复数的除法导学案
【良心出品】复数的乘除运算导学案.doc
班级姓名小组月日淮南 28 中“ 532”生态课堂一课三测学案课题学习主备教师 : §3.2.2复数的乘除运算（第一课时）1..掌握复数乘法、除法运算法则及i 幂的性质；2.能较熟练的进行复数的乘、除法运算；目标 3. 掌握共轭复数的概念及应用。
重点、难点复数的乘除法则、 i 幂的性质、共轭复数及其应用预习检测一、基础梳理预习课本 P58～ 60，思考并完成下列问题1、复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数的定义是什么？（1）设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b，c， d∈ R)，则 z1·z2＝ (a＋ bi)( c＋ di) ＝＿＿＿＿＿＿＿（2）复数乘法的运算律交换律z1·z2＝＿＿＿对任意复数 z1， z2， z3∈ C，有(z1·z2) ·z3＝＿＿＿＿结合律分配律z1(z2＋ z3) ＝＿＿＿＿（ 3）共轭复数实部＿＿＿＿虚部＿＿＿＿＿＿＿＿＿的两个复数称为共轭复数。
.若 z=a+bi，则z=＿＿＿＿＿＿＿＿。
思考：若 z=a+bi ，z+ z = ＿＿＿＿＿ , z －z =＿＿＿＿＿, z ·z = ＿＿＿＿＿＿＿，｜z｜＿＿｜z｜（ 4）．复数代数形式的除法法则：(a＋ bi) ÷(c＋ di)＝a＋bi＝＿＿＿＿＿＿＿＿ = ＿＿＿＿＿＿＿＿＿(c＋di≠0)．c＋ di（5）i幂的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿♂我的困惑：课堂训测（师生互动）典型例题例 1：计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)变式： (1) (4 －i)(6 ＋2i) ；（2）(1 ＋i)(1 －i) ＋( －1＋i) ；（3）(1 i)2例2:计算(1 2i) (3 4i )例 3:求值i i 2 i 3 i 2017[小试身手 ] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()(2)若 z1， z2∈ C，且 z21＋ z22＝ 0，则 z1＝ z2＝ 0.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．()2． (北京高考 )复数 i(2－ i)＝ ( )A． 1＋ 2i B． 1－ 2iC．－ 1＋2i D．－ 1－ 2i3．若复数 z1＝ 1＋ i， z2＝ 3－ i，则 z1·z2＝ ()A． 4＋ 2i B． 2＋ iC． 2＋ 2i D． 3＋ 4ii 2＋ i 3＋ i 44．复数＝ ________.1－ i归纳总结达标考测1．已知 x， y∈ R，i 为虚数单位，且xi － y＝－ 1＋ i ，则 (1＋ i) x＋y的值为 ()A ． 2B ．－ 2iC．－ 4D． 2i2．已知 a， b∈ R， i 是虚数单位．若(a＋ i)(1 ＋ i) ＝ bi，则 a＋ bi ＝ ________.3.若复数 z 满足 z(2－ i) ＝11＋7i(i 是虚数单位 )，则 z 为( )A ． 3＋ 5iB ．3－ 5iC．－ 3＋ 5i D．－ 3－ 5i4.设 i 是虚数单位，复数1＋ai为纯虚数，则实数 a 为 ( ) 2－ iA ． 2 B．－ 21 1C．－2 D.25 .i 为虚数单位， i 607的共轭复数为 ()A ．iB ．－ iC．1 D．－ 16. 计算 i1＋ i 2＋i 3＋＋ i 2 016＝ ________.7．复数(1＋i) 2 (2＋ 3i)的值为 ( )A ． 6－ 4iB ．－ 6－ 4iC．6＋ 4i D．－ 6＋ 4i8． (全国卷Ⅰ) 已知复数 z 满足 (z－1)i ＝1＋ i ，则 z＝ ( )A ．－ 2－ iB ．－ 2＋ iC．2－ i D． 2＋ i9. (全国卷Ⅱ ) 若 a 为实数，且2＋ai＝3＋ i ，则 a＝ () 1＋iA．－ 4 B．－ 3 C． 3 D． 4。
复数代数形式的乘除运算公开课导学案
课堂教学导学案 1.掌握复数代数形式乘、除法运算法则，熟练地进行复数的乘、除法运算；了解共轭复数的定义及性质；进一步提高复数代数形式的四则运算的能力。
2.学生通过“回顾－探究－巩固－小结”的过程中了解复数代数形式的四则
运算法则。
3.通过对实数的乘除法运算法则及运算律推广到复数的乘除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰的认识，同时培养学生的科学思维方法。
一、自主学习(基础知识）：
一、复习引入
1. 已知两复数12,()z a bi z c di a b c R =+=+∈、、，那么
（1）加法法则：
（2）减法法则：
即：两个复数相加（减）就是类比多项式加（减）法，按i 进行合并同类项 2. =±2
)(b a
=-+)(b a b a ）（
二、探究新知
根据以前所学知识，完成下题
()()?a bx c dx ++=
类比多项式乘法，尝试完成下题
()()?a bi c di ++=
归纳出复数乘法法则：
三、例题讲解
例1.计算：
（1）i i ）（+2 （2）
)3(2-1i i +）（ （3）(12)(34)(2)i i i -+-+
变式练习：计算(2)(32)(13)i i i ----+
例2.计算：（1）(34)(34)i i +- （2）2
(1)i +
观察：34i +和34i -有什么关系？那这样的两个复数有怎样的名称呢？
探究：类比实数除法运算，试探求复数除法法则？
复数除法定义：
复数的除法法则：。
高二数学 3.2.2复数的乘法、除法运算导学案 文
3.2.2复数的乘法、除法运算一、学习目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题；情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系.二、教学重难点：重点：复数代数形式的除法运算.难点：对复数除法法则的运用.三、学习过程（一）复习引入1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.（二）课程新授1．乘法运算法则：设12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，定义12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++显然，两个复数的乘积仍为复数．由此定义出发，复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施．其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.例1. 已知122,34z i z i =+=-，计算12z z例2. 求证：22(1)z z z z ⋅==；22(2)z z =；1212(1)z z z z ⋅=⋅例3. 计算2(12)i -例4.计算：37281990;;;i i i i2.复数的倒数：已知z a bi =+，如果存在一个复数z '，使1z z '⋅=则z '叫做z 的倒数，记作1z． 3.复数除法运算法则：利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴()()2222a ac bd bc ad i c d bi c di c d +÷++=-+++. 例4. 计算(12)(34)i i +÷-例6.计算81()1i i+-（三）变式训练1.复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - 2.设复数z 满足12i i z +=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i +3.复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ）A.i -B.iC.1-D.14.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.（四）课时小结四、课后反思。
7.2.2 复数的乘、除运算 教学案
7.2 复数的四则运算7.2.2 复数的乘、除运算教学目标：1.掌握复数乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.理解且会求复数范围内的方程根.教学重点：复数代数形式的乘法和除法运算.教学难点：求复数范围内的方程根.教学过程：一、导入新课，板书课题前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？【板书：复数的乘、除运算】二、出示目标，明确任务1.掌握复数乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.理解且会求复数范围内的方程根.三、学生自学，独立思考学生看书，教师巡视，督促学生认真看书下面，阅读课本P77-P79页内容，思考如下问题（4min）：1.找出阅读内容中的知识点。
2.找出阅读内容中的重点。
3.找出阅读内容中的困惑点，疑难点。
四、自学指导，紧扣教材自学指导（8min）阅读课本P77-P79页内容，思考并完成如下问题：1.复数的乘法法则是什么？与多项式相乘的区别是什么？2.复数的乘法满足运算律有哪些？你能否证明一下？3.按照五步法认真阅读例3、例4，说明运用了哪些乘法运算律？运用乘法公式对例4进行计算，比对过程和结果有什么不同。
4.按照五步法认真阅读例4（1），你能得到关于共轭复数的一个什么性质？5.类比复数加减运算的关系，探究除法的运算法则（复数的除法实质上是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么数？）；6.按照五步法认真阅读例5，熟练掌握复数除法的运算法则；7.根据五步法阅读例6，利用求解一元二次方程的根的方法，求复数范围内的方程根.五、自学展示，精讲点拨1.口头回答自学指导问题（答案见PPT）2.书面检测：课本80页练习题1、2、3、4精讲点拨：1．复数乘、除的运算已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有4.共轭复数的性质：若z1，z2是共轭复数，则z1，z2是一个实数。
(新课程)高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》导学案 新人教A版选修1-2
3.2.2复数的乘法和除法
【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】
【学习目标】
1、知识与技能：掌握复数乘法运算法则，能够熟练地进行乘方运算
（1）通过实例分析，
2、过程与方法：小组合作探究；
3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣。
