景，挖掘问题的本质．这样才能真正找到解决问题的方法，学会用更高观点去看待数学问题，把握问题的本质．正如《普通高中数学课程标准(实验)》所倡导的数学探究性课题学习，引导学生围绕某个数学问题，观察分析，自主探究，提出有意义的数学问题，探求适当的数学结论和规律．一、试题展示题1 (2018·全国Ⅰ)如图1所示，设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .(1)解当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.即x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0.(2)证明当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，显然方程有两个不等实根．所以y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .题2 (2018·全国Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.(2)证明当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，由题意知Δ>0恒成立，所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0，从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .点评以上两题是2018年高考全国Ⅰ卷解析几何题的倒数第二题，是选拔题．第(1)问根据直线方程的求法，多数学生都能完成，第(2)问是个探索性问题，重点考查用坐标法研究圆锥曲线中的定点定值问题，考查数形结合、函数方程、分类讨论等基本数学思想，同时考查综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力，综合考查学生的运算能力和数学素养．本题的呈现形式“平易近人”，是平面几何中的角平分线问题，但本题的解决过程却充分体现了坐标法的思想，可以将等角的几何关系式转化为坐标代数关系式，然后再用坐标法来处理．本题看起来很平常，实际上却背景丰富，有一定难度和区分度，也有很大的数学价值和研究空间，我们重点研究第二小问的相关性质．二、性质研究性质1 如图3所示，已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点B (－m,0)(m >0)，设不与x 轴垂直的直线l 与抛物线相交于M ，N 两点，则直线l 过定点A (m,0)的充要条件是x 轴是∠MBN 的角平分线．图3证明先证明必要性：设不与x 轴垂直的直线l 的方程为y ＝k (x －m )(k ≠0)，代入y 2＝2px ，整理得k 2x 2－(2k 2m ＋2p )x ＋k 2m 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2k 2m ＋2p k2，x 1x 2＝m 2，所以直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋m ＋y 2x 2＋m＝k (x 1－m )(x 2＋m )＋k (x 1＋m )(x 2－m )(x 1＋m )(x 2＋m )＝2k (x 1x 2－m 2)(x 1＋m )(x 2＋m )＝0，所以∠ABM ＝∠ABN ，所以x 轴是∠MBN 的角平分线．再证明充分性：设不与x 轴垂直的直线l 的方程y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入y 2＝2px ，整理得k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由根与系数关系得 x 1＋x 2＝2(p －kb )k 2，x 1x 2＝b2k2.① 因为∠ABM ＝∠ABN ，所以k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋m ＋y 2x 2＋m＝0，即y 1(x 2＋m )＋y 2(x 1＋m )＝0.再将y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 代入上式，得(kx 1＋b )(x 2＋m )＋(kx 2＋b )(x 1＋m )＝0，即2kx 1x 2＋(b ＋km )(x 1＋x 2)＋2mb ＝0，②将①式代入②式，得2kb 2＋2(b ＋km )(p －kb )＋2mbk 2＝0，整理得b ＝－km ，此时Δ>0，直线l 的方程为y ＝k (x －m )，所以直线l 过定点A (m ,0)．性质2 如图4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0(0<|m |<a )，设不与x 轴垂直的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，则直线l 过定点P (m ,0)的充要条件是x 轴是∠AMB 的角平分线．图4证明先证明必要性：设不与x 轴垂直的直线l 的方程为y ＝k (x －m )(k ≠0)，代入椭圆的方程x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得(a 2k2＋b 2)x 2－2ma 2k 2x ＋a 2(k 2m 2－b 2)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝2ma 2k 2a 2k 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(k 2m 2－b 2)a 2k 2＋b 2.所以k MA ＋k MB ＝y 1x 1－a2m＋y 2x 2－a 2m＝k⎝⎛⎭⎪⎫x 1－a 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 2m ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x 1－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 2m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 2m (x 2－m ) ＝k⎝⎛⎭⎪⎫x 1－a 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 2m ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2(k 2m 2－b 2)a 2k 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋a 2m ·2ma 2k 2a 2k 2＋b 2＋2a 2 ＝k⎝⎛⎭⎪⎫x 1－a 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 2m ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a 4k 2－2a 2b 2a 2k 2＋b 2＋2a 2＝0，所以∠OMA ＝∠OMB ，所以x 轴是∠AMB 的角平分线．再证明充分性：设不与x 轴垂直的直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2kta 2x ＋a 2(t 2－b 2)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－2kta 2a 2k 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(t 2－b 2)a 2k 2＋b 2.①因为∠OMA ＝∠OMB ，所以k MA ＋k MB ＝0，即y 1x 1－a 2m ＋y 2x 2－a 2m＝0，故y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 2m ＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 2m ＝0，整理得2kx 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫t －ka 2m (x 1＋x 2)－2ta 2m ＝0，②将①式代入②式，得2ka 2(t 2－b 2)－2kta 2⎝⎛⎭⎪⎫t －ka 2m －2ta 2m (a 2k 2＋b 2)＝0，整理得t ＝－km .此时Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝k (x －m )，所以直线l 过定点P (m ,0)．性质3 如图5所示，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0(|m |>a )，设不与x 轴垂直的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，则直线l 过定点P (m ,0)的充要条件是x 轴是∠AMB 的角平分线．图5性质3的证明类似于性质2的证明．三、性质推广性质2、性质3中的点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，0可以进一步推广为直线x ＝a 2m 上任意一点，即有如下性质．性质4 如图6所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点A (m ,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，n (其中|m |≠a )，直线l 过点A 且与椭圆交于不同的两点P ，Q ，设直线PB ，AB ，QB 的斜率分别为k PB ，k AB ，k QB ，则k PB ＋k QB ＝2k AB .图6证明当直线l 垂直于x 轴时，易得k PB ＋k QB ＝2k AB .当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －m )，代入椭圆的方程x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得(a 2k 2＋b 2)x 2－2ma 2k 2x ＋a 2(k 2m 2－b 2)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝2ma 2k 2a 2k 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(k 2m 2－b 2)a 2k 2＋b2.