高考数学总复习 第3章2 导数的概念及其几何意义课时闯关(含解析) 北师大版
北师大版高中数学选修(1-1)-3.2《导数的概念》参考课件
解 : f (10) 1.5表示服药后10min时,血液中药物
浓度上升的速度为1.5g /(mL min),也就是说,如
果保持这一速度, 每经过1分钟时间, 血液中的药
物浓度将上升1.5g / mL.
f (100) 0.6表示服药后100min时,血液中药物浓
度下降的速度为0.6g /(mL min),也就是说,如果保
x
x1 x0
x
当x1趋于x0时, x趋于0时,如果平均变化率趋于一个固
定的值, 那么这个值就是函数y f (x)在x0点的瞬时变
化率.
在数学中, 称瞬时变化率为函数y f (x)在点x0点
的导数,通常用符号f (x0 )表示,记作:
f
(x0 )
lim
x1 x0
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
例题讲解
例1一条水管中流过的水量y(单位: m3)时间x(单位: s) 的函数y f (x) 3x.求函数y f (x)在x 2处的导数 f (2),并解释它的实际意义.
解 :当x从2变到2 x时,函数值从3 2变 到3(2 x),函数值y关于x的平均变化率为:
持这一速度, 每经过1分钟时间, 血液中的药物浓度
将下降0.6g / mL.
课堂练习
物体自由落体的运动方程是:
S(t)=
1 2
gt2,
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？
解：取一小段时间：［3,3+△t]
△Ｓ= 1 g(3+△t)2－ 9 g
北师大版数学-选修1-1 第3章 3.2导数的概念与几何意义习题导学案
陕西省榆林育才中学高中数学 第3章 3.2导数的概念与几何意义习题导学案 北师大版选修1-11. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t ∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度；Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 2. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13. 在0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ） A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于04.若质点A 按规律22t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）A 、6B 、18C 、54D 、815.设函数)(x f 可导，则x f x f x ∆-∆+→∆3)1()1(lim0=（ ） A 、)1(f ' B 、)1(31f ' C 、不存在 D 、以上都不对 6.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为10.高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.11. 一质量为3k g 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.1. 已知曲线22y x 上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 2。
高中数学 3_2 导数的概念及其几何意义同步精练 北师大版选修1-11
高中数学 3.2 导数的概念及其几何意义同步精练 北师大版选修1-11．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线2．若函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于( ) A ．f ′(x 0) B ．－f ′(x 0) C ．f (x 0) D ．－f (x 0)3．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y －1＝04．若运动物体的位移s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，则该物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为( ) A ．19.6 m/s B ．9.8 m/sC ．4.9 m/sD ．39.2 m/s 5．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线斜率k 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4 6．已知曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12 D ．－17．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________．8．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32处切线的倾斜角为________． 9．某块正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热后会膨胀．当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at ) cm ，a 为常数，则该铁板面积对温度t 的瞬时膨胀率为________．10．求曲线y ＝f (x )＝1x和y ＝f (x )＝x 2在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．11．已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43. (1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？参考答案1. 解析：当切线斜率不存在时，其切线方程为x ＝x 0.答案：C2. 解析：lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0f [x 0＋(－Δx )]－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)，故选B. 答案：B3. 解析：由导数的定义，可得lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →014(2＋Δx )2－14×22Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14Δx ＝1， 所以抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的导数为1. 又点Q (2,1)在抛物线上，所以所求的切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 答案：B4. 答案：A5. 解析：利用导数的定义及其几何意义直接求结果．k ＝f ′(2)＝7.答案：A6. 解析：令f (x )＝y ＝ax 2，则曲线在点(1，a )处的切线斜率k ＝f ′(1)，即2＝k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2a ，故a ＝1. 答案：A7. 解析：∵f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴li m Δx →011＋Δx ＋1＝12.∴f ′(1)＝12. 答案：128. 解析：f ′(－1)＝li m Δx →0f (－1＋Δx )－f (－1)Δx ＝－1，即曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32处切线的斜率为－1，故倾斜角为135°. 答案：135°9.解析：设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量ΔS＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，因此ΔS Δt＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt ， 令Δt →0，则S ′(t )＝200(a ＋a 2t )．即铁板面积对温度t 的瞬时膨胀率为200(a ＋a 2t )．答案：200(a ＋a 2t )10．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x，y ＝x 2得曲线的交点是A (1,1)．对曲线y ＝f (x )＝1x求导数， f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x Δx ＝－1x 2. 曲线y ＝1x在点A 处的切线斜率k 1＝f ′(1)＝－1，切线方程是l 1：y ＝－x ＋2. 对曲线y ＝f (x )＝x 2求导数，f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 曲线y ＝x 2在点A 处的切线斜率k 2＝f ′(1)＝2，切线方程是l 2：y ＝2x －1. 又l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 所以它们与x 轴所围成的三角形的面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34. 11. 解：(1)将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4，∴切点为P (2,4)．∴Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝4＋2Δx ＋13(Δx )2， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2Δx ＋13(Δx )2＝4.∴k ＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)由题意联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，即(x －2)2(x ＋4)＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－4.当x ＝2时，y ＝4，当x ＝－4时，y ＝－20.∴公共点的坐标为(2,4)或(－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点(2,4)外，还有另外一点(－4，－20).欢迎您的下载，资料仅供参考！。
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第三章 §2 导数的概念及其几何意义
探究二
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探究二
导数的几何意义及其应用
【例2】 (1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率
等于(
)
A.0 B.2
C.4 D.6
1
7
(2)求曲线 y= − 在点 P 4,- 4 处的切线方程.
分析(1)利用导数几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得
Δ →0 x
Δ
不存在,则称 f(x)在 x=x0 处不可导.
x→0 Δ
① lim
-5-
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f(1+x)-f(1)
等于(
3x
Δ→0
【做一做 1】 (1)设函数 f(x)可导,则 lim
A.f'(1)
)
B.3f'(1)
1
C. 3f'(1)
-9-
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率.
(
)
(2)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关,只与x0有关.(
)
(3)曲线的切线与曲线只有一个公共点.(
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思维辨析
反思感悟求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数一般按下列步骤:
(1)求函数的增量 Δy=f(x0 +Δx)-f(x0);
导数的概念及其几何意义(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
例3 :服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min) 的函数 c=c(t).假设函数c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10) = l.5和 c'(100) = -0.6,试解释它们的实际意义.
解 :c'(10) = l.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度 为1.5 μg/(mL▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中 药物的质量浓度将上升 1. 5 μg/mL. c'(100)= -0. 6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度 为 0. 6 μg/(mL ▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液 中药物的质量浓度将下降 0. 6 μg/mL.