一，自主学习
复数的代数形式的运算法则
指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式．
复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
二合作探究，展示，点评
1212.
已知z=2+i，z=3-4i，算z z
,,,,,,,,,
n n n n i i i i 4342414,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+++
三总结 四检测 （1）学生填空： ； ＝ ＝ ． 设 ，则 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ． 设 （或 ），则 ， ．。
(完整word版)复数代数形式的乘除运算导学案
(完整word 版)复数代数形式的乘除运算导学案§3.2.2复数代数形式的四则运算 课时数：2课时主编：高燕燕 审核：刘洪福 班级：__________ 姓名：_____________ 【学习目标】 1、会用复数的代数形式的四则运算法则及运算律2、理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题； 【学习重点】 1、复数加四则运算及复数加减法运算的几何意义； 2、复数代数形式的除法运算.【学习难点】 1、复数加减法运算的运算律及复数加减法运算的几何意义. 2、对复数除法法则的运用.一、自主学习：预习P56—57，完成下列问题： （一）、复数代数形式的加减运算1、复数1z 与2z 的和的定义，设bi a z +=1，di c z +=2，则 =+21z z2、复数z 1与z 2的差的定义，设bi a z +=1，di c z +=2，则 =-21z z 容易得到：复数的加法运算满足交换律:_________________________ 复数的加法运算满足结合律: ________________________ (二)、复数加减运算的几何意义引导:设复数bi a z +=1，di c z +=2，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标分别为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )，以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ .由复数的几何意义知，向量OZ 对应的复数即为复数 .这就是复数加法的几何意义. 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）思考：复数减法的几何意义？预习P58—60，完成下列问题：1.复数乘法运算法则：z 1=a +bi ，z 2=c +di (a ，b ，c ，d ∈R )，z 1·z 2=2.乘法运算律：(1) (2) (3) 3、共轭复数：_______________________________________________试试：34i +的共轭复数为 a bi +的共轭复数为 bi 的共轭复数为问：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为： （2）12z z ⋅是一个怎样的数？ 4、复数的除法运算 （1）复数除法定义：(完整word 版)复数代数形式的乘除运算导学案满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者dic bi a ++()0≠+di c .（2）复数除法法则：di c bia ++= (3) 特殊结论：=i1 ，=+-i i 11 ，=-+i i 11 5、复数积与商的模的性质：（1）z z = （2）z z z z ⋅==22(3)|z 1·z 2|= (4)=2z z 1( z 2≠0) （5）212121_______z z z z z z +±-（用≥≤或填空）（三）练一练1、已知1234,2z i z i =+=--，则_______________,2121=-=+z z z z2、已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数；（2）CA 表示的复数；（3）B 点对应的复数.变式： ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数.3、计算： （1）(34)(34)i i +-； （2）2(1)i + （3）)2)(43)(21(i i i +-+-.（4）(1+2i )÷(3-4i ) （5）232(12)ii -+， （6i43+4、已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z .二、我的疑问三、学习探究：探究一：计算20135432i i i i i i ++++++ （你能得到i 的什么性质？）变：1、如果i 2321+-=ω，计算2013432ωωωωω+++++ （你又能得到ω的什么性质？） 2、计算（1）10099)3()3(i i -+ （2） 2008)11(3443i i i i +-++-（3）设_____1,1119921992=+-=+xx x x 则探究二：设z 为复数，且,11=+=z z 求1-z变1、复数z 满足1=z ，且i z 432-+=ω，求复数ω在复平面内对应的图形？变2、若,122,=-+∈i z C z 且求i z 22--的取值范围探究三:设复数z 满足iz z 2110-=-，求复数z变1、若复数z 满足_____,1)1(=-=+z i i z 则其共轭复数变2、设复数z 满足1=z ，且z i ⋅+)43(是纯虚数，求z探究四：在复数范围内解下列方程（1）13=z （2）i z 2472--= （3）i z z 422+=+（4）0322=++x x （5）0)22()5()2(2=-++-+i x i x i四、检测反馈：1、0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 2、 设O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ） A ．55i -+ B ．55i -- C ．55i + D ．55i - 3、复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i - 4、设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i -D ．2i +5、若1z =+，则22z z -的值为 6、若复数z 满足11zi z-=+，则|1|z +的值为 7、 2i i +在复平面内表示的点在第 象限.8、计算：（1）1()(1)2i -+； （2）11)()22--（3）274ii +++25(4)(2)i i i ++ ）（Z k ii i i i i k k k k ∈-++++++++143)4(3219、已知R b a i z ∈+=,,1（1）若,432-+=z z ω求ω （2）若i z z baz z -=+-++1122，求b a ,的值。
复数代数形式的乘除运算导学案
复数代数形式的乘除运算导学案一、引言复数是数学中一个重要的概念，它是由实数和虚数组成的。
复数的乘除运算是复数运算中最基本也是最重要的操作之一、本导学案将重点介绍复数的乘除运算的基本方法和性质。
二、复数的乘法复数乘法的表达式为：(a+bi)(c+di)，其中a、b、c、d为实数。
如何做复数的乘法呢？我们可以采用分配率的方法，即将每一个实数与另一个复数的实部和虚部相乘，然后再整合实部和虚部。
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²由于i²=-1，所以得到：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci - bd将表达式简化为：(ac-bd) + (ad+bc)i这就是复数乘法的最终结果。
可以看出，复数乘法的结果仍然是一个复数。
实例：计算(2+3i)(4-5i)。
解：按照乘法的表达式，我们有：(2+3i)(4-5i)=(2×4)+(2×(-5i))+(3i×4)+(3i×(-5i))计算得：8-10i+12i-15i²由于i²=-1，所以进一步简化得到：8-10i+12i+15整理得：23+2i所以，(2+3i)(4-5i)的结果是23+2i。
三、复数的除法复数除法是指将一个复数除以另一个复数的运算。
对于复数的除法，我们需要引入一个特殊的技巧，即将被除数和除数同时乘以除数的共轭复数。
复数的共轭复数，是指只改变虚部的正负号的复数。
例如，对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。
因为共轭复数的乘积满足以下性质：(a+bi)(a-bi) = a² - abi + abi - bi²由于i²=-1，所以我们有：(a+bi)(a-bi) = a² - b²i² = a² + b²这样，我们就可以得到复数的除法公式：(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]再利用乘法法则进行计算，得到：(a+bi)/(c+di) = (ac + bd) / (c² + d²) + [(bc - ad)i] / (c² + d²)这就是复数的除法结果。
高中数学《复数代数形式的乘除运算》导学案
3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、学习目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3理解共轭复数的概念．【重点、难点】重点熟练掌握复数的代数形式的乘法和除法运算法则，难点是复数的除法运算。