所以k PB ＋k QB ＝y 1－n x 1－a 2m ＋y 2－nx 2－a 2m＝k (x 1－m )－n x 1－a 2m ＋k (x 2－m )－n x 2－a 2m，而[k (x 1－m )－n ]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 2m＋[k (x 2－m )－n ]⎝⎛⎭⎪⎫x 1－a 2m ＝2kx 1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫mk ＋n ＋a 2k m (x 1＋x 2)＋2a 2k ＋2a 2n m＝2k ·a 2(k 2m 2－b 2)a 2k 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫mk ＋n ＋a 2k m ·2ma 2k 2a 2k 2＋b 2＋2a 2k ＋2a 2n m＝2a 2n (a 2k 2＋b 2－k 2m 2)m (a 2k 2＋b 2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 2m ＝x 1x 2－a 2m (x 1＋x 2)＋a 4m 2＝a 2(k 2m 2－b 2)a 2k 2＋b 2－a 2m ·2ma 2k 2a 2k 2＋b 2＋a 4m 2＝a 2(k 2m 2－b 2－2a 2k 2)a 2k 2＋b 2＋a 4m2＝a 2m 2(a 2k 2＋b 2)·[m 2(k 2m 2－b 2－2a 2k 2)＋a 2(a 2k 2＋b 2)] ＝a 2m 2(a 2k 2＋b 2)·(a 4k 2＋a 2b 2－2a 2k 2m 2＋m 4k 2－b 2m 2) ＝a 2m 2(a 2k 2＋b 2)·(a 2k 2＋b 2－k 2m 2)(a 2－m 2)，所以k PB ＋k QB ＝k (x 1－m )－n x 1－a 2m ＋k (x 2－m )－nx 2－a 2m＝2mna 2－m 2，又因为k AB ＝n －0a 2m－m ＝ mna 2－m 2，所以k PB ＋k QB ＝2k AB . 性质5 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)及点A (m ,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ，n (其中|m |≠a )，直线l 过点A且与双曲线交于不同的两点P ，Q ，设直线PB ，AB ，QB 的斜率分别为k PB ，k AB ，k QB ，则k PB ＋k QB ＝2k AB .性质6 已知抛物线y 2＝2px (p >0)及A (m ,0)，B (－m ，n )(其中m ≠0)，直线l 过点A 且与抛物线交于不同的两点P ，Q ，设直线PB ，AB ，QB 的斜率分别为k PB ，k AB ，k QB ，则k PB ＋k QB ＝2k AB . 性质5、性质6的证明，类似性质4的证明．。

鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何97抛物线教案含解析20190831264

1§9.7 抛物线最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方px>0)＝px>0)py>0)＝py>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标 O(0,0)对称轴 x轴y轴焦点坐标 F??????p2，0 F??????－p2，0 F??????0，p2 F??????0，－p2离心率 e＝1准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下2概念方法微思考1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线．2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是??????a4，0，准线方程是x＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F??????p2，0的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ ) 题组二教材改编2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( ) A．9B．8C．7D．6 答案 B解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________．．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.4．若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线33x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A．2B.135C.145D．3答案 A解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.题组三易错自纠5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4B．6 C8 D．12答案 B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.6．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( ) A．y2＝±22x B．y2＝±2xC y2＝±4x D．y2＝±42x答案 D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．．答案 [－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x ＋2)，4代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义和标准方程命题点1 定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．．答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. 引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋?－1?2＝32，5所以d1＋d2的最小值为32－1. 命题点2 求标准方程例2 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为( ) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x答案 C解析由题意知，F??????p2，0，抛物线的准线方程为x＝－p2，则由抛物线的定义知，x M＝5－p2，设以MF为直径的圆的圆心为??????52，y M2，所以圆的方程为??????x －522＋??????y－y M22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p??????5－p2，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．跟踪训练1(1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P 到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－?－1?]2＋?0－1?2＝5.(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l 于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为( )6A．y2＝32x B．y2＝9xC．y2＝92x D．y2＝3x答案 D解析分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°. 又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的标准方程为y 2＝3x . 题型二抛物线的几何性质例3 (1)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B.2C.322D ．22 答案 C解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，7所以x 1＝2，y 1＝22. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由?????y 2＝4x ，x －1＝ty ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0. 所以y 1y 2＝－4.所以y 2＝－2，x 2＝1 2，所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.(2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53B.75C.97D ．2 答案 A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|PA |＝12|AB |， ∴????? 3?x 1＋2?＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又?????y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练2 (1)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B 两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( ) A．18B．24C．36D．48 答案 C解析以抛物线的顶点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，8设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为??????p2，0，将x＝p2代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，所以p＝6.因为点P在准线上，所以点P到AB的距离为p＝6，所以△PAB的面积为12×6×12＝36.(2)抛物线C1：y＝12px2(p>0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于( )A.316B.38C.233D.433答案 D解析经过第一象限的双曲线C2的渐近线方程为y＝33x.