2018届广东省茂名市高考联考数学(理)试题(二)带答案
广东省茂名市五大联盟学校2018届高三数学9月份联考试题理(含解析)
广东省茂名市五大联盟学校2018届高三数学9月份联考试题理（含解析）一、选择题1. 已知集合，，则中的元素的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】因为或，所以，应选答案C。
2. 已知，为虚数单位，，则( )A. 9B.C. 24D.【答案】A【解析】因为，所以，则，应选答案A。
3. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】由题设，故在上单调递增，则当时取最小值，应选答案B。
4. 已知，，，这三个数的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。
5. 设等比数列的前项和为，且，则( )A. 4B. 5C. 8D. 9【解析】由题设，，所以，应选答案B。
6. 设满足约束条件，则的最大值为( )A. 3B.C. 1D.【答案】A【解析】画出不等式组表示的区域如图，则问题转化为求动直线在上的截距的最小值的问题，结合图形可知：当动直线经过点时，，应选答案A。
7. 已知函数的最大值为3，的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与轴的交点的纵坐标为1，则( )A. 1B.C.D. 0【答案】D【解析】由题设条件可得，则，所以，将点代入可得，即，又，所以，应选答案D。
8. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为( )A. 80B. 84C. 88D. 92【解析】9. 在长方体中，，，，点在平面内运动，则线段的最小值为( )A. B. C. D. 3【答案】C【解析】由题意问题转化为求点到平面的距离，由于，所以边上的高，故三角形的面积为，又三棱锥的体积，所以，应选答案C。
10. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式，可化为，则问题转化为求函数的图像在函数下方，画出函数的图像及函数的图像，显然当不成立，故，结合图像当且仅当时满足题设，即，也即，应选答案D。
2018年广东省省际名校(茂名市)高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年广东省省际名校（茂名市）高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|a＜x＜a+1}，若A∩B＝∅，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，4]C．（3，4）D．[3，4]2．（5分）若，则＝（）A．B．C．D．3．（5分）设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y＝在R上为减函数B．y＝|f（x）|在R上为增函数C．y＝2﹣f（x）在R上为减函数D．y＝﹣[f（x）]3在R上为增函数4．（5分）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，将两枚骰子向上点数之和记作S．在一次投掷中，已知S是奇数，则S＝9的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则＝（）A．2B．3C．6D．126．（5分）以（0，b）为圆心，a为半径的圆与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相离，则C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）7．（5分）S n是数列{a n}的前n项和，且对∀n∈N*都有2S n＝3a n+4，则S n＝（）A．2﹣2×3n B．4×3n C．﹣4×3n﹣1D．﹣2﹣2×3n﹣1 8．（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．B．C．D．10．（5分）《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理：“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等．如图，设满足不等式组的点（x，y）组成的图形（图（1）中的阴影部分）绕y轴旋转180°，所得几何体的体积为V1；满足不等式组，的点（x，y）组成的图形（图（2）中的阴影部分）绕y轴旋转180°，所得几何体的体积为V2．利用祖暅原理，可得V1＝（）A．B．C．32πD．64π11．（5分）不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的数学期望是（）A．B．C．D．12．（5分）记函数f（x）＝sin2nx﹣cos nx在区间[0，π]内的零点个数为，则数列{a n}的前20项的和是（）A．430B．840C．1250D．1660二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z＝1+3i，则|z2|＝．14．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的所有取值的集合是．15．（5分）以坐标原点O为圆心的圆与抛物线及其准线y2＝4x分别交于点A，B和C，D，若|AB|＝|CD|，则圆O的方程是．16．（5分）若对任意的x＞0，不等式x2﹣2（m2+m+1）lnx≥1恒成立，则m＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin C，2b＝3c．（1）cos C；（2）若∠B的平分线交AC于点D，且△ABC的面积为，求BD的长．18．（12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数据表明y与x之间有较强的线性关系．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：回归直线的系数，．，P（K2≥6.635）＝0.01，P（K2≥10.828）＝0.01．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠A1AB＝∠A1AD．（1）证明：四边形BB1D1D为矩形；（2）若AB＝A1A，∠BAD＝60°，A1A与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A1﹣BB1﹣D的余弦值．20．（12分）设椭圆的离心率为，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为．（1）求E的方程；（2）过E的左焦点F1作直线l1与E交于A，B两点，过右焦点F2作直线l2与E交于C，D两点，且l1∥l2，以A，B，C，D为顶点的四边形的面积，求l1与l2的方程．21．（12分）已知f（x）＝lnx﹣ax+a，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若有三个不同的零点，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数）．（1）若，求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C有两个不同的交点A，B，且P（2，1）为AB的中点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）求函数f（x）的最小值a；（2）根据（1）中的结论，若m3+n3＝a，且m＞0，n＞0，求证：m+n≤2．2018年广东省省际名校（茂名市）高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|a＜x＜a+1}，若A∩B＝∅，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，4]C．（3，4）D．[3，4]【解答】解：集合＝{x|x2﹣8x+15＞0}＝{x|x＜3或x＞5}，B＝{x|a＜x＜a+1}；若A∩B＝∅，则3≤a且a+1≤5，解得3≤a≤4，∴a的取值范围为[3，4]．故选：D．2．（5分）若，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：若，则＝﹣cos（）＝﹣．故选：D．3．（5分）设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y＝在R上为减函数B．y＝|f（x）|在R上为增函数C．y＝2﹣f（x）在R上为减函数D．y＝﹣[f（x）]3在R上为增函数【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数f（x）＝x，y＝＝，在R上不是减函数，A错误；对于B，对于函数f（x）＝x，y＝|f（x）|＝|x|，在R上不是减函数，B错误；对于C，令t＝f（x），则y＝2﹣f（x）＝（）f（x）＝（）t，t＝f（x）在R上为增函数，y＝（）t在R上为减函数，则y＝2﹣f（x）在R上为减函数，C正确；对于D，对于函数f（x）＝x，y＝﹣[f（x）]3＝﹣x3，在R上是减函数，D错误；故选：C．4．（5分）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，将两枚骰子向上点数之和记作S．在一次投掷中，已知S是奇数，则S＝9的概率是（）A．B．C．D．【解答】投掷两枚质地均匀的正方体骰子，将两枚骰子向上点数之和记作S．在一次投掷中，S是奇数，基本事件有18个，分别为：（1，2），（2，1），（1，4），（4，1），（1，6），（6，1），（2，3），（3，2），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），（3，5），（5，3），（6，3），（3，6），（4，5），（5，4），S＝9包含的基本事件有4个，分别为：（4，5），（5，4），（3，6），（6，3），∴S＝9的概率是p＝＝．故选：B．5．（5分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则＝（）A．2B．3C．6D．12【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AC＝AE＝CE＝2，，∠CAE＝60°，∴＝＝2×2×cos60°＝6．故选：C．6．（5分）以（0，b）为圆心，a为半径的圆与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相离，则C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线：by＝±ax，以（0，b）为圆心，a为半径的圆与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相离，可得：，可得：c2﹣a2＞ac，可得e2﹣e﹣1＞0，e＞1，解得：e．故选：B．7．（5分）S n是数列{a n}的前n项和，且对∀n∈N*都有2S n＝3a n+4，则S n＝（）A．2﹣2×3n B．4×3n C．﹣4×3n﹣1D．﹣2﹣2×3n﹣1【解答】解：∵2S n＝3a n+4，则2S n＝3（S n﹣S n﹣1）+4，变形为：S n﹣2＝3（S n﹣1﹣2），n＝1时，2S1＝3S1+4，解得S1＝﹣4，S1﹣2＝﹣6．∴数列{S n﹣2}是等比数列，首项为﹣6，公比为3．∴S n﹣2＝﹣6×3n﹣1，可得：S n＝2﹣2×3n．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：S﹣ABC，是正方体的一部分，是三棱锥，正方体的棱长为：4，几何体是体积为：V＝＝．故选：A．9．（5分）执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得：i用来统计随机产生的n个点（x，y）中满足x2+y2＜1的点的个数，其中x，y∈（0，1），故≈，故选：C．10．（5分）《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理：“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等．如图，设满足不等式组的点（x，y）组成的图形（图（1）中的阴影部分）绕y轴旋转180°，所得几何体的体积为V1；满足不等式组，的点（x，y）组成的图形（图（2）中的阴影部分）绕y轴旋转180°，所得几何体的体积为V2．利用祖暅原理，可得V1＝（）A．B．C．32πD．64π【解答】解：用任意一个与y轴垂直的平面去截这两个旋转体，设截面与原点的距离为h，所得截面面积分别为S1，S2，把y＝h代入x2﹣4y＝0可得x＝±2．∴S1＝16π﹣4hπ，把y＝h代入x2+y2＝16可得x＝±，把y＝h代入x2+（y﹣2）2＝4可得x＝±＝，∴S2＝π（16﹣h2）﹣π（4h﹣h2）＝16π﹣4πh，∴S1＝S2，由祖暅原理可知V1＝V2＝﹣＝32π．故选：C．11．（5分）不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的数学期望是（）A．B．C．D．【解答】解：不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的可能取值为2，3，4，5，6，7，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝+＝，P（X＝4）＝++＝，P（X＝5）＝+++＝，P（X＝6）＝++++＝，P（X＝7）＝×1+×1+×1+×1+×1+＝，∴摸取次数X的数学期望：E（X）＝+6×＝．故选：D．12．（5分）记函数f（x）＝sin2nx﹣cos nx在区间[0，π]内的零点个数为，则数列{a n}的前20项的和是（）A．430B．840C．1250D．1660【解答】解：设f（x）＝0，可得：sin2nx＝cos nx，即2sin nx cos nx＝cos nx，即cos nx＝0或sin nx＝，可得nx＝kπ+，k∈Z；nx＝2lπ+或nx＝2lπ+，l∈Z，由于x∈[0，π]，当n＝1时，a1＝1+2＝3；当n＝2时，a2＝2+2＝4；当n＝3时，a3＝3+4＝7；当n＝4时，a4＝4+4＝8；当n＝5时，a5＝5+6＝11；当n＝6时，a6＝6+6＝12；…，可得数列{a n}的前20项的和为（1+2+3+4+...+20）+（2+4+6+8+...+20）+（2+4+6+8+ (20)＝×20×21+×10×22×2＝210+220＝430．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z＝1+3i，则|z2|＝5．【解答】解：由（1+i）z＝1+3i，得z＝，∴|z2|＝．故答案为：5．14．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的所有取值的集合是{﹣2，﹣1，1，2}．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，可行域为点（0，1），（1，1），（1，0），（2，0），当直线z＝x﹣2y分别过上述四个点时，z对应的值分别为﹣2，﹣1，1，2，∴z＝x﹣2y的所有取值的集合是：{﹣2，﹣1，1，2}．故答案为：{﹣2，﹣1，1，2}．15．（5分）以坐标原点O为圆心的圆与抛物线及其准线y2＝4x分别交于点A，B和C，D，若|AB|＝|CD|，则圆O的方程是x2+y2＝5．【解答】解：设圆O的方程为x2+y2＝r2，（r＞0），y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，代入圆O方程可得y2＝r2﹣1，则弦长为|CD|＝2，由抛物线和圆的对称性可得设AB：x＝t（t＞0），代入圆的方程可得y2＝r2﹣t2，可得|AB|＝2，由|AB|＝|CD|，解得t＝1，将x＝1代入抛物线方程可得y2＝4，解得y＝±2，则弦长为4，解得r＝，则圆O的方程为x2+y2＝5，故答案为：x2+y2＝5．16．（5分）若对任意的x＞0，不等式x2﹣2（m2+m+1）lnx≥1恒成立，则m＝0或﹣1．【解答】解：设m2+m+1＝t，令f（x）＝x2﹣2tlnx﹣1，则f′（x）＝2x﹣．当t＜0时，f′（x）＞0，则f（x）在定义域内单调递增，不存在最值，对任意的x＞0，不等式不恒成立．当t＞0时，f′（x）＝0，可得x＝，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，可得当x＝取得最小值为t﹣tlnt，即t﹣tlnt≥1．令g（t）＝t﹣tlnt﹣1．（t＞0）则g′（t）＝﹣lnt，令g′（t）＝﹣lnt＝0，可得t＝1．当0＜t＜1时，f′（t）＞0，则f（t）在（0，1）单调递增；当t＞1时，f′（t）＜0，则f（t）在（1，+∞）单调递减；当t＝1取得最大值为1．要使即t﹣tlnt≥1成立，则t＝1，即m2+m+1＝1，解得m＝0或m＝﹣1，故答案为：0或﹣1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin C，2b＝3c．（1）cos C；（2）若∠B的平分线交AC于点D，且△ABC的面积为，求BD的长．【解答】解：（1）∵sin A＝2sin C，∴a＝2c．又∵2b＝3c．∴．（2）由，可得：．设△ABC的面积为S，∴，∴c2＝4，c＝2．则a＝4，b＝3．∵BD为∠B的平分线，∴，∴CD＝2AD．又CD+AD＝3．∴CD＝2，AD＝1．在△BCD中，由余弦定理可得：，∴．18．（12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数据表明y与x之间有较强的线性关系．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：回归直线的系数，．，P（K2≥6.635）＝0.01，P（K2≥10.828）＝0.01．【解答】解：（1）由题意可知，故＝.，故回归方程为．（2）将x＝110代入上述方程，得．（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36．抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人．于是可以得到2×2列联表为：于是，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠A1AB＝∠A1AD．（1）证明：四边形BB1D1D为矩形；（2）若AB＝A1A，∠BAD＝60°，A1A与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A1﹣BB1﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接A1B，A1D，A1O．∵∠A1AB＝∠A1AD，AB＝AD，∴A1B＝A1D．又O为BD的中点，∴AO⊥BD，A1O⊥BD．∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥AA1．∵BB1∥AA1，∴BD⊥BB1．又四边形BB1D1D是平行四边形，则四边形BB1D1D为矩形．（2）解：过点A1作A1E⊥平面ABCD，垂足为E，由已知可得点E在AC上，∴∠A1AC＝30°．设AB＝A1A＝1，则．在菱形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝60°，∴．∴点E与点O重合，则A1O⊥平面ABCD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则．∴．设平面A1BB1的法向量为，则，∴即取x＝1，可得为平面A1BB1的一个法向量．同理可得平面BB1D的一个法向量为．∵．所以二面角A1﹣BB1﹣D的余弦值为．20．（12分）设椭圆的离心率为，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为．（1）求E的方程；（2）过E的左焦点F1作直线l1与E交于A，B两点，过右焦点F2作直线l2与E交于C，D两点，且l1∥l2，以A，B，C，D为顶点的四边形的面积，求l1与l2的方程．【解答】解：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设l2：x＝my+1，代入得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则.．设l1的方程为x＝my﹣1，则AB与CD之间的距离为．由对称性可知，四边形为平行四边形，∴．令，则m2+2＝t2+1，∴，即，解得或（舍），∴m＝±1．