P(x,x²)
T
P0(1,1)
1
2x
y
请看当点Q沿着曲 线逐渐向点P接近 时,割线PQ绕着点 P逐渐转动的情况.
o
P
y=f(x) Q
割 线
T 切线
x
割线斜率与切线斜率
1.割线的斜率
k f (x0 x) f (x0 ) x
2.切线的斜率 函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率
k0
lim
x
y y 1 x3
4
3
lim
3 x0
x
3
P
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2 .
2
3 x0
1 x
y |x2 22 4.
-2 -1 O 1 2
-1
即点P处的切线的斜率等于4. -2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
北师大版数学高二选修1试题 3.2导数的概念及其几何意义
第三章 §2一、选择题1．如果函数y ＝f (x )在点(3,4)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)等于( ) A ．2 B ．－12C ．－2D ．12[答案] C[解析] ∵切线的斜率为－2，∴f ′(3)＝－2，故选C.2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x 0)＝－12<0，故选B.3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] Δy ＝13(－1＋Δx )3－13×(－1)3＝Δx －(Δx )2＋13(Δx )3，Δy Δx ＝1－Δx ＋13(Δx )2，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (1－Δx ＋13(Δx )2)＝1， ∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°. 4．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是( )A ．2B ．52C ．1D ．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1，Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] 由已知点(0，b )是切点． Δy ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b ＝(Δx )2＋aΔx ，∴Δy Δx＝Δx ＋a ，y ′|x ＝0＝lim Δx →0 Δy Δx ＝a . ∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1，∴a ＝1. 又切点(0，b )在切线上，∴b ＝1.6．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8m/sB ．－0.88m/sC ．0.88m/sD ．4.8m/s[答案] A[解析] Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.2)2Δt＝－4.8－2Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－4.8，故物体在t ＝1.2s 末的瞬时速度为－4.8m/s.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________. [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx ＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切，则m ＝________. [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0，y 0)，易知，y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1，即P (－1,1)，又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上， 故2×(－1)＋1＋m ＝0，即m ＝1. 三、解答题9．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标； (2)求a 的值．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1) (2)3227[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，∴a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．10．求下列函数的导数．(1)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数； (2)求y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． [答案] (1)y ′|x ＝1＝12 (2)y ′＝2x ＋a[解析] (1)解法一：(导数定义法)：Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1.lim Δx →0＝11＋Δx ＋1＝12，∴y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)：Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1x ＋Δx ＋x .∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x＝12x . ∴y ′＝12x，∴y ′|x ＝1＝12.(2)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x (Δx )＋(Δx )2＋ax ＋a (Δx )＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x (Δx )＋a (Δx )＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋a ＋Δx ) ＝2x ＋a .一、选择题1．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1B ．π4C.54π D ．－π4[答案] B[解析] 由导数的定义可知f ′(x )＝x ， 所以f ′(1)＝1＝tan θ，故θ＝π4.2．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为( )A.23 B ．－23C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3， 由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.3．已知函数y ＝f (x )的图像如图，f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．0>f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )<0C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．f ′(x A )>f ′(x B )>0[答案] B[解析] f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )<0. 4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx ＝lim Δx →0 (Δx )3＋3x ·(Δx )2＋3x 2·Δx －2Δx Δx ＝lim Δx →0((Δx )2＋3x ·Δx ＋3x 2－2)＝3x 2－2， ∴f ′(1)＝3－2＝1， ∴切线的方程为y ＝x －1. 二、填空题5．函数y ＝f (x )的图像在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知，f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝2.6．如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f [f (0)]＝__________；lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)[答案] 2 －2[解析] 考查函数的基本概念、图像与导数的定义．易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)x －2 (2<x ≤6)，∴f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2(也可直接由图示得知) 由导数的定义知lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)＝－2.三、解答题7．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2，－1)，求(1)曲线在点P 处的切线的斜率． (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [答案] (1)1 (2)x －y －3＝0 (3)y ＝4x[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1.(2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x .8．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴围成的三角形的面积 [答案] (1)y ＝－13x －229 (2)12512[解析] (1)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx ＝lim Δx →0 2x (Δx )＋(Δx )2＋Δx Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1. ∴f ′(1)＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. ∵l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.故直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.。
高考北师大版数学总复习课件：3.2导数的应用
2．(文)函数f(x)＝ax2－b在区间(－∞，0)内是减函数，则 a，b应满足( ) B．a>0且b∈R D．a<0且b∈R
A．a<0且b＝0 C．a<0且b≠0
[答案] B
[解析] f′(x)＝2ax，当x<0时，由f′(x)＝2ax<0，得 a>0，∴a>0，b∈R.
(理)函数y＝ax3－x在R上是减函数，则( 1 A ． a＝ 3 C ． a＝ 2 B．a＝1 D ． a≤ 0
(理)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数 的图像，其中一定不正确 的序号是( ．．．．． )
A．①② C．①③
B．③④ D．①④
[答案] B
[解析] 对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)>0， 而图像中当x>0时，f′(x)<0，∴③一定不正确；对于④，同 理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B.
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， ∵x＝±1是函数f(x)的极值点，且f(x)在定义域内任意一点 处可导． ∴x＝±1使方程f′(x)＝0， 即为3ax2＋2bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系得 2b －3a＝0 c ＝－1 3a ① ②
x e ＋ a＝ 0 x y′＝e ＋a，由条件知， x>0
有解，
∴a＝－ex<－1.
4．(2011· 青岛二模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的 最大值、最小值分别是( A．5；－15 C．－4；－15 ) B．5；－4 D．5；－16
[答案] A
[解析] y′＝6x2－6x－12，令y′＝0⇒x＝－1(舍去)或x ＝2. x＝0时y＝5，x＝2时y＝－15，x＝3时y＝－4. ∴ymax＝5，ymin＝－15.故选A.
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[答案] B
[解析] ∵ΔΔxy＝x＋ΔΔxx2－x2＝2x＋Δx，
∴ lim Δx→0
ΔΔyx＝2x，∴y′|x＝1＝2，
∴切线方程为 y－1＝2(x－1)，
即 y＝2x－1.
3．曲线 y＝x3 在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为
() A．(－2，－8)
B．(1,1)，(－1，－1)
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
Δx→0
4＋Δx－4＋12Δx ＝ 4 ＋ 0 －
4＋12×0＝145.
[方法规律总结] 用导数定义求函数在某一点处的导数的
步骤为：一差、二比、三极限．
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
f ′(0)＝lim Δx→0
0＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0 Δx
＝ lim Δx→0
Δx2Δ－x 3Δx＝Δlixm→0
(Δx－3)＝－3.故选 C.
2．(2014·三峡名校联盟联考)曲线y＝x2在点P(1,1) 处的切线方程为( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x
的 导 函 数 ( 简 称 为 导 数 ) ， 即 f′(x) ＝ y′ ＝ fx＋Δx－fx
_Δl_ixm→_0_______Δ_x_________.