抛物线C1的焦点为F??????0，p2，双曲线C2的右焦点为F2(2,0)．因为y＝12px2，所以y′＝1px.所以抛物线C1在点M??????x0，x202p处的切线斜率为33，即1p x0＝33，所以x0＝33p.因为F??????0，p2，F2(2,0)，M??????33p，p6三点共线，所以p2－00－2＝p6－p233p－0，解得p＝433，故选D. 题型三直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3. (1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点．连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．解 (1)设抛物线的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，∴y1＋y2＝6，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是x2＝4y.(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由?????y＝kx＋6，x2＝4y消去y得x2－4kx－24＝0，9∴?????x3＋x4＝4k，x3·x4＝－24.(*)易知抛物线在点P??????x3，x234处的切线方程为y－x234＝x32(x－x3)，令y＝－1，得x＝x23－42x3，∴R??????x23－42x3，－1，又Q，F，R三点共线，∴k QF＝k FR，又F(0,1)，∴x244－1x4＝－1－1x23－42x3，即(x23－4)(x24－4)＋16x3x4＝0，整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0，将(*)式代入上式得k2＝14，∴k＝±12，∴直线m的方程为y＝±12x＋6.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(4)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝p24，y1y2＝－p2.②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2p sin2α(α为弦AB的倾斜角)．③以弦AB为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．跟踪训练3 (2018·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动10直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N. (1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解 (1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p＝0，Δ＝4p2k2＋8p>0，显然方程有两不等实根，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①由x2＝2py得y′＝xp，则A，B处的切线斜率乘积为x1x2p2＝－2p＝－1，则有p＝2.(2)设切线AN为y＝x1px＋b，又切点A在抛物线y＝x22p上，∴y1＝x212p，∴b＝x212p－x21p＝－x212p，∴y AN＝x1px－x212p.同理y BN＝x2px－x222p.又∵N在y AN和y BN上，∴?????y＝x1px－x212p，y＝x2px－x222p，解得N??????x1＋x22，x1x22p.∴N(pk，－1)．|AB|＝1＋k2|x2－x1| ＝1＋k24p2k2＋8p，点N到直线AB的距离d＝|kx N＋1－y N|1＋k2＝|pk2＋2|1＋k 2，S△ABN＝12·|AB|·d＝p?pk2＋2?3≥22p，∴22p＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.11直线与圆锥曲线问题的求解策略例(12分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B 两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(x R,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．规范解答解 (1)∵抛物线C：x2＝1my，∴它的焦点为F??????0，14m.[2分] (2)∵|RF|＝y R＋14m，∴2＋14m＝3，得m＝14.[4分](3)存在，联立方程?????y＝mx2，2x－y＋2＝0，消去y得mx2－2x－2＝0(m>0)，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)＝8m＋4>0恒成立，方程必有两个不等实根．[6分]设A(x1，mx21)，B(x2，mx22)，则?????x1＋x2＝2m，x1·x2＝－2m.(*)∵P是线段AB的中点，∴P??????x1＋x22，mx21＋mx222，即P??????1m，y P，∴Q??????1m，1m，[8分]得QA→＝??????x1－1m，mx21－1m，QB→＝??????x2－1m，mx22－1m.若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QA→·QB→＝0，12即??????x1－1m·??????x2－1m＋??????mx21－1m??????mx22－1m＝0，[10分]结合(*)式化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－12，∵m>0，∴m＝2.∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为( ) A.14B．－14C．4D．－4 答案 B 解析由y＝ax2，变形得x2＝1ay＝2×12ay，∴p＝12a.又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a＝1，解得a＝－14.2．(2018·泰安诊断)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|的值为( ) A．1B．2C．3D．4 答案 C解析依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F??????12，0，所以x1＋x2＋x3＝3×12＝32，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝??????x1＋12＋??????x2＋12＋??????x3＋12＝(x1＋x2＋x3)＋32＝32＋32＝3.133．(2018·辽宁五校联考)抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为33的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( ) A．4B．33C．43D．8 答案 C解析由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率为33，∴AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A??????m，m24，m>0，过F作FM⊥AH 于M，则在△FAM中，|AM|＝12|AF|，∴m24－1＝12??????m24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是12×4×4sin60°＝43.故选C.4．(2018·江西上高二中、丰城中学联考)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 等于( ) A．2B．4C．6D．8 答案 D解析∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝p2，∴p2＋p4＝6，∴p＝8.故选D. 5．已知直线l：y＝kx－k(k∈R)与抛物线C：y2＝4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若2FM→＝MN→，则实数k等于( ) A．±33B．±1C．±3D．±2答案 C解析抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，直线l：y＝kx－k过抛物线的焦点．当k>0时，如图所示，14过点M作MM′垂直于准线x＝－1，垂足为M′，由抛物线的定义，得|MM′|＝|MF|，易知∠M′MN与直线l的倾斜角相等，由2FM→＝MN→，得cos∠M′MN＝|MM′||MN|＝12，则tan∠M′MN＝3，∴直线l的斜率k＝3；当k<0时，可得直线l的斜率k＝－3.故选C.6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若OA→·OB→＝－12，则抛物线C的方程为( ) A．x2＝8y B．x2＝4yC．y2＝8x D．y2＝4x答案 C解析由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋p2，联立?????y2＝2px，x＝my＋p2，消去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝??????my1＋p2??????my2＋p2＋y1y2＝m2y1y2＋pm2(y1＋y2)＋p24＋y1y2＝－34p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x. 7．(2018·新余市第一中学模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，则动点P的轨迹方程为____________．．答案x2＝8y解析∵动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，∴动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y＝－2的距离相等．根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点，以直线y＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x2＝8y.8．(2018·武汉质检)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB 是等边三角形，则△AFB的边长为________________．．