高中数学思想活用-巧得分系列之六 方程思想在平面向量中的应用2
备战2024高考数学二轮复习讲义第二讲-转化思想在平面向量中的应用
第2讲转化思想在平面向量中的应用转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。
平面向量作为高中数学教学的重要内容之一，平面向量做为载体内容与三角函数、解三角形、平面解析几何等都有重要联系，而平面向量中也常常遇到转化思想的相关应用，例如用基底表示平面向量、等和线转化解决系数和问题、极化恒等式转化求解数量积问题等在平面向量中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在平面向量中的几类应用展开详细讲解。
【应用一】转化思想在用基底表示平面向量中的应用我们在学习平面向量基本定理时，会学习到基底的概念，我们不妨先来复习一下平面向量基本定理，如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．我们在高考复习及高考题中也常常遇见给定基底来表示某一向量的题型，解题的关键在于把待表示的向量转化到某个三角形或平行四边形中用向量的加法或减法先表示出来，再用转化思想与平行关系用基底来表示即可。
例如下面这道例题：本题没有图象，我们不妨先作图在研究，如图所示：要表示EB ,则需在在三角形ABD ∆中找到一组基础关系，由于E 为AD 的中点，所以1122BE BA BD =+，再结合ABC ∆的关系可得到()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ ，即3144EB AB AC =-，从而达到用基底AB AC 、来表示EB【思维提升】通过本题我们不难发现，对于已知基底来表示向量的问题，我们通常先找到一组基础的关系，再通过转化思想转化为用基底来表示，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。
高中数学解题中平面向量方法的应用分析
高中数学解题中平面向量方法的应用分析
高中数学解题中的平面向量方法是一种常见的解题思路，它能够有效地解决各种平面几何问题。
平面向量方法主要包括向量的定义和性质、向量的运算、向量的表示以及解向量方程和向量运算的应用等内容。
平面向量的基本定义是指在平面上具有大小和方向的量，它可以用有向线段来表示。
平面向量的性质主要包括共线向量、平行向量、向量等于零向量等。
这些性质在解题过程中起到了重要的作用，能够帮助我们分析问题、提取关键信息。
平面向量的运算是指实数与向量的乘法和向量间的加法、减法等运算。
这些运算可以用来求解向量的模、角度以及向量之间的关系等问题。
通过运用这些运算规则，我们可以将复杂的几何问题转化为向量计算，从而简化解题过程。
平面向量的表示方法有两种：坐标表示和行坐标。
坐标表示是指通过向量的坐标表示向量的位置，可以用于表示向量的起点和终点等。
而行坐标是指通过向量的终点与起点之间的位置关系来表示向量，可以用于表示向量的方向、角度等。
在解向量方程的过程中，我们可以通过向量的性质和运算规则来求解未知量。
可以将问题中的几何条件转化为向量方程，并通过求解该方程来得到所需的答案。
高中数学解题中平面向量方法的应用分析
高中数学解题中平面向量方法的应用分析
高中数学解题中，平面向量方法是一种常用的解题方法。
它主要应用于平面几何、线
性代数和解析几何等领域。
下面将从几个方面分析平面向量方法在高中数学解题中的应
用。
在平面几何中，平面向量方法可以用于解决平面上的点、线、面的位置关系问题。
通
过引入向量的概念和运算法则，可以用向量的加减、数量积等操作来表示和计算线段、向
量的长度、夹角、平行关系等几何性质。
可以用向量来证明平行线之间的距离相等、求解
点在直线上的投影等问题。
在线性代数中，平面向量方法可以用于求解线性方程组。
通过将线性方程组写成矩阵
乘法的形式，并用向量表示未知数，可以将求解线性方程组的问题转化为求解向量的线性
组合的问题。
利用向量的性质和运算法则，可以通过增广矩阵的行变换来求解未知数的值。
可以用向量法解决线性方程组的解的存在唯一性以及解的求法等问题。
平面向量方法还可以用于解决高等数学中的微分和积分问题。
通过将函数表示为向量
函数，可以简化微分和积分的运算过程。
可以用向量函数求导来计算曲线的切线和法线，
用向量函数积分来计算曲线的弧长和面积等问题。
高中数学知识点归纳平面向量的应用
高中数学知识点归纳平面向量的应用高中数学知识点归纳：平面向量的应用一、导言在高中数学中，平面向量是一个非常重要的概念，它不仅在解决几何问题时起到了重要作用，还广泛应用于物理学、力学和工程学等领域。
本文将归纳总结高中数学中平面向量的应用，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、向量的表示和运算1. 向量的表示方法向量可以使用坐标表示法或极坐标表示法来表示。
在坐标表示法中，向量通常表示为一个有序数对 (a, b) 或列向量 [a, b]。
在极坐标表示法中，向量通常表示为一个模和一个方向角。
2. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即 A + B = B + A 和 (A + B) + C= A + (B + C)。
可以通过将向量的对应坐标相加来进行向量的加法运算。
3. 向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，表示为 A · B，计算公式为 A · B = |A| |B| cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别代表向量的模，θ 为夹角的余弦值。
三、平面向量的应用1. 平面向量的共线性和相关性若有两个非零向量 A 和 B，当且仅当存在实数 k，使得 A = kB，称向量 A 和 B 共线。
