不等式第二课时
二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)参考教学方案
《二次函数与一元二次方程、不等式 （第二课时）》教学设计1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，提升数学建模的核心素养．2．能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养．教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．PPT 课件一、知识回顾问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格。
师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错．预设的答案：Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a 没有实数根 ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2}{x |x ≠－b 2a } R◆ 课前准备◆ 教学过程◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标ax2＋bx＋c＜0(a＞0){x|x1＜x＜x2}∅∅的解集教师讲解：（1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．（2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍。
问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现．预设的答案：设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助．二、新知探究利用一元二次不等式解决实际问题例1一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：-=．202+y2200xx若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？对于实际问题还需要注意什么？师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解。
五基本不等式(第二课时)
1 9 19.已知x 0, y 0, 且 1, 求x y的最小值. x y 1 1 20.已知x 0, y 0, 且2 x y 1, 求 的最小值. x y
变式：若条件不变，求
x y的最小值
1 9 例4：若正数 x , y , 满足 1, 求(1) xy的最小值 x y
(2)x y的最小值
变式：若正数 x, y, 满足9 x y - xy 0, 求x y的最小值
例1变式：有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁 作为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明 才智，用这36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜 园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 x +2 y= 36 矩形菜园的面积为S=xy m2
1 2 x 1 1 3 x 1
凑项法
例
1 已知0 x , 求函数 y x1 3x 的最大值。 3
1 解：∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 3
构造和为定值
∴y=x（1-3x）= 1 3x（1-3x） 3
1 1 当且仅当 3x=1-3x 即x= 6 时 ymax= 12
1 错。因为 x 和 不一定是正数 x
一正
二定 三相等
8 8 (2)设x R , 则y x 2 中,当x 2 , x 2时, ymin 8; x x
8 2 错。因为 x 不是定值 x
9 3 若0 x ,则y sinx 2 9 6, sinx 所以函数的最小值是 6.
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，
否则会出现错误。
2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
第二课时 等式性质与不等式的性质
第二课时等式性质与不等式的性质课标要求素养要求1.掌握不等式的基本性质.2.运用不等式的性质解决有关问题.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.新知探究在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.问题你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？提示糖水变甜这一现象对应的不等式为ab<a＋cb＋c，其中a<b，c>0.1.等式的性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.2.不等式的性质注意这些性质是否可逆(易错点)性质1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.性质2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c.性质3如果a>b，那么a＋c>b＋c.性质4 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . 性质5 如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2).拓展深化[微判断]1.a >b ⇔ac 2>bc2.(×) 提示 当c ＝0时，不成立.2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)提示 相乘需要看是否⎩⎪⎨⎪⎧a >b >0，c >d >0，而相加与正、负和零均无关系.3.设a ，b ∈R ，且a >b ，则a 3>b 3.(√) [微训练]1.已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >ba成立的条件是( ) A.a <b B.a >b C.与m 有关D.恒成立解析 b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），而a >0，m >0且m （a －b ）a （a ＋m ）>0，∴a －b >0.即a >b .答案 B2.已知m >n ，则( ) A.m 2>n 2 B.m >n C.mx 2>nx 2D.m ＋x >n ＋x解析 由于m 2－n 2＝(m －n )(m ＋n )，而m ＋n >0不一定成立，所以m 2>n 2不一定成立，而m ，n 不一定有意义，所以选项A ，B 不正确；选项C 中，若x 2＝0，则不成立. 答案 D [微思考]1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？提示a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？提示不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.题型一利用不等式的性质判断命题的真假【例1】(1)若1a<1b<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3，则不正确的不等式的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)给出下列命题：①若ab>0，a>b，则1a<1 b；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③对于正数a，b，m，若a<b，则ab<a＋m b＋m.