答案 8＋43或8－43解析由题意可知点A，B一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30°，由于y2＝4x15的焦点为(1,0)，由?????y＝33?x－1?，y2＝4x，化简得y2－43y－4＝0，解得y1＝23＋4，y2＝23－4，所以△AFB的边长为8＋43或8－43.9．已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是____________．．答案t>0或t<－3解析由题意知k≠0.因为直线l与圆相切，所以|t＋1|1＋k2＝1，即k2＝t2＋2t.由k2>0，得t>0或t<－2，再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t ＝0，于是由Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，得t>0或t<－3.综上，实数t的取值范围是t>0或t<－3. 10．(2018·唐山五校联考)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________. 答案 4解析设AB的方程为x＝my＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋p2＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋p2＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.11．(2018·郑州模拟)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．解 (1)直线AB的方程是y＝22 x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0.由题意知，Δ＝25p2－16p2＝9p2>0，方程必有两个不等实根．所以x1＋x2＝5p4，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x. (2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0，16即x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设C(x3，y3)，则OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．(2018·贵阳模拟)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8. (1)求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．解 (1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由题意知k≠0，且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1，由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴2k2＋4k2＝6，∴k2＝1，即k＝±1，∴直线l的方程为y＝±(x－1)．(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，直线BD的斜率k BD＝y2＋y1x2－x1＝y2＋y1y224－y214＝4y2－y1，∴直线BD的方程为y＋y1＝4y2－y1(x－x1)，即(y2－y1)y＋y2y1－y21＝4x－4x1，∵y21＝4x1，y22＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，即y1y2＝－4(y1，y2异号)，∴直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒过点(－1,0)．13.(2018·益阳、湘潭质检)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于17点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5 B．6 C.16 3 D.20 3答案 C 解析方法一如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，解得y1＝23，所以A(3,23)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝233－1＝3，所以直线AF的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得，3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝103，|AB|＝x1＋x2＋p＝163.故选C.方法二如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝p24＝1，所以x2＝13，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝163.故选C. 方法三如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.因为1|AF|＋1|BF|＝2p，|AF|＝4，所以|BF|＝43，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝184＋43＝16 3.故选C. 14.(2018·广东七校联考)如图所示，抛物线y＝14x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(x A，y A)，B(x B，y B)，M(x M，y M)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③y M＝－1；④若AB的斜率为1，则x M＝1；⑤x A·x B＝－4.以上结论正确的个数是()A．1B．2C．3D．4 答案 B解析由题意得，焦点F(0,1)，对于①，l AB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，得?????y＝x＋1，y＝14x2，消去x，得y2－6y＋1＝0，所以y A＋y B＝6，则|AB|＝y A＋y B＋p＝8，则①错误；对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；因为y′＝x2，则l AM：y－y A＝x A2(x－x A)，即y＝12x A x－x2A4，l BM：y－y B＝x B2(x－x B)，即y＝12x B x－x2B4，联立l AM与l BM的方程得?????y＝12x A x－x2A4，y＝12x B x－x2B4，解得M??????x A＋x B2，x A·x B 4.设l AB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，得?????y＝kx＋1，y＝14x2，消去y，得x2－4kx－4＝0，19所以x A＋x B＝4k，x A·x B＝－4，所以y M＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB的斜率为1时，x M＝2，则④错误，故选 B.15．已知曲线G：y＝－x2＋16x－15及点A??????12，0，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：2x＋1＝0的距离分别为|AB|和|AC|，则|AB|＋|AC|＝________. 答案 15解析曲线G：y＝－x2＋16x－15，即为半圆M：(x－8)2＋y2＝49(y≥0)，由题意得B，C为半圆M与抛物线y2＝2x的两个交点，由y2＝2x与(x－8)2＋y2＝49(y ≥0)联立方程组得x2－14x＋15＝0，方程必有两不等实根，设B(x1，y1)，C(x2，y2)．所以|AB|＋|AC|＝x1＋12＋x2＋12＝14＋1＝15.16．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．解如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则 y21＝4x1，y22＝4x2，两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．当k存在时，x1≠x2，则有y1＋y22·y1－y2x1－x2＝2，又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. 由CM⊥AB，得k·y0－0x0－5＝－1，即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，则有－23<y0<23，因为点M在圆上，所以(x0－5)2＋y20＝r2，20故r2＝y20＋4<12＋4＝16.又y20＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，所以4<r2<16，即2<r<4.。

鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何93圆的方程课件201908312158

∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
故选A.
1234567
2 题型分类深度剖析
PART TWO
师生共研
题型一圆的方程
例1 (1)已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在 x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为
A.????x－32????2＋y2＝245
B.????x＋43????2＋y2＝2156
半径r＝_1_2__D__2 _?_E_2_?__4_F__
【概念方法微思考】
1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
提示
??A＝C≠0， ??B＝0，
?
??D2＋E2－4AF>0.
2.已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件？提示由题意可知， ⊙C 与 y 轴相切于原点时，圆心坐标为 ????－D2 ，0????，而 D
可以大于 0，所以“E＝F＝0 且 D<0”是“⊙C 与 y 轴相切于原点 ”的充分
不必要条件 .