利用向量共线的性质，可以解决一些平面几何中的问题，如线段的三等分点、中点和重心等。
2. 平面向量的位移和坐标平面向量可以表示为点的位移，即从一个点 A 到另一个点 B。
向量AB 表示从 A 到 B 的位移，其坐标为 [x2 – x1, y2 – y1]，其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别为 A 和 B 的坐标。
3. 平面向量的垂直和平行关系若有两个非零向量 A 和 B，当且仅当 A · B = 0 时，称向量 A 和 B 垂直。
若存在实数 k，使得 A = kB，称向量 A 和 B 平行。
利用向量垂直和平行的性质，可以解决平面上直线的垂直、平行和交点等问题。
4. 平面向量的线性组合和线性相关性若有 n 个向量 A1，A2，...，An 和 n 个实数 k1，k2，...，kn，向量B = k1A1 + k2A2 + ... + knAn 称为向量 A1，A2，...，An 的线性组合。
方程思想在平面几何中的应用
方程思想在平面几何中的应用问题聚焦：《数学课程标准》明确提出：获得必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能，让学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识，具有初步的创新精神和实践能力。
本节专题“方程思想在平面几何中的应用”涉及内容属于四大学习领域中的数与代数中的方程，空间与图形中的证明部分。
通过方程把几何与代数内容有机的结合起来，让学思想，方程（组）解法及列方程解决实际应用题对于学生并不陌生，但它与平面几何的结合没有过多的专项研究，方程思想在数学应用中无处不在，是探索数及实际问题中蕴含的关系与规律的有效工具，是发展学生符号感的重要手段，所以说方程思想的地位是极其重要的。
用设未知数，用未知量表示已知量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系，从而有效的复习了所学几何内容与解方程。
要解决的重点：学生在初中阶段已经学习了一元一次方程、二元一次方程（组）以及一元二次方程和分式方程的相关知识及应用，初步体会了方程在解决实际问题中的具体应用，会用方程思想解决简单的数学问题和实际问题，但是对于利用方程思想解决几何问题还不大熟悉。
由于学生对于题型中的隐形条件、一些常用的性质定理不能合理利用，导致不能正确的找到等量关系，因此，怎样从复杂的几何图形中找到数量之间的相等关系是本节的重点。
须突破的难点：通过分析复杂的几何图形，把可能用到的方程思想的基本图形分析出来，通过数量间的关系，利用所学定理、性质建立等量关系从而求解。
预期目标：通过这节课的学习，对方程思想的训练，学生在遇到几何问题时可尝试用方程思想思考并解答。
解决路径：实施分层教学：一堂课的教学内容尽可能分为基础部分和拓展部分，让不同层次的学生各有收获。
本节课的教学程序设计：第一部分：基础部分，引导学生总结出规律，夯实基础；第二部分：巩固部分，进一步巩固已获得的知识，学会应用数学思想；第三部分：应用部分，学会数学建模。
方程思想在解几何题中的应用
方程思想在解几何题中的应用首先，方程思想在几何问题的坐标系解法中发挥着重要作用。
坐标系是一种将几何问题转化为代数问题的有效工具。
通过引入坐标系，将点表示为坐标的形式，直线和曲线表示为方程的形式，可以方便地进行运算和推导，从而解决几何问题。
例如，在求解直线与圆的交点问题中，可以通过建立坐标系，设定直线和圆的方程，将两个方程联立求解，从而得到交点的坐标。
其次，方程思想在解析几何中的方程的运用中发挥着重要作用。
解析几何是研究几何对象的性质和关系的一种方法，它主要通过方程的形式来描述几何对象。
通过利用方程的性质，如对称性、切线性质等，可以得到几何问题的一些关键性质。
例如，在证明两直线平行的问题中，可以通过计算两直线的斜率，并且利用斜率相等的性质，建立方程来求解，进而得到两直线平行的结论。
另外，方程思想在平面几何中的相似性质的运用中也发挥着重要作用。
平面几何中的相似性质是研究几何对象形状关系的一种方法。
通过建立几何对象之间的相似关系，可以将几何问题转化为代数问题，利用方程进行求解。
例如，通过相似三角形的性质，可以建立一些比例方程，从而求解出几何问题中的未知量。
同时，方程思想也可以帮助我们更好地理解相似性质的本质，发现几何对象之间的相似关系，从而得出更深入的结论。
此外，方程思想还可以在解决几何问题中的参数方程中发挥着重要的作用。
参数方程是一种利用参数的形式来表示几何对象的方法。
通过引入参数，可以将几何问题转化为代数问题，建立方程进行求解。
例如，在求解曲线与曲线的交点问题中，可以将曲线表示为参数方程的形式，然后将两个参数方程联立，从而得到交点的参数，再代入到原来的参数方程中，求解出交点的坐标。
通过利用参数方程，我们可以更加简洁地描述几何对象，并且更方便地进行计算和推导。
数学思想活用-巧得分系列之六 方程思想在平面向量中的应用
AD ＝3(2c－d)．
[题后悟道] 本题求解利用了方程思想，首先利用三角形法则表示出向量 AB ， AD ， 然后解关于 AB ， AD 的方程组，方程思想在利用平面向量基本定理求参数经常用到．所 谓方程思想， 是指在解决问题时， 用事先设定的未知数表示问题中所涉及的各量间的等量关 系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使 问题获得解决．
Go the distance
[典例] 如图，在平 行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点， 已知 AM ＝c， AN ＝d，试用 c，d 表示
AB ， AD .