其中真命题的序号是________.解析(1)由1a<1b<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2.(2)对于①，若ab>0，则1 ab>0，又a>b，所以aab>bab，所以1a<1b，所以①正确；对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，则7－0<6－(－10)，②错误；对于③，对于正数a，b，m，若a<b，则am<bm，所以am＋ab<bm＋ab，所以0<a(b＋m)<b(a＋m)，又1b（b＋m）>0，所以ab<a＋mb＋m，③正确.综上，真命题的序号是①③.答案(1)C(2)①③规律方法不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.【训练1】设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是()A.ac>bdB.a d< bcC.ad>bc D.ac2<bd2解析a>b>0，c<d<0，即为－c>－d>0，即有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A错；由cd>0，又ac<bd<0，两边同乘1cd ，可得ad<bc，则B对，C错；由－c>－d>0，－ac>－bd>0，可得ac2>bd2，则D错.故选B.答案 B题型二利用不等式的性质证明不等式【例2】若bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋bb≤c＋dd.证明∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b).又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd .规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.【训练2】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc . (2)a <b <0，求证：b a <ab .证明 (1)因为a >b ，c >0，所以ac >bc ，即－ac <－bc . 又e >f ，即f <e ，所以f －ac <e －bc .(2)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab，∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0， ∴（b ＋a ）（b －a ）ab <0，故b a <a b . 题型三 利用不等式的性质求范围【例3】 已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，ab 的取值范围. 解 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63，即14<a b <2.规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.【训练3】 已知－π2<β<α<π2，求2α－β的取值范围.解∵－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2.∴－π<α－β<π.又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，又2α－β＝α＋(α－β)，∴－π2<2α－β<3 2π.一、素养落地1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.二、素养训练1.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A.a>b>－b>－aB.a>－b>－a>bC.a>－b>b>－aD.a>b>－a>－b解析由a＋b>0知，a>－b，∴－a<b<0.又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.答案 C2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是()A.a－b>0B.a3＋b3>0C.a2－b2<0D.a＋b<0解析本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.答案 D3.若8<x<10，2<y<4，则xy的取值范围为________.解析 ∵2<y <4，∴14<1y <12. 又∵8<x <10，∴2<xy <5. 答案 2<xy <54.下列命题中，真命题是________(填序号).①若a >b >0，则1a 2<1b 2；②若a >b ，则c －2a <c －2b ；③若a <0，b >0，则－a <b ；④若a >b ，则2a >2b .解析 ①a >b >0⇒0<1a <1b ⇒1a 2<1b 2；②a >b ⇒－2a <－2b ⇒c －2a <c －2b ；对③取a ＝－2，b ＝1，则－a <b 不成立.④正确.答案 ①②④5.已知c a >db ，bc >ad ，求证：ab >0.证明∵⎩⎨⎧c a >d b ，bc >ad ，∴⎩⎨⎧c a －d b >0，bc －ad >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ab >0，bc －ad >0，∴ab >0.基础达标一、选择题1.已知a <b <0，则下列式子中恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C.a 2<b 2D.a b <1解析 因为a <b <0，不妨令a ＝－3，b ＝－2，则－13>－12，可排除A；(－3)2>(－2)2，可排除C；a b ＝－3－2>1，可排除D；而－13>－12，即1a>1b，B正确.答案 B2.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()A.x2<ax<a2B.x2>ax>a2C.x2<a2<axD.x2>a2>ax 解析∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.答案 B3.(多选题)设a<b<0，则下列不等式中正确的是()A.2a>2b B.ac<bcC.|a|>－bD.－a>－b解析a<b<0，则2a>2b，选项A正确；当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确；|a|＝－a>－b，则选项C正确；由－a>－b>0，可得－a>－b，则选项D正确.答案ACD4.已知a>b>c，则1b－c＋1c－a的值是()A.正数B.负数C.非正数D.非负数解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c （b －c ）（c －a ）＝b －a （b －c ）（c －a ），∵a >b >c ，∴b －c >0，c －a <0，b －a <0， ∴1b －c ＋1c －a>0，故选A. 答案 A5.若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的范围是( ) A.－3<a －|b |≤3 B.－3<a －|b |<5 C.－3<a －|b |<3D.1<a －|b |<4解析 ∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0. 又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3. 