3.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组. (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.
基础自测
JICHUZICE
题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋ (y－y1)(y－y2)＝0.( √ ) (3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.( × ) (4)若点 M(x0，y0) 在圆 x2＋ y2＋ Dx＋Ey＋F ＝0外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋ F>0.( √ ) (5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.( × )

2020版高考新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用：第9章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系．d<r ⇔相交；d＝r ⇔相切；d>r ⇔相离．(2)代数法：――→判别式Δ＝b 2⇔相交；⇔相切；⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x－a 1)2＋(y－b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x－a 2)2＋(y－b 2)2＝r 22(r 2>0).方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r 1＋r 2无解外切d＝r 1＋r 2一组实数解相交|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2两组不同的实数解内切d＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解内含0≤d<|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(3)过圆O：x 2＋y 2＝r 2上一点P(x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x＋y 0y＝r 2.(√)(4)过圆O：x 2＋y 2＝r 2外一点P(x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x＋y 0y＝r 2.(√)(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(√)题组二教材改编2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案C解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.3．圆(x＋2)2＋y 2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离答案B解析两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．答案22解析2＋y 2－4＝0，2＋y 2－4x＋4y－12＝0，得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三易错自纠5．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x 2＋y 2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是()A．[－2，2]B．[－22，22]C．[－2－1，2－1]D．[－22－1,22－1]答案D解析圆C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝|2－1＋m|2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m|2≤2，解得－22－1≤m≤22－1，故选D.6．(2018·石家庄模拟)设圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于()A．4B．42C．8D．82答案C解析因为圆C 1，C 2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|＝(a－4)2＋(a－1)2，解得a＝5＋22或a＝5－22，可取C 1(5＋22，5＋22)，C 2(5－22，5－22)，故|C 1C 2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.7．过点A(3,5)作圆O：x 2＋y 2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x 2＋y 2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵|OA|＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k 2＋1＝2，即|3－2k|＝2k 2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1(2018·贵州黔东南州联考)在△ABC 中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，则圆C：x 2＋y 2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定答案A解析因为asinA＋bsinB－csinC＝0，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝0.故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a 2＋b2＝1＝r，故圆C：x 2＋y 2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切，故选A.命题点2弦长问题例2已知直线：12x－5y＝3与圆x 2＋y 2－6x－8y＋16＝0相交于A，B 两点，则|AB|＝________.答案42解析把圆的方程化成标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圆心坐标为(3,4)，半径r＝3，所以圆心到直线12x－5y＝3的距离d＝|12×3－5×4－3|122＋(－5)2＝1，则|AB|＝2r 2－d 2＝4 2.命题点3切线问题例3已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x＋y－4＝0平行；(2)与直线l 2：x－2y＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．解(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，则|1－2＋b|2＝10，∴b＝1±25，∴切线方程为x＋y＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则|2－2＋m|5＝10，∴m＝±52，∴切线方程为2x＋y±52＝0.(3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.思维升华(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法①几何法：利用d 与r 的关系．②代数法：联立方程之后利用Δ判断．③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．跟踪训练1(1)圆x 2＋y 2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________．答案相交解析直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x＋4y＝0内，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x 2＋y 2－2x＋4y＝0相交．(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．答案22解析设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝2，半径r＝2，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝2 2.(3)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________________．答案x＝2或4x－3y＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k－1＋4－2k|k 2＋(－1)2＝|3－k|k 2＋1＝1，解得k＝43，∴所求切线方程为43x－y＋4－2×43＝0，即4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.题型二圆与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例4分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x－6y＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x－14y＋k＝0相交和相切．解将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C 2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，则圆C 1的圆心为C 1(－2,3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1,7)，半径r 2＝50－k，k<50.从而|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当|50－k－1|<5<50－k＋1，即4<50－k<6，即14<k<34时，两圆相交．当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切．所以当k＝14或k＝34时，两圆相切．命题点2公共弦问题例5已知圆C 1：x 2＋y 2－2x－6y－1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．(1)证明由题意得，圆C 1和圆C 2一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2，∴圆C 1和C 2相交．(2)解圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.思维升华(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解．跟踪训练2(1)(2016·山东)已知圆M：x 2＋y 2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离答案B解析∵圆M：x 2＋(y－a)2＝a 2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r 1为a，圆心M 到直线x＋y＝0的距离d＝|a|2，由几何知识得＋(2)2＝a 2，解得a＝2.∴M(0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N(1,1)，半径r 2＝1，∴|MN|＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2<|MN|<r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)圆x 2＋y 2＋4x－4y－1＝0与圆x 2＋y 2＋2x－13＝0相交于P，Q 两点，则直线PQ 的方程为______________．答案x－2y＋6＝0解析两个圆的方程两端相减，可得2x－4y＋12＝0.即x－2y＋6＝0.1．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是()A．(－∞，1)B．(121，＋∞)C．[1,121]D．(1,121)答案C解析x 2＋y 2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，所以1≤m≤121.