浙江省嘉兴市2014届高三4月第二次模拟考试数学(理)试题(纯word版)
2014年全国高考浙江省数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm yx 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大EA值 。
2014年浙江省高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年浙江省普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm24．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．2106．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞97．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2 9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．2014年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁U A．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={2}，故选：B．【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．6．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，故选：C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．7．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确．故选：D．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．【解答】解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=．故选：A．【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1【分析】根据记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是6．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．故答案为：6．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以．故答案为：【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[] ．【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1．∴实数a的取值范围是．解法二：令z=ax+y，当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1≤a≤；当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）综上所述即：1≤a≤；故答案为：．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）．【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张．【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【分析】画出函数f（x）的图象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．当a＜0时，f（a）=a2+a=（a+）2﹣≥﹣2恒成立；当a≥0时，f（a）=﹣a2≥﹣2，即a2≤2，解得0≤a≤，则实数a的取值范围是a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设B P′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=．若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得，即可得出．（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意得，，∴，化为，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），得，即，∴；（2）由，利用正弦定理可得，得，由a＜c，得A＜C，从而，故，∴．【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，，∴q＞0，∴q=2．由题意知a n＞0∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，设直线l1的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l1的距离d=，整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，此时点P的横坐标为﹣，代入y=kx+m得点P的纵坐标为﹣k•+m=，∴点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故m＞0，故m=，故点P的坐标为P（，）．（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，则[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+3|x﹣a|=，∴f′（x）=，①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，∴M（a）﹣m（a）=8；②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，∴M（a）﹣m（a）=4；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，∵[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，由（Ⅰ）知，①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，令t（a）=﹣2﹣a3+3a，则t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，∴﹣2≤3a+b≤0；③＜a＜1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．。
2014级高三二诊数学(理)参考答案及评分意见
( 一㊁ 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分) １． D; ２． A; ３． B; ４． A; ５． D; ; ; ; ; ７． B ８． C ９． D １ ０． C １ １． D; ) 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９ 分 ０ ( 二㊁ 填空题 : 每小题 ５ 分 , 共２ ０ 分) ２ n １ ３． ㊀㊀１ ４． ３ ２． ８; ㊀㊀１ ５． ４; ㊀㊀１ ６． ． －２; n ＋１ ( 三㊁ 解答题 : 共７ ０ 分) B E C E ( 解: 在 әB 据正弦定理 , 有 １ ７． Ⅰ) E C 中, ． ＝ s i n øB C E s i n B ２ π , ȵ øB ＝ B E ＝１, C E＝ ７, ３ ３ B E ������s i n B ２ ２ １ ʑ s i n øB C E＝ ． ＝ ＝ C E １ ４ ７ ( 由平面几何知识 , 可知 øD Ⅱ) E A ＝ øB C E． π 在R t әA E D中, ȵ øA ＝ , A E ＝５, ２ ３ ５７ ２ ʑc o s øD E A ＝ １－s i n øD E A ＝ １－ ＝ ． ２ ８ １ ４ 第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６ ０ 分) ６． C; １ ２． A．
ɡ ɡ ɡ
C D２ ＝ C E２ ＋D E２ －２ C E������D E������ c o s øC E D ＝ ７＋２ ８－２ˑ ７ ˑ２ ７ ˑ ( －
当 x ＝５ ７ ０时, ３ˑ５ ７ ０＋４ ３ ３． ２＝６ ０ ４． ２． y ＝０．
������������������������１ ０分
高三数学 ( 理科 ) 二诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) １ 页(
������������������������１ 特征量 y 的估计值为 ６ ʑ 当 x ＝５ ７ ０时, ０ ４． ２． ２分 ( 解: 如图 , 作 GM ʊ C 交B 连接 MF ． １ ９． Ⅰ) D, C 于点 M , 作 BH ʊ AD , 交 GM 于 N , 交D C 于H． ȵE F ʊC D ,ʑGM ʊ E F． ʑGN ＝A B ＝３, HC ＝９． ȵA B ʊ GM ʊ D C, NM BM A G ２ ʑ ＝ ＝ ＝ ． HC B C AD ３ ʑNM ＝６． ʑGM ＝GN ＋ NM ＝９． ������������������������４ 分 ʑGM ������E F． ʑ 四边形 GMF E 为平行四边形 ． ʑG E ʊ MF ． 又 MF ⊂ 平面 B C F, G E ⊄ 平面 B C F, ������������������������６ 分 ʑG E ʊ 平面 B C F． ( Ⅱ )ȵ 平面 AD E ʅ 平面 C D E F, AD ʅ D E, AD ⊂ 平面 AD E, ʑAD ʅ 平面 C D E F． 以 D 为坐标原点 , D C 为x 轴 , D E 为y 轴 , DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系D x z． y ʑ E (０, ４, ０) , F (９, ４, ０) , C (１ ２, ０, ０) , B (３, ０, ４ ３) ． ң ң , , , ( ) ʑE F ＝ ９００ E B ＝ (３, ４ ３) ． －４, 设平面 E B F 的法向量n１ ＝ (x１ , z１ ) ． y１ , ң x１ ＝０ n ������E F ＝０, ９ 由 １ 得 ． ң ３ x１ －４ z１ ＝０ ������ y１ ＋４ ３ n１ E B ＝０ ������������������������８ 分 取 y１ ＝ ３ , 得 n１ ＝ (０,３, １) ． ң ң 同理 , F C ＝ (３, ０) , F B ＝ ( －６, －４, ４ ３) ． －４, , ) 设平面 B C F 的法向量n２ ＝ ( x２ , z ． y２ ２ ң ３ x ４ ������ － ＝０ ２ ２ y n F C ＝０, 由 ２ 得 ． ң x２ －４ z２ ＝０ －６ y２ ＋４ ３ n２ ������F B ＝０ ������������������������１ 取 x２ ＝４, 得 n２ ＝ (４, ０分 ３, ３ ３) ． n１ ������ n２ ０ˑ４＋ ３ ˑ３＋１ˑ３ ３ ６３ ３ ３ ９ ʑ c o s＜ n１ , n２ ＞＝ ． ＝ ＝ ＝ n１ | n２ | ２ ６ | | ２ˑ １ ６＋９＋２ ７ ２ˑ２ １ ３ ������������������������１ １分 ȵ 二面角 E －B F －C 为钝二面角 ,
2014届嘉兴一模理科数学
2014届嘉兴一模理科数学（20140308）第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合A={x|x 2－2x<0}，B={x|x≤－1，或x>1}，则A∩(C R B)＝A.{x|0<x<1}B. {x|1≤x<2}C. {x|0<x≤1}D. {x|1<x<2} 2、若复数z 满足(1+i)z=2－i ，则|z+i|=A.12C.23、为了得到函数y=2sinxcosx 的图象，可以将函数y=2sin2x 的图象A. 向右平移6π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度D 向左平移3π个单位长度4、已知等比数列{an }的前n 项和为S n ，则下列一定 成立的是A.若a 3>0，则a 2013<0B. 若a 4>0，则a 2014<0C. 若a 3>0，则S 2013>0D. 若a 4>0，则S 2014>0 5、某程序框图如图，则该程序运行后输出的值为A.6B.7C.8D.96、对任意实数x ，若[x]表示不超过x 的最大整数， 则“|x －y|<1”是“[x]=[y]”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7、在直角△ABC 中，∠BCA=90°，CA ＝CB=1，P 为AB 边上的点且AP AB λ= ， 若CP AB PA PB ⋅≥⋅，则λ的取值范围是A. 1[,1]2B.C. 1[2D.8、如图1，在等腰△ABC 中，∠A=90°，BC=6，D,E 分别是AC,AB 上的点，O 为BC 的中点。
将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A′－BCDE 。
若A′O ⊥平面BCDE ，则A′D 与平面A′BC 所成角的正弦值等于9、离心率为12的椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线C2的离心率等于A.B.C.10、对非零实数x,y,z，定义运算“⊕”满足：（1）x⊕x=1；（2）x⊕ (y⊕ z)=(x⊕ y)z。
浙江省嘉兴市2014届高三4月第二次模拟考试 理科数学试题(扫描版)
2014年高三教学测试（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．A；2．A；3．D；4．B；5．C；6．D；7．A；8．D；9．B；10．C．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确；考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.第10题提示： 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域（包含边界）． 因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ． ),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．10； 12．512；13．138+（或6562）； 14．38； 15．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14． 第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆,由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切,B AC DE FP 0⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交, 且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.三、解答题（本大题共5小题，共72分）18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且AC a b sin 2sin =． （Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．（Ⅰ）（本小题7分） 由正弦定理，得AC A B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ． ∴ 6π=B （65π=B 舍）． （Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2．又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾． 所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =． 所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ， 即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点． （Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小．19．