二、学习过程1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)=(ac －bd )+(bc +ad )i .类似多项式乘法运算2．复数乘法的运算律对任意z 1、z 2、z 3∈C ，有3.共轭复数设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝a —b i 叫z 的共轭复数．若b ≠0，则z 叫虚数z 的共轭虚数，且z ＋z ＝2a ，z －z ＝2b i ，两共轭复数在复平面内所对应点关于x 轴对称．4．复数的除法 a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)． 5．i 的乘方设i 为虚数单位，则i 1＝i ， i 2＝-1 i 3＝-i ， i 4＝1例1若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，求z 1·z 2解：z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2 ＝3＋2i ＋1＝4＋2i.例2计算(1+2i ）÷（3+4i ）22(12)(34)1234(12)(34)3864(34)(34)3451012.2 555 i i i ii i i i i i i i +÷-+=-++-++==-++-+==-+解例3计算：3＋4i 4－3i＋9＋2i. 解:3＋4i 4－3i ＋9＋2i ＝(3＋4i)i 4i －3i 2＋9＋2i ＝(3＋4i)i 3＋4i＋9＋2i ＝9＋3i例4设z ＝3＋i ，求1z 解：1z＝13－i ＝3＋i 10＝310＋i 10 变式拓展例5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，求实数t 解∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i. z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34. 三、学习总结 1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．四、随堂检测1．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z z －1等于( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－21选A解析： z 2－2z z －1＝(1＋i)2－2(1＋i)1＋i －1＝2i －2－2i i ＝－2i ＝－2i i 2＝2i 2．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 2选B解析：∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a －a i 2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i 为实数，∴1－a 2＝0，∴a ＝1. 3．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i＝1＋i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3 3选A解析：∵1＋2i a ＋b i＝1＋i ， ∴a ＋b i ＝1＋2i 1＋i ＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋i 2， ∴a ＝32，b ＝12. 4.复数z ＝i 1＋i在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象 C ．第三象限 D ．第四象限4选A解析：∵z ＝i 1＋i ＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．5已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________5填．1解析∵a ＋2i i ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.6．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝ __________________________________________________________.6填4解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ⇒x (1＋i)(1－i)(1＋i)＋y (1＋2i)(1＋2i)(1－2i) ＝5(1＋3i)(1－3i)(1＋3i) ⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i) ＝(12x ＋15y )＋(12x ＋25y )i ＝12(1＋3i) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋15y ＝1212x ＋25y ＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝5， ∴x ＋y ＝4.7. 若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝______.7填1解析 ：由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1. 8．已知复数z 1＝i(1－i)3，(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解： (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2－2i ，∴|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.(2)∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ，|z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋2)2＝9＋42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2取得最大值9＋42，从而得到|z－z1|的最大值为22＋1.。
《3.2.2复数的乘法和除法》导学案(新部编)3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.2.2复数的乘法和除法》导学案【学习目标】1. 理解共轭复数；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.【学习过程】一．自我阅读：(课本第59页至第62页)完成知识点的提炼 复习：计算：2()a b ±=_________________.(32)(32)a b a b +-=_________________. (32)(3)a b a b +--=_________________.探究任务一：复数代数形式的乘法运算 规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么 2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++=()()ac bd ad bc i -++即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？试试：计算(1)(14)(72)i i +⨯- (2)(72)(14)i i -⨯+ (3)[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ (4)(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[新知：对于任意123,,z z z C ∈，有1221z z z z ⋅=⋅，123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ 1231213())z z z z z z z +=+.反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律. 知识拓展i 具有周期性，即：41n i =；41n i i +=；4221n i i +==-；43n i i +=-；例1已知12122,34,.z i z i z z =+=-•计算解：122(2i)(34i)68i 3i 4i 10 5.z z i•=+-=-+-=- 例2求证：22221212(1)||||(2)()(3)z z z z z z z z z z ⋅===⋅=⋅解：2222222(1),()()||||z a bi z a bi z z a bi a bi a abi bai b i a b z z =+=-⋅=+-=-+-=+==设则，于是2222222222(2),()2()()2()z a bi z a bi a b abi z a bi a b abi z z =+=+=-+=-=--=设则于是1212121212(3),,()()()()()()()()z a bi z c di z z ac bd ad bc i ac bd ad bc i z z a bi c di ac bd ad bc i z z z z =+=+⋅=-++=--+⋅=--=--+⋅=⋅设则于是分析：例2表明，两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方. 探究任务二：复数的除法法则 已知复数z a bi =+，'1z z=叫做z 的倒数.它满足'1z z ⋅=. 2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ada bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++(0)c di +≠二．研究课本例题：(是对基本知识的体验) 例1 计算：(1)(34)(34)i i +-； (2)2(1)i +变式：计算：(1))()+；(2)2(1)i -；(3)(2)(12)i i i --小结：复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算. 例2 计算(1)(12)(34)i i +÷-；(21996变式：计算(1)232(12)ii -+，(2)23(1)1i i -+-小结：复数的除法运算类似于实数集上的除法运算. 动手试试练1. 计算：(1)(12)(34)(2)i i i +--- 练2. 计算：(1)11i i +-， (2)11i i -+， (3)(1)(2)i i i-++-【课堂小结与反思】(体会本节课所学知识、题型、方法)用自已的语言来概述本节课题的内容如下：【课后作业】1．已知i z i 32)33(-=+，那么复数z 对应的点位于复平面内的 ( ) A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限2．设复数：2121),(2,1z z R x i x z i z 若∈+=+=为实数，则x =( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．复数=--i21i 23( )A ．iB ．i -C ．i 22-D ．i 22+-4．复数iz -=11的共轭复数是( ) A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1D ．i +15．=++-ii i 1)21)(1(( )A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +26．若2121,43,2z z i z i a z 且-=+=为纯虚数，则实数a 的值为________________. 7．复数4i35z -=的共轭复数z ＝________________. 8.计算：(1)1()(1)2i -+；(2)11)()22--(3)274i i++；(4)25(4)(2)i i i ++9.已知23i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.10．在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(||2(i 为虚数单位).11．设z 为虚数，且满足1-≤1zz +≤2，求z ．。