故选C.2．直线x－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦长为()A.30B.532C．42D．33答案A解析圆(x－1)2＋(y－3)2＝10的圆心坐标为(1,3)，半径r＝10，圆心(1,3)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－9＋3|10＝510，故弦|AB|＝210－2510＝30，故选A.3．已知直线l：xcosα＋ysinα＝2(α∈R)，圆C：x 2＋y 2＋2xcosθ＋2ysinθ＝0(θ∈R)，则直线l 与圆C 的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．与α，θ有关答案D解析圆C：x 2＋y 2＋2xcosθ＋2ysinθ＝0(θ∈R)，即(x＋cosθ)2＋(y＋sinθ)2＝1(θ∈R)，圆心C 的坐标为(－cosθ，－sinθ)，半径为r＝1.圆心C 到直线l：xcosα＋ysinα＝2(α∈R)的距离d＝|－cosθcosα－sinθsinα－2|cos 2α＋sin 2α＝2＋cos(θ－α)．当cos(θ－α)＝－1时，d＝r，直线l 和圆C 相切；当－1<cos(θ－α)≤1时，d>r，直线l 和圆C 相离，故选D.4．(2018·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A．y＝－34B．y＝－12C．y＝－32D．y＝－14答案B解析圆(x－1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－12.5．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案C解析如图，分别以A，B 为圆心，1,2为半径作圆．由题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．6．(2018·东北三省联考)直线x＋2y＋m＝0(m>0)与⊙O：x 2＋y 2＝5交于A，B 两点，若|OA →＋OB →|>2|AB →|，则m 的取值范围是()A．(5，25)B．(25，5)C．(5，5)D．(2，5)答案B解析∵直线x＋2y＋m＝0与⊙O：x 2＋y 2＝5交于相异两点A，B，∴O 点到直线x＋2y＋m＝0的距离d< 5.记OA →＋OB →＝OD →，则四边形OADB 是菱形，且|OD →|＝2d.∵|OA →＋OB →|>2|AB →|，∴2d>2|AB →|，即d>|AB →|＝25－d 2，解得d>2.又d<5，∴2<d<5，即2<|m|5< 5.又m>0，解得m∈(25，5)．7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A，B 两点，过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，D 两点，则|CD|＝________.答案4解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2x－3y＋6＝0，2＋y 2＝12，得y 2－33y＋6＝0，解得x 1＝－3，y 1＝3；x 2＝0，y 2＝23，∴A(－3，3)，B(0,23)．过A，B 作l 的垂线方程分别为y－3＝－3(x＋3)，y－23＝－3x，令y＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.8．过点P(1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA →·PB →＝________.答案32解析由题意，得圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，∵P(1，3)，∴PB⊥x 轴，|PA|＝|PB|＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中|OA|＝1，|AP|＝3，则|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案43解析圆C 的标准方程为(x－4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即|4k－2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k≤0，解得0≤k≤43.故k 的最大值是43.10．(2018·成都模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆C 上的点到直线l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距离为1，若点N(a，b)在直线l 上位于第一象限的部分，则1a ＋1b 的最小值为____________．答案7＋4355解析圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C 上的点到直线l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距离为1，则直线l 与圆C 相离，设圆心到直线的距离为d，则d－r＝1，可得|9＋16＋m|9＋16＝6，解得m＝－55或m＝5(舍去)．因为点N(a，b)在直线l 上位于第一象限的部分，所以3a＋4b＝55，a>0，b>0.则1a ＋1b＝7＋4b a ＋＝7＋4355，当且仅当a＝－55＋11033，b＝55－5532时取等号．11．已知圆C：x 2＋y 2＋2x－4y＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M.(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P 的轨迹方程．解把圆C 的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x＝1，C 到l 的距离d＝2＝r，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k，得l 的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，则|－k－2＋3－k|1＋k 2＝2，解得k＝－34.∴l 的方程为y－3＝－34(x－1)，即3x＋4y－15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，|PO|2＝x 2＋y 2，∵|PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M：x 2＋y 2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B，C 两点，且BC＝OA，求直线l 的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解(1)圆M 的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，由题意，设圆N 的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b 2(b>0)．且(6－6)2＋(b－7)2＝b＋5.解得b＝1，∴圆N 的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.又BC＝OA＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M(6,7)到直线l 的距离为＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m|22＋(－1)2＝25，解得m＝5或m＝－15.∴直线l 的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.(3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形，又∵P，Q 为圆M 上的两点，∴PQ≤2r＝10.∴TA＝PQ≤10，即(t－2)2＋42≤10，解得2－221≤t≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221]．13．(2018·贵阳第一中学月考)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋4－4m＝0上总存在点M，使得过M 点作的圆C：x 2＋y 2＋2x－4y＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是()A．m≤1或m≥2B．2≤m≤8C．－2≤m≤10D．m≤－2或m≥8答案C 解析如图，设切点分别为A，B.连接AC，BC，MC，由∠AMB＝∠MAC＝∠MBC＝90°及MA＝MB 知，四边形MACB 为正方形，故|MC|＝2＋2＝2，若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线l 的距离d＝|－m－2＋2m－2＋4－4m|(m＋2)2＋(m－1)2≤2，即m 2－8m－20≤0，∴－2≤m≤10，故选C.14．若⊙O：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x－m)2＋y 2＝20(m∈R)相交于A，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．答案4解析⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A⊥OA.又∵|OA|＝5，|O 1A|＝25，∴|OO 1|＝5.又A，B 关于OO 1所在直线对称，∴AB 长为Rt△OAO 1斜边上的高的2倍，∴|AB|＝2×5×255＝4.15．已知圆O：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA，PB，A，B 为切点，则直线AB 过定点()C．(1,2)D．(9,0)答案C 解析因为P 是直线x＋2y－9＝0上的任一点，所以设P(9－2m，m)，因为PA，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C)上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是＝(9－2m )2＋m 24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m－9)x－my＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m－9)x－my＋9＝0，即m(2x－y)＋(－得x＝1，y＝2.所以直线AB 恒过定点(1,2)，故选C.16．已知抛物线C：y 2＝4x 的焦点为F，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A，B，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P，Q，使得以PQ 为直径的圆过点－32，t t 的取值范围．解由题意可得直线AB 的方程为x＝y＋1，与y 2＝4x 联立消去x，可得y 2－4y－4＝0，显然Δ＝16＋16>0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，设E(x E ，y E )，则y E ＝y 1＋y 22＝2，x E ＝y E ＋1＝3，又|AB|＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋1＋y 2＋1＋2＝8，所以圆E 是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D 恒在圆E 外．圆E 上存在点P，Q，使得以PQ 为直径的圆过点－32，t E 上存在点P，Q，使得DP⊥DQ，设过D 点的两直线分别切圆E 于P′，Q′点，要满足题意，则∠P′DQ′≥π2，所以|EP′||DE|＝≥22，整理得t 2－4t－314≤0，解得2－472≤t≤2＋472，故实数t 的取值范围为2－472，2＋472.。

2020版高考新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用：第9章 9.1 直线的方程