故所求方程为l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0或l1：x+y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0．21．（12分）已知f（x）＝lnx﹣ax+a，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若有三个不同的零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知f（x）的定乂域为（0，+∞），又，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立；当a＞0时，令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得．综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，f（x）在上为增函数，在上为减函数．（2）由题意，则，当a≤1时，∵，∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，不符合题意．当a＞1时，，令φ（x）＝x2﹣（1+a）x+1，则△＝（1+a）2﹣4＝（a+3）（a﹣1）＞0．令φ（x）＝0的两根分别为x1，x2且x1＜x2，则∵x1+x2＝1+a＞0，x1•x2＝1＞0，∴0＜x1＜1＜x2，当x∈（0，x1）时，φ（x）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（0，x1）上为增函数；当x∈（x1，x2）时，φ（x）＜0，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（x1，x2）上为减函数；当x∈（x2，+∞）时，φ（x）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（x2，+∞）上为增函数．∵g（1）＝0，∴g（x）在（x1，x2）上只有一个零点1，且g（x1）＞0，g（x2）＜0．∴＝＝．∵，又当x∈[x1，1）时，g（x）＞0．∴∴g（x）在（0，x1）上必有一个零点．∴．∵2a+2＞1，又当x∈（1，x2]时，g（x）＜0，∴2a+2＞x2．∴g（x）在（x2，+∞）上必有一个零点．综上所述，故a的取值范围为（1，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数）．（1）若，求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C有两个不同的交点A，B，且P（2，1）为AB的中点，求|AB|．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x+y﹣3＝0，曲线C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为y2＝2x．（2）把代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2α+2t（sinα﹣cosα）﹣3＝0（*），设A，B所对应的参数为t1，t2，则．∵P（2，1）为AB的中点，∴P点所对应的参数为，∴sinα﹣cosα＝0，即．则（*）变为，此时，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）求函数f（x）的最小值a；（2）根据（1）中的结论，若m3+n3＝a，且m＞0，n＞0，求证：m+n≤2．【解答】（1）解：f（x）＝|x+1|+|x﹣1|≥|x+1﹣（x﹣1）|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时取等号，所以f（x）min＝2，即a＝2．（2）证明：假设：m+n＞2，则m＞2﹣n，m3＞（2﹣n）3．所以m3+n3＞（2﹣n）3+n3＝2+6（1﹣n）2≥2．①由（1）知a＝2，所以m3+n3＝2．②①与②矛盾，所以m+n≤2．。
2018届广东省茂名市高考联考数学(理)试题(二)含答案
广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是（）A．(],3-∞B．(],4-∞C．()3,4D．[]3,42．若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．45B．35C．35-D．45-3.设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A.()1y f x =在R 上为减函数 B.()y f x =在R 上为增函数C.()2f x y -=在R 上为减函数D.()3y f x =-⎡⎤⎣⎦在R 上为增函数4.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S .在一次投掷中，已知S 是奇数，则9S =的概率是（）A．1B．2C．1D．15.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC BD ⋅=（）A．2B．3C．6D．126.以()0,b 为圆心，a 为半径的圆与双曲线()2222:10,0a y x C a bb >->=的渐近线相离，则C 的离心率的取值范围是（）A．511,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B．51,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．532⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D．53,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭7.n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对*n N ∀∈都有234n n S a =+，则n S =（）A．223n-⨯B．43n⨯C．143n --⨯D．1223n ---⨯8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A．323B．643C．16D．139.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．14B．34C．4πD．14π-10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组240,4,0x y x y ⎧-≥⎪≤⎨⎪≥⎩的点(),x y 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为1V ；满足不等式组()2222224,,0x y r x y r r y ⎧+≤⎪⎪+-≥⎨⎪≥⎪⎩的点(),x y 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为2V .利用祖暅原理，可得1V =（）A．323πB．643πC．32πD．64π11.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X 的数学期望是（）A．185B．92C．367D．16312.记函数()sin 2cos f x nx nx =-在区间[]0,π内的零点个数为()*n a n N ∈，则数列{}n a 的前20项的和是（）A．430B．840C．1250D．1660第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.i 是虚数单位，复数z 满足()113i z i +=+，则2z =．14.若实数,x y 满足约束条件1,10,326,,,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪-+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩则2z x y =-的所有取值的集合是．15.以坐标原点O 为圆心的圆与抛物线及其准线24y x =分别交于点,A B 和,C D ，若AB CD =，则圆O 的方程是．16.若对任意的0>x ，不等式()2221ln 1x m m x -++≥恒成立，则m =．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin 2sin ,23A C b c ==.（1）cos C ；（2）若B ∠的平分线交AC 于点D ，且ABC ∆的面积为4，求BD 的长.18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系.（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ， ay bx =- .()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()()226.6350.01,10.8280.01P K P K ≥=≥=.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且11A AB A AD ∠=∠.（1）证明：四边形11BB D D 为矩形；（2）若1,60AB A A BAD =∠=︒，1A A 与平面ABCD 所成的角为30︒，求二面角11A BB D --的余弦值.20.设椭圆()22220:1x y E a a bb =>>+，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为（1）求E 的方程；（2）过E 的左焦点1F 作直线1l 与E 交于,A B 两点，过右焦点2F 作直线2l 与E 交于,C D 两点，且12//l l ，以,,,A B C D 为顶点的四边形的面积83S =，求1l 与2l 的方程.21.已知()ln ,f x x ax a a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()()2112g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-，直线l 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数).（1）若34πα=，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有两个不同的交点,A B ，且()2,1P 为AB 的中点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x =++-.（1）求函数()f x 的最小值a ；（2）根据（1）中的结论，若33m n a +=，且0,0m n >>，求证:2m n +≤.试卷答案一、选择题1-5:DDCBC 6-10:BAACC 11、12：DA二、填空题13.514.{}2,1,1,2--15.225x y +=16.0或1-三、解答题17.解:（1）因为sin 2sin A C =，所以2a c =.于是，()2222223272cos 328222c c c a b c C ab c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⨯⨯.（2）由7cos 8C =可得sin C =设ABC ∆的面积为S，∴113sin 222284S ab C c c ==⋅⋅⋅=，∴24,2c c ==.则4,3a b ==.∵BD 为B ∠的平分线，∴2a CD c AD==，∴2CD AD =.又3CD AD +=.∴21CD AD ==,.在BCD ∆中,由余弦定理可得22274224268BD =+-⨯⨯⨯=，∴BD =.18.解:(（1）由题意可知120,90x y ==，故()()()()()()()()()()()()()()()222221451201109013012090901201201029010512078901001207090145120130120120120105120100120b --+--+--+--+--=-+-+-+-+- 50000180400108040.8625100022540013505++++====++++.901200.86a=-⨯=-，故回归方程为 0.86y x =-.（2）将110x =代入上述方程，得 0.8110682y =⨯-=.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36.抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.于是可以得到22⨯列联表为：于是()2260241812610 6.63530303624K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.19.（1）证明:连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接111,,A B A D A O .∵11,A AB A AD AB AD ∠=∠=，∴11A B A D =.又O 为BD 的中点，∴1,AO BD A O BD ⊥⊥..∴BD ⊥平面11A ACC ，∴1BD AA ⊥.∵11//BB AA ，∴1BD BB ⊥.又四边形11BB D D 是平行四边形，则四边形11BB D D 为矩形.（2）解:过点1A 作1A E ⊥平面ABCD ，垂足为E ，由已知可得点E 在AC 上，∴130A AC ∠=︒.设11AB A A ==，则11,22A E AE ==.在菱形ABCD 中，1,60AB AD BAD ==∠=︒，∴AC AO ==∴点E 与点O 重合，则1A O ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -.则11111110,0,,0,,0,,0,,0222222A B B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，.∴()111111110,,,,,0,0,1,0,1,222222A B A B BD B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z = ，则1110m A B m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴110,21022y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即,.y z y =⎧⎪=取1x =，可得(m =为平面11A BB 的一个法向量.同理可得平面1BB D的一个法向量为(n =。
广东省省际名校(茂名市)2018届高三下学期联考(二)数学(理)试题(含参考答案)
广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由题意可得：，又，，∴,∴故选：D2.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴故选：D3.设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A. 在上为减函数B. 在上为增函数C. 在上为减函数D. 在上为增函数【答案】C【解析】A错，比如在上为增函数，但在上不具有单调性；B错，比如在上为增函数，但在上增函数，在上为减函数；D错，比如在上为增函数，但在上为减函数；故选：C4.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作.在一次投掷中，已知是奇数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设两枚骰子向上点数分别为X，Y，则符合X+Y为奇数的基本事件为18（见表格），其中符合X+Y=9基本事件为4，根据古典概型知所求概率为故选：B5.如图，正六边形的边长为2，则（）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】，.故选：C6.以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相离，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件可得，，∴，即，∴故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.是数列的前项和，且对都有，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可知，两式相减，得，整理得由可得，则故选：A8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体是如图所示的四面体ABCD，其体积为故答案为：A点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．9.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】随机数x，y的取值范围分别是共产生n个这样的随机数对.数值i表示这些随机数对中满足关系的个数..故选：C10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件可得，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离为h，则所得截面,所以，由祖庚原理可得又，所以故选：C11.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，第次取出额必然是红球，而前k-1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故，于是得到X的分布列为故故选：D12.记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（）A. 430B. 840C. 1250D. 1660【答案】A【解析】令，得①或②由①得，令，得，故①共有n个解，由②得，令，得③，令，得④当n为偶数时，③有个解，④有个解，故②有n个解，故当n为奇数时，③有个解，④有个解，故②有n+1个解，故令故故选：A点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.是虚数单位，复数满足，则__________．【答案】5【解析】由题意可得：∴∴故答案为：5点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可；复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．14.若实数满足约束条件则的所有取值的集合是__________．【答案】【解析】由约束条件可知，满足条件的点为，所以z可以取得值为故答案为：15.以坐标原点为圆心的圆与抛物线及其准线分别交于点和，若，则圆的方程是__________．【答案】【解析】设，圆O半径为r，则∵，∴A或B的坐标为，∴∴，解得，∴圆O的方程为：故答案为：16.若对任意的，不等式恒成立，则__________．【答案】0或【解析】设，则，由已知可得：对恒成立，令，，则可知：在上单调递减，在上单调递增，若，则，令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，∴∴，即t=1，所以则故答案为：0或三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的内角所对的边分别为，.（1）；（2）若的平分线交于点，且的面积为，求的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由，又，利用余弦定理得到；（2）由可得. 设的面积为，，解得，，再由内角平分线定理得到，在中,由余弦定理可得结果.试题解析：（1）因为，所以.于是，.（2）由可得.设的面积为，∴，∴.则.∵为的平分线，∴，∴.又.∴.在中,由余弦定理可得，∴.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：数据表明与之间有较强的线性关系.（1）求关于的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数，.，.【答案】（1）（2）82（3）可以认为【解析】试题分析：(1)由表格得到，进而得到，，从而得到关于的线性回归方程；(2)将代入上述方程，得；（3）列出2×2列联表，求出，从而作出判断.试题解析：（1）由题意可知，故.，故回归方程为.（2）将代入上述方程，得.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36.抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.于是可以得到列联表为：于是，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.如图，四棱柱的底面为菱形，且.（1）证明：四边形为矩形；（2）若，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：(1)由四棱柱性质可知四边形为平行四边形，连接，设，连接.，易证∴平面，∴.∵，∴；(2)过点作平面，垂足为，由已知可得点在上，证明点与点重合，则平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式计算即可.试题解析：（1）证明:连接，设，连接.∵，∴.又为的中点，∴..∴平面，∴.∵，∴.又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.（2）解:过点作平面，垂足为，由已知可得点在上，∴.设，则.在菱形中，，∴.∴点与点重合，则平面.以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则.∴.设平面的法向量为，则,∴即取，可得为平面的一个法向量.同理可得平面的一个法向量为。