3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案
3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案【学习目标】掌握复数代数形式的乘法和除法运算法则及其运算律，并能应用它们熟练地进行复数的四则运算. 【学习重点】复数的乘法和除法法则以及有关运算律． 【学习难点】复数中有关22,(1),(1)i i i +-的运算以及除法运算． 【学习过程】 一.知识链接:复习1：2()a b ±= (32)(32)a b a b +-= 复习2： 复数),(R b a bi a z ∈+=共轭复数=z二.问题探究：引导1：实数中，多项式相乘=++))((d c b a探究一：类比多项式相乘，求下面两个复数相乘的结果.()()=++di c bi a规定复数代数形式的乘法运算：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 换成 ，并且 把 与 分别合并.两个复数的积仍然是一个 数.引导2：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？ （1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅注：根据乘法的运算律，实数范围内正整指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．对于任意,,,21C z z z ∈∈n m N ，有=⋅n m z z ； ()=nmz ； ()=⋅nz z 21例1．计算：（1） (32)(23)i i -∙+ （2）)45)(34(i i --- （3）232(12)i i -∙+（）例2.计算：（1）2(1)i + （2）2(1)i - （3）)43)(43(i i -+ （4）)23)(23(i i +-+（5）(2)(12)i i i --设复数).(R b a bi a z ∈+=,其共轭复数bi a z -=,则=⋅z z = =即：两个互为共轭复数的乘积是一个 数，等于这个复数（或其共轭复数）的 .引导3：实数中，化简=-322 分母有理化探究二：类比初中时我们学习的无理分式的化简，试写出下面两复数相除的结果，其中0≠+di c()()a bia bi c di c di++÷+==+ 分母 化规定复数代数形式的除法运算：两个复数相除（除数不为0），通常先把)()(di c bi a +÷+写成dic bia ++的形式，再把分子和分母都乘以分 的 复数，化简后就得到上面的结果.两个复数的商仍然是一个 数. 例3.计算：（1）)43()21(i i +÷+ （2）(32)(23)i i -÷+ （3）)2()4(52i i i ++ （4）i i -+11 （5）i i +-11知识拓展：探究三：认识快乐的i ：1.试求=1i ，=2i ，=3i ，=4i ，=5i ，=6i ，=7i ，=8i ，……2.由1推测()*N n i n∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.练习： （1）+++32i i i …20062005i i++= （2）=-+195)11(ii （3）=+7)1(i 小结：今天的学习收获有哪些？。
3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案
3. 2.2复数代数形式的乘除运算（学案）预习目标： 1.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念2.掌握复数的代数形式的乘、除运算。
预习内容：1.虚数单位i :----------------------------------2. i 与－1的关系: ---------------------------------------3. i 的周期性：----------------------------------------------------4.复数的定义------------------------------------------------------------3. 复数的代数形式: -------------------------------------------------------------------4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：-------------------------- --5. 两个复数相等的定义：-------------------------------------------------6. 复平面、实轴、虚轴：-------------------------------------------------------8．复数z 1与z 2的和的定义：-----------------------------9. 复数z 1与z 2的差的定义：-----------------------------------------10. 复数的加法运算满足交换律: ------------------------------------11. 复数的加法运算满足结合律:----------------------------------------------------- 提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
学案1：3.2.2复数的乘除运算
3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法运算导学案【学习目标】1. 掌握复数代数形式的乘、除运算；2. 复数的除法运算.【自主学习】（认真自学课本）任务1：阅读教材，理解下列问题：1. 复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积是一个确定的复数．复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律?复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1 ∙ z2＝z2 ∙ z1，z1∙z2 ∙z3＝z1∙(z2 ∙ z3)，z1∙ (z2＋z3)＝z1∙ z2＋z1∙ z3．2. 计算(1－2i)(3＋4i)(－2＋i).3. 计算：(1)(3＋4i)(3－4i)；(2)(1＋i)2.任务2：完成下列问题：1. 类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法是乘法的逆运算.复数除法的法则是(a ＋b i)÷(c ＋d i) )0i (i 2222≠++-+++=d c d c ad bc d c bd ac 两个复数相除，（除数不为0），所得到的商是一个确定的复数．2. 计算 (1＋2i)÷(3－4i).【合作探究】例1：若z 1，z 2是两个共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（2）z 1. z 2是一个怎样的数？【目标检测】1. 复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4 的值是 ( )A. －1B. 0C. 1D. i2. 已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝ ( )A ．－3＋iB ．－1＋3iC ．－3＋3iD ．－1＋i3. 在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 若复数iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是 ( )A ．(2，4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4，2)5. 设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．-3 B. -1C. 1D. 3 6. 复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 ( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i7. 复数z ＝1i －1的模为 ( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 8.设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．【作业布置】学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？。
八年级数学下册《复数的代数形式的乘除法》导学案 新人教版
八年级数学下册《复数的代数形式的乘除法》导学案新人教版3、2、2复数代数形式的乘除运算导学案一、学习目标：1 理解复数代数形式的乘法，除法运算法则2 能运用运算律进行复数的四则运算3、理解共轭复数的概念二、教学重点：复数的乘法，除法难点复数的除法三、学法指导：可用待定系数法以及分子分母同乘共轭复数来求复数的商四、知识链接：问题（1）：复数的加法，减法，和乘法法则分别是什么？五、知识导读问题（2：两个复数的积怎样运算？复数的除法能作为复数乘法的逆运算吗？问题（3）类比复数的和，差，积，复数的商仍然是复数吗？六、学习过程：1、复数的乘法法则：则两个复数的积依然是一个复数，它的实部是，它的虚部是2、复数的乘法满足交换律、、对任何即有：=________;=_________ ______（自主学习）A、例1、计算（1）（2）A、例2：（1）（2）（3）3共轭复数：练习：出下列复数的共轭复数。