（Ⅰ）（本小题7分）当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ．∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥．∴⊥CD 平面PAD ．又⊂AE 平面PAD ，∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点，∴AE PD ⊥．∴⊥AE 平面PCD ．（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ，)0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ． ∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ．设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=n ． 又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=m ．设二面角A CD P --的平面角为α， 则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=⋅=θθαn m要使α最小，则αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ， ∴ 21cos =θ，得3πθ=（第19题）20．（本题满分14分）有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．20．（Ⅰ）（本小题6分）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ． （Ⅱ）（本小题8分）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ． ②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ． ③1272452451)1(=--==ξP ．所以ξ的分布列为ξ0 1 2P245127245ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ．21．（本题满分15分）如图，设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．（Ⅰ）（本小题6分） 由四边形ABCD 是菱形， 得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a b b a 22222，解得33=a ，31=b ， 所以椭圆方程为19322=+yx ．（Ⅱ）（本小题9分） 不妨设),(2b t t P +（0≠t ）， 因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22． 又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =．（第21题）所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ． 所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ， 所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(．22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（Ⅰ）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OBOA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围．22．（Ⅰ）（本小题6分）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ， ∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ．∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ， ∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ． （Ⅱ）（本小题8分）)2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x ax x x g ． 要使)(x g 存在两个极值点，则0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根．令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ．由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=aa a 42ln+-=a aa ． 令42ln )(+-=x xx x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln )('<=xx q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442ln2<+-<a aa ． 故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．。
2014年高考浙江理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學（理科）第Ⅰ卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出の四個選項中，只有一項符合題目要求． （1）【2014年浙江，理1，5分】設全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，則U A =ð（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{5} （D ）{2,5} 【答案】B【解析】2{|5}{|A x N x x N x =∈≥=∈，{|2{2}U C A x N x =∈≤=，故選B ． 【點評】本題主要考查全集、補集の定義，求集合の補集，屬於基礎題． （2）【2014年浙江，理2，5分】已知i 是虛數單位，,a b R ∈，則“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”の（ ）（A ）充分不必要條件 （B ）必要不充分條件 （C ）充分必要條件 （D ）既不充分也不必要條件 【答案】A【解析】當1a b ==時，22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2(i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=，則22022a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩，故選A ．【點評】本題考查の知識點是充要條件の定義，複數の運算，難度不大，屬於基礎題．（3）【2014年浙江，理3，5分】某幾何體の三視圖（單位：cm ）如圖所示，則此幾何體の表面積是（ ） （A ）902cm （B ）1292cm （C ）1322cm （D ）1382cm【答案】D【解析】由三視圖可知直觀圖左邊一個橫放の三棱柱右側一個長方體，故幾何體の表面積為：1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故選D ．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體の表面積，根據三視圖判斷幾何體の形狀及數據所對應の幾何量是解題の關鍵．（4）【2014年浙江，理4，5分】為了得到函數sin 3cos3y x x =+の圖像，可以將函數y x の圖像（ ）（A ）向右平移4π個單位 （B ）向左平移4π個單位 （C ）向右平移12π個單位 （D ）向左平移12π個單位【答案】C【解析】sin3cos3))]412y x x x x ππ=+=+=+，而2s i n (32y x x π=+)]6x π+，由3()3()612x x ππ+→+，即12x x π→-，故只需將y x の圖象向右平移12π個單位，故選C ．【點評】本題考查兩角和與差の三角函數以及三角函數の平移變換の應用，基本知識の考查． （5）【2014年浙江，理5，5分】在64(1)(1)x y ++の展開式中,記m n x y 項の系數(,)f m n ，則(3,0)(2,1)(1,2)f f f f +++=（ ） （A ）45 （B ）60 （C ）120 （D ）210 【答案】C 【解析】令x y =，由題意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即為10(1)x +展開式中3x の系數，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故選C ．【點評】本題考查二項式定理系數の性質，二項式定理の應用，考查計算能力． （6）【2014年浙江，理6，5分】已知函數32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ） （A ）3c ≤ （B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c >【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故選C ．【點評】本題考查方程組の解法及不等式の解法，屬於基礎題． （7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐標系中，函數()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =の圖像可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】D【解析】函數()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =分別の冪函數與對數函數答案A 中沒有冪函數の圖像, 不符合；答案B 中，()(0)a f x x x =≥中1a >，()log a g x x =中01a <<，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >，不符合；答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<，符合，故選D ．【點評】本題考查の知識點是函數の圖象，熟練掌握對數函數和冪函數の圖象和性質，是解答の關鍵．（8）【2014年浙江，理8，5分】記,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y ≥⎧=⎨<⎩，設,a b 為平面向量，則（ ）（A ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ （B ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ （C ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ （D ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+【答案】D【解析】由向量運算の平行四邊形法可知min{||,||}a b a b +-與min{||,||}a b の大小不確定，平行四邊形法可知max{||,||}a b a b +-所對の角大於或等於90︒ ，由餘弦定理知2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+，（或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+），故選D ．【點評】本題在處理時要結合著向量加減法の幾何意義，將a ，b ，a b +，a b -放在同一個平行四邊形中進行比較判斷，在具體解題時，本題采用了排除法，對錯誤選項進行舉反例說明，這是高考中做選擇題の常用方法，也不失為一種快速有效の方法，在高考選擇題の處理上，未必每一題都要寫出具體解答步驟，針對選擇題の特點，有時“排除法”，“確定法”，“特殊值”代入法等也許是一種更快速，更有效の方法．（9）【2014年浙江，理9，5分】已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m 個紅球和n 個籃球(3,3)m n ≥≥，從乙盒中隨機抽取(1,2)i i =個球放入甲盒中．（a ）放入i 個球後，甲盒中含有紅球の個數記為(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 個球後，從甲盒中取1個球是紅球の概率記為(1,2)i p i =．則（ ）（A ）1212,()()p p E E ξξ><（B ）1212,()()p p E E ξξ<>（C ）1212,()()p p E E ξξ>>（D ）1212,()()p p E E ξξ<< 【答案】A【解析】解法一：11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ，211222221233n m n m m n m n m nC C C C p C C C +++=++=223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-，∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++-，故12p p >． 又∵1(1)n P m n ξ==+，1(2)m P m n ξ==+，∴12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++，又222(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-，11222(2)()(1)n m m n C C mnP C m n m n ξ+===++-，222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m nm n ++=(1)0()(1)m m mn m n m n -+>++-，所以21()()E E ξξ>，故選A ． 解法二：在解法一中取3m n ==，計算後再比較，故選A ．【點評】正確理解()1,2i i ξ=の含義是解決本題の關鍵．此題也可以采用特殊值法，不妨令3m n ==，也可以很快求解．（10）【2014年浙江，理10，5分】設函數21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i ia =，0,1,2i =，,99，記10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1,2,3k =，則（ ） （A ）123I I I << （B ）213I I I << （C ）132I I I << （D ）321I I I << 【答案】B【解析】解法一：由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2111352991199()199999999999999I ⨯-=++++==，由2211199(21)22||999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2150(980)98100221992999999I +=⨯⨯⨯=<⨯， 3110219998(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)3999999999999I ππππππ=-+-++-=12574[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->，故213I I I <<，故選B ． 解法二：估算法：k I の幾何意義為將區間[0,1]等分為99個小區間，每個小區間の端點の函數值之差の絕對值之和．如圖為將函數21()f x x =の區間[0,1]等分為4個小區間の情形，因1()f x 在[0,1]上遞增，此時110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344A H A H A H A H +++(1)(0)f f =-1=，同理對題中給出の1I ，同樣有11I =；而2I 略小於1212⨯=，3I 略小於14433⨯=，所以估算得213I I I <<，故選B ．【點評】本題主要考查了函數の性質，關鍵是求出這三個數與1の關系，屬於難題．