[解] 在△ADM 中，
AD ＝ AM － DM ＝c－2 AB .①
在△ABN 中， 1
1
AB ＝ AN － BN ＝d－2 Aance
针对训练 1 如图所示，在△ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且 AN ＝ NC ，BN 2 与 CM 相交于点 E，设 AB ＝a， AC ＝b，试用基底 a，b 表示向量 AE . 1 1 1 1 解：易得 AN― →＝ AC ＝ b， AM ＝ AB ＝ a，由 N，E，B 三点 3 3 2 2 1 共线知，存在实数 m，满足 AE ＝m AN ＋(1－m) AB ＝ mb＋(1－m)a. 3 1 由 C，E，M 三点共线知存在实数 n，满足 AE ＝n AM ＋(1－n) AC ＝ na＋(1－n)b. 2 1 1 所以 mb＋(1－m)a＝ na＋(1－n)b. 3 2
1－m＝2n， 由于 a，b 为基底，所以 1 3m＝1－n，
2 1 所以 AE ＝ a＋ b. 5 5
1
m＝5， 解得 4 n＝5，
3
平面向量的运算与应用知识点总结
平面向量的运算与应用知识点总结一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
平面向量的定义包括起点、终点和方向，同时还可以表示为有序数对或列向量。
二、平面向量的表示法平面向量可以使用有向线段、有序数对或列向量来表示。
有向线段表示形式为AB，表示从点A指向点B的有向线段。
有序数对表示形式为(a,b)，表示向量的水平分量和垂直分量。
列向量表示形式为[a;b]，表示向量的水平分量和垂直分量。
三、平面向量的加法平面向量的加法满足三角形法则，即将向量的起点连接起来，从第一个向量的起点到第二个向量的终点，再从第二个向量的起点到第三个向量的终点，得到一个新的向量，该向量的起点为第一个向量的起点，终点为第三个向量的终点。
四、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。
计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示两个向量的夹角。
五、平面向量的应用1. 平面几何问题：平面向量常常用于解决平面几何问题，如证明等腰三角形的性质、求解平面图形的面积等。
2. 力的合成与分解：平面向量可以用于分解一个力为两个分力的合力，或者合成两个力为一个合力。
3. 直角坐标系中的运算：平面向量可以用于直角坐标系中的向量运算，如求两点之间的距离、解决平面射线与直线的交点等问题。
六、平面向量的运算方法1. 向量的加法：将两个向量的水平分量相加，垂直分量相加，得到一个新的向量。
2. 向量的减法：将两个向量的水平分量相减，垂直分量相减，得到一个新的向量。
3. 数乘：将向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的向量。
4. 向量的数量积：将两个向量的对应分量相乘，然后相加，得到一个实数。
七、平面向量的运算性质1. 加法交换律：A + B = B + A2. 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 数乘结合律：k(A + B) = kA + kB4. 数乘分配律：(k + l)A = kA + lA5. 零向量的性质：A + 0 = A，0A = 0八、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示可以通过列向量来表示，其中向量的水平分量对应 x 坐标，垂直分量对应 y 坐标。
平面向量的应用与解析方法总结
平面向量的应用与解析方法总结平面向量是数学中重要且广泛应用的概念。
它是一种具有大小和方向的量，常用于描述平面上的运动、力学和几何等问题。
通过对平面向量的应用和解析方法的研究，我们可以更好地理解和解决与平面向量相关的问题。
本文将对平面向量的应用以及解析方法进行总结和探讨。
一、平面向量的应用1. 平面运动学平面向量在运动学中有着广泛的应用。
我们可以用平面向量来描述物体在平面上的位移、速度和加速度等概念。
通过计算位移向量、速度向量和加速度向量，我们可以更准确地描述物体在平面上的运动状态，并解决与平面运动相关的问题。
2. 平面力学平面向量在力学中也有重要的应用。
我们可以将力看作是一种平面向量，通过对多个力的叠加，可以求解物体所受合力的大小和方向。
同时，平面向量也可以应用于解决平衡力的问题，通过将各个力的合力等于零，可以求解物体所处的平衡状态。
3. 平面几何平面向量在几何中也有着广泛的应用。
我们可以用向量表示线段、三角形、四边形等几何图形，通过向量的运算和性质，可以更方便地证明和推导相关的几何定理。
同时，平面向量还可以应用于解决几何问题，如判断点是否在直线上、判断线段是否相交等。
二、平面向量的解析方法平面向量的解析方法是一种通过坐标表示向量的方法，可以将向量问题转化为代数问题，从而更好地解决与平面向量相关的计算和推导。
平面向量的解析方法主要包括向量的表示、向量的运算和向量的性质。
1. 向量的表示在平面直角坐标系中，任意向量都可以表示为一个有序数对。
如向量→AB可以表示为(ABx, ABy)，其中ABx和ABy分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
利用向量的表示，我们可以将向量问题转化为坐标计算问题，更方便地进行分析和解决。
2. 向量的运算平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
向量的加法和减法分别是将对应坐标相加和相减，得到新向量的坐标表示。
数量乘法是将向量的每个坐标都乘以一个实数，得到新向量的坐标表示。
数学思想在平面向量中的应用