2018年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷(理科)及答案
2018年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁R A）∩B=（）A．{0}B．{2}C．{2，4}D．{0，1，2}2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a﹣b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣33．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知=（2sin13°，2sin77°），|﹣|=1，与﹣的夹角为，则•=（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点在直线x+y=5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）A．7 B．C．D．7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（）A．16 B．20 C．24 D．488．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，3），B（3，2），C（1，1），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）内，设=m﹣n（m，n ∈R），则2m+n的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．39．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．10．（5分）已知有穷数列{a n}中，n=1，2，3，…，729．且a n=（2n﹣1）•（﹣1）n+1．从数列{a}中依次取出a2，a5，a14，…．构成新数列{b n}，容易发现数列{b n}n是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列．记数列{a n}的所有项的和为S，数列{b n}的所有项的和为T，则（）A．S＞T B．S=TC．S＜T D．S与T的大小关系不确定11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，中心为O，=，=，则四面体OEBF的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤1 B．a＜1 C．0＜a＜1 D．a≥1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式为．14．（5分）在（1+2x）7的展开式中，是第项的二项式系数，第3项的系数是．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m的取值范围为．16．（5分）已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则的值是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2．（1）求角C的值；（2）求sinB﹣cosA的取值范围．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，CD=2，BC=1，E，F是平面ABCD同一侧两点，EA∥FC，AE⊥AB，EA=2，DE=，FC=1．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BD﹣F的正弦值．19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：=，=﹣，=94，=945）（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．（1）求弦AB的长；（2）当直线l 的斜率k=，且直线l′∥l 时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．21．（12分）已知α，β是方程4x2﹣4tx﹣1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f （x）=的定义域为[α，β]（1）当t=0时，求函数f（x）的最值（2）试判断函数f（x）在区间[α，β]的单调性（3）设g（t）=f（x）max﹣f（x）min，试证明：对于α，β，γ∈（0，），若sinα+sinβ+sinγ=1，则++＜（参考公式：≥（a，b，c＞0），当且仅当a=b=c时等号成立）请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[选修4—4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．[选修4-5：不等式证明]23．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a（1）当a=0时，求不等式f（x）≥g（x）的解集（2）若存在实数x，使得g（x）≤f（x）成立，求实数a的取值范围．2018年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁R A）∩B=（）A．{0}B．{2}C．{2，4}D．{0，1，2}【解答】解：根据题意，集合A={0，1}，则B={y|y=2x，x∈A}={0，2}，则（∁R A）∩B={2}；故选：B．2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a﹣b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣3【解答】解：由=，得a=﹣1，b=2，∴a﹣b=﹣1﹣2=﹣3．故选：D．3．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形边长为2，则正方形面积为4，正方形内切圆中的黑色部分的面积S=．∴在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是P=．故选：C．4．（5分）已知=（2sin13°，2sin77°），|﹣|=1，与﹣的夹角为，则•=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：=（2sin13°，2sin77°）=（2sin13°，2cos13°），||=2，|﹣|=1，与﹣的夹角为，所以==﹣，1=4﹣，∴•=3，故选：B．5．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点在直线x+y=5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，则其焦点在x轴上，直线x+y=5与x轴交点的坐标为（5，0），则双曲线的焦点坐标为（5，0），则有9+m=25，解可得，m=16，则双曲线的方程为：﹣=1，其渐近线方程为：y=±x，故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）A．7 B．C．D．【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个三棱锥，正方体的边长为2，三棱锥的三个侧棱长为1，则该几何体的体积V==8﹣=，故选：D7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（）A．16 B．20 C．24 D．48【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．8．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，3），B（3，2），C（1，1），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）内，设=m﹣n（m，n ∈R），则2m+n的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：=（1，﹣1），=（1，2），=（x，y），∵=m﹣n，∴，∴2m+n=x﹣y，作出平面区域如图所示：令z=x﹣y，则y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点B（3，2）时，截距最小，即z最大．∴z的最大值为3﹣2=1．即2m+n的最大值为1．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．【解答】解：由图象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，故sin（+φ）=﹣1，+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，），∴2α+∈（，），∴cos（2）=﹣=﹣，故选：C．10．（5分）已知有穷数列{a n}中，n=1，2，3，…，729．且a n=（2n﹣1）•（﹣1）n+1．从数列{a}中依次取出a2，a5，a14，…．构成新数列{b n}，容易发现数列{b n}n是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列．记数列{a n}的所有项的和为S，数列{b n}的所有项的和为T，则（）A．S＞T B．S=TC．S＜T D．S与T的大小关系不确定【解答】解：S=1﹣3+5﹣…﹣（2×728﹣1）+（2×729﹣1）=﹣728+2×729﹣1=729．由|﹣3×（﹣3）n﹣1|≤2k﹣1，k≤729，解得：n≤6，可取n=6，﹣3×（﹣3）5=729=（2×365﹣1）×（﹣1）366，∴T==546．∴S＞T．故选：A．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，中心为O，=，=，则四面体OEBF的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则O（），B（1，1，0），E（1，0，），F（，1，0），则||=，||=，，∴cos∠BOE=．∴sin∠BOE=．=．∴S△OEB设平面OEB的一个法向量为，由，取z=1，得．又，∴F到平面OEB的距离h==．∴四面体OEBF的体积V==．故选：D．12．（5分）已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤1 B．a＜1 C．0＜a＜1 D．a≥1【解答】解：∵f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）+x]=4，∴必存在唯一的正实数a，满足f（x）+x=a，f（a）=4 ①，∴f（a）+a=a ②，由①②得：4+a=a，即a=a﹣4，∴a=（）a﹣4，解得a=3．故f（x）+x=a=3，∴f（x）=3﹣x，由方程|f（x）﹣3|=a在区间（0，3]上有两解，即有|x|=a在区间（0，3]上有两解，作出y=|x|的图象，如图所示：，结合题意，0＜a≤1，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式为．【解答】解：由log2（S n+1）=n+1，得S n+1=2n+1，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n，所以数列{a n}的通项公式为a n=．故答案为：．14．（5分）在（1+2x）7的展开式中，是第3项的二项式系数，第3项的系数是84．【解答】解：（1+2x）7的展开式的通项为，当r=2时，可得．∴是第3项的二项式系数，第3项的系数是84．故答案为：3，84．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m的取值范围为（，+∞）．【解答】解：函数f（x）=e x﹣mx+1的导数为f′（x）=e x﹣m，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，即有e x﹣m=﹣有解，即m=e x+，由e x＞0，则m＞，则实数m的范围为（，+∞），故答案为：（，+∞）．16．（5分）已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则的值是2．【解答】解：当点P为（0，b）时，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线分别为+b，+b，联立可得M（b，），同理可得N（﹣b，），|MN|=2b．当点P为（a，0）时，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线分别为﹣，+，联立可得M（，），同理可得N（，﹣），），|MN|=．若|MN|为定值，则2b=，⇒，∴则的值是2．故答案为：2．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2．（1）求角C的值；（2）求sinB﹣cosA的取值范围．【解答】解：（1）△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2，可得4×absinC=a2+b2﹣c2，即有cosC===sinC，则tanC==，由0＜C＜π，可得C=；（2）由A+B=π﹣C=，即B=﹣A，sinB﹣cosA=sin（﹣A）﹣cosA=cosA+sinA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣），由0＜A＜，可得﹣＜A﹣＜，则﹣＜sin（A﹣）≤1，即有sinB﹣cosA的取值范围是（﹣，1]．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，CD=2，BC=1，E，F是平面ABCD同一侧两点，EA∥FC，AE⊥AB，EA=2，DE=，FC=1．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BD﹣F的正弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD．∵AE⊥AB，CD∥AB，∴CD⊥AE．又AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵CD⊂平面CDF，∴平面CDF⊥平面ADE．…（4分）解：（1）∵BC=1，EA=2，DE=，∴DE2=AD2+AE2，∴AE⊥AD，又AE⊥AB，AB∩AD=A，∴AE⊥平面ABCD．…（6分）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（1，2，0），F（0，2，1），E（1，0，2）．∴=（1，2，0），=（0，2，1），设平面BDF的一个法向量=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，﹣1，2）．同理可求得平面BDE的一个法向量=（2，﹣1，﹣1），∴cos＜＞===，…（10分）∴sin＜＞=．故二面角E﹣BD﹣F的正弦值为．…（12分）19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：=，=﹣，=94，=945）（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．（Ⅰ）利用前5组数据得到=（2+4+5+6+8）=5，=（30+40+60+50+70）【解答】解：=50，∵y=6.5x+a，∴a=50﹣6.5×5=17.5，∴回归直线方程为y=6.5x+17.5，当x=1时，y=6.5+17.5=24，∴y的预报值为24．（Ⅱ）∵=4，=46.25，=84，=945，∴==≈6.83，∴=46.25﹣6.83×4=18.93，即=6.83，=18.93，b=6.5，a=17.5，≈5%，≈8%，均不超过10%，∴可使用位置最接近的已有旧井6（1，24）．（Ⅲ）由题意，1、3、5、7这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，∴勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，P（X=k）=，可得P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=．∴X的分布列为：EX=2×+3×+4×=．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．（1）求弦AB的长；（2）当直线l 的斜率k=，且直线l′∥l 时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．【解答】解：（1）由题意可知：2c=2，c=，设F（，0），A（x0，y0），B （﹣x0，﹣y0），则M（，），N（，﹣），由•==，则x02+y02=5，则丨AB丨=2=2，（2）由直线l的斜率k=时，且l′∥l，则l：y=x，设l′：y=x+m，y0=x0，由x02+y02=5，则A（2，1），由c=，代入椭圆方程解得：a=2，c=，∴椭圆的方程：，联立，整理得x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则k1=，k2=．由x2+2mx+2m2﹣4=0，可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，k1+k2=•=====0．即k1+k2=0．直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．21．（12分）已知α，β是方程4x2﹣4tx﹣1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f（x）=的定义域为[α，β]（1）当t=0时，求函数f（x）的最值（2）试判断函数f（x）在区间[α，β]的单调性（3）设g（t）=f（x）max﹣f（x）min，试证明：对于α，β，γ∈（0，），若sinα+sinβ+sinγ=1，则++＜（参考公式：≥（a，b，c＞0），当且仅当a=b=c时等号成立）【解答】解：（1）当t=0时，方程4x2﹣1=0的两实根为，f（x）=．，当时，f′（x）＞0，f（x）在为单调递增函数，∴f（x）的最小值为，f（x）的最大值为；（2）由题知：x∈[α，β]时，4x2﹣4tx﹣1＜0，所以f′（x）＞0，f（x）在区间[α，β]为单调递增函数．（3）证明：由（2）知，又由题得：，∴，，=，（，∴，由于等号不能同时成立，故得证++＜．请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[选修4—4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得：4x+3y﹣8=0；由圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0），可得ρ2=ρasinθ，根据ρsinθ=y，ρ2=x2+y2可得圆C的直角坐标系方程为：x2+y2﹣ay=0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆C的圆心为（0，）半径r=，直线方程为4x+3y﹣8=0；那么：圆心到直线的距离d==直线l截圆C的弦长为=2解得：a=32或a=故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时a的值为32或．[选修4-5：不等式证明]23．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a（1）当a=0时，求不等式f（x）≥g（x）的解集（2）若存在实数x，使得g（x）≤f（x）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|x+1|≥2|x|，两边平方整理得3x2﹣2x﹣1≤0，解得所以原不等式的解集为…（4分）（2）由g（x）≤f（x）得a≤|x+1|﹣2|x|，令h（x）=|x+1|﹣2|x|，则，作出函数的图象，得h（x）max=h（0）=1从而实数a的取值范围为（﹣∞，1]…（10分）。
