大丰高级中学高三数学寒假作业三

高三数学寒假作业三1．已知集合A =},1|{2Z x x y x ∈-=,},12|{A x x y y B ∈-==,则B A = 。

{}1,1-2.设,(34)(4)a R i ai ∈++是纯虚数，则a = . 33. 已知命题“,|||1|2x R x a x ∃∈-++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是__ __.(,3)(1,)-∞-+∞4. 阅读下列程序:输出的结果是 .2,5,105. 如图所示,棱长为1cm 的小正方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是 366.已知F 1、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列， 则双曲线的离心率是 。

57. 在ABC ∆中，三内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若223,sin 23sin a b bc C B -==，则角A 的值为 .30︒8. 已知函数()3log 2+⋅=x x x f （x ＞0），直线与函数()x f 相切于点()m A ,1．则直线的方程为 ．（写成直线方程一般式）012ln 32ln =-+-y x 9. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：π=+10121000a a ，2141-=b b ，则=-+87201111tanb b a a . 310. 若直线1y kx =+与圆22x y kx +++my 1-0=交于M N 、两点，且M 、N 两点关于直Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End for End线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示的平面区域的面积是 . 4111. 若αβ、是函数22()lg lg 2f x x x =--的两个零点，则log log αββα+的值为 . 4-12. △ABC 中，2C π∠=，1,2AC BC ==，则()|2(1)|f CA CB λλλ=⋅+-⋅的最小值是．213.观察下列不等式：121⋅≥2111⋅，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅412121 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭⎫⎝⎛++⋅61412131，…，由此猜测第n 个不等式为 ．（*n ∈N ）)21614121(1)12151311(11nn n n +⋅⋅⋅+++≥-+⋅⋅⋅++++ 14.设函数)cos (sin )(x x e x f x-=，若π20110≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和为 . πππ220121)1(ee e -- 15. 已知函数()sin(2)1f x x ϕ=++和()cos(2)g x x ϕ=+.（1）设1x 是()f x 的一个极大值点，2x 上()g x 的一个极小值点，求12||x x -的最小值； （2）若//()()f g αα=，求()6g πα+的值.15.解：（1）由题意，得11221222,22,,2x k x k k Z k Z πϕπϕππ+=++=+∈∈于是1212|||()|44x x k k πππ-=--≥，当12k k =时等号成立.所以12||x x -的最小值为4π.（2）因为//()2cos(2),()2sin(2)f x x g x x ϕϕ=+=-+，由//()()f g αα=，得cos(2)sin(2),tan(2)1αϕαϕαϕ+=-++=-即， 所以2,()4k k Z παϕπ+=-∈，所以()cos(2)cos(2)cossin(2)sin6333g ππππααϕαϕαϕ+=++=+-+=13(cossin )sin(2)sin()3324k πππαϕπ+-++=-- 当k 为偶数时，26()64g πα++=；当k 为奇数时，26()64g πα++=-.16.如图，所有棱长都为2的正三棱柱'''D C B BCD -，四边形ABCD 是菱形，其中E 为BD 的中点。

(1) 求证：'''//D AB E C 面；（2）求证：面⊥'ACD 面'BDD ；（3）求四棱锥ABCD B -'与ABCD D -'的公共部分体积.证明(1) 如图取''D B 的中点为F ，连AF,C ’F , 易得AFC ’F 为平行四边形。

E C AF '//∴,又’‘面D AB AF ⊆ ∴'''//D AB E C 面 （2）连接',CD AC ,因ABCD 是菱形故有BD AC ⊥又'''D C B BCD -为正三棱柱故有'DD AC ⊥所以'BDD AC 面⊥,而'ACD AC 面⊆ 所以面⊥'ACD 面'BDD16.（3）设B ’D 与BD ’的交点为O ,由图得 四棱锥ABCD B -'与ABCD D -'的公共部分为 四棱锥O-ABCD且易得O 到下底面的距离为1，3260sin 222120=⨯⨯⨯=ABCD S所以公共部分的体积为33213231=⨯⨯。

17. 某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x (x ＞0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x %，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为33()50xa -（0a >）万元。