数学思想在平面向量中的应用在解决平面向量问题时，适时提炼运用数学思想，不仅能增强分析问题、解决问题的能力，而且对于提高数学素质与思维能力具有重要作用．一、整体思想向量具有几何和代数的双重性，数与形的紧密结合是向量的特点．向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引人向量的坐标表示后，使向量的运算坐标化即代数化．平面向量与点A(x,y)之间建立了一一对应关系，对平面向量来讲既有大小又有方向，又是一个整体，对=(x,y)， (x,y)也是一个整体，向量的许多运算都可以用这个“整体”来解决，这就是向量的坐标运算的整体思想．例1．已知点A(2,3），B(5,4），C(7,10），若AP =)(R AC AB ∈+λλ，试问： (1)λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上?（2）λ为何值时，点P 在第三象限？ 解：设点P 的坐标为(x,y)，则=(x,y)-(2,3), λ+=(5,4)-(2,3)+ λ[(7,10)-(2,3)]=(3+5λ,1+7λ)∵=λ+,∴⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x ,得⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x ,∴点P 坐标为(5+5λ,4+7λ）(l)若点P 在一、三象限的角平分线上，则有5+5λ=4+7λ,∴21=λ (2）若点P 在第三象限，则⎩⎨⎧<+<+074055λλ,∴λ<-1二、方程思想所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。
用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。
例2.若对n 个向量12,,,n a a a 存在n 个不全为0的实数12,,,,n k k k 使12120n n k a k a k a +++=成立,则称n a ,,a ,a 21为线性相关,依次规定()()()1231,0,1,1,2,2a a a ==-=线性相关的实数123,,k k k 可取出的一组数据为 .简析:信息反馈,类比平面向量的基本定理的应用,构建方程组探索待定系数.由题意可得, ()13112233123232342,20,,2k k k a k a k a k k k k k k k ⎧⎪⎨⎪⎩=-++=++-+=∴=故实数321k ,k ,k 可取出的一组数据为()R c ,c c ,c ,c ∈≠-024.例3．平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=，回答下列问题：（1）求满足a mb nc =+的实数m,n ；（2）若()()//2a kc b a +-，求实数k ；（3）若d 满足()()//d c a b -+，且5d c -=，求d 。
方程思想在平面几何中的应用(一)
方程思想在平面几何中的应用教学目标：1、掌握几何计算题的解题过程和列方程的方法。
2、在教与学的过程中，培养学生形成数学中的听、说、写等交流技能，体验基本的数学思想——方程思想的运用。
3、通过解基本、简单的题型，让学生感到，数学并不是高不可攀的，激发学习数学的兴趣，培养积极探究、独立思考的习惯和团队合作精神。
教学重点：方程思想应用的过程：审题、设元、列方程、解方程、检验、答。
教学难点：在所求量与已知量之间建立等量关系。
教学过程一、导入例题1、已知多边形的一个内角的外角与其它内角和等于600°，求多边形的边数及相应的外角度数。
1、在直角三角形中，已知两直角边相差7厘米，斜边比较长的直角边长1厘米，求三角形的三边长。
2、在Rt△ABC中，∠C=900，CD⊥AB，D为垂足,若已知AC=8，BC=15，求CD的长。
3、如图，在△ABC中，∠BAC=900，以A点为圆心的⊙A切BC于D，若BD=4， DC=9，求⊙A的半径。
让学生讨论与归纳：1、解题的步骤：审题、设元、列方程、解方程、检验、答。
2、在所求量与已知量与之间建立等量关系的常用方法有那些？推出：1、利用图形中的直角三角形勾股定理建立等量关系；2、利用图形的面积公式建立等量关系；3、利用图形中的相似三角形对应边成比例的比例式建立等量关系。
二、巩固例题二、如图，在矩形ABCD中，AB=30，AD=50，折叠矩形的一边AD，折痕为AE，当DE为多少时，使折叠后的D点落在BC上？D三、应用例题三、从2003年8月19日，朱家角的拱形石桥泰安桥坍塌事件海报与图片，引出2003年8月19日晚，因施工队施工不当,上海地区现存最陡、最古老的单孔拱形石桥———泰安桥坍塌。
现按照“修旧如旧”的宗旨进行修复。
由于桥已坍塌，桥拱的圆弧的半径已无据可查；但已知桥拱在水面上的跨度达8米，桥拱的最高点到水面的距离约为3.5米。
如果你是修桥施工队的工程师，你能否计算出桥拱圆弧的半径吗？四、总结：从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法-------方 程 思 想BK课后作业1、如图，在矩形ABCD中，AD=20，AB=50，现将矩形沿对角线BD折叠后点A落在E处，且BE与CD交于点F，求DF的长。
高中数学中的平面向量及其应用
平面向量是高中数学中的一个重要概念，它是一种既有大小又有方向的量。
在数学中，我们可以用向量来表示物体的位置、方向、速度等物理量，因此向量被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等许多领域。
本文将介绍高中数学中的平面向量及其应用。
一、平面向量的定义平面向量可以表示为坐标形式，其中坐标包含大小和方向。
例如，向量（3，4）表示一个大小为3，方向为x轴正方向的向量。
在数学中，我们可以用向量来表示物体的位置、方向、速度等物理量。