广东省茂名市2018届高三3月联考数学(理)试题含答案
广东省茂名市2018届高三3月联考数学（理）试题含答案茂名市五大联盟学校三月联考理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列集合运算正确的是（ ） A ．{}{}{}0,11,0,11,0-=- B ． {}{}010,1∅=，C ．{}{}{}1,11,0,11,1--=- D ．R R ∅=2. 12月18日至20日，中央经济工作会议在北京举行，中国经济的高质量发展吸引了全球更多投资者的青睐目光，在此期间，某电视台记者，随机采访了7名外国投资者，其中有4名投资者会说汉语与本国语，另外3名投资者除会说汉语与本国语外还会一种语言,现从这7人中任意选取3人进行采访，则这3人都只会使用两种语言交流的概率为（ ） A ．335 B ．435 C ．17 D ．6353. 给出下列命题： ①若2a b a ⋅=，则ab =②x R ∀∈，sin 2cos 5x x +≤③函数1()1f x x=+的图象关于点(0,1)成中心对称； ④若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线必为抛物线的切线其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 4 4. 利用如图所示的程序框图得到的数集中必含有（ ） A ．520 B ．360 C. 241 D ．1345. 函数21sin y x x x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．6.在61)1x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 项的系数为（ ）A ．200B ．180 C. 150 D ．1207. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．6+23B ．3+6 C.1+23 D ．1+268. 若焦点在y 轴上的椭圆2214y x m -=（0m >）的离心率1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则实数m 的取值范围为（ ） A ．16,+3⎛⎫∞⎪⎝⎭ B ．(3,4) C. 162,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,3) 9. 已知函数()f x 在区间(1,+)-∞上单调，且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列.且5051()()f x f x =，则数列{}n a 的前100项的和为（ ）A ．-200B ． -100 C. 0 D ．-5010. 已知椭圆和双曲线有共同焦点1F ,2F ,P 是它们的一个交点,且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则121e e 的最大值是（ ） A ．B ．C.2 D ．3 11. 德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半(即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算,经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数n (首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注：1可以多次出现),则n 的所有不同值的个数为（ ）A ．4B ． 5 C. 6 D ．7 12. 已知函数21()()2xx f x e a e e aex b =+--+ (其中,a b R ∈，e 为自然对数的底数)在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．[)0,+∞ C. [),0e - D ．(,)e -∞-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4的小题，每小题5分 13. 已知向量,a b 满足1a -，2b -，12a b ⋅=，则向量,a b 夹角的余弦值为 ． 14. 某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于青年教师人数； （ⅲ）青年教师人数的两倍多于男学生人数若青年教师人数为3，则该宣讲小组总人数为 ．15. 若实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2log (2)z x y =+的最大值是 ．16. 已知在三棱锥A BCD -中，AB AD =BD =底面BCD 为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 2sin sin a A c C a C b B +=+.（1）求B ； （2）若512A π=，2b =，求a 和c . 18.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如下表格：(单位：人)（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关?（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -：的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面内的射影恰好是棱BC 的中点，且2BCCA ==.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）若二面角11B AB C --的余弦值为57-，求斜三棱柱111ABC A B C -的高.20. 已知右焦点为2(,0)F c 的椭圆22221x y C a b +=：（0a b >>）过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围. 21. 已知函数()2(1)(1)x f x axe a x =--+ （a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）.（1）若函数()f x 仅有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）证明：当102a <<时，()f x 有两个零点12x x ⋅（12x x <）.且满足1232x x -<+<-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线C .的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM = (O为极点).设点M 的轨迹为曲线2C .以极点O 为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程是1x ty t =+⎧⎨=⎩，(t 为参数).（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 交两坐标轴于A ，B 两点，求ABM ∆面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++.（1）求不等式()4f x ≤的解集M；（2）若a ，b M ∈，证明：22(23)(23)0a a b b +-+-≥.文科数学一、选择题1-5: DBBBA 6-10: CBDBA 11、12：DD 二、填空题 13.1414. 12 15. 1 16. 16π 三、解答题17. 解：（1）由已知，根据正弦定理得222ac b +=+，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，故222cos 2a c b B ac +-===. 因为0,B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭２， 所以4B π=.（2）由512A π=， 得sin sin 64A ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭sincoscossin64644ππππ=+=，由4B π=，得()3C A B ππ=-+=，故由正弦定理得sin 1sin b A a B ===+sin sin b C c B ===.18.解：（1）由列联表，可知2K 的观测值2()()()()()n ad bc k a b b d a c b d -=++++ 2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=人，偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=人. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得XB 1110,20⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1111()10202E X =⨯=； 11999()10202040D X =⨯⨯=.19.解：（1）取BC 的中点M ，连接1B M ，则由题意知1B M ⊥平面ACB .∵AC ⊂平面ACB ，∴1B M AC ⊥. 又AC BC ⊥，且1B M BC M =，∴AC ⊥平面11B C CB . ∵AC⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .（2）以C 为原点，CA ，CB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设1B M t =，又2CA BC ==,则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,1,0)M ，1(0,,)B t １，1(0,1,)C t -，则1(2,1,)AB t =-，(2,2,0)AB =-，11(0,2,0)BC =-.设平面1AB B 的法向量为1(,,)n x y z =，∴11120,220,n AB x y tz n AB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x=，得111,1,n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.同理，得平面11AB C 的一个法向量为2,0,12t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵二面角11B AB C --的余弦值为57-，∴125cos 7n n ⋅==， 整理得4229960t t +-=， 解得23t =，即t=20.解：（1）∵椭圆C 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. ∴221914a b+=，① ∵椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点， ∴2a c =，∴2234b a =，②由①②得2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意，直线l 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率不为零， ∴可设其方程为12x my =+. 联立方程组2214312x y x my ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去x 并整理，得224(34)12450my my ++-=.设11(,)E x y ，22(,)F x y ，00(,)M x y ， 则122334my y m +=-+.∴0232(34)m y m =-+，02234x m =+，∴244mk m =+. ①当0m =时，0k=； ②当0m ≠时，144k m m=+，∵44448m m m m+=+≥，∴108k <≤，∴1188k -≤≤，且0k ≠. 综合①②，可知直线MA 的斜率k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 21.解：（1）()2(1)(1)x x f x ae axe a x '=+--+(1)(22)x x ae a =+-+，由()0f x '=，得1x =-或220()x ae a -+=* 因为()f x 仅有一个极值点，所以关于x 的方程()*必无解， ①当0a=时，()*无解，符合题意；②当0a ≠时，由()*，得22x a e a-=， 故由220a a-≤，得01a <≤. 故当01a ≤≤时，若1x <-，则()0f x '<，此时()f x 为减函数，若1x >-，则()0f x '>，此时()f x 为增函数， 所以1x =-为()f x 的唯一极值点，综上，可得实数a 的取值范围是[]0,1.（2）由（1），知当102a <<时，1x =-为()f x 的唯一极值点，且是极小值点， 又因为当102a <<时，()22222(1)110a f a a e e ⎛⎫-=---=--+> ⎪⎝⎭， ()10af e-=-<，()0(1)0f a =-->， 所以当21x -<<-时，()f x 有一个零点1x ，当10x -<<时，()f x 有另一个零点2x ，即12210x x -<<-<<，且()12111(1)(1)0x f x ax e a x =--+=，()22222(1)(1)0x f x ax e a x =--+=.①所以1231x x -<+<-.下面再证明122x x +<-，即证122x x <--.由210x -<<，得2221x -<--<-，因为当1x <-时，()f x 为减函数，故只需证明()12(2)f x f x >--， 也就是证明2(2)0f x --<，因为()222222222222(2)(1)(1)(2)(1)(1)x x f x a x e a x a x e a x ------=----⋅--=----+，由①式，可得()222222222222(2)(2)x x x x f x a x eax e a x e x e ----⎡⎤--=---=---⎣⎦.令()2(2)(10)x x gx x e xe x --=----<<， 则()2(1)()x x g x x e e --'=+-.令()2x x hx e e --=-，因为()hx 为区间(1,0)-上的减函数，且(1)0h -=，所以()0h x <，即()2(1)()0x x g x x e e --'=+-< 在区间(1,0)-上恒成立， 所以()gx 在区间(1,0)-上是减函数，即()(1)0g x g <-=，所以2(2)0f x --<，即证明122x x +<-成立，综上所述，1232x x -<+<-.22.解：（1）在极坐标系中，设点(,)M ρθ. 由2OP OM =，得(2,)P ρθ， 代入曲线1C 的方程22(13sin )16ρθ+=并整理，得22(1+3sin )4ρθ=，再化为直角坐标方程，得2214x y +=， 即曲线2C 的直角坐标方程为2214x y +=. 直线l 的参数方程1x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)化为普通方程是10x y --=.（2）由直线l 的方程为10x y --=，可知AB =.因为点M 在曲线222+14x C y =：上，所以设(2cos ,sin )M a a ，a R ∈，则点M 到直线l 的距离d 即为底边AB 上的高，所以h d ===，其中1tan 2ϕ=，所以max2d ==，所以max11()22ABMS AB d∆===，所以ABM∆面积的最大值为.23.解：（1）()22,1,4,31,22,3,x xf x xx x+>⎧⎪=-≤≤⎨⎪--<-⎩由()4f x≤得31x-≤≤，∴{}31M x x=-≤≤（2）∵a，b M∈，∴31a-≤≤，31b-≤≤，∴212a-≤+≤，212b-≤+≤，∴2(1)4a+≤，2(1)4b+≤，∴2223(1)40a a a+-=+-≤，2223(1)b b b+-=+40-≤，∴22(23)(23)0a ab b+-+-≥.。
2018年广东省茂名市化州平定中学高二数学理联考试题
2018年广东省茂名市化州平定中学高二数学理联考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设n= ，则n的值属于下列区间中的( )a.（-2，-1）b.（1，2）c.（-3，-2）d.（2，3）参考答案：Dn= + = =log 3 10.∵log 3 9＜log 3 10＜log 3 27,∴n∈(2,3).2. 设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2=2n参考答案：C【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P 为：?n∈N，2n≤2n．故选：C．【点评】命题的否定和否命题的区别：对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题，既否定假设，又否定结论．3. 函数y=x（3﹣2x）（）的最大值是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴y=x（3﹣2x）=?2x（3﹣2x）=，当且仅当x=时取等号．∴函数y=x（3﹣2x）（）的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 由图（1）有面积关系：，则由图（2）有体积关系：＝．参考答案：略5. 把89化为五进制数，则此数为 ( )A． 322(5) B． 323(5) C． 324(5) D． 325(5)参考答案：C6. 下列结论中正确的是（）A. 导数为零的点一定是极值点B. 如果在附近的左侧右侧那么是极大值C. 如果在附近的左侧右侧那么是极小值D.如果在附近的左侧右侧那么是极大值参考答案：B略7. 已知i是虚数单位，则1+i+i2…+i100等于( )A．1﹣i B．1+i C．0 D．1参考答案：D考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数i n的周期性进行求解．解答：解：∵i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，∴1+i+i2…+i100=1+（i+i2…+i100）=1+25（i+i2+i3+i4）=1，故选：D点评：本题主要考查复数的计算，根据i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0是解决本题的关键．比较基础．8. 已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为( )A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5参考答案：D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；圆的标准方程．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：D【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．9. 函数有（）A．极大值，极小值 B．极大值，极小值C．极大值，无极小值 D．极小值，无极大值参考答案：C10. 已知函数f（x）的定义域为R，且x3f（x）+x3f（﹣x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4的解集为（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣4，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数h（x）=x3f（x）﹣2x，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：令h（x）=x3f（x）﹣2x，则h′（x）=x[3xf（x）+x2f'（x）﹣2]，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则h′（x）≤0在[0，+∞）恒成立，故h（x）在[0，+∞）递减，若x3f（x）+x3f（﹣x）=0，则h（x）=h（﹣x），则h（x）在R是偶函数，h（x）在（﹣∞，0）递增，不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4，即不等式x3f（x）﹣x2＜8f（2）﹣4，即h（x）＜h（2），故|x|＞2，解得：x＞2或x＜﹣2，故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设若函数有大于零的极值点，则的范围参考答案：12. 已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 ____ .[Zxx参考答案：略13. 曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为__________个.参考答案：414. 已知，若三向量共面，则________. 参考答案：5略15. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______．参考答案：试题分析：前9组中共有个数,因此第9组中的最后一个数是是,所以第10组中的第一个数是．考点：数列．16. 已知命题p：?x∈R，2x＜3x；命题q：?x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q参考答案：B【考点】复合命题的真假．【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：?x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：?x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选B．17. 在中，，，是的中点，，则等于．参考答案：延长至N，使，连接，则四边形为平行四边形，，在中，，在中，，，.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2018年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷(理科)