4、复数的除法：（自主学习）例3 计算（1）（2）(3已知，求满足的复数z六、达标训练：A1、复数的虚部为（）A、3B、―3C、2D、―2A2、数（）A、2B、－2C、D、A3=（）A、B、C、D、A4、 a是实数，且是实数，则a=（）A、B、1C、D、2A5、在复平面内，复数对应的点位于( )A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限B6、a＞1，复数z满足(1+ai)z=i+a，则z在复平面上对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限B7、 z的共轭复数是，,，则＝___________、 B8、知，其中是虚数单位，那么实数___________、B9、设 (其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为___________、C9 计、算：七、学习小结：八、【自我评价】你完成本学案的情况为( )A、很好B、较好C、一般D、较差。
复数的除法学案
复数代数形式的乘除运算 导学案(教师版)
3.2.2 复数代数形式的乘除运算内容要求 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算(重点).2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(重、难点).3.理解共轭复数的概念(重点).知识点1 复数的乘法及其运算律 1.复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2.复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3【预习评价】写出下列各题的计算结果. (1)(a ±b )2＝________；(2)(3a ＋2b )(3a －2b )＝________； (3)(3a ＋2b )(－a －3b )＝________； (4)(1＋i)(1＋2i)＝________.答案 (1)a 2±2ab ＋b 2 (2)9a 2－4b 2 (3)－3a 2－11ab －6b 2 (4)－1＋3i.知识点2 共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z －表示，即z ＝a ＋b i ，则z －＝a －b i.【预习评价】(正确的打√，错误的打×)1.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×)提示充分条件.2.若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.(×)提示在复数中，z21＋z22＝0推不出z1＝z2＝0，如z1＝i，z2＝1，z21＋z22＝0也成立.3.两个共轭虚数的差为纯虚数.(√)4.在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.(√)知识点3复数的除法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.【预习评价】写出下列各题的计算结果.(1)1i＝________；(2)1＋i1－i＝________；(3)1－i1＋i＝________.提示(1)－I (2)I (3)－i.题型一复数乘除法的运算【例1】计算：(1)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ； (2)（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i3＋4i.解 (1)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.(2)（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝（1＋i －4i －4i 2）＋2＋4i 3＋4i＝5－3i ＋2＋4i3＋4i＝7＋i3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i －4i 225＝25－25i 25＝1－i.规律方法 1.复数代数形式的四则运算法则设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ，z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ，z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0). 2.运算律加法交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；加法结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)； 乘法交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1； 乘法结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)；乘法对加法的分配律：z 1·(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3.3.注意在求解过程中运用一些运算结论，可以简化运算过程. 【训练1】 计算：(1) 1＋2i 1－2i ； (2)（－1＋i ）（2＋i ）－i. 解 (1)1＋2i 1－2i ＝（1＋2i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－35＋45i.. (2)（－1＋i ）（2＋i ）－i＝－3＋i－i ＝（－3＋i ）·i－i·i ＝－1－3i.题型二 共轭复数及其应用【例2】 若f (z )＝2z ＋z －－3i ，f (z －＋i)＝6－3i ，求f (－z ). 解 因为f (z )＝2z ＋z －－3i ， 所以f (z －＋i)＝2(z －＋i)＋(z －＋i)－3i ＝2z ＋2i ＋z －i －3i ＝2z －＋z －2i. 又f (z －＋i)＝6－3i ， 所以2z －＋z －2i ＝6－3i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ， 所以2(a －b i)＋(a ＋b i)＝6－i ， 即3a －b i ＝6－i.由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，－b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故f (－z )＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i ＝－6－4i. 规律方法 共轭复数有如下几个性质：(1)若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z －＝|z |2＝|z －|2＝a 2＋b 2.(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数.(3)若z ≠0，且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可以证明一个复数是纯虚数. (4)若干个复数进行加减运算后的共轭复数等于这些复数的共轭复数进行相同的加减运算.【训练2】 已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i. 解 将z ·z －－3i z －＝1＋3i ，①两边取共轭复数，得z －·z ＋3i z ＝1－3i ，②②－①得z －＝－2－z ，代入①得z 2＋(2－3i)z ＋1－3i ＝0，即(z ＋1)(z ＋1－3i)＝0，∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.题型三 复数运算的综合问题【例3】 已知z 是虚数，w ＝z ＋1z ，且－1<w <2.求|z |的值及z 的实部的取值范围. 解 方法一 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则w ＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i＋x －y ix 2＋y 2＝x ＋xx 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ；∵w 是实数且y ≠0，∴y －yx 2＋y 2＝0， ∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1，此时w ＝2x . ∵－1<w <2，∴－1<2x <2，∴－12<x <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.方法二 ∵w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ∈R ，∴w －＝w ，即z －＋1z －＝z ＋1z ，即(z －z －)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1z － ＝0，(z －z )⎝⎛⎭⎪⎫1－1z z －＝0. ∵z 是虚数，∴z －z －≠0，∴z z －＝1，即|z |2＝1，∴|z |＝1，∴w ＝z ＋z －.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则w ＝2x . 又－1<w <2，∴－1<2x <2，即－12<x <1， ∴z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.规律方法 在有关复数运算的综合问题中，常与数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标或向量问题进行解决.【训练3】 求同时满足下列条件的所有的复数z . (1)z ＋10z ∈R ，且1<z ＋10z ≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数. 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则 z ＋10z ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋10x 2＋y 2＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－10x 2＋y 2i ， 因为z ＋10z ∈R ，所以y ＝0或x 2＋y 2＝10. 又1<z ＋10z ≤6，所以，1<x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋10x 2＋y 2≤6，(1)当y ＝0时，可以化为1<x ＋10x ≤6， 当x <0时，x ＋10x <0， 当x >0时，x ＋10x ≥210>6， 故y ＝0时，无解.