第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．（11）【2014年浙江，理11，5分】若某程序框圖如圖所示，當輸入50時，則該程序運算後輸出の結果是 ． 【答案】6【解析】第一次運行結果1,2S i ==；第二次運行結果4,3S i ==；第三次運行結果11,4S i ==；第四次運行結果26,5S i ==；第五次運行結果57,6S i ==；此時5750S =>，∴輸出6i =．【點評】本題考查了直到型循環結構の程序框圖，根據框圖の流程模擬運行程序是解答此類問題の常用方法．（12）【2014年浙江，理12，5分】隨機變量ξの取值為0,1,2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，則()D ξ= ． 【答案】25 【解析】設1ξ=時の概率為p ，ξの分布列為： 由11()012(1)155E p p ξ=⨯+⨯+⨯--= ，解得35p =ξの分布列為即為故2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．【點評】本題綜合考查了分布列の性質以及期望、方差の計算公式．（13）【2014年浙江，理13，5分】當實數,x y 滿足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩時，14ax y ≤+≤恒成立，則實數a の取值範圍是 __．【答案】3[1,]2【解析】解法一：作出不等式組240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示の區域如圖，由14ax y ≤+≤恒成立，故3(1,0),(2,1),(1,)2A B C ，三點坐標代入14ax y ≤+≤，均成立得1412143142a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩解得312a ≤≤ ，∴實數a の取值範圍是3[1,]2．解法二：作出不等式組240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示の區域如圖，由14ax y ≤+≤得，由圖分析可知，0a ≥且在(1,0)A 點取得最小值，在(2,1)B 取得最大值，故1214a a ≥⎧⎨+≤⎩，得312a ≤≤，故實數a の取值範圍是3[1,]2．【點評】本題考查線性規劃，考查了數形結合の解題思想方法，考查了數學轉化思想方法，訓練了不等式組得解法，是中檔題．（14）【2014年浙江，理14，5分】在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其餘5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同の獲獎情況有 種（用數字作答）． 【答案】60【解析】解法一：不同の獲獎分兩種，一是有一人獲兩張獎券，一人獲一張獎券，共有223436C A =， 二是有三人各獲得一張獎券，共有3424A =，因此不同の獲獎情況共有362460+=種． 解法二：將一、二、三等獎各1張分給4個人有3464=種分法，其中三張獎券都分給一個人の有4種分法， 因此不同の獲獎情況共有64460-=種．【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題，考查學生の計算能力，屬於基礎題．（15）【2014年浙江，理15，5分】設函數22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，則實數a の取值範圍是 ．【答案】(-∞．【解析】由題意2()0()()2f a f a f a <⎧⎨+≤⎩或2()0()2f a f a ≥⎧⎨-≤⎩，解得()2f a ≥-∴當202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得a【點評】本題主要考查分段函數の應用，其它不等式の解法，體現了數形結合の數學思想，屬於中檔題．（16）【2014年浙江，理16，5分】設直線30x y m -+=(0m ≠) 與雙曲線22221x y a b-=（0,0a b >>）兩條漸近線分別交於點A ，B ．若點(,0)P m 滿足||||PA PB =，則該雙曲線の離心率是 ．【解析】解法一：由雙曲線の方程可知，它の漸近線方程為b y x a =和by x a =-，分別與直線l ： 30x y m -+= 聯立方程組，解得，(,)33am bm A a b a b ----，(,)33am bmB a b a b -++，設AB 中點為Q ，由||||PA PB = 得，則3333(,)22am am bm bma b a b a b a b Q ---++-+-+，即2222223(,)99a m b m Q a b a b ----，PQ 與已知直線垂直，∴1PQ l k k =-，即222222319139b m a b a m m a b --=----， 即得2228a b =，即22228()a c a =-，即2254c a =，所以c e a ==．解法二：不妨設1a =，漸近線方程為222201x y b -=即2220b x y -=，由222030b x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩消去x ，得2222(91)60b y b my b m --+=，設AB 中點為00(,)Q x y ，由韋達定理得：202391b m y b =-……① ，又003x y m =-，由1P Q l k k =-得00113y x m =--，即得0011323y y m =--得035y m =代入①得2233915b m m b =-， 得214b =，所以22215144c a b =+=+=，所以c =，得c e c a ===．【點評】本題考查雙曲線の離心率，考查直線の位置關系，考查學生の計算能力，屬於中檔題． （17）【2014年浙江，理17，5分】如圖，某人在垂直於水平地面ABC の牆面前の點A 處進行射擊訓練．已知點A 到牆面の距離為AB ，某目標點P 沿牆面上の射擊線CM 移動，此人為了准確瞄准目標點P ，需計算由點A 觀察點P の仰角θの大小．若15AB m =，25AC m =，30∠︒，則tan θの最大值是 （仰角θ為直線AP 與平面ABC 所成角）．2320225x x -+2320032250-+''，設B P 2320225x x ++22545204<=355339=，2320225x x -+2320225x x -+20)，23225'(x)(225)f x ++454=- 時20時'0y <203445225(++ 15201225AB BC AC ==，20tan 30DB BC ︒=203533DB ===【點評】屬於中檔題． 三、解答題：本大題共5題，共72分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（18解：（即A B +=，所以C =．（2c 得A C <，從而3cos A =，，所以，ABC ∆（19）【2014年浙江，理19，14分】已知數列{}n a 和{}n b 滿足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈．若{}n a 為等比數列，且1322,6a b b ==+．（1）求n a 與n b ；（2）設11(*)n n n c n N a b =-∈．記數列{}n c の前n 項和為n S ．（ⅰ）求n S ；（ⅱ）求正整數k ，使得對任意*n N ∈均有S S ≥．解：（1(2)(3(2)n a a =N ）． （2n c ++=111(22n n ++-1(12n ++--=1112n n -+20>，3c 55(51)12+<，4n S ≥，故【點評】本題考查了等比數列通項公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項求和法和猜想證明の思想，證明可以用二項式定理，還可以用數學歸納法．本題計算量較大，思維層次高，要求學生有較高の分析問題解決問題の能力．本題屬於難題．（20）【2014年浙江，理20，15分】如圖，在四棱錐A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，AC =（1）證明：DE ⊥平面ACD ；（解：（1（2BF GF=の原點，分別以射線DE所示．由題意知各點坐標如下：(0,2,0)，(0,2,Aの法向量為111(,m x y=222(,,)n x y z=，可算得：(0,2)AD=-，(1,2,AE=-，(1,1,0)DB=，由ADm AE=⎨=⎪⎩，即1111122020y zx y⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，可取(0,1,m=-，由n ADn BD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222220y zx y⎧--=⎪⎨+=⎪⎩可取(0,n=-，於是|||cos,|||||3m nm nm n⋅<>===⋅⋅運算求解能力．（21）【2014年浙江，理21，15分】如圖，設橢圓C:22221(0)x ya ba b+=>>動直線l與橢圓C 只有一個公共點P，且點P在第一象限．（1）已知直線lの斜率為k，用,,a b k表示點Pの坐標；（2）若過原點Oの直線1l與l垂直，證明：點P到直線1lの距離の最大值為a b-．解：（1''1P l k =-，得,b （2幾何の基本思想方法、基本不等式應用等綜合解題能力．（22）【2014年浙江，理22，14分】已知函數()33()f x x x a a R =+-∈．（1）若()f x 在[]1,1-上の最大值和最小值分別記為(),()M a m a ，求()()M a m a -； （2）設,b R ∈若()24f x b +≤⎡⎤對[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +の取值範圍．解：（1（2。
数学_2014年浙江省高考数学二模试卷(提优卷)(理科)(含答案)
2014年浙江省高考数学二模试卷（提优卷）（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足：(1−2i)z =(1+i)2，则z 的值是（ ）A −45+25iB −25+35iC 45−25iD 25−35i 2. 设集合M ={x|1<x ≤2}，N ={x|x ≤a}，若M ∩(∁R N)=M ，则a 的取值范围是（ ）A (−∞, 1)B (−∞, 1]C [1, +∞)D (2, +∞)3. 设x 为非零实数，则p:|x +1x |>2是q:|x|>1成立的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A 2B −2C 3D −35. 李先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，途中（不绕行）共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为16，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值Eξ是（ ）A 16B 1C 6×(56)6D 6×(16)6 6. 如果函数y =|cos(π4+ax)|的图象关于直线x =π对称，则正实数a 的最小值是（ ）A a =14B a =12C a =34D a =1 7. 已知函数y =f(x)在R 上为偶函数，当x ≥0时，f(x)=log 3(x +1)，若f(t)>f(2−t)，则实数t 的取值范围是（ ）A (−∞, 1)B (1, +∞)C (23, 2)D (2, +∞)8. 已知双曲线C 的方程是：x 22m−m 2−y 2m =1(m ≠0)，若双曲线的离心率e >√2，则实数m 的取值范围是（ ）A 1<m <2．B m <0C m <0或m >1D m <0或1<m <2．9. 在△ABC 中，已知AB →⋅AC →=4，|BC →|=3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →⋅AN →的值是( )A 5B 214C 6D 8 10. 正四面体ABCD ，线段AB // 平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（ ）A [0, √22]B [√22, 1]C [12, 1]D [12, √22]二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 设(1−2x )4=a 0+a 1(1x )+a 2(1x )2+a 3(1x )3+a 4(1x )4，则a 2+a 4的值是________． 12. 设变量x ，y 满足约束条件{y −a ≥0x −5y +10≥0x +y −8≤0，且目标函数z =2x −5y 的最小值是−10，则a 的值是________．13. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3．14. 在数列{a n }中，a 1=3，(a n+1−2)(a n −2)=2(n ∈N ∗)，则该数列的前2014项的和是________．15. 若实数x ，y 满足：3x +4y =12，则x 2+y 2+2x 的最小值是________．16. 将编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片，放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放入一张卡片，则编号为3与6的卡片恰在同一个盒子中的不同放法共有________．17. 已知函数f(x)={e x −1，x ≥0−x 2−2x ，x <0，若关于x 的方程f(x)=|x −a|有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．18. 设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60∘，b +c =3√2．（1）求三角形ABC 的面积；（2）求sinB +sinC 的值及△ABC 中内角B ，C 的大小．19. 在数列{a n }中，a 1=255，11+a n+1−11+a n =1256(n ∈N ∗)， （1）求数列{a n }的通项公式（2）设b k =ka 2k (k ∈N ∗)，记数列{b k }的前k 项和为B k ，求B k 的最大值．20. 如图，△ABC在平面α内，∠ACB=90∘，AB=2BC=2，P为平面α外一个动点，且PC=√3，∠PBC=60∘（1）问当PA的长为多少时，AC⊥PB．（2）当△PAB的面积取得最大值时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．21. 设椭圆C1:x25+y2=1的右焦点为F，P为椭圆上的一个动点．（1）求线段PF的中点M的轨迹C2的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C1相交于点A、D，与曲线C2顺次相交于点B、C，当|AB|=|FC|−|FB|时，求直线l的方程．22. 已知函数f(x)=e x−2x，g(x)=x2+m(m∈R)（I）对于函数y=f(x)中的任意实数x，在y=g(x)上总存在实数x0，使得g(x0)<f(x)成立，求实数m的取值范围（II）设函数ℎ(x)=af(x)−g(x)，当a在区间[1, 2]内变化时，（1）求函数y=ℎ′(x)x∈[0, ln2]的取值范围；（2）若函数y=ℎ(x)，x∈[0, 3]有零点，求实数m的最大值．2014年浙江省高考数学二模试卷（提优卷）（理科）答案1. A2. B3. B4. C5. B6. A7. B8. D9. C10. B11. 4012. 213. 32314. 704915. 816. 240种17. (−94，0)∪(0,14)18. 解：（1）∵ a=3，A=60∘，b+c=3√2，∴ 由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，即9=18−3bc，∴ bc=3，则S △ABC =12bcsinA =32×√32=3√34； （2）∵ a =3，A =π3， ∴ 由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC 得：b+c sinB+sinC =a sinA =√32=2√3， ∵ b +c =3√2，∴ sinB +sinC =√22√3=√62， ∵ B +C =120∘，即B =120∘−C ，∴ sinB +sinC =sin(120∘−C)+sinC =√32cosC +12sinC +sinC =√32cosC +32sinC =√3sin(C +30∘)=√62，即sin(C +30∘)=√22， ∴ C +30∘=45∘或135∘，即C =15∘或C =105∘，则B =105∘，C =15∘或B =15∘，C =105∘．