1.导数的概念 (1)y′|x＝x0 表示函数 y 关于自变量 x 在 x0 处的导数． (2)在数学上，把函数在点 x0 处的变化率称为函数在点 x0 处的导数，在自然科学及科学技术领域内，只要遇到有关函数 变化率的问题，如化学反应速度、物体温度变化率、电流强度 等等都需要应用导数．
3.2导数的概念及其几何意义(北师大版选修1-1)
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自 变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 f ( x0 )或y | x x , 即: f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
β
倾斜角.
则 : MP x , MQ y , y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
Δx
M x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P 逐渐转动的情况.y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫 做切点。
0
例 ：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2) 1
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) x f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
x0
lim
1 1 1 x 1 2
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。
2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第三章 第2讲 第2课时 导数与函数的极值、最值
[基础题组练]1．(2020·辽宁沈阳一模)设函数f (x )＝x e x ＋1，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：选D.由f (x )＝x e x ＋1，可得f ′(x )＝(x ＋1)e x ，令f ′(x )>0可得x >－1，即函数f (x )在(－1，＋∞)上是增函数；令f ′(x )<0可得x <－1，即函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，所以x ＝－1为f (x )的极小值点．故选D.2．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A.1e B ．2e 2C ．0D ．12e 解析：选A.易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0，2]，令y ′>0，得0≤x <1，令y ′<0，得1＜x ≤2，所以函数y ＝x e x 在[0，1]上是增加的，在(1，2]上是减少的，所以y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是y |x ＝1＝1e，故选A.3．(2020·广东惠州4月模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是( )解析：选C.因为函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以当x >－2时，f ′(x )>0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当x <－2时，f ′(x )<0.所以当－2<x <0时，xf ′(x )<0；当x ＝－2时，xf ′(x )＝0； 当x <－2时，xf ′(x )>0.故选C.4．(2020·河北石家庄二中期末)若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝( )A ．－ 3B ．2 3C ．－2 3D ． 3解析：选C.由题意可得f (－2)＝3(4－2a ＋b )＝0， 因为函数图象关于点(－2，0)对称，且f (1)＝0， 所以f (－5)＝0，即f (－5)＝6(25－5a ＋b )＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4＝0，b －5a ＋25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10，a ＝7. 故f (x )＝(1－x )(x 2＋7x ＋10)＝－x 3－6x 2－3x ＋10， 则f ′(x )＝－3x 2－12x －3＝－3(x 2＋4x ＋1)，结合题意可知x 1，x 2是方程x 2＋4x ＋1＝0的两个实数根，且x 1>x 2， 故x 2－x 1＝－|x 1－x 2|＝－（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝－（－4）2－4×1＝－2 3.5．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D.由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3 (－3，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值6.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22＝________．解析：函数f (x )的图象过原点，所以d ＝0.又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169.答案：1697．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．解析：因为f ′(x )＝3(x 2－a )，所以当a ≤0时，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上递增，f (x )没有极值点，不符合题意；当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表所示：⎩－a ≤－1⎩2≤a ，1≤a <4.答案：[1，4)8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增， 所以f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )． 所以f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0. 解得a >22. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫22，＋∞9．已知函数f (x )＝13x 3－12(a 2＋a ＋2)x 2＋a 2(a ＋2)x ，a ∈R .(1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的单调区间； (2)求函数y ＝f (x )的极值点．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝13x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以函数f (x )是R 上的增函数，增区间为(－∞，＋∞)，无递减区间．(2)因为f ′(x )＝x 2－(a 2＋a ＋2)x ＋a 2(a ＋2)＝(x －a 2)·[x －(a ＋2)]，①当a ＝－1或a ＝2时，a 2＝a ＋2，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )为增函数，无极值点． ②当a ＜－1或a ＞2时，a 2＞a ＋2，可得当x ∈(－∞，a ＋2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数；当x ∈(a ＋2，a 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )为减函数；当x ∈(a 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数．所以当x ＝a ＋2时，函数f (x )有极大值f (a ＋2)；当x ＝a 2时，函数f (x )有极小值f (a 2)． ③当－1＜a ＜2时，a 2＜a ＋2，可得当x ∈(－∞，a 2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数；当x ∈(a 2，a ＋2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )为减函数；当x ∈(a ＋2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数．所以当x ＝a ＋2时，函数f (x )有极小值f (a ＋2); 当x ＝a 2时，函数f (x )有极大值f (a 2)． 综上所述，当a ＝－1或a ＝2时，f (x )无极值点；当a ＜－1或a ＞2时，f (x )的极大值点为x ＝a ＋2，极小值点为x ＝a 2； 当－1＜a ＜2时，f (x )的极大值点为x ＝a 2，极小值点为x ＝a ＋2. 10．已知函数f (x )＝ln x x －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值． 解：(1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）>0，x >0得0<x <e ； 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）<0，x >0，得x >e. 所以函数f (x )的增区间为(0，e)，减区间为(e ，＋∞)．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m >0，即0<m ≤e2时，[m ，2m ]⊆(0，e)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上是增加的，所以f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m2m－1；②当m <e<2m ，即e2<m <e 时，[m ，e)⊆(0，e)，(e ，2m ]⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间[m ，e)上是增加的，在(e ，2m ]上是减少的， 所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1； ③当m ≥e 时，[m ，2m ]⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上是减少的，所以f (x )max＝f (m )＝ln mm－1.综上所述，当0<m ≤e 2时，f (x )max ＝ln 2m 2m －1；当e 2<m <e 时，f (x )max ＝1e －1；当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm－1.[综合题组练]1．(2020·重庆模拟)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为( )A ．2e －1B ．－1eC ．1D ．2ln 2 解析：选D.由题意知f ′(x )＝2e f ′（e ）x －1e， 所以f ′(e)＝2e f ′（e ）e －1e ，f ′(e)＝1e， 所以f ′(x )＝2x －1e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2e ，所以f (x )在(0，2e)上是增加的，在(2e ，＋∞)上是减少的，所以f (x )的极大值为f (2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2，选D.2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)解析：选C.