二、平面向量的基本运算1. 加法：两个向量相加，等于它们的起点重合，然后同时顺时针或逆时针旋转，并分别沿着两个向量的方向移动相同的距离。
2. 减法：两个向量相减，等于它们的起点重合，然后同时逆时针或顺时针旋转，并分别沿着两个向量的方向移动相同的距离。
3. 数量积：两个向量相乘一个实数，等于向量本身乘以这个实数的绝对值，再乘以它们之间的夹角。
4. 向量积：两个向量相乘一个实数，等于它们垂直的乘积，再乘以它们之间的夹角。
三、平面向量的应用1. 物理：在物理学中，向量被广泛应用于力学、电磁学等领域。
例如，在力学中，我们可以使用向量来表示物体的速度、加速度等物理量；在电磁学中，我们可以使用向量来表示电磁波的传播方向等物理量。
2. 工程学：在工程学中，向量被广泛应用于土木工程、机械工程等领域。
例如，在土木工程中，我们可以使用向量来表示结构的形变、位移等物理量；在机械工程中，我们可以使用向量来表示机器的运动轨迹等物理量。
3. 计算机科学：在计算机科学中，向量被广泛应用于图像处理、信号处理等领域。
例如，在图像处理中，我们可以使用向量来表示像素的颜色、亮度等物理量；在信号处理中，我们可以使用向量来表示信号的频率、振幅等物理量。
数学思想在平面向量中的应用
/
2 ,得
，解 得 X = 1 ，故 B F ' ( 1 — 2 ，2 ) 。
所 以 " 蒼 . 玉 # = 2 ( 1 — /2 ) + 2 = 2 。 (方法 2) 因为
万支）= 2 ，所 以 | 万 支 | = 1 ，|C ? | = 2 - 1 。 所 以 • 碎 = ( " # + 前 ） _ (i # + C# ) =
—1—+ )
—3 ' 3 —x ，
由 A C ' D B ，得 &
解
>— 5 ' — 1 — + ，
f —0
得
’即 第 四 个 顶 点 D 的 坐 标 为 （6 , 4 ) 。
+ '4，
若平行四边形四个顶点的顺序为A B ，
D ，C ，G A # ' ( — 1 ，一 4 ) ，C # ' ( x — 1 ，；y +
A B —( — 1 ，一 4 ) ，D C ' (1 — x ，— 2 — ^ ) 。 由
— D C ，得
1 '1 —x
X '2 ，
得&
即
4' 一2—+ ，
+ ' 2，
第 四 个 顶 点 D 的 坐 标 为 （2 ，2 ) 。
若 平 行 四 边 形 四 个 顶 点 的 顺 序 为 A ，C ，
B ，D ，则 A# ' ( — 3, 一 5 ) ，成 ’ （3 — x ，
一 、数 形 结 合 思 想
! / 如 图 1 所 示 ，在 A A B C 中 ，点 D ，
浅论平面向量章节中解题思想策略的运用-丰中学
浅论平面向量章节中解题思想策略的运用江苏省丰县中学于梦军221700内容摘要：解题思想策略是解答数学策略方法系统化、理论化的集中体现和概括。
平面向量章节是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。
在整个高中数学学科知识体系中占有重要位置。
本文作者结合平面向量问题案例解答方法，对方程、数形结合、分类讨论等解题思想策略运用进行简要阐述。
关键词：平面向量解题策略思想解题素养学生在学习新知、解答问题的过程中，逐步养成和形成了探析和解题的一般方法和技能。
解题思想策略作为解题方法技能系统化、理论化的集中概括和有效体现，是解题策略性的生动展示。
培养高中生良好地解题思想策略，已成为新课改下高中数学问题案例教学的重要任务和要求之一。
平面向量作为作为高中数学学科体系的“分支”之一，它是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。
在整个高中数学学科知识体系中占有重要位置。
通过对平面向量问题案例解答策略方法的整体研究分析，可以发现，平面向量问题案例解答过程中，需要运用到多种解题思想策略。
这对于培养和提升高中生的数学学习能力素养和学习品质，提供了实践和锻炼的有效舞台和载体。
本人现简要论述平面向量问题案例解答中，方程、数形结合、分类讨论等解题思想策略运用。
一、方程解题思想策略方程思想是高中数学问题案例解答中，经常运用到的一种解题思想策略。
它是指从分析问题的数量关系着手，将问题中的已知量和未知量之间存在的数量关系，通过建立的方程或方程组的形式，然后运用解方程的方式，实现将未知量向已知量的转化的思想方式。
平面向量问题的解答过程中，需要借助于方程的思想进行解答活动。
如在使用平面向量分解定理解题过程中，就可以将平面向量分解定理与方程思想进行有效结合，从而实现问题案例的有效解答。
问题：已知).1,2(),0,1(==b a （1）求|3|b a +；（2）当k 为何实数时，k -a b与b a 3+平行， 平行时它们是同向还是反向？解析：（1）因为).1,2(),0,1(==b a所以3(7,3)a b +=则2|3|73a b +=+（2）k -a b (2,1)k =--，b a 3+(7,3)=因为k -a b 与b a 3+平行，所以3(2)70k -+=即得k=-1/2。
高中数学_方程在向量中的应用技巧
方程在向量中的应用技巧山东省胶南市第一中学韩朝泉一．平面向量基本定理中方程的应用技巧设是平面内的两个不共线向量，是平面内的任意一个向量，按照平面向量基本定理，，而且是唯一确定的．可见，应用平面向量基本定理关键是确定，而方程（组）在确定系数方面具有无可替代的作用，解题时，将确定系数问题转化为方程（组）问题是一个常用技巧．例1．如图所示，在中，，与交于点Ｍ，设，，试用表求．分析：由于点Ｍ是ＡＤ与ＢＣ两条线段的交点，Ｍ在这两条线段上的具体位置不能用数量表示，因此，直接用三角形法则，不能将转化为用表示；这时，方程可以发挥重要作用，如果设，那么只需要依据Ａ，Ｍ，Ｄ三点共线及Ｂ，Ｍ，Ｃ三点共线列出方程组即可得解．解析：设，则，，由于Ａ，Ｍ，Ｄ三点共线，所以；而，，由于Ｃ，Ｍ，Ｂ三点共线，所以，；由解得，所以，．二．方程在向量的坐标运算中的应用技巧方程在解决某些向量的坐标运算问题时，常可起到化繁为简的作用．