19. 解：（1）设c n =a n +1，则数列{1c n }是一个等差数列， 又1c 1=1256，d =1256． ∴1c n =1256+1256(n −1) =n 256∴ c n =256n∴ a n =c n −1=256n −1．（2）由（1）得b n =n ⋅a 2n =256n2n −n∵ 当n ≤256时，a n ≥0，由2k ≤256，得k ≤8∴ 数列{b k }的前8项和B 8最大．又B 8=256×(12+222+323+⋯+828)−(1+2+3+⋯+8)令T 8=12+222+323+⋯+828由错位相减法可求得T 8=2−5×(12)7 ∴ B 8=256×[2−5(12)7]−36=466．∴ B k 的最大值为466．20.解：（1）∵ ∠ACB =90∘，∴ AC ⊥BC ，当AC ⊥PC 时，AC ⊥平面PBC ，而PB ⊂平面PBC AC ⊥PB 时，PA =√AC 2+PC 2=√3+3=√6，即当PA =√6时，AC ⊥PB ．（2）在△PBC 中，∵ PC =√3，∠PBC =60∘，BC =1，∴ BC ⊥PC ，PB =2．当△PAB 的面积取得最大值时，∠PBA =90∘， 如图，在Rt △PBA 中，∵ BP =BA =2，∴ BD =√2，又在Rt △BCD 中，∵ BC =1，∴ CD =1，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，由于PA ⊥平面BCD ，∴ 平面BCD ⊥平面PBA ，由两个平面互相垂直的性质可知：CE ⊥平面PBA ， ∴ ∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角，在Rt △BCD 中，CE =BC⋅CDBD =1×1√2=√22， 在Rt △PEC 中，sin∠CPE =CE PC =√22÷√3=√66， ∴ 直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值是√66．21. 解：（1）设点M(x, y)，F(2, 0)，故P 点的坐标为(2x −2, 2y)， 代入椭圆方程得：(2x−2)25+(2y)2=1，即线段PF 的中点M 的轨迹C 2的方程为：4(x−1)25+4y 2=1； （2）设直线l 的方程为：x =my +2，解方程组{x =my +2x 25+y 2=1⇒(m 2+5)y 2+4my −1=0，△1=16m 2+4(m 2+5)=20m 2+20，当m >0时，则y A =−4m+2√5√m 2+12(m 2+5)， 解方程组{x =my +24(x−1)25+4y 2=1⇒4(m 2+5)y 2+8my −1=0，△2=64m 2+4(4m 2+20)=80m 2+80，|y c |=8m+4√5√m 2+12(4m 2+20)， 由题设|AB|=|FC|−|FB|，可得|AF|=|FC|，有|y A |=|y C |，所以−4m+2√5√m 2+12(m 2+5)=8m+4√5√m 2+12(4m 2+20)，即6m =√5√m 2+1(m >0)， 由此解得：m =√531，故符合题设条件的其中一条直线的斜率k=1m =√1555；当m<0时，同理可求得另一条直线方程的斜率k=−√1555，故所求直线l的方程是y=±√1555(x−2)．22. 解(I)原命题可化为[g(x)]min<[f(x)]min，令f′(x)=e x−2=0，得x=ln2．当x>ln2时，f′(x)>0；当x<ln2时，f′(x)<0，故当x=ln2时，y=f(x)取得极（最）小值，其最小值为2−2ln2；而函数y=g(x)的最小值为m，故当m<2−2ln2时，结论成立(II)(1)∵ 由ℎ(x)=a(e x−2x)−x2−m，∴ 可得ℎ′(x)=a(e x−2)−2x，将ℎ′(x)看作关于a的一次函数：当x∈[0, ln2]时，e x−2<0，因为a∈[1, 2]，故2(e x−2)−2x≤ℎ′(x)≤(e x−2)−2x，令M(x)=2(e x−2)−2x，x∈[0, ln2]，则M′(x)=2e x−2>0，M(x)在x∈[0, ln2]为增函数，故ℎ′(x)在x∈[0, ln2]最小值为M(0)=−2，又令N(x)=(e x−2)−2x，同样可求得N(x)在x∈[0, ln2]的最大值N(0)=−1，故函数y=ℎ′(x)在x∈[0, ln2]的值域为[−2, −1](II)(2)由（1）可知x∈[0, ln2]时，y=ℎ′(x)<0，故∀a∈[1, 2]，ℎ(x)在x∈[0, ln2]均为单调递减函数，故函数ℎ(x)max=ℎ(0)=a−m；当x∈[ln2, 3]时，∵ e x−2>0，a∈[1, 2]，∴ ℎ′(x)的值在区间[(e x−2)−2x, 2(e x−2)−2x]上变化，此时，对于函数M(x)=2(e x−2)−2x，存在x0∈[ln2, 3]，M(x)在x∈[ln2, x0]单调递减，在x∈[x0, 3]单调递增，∴ ℎ(x)在x∈[ln2, 3]的最大值为ℎ(3)=a(e3−6)−9−m，∵ a∈[1, 2]，ℎ(3)−ℎ(0)=a(e3−7)−9>0，∴ ℎ(3)>ℎ(0)，因此ℎ(x)的最大值是ℎ(3)=a(e3−6)−9−m，故当函数y=ℎ(x)有零点时，a(e3−6)−9−m≥0∵ a∈[1, 2]，m≤2(e3−6)−9，∴ 实数m的最大值是m=2(e3−6)−9=2e3−21．。
2014年普通高等学校全国统一招生考试模拟卷(4)理科数学(浙江)
2014年普通高等学校全国统一招生考试模拟卷(四)理科数学(浙江)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项：1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．cos(－1 530°)的值是 A ．0 B ．22 C ．－22 D ．－322．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷三次，设X 为正面向上的次数，则X 小于3的概率A ．14B ．12C ．18D ．783．右图是函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g(x)＝lnx ＋f ′(x)的零点所在的区间是A ．(14，12) B ．(1,2) C ．(12，1) D ．(2,3)4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 1＝1，S 19＝95，计算a 19的值为 A ．4 B ．9 C ．15 D ．165．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x| (x ＜0)x －1－1 (x>0)，计算f(f(2))的值为A ．2B ．－ln2C ．－2D ．－0.69 6．(3x －1)6的展开式中x 2的系数为A ．15B ．135C ．120D ．240 7．右边的程序框图中，若输出的S 值是16，那么在程序框图中，判断框内应填写的条件是A ．i ＞5?B ．i ＞6?C ．i ＜5?D ．i ＜6?8．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．设m ＝||CE|－|EB||，若PE ⊥AF ，则m 的取值范围是A ．{3}B ．{1，3，0}C ．[0，3]D ．R 9．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0，点Q 在曲线y ＋x 2＋1＝0上，那么|PQ|的最小值为A ． 2B ．2C ．118 2D ．2340 510．定义集合A ＝{a ，b ，c ，d}上的二元运算ζ如表所示，如果有一 个元素e ∈A ，对于任意的x ∈A ，都有eζx ＝xζe ＝x ，则称e 为A 关 于运算ζ的幺元．判断A 关于运算ζ的幺元是A ．aB ．bC ．cD ．d第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：1．答题前，考生先在答题纸上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共6页，请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知a 1<a 2<a 3<0，则使得(a i x －2)2<4(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是________． 12．设e 1，e 2是不共线向量，e 1－2e 2与ke 1＋e 2共线，则实数k 的值为________．13．如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，已知每块长方体木块的体积为M(M>0)，此几何体体积为________．14．将函数y ＝tan(ωx ＋π3)(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．15．当x>1时，函数y ＝－x －1x －1的最大值为________．16．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e>32的概率是________．17．若对于定义在R 上的函数f(x)，其函数图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)，使得f(x ＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x 成立，则称f(x)是λ 伴随函数．下列关于λ 伴随函数的叙述中不正确的是________．①f(x)＝0是常数函数中唯一一个λ 伴随函数；②f(x)＝x 2是一个λ 伴随函数；③12 伴随函数至少有一个零点．三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料(如图1)中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD ，其中顶点B 、C 在半径ON 上，顶点A 在半径OM 上，顶点D 在NM 上，∠MON ＝π6，ON ＝OM ＝1.设∠DON ＝θ，矩形ABCD 的面积为S.(1)用含θ的式子表示DC 、OB 的长； (2)试将S 表示为θ的函数，并求S 的最大值．19.(本小题满分14分)已知复数z ＝x ＋yi(x 、y ∈R)．(1)设集合P ＝{－1，－2,0}，Q ＝{0,1,3}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从Q 中随机取一个数作为y ，记ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 z 为纯虚数0 z 为一般虚数－1 z 为实数，求ξ的分布列及数学期望；(2)若复平面上点M(x ，y)的x 、y 值均为[0,3]上的一个随机整数，第一次取x ，第二次取y ，求点M(x ，y)落在|z|≤2所表示图形内的概率．20．(本小题满分14分)如图，已知PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，且BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12CD.(1)求证：PE ⊥平面PBC ； (2)求二面角C －PB －D 的余弦值；(3)在线段PE 上是否存在一点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ；若不存在，说明理由．21.(本小题满分15分)已知在平面直角坐标系中点A(－2,0)，点B(2,0)，动点C 满足AC →⊥BC →，点C 在x 轴上的射影为D ，点P 为线段CD 中点．(1)求动点P 的轨迹l 的方程；(2)若(1)中曲线l 与y 轴正半轴交于E 点，问曲线l 上是否存在一点M ，使得|ME|＝433？若存在，求M 点坐标；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分15分)函数f(x)＝ln(1＋x)－x ＋ax 2.(1)若a ＝1，求f(x)的单调区间及极值；(2)若当x ≥0时，总有f(x)≥0，求a 的取值范围；参考答案及其详细解析1．A 解析：cos(－1 530°)＝cos(1 530°)＝cos(720°＋720°＋90°)＝0，因此选A 项. 2．D 解析：X<3的概率P ＝1－P(X ＝3)＝1－123＝78，选D 项．3．C 解析：由f(x)的图象知使f ′(x)＝0的x ∈(12，1)，在同一个坐标系中作出y ＝lnx 及y ＝－f ′(x)的图象，可得交点横坐标x ∈(12，1)，选C 项．4．B 解析：a 1＝S 1＝1，S 19＝a 1＋a 192×19＝95⇒a 1＋a 192＝5⇒a 19＝10－1＝9，选B 项． 5．B 解析：f(2)＝－12，f(f(2))＝－ln2，选B 项．6．B 解析：(3x －1)6＝(－1＋3x)6⇒T 3＝C 26(－1)4·(3x)2＝135x 2.选B 项． 7．D 解析：根据题中程序框图，可以分析该框图应该是求S ＝1＋∑i ＝1ki ＝1＋k (k ＋1)2的值，而1＋k (k ＋1)2＝16，因此可以得到k ＝5，也就是说i 的最大值为5，因此当i ＝6时便要退出循环，核对四个选项，只有D 项符合要求，因此答案选择D 项．8．C 解析：建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(0，12，12)，D(3，0,0)，设BE ＝x(0≤x ≤3)，则E(x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·(0，12，12)＝0，∴PE ⊥AF.所以m 的取值范围是[0， 3 ]，选C 项．9．D 解析：由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，只要计算点Q 到直线x －2y ＋1＝0的最小距离d.平移直线x －2y ＋1＝0到与抛物线y ＝－x 2－1相切的位置，设方程为x －2y ＋b ＝0，联立，令Δ＝0得b ＝－158，则d ＝|－158－1|5＝23540.10．A 解析：根据题目中幺元的定义结合图表，若e ＝a 时，满足题目要求，因此答案选A 项．(只要看行和列都与原行原列相同就行了，容易得到答案A 项) 11．答案：(4a i，0)解析：(a i x －2)2<4⇒a 2i x 2－4a i x ＋4<4⇒x(a 2i x －4a i )<0⇒4a i<x<0，又a 1<a 2<a 3<0，所以使得(a i x －2)2<4(i ＝1,2,3)都成立的x 取值范围是：4a 1<x<0.12．答案：－12解析：由题意e 1－2e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝kλe 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧kλ＝1λ＝－2∴k ＝－12.13．答案：4M解析：由三视图知，此几何体由4块木块组成．因此体积为4M. 14．答案：5解析：y ＝tan(ωx ＋π3)的图象向左平移π6后，得到y ＝tan[ω·(x ＋π6)＋π3]＝tan(ωx ＋ωπ6＋π3)的图象．所以ωπ6＋π3＝kπ＋π6，k ∈Z ，所以ω＝6k －1，得到其最小值为5.15．答案：－3解析：x>1时，x －1>0.y ＝－(x ＋1x －1)＝－(x －1＋1x －1＋1)≤－3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 16．答案：16解析：e ＝1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a>2b ，符合a>2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况；当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况．总共有6种情况．故概率为636＝16.17．答案：①②解析：①错误，设f(x)＝C 是一个λ 伴随函数，则(1＋λ)C ＝0，显然，当λ＝－1时，C 可以取遍实数集，因此f(x)＝0不是唯一一个常值λ 伴随函数；②错误，用反证法，假设f(x)＝x 2是一个λ 伴随函数，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，即(1＋λ)x 2＋2λx ＋a 2＝0对任意实数x 成立．所以λ＋1＝2λ＝a 2＝0.而此式无解．所以f(x)＝x 2不是一个λ－伴随函数；③正确，若f(x)是12 伴随函数，则f(x ＋12)＋12f(x)＝0(x ∈R)．令x ＝0得f(12)＝－12f(0)，若f(0)＝0，则f(x)有零解，若f(0)≠0，则f(12)与f(0)异号，f(x)在(0，12)上有零点．故③正确．18．解：(1)因为OD ＝1，四边形ABCD 是矩形，所以在Rt △DOC 中，DC ＝OD·sinθ＝sinθ. ----------------------------2分 所以AB ＝DC ＝sinθ.