答案 C 二、填空题6.不等式a >b 和1a >1b 同时成立的条件是________. 解析 ∵1a －1b ＝b －aab ，∴a >b 和1a >1b 同时成立的条件是a >0>b . 答案 a >0>b 7.若a <b <0，则1a －b与1a 的大小关系是________. 解析 1a －b －1a ＝a －（a －b ）（a －b ）a ＝b（a －b ）a ，∵a <b <0，∴a －b <0，则b （a －b ）a <0，1a －b<1a .答案1a －b <1a8.已知－π2≤α<β≤π2，则α－β2的取值范围是________.解析 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<β2≤π4. ∴－π4≤α2<π4，①－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.② 由①＋②得－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0.∴－π2≤α－β2<0. 答案 －π2≤α－β2<0 三、解答题9.判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a <b ，c <0，则c a <cb ； (2)若ac 3<bc 3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c 则a －b >b －c . 解 (1)∵a <b ，不一定有ab >0， ∴1a >1b 不一定成立， ∴推不出c a <cb ，∴是假命题.(2)当c >0时，c 3>0，∴a <b ，∴是假命题.(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.(4)当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题.10.已知c >a >b >0，求证：a c －a >bc －b.证明 a c －a －bc －b ＝a （c －b ）－b （c －a ）（c －a ）（c －b ）＝ac －ab －bc ＋ab （c －a ）（c －b ）＝c（a －b ）（c －a ）（c －b ）.∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0，a －b >0.∴c （a －b ）（c －a ）（c －b ）>0.∴ac －a >bc －b .能力提升11.已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是() A.xy >yz B.xz >yzC.xy >xzD.x |y |>z |y |解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 答案 C12.已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围.解 法一 设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v 2，∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v .∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6.则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10.法二 令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ＋b ≤4，－3≤3（a －b ）≤6.∴－2≤4a －2b ≤10. 创新猜想13.(多选题)若x >1>y ，则下列不等式一定成立的有( )A.x －1>1－yB.x －1>y －1C.x －y >1－yD.1－x >y －x解析 x －1－(1－y )＝x ＋y －2，无法判断它与0的大小关系，任取特殊值x ＝2，y ＝－1得x －1－(1－y )<0，故选项A 中不等式不一定成立；x －1－(y －1)＝x －y >0，故选项B 中不等式成立；x －y －(1－y )＝x －1>0，故选项C 中不等式成立；1－x －(y －x )＝1－y >0，故选项D 中不等式成立.故选BCD.答案 BCD14.(多空题)已知12<a <60，15<b <36，则a －b 的取值范围为________，a b 的取值范围为________.解析 由15<b <36得－36<－b <－15.又因为12<a <60，所以－24<a －b <45.由15<b <36得136<1b <115.又因为12<a <60，所以13<a b <4.答案 －24<a －b <45 13<a b <4。
基本不等式(第二课时)课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
∴ + = ( + )( + ) = +
+ 10 ≥ 2
⋅
+ 10 = 16,
9
=
=4
当且仅当
即
时，等号成立. ∴ +
= 12
1 9
+ =1
min
题型讲练
常数代换或消元法求最值
例题3：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是
随堂小测
1
1.已知x>0,则x+2的最小值为(
1
A.2
D)
2
B.1
C. 2
D. 2
4
9
2.已知正数x,y满足 + =1,则xy有( C )
A.最小值12
B.最大值12
C.最小值144
144
3.当且仅当x=
4. +
1
时,4x+(x>0)取得最小值.
4
的最小值等于
4
.
D.最大值
x
[答案] 4
4
4
4
[解析] ∵x>0，∴ >0，∴y＝x＋ ≥2 x· ＝4.
x
x
x
3．x，y∈R，x＋y＝5，则 3x＋3y 的最小值是________．
[答案]
18 3
[解析] 3 x>0,3y>0.∴3x＋3y≥2 3x·3y
5
＝2 3x＋y＝2·( 3)5＝18 3，当且仅当 x＝y＝ 时等号成立．
4
即x 3时，等号成立.
不等关系与不等式第二课时
注意:本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割断 它们之间的联系
小结
不等式的性质
内
容
对称性 传递性 加法性质
ab ba; ab ba ab,bc ac
ab acbc;a b ,c d a c b d
乘法性质
指数运算性质 倒数性质
ab,c0 a cb;a cb,c0 a cbc a b 0 ,c d 0 a c bd ab0 anbn; ab0 nanb
第三章 3.1 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
[解析] 设该单位职工有 n 人(n∈N*)，全票价为 x 元，坐 甲车需花 y1 元，坐乙车需花 y2 元，
则 y1＝x＋34x·(n－1)＝14x＋34xn，y2＝45xn， y1－y2＝14x＋34xn－45xn ＝14x－210xn＝14x(1－n5)． 当 n＝5 时，y1＝y2；当 n>5 时，y1<y2； 当 n<5 时，y1>y2. 因此，当此单位去的人数为 5 人时，两车队收费相同；多 于 5 人时，选甲车队更优惠；少于 5 人时，选乙车队更优惠．
这个性质也可以表示为c<b，b<a，则c<a.这个 性质是不等式的传递性。
性质3：如果a>b，则a+c>b+c.
证明：因为 ab,
所 ( a c 以 ) ( b c ) a b 0 , 所a 以 cbc. 性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数， 所得的不等式与原不等式同向.
a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b.