（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a 的最大值。

17.解（1）由题意得 3(100)(12%)3100x x -+≥⨯，即2500x x -≤，解得050x ≤≤， 又因为0x >，所以050x <≤；（2）从事蔬菜加工的农民的年总收入为33()50xa x -万元，从事蔬菜种植农民的年总收入为3(100)(12%)x x -+万元，根据题意得，33()50xa x -≤3(100)(12%)x x -+恒成立，即210025x ax x ≤++恒成立．又0x >，所以100125xa x ≤++恒成立， 而100125xx ++≥5（当且仅当50x =时取得等号）， 所以a 的最大值为5．18. 已知圆C 方程为：224x y +=.（Ⅰ）直线过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =，求直线的方程; （Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.18、解（Ⅰ）①当直线垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32 满足题意②若直线不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d∴1|2|12++-=k k ，34k =， 故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x 18.（Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y ∵OQ OM ON =+，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20yy =又∵4202=+y x ，∴224(0)4y x y +=≠∴Q 点的轨迹方程是221(0)416x y y +=≠，轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去短轴端点。

19.已知数列{}n a 的通项公式为*(,)n na n a N n a=∈+. （1）若1315,,a a a 成等比数列，求a 的值；（2）是否存在(3)k k k N ≥∈且，使得12,,k a a a 成等差数列，若存在，求出常数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：数列中的任意一项n a 总可以表示成数列中其它两项之积.19．解：（1）因为1315,,a a a 成等比数列，所以23115a a a =，即223115(),43115a a a a a=⋅∴=+++， *,4a N a ∈∴=.(2)若存在(3)k k k N ≥∈且，使得12,,k a a a 成等差数列，则有122k a a a +=， 即1412k a k a a +=+++，得23k a=+，3k N k ∈≥且，12a ∴=或. 故存在54k k ==或，使得12,,k a a a 成等差数列，且5k =时，1,4a k ==时，2a =. （3）*2222,,,222n n a n n n a nn a N a a a n a n a n a++∈∴==⋅=⋅+++ 22n a n a a +且和是数列{}n a 的不同于n a 的两项，所以数列中的任意一项n a 总可以表示成数列中其它两项之积.20. 已知函数(),()ln (xxf x e axg x e x e =+=是自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-的切线，求a 的值； （2）若对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由.20．解：（1）//() (1)xf x e a f e a =+=+，，所以在1x =处的切线为()()(1)y e a e a x -+=+-即：()y e a x =+与24(1)y x =-联立，消去y 得22()440e a x x +-+=， 由0∆=知，1a e =-或1a e =--. （2）/()xf x e a =+①当0a >时，/()0, ()f x f x >在R 上单调递增，且当x →-∞时，0,xe ax →→-∞，()f x ∴→-∞，故()0f x >不恒成立，所以0a >不合题意 ；②当0a =时，()0xf x e =>对x R ∈恒成立，所以0a =符合题意；③当0a <时令0=+a e x，得ln()x a =-， 当(,,ln())x a ∈-∞-时，/()0f x <， 当(ln(),)x a ∈-+∞时，/()0f x >，故()f x 在(,ln())a -∞-上是单调递减，在(ln(),)a -+∞上是单调递增, 所以min [()](ln())ln()0,,f x f a a a a a e =-=-+->∴>-又0a <，(,0)a e ∴∈-，综上：(,0]a e ∈-.(3)当1a =-时，由（2）知min [()](ln())ln()1f x f a a a a =-=-+-=， 设()()()ln xxh x g x f x e x e x =-=-+，则/11()ln 1(ln 1)1x x x x h x e x e e e x x x=+⋅-+=+-+，假设存在实数0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等，0x 即为方程的解，令/()1h x =得：1(ln 1)0x e x x +-=，因为0x e >， 所以1ln 10x x+-=. 令1()ln 1x x x ϕ=+-，则/22111()x x x x xϕ-=-= ，当01x <<是/()0x ϕ<，当1x >时/()0x ϕ>，所以1()ln 1x x x ϕ=+-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0x ϕϕ∴>=,故方程 1(ln 1)0x e x x+-=有唯一解为1，所以存在符合条件的0x ，且仅有一个01x =.。