在Rt △AOB 中，OB ＝ABtan π6＝3sinθ.------------------------------------5分(2)在Rt △DOC 中，OC ＝OD·cosθ＝cosθ.所以BC ＝OC －OB ＝cosθ－3sinθ.--------------------------------------7分所以S ＝DC·BC ＝sinθ(cosθ－3sinθ) ＝sinθcosθ－3sin 2θ ＝12sin2θ－32(1－cos2θ) ＝12sin2θ＋32cos2θ－32＝sin(2θ＋π3)－32(0<θ<π6)，-------------------------------------------10分当2θ＝π6即θ＝π12时，S 最大为1－32.-------------------------------14分19．解：(1)当x ＝0时，z 的可能结果为0，i,3i ；---------------------------------1分当x ＝－1时，z 的可能取值为－1，－1＋i ，－1＋3i ；--------------------2分 当x ＝－2时，z 的可能取值为－2，－2＋i ，－2＋3i ；--------------------3分 ξ的可能取值为－1,0,1，P(ξ＝0)＝49，P(ξ＝－1)＝39＝13，P(ξ＝1)＝29，----------------------------------5分因此ξ的分布列为：-----------7分因此Eξ＝－1×13＋0×49＋1×29＝－19. ---------------------------------------9分(2)∵x ，y ∈Z 且x ∈[0,3]∴x 、y ∈{0,1,2,3}共能得A 24个点M 其中坐标满足x 2＋y 2≤4的有5个(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)----------------------------------------------13分 所求概率为5A 24＝512.-----------------------------------------------------------------------14分 20．解：(1)连结DO ，BO ∥CD 且BO ＝CD ，则四边形BODC 是平行四边形，故BC ∥OD ，又BC ⊥AB ，则BO ⊥OD ，因为PO ⊥平面ABCD ，可知OD 、OB 、OP 两两互相垂直，分别以OD 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.----------------------------2分设AO ＝1，则B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(2,0,0)，E(0，－1,1)，P(0,0,2)，则PE →＝(0，－1，－1)，PB →＝(0,2，－2)，BC →＝(2,0,0)．则PE →·PB →＝0，PE →·BC →＝0，故PE ⊥PB ，PE ⊥BC ，又PB ∩BC ＝B ，∴PE ⊥平面PBC.------------------------------------------------------------------------4分(2)由(1)可知，平面PBC 的一个法向量n 1＝PE →＝(0，－1，－1)，设面PBD 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z)，PB →＝(0,2，－2)，BD →＝(2，－2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PB →＝0n 2·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝02x －2y ＝0，取n 2＝(1,1,1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－22·3＝－63， 故二面角C －PB －D 的余弦值为63.----------------------------------------------------8分 (3)存在满足条件的点M.9分由(1)可知，向量 PE →是平面PBC 的一个法向量，若在线段PE 上存在一点M ，使DM∥平面PBC ，设PM →＝λPE →，则DM →＝DP →＋PM →＝(－2,0,2)＋λ(0，－1，－1)＝(－2，－λ，2－λ)，由DM →·PE →＝0，得：λ－(2－λ)＝0，∴λ＝1，即M 点与线段PE 的端点E 重合.--------------------------------------------------------14分 21．解：(1)设动点P(x ，y)，又CD ⊥x 轴， ∴D(x,0)，又P 为CD 中点，∴点C(x,2y)．AC →＝(x ＋2,2y)，BC →＝(x －2,2y)．又AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝0， 即(x ＋2)(x －2)＋(2y)2＝0，即x 2＋4y 2＝44分所以x 2＋4y 2＝4就是动点P 的曲线方程.-----------------------------------------------6分 (2)令x ＝0得y ＝±1，∴E(0,1)． 假设存在满足题设条件的点为M(x ，y)， 则|ME|＝x 2＋(y －1)2＝433，即x 2＋(y －1)2＝163.-----------------------------------9分 又x 2＋4y 2＝4 ① 消去x 2得9y 2＋6y ＋1＝0，∴y ＝－13，---------------------12分代入①得x ＝±423，------------------------------------------------------------------------14分故存在点M(±423，－13)，使得|ME|＝433.--------------------------------------------15分22．解：(1)若a ＝1，f(x)＝ln(1＋x)－x ＋x 2，x>－1， f ′(x)＝11＋x －1＋2x ＝x (2x ＋1)1＋x .令f ′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－12，f ′(x)>0，得－1<x<－12或x>0，f ′(x)<0，得－12<x<0，所以，f(x)的单调递增区间为(－1，－12)和(0，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－12，0)，f(x)在x ＝－12取得极大值点f(－12)＝ln 12＋12＋14＝－ln2＋34，f(x)在x ＝0取得极小值点f(0)＝0. ------------------------------------------------4分 (2)当x ＝0时，f(0)＝0对a ∈R 恒成立； 当x>0时，设g(x)＝ln(1＋x)－x ，则g ′(x)＝11＋x －1<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，因此g(x)<g(0)＝0，所以当a ≤0时f(x)＝ln(1＋x)－x ＋ax 2<0，因此a>0. (i)当a ＝12时，f(x)＝ln(1＋x)－x ＋12x 2，f ′(x)＝11＋x －1＋x ＝x 21＋x>0，因此f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因此f(x)>f(0)＝0.-----------------------------------------------------------------------8分 (ii)当a>12时，f(x)＝ln(1＋x)－x ＋ax 2>ln(1＋x)－x ＋12x 2>0.------------------10分(iii)当0<a<12时，f(12a －1)＝－ln(2a)－12×(2a )＋2a2，构造函数h(x)＝－lnx －12x ＋x2，0<x<1，则h ′(x)＝－1x ＋12x 2＋12＝(x －1)22x 2>0，所以h(x)在0<x<1上单调递增，有h(x)<h(1)＝0，故h(2a)＝f(12a －1)<0，因此0<a<12舍去，--------------------------------------14分综上，满足条件的a 的取值范围是[12，＋∞).---------------------------------------15分。
2014年高考(浙江省)真题数学(理)试题及答案解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c 7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.。
浙江省嘉兴市2014届高三4月第二次模拟考试数学(理)试题(纯word版)
2014年高三教学测试（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{}{22,4A x x B x x x =≤=<，则R A B = ð （ ）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．[]1,1-D ．()0,2 2．已知(),0,a b ∈+∞，则“2ab >”是“22log log 0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，这是计算111124620+++⋅⋅⋅+的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A ．19?i >B ．20?i >C ．20?i <D ．21?i <4．下列函数中既有奇函数，又在区间[]1,1-上单调递增的是（ ） A ．()sin 2f x x = B ．()tan f x x x =+ C ．()3f x x x =-D ．()22x x f x -=+5．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是 （ ） A ．18 B ．24 C ．36 D ．486．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得122130,120PF F PF F ∠=∠= ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2BC1+ D7．已知函数()23,11,0121,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪+<⎩，若数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且()111,3n n a a f a +==，则2014S =（ ）A ．895B ．896C ．897D ．8988．函数()f x 的图像如图，则()f x 的解析式可能是 （ ） A ．()cos 2f x x =B ．()sin 4f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ C ．()3cos 28f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()5sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭9．如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC =90 ，AD ：BC ：AB =2:3:4，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折．给出四个结论： ①DF ⊥BC ；②BD ⊥F C ；③平面DBF ⊥平面BFC ；④平面DCF ⊥平面BFC ．在翻折过程中，可能成立的结论是 （ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④10．若直线1ax by +=与不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则23a b +的取值范围是（ ）A ．()7,1--B ．()3,5-C ．()7,3-D ．R二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知复数z 满足()21z i i -=+（i 是虚数单位），则z =__________． 12．等比数列{}n a 前n 项的乘积为n T ，且2342a a =，则9T =__________．13．若()()8880182121x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+，则02468a a a a a ++++=__________．14．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是_________．15．如图在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC =2，D 、E 是线段BC 上的两点，且13DE BC =，则AD AE ⋅的取值范围是___________．16．焦点为F 的抛物线24y x =上有三点A 、B 、C 满足：①△ABC 的重心是F ；②|F A |、|FB |、|FC |成等差数列．则直线AC 的方程是________________________．17．已知集合()()()()}222,0,,1,2,32a A f x y f x y x a y a a ⎧⎪===-+--=±±±⎨⎪⎩，()(){},0,,1,2,3A g x y g x y x y b b ===+-=±±±，则A 中方程的曲线与B 中方程的曲线的交点个数是_________．三． 解答题: 本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin b C a A= （Ⅰ）若512C π=，求角B 的大小； （Ⅱ）若2,32b C ππ=≤<，求△ABC 面积的最小值． 19． (本题满分14分)如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD //BC ，P A=AB=AD =2BC =2，∠BAD =θ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若60θ= ，求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角P —CD —A 的平面角最小．20． (本题满分14分)有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求P （S ）和P （T ）；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．21． (本题满分15分)如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线2y x b =+．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；∙BA C EP D（第19题）（Ⅱ）若2a =,过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线的取值范围．21． (本题满分15分)已知a R ∈，函数()()()2,ln 2m x x n x a x ==+．（Ⅰ）令()()(),0,0m x x f x n x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()f x 的图像上存在两点Ａ、Ｂ满足OA ⊥OB （O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()()()g x m x n x =+存在两个极值点1x 、2x ，求()()12g x g x +的取值范围．（第21题）2014年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ；7．A ；8．D ；9．B ；10．C ．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立； 考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射 影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确； 考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.