3.1不等式与不等关系(第二课时)
则2x+3y=(m+n)x+(m-n)y
5 m+n = 2 m = 2 即 m − n = 3 得 n = − 1 2 5 1 ∴2x+3y= (x+y)+(- )(x-y) 2 2
待定系数法
Q −1 ≤ x + y ≤ 2, 2 ≤ x − y ≤ 4 5 5 ∴− ≤ (x+y) ≤ 5 2 2 1 -2 ≤ - (x-y) ≤ -1 2 9 5 1 ∴− ≤ (x+y)+(- )(x-y) ≤ 4 2 2 2
复习回顾 1.了解不等式（组）的实际背景，会用 了解不等式（ 了解不等式 的实际背景， 不等式表示不等关系。 不等式表示不等关系。 2. 掌握大小比较的原理，学会大小比较 掌握大小比较的原理， 的方法。 的方法。
作差法的步骤
作差 变形 定号 结论
3.1
不等关系与不等式(第二课时) 不等关系与不等式(第二课时)
e e 已知：a > b > 0, c < d < 0, e < 0 求证： > a−c b−d 解： e e e(Q− d< − e<a0 c) e[(b − a ) + (c − d )] b c )d ( − − = = a−c b−d (a c )( − d ) (a − c)(b − d ) ∴−− c> b − d> 0
题型四. 题型四.利用不等式的性质求取值范围 a 例4 已知1 < a < 4, 2 < b < 8, 试求a - b与 的取值范围 b
解：Q 2 < b < 8
高中数学教案——不等式的性质第二课时
课题：不等式的性质（2）教学目的：1理解同向不等式，异向不等式概念；2理解不等式的性质定理1—3及其证明；3理解证明不等式的逻辑推理方法．4严谨周密的习惯教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a＞b⇔b＜a和a＞b，b＞c⇒a ＞c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则2定理3的推论，即“a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程：一、复习引入：1．判断两个实数大小的充要条件是：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?从而引出不等式的性质及其证明方法．二、讲解新课：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c<d ，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b证明：∵a>b ∴a-b>0由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) ．点评：可能个别学生认为定理l 没有必要证明，那么问题：若a>b ，则a 1和b1谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a 、b 的大小”与“a-b 与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c证明：∵a>b ，b>c ∴a-b>0， b-c>0根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0∴a>c根据定理l ，定理2还可以表示为：c<b ，b<a ⇒c<a点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n 个的情形． 定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c证明：∵a>b ， ∴a-b>0，∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c点评：(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c ，那么a>c-b ，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．证法一：⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a a+c>b+d 证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a a+c>b+d 点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；三、讲解范例：例 已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．(相减法则)分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的证法一：∵a ＞b ，c ＜d∵a －b ＞0，d －c ＞0∴（a －c ）－（b －d ）＝（a －b ）＋（d －c ）＞0(两个正数的和仍为正数)故a －c ＞b －d思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d又∵a ＞b∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ）∴a －c ＞b －d四、课堂练习： 1判断下列命题的真假，并说明理由：(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c a c分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真答案：(1)真因为推理符号定理3(2)假2，3(初中)可知，当c ＜0时，c a ＜c 式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负2回答下列问题：（1)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a ＋c 与b ＋d 谁大谁小?举例说明；(2)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a －2c 与b －2d 谁大谁小?举例说明答案：(1)不能断定例如：2＞1，1＜3⇒2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0⇒2－1＞1－0８异向不等式作加法没定论 (2)不能断定例如a ＞b ，c ＝1＞d ＝－1⇒a －2c ＝a －2，b ＋2＝b －2d ，其大小不定a ＝８＞1＝b 时a －2c ＝６＞b ＋2＝3而a ＝2＞1＝b 时a －2c ＝0＜b ＋2＝33求证：(1)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a －d ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c －2a ＜c －2b 证明：(1).c b d a d b c b d c d c d b d a b a ->-⇒⎪⎭⎪⎬⎫-<-⇒-<-⇒>->-⇒>(2)a ＞b ⇒－2a ＜－2b ⇒c －2a ＜c －2b 4已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且d c b a =，求证：a ＋d ＞b ＋c 证明：∵dc b a = ∴d d c b b a -=- ∴（a －b ）d ＝（c －d ）b又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且d b ＞1 ∴db dc b a =--＞1 ∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c 评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧五、小结 ：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法六、课后作业：1．