主要用于确定向量的坐标、应用向量平行、垂直的坐标形式等．例２．已知且求．分析：向量的坐标只与向量的起点，终点坐标有关，因此，只要求出点Ｍ和点Ｎ的坐标即可．根据条件可以设出点Ｍ和点Ｎ的坐标，列出两个方程，通过解方程组得到点Ｍ和点Ｎ的坐标．解析：，；设，则，由，可得；即，同理可得．所以，．三．解决向量中参数的有关计算问题向量中有些含有参数的问题，在求参数的值，或求参数的范围时，方程起到至关重要的作用．由于参数一般存在于表达式中，因此，在形式上就给布列方程创造了条件，只需将含参数的表达式坐标化，即可得到所需方程（组）．例３．已知=4，，．(1)求与的夹角；(2)设，在线段上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．分析：（１）将=4，代入已知的式子中，即可解出的值，进而可以解出夹角；整个过程就是一个解方程的过程．（２）这是一个探索性的问题，可以假设存在这样的点M，由于点M在线段上，为了确定点M的位置，可以引入参数，令，由的值确定点M的位置；这样，点M是否存在的问题就转化为参数是否存在的问题，将已知条件代入，即转化为方程是否有解的问题．解析：（１），，又因为=4，，，即．（２）设存在点M，满足，则，，解得或或所以，存在点或点满足题意．。
平面向量分解定理与方程思想的结合
平面向量分解定理与方程思想的结合上海市经济管理学校（200060） 柳生开摘要：在使用平面向量分解定理解题时，如果恰当地将平面向量分解定理与方程思想结合起来，问题的解决会变得简单易行。
关键词：平面向量分解定理、方程思想平面向量分解定理是平面向量的一个基本定理，有着十分重要的作用。
平面向量分解定理揭示了这样一个规律：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数1λ、2λ ，使=1λ1e +2λ2e [1] 。
在使用这一定理解题时，常需要将它与方程思想结合起来解题。
方程思想是中学数学中颇为重要的6种基本数学思想方法之一 [2]。
所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）实现未知向已知的转化，进而使问题得以解决的思维方式。
下面作者就以几个例题来反映二者的结合。
例1 如右图，已知、是两个不平行向量，k 是实数，且、表示向量？解 =k∴+=k(-) ∴=(1-k)评析：此解法是把已知条件转化为向量OP 的一元一次方程来解。
例2 如右图，点E 、F 分别是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点，设向量AB =a ，CD =b ，试用向量、表示向量？ 解 +++= （I ） 把=21=21（+），=21=21（+） 代入（I ）式得：+21（+）++21（+）=∴= - 21 + 21= 21（+）评析：此解法是借助封闭零向量列出向量EF 的一元一次方程来解。
例3 如下图，ABC ∆中AM ：AB =1：3，AN ：AC =1：4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，试用向量、表示向量？解 设BE =x =x(AC BA 41+)=x(b a 41+-) (x R ∈) =EC y MC =y(+31)=y(-31a +b ) (y R ∈)代入式++=中得：（-）+ x(41+-)+y(-31+)= 化为 =（1-x-31y ） + (-1+41x+y)则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=--04110311y x y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==119118y x ∴=x(41+-)= 112118+-∴AE =BE BA -=b a 112113+ 评析：依据平面向量分解定理可知，当0=1λ1e +2λ2e （1e 、2e 不平行）时1λ=0且2λ=0， 所以本题可通过二元一次方程组来解。
课题：高中数学思想在向量中的应用
课题：高中数学思想在向量中的应用开课时间：2019年4月24日执教人：周洁人教学目标：1、分析各区二模中的向量知识点，研究其中所蕴含的数学思想。
2、常用数学思想在归纳整理。
教学重点与难点：重点：归纳总结常用的数学思想的应用。
难点：分析向量习题中所隐藏的数学思想教学过程：一复习引入：1、常用的数学思想：数形结合、等价转换（化归、参数方程）、数学建模、分类讨论、归纳猜想（枚举）、函数思想等2、各区县二模卷中，向量考察难度比较大，在强调“通性、通法”的前提下，渗透了中学数学蕴含的基本数学思想方法。
“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化。
二、例题选讲：（1）运用数形结合、分类讨论、函数思想提升解题能力浦东新区填充11.已知正方形ABCD边长为8，,3,==若在正方形边上恰有6BE EC DF FA个不同的点P，使PE PFλ=，则λ的取值范围为______.分析：坐标系、坐标抽都是数形结合很好的工具。
在数形结合的基础上考察了分类讨论的思想练习：（闵行1模）如图，在折线ABCD 中，4AB BC CD ===,120ABC BCD ∠=∠=,E F 、 分别是AB CD 、的中点，若折线上满足条件PE PF k ⋅=的点P 至少有4个，则实数k 的取值范围是 . 9[ 2]4--，杨浦区二模（2）若ABC ∆的内角A B C 、、，，其中G 为ABC ∆的重心，且0GA GB =则cos C 的最小值为___________;分析：通过基向量解决向量问题，关键在于基向量的选取以及如何转化。
通过坐标系关键在于建系，以及建系后如何处理数据和图像问题。