由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3，0)．3．(2020·河南驻马店模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax ，x >0在[－2，2]上的最大值为3，则实数a 的取值范围是( )A ．(ln 3，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤0，12ln 3C.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D ．(－∞，ln 3]解析：选C.由题意，当x ≤0时，f (x )＝2x 3＋3x 2＋2，可得f ′(x )＝6x 2＋6x ＝6x (x ＋1)，所以当－2≤x <－1时，f ′(x )>0，函数f (x )在[－2，－1)上是增加的，当－1<x ≤0时，f ′(x )≤0，函数f (x )在(－1，0]上是减少的，所以函数f (x )在[－2，0]上的最大值为f (－1)＝3.要使函数f (x )在[－2，2]上的最大值为3，则当x ∈(0，2]时，e ax 的值必须小于或等于3.又y ＝e ax 单调，因此当x ＝2时，e 2a 的值必须小于或等于3，即e 2a ≤3，解得a ≤12ln 3.故选C.4．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则a ＝________，f (x )的极小值为________．解析：因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的，在(－2，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1.答案：－1 －15．(2020·石家庄市质量检测)已知函数f (x )＝a e x －sin x ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)当a ＝1时，证明：对任意的x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1； (2)若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x －sin x ，于是f ′(x )＝e x －cos x . 当x ∈[0，＋∞)时，e x ＞1且cos x ≤1.故当x ∈[0，＋∞)时，e x －cos x ＞0，即f ′(x )＞0.所以函数f (x )＝e x －sin x 为[0，＋∞)上的增函数，因为f (0)＝1， 所以对任意的x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1.(2)法一：由f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值，得f ′(x )＝a e x －cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在零点． ①当a ∈(0，1)时，f ′(x )＝a e x －cos x 为⎝⎛⎭⎫0，π2上的增函数， 注意到f ′(0)＝a －1＜0，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a ·e π2＞0， 所以，存在唯一实数x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使得f ′(x 0)＝0成立． 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，f (x )为(0，x 0)上的减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，f ′(x )＞0，f (x )为⎝⎛⎭⎫x 0，π2上的增函数．所以x 0⎝⎛⎭⎫x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2为函数f (x )的极小值点． ②当a ≥1时，f ′(x )＝a e x －cos x ≥e x －cos x ＞0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立． 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上没有极值． ③当a ≤0时，f ′(x )＝a e x －cos x ＜0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减少的，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上没有极值． 综上所述，若f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值，则实数a 的取值范围是(0，1)． 法二：由函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值， 得f ′(x )＝a e x －cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在零点， 即a ＝cos xex 在⎝⎛⎭⎫0，π2上有解． 设g (x )＝cos x e x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则g ′(x )＝－（sin x ＋cos x ）e x＜0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，所以g (x )为⎝⎛⎭⎫0，π2上的减函数．所以g (x )的值域为(0，1)，所以当实数a ∈(0，1)时，f ′(x )＝a e x －cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在零点． 下面证明，当a ∈(0，1)时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值． 事实上，当a ∈(0，1)时，f ′(x )＝a e x －cos x 为⎝⎛⎭⎫0，π2上的增函数， 注意到f ′(0)＝a －1＜0，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a ·e π2＞0，所以存在唯一实数x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 使得f ′(x 0)＝0成立．当x ∈()0，x 0时，f ′(x )＜0，f (x )为(0，x 0)上的减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，f ′(x )＞0，f (x )为⎝⎛⎭⎫x 0，π2上的增函数． 即x 0⎝⎛⎭⎫x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2为函数f (x )的极小值点． 综上所述，若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值，则实数a 的取值范围是(0，1)．6．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝a x －1x 2(a >0)．(1)由f ′(x )>0，解得x >1a，所以函数f (x )的增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0，解得x <1a，所以函数f (x )的减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a . (2)不存在．理由如下：由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )是减少的； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )是增加的． ①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．②若1<1a ≤e ，即1e ≤a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，而1e≤a <1，故不满足条件．③若1a >e ，即0<a <1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e＋1e ＝a ＋1e ＝0，即a ＝－1e ，而0<a <1e，故不满足条件． 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。
2017-2018学年高中数学北师大选修1-1讲义：第三章 2
§2导数的概念及其几何意义[对应学生用书P36]在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度v －，通过平均速度v －来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．问题1：怎么求运动员在t 0时刻的瞬时速度？提示：先求运动员在(t 0，t 0＋Δt )间平均速度v －，当Δt 趋于0时，平均速度就趋于运动员在t 0时刻的瞬时速度．问题2：当Δx 趋于0时，函数f (x )在(x 0，x 0＋Δx )上的平均变化率即为函数f (x )在x 0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？提示：当Δx 趋于0时，x 0＋Δx 就无限接近于点x 0，这样(x 0，x 0＋Δx )上的平均变化率就可以看作点x 0处的瞬时变化率．问题3：函数f (x )在x 0点的瞬时变化率叫什么？ 提示：函数f (x )在x 0点的导数．导数的定义函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率是函数y ＝f (x )在x 0点的导数．用符号f ′(x 0)表示，记作：f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .在函数y ＝f (x )的图像上任取两点A (x 1，f (x 1))，B (x 1＋Δx ，f (x 1＋Δx ))．问题1：f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 是函数f (x )在(x 1，x 1＋Δx )上的平均变化率，有什么几何意义？提示：函数y ＝f (x )图像上A ，B 两点连线的斜率．问题2：Δx 趋于0时，函数y ＝f (x )在(x 1，x 1＋Δx )上的平均变化率即为函数y ＝f (x )在x 1点的瞬时变化率，能否看成函数y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))处的切线斜率？提示：能．问题3：函数y ＝f (x )在x 0处的导数的几何意义是什么？ 提示：函数y ＝f (x )图像上点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．1．函数y ＝f (x )在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导数． 2．导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率．[对应学生用书P37][例1] 建造一栋面积为x 平方米的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义． [思路点拨]导数的定义―→函数y ＝f (x )在x ＝100处的瞬时变化率―→解释f ′(100)的意义[精解详析] 当x 从100变为100＋Δx 时，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx＝110＋110(100＋Δx ＋10)当x 趋于100时，即Δx 趋于0时，平均变化率趋于0.105，即f ′(100)＝0.105， f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．