(2)当x 2＋y 2＝10时，可化为1<2x ≤6，即12<x ≤3，∵x ，y ∈Z ，∴x ＝1，y ＝±3或x ＝3，y ＝±1，故可得z ＝1＋3i 或1－3i 或3＋i 或3－i.课堂达标1.设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12B.1C.32D.2解析 ∵a1＋i ＋1＋i 2＝a （1－i ）2＋1＋i 2＝1＋a 2＋1－a 2i ，又∵⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 1＋i ＋1＋i 2∈R ，∴1－a 2＝0，解得a ＝1. 答案 B2．(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－iB ．－3＋iC ．3－iD ．3＋i解析 (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i. 答案 D3.设复数z 1＝2－i ，z 2＝1－3i ，则复数i z 1＋z －25的虚部等于________.解析 ∵i z 1＋z －25＝i 2－i ＋1＋3i 5＝i （2＋i ）5＋15＋35i ＝－15＋25i ＋15＋35i ＝i ，∴虚部为1. 答案 14.若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z －＝________. 解析 ∵z ＝1－i 1＋i＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－i ，∴z －＝i.答案 i5.计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 28＋(10＋i 29)－23－i 1＋23i.解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 214＋10＋i 29－（23－i ）（1－23i ）（1＋23i ）（1－23i ）＝(－i)14＋10＋i －23－12i －i ＋23i 213＝－1＋10＋i ＋i ＝9＋2i.课堂小结1.利用复数的代数形式对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时应先转化形式.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2，据此可将问题实数化，同时根据模的几何意义可将问题转化为平面解析几何问题，如点的轨迹问题.基础过关1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.－iB.iC.－1D.1解析 z ＝1i ＝－i. 答案 A2.i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( ) A.0B.2iC.－2iD.4i解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0. 答案 A3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2 B.i 2(1－i) C.(1＋i)2D.i(1＋i)解析 由(1＋i)2＝2i 为纯虚数知选C. 答案 C4．若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 解析 复数z ＝1＋2ii ＝(1＋2i)(－i)＝2－i 的实部是2. 答案 25.已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝________. 解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i＝b i ＋21－i＝（b i ＋2）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－b ＋（b ＋2）i 2＝2－b 2＋b ＋22i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.答案 －2i6.计算（1＋i ）3－（1－i ）3（1＋i ）2－（1－i ）2.解 原式＝（1＋i ）2（1＋i ）－（1－i ）2（1－i ）2i ＋2i＝2i （1＋i ）＋2i （1－i ）4i＝4i 4i＝1.7.已知复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b ∈R )，求a ＋b 的值.解 由z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i ，又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.能力提升8．在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，故选D.答案 D9.复数z ＝－21＋3i，则1＋z ＋z 2＝________.解析 z ＝－21＋3i ＝－2（1－3i ）（1＋3i ）（1－3i ）＝－1－3i 2＝－12＋32i.∴1＋z ＋z 2＝1－12＋32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－12＋32i ＋－1－3i 2＝0.答案 010. 已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________．解析 由已知(a ＋b i)2＝3＋4i.即a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i.从而有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案 5 211.已知z 是复数，且|z |＝1，则|z －3＋4i|的最大值是________.解析 |z |＝1，在复平面中表示的是单位圆，|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示z 对应的点到3－4i 对应点的距离，结合图象(图略)可知最大值为32＋（－4）2＋1＝6.答案 612.已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z －.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z －＝45－35i 或z ＝－45＋35i.创新突破13.已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围.解 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2，4＋a )，其模为4＋（4＋a）2＝20＋8a＋a2.又复数z所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数w对应向量的模不大于复数z对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，－8≤a≤0 所以，实数a的取值范围是[－8，0].。
7.2.2复数的乘除运算(导学案) 高中数学人教A版
《7.2.2 复数的乘除运算》导学案学习目标：1.通过类比多项式的运算法则，总结复数的乘法与除法运算法则，提升学生的知识转化和迁移能力和运算素养的能力；2.复数运算借助于多项式的运算法则，学生易于掌握，重点提升学生的应用能力；3.通过小组讨论完成复数的乘法交换律、结合律和分配律，提升学生的兴趣学习重难点：1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；2.难点：除法运算的分母实数化自主预习：1.复习——复数的加法：复数的减法：2.预习——复数的乘法：复数的除法：新课导学学习探究（一）新知导入1. 创设情境，生成问题两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i 看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？复习旧知 将下列多项式展开=++))((d c b a =++))(32(d b c a =--))(4(d a b a将下列式子进行化简-+223223=3 2.探索交流，解决问题【问题1】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？【问题3】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 的共轭复数z 等于什么？z z 是一个怎样的数？ （二）复数的乘除运算 1.复数的乘法运算（1）=-+)23)(23(i i （2）=+---)32)(32(i i （2）=+---)22)(22(i i （4）=-+)23)(23(i i错误!(1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ . (2)复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有2.复数的除法运算复数除法的实质就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同设z 1＝a ＋b i ，,z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0))，则 z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ .复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a ＋b i 型，则分子、分母同乘a －b i ；若分母为a －b i 型，则分子、分母同乘a ＋b i. 【做一做】 1．计算下列各式的值．(87i)(3i)--- (43i)(54i)--- 21(2i)- 25(4i)i(2i)++高考应用1.（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题） 已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A. 62i - B . 42i - C. 62i + D. 42i +2.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）） 若z=1+i ，则 |z 2–2z|=（ ）D. 23.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若()11+=-z i i ，则z=（ ）A. 1–iB. 1+iC. –iD. i4.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））复数113i-的虚部是（ ）A. 310-B. 110- C. 110 D. 3105.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）） 设3i12iz -=+，则z =（ ）A. 2 D. 1课堂小结1. 通过这节课，你学到了什么知识？2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？课后作业完成教材：第80页 练习第1、2题。