第10题提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域（包含边界）．因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ． ),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10； 12．512；13．138+（或6562）； 14．38； BAC DEFP15．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14． 第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切,⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交, 且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ACa b sin 2sin =． （Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．（Ⅰ）（本小题7分）由正弦定理，得ACA B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ．∴ 6π=B （65π=B 舍）．（Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2． 又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾． 所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =． 所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ，即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小． 19．（Ⅰ）（本小题7分） 当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ． ∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ∴⊥CD 平面PAD ． 又⊂AE 平面PAD ， ∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点， ∴AE PD ⊥． ∴⊥AE 平面PCD ．（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ， )0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ．∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ． 设平面PCD 的法向量为),,(z y x =， 则⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=．（第19题）又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=． 设二面角A CD P --的平面角为α， 则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=⋅=θθαn m要使α最小，则αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ，∴ 21cos =θ，得3πθ=20．（本题满分14分）有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．20．（Ⅰ）（本小题6分）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ． （Ⅱ）（本小题8分）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．③1272452451)1(=--==ξP ． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2P245127245ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ．21．（本题满分15分）如图，设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．（Ⅰ）（本小题6分） 由四边形ABCD 是菱形， 得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a b b a 22222，解得33=a ，31=b ，（第21题）所以椭圆方程为19322=+yx ．（Ⅱ）（本小题9分） 不妨设),(2b t t P +（0≠t ）， 因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22． 又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =．所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ． 所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ，所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(．22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（Ⅰ）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OBOA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围．22．（Ⅰ）（本小题6分）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ，第 11 页 共 11 页 ∴0=⋅，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ． ∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ，∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ． （Ⅱ）（本小题8分） )2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x a x x x g ． 要使)(x g 存在两个极值点，则 0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根． 令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ． 由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=a a a 42ln +-=a a a ． 令42ln)(+-=x x x x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln)('<=x x q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442ln 2<+-<a a a ． 故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．。
浙江省嘉兴一中2014届高考适应性练习数学(理)试题
2014届嘉兴一中高三适应性练习数学(理) 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+． 如果事件A ，B 相互独立， 那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n =-=- ．球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径．球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径．棱柱的体积公式Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．棱锥的体积公式Sh V 31=，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=，其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|20}A x x x =->， {|12}B x x =≤<，则A C B ＝（ ） A. (0,1) B. (0,1] C. [0,1]D. (1,2)2．若R a ∈，则1=a 是复数i a a z )1(12++-=是纯虚数的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．2B ．1C ．23 D ．134．为了得到函数sin(2)6y x π=+的图像，只需把函数sin(2)3y x π=-的图像 A ．向右移4π个单位 B .向左移4π个单位C.向左移2π个单位D.向右移2π个单位（ ）5．已知m 、n 是两条不重合的直线，γβα,,是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；③若βαγβγα//,,则⊥⊥； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂ 其中真命题是 A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④ （ ）6．当20π<<x 时，函数x x x xf 22cos tan 1sin 3)(+=的最小值为 （ ）A ．2B ．32C ．4D ． 347．若单位向量a ，b 的夹角为钝角，()b ta t -∈R 最小值为32，且()()0c a c b -⋅-=，则()c a b ⋅+ 的最大值为（ ） A ．31- B ． 31+ C ．3 D ．3 8. 已知函数()(sin cos )x f x a x b x e -=+⋅在6x π=处有极值，则函数sin cos y a x b x =+的图象可能是（ ）9．已知斜率为2的直线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左焦点F ，且与双曲线左右两支分别交于B A 、两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ． 22B ． 23C ．32D ． 5 10．已知点,EF 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有 （ ）A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．在83(x x的二项展开式中，常数项为 . 12．执行如图所示的程序框图，若输入4x =，则输出y 的值为 ．13．已知实数,a b 满足：102102210a b a b a b -+≥⎧⎪--<⎨⎪+-≥⎩，1z a b =--，则z 的取值范围是___________E FB 1A 1C 1D C DA14．在ABC ∆中，90,C M ∠=是BC 的中点．若1tan ,3BAM ∠=则tan BAC ∠=＿＿． 15．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 种．（用数字作答）16．如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周），若AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为17．若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线3x =对称，则()f x 的最大值是三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球．从甲，乙两袋中各任取2个球．(Ⅰ) 当1n =时，记取到的4个球中是白球的个数为ξ，求ξ的分布列和期望；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n ． 19．（本题满分14分）设公比大于零的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ， 245S S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，n n b n T 2=，*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）满足n nb a λ>对所有的*n N ∈均成立，求实数λ的取值范围．20．在四棱锥ABCD P -中， BC AD //，90ABC APB ∠=∠=︒，点M 是线段AB 上的一点，且CD PM ⊥，BM AD PB BC AB 422====．（Ⅰ）证明：面⊥PAB 面ABCD ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 的二面角的正弦值．P A BM CD21．已知A ，B 是椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的左，右顶点，(2,0)B ，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆于点M ，N ，交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列,R 和Q 是椭圆上的两动点，R和Q 的横坐标之和为2，RQ 的中垂线交X 轴于T 点 (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求三角形MNT 的面积的最大值22．已知函数x x a b ax x f 3)23(31)(23+--+=，其中0>a ，R b ∈. （Ⅰ）当3-=b 时，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当3=a ,且0<b 时，（i ）若)(x f 有两个极值点1x ，2x （21x x <），求证：1)(1<x f ；（ii ）若对任意的],0[t x ∈，都有16)(1≤≤-x f 成立，求正实数t 的最大值.ACCBD CBADDPABCDMzxy11。
浙江省嘉兴市2014届高三4月第二次模拟考试 理科综合试题(扫描版)
450℃-600℃（温度较高）时，反应已达平衡，所以，温度升高平衡逆向移动， NOx 转化率随温度升高反而减小。 （其他合理答案也给分） ②BCF （2 分） （2 分） （1 分）
28、 （14 分） （1）把亚铁离子全部氧化成三价铁离子
（2）装置 A 中不产生气泡或量气管和水准管液面不再改变（其他合理答案也给分） （2 分） （3）盐酸（1 分） 蒸发（浓缩） 、 （冷却）结晶（1 分）
（4）2Fe2+ + Cl2 = 2Fe3+ + 2Clˉ（2 分） （5）Fe2Cl6（2 分） （6）① 溶液由蓝色变无色，且半分钟内不变色（2 分） ②
162.5cV % （2 分） m
29、 （15 分） （1） 、BC （2 分） （2） 、C7H10O5 （2 分） 、
（2 分）
（3）
（2 分）
（2 分）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（4）
（2 分、每个 1 分） （5）
（3 分） （其它合理答案也给分）
2014 年嘉兴市高三教学测试（二）参考答案
理综·生物
选择题（共 6 题，每题 6 分，共 36 分） 1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D 2014 年 4 月
非选择题（共 3 题，44 分） 30.（14 分，每空 2 分） （1）放回 （2）外源 4203 1500 大于 （3）逻辑斯谛 127%
－10
y/cm B
θ
v A O
5
x/cm
mv2cosθsinθ E= =1.92× 105N/C。 qd
⑨ （2 分）
（4）如图所示，带电粒子离开磁场后先作匀速运动，后作类平抛运动。电场左边界的横坐 标 x0 与从电场右边界出射点纵坐标 y0 的函数关系为 d y1－(x0+ )tanθ=y0，即 y0=6.125－0.75x0，⑩ 2 49 当 y0=0 时，电场左边界的横坐标 x0 为 x0= cm， 6 答案见右图所示。 （3 分） y/cm B
数学_2014年浙江省高考数学四模试卷(提优卷)(理科)(含答案)