2018年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 若集合A={0, 1}，B={y|y=2x, x∈A}，则(∁R A)∩B=()A.{0}B.{2}C.{2, 4}D.{0, 1, 2}2. 已知a+2ii=b+i(a,b∈R)，其中i为虚数单位，则a−b=（）A.−1B.1C.2D.−33. 如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的“黑色部分”和“白色部分”关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自“黑色部分”的概率是（）A.1 4B.12C.π8D.π44. 已知a→=(2sin13∘, 2sin77∘)，|a→−b→|=1，a→与a→−b→的夹角为π3，则a→⋅b→=() A.2 B.3 C.4 D.55. 已知双曲线x29−y2m=1的一个焦点在直线x+y=5上，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=±34x B.y=±43xC.y=±2√23x D.y=±3√24x6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）A.7B.152C.233D.4767. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确设计的一个程序框图，则输出n 的值为（参考数据：sin15∘＝0.2588，sin7.5∘＝0.1305）（ ）A.16B.20C.24D.488. 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A(2, 3)，B(3, 2)，C(1, 1)，点P(x, y)在△ABC 三边围成的区域（含边界）内，设OP →=mAB →−nCA →(m, n ∈R)，则2m +n 的最大值为（ ） A.−1 B.1 C.2 D.39. 已知函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，且f(α)＝1，α∈(0, π3)，则cos(2α+5π6)＝（ ）A.±2√23B.2√23C.−2√23D.1310. 已知有穷数列{a n }中，n =1，2，3，…，729．且a n =(2n −1)⋅(−1)n+1．从数列{a n }中依次取出a 2，a 5，a 14，…．构成新数列{b n }，容易发现数列{b n }是以−3为首项，−3为公比的等比数列．记数列{a n }的所有项的和为S ，数列{b n }的所有项的和为T ，则（ ） A.S >T B.S =T C.S <TD.S 与T 的大小关系不确定11. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，中心为O ，BF →=12BC →，A 1E →=14A 1A →，则四面体OEBF 的体积为（ ）A.1 12B.124C.148D.19612. 已知f(x)是定义域为(0, +∞)的单调函数，若对任意的x∈(0, +∞)，都有f[f(x)+ log13xbrack=4，且方程|f(x)−3|=a在区间(0, 3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A.0<a≤1B.a<1C.0<a<1D.a≥1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n+1)=n+1，则数列{a n}的通项公式为________．在(1+2x)7的展开式中，C72是第________项的二项式系数，第3项的系数是________．已知函数f(x)=e x−mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为________．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线l1:y=12x，l2:y=−12x，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则√ab的值是________．三、解答题（共5小题，满分60分）设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足4√3S=a2+b2−c2．（1）求角C的值；（2）求sinB−cosA的取值范围．如图，在矩形ABCD中，CD=2，BC=1，E，F是平面ABCD同一侧两点，EA // FC，AE⊥AB，EA=2，DE=√5，FC=1．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E−BD−F的正弦值．中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：并估计y 的预报值；(Ⅱ)现准备勘探新井7(1, 25)，若通过1、3、5、7号井计算出的b ^，a ^的值(b ^，a ^精确到0.01)与(I)中b ，a 的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6(1, y)，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：b ^=∑−i=1n xiyi nx∗y∑ n i=1x i 2−nx2，a ^=y −b ^x ，∑ 4i=1x 2i−12=94，∑=i=14 x2i−1y2i−1945） (Ⅲ)设出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X 的分布列与数学期望．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2√6，设右焦点为F ，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AF 的中点为M ，线段BF 的中点为N ，且OM →⋅ON →=14． （1）求弦AB 的长；（2）当直线 l 的斜率k =12，且直线 l′ // l 时，l′交椭圆于P ，Q ，若点A 在第一象限，求证：直线AP ，AQ 与x 轴围成一个等腰三角形．已知α，β是方程4x 2−4tx −1=0(t ∈R)的两个不等实根，函数f(x)=2x−tx 2+1的定义域为[α, β]（1）当t =0时，求函数f(x)的最值（2）试判断函数f(x)在区间[α, β]的单调性（3）设g(t)=f(x)max −f(x)min ，试证明：对于α，β，γ∈(0, π2)，若sinα+sinβ+sinγ=1，则1g(tanα)+1g(tanβ)+1g(tanγ)<34√6（参考公式：√a2+b 2+c 23≥a+b+c 3(a, b, c >0)，当且仅当a =b =c 时等号成立）请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为{x =−35t +2y =45t（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=asinθ(a ≠0)． (Ⅰ)求圆C 的直角坐标系方程与直线l 的普通方程；(Ⅱ)设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍，求a 的值． [选修4-5：不等式证明]已知函数f(x)=|x +1|，g(x)=2|x|+a （1）当a =0时，求不等式f(x)≥g(x)的解集（2）若存在实数x ，使得g(x)≤f(x)成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据题意，由集合B={y|y=2x, x∈A}，结合A的元素可得集合B，分析可得(∁R A)∩B中的元素为属于B不属于A的元素，即可得答案．【解答】根据题意，集合A={0, 1}，则B={y|y=2x, x∈A}={0, 2}，则(∁R A)∩B={2}；2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a+2ii =(a+2i)ii2=2−ai=b+i，∴b=2，a=−1，∴a−b=−3.故选D.3.【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】设出正方形边长，求出正方形面积，再求出正方形内切圆中的黑色部分的面积，由面积比得答案．【解答】解：设正方形边长为2，则正方形面积为4，正方形内切圆中的黑色部分的面积S=12×π×12=π2．∴在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是P=π24=π8．故选C.4.平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】利用向量的模以及向量的数量积的运算法则化简求解即可． 【解答】 a →=(2sin13∘, 2sin77∘)=(2sin13∘, 2cos13∘)，|a →|=2，|a →−b →|=1，a →与a →−b →的夹角为π3， 所以a →∗(a →−b →)=|a →||a →−b →|cos π3=a →2−a →∗b →，1=4−a →∗b →， ∴ a →⋅b →=3， 5.【答案】 B【考点】 双曲线的特性 【解析】根据题意，由双曲线的方程可以确定其焦点在位置，由直线的方程可得直线与x 轴交点的坐标，即可得双曲线焦点的坐标，由双曲线的几何性质可得9+m =25，解可得m 的值，即可得双曲线的标准方程，进而由双曲线的渐近线方程计算可得答案． 【解答】根据题意，双曲线的方程为x 29−y 2m=1，则其焦点在x 轴上，直线x +y =5与x 轴交点的坐标为(5, 0)， 则双曲线的焦点坐标为(5, 0)， 则有9+m =25， 解可得，m =16， 则双曲线的方程为：x 29−y 216=1，其渐近线方程为：y =±43x ， 6.【答案】 D【考点】由三视图求体积 【解析】根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积． 【解答】由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个三棱锥， 正方体的边长为2，三棱锥的三个侧棱长为1， 则该几何体的体积V =23−13×12×1×1×1=8−16=476，7.程序框图 【解析】列出循环过程中S 与n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】模拟执行程序，可得： n ＝6，S ＝3sin60∘=3√32， 不满足条件S ≥3.10，n ＝12，S ＝6×sin30∘＝3，不满足条件S ≥3.10，n ＝24，S ＝12×sin15∘＝12×0.2588＝3.1056， 满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24． 8.【答案】 B【考点】 基本不等式平面向量的基本定理 【解析】用x ，y 表示出2m +n ，根据线性规划求出2m +n 的最值． 【解答】AB →=(1, −1)，CA →=(1, 2)，OP →=(x, y)， ∵ OP →=mAB →−nCA →， ∴ {x =m −ny =−m −2n ， ∴ 2m +n =x −y ， 作出平面区域如图所示：令z =x −y ，则y =x −z ，由图象可知当直线y =x −z 经过点B(3, 2)时，截距最小，即z 最大．∴ z 的最大值为3−2=1． 即2m +n 的最大值为1． 故选：B ． 9.正弦函数的图象【解析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得ω，代入点(π3, −3)可得φ值，可得解析式，再由f(α)＝1和同角三角函数基本关系可得．【解答】由图象可得A＝3，2πω=4(7π12−π3)，解得ω＝2，故f(x)＝3sin(2x+φ)，代入点(π3, −3)可得3sin(2π3+φ)＝−3，故sin(2π3+φ)＝−1，2π3+φ＝2kπ−π2，∴φ＝2kπ−7π6，k∈Z结合0<φ<π可得当k＝1时，φ=5π6，故f(x)＝3sin(2x+5π6)，∵f(α)＝3sin(2α+5π6)＝1，∴sin(2α+5π6)=13，∵α∈(0, π3)，∴2α+5π6∈(5π6, 3π2)，∴cos(2α+5π6)=−√1−sin2(2α+5π6)=−2√23，10.【答案】A【考点】数列的求和【解析】S=1−3+5−...−(2×728−1)+(2×729−1)，通过分组求和即可得出．由|−3×(−3)n−1|≤2k−1，k≤729，解得：n≤6，可取n=6，−3×(−3)5=729= (2×365−1)×(−1)366，利用等比数列的求和公式可得T．【解答】S=1−3+5−...−(2×728−1)+(2×729−1)=−728+2×729−1=729．由|−3×(−3)n−1|≤2k−1，k≤729，解得：n≤6，可取n=6，−3×(−3)5=729=(2×365−1)×(−1)366，∴T=−3×[(−3)6−1brack−3−1=546．∴S>T．11.【答案】D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，代入棱锥体积公式得答案． 【解答】 如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则O(12,12,12)，B(1, 1, 0)，E(1, 0, 34)，F(12, 1, 0)，则|OE →|=√14+14+116=34，|OB →|=√32，|BE →|=√1+916=54，∴ cos∠BOE =916+34−25162×34×√32=−√39． ∴ sin∠BOE =√789．∴ S △OEB =12×34×√32×√789=√2616．设平面OEB 的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →∗OE →=12x −12y +14z =0n →∗OB →=12x +12y −12z =0，取z =1，得n →=(14,34,1)． 又BF →=(−12,0,0)，∴ F 到平面OEB 的距离ℎ=|n →∗BF →||n →|=18√264=√2652． ∴ 四面体OEBF 的体积V =13S OEB ×ℎ=13×√2616×√2652=196．12.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】由题意可得必存在唯一的正实数a ，满足f(x)+log 13x =a ，f(a)=4 ①，可得f(a)+log 13a =a ②，由①②得a =(13)a−4，解得a =3．由题意，|log 13x|=x 3−6x 2+9x −4+a 在区间(0, 3]上有两解，数形结合可得a 的范围． 【解答】，∴ f(a)+log 13a =a (1)， 由（2）（3）得：4+log 13a =a ，即 log 13a =a −4，∴ a =(13)a−4，解得a =3． 故f(x)+log 13x =a =3，∴ f(x)=3−log 13x ， 由方程|f(x)−3|=a 在区间(0, 3]上有两解， 即有|log 13x|=a 在区间(0, 3]上有两解， 1，结合题意，0<a ≤1， 故选：A ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 【答案】 {3,n =1,2n ,n ≥2【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由log 2(S n +1)=n +1，得S n +1=2n+1，当n =1时，a 1=S 1=3； 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n ．∴ 数列{a n }的通项公式为a n ={3,n =12n ,n ≥2 ．故答案为：a n ={3,n =12n,n ≥2 ． 【答案】 3,84【考点】二项式定理的应用 【解析】写出二项展开式的通项，由r =2可知C 72是第3项的二项式系数，进一步求得第3项的系数． 【解答】(1+2x)7的展开式的通项为T r+1=C 7r(2x)r ， 当r =2时，可得T 3=C 72∗22∗x 2=84x 2．∴ C 72是第3项的二项式系数，第3项的系数是84． 【答案】(1e, +∞) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得e x −m =−1e 有解，再由指数函数的单调性，即可得到m 的范围 【解答】函数f(x)=e x −mx +1的导数为f′(x)=e x −m ， 若曲线C 存在与直线y =ex 垂直的切线， 即有e x −m =−1e 有解， 即m =e x +1e ， 由e x >0，则m >1e ， 则实数m 的范围为(1e , +∞)，【答案】 2【考点】 椭圆的离心率 【解析】取点P 为上下定点，分别求出MN 的长度，两次求出MN 相等，即可得到a 、b 的数量关系． 【解答】当点P 为(0, b)时，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线分别为l 1:y =12x +b ，l 2:y =−12x +b ，联立{y =−12x +b y =12x可得M(b, b 2)，同理可得N(−b, b 2)，|MN|=2b ． 当点P 为(a, 0)时，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线分别为l 1:y =12x −12a ，l 2:y =−12x +12a ，联立{y =12x y =−12x +12a可得M(a 2, 14a)，同理可得N(a 2, −14a)，），|MN|=a 2． 若|MN|为定值，则2b =a2，⇒ab =4，∴ 则√ab的值是2．