如果R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件． 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 2．已知R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证：0111>++cb a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc 且0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 3．已知||||,0b a ab >> 比较a 1与b1的大小． 解：a 1-b 1ab a b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a >0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b1 4．如果0,>b a 求证：a b ab >⇔>1 证：01>-=-a a b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a <0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>ab 七、板书设计（略）八、课后记：。
人教版七年级数学下册优秀教学案例：9.1.2不等式的性质(第二课时)
在讲授新知后，我会组织学生进行小组讨论。我会给出一些练习题或实际问题，让学生在小组中共同讨论和解决。例如，我可以给出一个问题：“已知不等式2x > 3，求解x的取值范围。”让学生通过小组合作，运用不等式的性质来解决这个问题。通过小组讨论，学生能够相互学习、交流和合作，培养他们的团队合作能力和解决问题的能力。
总而言之，我希望通过本节课的教学，让学生不仅掌握不等式的性质，而且能够运用性质解决实际问题，培养他们的数学思维能力和问题解决能力。同时，我也希望他们能够对数学学习保持热情和兴趣，体验数学的价值和魅力。
三、教学策略
（一）情景创设
在“9.1.2不等式的性质（第二课时）”的教学中，我会注重情景创设，让学生在实际情境中感受不等式的性质的重要性和应用价值。例如，我可以设计一些与生活相关的问题，如购物时如何比较价格、制作食物时如何配比等，让学生在解决问题的过程中自然地引入不等式的性质。通过这样的情景创设，学生能够更好地理解不等式的性质，并能够将所学知识应用到实际生活中。
（三）小组合作
在教学过程中，我会组织学生进行小组合作，让他们在小组中共同探讨和解决问题。我会将学生分成小组，并给出一些练习题或实际问题，让学生在小组中共同讨论和解决。通过小组合作，学生能够相互学习、交流和合作，培养他们的团队合作能力和解决问题的能力。同时，小组合作也能够增加学生的互动和交流，提高他们的学习积极性和兴趣。
这一节课的内容是在学生已经掌握了不等式的基本概念和初步运算的基础上进行的，他们对不等式的认识已经有了一定的深度。然而，对于不等式的性质，他们还较为陌生。因此，在这一节课中，我需要以学生已有的知识为基础，引导他们通过观察、实验、推理等过程，发现并理解不等式的性质。
这一节课的教学目标是让学生理解并掌握不等式的性质，能运用性质解不等式。为了实现这一目标，我需要设计一系列的教学活动，引导学生主动参与，让他们在活动中体验、发现并理解不等式的性质。同时，我还需要关注学生的学习状态，及时给予引导和帮助，确保他们能够顺利地掌握不等式的性质。
2.1等式性质与不等式性质第二课时(新教材配套课件)
这怎么与 2 a b 2 矛盾了呢？
利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相 加（相乘），这种转换不是等价变形.本题中将2 a b 4 与 -2 a b 2 两边相 加得 0 a 3, 又将 -4 b a 2 与 -2 a b 2 两边相加得 3 b 0, 又将该式 与 0 a 3 两边相加得出 3 a b 3, 多次使用了这种转化，导致了a b 范围的扩 大.
三、运用规律，解决问题
例2 已知 a b 0, c 0, 求证 c c .
ab
解：∵a b 0,
∴ab 0, 1 0. ab
∴a 1 b 1 , ab ab
∴1 1 . ba
又∵c 0,
∴c c. ab
四、变练演练，深化提高
问题4 小明同学做题时进行如下变形对吗？请说明理由．
四、变练演练，深化提高
例3
已知
2
, 2
求 , 22
的取值范围.
解：
∵ ,
2
2
∴- , , 424 424
两式相加，得 - .
222
∵- , 424
∴- , 4 24
∴- . 222
又知 ,∴ - 0.
∵2 b 3, ∴1 1 1 .
3b 2 又∵ 6 a 8, ∴ 2 a 4.
b
不正确.因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以
一个负数，不等号的方向改变，在本题中只知道 6 a 8 不明确 a 值
的的正同负向不.故等不式能才将能13分 b1别 相12 与乘 .6 a 8 ,两边分别相乘，只有两边都是正数
基本不等式(第二课时)PPT课件
(1) 如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时
取“ ”号) ; (2) 如果a,b R ,那么 a b
2 取“ ”号) ;
ab(当且仅当a b时
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即 若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ M 2 成立.
，当且仅当a＝b时等号成立
练习：设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
取“ ”号) ; (2) 如果a,b R ,那么 a b
2 取“ ”号) ;
2ab(当且仅当a b时 ab(当且仅当a b时
(1) f (x) 2 3x 4 最 _大__ 值是2___4__3_(x 0). x
(2) sin x 1 最 _大__ 值是 ___2_( x 0). 2sin x
(3)已知2a b 2,求f (x) 4a 2b的最值及
4
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即
若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2 P
，当且仅当a＝b 时等号成立.