复数的乘法与除法导学案
3 2i (1 2i ) 2
5 的共轭复数是（ ） i2 A． i 2 B． i 2 C． 2 i D． 2 i 2 bi 3. 如果复数 的实部和虚部互为相反数，那么实数 b 的值为（ 1 2i 2 2 A． 2 B． 2 C． D． 3 3 五、作业布置： 课本第 81 页，习题 4—2 第 4、5 题
2. 复数
）
小 结 反 思
通过本节学习，你有哪些收获？
学 习 过 程 与 方 法
三、精讲互动：
1、计算： （1） (1 4i) (7 2i) 2、计算： （1） (3 2i) (2 3i) （2） (7 2i) (1 4i)
（2） (1 2i) (3 2i)
四、当堂检测
1.计算：（1） [(3 2i) (4 3i)] (5 i) （2）
一、自主学习： （学生阅读 P78—P80） （1）复数的乘法法则： a bic di
（2）复数的除法法则： a bi
c di
。
备注、 笔 记、 纠错
（3）若 z a bi,
z
2
二、课堂合作探究：若 z a bi, 求证 z z z
z
2
§4.4 复数的乘法与除法导学案
编号 课型 学习 目标 重点 难点 授课时间 新授课 2014.3.9 备课人 班级 贾伟 高二文科 审核人 姓名 王立民
掌握复数的代数形式的乘、除运算，并能熟练准确地运用法则解决相关的问题。 重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数求解。 难点：复数的代数形式的乘除运算
10.2.2 复数的乘法与除法 导学案(2)-人教B版高中数学必修第四册
10.2.2 复数的乘法与除法1.理解复数的乘除运算法则.2.会进行复数的乘除运算．(重点)3.掌握共轭复数的运算性质．(易混点)4.掌握实系数一元二次方程在复数范围内的求解重点：会进行复数的乘除运算；难点：实系数一元二次方程在复数范围内的求解；一、复数的乘法1．定义一般地，设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝.2．运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＋z1·z3；z2·z1；z1·(z2·z3)3.运算性质z m·z n＝，(z m)n＝，(z1z2)n＝.(其中m，n∈N＋)．4．i的乘方运算性质i4n＋1＝；i4n＋2＝；i4n＋3＝；i4n＝.5．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数) ．z m＋n；z mn；z n1z n2；z n1z n2；z n1z n2二、复数的除法1．定义；如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝)，z1称为被除数，z 2称为除数． 2．意义一般地，给定复数z ≠0，称1z 为z 的 ，z 1除以z 2的商z 1z 2也可以看成z 1与z 2的倒数之积，因此可以利用 可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．当z 为非零复数且n 是正整数时，规定z 0＝1，z －n ＝1z n .3．复数倒数运算设z ＝a ＋b i ，则1z ＝ ，且1z ＝z|z |2.4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)，z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝ .a －b i a 2＋b 2；ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i 三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)在复数范围内总有解，而且 (1)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b 2－4ac ＜0时，方程有两个 的虚数根． 互为共轭一、 情境与问题 复数的乘法我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a ，b,c ∈R 时，有 c (a +b )=ac +bc 而且，实数的正整数次幂满足，a m a n =a m+n , (a m )n =a mn , (ab)n =a nb n ,其中m,n 均为正整数,那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？设Z 1=3，Z 2=1−2i ，Z 3=−5i ，你认为Z 1Z 2的值与Z 2Z 3的值分别等于多少，由此尝试给出任意两个复数相乘的运算规则。
〖2021年整理〗《复数的乘、除运算 导学案》优秀教案
复数的乘、除运算1掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3理解且会求复数范围内的方程根1数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3数学运算：复数四则运算;4数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题重点：复数代数形式的乘法和除法运算．难点：求复数范围内的方程根一、预习导入阅读课本77-79页，填写。
1．复数代数形式的乘法法则已知1＝a＋b i，2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则1·2＝a＋b i c＋d i＝______________________[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2复数乘法的运算律对于任意1，2，3∈C，有交换律1·2＝_________结合律1·2·3＝_________乘法对加法的分配律12＋3＝_________3．复数代数形式的除法法则a＋b i÷c＋d i＝错误!＋错误!i c＋d i≠01．复数3＋2ii等于A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i2 已知复数＝2－i，则·\to的值为A．5C．33 2－i÷i＝________题型一复数的乘法运算例1计算下列各题．11－2i3＋4i －2＋i；22－3i2＋3i；3（1i）2跟踪训练一1．计算：1－i2－2－3i2＋3i＝A．2－13i B．13＋2iC．13－13i D．－13－2i2．若复数1－i a＋i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A．－∞，1B．－∞，－1C．1，＋∞D．－1，＋∞题型二复数的除法运算例2计算1＋2i÷3－4i跟踪训练二1．复数＝错误!i为虚数单位，则||＝________2．计算：错误!＝________题型三复数范围内的方程根问题例3 在复数范围内解下列方程：x+=；（1）220（2）20ax bx c ++=，其中,,a b c ∈R ，且20,40a b ac ≠∆=-<．跟踪训练三1、已知1＋i 是方程2＋b ＋c ＝0的一个根b ，c 为实数．1求b ，c 的值；2试判断1－i 是否是方程的根．1．设复数满足i ＝1，其中i 为虚数单位，则等于A ．－iB ．iC ．－1D ．12．若复数＝i3－2ii 是虚数单位，则\to ＝A ．2－3iB ．2＋3iC ．3＋2iD ．3－2i 3．复数错误!为虚数单位的实部等于________．4．1＋i 2－错误!＝________5．已知复数1＝－1＋i1＋b i ，2＝错误!，其中a ，b ∈2互为共轭复数，求a ，b 的值答案小试牛刀1．B2．A3 －1－2i自主探究例1 【答案】1 －20215i 2 13 3 2i【解析】1原式=11－2i -2＋i ＝-20215i2原式=2－i －1＋5i3－4i ＋2i ＝4－9i 2＝49＝133原式＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i跟踪训练一1．【答案】D【解析】 1－i 2－2－3i2＋3i ＝1－2i ＋i 2－4－9i 2＝－13－2i2．【答案】B【解析】因为＝1－i a ＋i ＝a ＋1＋1－a i ，所以它在复平面内对应的点为a ＋1,1－a ，又此点在第二象限，所以错误!解得a ＜－1例2【答案】−15+25i.【解析】 原式=1+2i 3−4i =(1+2i )(3+4i )(3−4i )(3+4i )=−5+10i 25=−15+25i. 跟踪训练二1．【答案】错误!【解析】∵＝错误!＝1(1)(1)i i i -+-＝错误!＝错误!－错误!i ，∴||＝ 错误!＝错误! 2．【答案】－2＋i 【解析】(1)(43)(2)(1)i i i i ++--＝错误!＝(17)(13)10i i ++＝－2＋i例3 【答案】 （1）方程220x +=的根为x =．（2）方程的根为2b x a =-±．【解析】（1）因为22(2==-，所以方程220x +=的根为x =．（2）将方程20ax bx c ++=配方，得222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2b x a +=．所以原方程的根为2b x a =-±．跟踪训练三1、【答案】1b ＝－2，c ＝2 21－i 也是方程的一个根．【解析】1因为1＋i是方程2＋b＋c＝0的根，∴1＋i2＋b1＋i＋c＝0，即b＋c＋2＋b i＝0∴错误!得错误!∴b＝－2，c＝22将方程化为2－2＋2＝0，把1－i代入方程左边2－2＋2＝1－i2－21－i＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．当堂检测1．A2．A3．－34．－错误!＋错误!i5．【答案】错误!【解析】1＝－1＋i1＋b i＝－1－b i＋i－b＝－b－1＋1－b i,＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i2由于1和2互为共轭复数，所以有错误!解得错误!。
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所以得
a bi ac bd bc ad i. c di c2 d 2 c2 d 2
复数的除法实际上是利用 (c di )(c di ) 分母实数化； ⑵ 将结果实部与虚部分别整理.