虹口区二模（12） 过点1 22-P （，）作圆224)(1)=1()3C x m y m m R -+-+∈：（的切线，切点分别为A 、B ，则PA PB 的最小值为_____________。
三、课堂小结：数学知识在高考后可以忘记，但数学思想将影响着你的未来。
高考数学复习点拨：平面向量中的数学思想方法
平面向量中的数学思想方法平面向量是中学数学的重要内容，也是近年来高考命题的热点，因此我们应给予足够的重视，并注意掌握解平面向量题常用的数学思想方法，以适应高考对平面向量的要求，现归纳总结如下：一、数形结合思想例１ 一架飞机向北飞行100千米，然后改变方向向西飞行100千米，求飞机飞行的路程及两次位移的和．说明：本题主要是考察向量加法与实数加法的区别，路程为距离问题，直接相加即可；位移为向量加法，应按向量知识解决．区别向量、数量是解决本题的关键．解：如图１，飞机飞行的路程为：100100200AB BC +=+=u u u r u u u r （千米）；位移为：1002AC =u u u r （千米）． 二、函数与方程思想 例2 已知点O 是ABC △内一点，150AOB ∠=o ，90BOC ∠=o ，设OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，OC =u u u r c ，且213a b c ===，，，试用a 和b 表示c ． 说明：本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量．根据平面向量的基本定理有12c a b λλ=+，当a b c ，，的坐标已知时，该式实际上是一个关于12λλ，的二元一次方程组，由此可确定12λλ，，这是解决本题的一个重要思想，同时也有助于我们理解平面向量的基本定理．解：如图2所示，以点O 为原点，OA u u u r 为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得(cos150sin150)(3cos 2403sin 240)o o o o ，，，B C ， 即3133322B C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，． 又知(20)a =，，3133322b c ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，． 设12c a b λλ=+12()λλ∈R ，，从而有121223333131(20)2222λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，12232212λλ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得123λλ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3c a ∴=--．三、转化与化归思想转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法，以向量为工具，通过转化，可以为平面几何中的许多问题提供新颖、简捷的解法．例3 求证：如果四边形，，，，ACPH AMBE AHBT BMXK CKXP 都是平行四边形（所有四边形的顶点按同一方向排列），那么四边形ABTE 也是平行四边形．说明：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，抓住平行四边形的特征———“对边平行且相等”进行转化，此题即可迎刃而解．证明：由AMBE Y 得AE MB =u u u r u u u r ，由BMXK Y 得MB XK =u u u r u u u r ，由CKXP Y得XK PC =u u u r u u u r ，由ACPH Y 得PC HA =u u u r u u u r ，由AHBT Y 得HA BT =u u u r u u u r ，所以AE BT =u u u r u u u r，即四边形ABTE 是平行四边形．四、分类讨论思想例4 已知向量a b ，的模长分别是46==，a b ，求a b +的最大值和最小值． 说明：平面向量问题中含有向量方向相同，相反及不共线的问题是分类讨论的一大亮点，遇到这类问题利用分类讨论的思想不可忽视．解：向量a b ，的模已确定，但方向不定，因此应分情况讨论a b ，的方向，作=u u u r OA a ，AB =u u u r b ，OB =u u u r a b +．（1）当a b ，不共线时，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得 OA AB OB OA AB -<<+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即210<+<a b ．（2）当向量a b ，共线时，要分同向与反向两种情况．若向量a b ，同向，则4610=+=+=u u u r u u u r u u u r OB OA AB ，即10+=a b ．若向量a b ，方向相反，则642=-=-=u u u r u u u r u u u r OB AB OA ，即2+=a b ．故+a b 的最大值为10，最小值为2．。
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平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从
两个方面思考，一是利用“数”的特征，我们可
以从向量的线性运算、数量积、基底分解及坐标
运算等方面思考，将问题转化为代数中的有关问
题来解决；二是利用其“形”的特征，可以通过
向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为
平面几何中的问题，直接利用平面几何中的相关
结论得到结果.