三、解答题（共5小题，满分60分） 【答案】△ABC 的面积S 满足4√3S =a 2+b 2−c 2， 可得4√3×12absinC =a 2+b 2−c 2， 即有cosC =a 2+b 2−c 22ab=2√3absinC2ab=√3sinC ，则tanC =sinCcosC =√33， 由0<C <π，可得C =π6；由A+B=π−C=5π6，即B=5π6−A，sinB−cosA=sin(5π6−A)−cosA=12cosA+√32sinA−cosA=√32sinA−12cosA=sin(A−π6)，由0<A<5π6，可得−π6<A−π6<2π3，则−12<sin(A−π6)≤1，即有sinB−cosA的取值范围是(−12, 1]．【考点】三角形求面积【解析】（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合同角的商数关系，可得C的值；（2）由三角形的内角和定理，可得B=5π6−A，运用两角和差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．【解答】△ABC的面积S满足4√3S=a2+b2−c2，可得4√3×12absinC=a2+b2−c2，即有cosC=a2+b2−c22ab =2√3absinC2ab=√3sinC，则tanC=sinCcosC =√33，由0<C<π，可得C=π6；由A+B=π−C=5π6，即B=5π6−A，sinB−cosA=sin(5π6−A)−cosA=12cosA+√32sinA−cosA=√32sinA−12cosA=sin(A−π6)，由0<A<5π6，可得−π6<A−π6<2π3，则−12<sin(A−π6)≤1，即有sinB −cosA 的取值范围是(−12, 1]．【答案】∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ CD ⊥AD ．∵ AE ⊥AB ，CD // AB ，∴ CD ⊥AE ． 又AD ∩AE =A ，∴ CD ⊥平面ADE ． ∵ CD ⊂平面CDF ，∴ 平面CDF ⊥平面ADE ．∵ BC =1，EA =2，DE =√5，∴ DE 2=AD 2+AE 2， ∴ AE ⊥AD ，又AE ⊥AB ，AB ∩AD =A ， ∴ AE ⊥平面ABCD ．以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，B(1, 2, 0)，F(0, 2, 1)，E(1, 0, 2)． ∴ DB →=(1, 2, 0)，DF →=(0, 2, 1)， 设平面BDF 的一个法向量m →=(x, y, z)， 由{m →∗DB →=x +2y =0m →∗DF →=2y +z =0， 令x =2，得m →=(2, −1, 2)．同理可求得平面BDE 的一个法向量n →=(2, −1, −1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=3∗√6=√66， ∴ sin <m →,n →>=√306．故二面角E −BD −F 的正弦值为√306．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出CD ⊥AD ．CD ⊥AE ，从而CD ⊥平面ADE ，由此能证明平面CDF ⊥平面ADE ．（1）推导出AE ⊥AD ，AE ⊥AB ，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出二面角E −BD −F 的正弦值． 【解答】∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ CD ⊥AD ．∵ AE ⊥AB ，CD // AB ，∴ CD ⊥AE ． 又AD ∩AE =A ，∴ CD ⊥平面ADE ． ∵ CD ⊂平面CDF ，∴ 平面CDF ⊥平面ADE ．∵ BC =1，EA =2，DE =√5，∴ DE 2=AD 2+AE 2，∴ AE ⊥AD ，又AE ⊥AB ，AB ∩AD =A ， ∴ AE ⊥平面ABCD ．以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，B(1, 2, 0)，F(0, 2, 1)，E(1, 0, 2)． ∴ DB →=(1, 2, 0)，DF →=(0, 2, 1)， 设平面BDF 的一个法向量m →=(x, y, z)， 由{m →∗DB →=x +2y =0m →∗DF →=2y +z =0， 令x =2，得m →=(2, −1, 2)．同理可求得平面BDE 的一个法向量n →=(2, −1, −1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=3∗√6=√66， ∴ sin <m →,n →>=√306．故二面角E −BD −F 的正弦值为√306．【答案】（1）利用前5组数据得到x =15(2+4+5+6+8)＝5，y =15(30+40+60+50+70)＝50，∵ y ＝6.5x +a ，∴ a ＝50−6.5×5＝17.5，∴ 回归直线方程为y ＝6.5x +17.5， 当x ＝1时，y ＝6.5+17.5＝24， ∴ y 的预报值为（24）（2）∵ x =4，y =46.25，∑=i=14 x2i−1284，∑=i=14 x2i−1y2i−1945， ∴ b ^=∑−i=14 x2i−1y2i−14xy ∑−i=14 x2i−124x 2=945−4×4×46.2594−4×42≈6.83，∴ a ^=46.25−6.83×4＝18.93， 即b ^=6.83，a ^=18.93，b ＝6.5，a ＝17.5，b ^−bb≈5%，a ^−aa≈8%，均不超过10%，∴ 可使用位置最接近的已有旧井6(1, 24)．(Ⅲ)由题意，1、3、5、7这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井， ∴ 勘察优质井数X 的可能取值为2，3，4， P(X ＝k)=∁4k ∁24−k∁64，可得P(X ＝2)=25，P(X ＝3)=815，P(X ＝4)=115．∴ X 的分布列为：EX ＝2×25+3×815+4×115=83． 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】(Ⅰ)利用前5组数据与平均数的计算公式可得x =5，y =50，代入y ＝6.5x +a ，可得a ，进而定点y 的预报值．(Ⅱ)根据计算公式可得x ，y ，b ^=∑−i=14 x2i−1y2i−14xy ∑−i=14 x2i−124x 2≈10.25，a ^=5.25，b ^=10.25，计算可得并且判断出结论．(Ⅲ)由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，勘察优质井数X 的可能取值为2，3，4，P(X ＝k)=∁4k ∁24−k∁64，可得X 的分布列及其数学期望．【解答】（1）利用前5组数据得到x =15(2+4+5+6+8)＝5，y =15(30+40+60+50+70)＝50，∵ y ＝6.5x +a ，∴ a ＝50−6.5×5＝17.5，∴ 回归直线方程为y ＝6.5x +17.5， 当x ＝1时，y ＝6.5+17.5＝24， ∴ y 的预报值为（24）（2）∵ x =4，y =46.25，∑=i=14 x2i−1284，∑=i=14 x2i−1y2i−1945， ∴ b ^=∑−i=14 x2i−1y2i−14xy ∑−i=14 x2i−124x 2=945−4×4×46.2594−4×42≈6.83，∴ a ^=46.25−6.83×4＝18.93， 即b ^=6.83，a ^=18.93，b ＝6.5，a ＝17.5，b ^−bb≈5%，a ^−aa≈8%，均不超过10%，∴ 可使用位置最接近的已有旧井6(1, 24)．(Ⅲ)由题意，1、3、5、7这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井， ∴ 勘察优质井数X 的可能取值为2，3，4， P(X ＝k)=∁4k ∁24−k∁64，可得P(X ＝2)=25，P(X ＝3)=815，P(X ＝4)=115．∴ X 的分布列为：EX ＝2×25+3×815+4×115=83．【答案】由题意可知：2c =2√6，c =√6，设F(√6, 0)，A(x 0, y 0)，B(−x 0, −y 0)， 则M(x 0+√62, y 02)，N(−x 0+√62, −y02)，由OM →⋅ON →=6−x 02−y 024=14，则x 02+y 02=5，则|AB|=2√x 02+y 02=2√5， 由直线l 的斜率k =12时，且 l′ // l ，则l:y =12x ，设 l′:y =12x +m ，y 0=12x 0，由x 02+y 02=5，则A(2, 1)，由c =√6，代入椭圆方程解得：a =2√2，c =√2，∴ 椭圆的方程：x 28+y 22=1，联立{x 2+4y 2=8y =12x +m，整理得x 2+2mx +2m 2−4=0，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2．由x 2+2mx +2m 2−4=0，可得x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4， k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=(12x 1+m−1)(x 2−2)+(12x 2+m−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2+(m−2)(x 1+x 2)−4(m−1)(x 1−2)(x 2−2)=2m 2−4−2m 2+4m−4(m−1)(x 1−2)(x 2−2)=0．即k 1+k 2=0．直线AP ，AQ 与x 轴围成一个等腰三角形． 【考点】 椭圆的定义 【解析】（1）根据中点坐标公式及向量的坐标运算即可求得x 02+y 02=5，利用两点之间的距离公式即可求得|AB|的长．（2）根据题意求得直线AB 的方程，根据x 02+y 02=5，即可求得A 点坐标，代入即可求得a 和b 的值，求得椭圆的方程，要证直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形，只需证直线MA ，MB 的倾斜角互补即可，也即直线MA ，MB 的斜率互为相反数．可分别用A ，B 点坐标表示直线MA ，MB 的斜率，再计算k 1+k 2，消去参数，看结果是否为0．若是0，则问题得证． 【解答】由题意可知：2c =2√6，c =√6，设F(√6, 0)，A(x 0, y 0)，B(−x 0, −y 0)， 则M(x 0+√62, y 02)，N(−x 0+√62, −y02)，由OM →⋅ON →=6−x 02−y 024=14，则x 02+y 02=5，则|AB|=2√x 02+y 02=2√5，由直线l 的斜率k =12时，且 l′ // l ，则l:y =12x ，设 l′:y =12x +m ，y 0=12x 0，由x 02+y 02=5，则A(2, 1)，由c =√6，代入椭圆方程解得：a =2√2，c =√2，∴ 椭圆的方程：x 28+y 22=1，联立{x 2+4y 2=8y =12x +m，整理得x 2+2mx +2m 2−4=0，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2．由x 2+2mx +2m 2−4=0，可得x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4， k 1+k 2=y 1−1x1−2+y 2−1x2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=(12x 1+m−1)(x 2−2)+(12x 2+m−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2+(m−2)(x 1+x 2)−4(m−1)(x 1−2)(x 2−2)=2m 2−4−2m 2+4m−4(m−1)(x 1−2)(x 2−2)=0．即k 1+k 2=0．直线AP ，AQ 与x 轴围成一个等腰三角形． 【答案】当t =0时，方程4x 2−1=0的两实根为α=−12,β=12， f(x)=2x x 2+1．f /(x)=−2x 2+2(x 2+1)2=−2(x 2−1)(x 2+1)2，当x ∈[−12,12brack 时，f′(x)>0，f(x)在x ∈[−12,12brack 为单调递增函数， ∴ f(x)的最小值为f(−12)=−45，f(x)的最大值为f(12)=45； f /(x)=−2x 2+2tx +222=−2(x 2−tx −1)22=−12(4x 2−4tx −1)+3222由题知：x ∈[α, β]时，4x 2−4tx −1<0，所以f′(x)>0，f(x)在区间[α, β]为单调递增函数．证明：由（2）知，g(t)=f(β)−f(α)=2β−tβ2+1−2α−t α2+1=(β−α)[t(α+β)−2αβ+2brack(α2+1)(β2+1)又由题得：{α+β=tαβ=−14， ∴ g(t)=√t 2+1(16t 2+40)16t 2+25，g(tanα)=√tan 2α+1(16tan 2α+40)16tan 2α+25=16+24cos 2α16cosα+9cos 3α≥16√616+9cos 2α，1g(tanα)+1g(tanβ)+1g(tanγ)≤16√6+9(cos 2α+cos 2β+cos 2γ)=16√6−9(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)brack ，13(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)≥(sinα+sinβ+sinγ3)2(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)≥13，∴1g(tanα)+1g(tanβ)+1g(tanγ)≤16√6−3)=3√64，由于等号不能同时成立，故得证1g(tanα)+1g(tanβ)+1g(tanγ)<34√6． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）当t =0时，方程4x 2−1=0的两实根为α=−12,β=12，f(x)=2xx 2+1．通过求导以及函数的单调性即可得出最值． （2）利用导数可得函数的单调性． （3）由（2）知，g(t)=f(β)−f(α)=2β−tβ+1−2α−tα+1=(β−α)[t(α+β)−2αβ+2brack(α+1)(β+1)，又由题得：{α+β=t αβ=−14，可得g(t)=√t2+1(16t 2+40)16t 2+25，代入计算利用已知不等式即可证明．【解答】当t =0时，方程4x 2−1=0的两实根为α=−12,β=12， f(x)=2xx 2+1． f /(x)=−2x 2+2(x 2+1)2=−2(x 2−1)(x 2+1)2，当x ∈[−12,12brack 时，f′(x)>0，f(x)在x ∈[−12,12brack 为单调递增函数， ∴ f(x)的最小值为f(−12)=−45，f(x)的最大值为f(12)=45； f /(x)=−2x 2+2tx +2(x 2+1)2=−2(x 2−tx −1)(x 2+1)2=−12(4x 2−4tx −1)+32(x 2+1)2 由题知：x ∈[α, β]时，4x 2−4tx −1<0，所以f′(x)>0，f(x)在区间[α, β]为单调递增函数．证明：由（2）知，g(t)=f(β)−f(α)=2β−tβ2+1−2α−tα2+1=(β−α)[t(α+β)−2αβ+2brack(α2+1)(β2+1)又由题得：{α+β=tαβ=−14， ∴ g(t)=√t 2+1(16t 2+40)16t 2+25，g(tanα)=√tan 2α+1(16tan 2α+40)16tan 2α+25=16+24cos 2α16cosα+9cos 3α≥16√616+9cos 2α，1g(tanα)+1g(tanβ)+1g(tanγ)≤166+9(cos 2α+cos 2β+cos 2γ)=166−9(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)brack ，13(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)≥(sinα+sinβ+sinγ3)2(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)≥13，∴1g(tanα)+1g(tanβ)+1g(tanγ)≤16√6−3)=3√64， 由于等号不能同时成立，故得证1g(tanα)+1g(tanβ)+1g(tanγ)<34√6．请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[选修4—4：坐标系与参数方程] 【答案】(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =−35t +2y =45t（t 为参数），消去参数t ，可得：4x +3y −8=0；由圆C 的极坐标方程为ρ=asinθ(a ≠0)，可得ρ2=ρasinθ，根据ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2可得圆C 的直角坐标系方程为：x 2+y 2−ay =0，即x 2+(y −a2)2=a 24．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知圆C 的圆心为(0, a 2)半径r =|a2|， 直线方程为4x +3y −8=0； 那么：圆心到直线的距离d =|3a2−8|5=|3a−810|直线l 截圆C 的弦长为√3a 2=2√r 2−d 2解得：a =32或a =3211故得直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍时a 的值为32或3211．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)将t 参数消去可得直线l 的普通方程，根据ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2带入圆C 可得直角坐标系方程；(Ⅱ)利用弦长公式直接建立关系求解即可． 【解答】(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =−35t +2y =45t （t 为参数），消去参数t ，可得：4x +3y −8=0；由圆C 的极坐标方程为ρ=asinθ(a ≠0)，可得ρ2=ρasinθ，根据ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2可得圆C 的直角坐标系方程为：x 2+y 2−ay =0，即x 2+(y −a2)2=a 24．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知圆C 的圆心为(0, a 2)半径r =|a2|， 直线方程为4x +3y −8=0； 那么：圆心到直线的距离d =|3a2−8|5=|3a−810|直线l 截圆C 的弦长为√3a 2=2√r 2−d 2解得：a =32或a =3211故得直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍时a 的值为32或3211．[选修4-5：不等式证明]【答案】当a =0时，由f(x)≥g(x)得|x +1|≥2|x|，两边平方整理得3x 2−2x −1≤0，解得−13≤x ≤1所以原不等式的解集为{x|−13≤x ≤1}由g(x)≤f(x)得a ≤|x +1|−2|x|，令ℎ(x)=|x +1|−2|x|，则ℎ(x)={x −1(x ≤−1)3x +1(−1<x <0)−x +1(x ≥0)，作出函数的图象，得ℎ(x)max =ℎ(0)=1从而实数a 的取值范围为(−∞, 1]【考点】绝对值不等式的解法与证明函数恒成立问题【解析】（1）化简不等式通过平方，转化求解即可．（2）化简不等式，分离变量，去掉绝对值符号，利用函数的图象求解函数的最大值，然后求解a 的范围．【解答】当a =0时，由f(x)≥g(x)得|x +1|≥2|x|，两边平方整理得3x 2−2x −1≤0，解得−13≤x ≤1所以原不等式的解集为{x|−13≤x ≤1}由g(x)≤f(x)得a ≤|x +1|−2|x|，令ℎ(x)=|x +1|−2|x|，则ℎ(x)={x −1(x ≤−1)3x +1(−1<x <0)−x +1(x ≥0)，作出函数的图象，得ℎ(x)max =ℎ(0)=1从而实数a 的取值范围为(−∞, 1]。
广东省2018届高考模拟考试数学理科试题(二)含答案
元
商品单价 /
a
元
0.9a
0.85a
0.8 a
0.75a
0.7 a
为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了
50 个经销商一年的销售额，得到下面的
柱状图 .