注意：⑴
c2 d 2 将
例 1 计算： （1） (1 2i) (3 4i) ； （2）
z ________________________； z
zz = (a bi)(a bi) =________________________
③
zz ＝
_________________＝______=______.
【合作探究】 1. 共轭复数的定义及其性质 ⑴ 共轭复数的定义 当两个复数的实部相等， 虚部互为相反数时， 这样的两个复数叫做互 为共轭复数.复数 z 的共轭复数用 z 来表示.也就是说当
z a bi(a, b R) 时， z a bi .
⑵ 共轭复数的性质 设z ① ② ③
a bi(a, b R) ，则 z a bi
2 2
zz z z
z z 2a ； z z 2bi ；
④ 复数 z 的共轭复数的运算性质： z1
z2 z1 z2 ；
咸阳市实验中学“链式高效课堂”课时导学案
课 题 § 2.2 复数的除法 1.了解共轭复数的概念及其性质；
三 维 目 标
知识与技能
2.理解并掌握复数的代数形式与除法运算法则， 深刻理解它是乘法运算 的逆运算 3.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
过程与方法 情感、 态度与价 值观
c di ______________.
(a bi)(c di) _________________________________.
3. 实数的除法是___________________的逆运算；类似地，复数的除法也 是___________________________的逆运算. 4. 说出下列复数的共轭复数 3 2i, 4 3i,5 i, 5 2i,7, 2i 复数. 5. 计算： （1） 【自主学习】 1.计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分 子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简
王新敞
奎屯 新疆
复数的乘法与除法，不必去记公式 【反馈训练】 1. 设 z=3+i,则
1 等于 z
A.3+i 2.
B.3－i
C.
3 1 i 10 10
D.
3 1 i 10 10
a bi a bi 的值是 b ai b ai
2. 已知 z , 为复数，(1 3i) z 为实数，
a R ,若 | z1 z 2 || z1 | ，求 a 的取值范围.
【引导预习】 1. 系统复习本章内容，列出知识体系. 2. 完成教材复习参考题及学案题.
作 业 布 置
课本 81 页：A 组 4⑴-⑷，6,7.
反 思 与 札 记
z1 为纯虚数，求实数 a 的取值. z2
学习反思：复数的乘法与除法，不必去记公式. ① 复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 乘法，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. ② 复数的除法法则是： 复数的
a bi ac bd bc ad i(c+di≠0). c di c 2 d 2 c 2 d 2 源自1 21 23 i 2
3 i 2
）
（或记 则 ① ② ③ ④
，
则
3 3 1；
1 2 0
；
2
1
请同学们给出它们的证明
z ，且 | | 5 2 ，求 . 2i 3.已知复数 z 1 满足 (1 i) z1 1 5i , z2 a 2 i ，其中 i 为虚数单位，
(a bi) (c di) 或者
⑵ 复数的除法法则 一方面，给等式
a bi . c di
(c di)( x yi) a bi 的 两 边 同 乘 以
c di ，得 (c di)( x yi)(c di) (a bi)(c di) ，
计算得
(c 2 d 2 )( x yi) (ac bd ) bc ad i.
Q c di 0 ，c2 d 2 0
因此有
x yi
又因为
ac bd bc ad i. c2 d 2 c2 d 2
a bi (a bi )(c di ) (ac bd ) (bc ad )i , c di (c di )(c di ) c2 d 2
A.0 B.i C.－i D.1
3.已知 z1=2－i,z2=1+3i,则复数 A.1 4. 设 B.－1
i z2 的虚部为 z1 5
C.i (x ∈ D.－i R,y ∈ R), 则
x 3 y 1 i 2 i 1 i
x=___________,y=___________.
【探究延伸】 1. 的性质： 记 ，则
理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题； 让学生体会到复数是生产实践的需要， 从而让学生积极主动地建构知识 体系.
【预习检测】 1. 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 即： 如果 a, b, c, d R ,那么 a bi 2. 复数的乘法运算法则： 设 a bi, c di(a, b, c, d R) 是任意两个复数，那么它们的积
1 i 2 i
i3
；
（3）
(1 4i)(1 i ) 2 4i 3 4i
例 2 已知复数 z 满足 | z 4 || z 4i |, 且 z 例 2 若 z1 a 2i, z2 3 4i ，且
14 z 为实数，求 z . z 1
1 ； 2i
（2）
1 2i . 2 3i
(3 2i)(3 2i) ；
(2 3i)(2 3i) ；
(2 2 i)(2 2 i) ； ( 3 2i)( 3 2i) ；
2.设 z ① ②
a bi(a, b R) ，则：
=______________________.
z1 z2 z1 z2 ；
(
2.复数的除法运算 ⑴ 复数的除法的定义 满 足 (c di)( x
z1 z ) 1 ( z2 0) . z2 z2
yi) a bi 的 复 数 x yi( x, y R) 叫 复
数 a bi 除以复数 c di 的商，记为：