复习引入
1．基本不等式：
(1) 如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时
取“ ”号) ; (2) 如果a,b R ,那么 a b
2 取“ ”号) ;
ab(当且仅当a b时
此时的a和b.
若 a b 1，P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b), 2
2023年高考数学(理科)一轮复习——不等式选讲 第二课时 不等式的证明
(2)用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4. 证明 不妨设max{a，b，c}＝a. 因为abc＝1，a＝－(b＋c)， 所以a>0，b<0，c<0. 由 bc≤（b＋4 c）2，可得 abc≤a43， 当且仅当 b＝c＝－2a时取等号， 故 a≥3 4，所以 max{a，b，c}≥3 4.
索引
感悟提升
1.比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论. (2)作商比较法：作商、变形、 判断、下结论. 2.利用放缩法证明不等式时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.
索引
训练1 (1)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为 __M_≥__N___. 解析 M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b) ＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b) ＝(a－b)(a＋b)(2a＋b). 因为a≥b＞0， 所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 logx10＋lg x＝lg1x＋lg x≥2(x>1)，①正确； ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确； 因为 ab≠0，ab与ba同号， 所以ba＋ab＝ba＋ab≥2，③正确； 由|x－1|＋|x－2|的几何意义知， |x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确.
索引
(2) bac＋ abc＋ acb≥ 3( a＋ b＋ c).
证明
bac＋ abc＋ acb＝a＋abb＋c c.
二次函数与一元二次方程、不等式 第二课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
【训练 3】 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 12 万 元/辆，年销售量为 10 000 辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度 增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比 例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入 成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系 式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什 么范围内?
∴(3xx－＋15)≠(30x，＋5)≤0， ∴－ x≠53－≤53x，≤1， 即－53<x≤1.
故原不等式的解集为x－1<x<12.
5
解简单分式不等式： 先通过移项、通分 整理，再化成整式 不等式来解. 系数化为正，大于 取“两端”，小于 取“中间”
如果能判断出分母 的正负，直接去分 母也可.
课堂精讲
当
a≠0
时，a<0， Δ<0.
15
课堂精炼
【训练 2】 对任意的 x∈R，函数 y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于 0， 则 a 的取值范围为________. 解析 由题意知，y开口向上，
故要使y>0恒成立， 只需Δ<0即可， 即(a－4)2－4(5－2a)<0， 解得－2<a<2. 答案 {a|－2<a<2}
6
解 (2)y<－m＋5 恒成立， 即 m(x2－x＋1)－6<0 恒成立，
5
∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又 m(x2－x＋1)－6<0，∴m<x2－6x＋1. ∵函数 y＝x2－6x＋1＝x－2162＋34
不等式的性质第二课时原创初中数学课件
0
1
课堂小结
不等式的性质
性质1
如果a＞b,那么a±c＞b±c.
性质2
如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或 ＞ ).
性质3
如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或 ＜ ).
a b
c c
a b
c c
等式性质要分乘数的正、负分别论述，两者的结果不同.
随堂练习
1. 已知a > b，用“>”或“<”填空：
(1)2a ＞ 2b ；
(2)-3a ＜ -3b ；
a
b
(3)- +1___+1.
2 ＜ 2
2.利用不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1) x＞-4;
(2)3x＜2x+1.
仔细观察，有何发现？
根据发现的规律填空：
当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时，
不变
不等号的方向_________.
归纳小结
不等式的性质1
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，
不等号的方向不变.
如果a＞b,那么a±c＞b±c.
巩固练习
根据不等式性质1， 把下列不等式化为x >a或x< a的形式：
< 4÷(-2) .
(2)-2 > -4； -2×2 > -4×2；-2÷(-2) < (-4)÷(-2).
与同桌互相交流，你们发现了什么规律？
根据发现的规律填空：
不变
当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向_______;
改变
而乘同一个负数时，不等号的方向_______.