已知某经销商下一年购买该商品的单价为
X （单位： 元），且以经销商在各段销售额的频率作
为概率 .
（ 1）求 X 的平均估计值 .
（ 2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获
y2 8px p 0 交于 A ， B 两点， 直线 OP 与抛物线 y2 8 px p 0 的另一个交点为 Q ，
则 S ABQ
．
S ABO
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）
17. 在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 B 60 ， c 8 .
A． 7
B
． 2 C ．5
D ．8
4. 如图， AD 是以正方形的边 AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴
影区域内的概率为（
）
A．
16
3
B．
C.
16
4
1
D．
4
5. 已知等比数列 an 的首项为 1 ，公比 q 1 ，且 a5 a4 3 a3 a2 ，则 9 a1a2a3 a9
（）
A． 9
B
． 9 C.
81 D ． 81
2
2
6. 已知双曲线
C
:
x a2
y b2
1a
0, b
广东省省际名校(茂名市)高三下学期联考(二)数学(理)试题Word版含答案
广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．()3,4D ．[]3,42．若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45 B ．35C ．35-D ．45- 3.设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A.()1y f x =在R 上为减函数 B.()y f x =在R 上为增函数 C.()2f x y -=在R 上为减函数D.()3y f x =-⎡⎤⎣⎦在R 上为增函数4.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S .在一次投掷中，已知S 是奇数，则9S =的概率是（ ） A ．16 B ．29 C ．19 D ．155.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC BD ⋅=（ ）A ．2B ．3C ．6D ．126.以()0,b 为圆心，a 为半径的圆与双曲线()2222:10,0a y x C a bb >->=的渐近线相离，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ 7.n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对*n N ∀∈都有234n n S a =+，则n S =（ ） A ．223n -⨯ B ．43n ⨯ C ．143n --⨯ D ．1223n ---⨯8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（ ）A ．323 B ．643 C ．16 D ．139.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（ ）A ．14 B ．34 C ．4π D ．14π- 10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组240,4,0x y x y ⎧-≥⎪≤⎨⎪≥⎩的点(),x y 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为1V ；满足不等式组()2222224,,0x y r x y r r y ⎧+≤⎪⎪+-≥⎨⎪≥⎪⎩的点(),x y 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为2V .利用祖暅原理，可得1V =（ ）A ．323π B ．643π C ．32π D ．64π 11.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X 的数学期望是（ ） A ．185 B ．92 C ．367 D ．16312.记函数()sin 2cos f x nx nx =-在区间[]0,π内的零点个数为()*n a n N ∈，则数列{}n a 的前20项的和是（ ）A ．430B ．840C ．1250D ．1660第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.i 是虚数单位，复数z 满足()113i z i +=+，则2z = ．14. 若实数,x y 满足约束条件1,10,326,,,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪-+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩则2z x y =-的所有取值的集合是 ．15. 以坐标原点O 为圆心的圆与抛物线及其准线24y x =分别交于点,A B 和,C D ，若AB CD =，则圆O 的方程是 ．16.若对任意的0>x ，不等式()2221ln 1x m m x -++≥恒成立，则m = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin 2sin ,23A C b c ==. （1）cos C ；（2）若B ∠的平分线交AC 于点D ，且ABC ∆BD 的长. 18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系. （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩； （3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()()226.6350.01,10.8280.01P K P K ≥=≥=.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且11A AB A AD ∠=∠.（1）证明：四边形11BB D D 为矩形；（2）若1,60AB A A BAD =∠=︒，1A A 与平面ABCD 所成的角为30︒，求二面角11A BB D --的余弦值.20.设椭圆()22220:1x y E a a b b =>>+，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为（1）求E 的方程；（2）过E 的左焦点1F 作直线1l 与E 交于,A B 两点，过右焦点2F 作直线2l 与E 交于,C D 两点，且12//l l ，以,,,A B C D 为顶点的四边形的面积83S =，求1l 与2l 的方程.21.已知()ln ,f x x ax a a R =-+∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()()()2112g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-，直线l 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数). （1）若34πα=，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 有两个不同的交点,A B ，且()2,1P 为AB 的中点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小值a ；（2）根据（1）中的结论，若33m n a +=，且0,0m n >>，求证:2m n +≤.试卷答案一、选择题1-5: DDCBC 6-10: BAACC 11、12：DA 二、填空题13. 5 14.{}2,1,1,2-- 15.225x y += 16.0或1- 三、解答题17. 解:（1）因为sin 2sin A C =，所以2a c =. 于是，()2222223272cos 28222c c c a b c C ab c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⨯⨯.（2）由7cos 8C =可得sin C =设ABC ∆的面积为S，∴113sin 2222S ab C c c ==⋅⋅=∴24,2c c ==.则4,3a b ==. ∵BD 为B ∠的平分线，∴2a CD c AD==，∴2CD AD =. 又3CD AD +=.∴21CD AD ==,. 在BCD ∆中,由余弦定理可得 22274224268BD =+-⨯⨯⨯=，∴BD 18.解:(（1）由题意可知120,90x y ==， 故()()()()()()()()()()()()()()()222221451201109013012090901201201029010512078901001207090145120130120120120105120100120b --+--+--+--+--=-+-+-+-+-50000180400108040.8625100022540013505++++====++++.901200.86a =-⨯=-，故回归方程为0.86y x =-.（2）将110x =代入上述方程，得0.8110682y =⨯-=.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人. 于是可以得到22⨯列联表为：于是()2260241812610 6.63530303624K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关. 19.（1）证明:连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接111,,A B A D AO . ∵11,A AB A AD AB AD ∠=∠=，∴11A B A D =. 又O 为BD 的中点，∴1,AO BD AO BD ⊥⊥.. ∴BD ⊥平面11A ACC ，∴1BD AA ⊥. ∵11//BB AA ，∴1BD BB ⊥.又四边形11BB D D 是平行四边形，则四边形11BB D D 为矩形.（2）解:过点1A 作1A E ⊥平面ABCD ，垂足为E ，由已知可得点E 在AC 上，∴130A AC ∠=︒.设11AB A A ==，则11,2A E AE ==.在菱形ABCD 中，1,60AB AD BAD ==∠=︒，∴AC AO ==∴点E 与点O 重合，则1AO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -.则11111110,0,,0,,0,,0,,022222A B B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，. ∴()11111131310,,,,,0,0,1,0,,1,2222A B A B BD B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =，则 1110m A B m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴110,22102y z y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即,.y z y =⎧⎪=取1x =，可得(1,3,m =为平面11A BB 的一个法向量. 同理可得平面1BB D 的一个法向量为(1,0,3n =。
广东省茂名市环城中学2018年高三数学理测试题含解析
广东省茂名市环城中学2018年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则a， b，c的大小关系是（）A、a＞c＞bB、a＞b＞cC、c＞a＞bD、b＞c＞a参考答案：A2. 函数是( )A.偶函数，在(0，＋∞)是增函数B.奇函数，在(0，＋∞)是增函数C.偶函数，在(0，＋∞)是减函数D.奇函数，在(0，＋∞)是减函数参考答案：【知识点】函数的奇偶性和单调性；指数函数的性质 B3 B4 B6【答案解析】B 解析：函数的定义域为，，所以函数为奇函数；函数是增函数，是减函数，所以是增函数，则也是增函数，故选：B【思路点拨】由函数奇偶性的定义可以判断函数为奇函数，而指数函数是增函数，是减函数，可以判断是增函数。
3. 已知直线与直线m是异面直线，直线在平面α内，在过直线m所作的所有平面中，下列结论正确的是（）A．一定存在与平行的平面，也一定存在与α平行的平面B．一定存在与平行的平面，也一定存在与α垂直的平面C．一定存在与垂直的平面，也一定存在与α平行的平面D．一定存在与垂直的平面，也一定存在与α垂直的平面参考答案：B略4. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）A．B． C. D．参考答案：A由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体则5. （09年宜昌一中12月月考理）已知数列的通项公式为，设其前n项和为S n，则使S n<-5成立的自然数n 有（）A．最小值63 B．最大值63 C．最小值31 D．最大值31参考答案：A6. 复数的共轭复数 VA. B. C. D.参考答案：A7. 设函数，则满足的x的取值范围是( )A．，2] B．[0，2] C．[1，+) D．[0，+)参考答案：D略8. 已知是虚数单位，则复数的共轭复数是A、1－B、－1＋C、1＋D、－1－参考答案：C∴复数的共轭复数是说明：⑴形如Z=a + bi（其中）称为复数，a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）为z的共轭复数.⑵两个复数相等的定义：.⑶复数集是无序集，不能建立大小顺序。
2018年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．D．33．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣14．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%）A．.7539 B．6038 C．7028 D．65875．（5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．606．（5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了7．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（）A．B．﹣1 C．2018 D．29．（5分）设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（）A．.2 B．C．D．10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，若2sin（﹣）=1，且a=2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．211．（5分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（e，e3）C．（e，e2）D．（1，e3）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13．（5分）已知，若，则λ=．14．（5分）在（1﹣x）2（1﹣）4的展开式中，x2的系数是．15．（5分）已知函数f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx（ω＞0）在区间上是增函数，且在区间[0，x]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是_．16．（5分）从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n 为数列{c n}的前n项和，若T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PCD；（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950（元），记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．20．（12分）已知椭圆C1：（（a＞b＞0））的一个焦点为F1，且经过点P．（I）求椭圆C1的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（I）讨论g（x）的单调性；（II）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，若m≥1，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（I）若直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；（II）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．D．3【解答】解：由（z﹣i）i=2+i，得z﹣i=，∴z=1﹣i，则|z|=．故选：A．3．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），此时z max=3×3+2=11，故选：B．4．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%）A．.7539 B．6038 C．7028 D．6587【解答】解：∵X～N（1，1），∴μ=1，σ=1．μ+σ=2∵P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，∴则P（0＜X＜2）=68.26%，则P（1＜X＜2）=34.13%，∴阴影部分的面积为：0.6587．∴正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选：D5．（5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．60【解答】解：根据题意，设最底一层有a盏灯，则由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列，又由S7==381，解可得a=192，则a4=a×（）3=24，即该塔中间一层有24盏灯；故选：A．6．（5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了【解答】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．故选：C．7．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选C．8．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（）A．B．﹣1 C．2018 D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：A．9．（5分）设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（）A．.2 B．C．D．【解答】解：方法一：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意得由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积是1，则mn=1，得mn=2，∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2∴（m﹣n）2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4，结合双曲线定义，得（m﹣n）2=4a2，∴4c2﹣4=4a2，化简整理得c2﹣a2=1，即b2=1，则b=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，故选C．方法二：由双曲线的焦点三角形的面积公式S=，∠F1PF2=θ，由PF1⊥PF2，则∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积S==b2=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，故选C．10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，若2sin（﹣）=1，且a=2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵2sin（﹣）=1，A∈（0，π），∴∈，∴=，∴．又a=2，由余弦定理得：4=b2+c2﹣2bc，即4=b2+c2+bc．根据基本不等式得：4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc．即bc≤．当且仅当b=c时，等号成立．△ABC面积S=bcsinA≤=（当且仅当b=c时，等号成立）∴△ABC的面积的最大值．故选：B．11．（5分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解析：三棱锥的直观图如图，以△PBC所在平面为球的截面，则截面圆O1的半径为，以△ABC所在平面为球的截面，则截面圆O2的半径为球心H到△ABC所在平面的距离为，则球的半径R为，所以球的体积为=4．故选：A．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（e，e3）C．（e，e2）D．（1，e3）【解答】解：∵f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x）且为奇函数，函数f（x）=f （2﹣x）=﹣f（﹣x）∵f（﹣x）=f（2+x）⇒f（x+4）=f（x）∴f（x）周期为4，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，根据m（x）=|f（x）|与n（x）=ae﹣|x|图象，函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，即m（x）=|f（x）|与n（x）=ae﹣|x|在[0，4]有且仅有两个交点，∴即e＜a＜e3．故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13．（5分）已知，若，则λ=．【解答】解：∵，，∴=﹣1+2λ=0，解得λ=．故答案为：．14．（5分）在（1﹣x）2（1﹣）4的展开式中，x2的系数是﹣10．【解答】解：（1﹣x）2（1﹣）4=（1﹣2x+x2）（1﹣4+﹣+x2）∴x2的系数=1﹣2+1=﹣10．故答案为：﹣10．15．（5分）已知函数f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx（ω＞0）在区间上是增函数，且在区间[0，x]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是_．