2014年浙江省高考数学四模试卷（提优卷）（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合P ={3, 4, 5, 6}，Q ={5, 7}，下列结论成立的是（ ） A Q ⊆P B P ∪Q =P C P ∩Q =Q D P ∩Q ={5}2. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足(z −i)(3−i)=10，则|z|=( ) A √5 B √6 C √10 D √133. “α=π4+2kπ(k ∈Z)”是“cos2α=0”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不是充分条件也不是必要条件4. 已知两条直线a ，b ，两个平面α，β．给出下面四个命题： ①a // b ，a // α⇒b // α； ②a ⊂α，b ⊥β，α // β⇒a ⊥b ； ③a ⊥α，a // b ，b // β⇒α // β； ④α // β，a // b ，a ⊥α⇒b ⊥β． 其中正确的命题序号为（ ）A ①②B ②③C ①④D ②④5. 如果执行如图的程序框图，若输出的s =55，则k =( )A 8B 9C 10D 9或106. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M ，使∠F 1MF 2＝60∘，且|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线离心率为（ ）A √2B √3C 2D √57. 现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是（ ） A 20 B 40 C 60 D 808. △ABC 中，A ，B 为锐角，a ，b ，c 为其三边长，如果asinA +bsinB =c ，则∠C 的大小为（ ）A 30∘B 45∘C 60∘D 90∘9. 已知正三角形ABC 的顶点A(√3, 1)，B(3√3, 1)，顶点C 在第一象限，若点M(x, y)在△ABC 的内部或边界，则z =OA →⋅OM →取最大值时，3x 2+y 2有（ ） A 定值52 B 定值82 C 最小值52 D 最小值5010. 定义函数f(x)={4−8|x −32|，1≤x ≤2，12f (x 2)，x >2，则函数g(x)=xf(x)−6在区间[1, 2n ](n ∈N ∗)内的所有零点的和为（ ） A n B 2n C 34(2n −1) D 32(2n −1)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. (x √x)8展开式中x 5的系数为________． 12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为________．13. 已知向量a →，b →满足|2a →+3b →|=1，则a →⋅b →最大值为________．14. 设点A ，B 分别在直线3x −y +5=0和3x −y −13=0上运动，线段AB 的中点M 恒在圆x 2+y 2=8内，则点M 的横坐标的取值范围为________．15. 已知f(x)=sinx +acosx ，且f(π3)=0，则当x ∈[−π, 0)时，f(x)的单调递减区间是________．16. 设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，A 为抛物线上一点，AK ⊥l ，K 为垂足，如果直线KF 的斜率为−1，则△AKF 的面积为________．17. 已知f(x)是二次函数，关于x 的方程mf 2(x)+nf(x)+p =0（m ，n ，p 都是实数）有四个不同的实数根，且它们从小到大的顺序为：x 1<x 2<x 3<x 4，则x 1−x 2−x 3+x 4的值为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 设数列{a n }的前n 项的和为S n ．已知a 1=6，a n+1=3S n +5n ，n ∈N ∗． （1）设b n =S n −5n ，求数列{b n }的通项公式；（2）数列{b n }中是否存在不同的三项，它们构成等差数列？若存在，请求出所有满足条件的三项；若不存在，请说明理由．19. 在某次娱乐游戏中，主持人拿出甲、乙两个口袋，这两个口袋中各装有大小、形状完全相同，但颜色不同的10个小球，其中甲口袋中装有8个红球，2个白球，乙口袋中装有9个黄球，1个黑球．现进行摸球游戏，主持人宣布游戏规则：从甲口袋中摸一个球，如果摸出的是红球，记4分，如果摸出的是白球，则记−1分；从乙口袋中摸一个球，如果摸出的是黄球，记6分，如果摸出的是黑球，则记−2分．（1）如果每次从甲口袋中摸出一个球，记下颜色后再放回，求连续从甲口袋中摸出4个球所得总分（4次得分的总和）不少于10分的概率；（2）设X（单位：分）为分别从甲、乙口袋中各摸一个球所可获得的总分，求X的数学期望．20. 在四棱锥P−ABCD中，AD // BC，∠ABC=∠APB=90∘，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．(1)证明：面PAB⊥面ABCD；(2)求平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值．21. 已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为单位圆C2:x2+y2=1的直径，且椭圆的离心率为√63．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆短轴的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A，B两点（A，B两点均在y轴的右侧），设B2为椭圆的短轴的下顶点，求∠AB2B的最大值．22. 已知函数f(x)=x3−3x2+bx+c在x=1处的切线是y=(3a−3)x−3a+4．（1）试用a表示b和c；（2）求函数f(x)≥−32在[1, 3]上恒成立，求实数a的取值范围．2014年浙江省高考数学四模试卷（提优卷）（理科）答案1. D2. D3. A4. D5. B6. B7. B8. D9. C10. D11. 2812. 113. 12414. [25, 2]15. [−π, −π6]16. 217. 018. 解：因为a n+1=S n+1−S n，且a n+1=3S n+5n，所以S n+1=4S n+5n，…把S n=b n+5n代入得b n+1=4b n，…所以数列{b n}是首项为b1=S1−5=1，公比为4的等比数列，所以b n=4n−1．…（2）假设数列{b n}中存在任意三项a i，a j，a k成等差数列．…不妨设i>j>k≥1，由于数列{b n}单调递增，所以2a j=a i+a k，所以2⋅4j−1=4i−1+ 4k−1，…因此2⋅4i−k=4j−k+1，此时左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，…所以数列{b n}中不存在不同的三项，它们构成等差数列．…19. 解：（1）设连续从甲口袋中摸出的4个球中，红球有x个，则白球有4−x个，由题设可得4x−(4−x)≥10，解得x≥145，…由x∈N，得x=3或x=4，所以所求的概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192．…（2）由题意知X可能取值分别为X=10，5，2，−3，…且由每次摸球的独立性，可得：P(X=10)=0.8×0.9=0.72，P(X=5)=0.2×0.9= 0.18，P(X=2)=0.8×0.1=0.08，P(X=−3)=0.2×0.1=0.02，…由此得X的数学期望为：EX=10×0.72+5×0.18+2×0.08+(−3)×0.02=8.2．…20. (1)证明：∵ AB=2PB=4BM，∴ PM⊥AB，又∵ PM⊥CD，且AB∩CD，∴ PM⊥面ABCD.∵ PM⊂面PAB，∴ 面PAB⊥面ABCD；(2)解：由(1)知：面ABCD⊥面PAB，延长BA与CD交于一点H，作AN⊥PH，连接ND，则∠AND就是平面PAB与平面PCD的二面角的平面角，令AB=BC=2PB=2AD=4BM=4t，∵ADBC =AHBH，解得AH=4t.又AM =3t ，PM =√3t ，PH =2√13t ，△HNA ∼△HMP ， ∴AN PM=AH PH，∴ AN =2√3913t ，DN =8√1313， ∴ sin∠AND =√134， ∴ 平面PAB 与平面PCD 的二面角的正弦值是√134． 21. 解：（1）由题意知b =1，又e =ca =√a 2−1a=√63，解得a 2=3，所以椭圆的方程为x 23+y 2=1．…（2）由（1）得B 1(0, 1)，B 2(0, −1)，设过椭圆的短轴的上顶点B 1的直线的方程为y =kx +1，由于B 1B 2为圆的直径，所以直线B 2A 的斜率k 1=−1k ．把y =kx +1代入C 1得B(−6k1+3k 2，1−3k 21+3k 2)， 由题意易知k <0，且直线B 2B 的斜率为k 2=1−3k 21+3k 2+1−6k 1+3k 2=−13k，所以k 1，k 2>0，且k 1=3k 2，…又在△B 2AB 是直角三角形，所以∠AB 2B 必为锐角． 因为B 2A →与B 2B →的方向向量分别为(1, k 1)，(1, k 2)，所以B 2A →⋅B 2B →=(1,k 1)⋅(1,k 2)=1+3k 22，又B 2A →⋅B 2B →=√1+k 12⋅√1+k 22cos∠AB 2B ，从而cos∠AB 2B =1+3k 22⋅…=√1−4k 221+10k 22+9k 24=√1−41k 22+9k 22+10≥√32， 当且仅当k 2=√33时，cos∠AB 2B 取得最小值√32， 由∠AB 2B 为锐角得∠AB 2B 的最大值为π6．…22. 解：（1）∵ 为f ′(x)=3x 2−6x +b ，∴ f ′(1)=−3+b =3a −3，f(1)=b +c −2=1， 即有b =3a ，c =−3a +3．（2）由（1）可知f(x)=x 3−3x 2+3ax −3a +3， x 3−3x 2+3ax −3a +3≥−32， 3ax −3a ≥−x 3+3x 2−92，3a(x −1)≥−x 3+3x 2−92，当x =1时，成立，a ∈R ， 当x ≠1时，3a ≥−x 3+3x 2−92x−1，令t =x −1，3a ≥−t 3+3t−52t=−t 2+3−52t令g(t)=−t 2+3−52t ，(0<t ≤2)， ∴ 以g′(t)=−2t +52t 2=−2t 3+52t 2，g′(t)>0⇒t <(54)13，g′(t)<0⇒t >(54)13，g(t)max =g((54)13)=3−3(54)23，3a ≥3−3(54)23， 故a ≥1−(54)23。
数学(理 )卷·2014届浙江省嘉兴市高三教学测试(一)(2014.03)word版
2014年高三教学测试（一）理科数学1．已知集合}02|{2<-=x x x A ，1{-≤=x x B 或}1>x ，则(I A =)R B A ．}10|{<<x x B ．}21|{<≤x x C ．}10|{≤<x xD ．}21|{<<x x2．若复数z 满足i 2)i 1(-=+z ，则=+i zA ．21B ．22C ．2D ．23．为了得到函数x x x y 2cos 3cos sin 2-=的图象，可以将函数x y 2sin 2=的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度4．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是A ．若03>a ，则02013<aB ．若04>a ，则02014<aC ．若03>a ，则02013>SD ．若04>a ，则02014>S5．某程序框图如图，则该程序运行后输出的值为A ．6B ．7C ．8D ．96．对任意实数x ，若][x 表示不超过x 的最大整数，则“1<-y x ”是“][][y x =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在直角△ABC 中，︒=∠90BCA ，1==CB CA ，P 为AB 边上的点且AB AP λ=，若⋅≥⋅，则λ的取值范围是A ．]1,21[B ．]1,222[-（第5 题）C ．]221,21[+D ．]221,221[+-8．如图1，在等腰△ABC 中，ο90=∠A ，6=BC ，E D ,分别是AB AC ,上的点，2==BE CD ，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥BCDE A -'．若⊥'O A 平面BCDE ，则D A '与平面BC A '所成角的正弦值等于A ．32错误!未找到引用源。
2014年浙江嘉兴二模中的一条要求较高的题
E==1.92×105N/C。⑨（2分）
（4）如图所示，带电粒子离开磁场后先作匀速运动，后作类平抛运动。电场左边界的横坐标x0与从电场右边界出射点纵坐标y0的函数关系为
y1－(x0+)tanθ=y0，即y0=6.125－0.75x0，⑩（2分）
当x0=0时，从电场右边界出射点的纵坐标为y0=6.125cm，
（2）从y轴最上方飞出的粒子坐标为(0，y1)，
由几何关系得(2r)2=62+y12，得y1=8cm，⑤（3分）
（3）从磁场射出时速度方向与x轴的夹角为θ，有sinθ=，即θ=37º，（1分）
粒子在电场中运动的时间为t1，t1=，⑥（2分）
设粒子的加速度大小为a，则a=，⑦（1分）
vsinθ=at1，⑧（2分）
当y0=0时，电场左边界的横坐标x0为x0=cm，
2014年浙江嘉兴二模中的一条要求较高的题
解：
（1）带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得
qvB=，得r==0.05m=5cm，①（2分）
粒子在磁场中运动周期为T==×10-7s，②（2分）
如图所示为粒子在磁场中运动轨迹
由几何关系得α=600，③（1分）
t==×10-7s，，④（1分）
浙江省嘉兴市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷
浙江省嘉兴市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题展开式中第3项的系数是（）A．90B．-90C．-270D．270第(2)题已知，则（）A．B．C．D．第(3)题抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A．当时，B．当时，事件与事件不独立C．当时，D．当时，事件与事件不独立第(4)题已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．第(5)题已知,若,则实数的取值范围是A．B．C．D．第(6)题已知函数，.设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．第(7)题若集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知函数，若存在常数使得方程有两个不等的实根，那么的取值范围为A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题一个不透明的口袋内装有4张大小，形状完全相同的卡片，下列说法正确的是（）A．若其中红色卡片与蓝色卡片各两张，从中一次性地任意取出2张卡片，则事件“取出的2张卡片都是红色”与“取出的2张卡片都是蓝色”为对立事件B．若其中红色卡片与蓝色卡片各两张，从中有放回地取3次，每次取1张，用表示取得红色卡片的次数，则C．若卡片上分别写有数字0，2，5，5，现甲从中取出一张卡片记录卡片上的数字后便放回，然后乙再从中取出一张卡片，若乙取出的卡片上数字大于甲即可获胜，则在乙获胜的条件下，甲取出的卡片上数字为2的概率为D．若卡片上分别写有数字0，2，5，5，从中无放回地取3次，每次取1张，用表示每次取到的数字，则“”恰为数字“520”的概率为第(2)题已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．C ．在上单调递增D．在上有且仅有四个零点第(3)题已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（）A．B．为偶函数C．D．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
浙江省嘉兴市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(评估卷)模拟试卷