[典例] (2012·江西高考)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段
CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2
|PC |2
＝( ) A ．2
B ．4
C ．5
D ．10
1．特殊化法
该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果．
[解析] 设直角三角形ABC 的两腰长都为4，如图所示，以C 为
原点建立平面直角坐标系，则A (4,0)，B (0,4)，因为D 为AB 的中点，所以D (2,2)．因为P 为CD 的中点，所以P (1,1)，PC ＝(－1，－1)，
PA ＝(3，－1)，PB ＝(1,3)．
故|PC |2＝12＋12＝2，|P A |2＝32＋(－1)2＝10，
|PB |2＝(－1)2＋32
＝10，所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝202＝10. [答案] D
[题后悟道] 该题中四个选项都是定值是选择特殊化方法验证的前提，如果该题中出现
“与两直角边的长度有关”，则该题就不能采用特殊化法进行验证了．
2．向量基底法
在△ABC 中，CA ，CB 是两直角边，可以先把两个向量CA ，CB 作为一组基底，然后
利用平面向量基本定理表示目标向量，再进行运算即可．
[解析]如图所示，取相互垂直的两个向量CA ＝a ，CB ＝b 作为平面向量
的基向量，显然a ·b ＝0.
则在△ABC 中，BA ＝a －b ，因为D 为AB 的中点，
所以CD ＝12
(a ＋b )．因为P 为CD 的中点， 所以PC ＝－12CD ＝－12×12(a ＋b )＝－14
(a ＋b )． 在△CBP 中，PB ＝PC ＋CB ＝－14(a ＋b )＋b ＝－14a ＋34
b ， 在△CAP 中，PA ＝PC ＋CA ＝－14(a ＋b )＋a ＝34a －14
b . 所以|PC |2＝⎣⎡⎦⎤－14(a ＋b )2＝116
(a 2＋b 2＋2a ·b )＝ 116
(|a |2＋|b |2)， |PB |2＝⎝⎛⎭⎫－14a ＋34b 2＝116a 2＋916b 2－38
a ·
b ＝ 116|a 2|＋916
|b |2， |PA |2＝⎝⎛⎭⎫34a －14b 2＝916a 2＋116b 2－38a ·b ＝916|a |2＋116
|b |2. 故|P A |2＋|PB |2
|PC |2
＝ ⎝⎛⎭⎫916
|a |2＋116|b |2＋⎝⎛⎭⎫116|a |2＋916|b |2116
(|a |2＋|b |2)＝10.
[答案] D [题后悟道] 利用向量的线性运算和平面向量基本定理，首先用a 和b 表示出PC ，进
而求出PA 和PB .
3．坐标法
我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直角坐标系，这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标，再利用平面向量的坐标运算进行验证．
[解析] 如图所示，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别作为
x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．
设|CA |＝a ，|CB |＝b ，则
A (a,0)，
B (0，b )，
因为D 为AB 的中点，则D ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，
因为P 为CD 的中点，则P ⎝⎛⎭⎫a 4，b 4，
PC ＝⎝⎛⎭⎫－a 4，－b 4，PB ＝⎝⎛⎭⎫－a 4，3b 4，PA ＝⎝⎛⎭⎫3a 4
，－b 4. 所以|PC |2＝⎝⎛⎭⎫－a 42＋⎝⎛⎭⎫－b 42＝a 216＋b 216， |PB |2＝⎝⎛⎭⎫－a 42＋⎝⎛⎭⎫3b 42＝a 216＋9b 216， |P A |2
＝⎝⎛⎭⎫3a 42＋⎝⎛⎭⎫－b 42＝9a 216＋b 216. 所以|P A |2＋|PB |2＝a 216＋9b 216＋9a 216＋b 216＝10⎝⎛⎭⎫a 216＋b 216＝10|PC |2. 所以|P A |2＋|PB |2
|PC |2
＝10. [答案] D
[题后悟道] 利用坐标计算向量模的问题，是最常用有效的方法，建立坐标系时，应注意利用图形特点．
以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢把握向量的这两个基本特征．。