[一点通]利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤： 第一步，求函数的增加量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； 第二步，求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；第三步，求f ′(x 0)＝lim Δx →Δy Δx.1.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，设函数y ＝f (x )从－1到1的平均变化率为v 1，从1到2的平均变化率为v 2，则v 1与v 2的大小 关系为( )A ．v 1＞v 2B ．v 1＝v 2C ．v 1＜v 2D ．不能确定解析：记v 1＝Δy 11＝tan α1，v 2＝Δy 22＝tan α2，易知α1＜α2，所以v 1＜v 2.答案：C2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则f ′(1)＝________.解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2＋1]－[12＋1]＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. 答案：23．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，求物体在3 s 末的瞬时速度．解：物体在3 s 末的瞬时速度，即求物体在t ＝3时的导数． ∵Δs Δt ＝f (3＋Δt )－f (3)Δt＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝(Δt )2＋5Δt Δt ＝Δt ＋5，∴函数在t ＝3处的瞬时速度为s ′(3)＝lim Δx →ΔsΔt ＝lim Δx →0(Δt ＋5)＝5， 即物体在3 s 末的瞬时速度为5 m/s.[例2] 求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．[思路点拨] 函数f (x )＝2x 在x ＝－2时的导数即为点(－2，－1)处切线的斜率，故可先求f ′(－2)，再求曲线的切线方程．[精解详析] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f (x )＝2x在点(－2，－1)处的导数． 而f ′(－2)＝lim Δx →f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.[一点通]利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．4．曲线y ＝x 2－x ＋1在点(1,1)处切线的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.π6 D.π2 解析：f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 [(1＋Δx )2－(1＋Δx )＋1]－(12－1＋1)Δx＝lim Δx →0Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →(1＋Δx )＝1，设切线的倾斜角为α，则tan α＝1， ∴α＝π4.答案：A5．求曲线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程．解：f ′(2)＝lim Δx →0 14(2＋Δx )2－14×4＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为：y －1＝1·(x －2)，即x －y －1＝0.[例3] 直线l ：y ＝x 求a 的值及切点的坐标．[思路点拨] 由导数的几何意义，切点处的切线为l ：y ＝x ＋a ，可建立切线斜率的一个方程，从而求解切点坐标及a .[精解详析] 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点． f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－(x 0＋Δx )2＋1－(x 30－x 20＋1)Δx＝3x 20－2x 0.由题意知，3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327. [一点通]求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切点在曲线上，可得切点的纵坐标．6．抛物线y ＝x 2上某点处的切线平行于直线y ＝4x ＋1，则切点坐标为________． 解析：设切点为(x 0，x 20)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝lim Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0，∴2x 0＝4，∴x 0＝2，切点为(2,4)． 答案：(2,4)7．若曲线y ＝x 2－x ＋3的一条切线与直线y ＝x ＋1垂直，求切点坐标． 解：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)即为切线的斜率．∴f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－(x 0＋Δx )＋3－(x 20－x 0＋3)Δx＝lim Δx →0 (2x 0－1)Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →[(2x 0－1)＋Δx ]＝2x 0－1. 即切线斜率k ＝2x 0－1，又切线与直线y ＝x ＋1垂直， ∴2x 0－1＝－1，∴x 0＝0，y 0＝3. 故切点为(0,3)．8．求过点(0，－1)且与y ＝x 2相切的直线方程． 解：(0，－1)不在曲线y ＝x 2上，故(0，－1)不是切点．设切点为(x 0，x 20)，则f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0，故切线的斜率k ＝2x 0. 又切线过点(0，－1)∴k ＝x 20＋1x 0，则2x 0＝x 20＋1x 0，解得x 0＝±1，当x 0＝1时，k ＝2，切线方程为y ＝2x －1， 即2x －y －1＝0.当x 0＝－1时，k ＝－2，切线方程为y ＝－2x －1， 即2x ＋y ＋1＝0.函数y ＝f (x )在x 0处的导数即为该点处切线的斜率，由导数的几何意义求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．[对应课时跟踪训练(十二)]1．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim Δx →f (1＋x )－f (1)x等于( ) A ．2 B ．1C.12D.14解析：lim Δx →f (1＋x )－f (1)x＝f ′(1)＝1. 答案：B2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：可得f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →[a (1＋Δx )＋b ]－(a ＋b )Δx ＝lim Δx →0 a ΔxΔx＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0， 所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4. 答案：C3.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A ，B 处切线的倾斜角分别为α，β，则π2<α<β<π.∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )． 答案：B4．已知曲线f (x )＝－2x 和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx ，∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2. ∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4. 答案：C5．若函数y ＝f (x )在点(4,3)处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则f ′(4)＝________. 解析：因为直线x ＋2y －1＝0的斜率k ＝－12，所以f ′(4)＝－12.答案：－126．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则该物体的初速度是________．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度， ∴s ′(0)＝lim Δt →s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3.答案：37．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x ＜0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →11＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx ＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →(Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.8．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程． 解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，则 k ＝f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →03Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.。
版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 利用导数研究函数的单调性练习 理 北师大版 试题