§9.1直线的方程最新考纲1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y 0＝k(x－x 0)不含直线x＝x 0斜截式y＝kx＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y－y 1y 2－y 1＝x－x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)不含直线x＝x 1和直线y＝y 1截距式x a ＋y b ＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0平面直角坐标系内的直线都适用(A 2＋B 2≠0)概念方法微思考1．直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？提示倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k 不存在；因为大，斜率k 时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了．2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的对应坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y－y 1)(x 2－x 1)＝(x－x 1)(y 2－y 1)表示．(√)题组二教材改编2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4答案A 解析由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.题组三易错自纠4．(2018·石家庄模拟)直线x＋(a 2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.0，π4B.3π4，πC.0，π4∪ D.π4，3π4，π答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是3π4，π5．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．6．过直线l：y＝x 上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为．答案x－2y＋2＝0或x＝2解析①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x＝2，直线m，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k ，依题意有12×|2－2k |×2＝2，即|1－1k |＝1，解得k＝12，所以直线m 的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m 的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2 D.π4，2π3答案B解析直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的取值范围是π4，π3.(2)直线l 过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为．答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．引申探究1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)，∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为13，3.2．若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围．解如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华(1)倾斜角α与斜率k 的关系①当α∈0，②当α＝π2时，斜率k 不存在．(2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．②公式法：若已知直线上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，一般根据斜率公式k＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tanα的单调性．跟踪训练1(1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a 2)，C(3，a 3)共线，则a 等于()A．1±2或0 B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0答案A解析∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a 2)，C(3，a 3)共线，∴k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a 3－1，即a(a 2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1± 2.故选A.(2)直线l 经过A(3,1)，B(2，－m 2)(m∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是．答案π4，解析直线l 的斜率k＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k＝tanα≥1.又因此π4≤α<π2.题型二求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x 的斜率的－14；(3)过点A(1，－1)与已知直线l 1：2x＋y－6＝0相交于B 点且|AB|＝5.解(1)方法一设直线l 在x，y 轴上的截距均为a，若a＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a＝5，∴l 的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.方法二由题意，所求直线的斜率k 存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k ，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k ＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，∴直线l 的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y 轴平行的直线为x＝1.求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过A(1，－1)且与y 轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，(x－1)，x＝k＋7k＋2，y＝4k－2k＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行)．则B由已知＝52，解得k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．跟踪训练2求适合下列条件的直线方程：(1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；(2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x 的倾斜角的2倍；(3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解(1)当直线过原点时，方程为y＝32x，即3x－2y＝0.当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －ya ＝1.将P(2,3)代入方程，得a＝－1，所以直线l 的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.(2)设直线y＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tanα＝3，所以tan2α＝2tanα1－tan 2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.题型三直线方程的综合应用命题点1与基本不等式相结合求最值问题例3(2018·济南模拟)已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程．解设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5－5＝2b a ＋2ab≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l 的方程为x＋y－3＝0.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l 1：ax－2y＝2a－4，l 2：2x＋a 2y＝2a 2＋4，当0<a<2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解由题意知直线l 1，l 2恒过定点P(2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a，直线l 2在x 轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a 2＋2)＝a 2＋154，当a＝12时，四边形的面积最小．思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．跟踪训练3过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解设直线l：xa＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以4a＋1b＝1.(1)4a＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a＋1b＝1，a>0，b>0，＝5＋ab＋4ba≥5＋2ab·4ba＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.1．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为() A．30°B．60°C．150°D．120°答案B解析设直线的倾斜角为α，斜率为k，化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tanα＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．(2018·海淀模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是()A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2答案A解析∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.3．已知过定点P(2,0)的直线l 与曲线y＝2－x 2相交于A，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为()A．150°B．135°C．120°D．不存在答案A解析由y＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l 为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝|－2k|1＋k2，＝22－2k21＋k2，所以S △AOB ＝12×|－2k|1＋k 2×22－2k21＋k2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k)2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k＝33舍去故直线l 的倾斜角为150°.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A．k 1<k 2<k 3B．k 3<k 1<k 2C．k 3<k 2<k 1D．k 1<k 3<k 2答案D解析直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.5．直线MN 的斜率为2，其中点N(1，－1)，点M 在直线y＝x＋1上，则()A．M(5,7)B．M(4,5)C．M(2,1)D．M(2,3)答案B解析设M 的坐标为(a，b)，若点M 在直线y＝x＋1上，则有b＝a＋1.①若直线MN 的斜率为2，则有b＋1a－1＝2.②联立①②可得a＝4，b＝5，即M 的坐标为(4,5)．故选B.6．