归纳小结
不等式的性质2
等式与不等式性质第二课时课件
第二课时
创设情境
现实世界
相等关系
不等关系
等式性质
不等式性质？
创设情境
性质1：如果a＝b，那么b＝a；
性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5：如果a＝b，c≠0那么
a c
＝b c
．
自身的特性 运算的不变性
．
证明：∵a＞b＞0， ∴ab＞0， 1 0 ， ab
∴a 1 b 1 ，即 1 1 ． ab ab b a
又∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴ c d 0 ，
ba
∴
c b
3
d a
3
0
，即
c b
3
d a
3
0
，
∴
d a
3
c b
3
．
等式与不等式性质第二课时 课件
等式与不等式性质第二课时 课件
等式与不等式性质第二课时 课件
归纳小结
等式与不等式性质第二课时 课件
等式与不等式性质第二课时 课件
作业布置
作业：习题2.1第5，7，8，11，12题．
等式与不等式性质第二课时 课件
等式与不等式性质第二课时 课件
目标检测
1 用不等号“＞”或“＜”填空：
（1）如果a＞b，c＜d，那么a－c__＞__b－d；
（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac_＜___bd；
（3）如果a＞b＞0，那么
1 a2
__＜__
1 b2
；
（4）如果a＞b＞c＞0，那么 c _＜___ c ． ab
等式性质与不等式性质(第二课时)课件-高一上学期数学必修第一册
推论 乘方法则— a>b>0 an>bn (nR+)
开方法则— a>b>0 n a n b (nN *
且n>1）
分层训练
谢谢
课堂练习
1. 设 a ﹥ b ，用 “﹥” 或 “﹤” 号填空：
（1） a＋5 ＞___ b ＋5
(2) 2a＞___ 2b
(3) －5a ＜___ －5b
(4) a ＞___ b
3
3
2.判断下列各命题的真假，并说明理由：
√ 1如果a b,那么a c b c
2如果a b, 那么a b
cc
3如果ac bc,那么a b
× ×
√ 4如果ac2 bc2, 那么a b
3.单项选择：
(1)由 x＞y 得 ax＞ay 的条件是（A）
A.a＞0 B.a＜0 C.a≥0 D.a≤0
(2)由 x＞y 得 ax≤ay 的条件是（ D）
A.a＞0 B.a＜0 C.a≥0 D.a≤0
(3)由 a＞b 得 am2＞bm2 的条件是（C ）
a b 0 an bn (n N, n 1) a b 0 n a n b(n N, n 1)
例题分析
例2：已知a b 0, c 0,求证 c c . ab
证明一: a b 0,
不等式两边同乘以正数 1 ,得 ab
1 1 ,即1 1 , ba ab
c 0, c c .
由性质定理3可以直接推得:
a b c a b (b) c (b) a c b
不等式有可班的 女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班 多. 这里反映出的不等式性质如何用数 学符号语言表述？
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2 时,应满足 > >0,但本题没有这一
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条件.
正解:由
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【做一做 2-5】已知 a>b,则( A.3a>3b C.-a>-b 答案:A B.-2a>-2b D.-11a>-11b
)
(6)乘法
文字语言 符号语言 作用 两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式同向. a>b>0,c>d>0⇒ ac>bd 两个不等式相乘的变形
①证明:∵a>b>0,c>0, ∴ac>bc. ∵c>d>0,b>0, ∴bc>bd. ∴ac>bd. ②这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘, 这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式 与原不等式同向. ③a>b>0,c<d<0⇒ ac<bd;a<b<0,c<d<0⇒ ac>bd. ④该性质不能逆推,如 ac>bd a>b,c>d.
������ ������
得
������ ������ ������ ������
> 0,
������������-������������ > 0.
所以 ab>0. ������������-������������ > 0. 反思:由于同向不等式可以相加,所以就认为同向不等式也可相乘,这样就忽略 了相乘的前提:不等式两边都是正数,从而导致错误.
文字语言 符号语言 变形 作用 如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三个量,那么第一个量 大于第三个量 a>b,b>c⇒ a>c a≥b,b≥c⇒ a≥c; a<b,b<c⇒ a<c; a≤b,b≤c⇒ a≤c 比较大小或证明不等式
①该性质不能逆推,如 a>c a>b,b>c. ②此性质可推广为 a1>a2,a2>a3,a3>a4,…,an-1>an⇒ a1>an. ③此性质说明不等式具有传递性,它是不等关系传递的基础.
【做一做 2-6】已知 a>b>0,则有( A.3a<2b C.3a>2b 答案:C B.3a=2b
)
D.3a 与 2b 大小不确定
7)乘方
文字语言 符号语言 作用 当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式与 原不等式同向. a>b>0⇒ an>bn(n∈N,且 n≥2) 不等式两边的乘方变形
第 2 课时
不等式的性质
1.掌握不等式的性质及各自成立的条件. 2.能利用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式.
1.关于实数大小的比较 (1)事实:如果 a-b 是正数,那么 a>b;如果 a-b 等于零,那么 a=b;如果 a-b 是负 数,那么 a-b<0,反过来也成立. (2)符号表示: a-b>0⇔a>b; a-b=0⇔a=b; a-b<0⇔a<b. (3)说明:“⇔”表示“等价于”,即“⇔”两边可以互相推出. (4)作用:比较两个代数式大小或证明不等式.