3.2 利用导数研究函数的单调性核心考点·精准研析考点一不含参数的函数的单调性1.函数y=xlnx的单调递减区间是( )A.(-∞,e-1)B.(e-1,+∞)C.(e,+∞)D.(0,e-1)2.函数f(x)=的单调递增区间为.3.(2019·某某高考改编)函数f(x)=-lnx+的单调递减区间为________________.4.(2019·某某高考改编)函数f(x)=e x cosx的单调递增区间为___________.【解析】1.选D.函数y=xlnx的定义域为(0,+∞),因为y=xlnx,所以y′=lnx+1,令y′<0得0<x<e-1,所以减区间为(0,e-1).2.因为f(x)=,所以f′(x)=,由f′(x)>0,解得x<-1-或x>-1+.所以f(x)的递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞).答案:(-∞,-1-)和(-1+,+∞)3.f(x)=-lnx+的定义域为(0,+∞).f′(x)=-+=,由x>0知>0,2+1>0,所以由f′(x)<0得-2<0,解得0<x<3,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3).答案:(0,3)4.由已知,有f′(x)=e x(cosx-sinx).因此,当x∈(k∈Z)时,有sinx<cosx,得f′(x)>0,则f(x)单调递增.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).答案:(k∈Z)题2中,若将“f(x)=”改为“f(x)=x2e x”,则函数f(x)的单调递减区间是________________. 【解析】因为f(x)=x2e x,所以f′(x)=2xe x+x2e x=(x2+2x)e x.由f′(x)<0,解得-2<x<0,所以函数f(x)=x2e x的单调递减区间是(-2,0).答案:(-2,0)确定函数单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.【秒杀绝招】排除法解T1,根据函数的定义域排除A,已知当x∈(1,+∞)时,y=x和y=lnx都是增函数且为正数,所以y=xlnx也是增函数,从而排除B,C.考点二含参数的函数的单调性【典例】已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数f(x)的单调性.【解题导思】序号题目拆解(1)求f′(x),解方程f′(x)=0求f(x)的定义域,求f′(x)并进行恰当的因式分解,求出方程f′(x)=0的根(2)由f′(x)的符号确定f(x)的单调性用导数为零的实数分割定义域,逐个区间分析导数的符号,确定单调性【解析】因为f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,所以f′(x)==,由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f′(x)=0得x=1或x=,(1)若<1,即a>,由f′(x)>0得x>1或0<x<,由f′(x)<0得<x<1,即函数f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减;(2)若>1,即0<a<, 由f′(x)>0得x>或0<x<1,由f′(x)<0得1<x<, 即函数f(x)在(0,1),上单调递增, 在上单调递减;(3)若=1,即a=,则在(0,+∞)上恒有f′(x)≥0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可得:当0<a<时,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 在上单调递减,在上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>时,函数f(x)在上单调递增, 在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(2018·全国卷I改编)已知函数f=-x+alnx,讨论f的单调性.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--1+=-.(1)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.(2)若a>2,令f′(x)=0得,x=或x=.当x ∈∪时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.所以f(x)在,上单调递减,在上单调递增.考点三利用导数解决函数单调性的应用问题命题精解读1.考什么:(1)考查函数图像的识别、比较大小或解不等式、根据函数的单调性求参数等问题.(2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转化与化归的思想方法.2.怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图像及函数的单调性的应用等问题.3.新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大小、解不等式及知单调性求参数的X围.学霸好方法由函数的单调性求参数的取值X围的方法(1)可导函数在区间D上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,从而构建不等式, 求出参数的取值X围,要注意“=”是否可以取到. (2)可导函数在区间D 上存在单调区间,实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集,即f′(x)max>0(或f′(x)min <0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值X 围.(3)若已知f(x)在区间D 上的单调性,区间D上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值X围.函数图像的识别【典例】函数f(x)=x2+xsinx的图像大致为( )【解析】选A.因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsinx=f(x),所以f(x)为偶函数,B不符合题意,f(x)=x2+xsinx=x(x+sinx),令g(x)=x+sinx,则g′(x)=1+cosx≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时,f(x)=xg(x),f′(x)=g(x)+xg′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有A符合题意.辨别函数的图像主要从哪几个角度分析?提示:从函数奇偶性、单调性、最值及函数图像所过的特殊点等角度分析.比较大小或解不等式【典例】(2019·某某模拟)函数f(x)在定义域R内可导,f(x)=f(4-x),且(x-2)f′(x)>0.若a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c的大小关系是( )A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c【解析】选C.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的图像关于直线x=2对称,根据题意知,当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以f(3)=f(1)<f<f(0),即c<b<a.单调性比较大小或解不等式,实际上是自变量的大小与相应函数值的大小关系的互推,比较大小时对自变量的取值X围有什么要求?提示:必须在同一个单调区间内.根据函数的单调性求参数【典例】(2019·高考)设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值X围是__________.【解析】①显然f(0)有意义,又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,得a=-1.②因为f(x)是R上的增函数,所以f′(x)=e x-ae-x=≥0恒成立,即g(x)=(e x)2≥a恒成立,又因为g(x)>0,且当x趋向于-∞时,g(x)趋向于0,所以0≥a,即a的取值X围是(-∞,0].答案:-1 (-∞,0]函数f(x)在某区间上是增函数,推出f′(x)>0还是f′(x)≥0?提示:推出f′(x)≥0.1.设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)可能为( )【解析】选D.由题意得,当x<0时,函数y=f(x)单调递增,故f′(x)>0;当x>0时,函数y=f(x)先增再减然后再增,故导函数的符号为先正再负然后再正.结合所给选项可得D符合题意.2.已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=,对任意实数都有f(x)-f′(x)>0,设F(x)=,则不等式F(x)<的解集为 ( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(1,e)D.(e,+∞)【解析】选B.根据题意,F(x)=,其导数F′(x)==,又由f(x)-f′(x)>0,则有F′(x)<0,即函数F(x)在R上为减函数,又由f(1)=,则F(1)==,不等式F(x)<等价于F(x)<F(1),则有x>1,则不等式的解集为(1,+∞).3.若f(x)=2x3-3x2-12x+3在区间[m,m+4]上是单调函数,则实数m的取值X围是________________.【解析】因为f(x)=2x3-3x2-12x+3,所以f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f′(x)>0,得x<-1或x>2;令f′(x)<0,得-1<x<2,f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.若f(x)在区间[m,m+4]上是单调函数,则m+4≤-1或或m≥2.所以m≤-5或m≥2,则m的取值X围是(-∞,-5]∪[2,+∞).答案:(-∞,-5]∪[2,+∞)(2020·内江模拟)若函数f(x)=ax2+xlnx-x存在单调递增区间,则a的取值X围是( ) A. B.C.(-1,+∞)D.【解析】选B.因为f(x)=ax2+xlnx-x存在单调递增区间,则f′(x)=ax+lnx≥0在(0,+∞)上有解, 即a≥-在(0,+∞)上有解,令g(x)=-,x>0,则g′(x)=,当x>e时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当0<x<e时,g′(x)<0,g(x)单调递减,又x→0,g(x)→+∞,x→+∞,g(x)<0且g(x)➝0,因为g(e)=-,所以a≥-,当a=-时,f′(x)=-x+lnx,令h(x)=-x+lnx,则h′(x)=-,当x>e时,h′(x)<0,函数单调递减,当0<x<e时,h′(x)>0,函数单调递增,h(x)≤h(e)=0,即f′(x)≤0恒成立,此时不满足题意,所以a的取值X围是.。
北师大版数学选修1-1：第三章§2 导数的概念及其几何意义
f（x0＋Δx）－f（x0） ＝ lim (Δx＋2x0)＝2x0. Δx→0 Δx
Байду номын сангаас
2 由 2x0＝x0 ，解得 x0＝0 或 x0＝2. 答案：0 或 2 6.(2012· 南昌调研)若一物体的运动方程为 s＝3t2＋2，求此物体在 t＝1 时的瞬时速度．
解： lim →
Δx 0
s（1＋Δt）－s（1） 3（1＋Δt）2＋2－3×12－2 ＝ lim Δx→0 Δt Δt 6Δt＋3（Δt）2 ＝ lim (6＋3Δt)＝6. 0 Δx→0 Δt
Δx 0
2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2－1） ＝－1， Δx
∴曲线在(1，1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 5.函数 y＝x2 在 x＝________处的导数值等于其函数值． 解析：y＝f(x)＝x2 在 x＝x0 处的导数值为 f′(x0) ＝ lim →
＝ lim →
Δx
所以物体在 t＝1 时的瞬时速度是 6. [B 级 能力提升] 7.设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，则 a 等于( A．1 1 B. 2 1 C．－ 2 D．－1 解析：选 A.令 f(x)＝y＝ax2，则 2＝k＝f′(1) ＝ lim →
解析：作出函数 y＝ 4－x2的图像如图． 由导数的几何意义可知，函数 y＝ 4－x2在 x＝1 处的导数即为半圆在点 P(1, 切线的斜率． 1 1 3 ∴kl＝ － ＝－ ＝－ . kOP 3 3 答案：－ 3 3
3)处的
1 4.已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝ x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝ 2 ________． 1 5 1 解析：f(1)＝ ＋2＝ ，f′(1)＝ ， 2 2 2 ∴f(1)＋f′(1)＝3.