浙江省嘉兴市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知则（）A．B．C．D．第(2)题在4名男生和2名女生中任意抽取4名，则抽到的4名中最多有3名男生的概率是（）A．B．C．D．第(3)题已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，若有极值，且与（为的导函数）的所有极值之和不小于，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题设，，其中e为自然对数的底数，则（）A．B．C．D．第(6)题已知复数z在复平面上对应的点为，则（）A．z的虚部为B．C．D．是纯虚数第(7)题已知抛物线：，：，若直线l：与交于点A，B，且与交于点P，Q，且，则（）A．1B．2C．4D．6第(8)题过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（）A．B．C．D．第(2)题某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病真否有关，调查了400人，得到如图所示的列联表，其中，则（）患疾病不患疾病合计过量饮酒不过量饮酒合计400参考公式与临界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828A．任意一人不患疾病的概率为0.9B．任意一人不过量饮酒的概率为C．任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为D．依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关第(3)题如图，在棱长为的正方体中，点满足，其中，则（）A．存在，使得B．存在，使得平面C ．当时，取最小值D．当时，存在，使得三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
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浙江省嘉兴市2014届高三4月第二次模拟考试数学理试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{}{22,4A x x B x x x =≤=<，则R A B =ð （ ）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．[]1,1-D ．()0,2 2．已知(),0,a b ∈+∞，则“2ab >”是“22log log 0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，这是计算111124620+++⋅⋅⋅+的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A ．19?i >B ．20?i >C ．20?i <D ．21?i <4．下列函数中既有奇函数，又在区间[]1,1-上单调递增的是（ ） A ．()sin 2f x x = B ．()tan f x x x =+ C ．()3f x x x =-D ．()22x x f x -=+5．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是 （ ） A ．18 B ．24 C ．36 D ．486．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得122130,120PF F PF F ∠=∠=，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2BC1+ D7．已知函数()23,11,0121,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪+<⎩，若数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且()111,3n n a a f a +==，则2014S =（ ）A ．895B ．896C ．897D ．8988．函数()f x 的图像如图，则()f x 的解析式可能是 （ ） A ．()cos2f x x =B ．()sin 4f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()3cos 28f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()5sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC =90，AD ：BC ：AB =2:3:4，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折．给出四个结论： ①DF ⊥BC ；②BD ⊥F C ；③平面DBF ⊥平面BFC ；④平面DCF ⊥平面BFC ．在翻折过程中，可能成立的结论是 （ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④10．若直线1ax by +=与不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则23a b +的取值范围是（ ）A ．()7,1--B ．()3,5-C ．()7,3-D ．R二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知复数z 满足()21z i i -=+（i 是虚数单位），则z =__________． 12．等比数列{}n a 前n 项的乘积为n T ，且2342a a =，则9T =__________．13．若()()8880182121x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+，则02468a a a a a ++++=__________．14．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是_________．15．如图在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC =2，D 、E 是线段BC 上的两点，且13DE BC =，则AD AE ⋅的取值范围是___________．16．焦点为F 的抛物线24y x =上有三点A 、B 、C 满足：①△ABC 的重心是F ；②|F A |、|FB |、|FC |成等差数列．则直线AC 的方程是________________________．17．已知集合()()()()}222,0,,1,2,32a A f x y f x y x a y a a ⎧⎪===-+--=±±±⎨⎪⎩，()(){},0,,1,2,3A g x y g x y x y b b ===+-=±±±，则A 中方程的曲线与B中方程的曲线的交点个数是_________．三． 解答题: 本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． (本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin b Ca A=（Ⅰ）若512C π=，求角B 的大小； （Ⅱ）若2,32b C ππ=≤<，求△ABC 面积的最小值．19． (本题满分14分)如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD //BC ，P A=AB=AD =2BC =2，∠BAD =θ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若60θ=，求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角P —CD —A 的平面角最小．20． (本题满分14分)有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求P （S ）和P （T ）；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．21． (本题满分15分)如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛∙BA C EP D（第19题）物线2y x b =+．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2a =,过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线的取值范围．21． (本题满分15分)已知a R ∈，函数()()()2,ln 2m x x n x a x ==+．（Ⅰ）令()()(),0,0m x x f x n x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()f x 的图像上存在两点Ａ、Ｂ满足OA ⊥OB （O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()()()g x m x n x =+存在两个极值点1x 、2x ，求()()12g x g x +的取值范围．（第21题）2014年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ；7．A ；8．D ；9．B ；10．C ．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立； 考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射 影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确； 考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.第10题提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域（包含边界）．因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ． ),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10； 12．512；13．138+（或6562）； 14．38； BAC DEFP15．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14． 第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切,⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交, 且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ACa b sin 2sin =． （Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．（Ⅰ）（本小题7分）由正弦定理，得ACA B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ．∴ 6π=B （65π=B 舍）．（Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2． 又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾． 所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =． 所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ，即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小． 19．（Ⅰ）（本小题7分） 当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ． ∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ∴⊥CD 平面PAD ． 又⊂AE 平面PAD ， ∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点， ∴AE PD ⊥． ∴⊥AE 平面PCD ．（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ， )0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ．∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ． 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=n ．（第19题）又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=m ． 设二面角A CD P --的平面角为α， 则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=⋅=θθαn m要使α最小，则αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ，∴ 21cos =θ，得3πθ=20．（本题满分14分）有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．20．（Ⅰ）（本小题6分）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ． （Ⅱ）（本小题8分）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．③1272452451)1(=--==ξP ． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2P245 127 245 ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ．21．（本题满分15分）如图，设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．（Ⅰ）（本小题6分） 由四边形ABCD 是菱形， 得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a b b a 22222，解得33=a ，31=b ， 所以椭圆方程为19322=+yx ．（第21题）（Ⅱ）（本小题9分） 不妨设),(2b t t P +（0≠t ）， 因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22． 又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =．所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ． 所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ，所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(．22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（Ⅰ）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OBOA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围．22．（Ⅰ）（本小题6分）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ， ∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ．∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ，∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ． （Ⅱ）（本小题8分）)2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x a x x x g ． 要使)(x g 存在两个极值点，则 0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根． 令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ． 由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=a a a 42ln +-=a a a ． 令42ln)(+-=x x x x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln)('<=x x q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442ln 2<+-<a a a ． 故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．。