>
������������2 , ������ ������2 ������2 ������2 ������2
������������������2 所以 2 ������ ������ 因为 ������
������������������2 ������2
,所以 ab >
������2
>0.
������2 ������2
������ > ������⇒������ + ������ > ������ + ������ ①证明: ⇒ a+c>b+d. ������ > ������⇒������ + ������ > ������ + ������ ②此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,即两个或两个以 上的同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向. ③两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时分别相减. ④该性质不能逆推,如 a+c>b+d a>b,c>d.
【做一做 2-4】已知 a<b,则有( A.a+1<b+2 C.a+1>b+2 答案:A B.a+1≤b+2 D.a-1>b-2
)
(5)可乘性
文字语言 符号语言 不等式的两边都乘以正数时,不等号的方向不变;都乘以负数时,不等 号的方向一定要改变. a>b,c>0⇒ ac>bc a>b,c<0⇒ ac<bc a≥b,c>0⇒ ac≥bc a≥b,c<0⇒ ac≤bc 变形 a<b,c>0⇒ ac<bc a<b,c<0⇒ ac>bc a≤b,c>0⇒ ac≤bc a≤b,c<0⇒ ac≥bc 作用 不等式的同解变形
所以
> 0,
1 设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a2<b2 C.
1 ������������2
)
B.ab2<a2b
1 ������2 b
<
D. <
������ ������
������ ������
解析:选项 A 中,a2-b2=(a+b)(a-b),由于 a+b 的符号不确定,则选项 A 不成立;选项 B 中,ab2-a2b=ab(b-a),由于 ab 的符号不确定,则选项 B 不成立;选项 C 中,
【做一做 1】已知 x∈R,则 x2+2 与 2 的大小关系是( A.x2+2>2 C.x2+2<2 则 x2≥0,即 x2+2≥2. 答案:B B.x2+2≥2 D.x2+2≤2
)
解析:(x2+2)-2=x2,又 x∈R,
2.不等式的性质 (1)对称性 文字语言 符号语言 作用 不等式两边互换后,再将不等号改变方向,所得不等式与 原不等式等价 a>b⇔b<a 写出与原不等式等价且异向的不等式
������ ������
证明不等式
������ ������
【例题 2】已知 a>b>0,d>c>0,求证: > . 分析:转化为证明 − >0. 证明: − =
������ ������ ������ ������ ������������-������������ . ������������ ������ ������ ������ ������
【做一做 2-8】已知 m>n>0,则下列不等式不成立的是( A. ������ > ������ C. 4 ������ > 答案:D
4
)
B. ������ > D. ������ <
5
3
3 5
������ ������
������
不等式变形应注意的问题 剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带 等号,那么等号是传递不过去的.如 a≤b,b<c⇒ a<c. (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数 c 的符号”.例如当 c≠0 时,有 a>b⇒ ac2>bc2;若无 c≠0 这个条件,则 a>b⇒ ac2>bc2 就是错误结论(因为当 c=0 时,取“=”).
1 ������ 1 ������ 1 3 1 2
题型一
比较大小
【例题 1】比较下列各组中两个代数式的大小: (1)x2+3 与 3x; (2)已知 a,b 为正数,且 a≠b,比较 a3+b3 与 a2b+ab2 的大小. 分析:我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,若要比较两式的大小,只需作差 并与 0 作比较即可.
①证明:ac-bc=(a-b)c. ∵a>b,∴a-b>0. 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当 c>0 时,(a-b)c>0,即 ac>bc;当 c<0 时,(a-b)c<0,即 ac<bc. ②该性质不能逆推,如 ac>bc a>b. ③ac>bc⇒ a>b,c>0 或 a<b,c<0. ④不等式两边仅能同乘以(或除以)一个符号确定的非零实数.
【做一做 2-2】已知 a=log32,b=log2 ,则有( A.a=b C.a>b B.a<b D.a≥b
2 5
2 5
)
解析:a=log32>log31=0,b=log2 <log21=0, 则 a>0,0>b,即有 a>b. 答案:C
(3)可加性
文字语言 符号语言 变形 作用 不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向. a>b⇒ a+c>b+c a<b⇒ a+c<b+c a≤b⇒ a+c≤b+c a≥b⇒ a+c≥b+c 不等式的移项,等价变形
【做一做 2-7】已知 m>n>0,则下列不等式不成立的是( A.m2>n2 C.m4>n4 答案:D B.m3>n3 D.m-2>n-2