【解答】解：f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx=4sinωx﹣﹣2sin2ωx=2sinωx（1+sinωx）﹣2sin2ωx=2sinωx，即：f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在上递增，∴，∴得不等式组，得，又∵ω＞0，∴，又函数在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得．故答案是：．16．（5分）从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为．【解答】解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，﹣1），则，又∵，，∴，则．由x2=4y，得，∴，∴切线PA的方程为y﹣y1=（x﹣x1），切线PB的方程为y﹣y2=（x﹣x2），即切线PA的方程为y﹣=（x﹣x1），即；切线PB的方程为y﹣=（x﹣x2），即．∵点P（x0，﹣1）在切线PA、PB上，∴，，可知x1，x2是方程x2﹣2x0x﹣4=0的两个根，∴x1+x2=2x0，得．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n 为数列{c n}的前n项和，若T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意，得…（2分）解得…（3分）所以…（4分）（II）由（I）得，…（5分）．…（6分）∴，…（8分）∴，…（10分）若恒成立，则恒成立，则，所以…（12分）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PCD；（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】证明：（I）∵PC⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PC⊥AC，由题意可知，AD∥BC，且AD=2BC=2△ABC是等腰直角三角形，∴AC=，CD=，…（2分）∴CD2+AC2=AD2，即AC⊥CD，…（3分）又∵PC∩CD=C，…（4分）∴AC⊥平面PCD，…（5分）∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PCD．…（6分）解：（II）解法1：由（1）得平面EAC⊥平面PCD，平面EAC∩平面PCD=EC，作PH⊥EC，则PH⊥平面EAC，…（8分）∴PA与平面EAC所成角为∠PAH，…（9分）在Rt△PAC中，PA=，在Rt△PHC中，sin∠PCE=，PH=PCsin，…（10分）sin=，∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）解法2：∵PC⊥底面ABCD，则建立如图所示的直角坐标系，…（7分）则P（0，0，2），，，，．…（8分）设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，即，…（9分）令z=1，解得…（10分）记直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ==，所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950（元），记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．【解答】解：（I）由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，…（1分）由统计数据可知：，，，，，．…（4分）∴X的分布列为：…（5分）∴…（6分）（II）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，…（7分）三辆车中至多有一辆事故车的概率为…（9分）②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000，P（Y=﹣500）=，P（Y=10000）=，∴Y的分布列为：…（10分）…（11分）所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=550000元=55万元．…（12分）20．（12分）已知椭圆C1：（（a＞b＞0））的一个焦点为F1，且经过点P．（I）求椭圆C1的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆C1的另一个焦点为F2，由题意可得，△PF1F2为直角三角形，则，∴，由椭圆的定义得，即a=3，又由b2+c2=a2，得b=2，∴椭圆C1的标准方程；（2）设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）．∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l方程为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．∴，∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），即y1=﹣2y2，则y1+y2=﹣y2，∴．=S△AOC+S△BOC=∴△OAB的面积为S△OAB==═×==．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线l的方程为或．21．（12分）已知函数（a∈R）．（I）讨论g（x）的单调性；（II）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，若m≥1，证明：．【解答】解：（I）（a∈R），方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a，①当时，△≤0，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）为增函数，②当时，△＞0，方程2x2+x﹣a=0的两根为，当时，x1＜x2≤0，g（x）在（0，+∞）为增函数，当a＞0时，x1＜0＜x2，g（x）在（x2，+∞）为增函数，在（0，x2]为减函数，综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间，当a＞0时，g（x）的增区间为（x2，+∞），减区间（0，x2]，（II）证明：f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a，所以f'（x）=lnx﹣ax因为f（x）有两极值点x1，x2，所以lnx1=ax1，lnx2=ax2，欲证等价于要证：，即1+m＜lnx1+mlnx2，所以1+m＜lnx1+mlnx2=ax1+max2=a（x1+mx2），因为m≥1，0＜x1＜x2，所以原式等价于要证明：．又lnx1=ax1，lnx2=ax2，作差得ln=a（x1﹣x2），所以a=所以原式等价于要证明：，令t=，t∈（0，1），上式等价于要证：，t∈（0，1），令，所以，当m≥1时，h′（t）＞0，所以h（t）在（0，1）上单调递增，因此h（t）＜h（1）=0，所以在t∈（0，1）上恒成立，所以原不等式成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（I）若直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；（II）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．转化为：x2+y2﹣4x=0，整理得：（x﹣2）2+y2=4∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点；∴当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0直线l与圆有公共点，则，解得：∵α∈[0，π]，∴α的取值范围是：[0，]．（II）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，可化为：（x﹣2）2+y2=4．其参数方程为：（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴=2+，由于：则：所以：∴x+y的取值范围是[﹣2.6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）。
广东省茂名市化州汉威中学2018年高二数学理联考试题含解析
广东省茂名市化州汉威中学2018年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不等式组表示的平面区域是（）A .矩形B .三角形 C. 直角梯形 D . 等腰梯形参考答案：D略2. 某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20, 0.30, 0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（）A. 0.30B. 0.40C. 0.60D. 0.90参考答案：B【分析】先求出此射手在一次射击中大于等于8环的概率，即可求出结果.【详解】记“此射手在一次射击中大于等于8环”为事件，由题意可得，所以，此射手在一次射击中不够8环的概率为.故选B【点睛】本题主要考查对立事件，熟记对立事件性质即可，属于基础题型.3. 在复平面内，与复数（为虚数单位）对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D4. 已知复数，则( )A. B. C. D.参考答案：C略5. 若数列{a n}对于任意的正整数n满足：a n＞0且a n a n＋1＝n＋1，则称数列{a n}为“积增数列”．已知“积增数列”{a n}中，a1＝1，数列{a＋a}的前n项和为S n，则对于任意的正整数n，有( )A．S n≤2n2＋3 B．S n≥n2＋4n C．S n≤n2＋4n D．S n≥n2＋3n参考答案：D∵ a n＞0，故选D.6. 下列各组函数的图象相同的是（）A、 B、C、 D、参考答案：D7. 设函数,则（）A.为f(x)的极大值点B.为f(x)的极小值点C .为f(x)的极大值点 D.为f(x)的极小值点参考答案：D8. 过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0参考答案：B【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的性质．【分析】过点A（1，2）且与原点距离最大的直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：B9. 函数有( )A. 最大值为1B. 最小值为1C. 最大值为eD. 最小值为e参考答案：A【分析】对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.【详解】解:，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，有最大值为，故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.10. 有3人排成一排，甲、乙两人不相邻的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题；概率与统计．【分析】所有的方法数为A33=6，其中甲、乙两人不相邻的方法数为A22=2，由此求得甲、乙两人不相邻的概率．【解答】解：3人排成一排，所有的方法数为A33=6，其中甲、乙两人不相邻的方法数为A22=2，故3人排成一排，甲、乙两人不相邻的概率是=，故选：C．【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，求出甲、乙两人不相邻的方法数为A22?A44，是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 椭圆的离心率为______.参考答案：【分析】由椭圆方程得到，的值，然后由求得的值，进而求得离心率。
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广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞ B ．(],4-∞ C ．()3,4 D ．[]3,42．若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45 B ．35C ．35-D ．45- 3.设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A.()1y f x =在R 上为减函数 B.()y f x =在R 上为增函数 C.()2f x y -=在R 上为减函数D.()3y f x =-⎡⎤⎣⎦在R 上为增函数4.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S .在一次投掷中，已知S 是奇数，则9S =的概率是（ ）A ．16 B ．29 C ．19 D ．155.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC BD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．2B ．3C ．6D ．126.以()0,b 为圆心，a 为半径的圆与双曲线()2222:10,0a y x C a bb >->=的渐近线相离，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．51⎛+ ⎝⎭B ．51⎫++∞⎪⎪⎝⎭C ．53⎛+ ⎝⎭D ．53⎫++∞⎪⎪⎝⎭7.n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对*n N ∀∈都有234n n S a =+，则n S =（ ） A ．223n -⨯ B ．43n ⨯ C ．143n --⨯ D ．1223n ---⨯8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（ ）A．32 3B．643C．16D．139.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．14B．34C．4πD．14π-10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组240,4,x yxy⎧-≥⎪≤⎨⎪≥⎩的点(),x y组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕y轴旋转180︒，所得几何体的体积为1V；满足不等式组()2222224,,x y rx y r ry⎧+≤⎪⎪+-≥⎨⎪≥⎪⎩的点(),x y组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕y轴旋转180︒，所得几何体的体积为2V.利用祖暅原理，可得1V=（）A．323π B．643π C．32π D．64π11.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的数学期望是（）A．185B．92C．367D．16312.记函数()sin2cosf x nx nx=-在区间[]0,π内的零点个数为()*na n N∈，则数列{}n a的前20项的和是（）A．430 B．840 C．1250 D．1660第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.i是虚数单位，复数z满足()113i z i+=+，则2z=．14. 若实数,x y满足约束条件1,10,326,,,x yx yx yx N y N+≥⎧⎪-+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩则2z x y=-的所有取值的集合是．15. 以坐标原点O为圆心的圆与抛物线及其准线24y x=分别交于点,A B和,C D，若AB CD=，则圆O的方程是．16.若对任意的0>x，不等式()2221ln1x m m x-++≥恒成立，则m=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC∆的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，sin2sin,23A C b c==.（1）cos C；（2）若B∠的平分线交AC于点D，且ABC∆的面积为315，求BD的长.18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数据表明y与x之间有较强的线性关系.（1）求y关于x的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$，$ay bx =-$. ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()()226.6350.01,10.8280.01P K P K ≥=≥=.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且11A AB A AD ∠=∠.（1）证明：四边形11BB D D 为矩形；（2）若1,60AB A A BAD =∠=︒，1A A 与平面ABCD 所成的角为30︒，求二面角11A BB D --的余弦值.20.设椭圆()22220:1x y E a a bb =>>+22，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为22（1）求E 的方程；（2）过E 的左焦点1F 作直线1l 与E 交于,A B 两点，过右焦点2F 作直线2l 与E 交于,C D 两点，且12//l l ，以,,,A B C D 为顶点的四边形的面积83S =，求1l 与2l 的方程.21.已知()ln ,f x x ax a a R =-+∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()()()2112g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-，直线l 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数). （1）若34πα=，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 有两个不同的交点,A B ，且()2,1P 为AB 的中点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x x =++-.（1）求函数()f x 的最小值a ；（2）根据（1）中的结论，若33m n a +=，且0,0m n >>，求证:2m n +≤.试卷答案一、选择题1-5: DDCBC 6-10: BAACC 11、12：DA 二、填空题13. 5 14.{}2,1,1,2-- 15.225x y += 16.0或1- 三、解答题17. 解:（1）因为sin 2sin A C =，所以2a c =. 于是，()2222223272cos 328222c c c a b c C ab c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⨯⨯. （2）由7cos 8C =可得15sin C =.设ABC ∆的面积为S ，∴11315315sin 2222S ab C c c ==⋅⋅， ∴24,2c c ==.则4,3a b ==. ∵BD 为B ∠的平分线，∴2a CD c AD==，∴2CD AD =. 又3CD AD +=.∴21CD AD ==,. 在BCD ∆中,由余弦定理可得 22274224268BD =+-⨯⨯⨯=，∴6BD =18.解:(（1）由题意可知120,90x y ==， 故()()()()()()()()()()()()()()()222221451201109013012090901201201029010512078901001207090145120130120120120105120100120b --+--+--+--+--=-+-+-+-+-$50000180400108040.8625100022540013505++++====++++.$901200.86a=-⨯=-， 故回归方程为$0.86y x =-.（2）将110x =代入上述方程，得$0.8110682y =⨯-=.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人. 于是可以得到22⨯列联表为：于是()2260241812610 6.63530303624K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关. 19.（1）证明:连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接111,,A B A D AO . ∵11,A AB A AD AB AD ∠=∠=，∴11A B A D =. 又O 为BD 的中点，∴1,AO BD AO BD ⊥⊥.. ∴BD ⊥平面11A ACC ，∴1BD AA ⊥. ∵11//BB AA ，∴1BD BB ⊥.又四边形11BB D D 是平行四边形，则四边形11BB D D 为矩形.（2）解:过点1A 作1A E ⊥平面ABCD ，垂足为E ，由已知可得点E 在AC 上，∴130A AC ∠=︒. 设11AB A A ==，则113,2A E AE ==.在菱形ABCD 中，1,60AB AD BAD ==∠=︒，∴33,AC AO =. ∴点E 与点O 重合，则1A O ⊥平面ABCD . 以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -. 则111131110,0,,0,,0,,0,,022222A B B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，. ∴()11111131310,,,,0,0,1,0,1,2222A B A B BD B D ⎛⎫⎫⎛⎫=-==-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u u r . 设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =u r ，则 1110m A B m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r ,∴110,223102y z y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即,3.y z x y =⎧⎪= 取1x =，可得(3,3m =u r为平面11A BB 的一个法向量.同理可得平面1BB D 的一个法向量为(3n =r。