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l 过点P(1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A．k≥34或k≤－4B．－4≤k≤34C.34≤k≤4D．－34≤k≤4答案A解析如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k≤k PM ，∴k≥34或k≤－4.7．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是．答案3x－y－33＝0解析因为直线y＝13x 的倾斜角为π6，所以所求直线的倾斜角为π3，即斜率k＝tan π3＝ 3.又该直线过点A(2，－3)，故所求直线为y－(－3)＝3(x－2)，即3x－y－33＝0.8．直线kx＋y＋2＝－k，当k 变化时，所有的直线都过定点．答案(－1，－2)解析kx＋y＋2＝－k 可化为y＋2＝－k(x＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2)．9．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为．答案x＋13y＋5＝0解析BC 边上中线所在的直线方程为y－0－12－0＝x＋532＋5，即x＋13y＋5＝0.10．经过点A(4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为．答案x＋3y－10＝0或x－2y＝0解析当截距为0时，设直线方程为y＝kx，则4k＝2，∴k＝12，∴直线方程为x－2y＝0.当截距不为0时，设直线方程为x 3a ＋ya＝1，由题意得，43a ＋2a ＝1，∴a＝103.∴x＋3y－10＝0.综上，直线l 的一般式方程为x＋3y－10＝0或x－2y＝0.11．过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l 1：2x－y－2＝0与l 2：x＋y＋3＝0之间的线段AB 恰好被点P 平分，求此直线的方程．解设点A(x，y)在l 1上，点B(x B ，y B )在l 2上．则点B(6－x，－y)，)＋(－y )＋3＝0，x＝113，y＝163，则所求直线的斜率k＝163－0113－3＝8，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S，求S 的最小值及此时直线l 的方程．(1)证明直线l 的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)解直线l 的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k＋1，要使直线l故k 的取值范围是k≥0.(3)解依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k，且k>0，所以－1＋2kk ，0故S＝12|OA||OB|＝12×1＋2kk ×(1＋2k)4k＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4，当且仅当4k＝1k ，即k＝12时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x－2y＋4＝0.13．(2018·焦作期中)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案B解析①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，设该直线的方程为x＋y＝a，把(3，－1)代入所设的方程得a＝2，则所求直线的方程为x＋y＝2，即x＋y－2＝0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把(3，－1)代入所设的方程得k＝－13，则所求直线的方程为y＝－13x，即x＋3y＝0.综上，所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0，故选B.14．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是()－∞，－52∪43，＋∞－43，C.－52，43－∞，－43∪52，＋∞答案B解析直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，结合题意可知－a>－52，且－a<43，∴a∈－43，15．已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若ax－by＋c＝0的倾斜角为()A.π4B.π3C.2π3D.3π4答案C解析由f(x)的图象关于x＝π3对称，所以a＝－3b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3，故选C.16．已知动直线l 0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l 0的最大距离为3，求12a ＋2c的最小值．解∵动直线l 0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－3＝0.又Q(4,0)到动直线l 0的最大距离为3，∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m＝0.∴a＋c＝3.则12a ＋2c ＝13(a＋c)＋c 2a ＋＝32，当且仅当c＝2a＝2时取等号．。

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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A.－43 B.－34C. 3D.2解析由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝|1×a＋4－1|1＋a2＝1，解之得a＝－43.答案 A2.(2017·长春模拟)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2x＋y－5＝0B.2x＋y－7＝0C.x－2y－5＝0D.x－2y－7＝0解析∵过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，∵圆心与切点连线的斜率k＝1－03－1＝12，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.答案 B3.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B. 答案 B4.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点. 答案 C5.(2017·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34 B.y ＝－12 C.y ＝－32D.y ＝－14解析圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12. 故选B. 答案 B 二、填空题6.(2016·全国Ⅲ卷) 已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0，23). 过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，得x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.答案 47.(2017·兰州月考)点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________. 解析把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝（4＋2）2＋（2＋1）2＝3 5. 所以，|PQ |的最小值是35－5. 答案 35－58.(2017·贵阳一模)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________.解析设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1.要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离.设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |＝|PM |2－1≥（22）2－1＝7. 答案7三、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM→·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1，由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.10.已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. (1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长.法一 (1)证明由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，（x －1）2＋（y ＋1）2＝12，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0，因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点. (2)解设直线与圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝28－4k ＋11k 21＋k 2＝211－4k ＋31＋k 2，令t ＝4k ＋31＋k2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27.法二(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝5<23＝R，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C 内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝27，即直线l被圆C截得的最短弦长为27.11.(2017·衡水中学月考)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为()A.1B.3C.19 D.49解析x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则a2＋（2b）2＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以1a2＋1b2＝⎝⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2⎝⎛⎭⎪⎫a2＋4b29＝19⎝⎛⎭⎪⎫5＋a2b2＋4b2a2≥19⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a2b2·4b2a2＝1，当且仅当a2b2＝4b2a2，即a＝±2b时取等号.答案 A12.(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.－53或－35 B.－32或－23C.－54或－45 D.－43或－34解析由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D. 答案 D13.已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP→＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________.解析曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2，0]，对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6， ∴m ＝6＋x P2∈[2，3]. 答案 [2，3]14.(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方. (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设圆心C (a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍).所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立.。