2020年高考数学总复习 第3章2 导数的概念及其几何意义课时闯关(含解析) 北师大版
2020年高考数学总复习 第3章2 导数的概念及其几何意义课时闯关（含解析） 北师大版[A 级 基础达标]1.已知函数y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB )B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B.f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )＜f ′(x B )．2.(2020·上饶检测)函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．2B ．3C ．6D ．12解析：选C.f ′(1)＝lim Δx →0 3（1＋Δx ）2－3×12Δx＝lim Δx →0 3＋6Δx ＋3（Δx ）2－3Δx＝6. 3.设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A.∵f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝a （1＋Δx ）＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，又f ′(1)＝2，∴a ＝2.4.曲线y ＝f (x )＝2x －x 3在点(1，1)处的切线方程为________．解析：∵f ′(1)＝lim Δx →0 2（1＋Δx ）－（1＋Δx ）3－（2－1）Δx＝－1， ∴曲线在(1，1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.答案：x＋y－2＝05.函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．解析：y＝f(x)＝x2在x＝x0处的导数值为f′(x0)＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0(Δx＋2x0)＝2x0.由2x0＝x20，解得x0＝0或x0＝2.答案：0或26.(2020·南昌调研)若一物体的运动方程为s＝3t2＋2，求此物体在t＝1时的瞬时速度．解：limΔx→0s（1＋Δt）－s（1）Δt＝limΔx→03（1＋Δt）2＋2－3×12－2Δt＝limΔx→06Δt＋3（Δt）2Δt＝limΔx→0(6＋3Δt)＝6.所以物体在t＝1时的瞬时速度是6.[B级能力提升]7.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )A．1B.12C．－12D．－1解析：选A.令f(x)＝y＝ax2，则2＝k＝f′(1)＝limΔx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx＝2a，故a＝1.8.如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是( )解析：选D.不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB 长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．9.(2020·宜春质检)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________． 解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)．y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 （x ＋Δx ）3－10（x ＋Δx ）＋3－x 3＋10x －3Δx＝3x 2－10.已知曲线C 在点P 处的切线的斜率k P ＝2，则3x 20－10＝2，解得x 0＝±2，∵点P 在第二象限内，∴x 0＝－2.又点P 在曲线C 上，则y 0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点P 的坐标为(－2，15)．答案：(－2，15)10.(2020·榆林调研)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，如图所示． (1)求曲线在点P 处的切线的斜率；(2)求曲线在点P 处的切线方程．解：(1)因为y ＝13x 3， 所以y ′＝ Δy Δx＝lim Δx →0 13（x ＋Δx ）3－13x 3Δx＝lim Δx →013 3x 2·Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx＝lim Δx →013[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝x 2， ∵点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83， 所以曲线y ＝13x 3在点P 处的切线的斜率为4. (2)曲线y ＝13x 3在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)， 即12x －3y －16＝0.11.(创新题)已知曲线C 的方程为y ＝x 3.(1)求曲线C 在横坐标为1的点处的切线方程；(2)试判断(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点．解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得切点坐标为(1，1)，故切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 （1＋Δx ）3－1Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3，∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2y ＝x 3消去y ，整理得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2，从而所求公共点为(1，1)，(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点．。
高中数学北师大版选修1-1学案：第三章 2 导数的概念及其几何意义
学习目标1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1割线PP n 的斜率k n 是多少？思考2当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理(1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一利用定义求导数例1求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx. 跟踪训练1利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练3求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．类型三导数的几何意义的综合应用例4已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则() A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于() A ．－4B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.5．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学知识点一思考1平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值． 梳理lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx f ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1割线PP n 的斜率 k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理(1)点P 处 (2)li m Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1解∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1解由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →(－Δx －1)＝－1. 例2解(1)k ＝li m Δx→0Δy Δx＝lim Δx →02(1＋Δx )2－2×12Δx＝lim Δx →04Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4.(2)点A 处的切线方程是 y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 跟踪训练2 －3 解析lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →0(2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3解设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →014(x 0＋Δx )2－14x 20Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3解lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝lim Δx →[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 当切点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.例4解因为f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝lim Δx →(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx＝lim Δx →[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究解由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23. 跟踪训练4解设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练 1．C2.C3.D4.2 5．解因为lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →012＋Δx －12Δx＝lim Δx→0－12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y －12＝－14(x －2)， 即x ＋4y －4＝0.。
高考数学总复习 第3章3 计算导数课时闯关(含解析) 北师大版
20##高考数学总复习第3章3 计算导数课时闯关〔含解析〕北师大版[A级基础达标]错误!<2012·##调研>曲线y＝x n<n∈N＋>在x＝2处的导数为12,则n等于< >A．1B．2C．3D．4解析：选C.∵y′＝nx n－1,∴函数y＝x n<x∈N＋>在x＝2处的导数为n·2n－1＝12,∴n＝3.错误!下列给出的四个命题中,正确的命题是< >①若函数f<x>＝错误!,则f′<0>＝0；②若函数f<x>＝2x2＋1的图像上的点<1,3>的邻近一点是<1＋Δx,3＋Δy>,则错误!＝4＋2Δx；③瞬时速度是动点位移函数s<t>对时间t的导数；④曲线y＝x3在点<0,0>处没有切线．A．①②B．②③C．①②③D．②③④解析：选B.①中f′<x>＝<x错误!>′＝错误!,当x＝0时无意义；④中y′＝<x3>′＝3x2,f′<0>＝0,有切线．错误!下列结论正确的个数为< >①若y＝ln 2,则y′＝错误!；②若f<x>＝错误!,则f′<3>＝－错误!；③若y＝2x,则y′＝2x ln 2；④若y＝log5x,则y′＝错误!.A．4B．1C．2D．3解析：选D.在①中,<ln 2>′＝0,②③④都对．错误!若f<x>＝sin x,则f′<2π>＝________．解析：∵f<x>＝sin x,∴f′<x>＝cos x.∴f′<2π>＝cos 2π＝1.答案：1错误!<2012·##检测>已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线,则k＝________．解析：y′＝<ln x>′＝错误!,则错误!＝k.∴x＝错误!.∴y＝k×错误!＝1.∴曲线y＝ln x过点错误!,即1＝ln 错误!,∴k＝错误!.答案：错误!错误!.求过曲线y＝cos x上点P错误!且与过这点的切线垂直的直线方程．解：因为y＝cos x,所以y′＝－sin x.曲线在点P错误!处的切线的斜率是为－sin 错误!＝－错误!.所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为错误! .所以所求的直线方程为y－错误!＝错误!错误!,即2x－错误!y－错误!＋错误!＝0.[B级能力提升]错误!<2011·高考##卷>曲线y＝e x在点A<0,1>处的切线斜率为< >A．1B．2C．e D.错误!解析：选A.由题意知y′＝e x,故所求切线斜率k＝e0＝1.错误!设f0<x>＝sin x,f1<x>＝f′0<x>,f2<x>＝f′1<x>,…,f n＋1<x>＝f′n<x>,n∈N,则f2012<x>等于< >A．sin xB．－sin xC．cos xD．－cos x解析：选A.f0<x>＝sin x,f1<x>＝f′0<x>＝cos x,f2<x>＝f′1<x>＝－sin x,f3<x>＝f′2<x>＝－cos x.f′4<x>＝f′3<x>＝sin x.∴f2012<x>＝f0<x>＝sin x.错误!<2012·江津测试>半径为r的圆的面积S<r>＝πr2,周长C<r>＝2πr,若将r看成<0,＋∞>上的变量,则<πr2>′＝2πr①,①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球,若将R看成<0,＋∞>上的变量,请你写出类似于①的式子：________②.②式可用语言叙述为________________________________________________________________________．答案：错误!′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数错误!.点P是曲线y＝e x上一动点,求点P到直线y＝x的最小距离．解：根据题意得：平行于直线y＝x且与曲线y＝e x相切的直线与曲线y＝e x的切点即为曲线y＝e x上到直线y＝x距离最近的点．设满足题意的P点的坐标为<x0,y0>,因为y′＝<e x>′＝e x,所以e x0＝1,得x0＝0,代入y＝e x,得y0＝1,即满足题意的P点坐标为<0,1>．由点到直线的距离公式得所求最小距离为错误!.错误!<创新题>如图,质点P在半径为1 m的圆上沿逆时针方向做匀角速运动,角速度为1 rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在y轴上的射影点M的速度．解：时刻t时,∵角速度为1 rad/s,∴∠POA＝1·t＝t rad,∴∠MPO＝∠POA＝t rad,∴OM＝OP·sin∠MPO＝sin t.∴点M的运动方程为y＝sin t,∴v＝y′＝<sin t>′＝cos t. 即时刻t时,点P在y轴上的射影M点的速度为cos t m/s.。
【优质课件】北师大版选修11高中数学3.2导数的概念及其几何意义优秀课件.ppt
解析: ������������������
������x →0
������(1+������)-������(1) 3������
=13
lim
Δ ������ →0
f(1+������x)-f(1) ������x
=13f'(1).
答案:C
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X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
������变式训练 1������求 y=f(x)=1������在 x=3 处的导数.
解:Δy=3+1Δ������
−
1 3
=
33-((33++ΔΔ������������))=-3(3Δ+������Δ������),
∴ΔΔ������������=-9+13Δ������.
∴f'(3)= lim Δ ������ →0
义,需适当变形.
探究一
探究二
探究三
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Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
正解:������(������0)-���2���(Δ���������0���+2Δ������)=-������(������0+22ΔΔ������������)-������(������0), 由 f'(x0)=a 知当 Δx 趋于 0 时,������(������0+ΔΔ������������)-������(������0)趋于 a, 又因为当 Δx 趋于 0 时,2Δx 也趋于 0,
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[A 级 基础达标]
1.已知函数y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )
A ．f ′(x A )＞f ′(x
B )
B ．f ′(x A )＜f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
解析：选B.f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )＜f ′(x B )．
2.(2012·上饶检测)函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．12
解析：选C.f ′(1)＝lim Δx →03（1＋Δx ）2－3×12Δx
＝lim Δx →03＋6Δx ＋3（Δx ）2－3Δx
＝6. 3.设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3
解析：选A.∵f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝a （1＋Δx ）＋4－a －4Δx
＝a ，∴f ′(1)＝a ，又f ′(1)＝2，
∴a ＝2.
4.曲线y ＝f (x )＝2x －x 3在点(1，1)处的切线方程为________．
解析：∵f ′(1)＝lim Δx →02（1＋Δx ）－（1＋Δx ）3－（2－1）Δx
＝－1， ∴曲线在(1，1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.
答案：x ＋y －2＝0
5.函数y ＝x 2在x ＝________处的导数值等于其函数值．
解析：y ＝f (x )＝x 2在x ＝x 0处的导数值为f ′(x 0)
＝lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx
＝lim Δx →0(Δx ＋2x 0)＝2x 0. 由2x 0＝x 20，解得x 0＝0或x 0＝2.
答案：0或2
6.(2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s ＝3t 2＋2，求此物体在t ＝1时的瞬时速度．
解：lim Δx →0s （1＋Δt ）－s （1）Δt ＝lim Δx →03（1＋Δt ）2＋2－3×12－2Δt
＝lim Δx →06Δt ＋3（Δt ）2Δt
＝lim Δx →0(6＋3Δt )＝6. 所以物体在t ＝1时的瞬时速度是6.
[B 级 能力提升]
7.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )
A ．1
B.12
C ．－12
D ．－1
解析：选A.令f (x )＝y ＝ax 2，则2＝k ＝f ′(1)
＝lim Δx →0f （1＋Δx ）－f （1）Δx
＝2a ，故a ＝1. 8.如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y ＝f (x )的图像是( )
解析：选D.不妨设A 固定，B 从A 点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x 很小，即弧AB 长度很小，这时给x 一个改变量Δx ，那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；
当弦AB 接近于圆的直径时，同样给x 一个改变量Δx ，那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；
从直径的位置开始，随着B 点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢． 由上可知函数y ＝f (x )的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D 正确．
9.(2012·宜春质检)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．
解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)．y ′＝lim Δx →0
Δy Δx ＝lim Δx →0（x ＋Δx ）3－10（x ＋Δx ）＋3－x 3＋10x －3Δx
＝3x 2－10.已知曲线C 在点P 处的切线的斜率k P ＝2，则3x 2
0－10＝2，解得x 0＝±2，∵点P 在第二象限内，∴x 0＝－2.又点P 在曲线C 上，则y 0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点P 的坐标为(－2，15)．
答案：(－2，15)
10.(2012·榆林调研)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，83，如图所示． (1)求曲线在点P 处的切线的斜率；
(2)求曲线在点P 处的切线方程．
解：(1)因为y ＝13
x 3， 所以y ′＝Δy Δx
＝lim Δx →013（x ＋Δx ）3－13x 3Δx
＝lim Δx →0133x 2·Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3
Δx
＝lim Δx →013[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝x 2， ∵点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，83， 所以曲线y ＝13
x 3在点P 处的切线的斜率为4. (2)曲线y ＝13x 3在点P 处的切线方程是y －83
＝4(x －2)， 即12x －3y －16＝0.
11.(创新题)已知曲线C 的方程为y ＝x 3.
(1)求曲线C 在横坐标为1的点处的切线方程；
(2)试判断(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点．
解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得切点坐标为(1，1)，故切线的斜率k ＝lim Δx →0
Δy Δx ＝lim Δx →0（1＋Δx ）3－1Δx
＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3，∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2y ＝x
3消去y ，整理得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2，从而所求公共点为(1，1)，(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点．。