训练题(51)函数的值域与最值(1)
函数的值域最值与练习(基础)
函数的值域与最值练习（基础）1．已知函数()f x =的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是__________． 0，1，92．若函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为13．函数()f x =的最小值为 ．122+4．已知函数()f x =，则其最大值为 ．2解：()f x = 5．函数*()(1)((0,1),)n n f x x x x n N =+-∈∈．记()y f x =的最小值为n a ，则126a a a +++=． 63326．已知函数2()|log |f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()y f x =在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m += ．7．已知函数)3||(log )(31+-=x x f 定义域是],[b a ),(z b a ∈，值域是]0,1[-，则满足条件的整数对),(b a 有 对．解：函数()y f x =中，令||30x -+>，定义域为[,](,)a b a b Z ∈，又(0)1f =-，(2)(2)0f f -==故),(b a 为：(2,0)-，(2,1)-，(2,2)-，(1,2)-，(0,2)，共有5对．8．已知函数4()1||2f x x =-+的定义域是[,](,)a b a b Z ∈，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(,)a b 共有 个．解：()y f x =在R 上是偶函数，故()y f x =的图象关于y 轴对称，作出()y f x =的图象，截取值域是[0,1]的一段，发现a ，b 的取值只可能在－2，－1，0，1，2中取得，但(,)(,)a b a b Z ∈中必须取到0，－2，2必须至少取一个，故共有(2,0)-，(2,1)-，(2,2)-，(1,2)-，(0,2)五个．9．已知函数21()log ()2a f x ax x =-+在3[1,]2上恒为正数，则实数a 的取值范围是_________．解：当1a >时，要使得21()log ()2a f x ax x =-+在3[1,]2上恒为正数，则2112ax x -+>在3[1,]2上恒成立，可以解得：32a >；当01a <<时，要使得21()log ()2a f x ax x =-+在3[1,]2上恒为正数，则21012ax x <-+<在3[1,]2上恒成立，解得1829a <<，故a 的取值范围是183(,)(,)292+∞．10．对于函数()y f x =，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数()y f x =的“下确界”，则函数22)1(1)(++=x x x f 的下确界为 ．0．511．若R x ∈，且满足3cos 3sin 5++=θθx ，则二次函数12)(222+-=x a x a x f (a 为常数)的值域为：_____________．12．已知：{|M a =函数2s i n y a x =在[,]34ππ-上为增函数}，{|N b =方程|1|310x b ---+=有实数解}，设N M D =，且定义在R 上的奇函数mx nx x f ++=2)(在D 内没有最小值，则m 的取值范围是 ．3(,)2+∞； 13．若||3([,])x y x a b =∈的值域为[1,9]，则222a b a +-的取值范围是 ．14．已知2()f x x mx n =++，4()g x x x=+是定义在[14]，上的函数，对任意D x ∈，存在常数D x ∈0，使得0()()f x f x ≥，0()()g x g x ≥，且00()()f x g x =，则()y f x =在D 上的最大值为 ．8 15．设函数()1g x ，函数1(),(3,]3h x x a x =∈-+，其中a 为常数且0>a ，令函数()y f x =为函数()y g x =和()y h x =的积函数．⑴．求函数()y f x =的表达式，并求其定义域； ⑵．当14a =时，求函数()y f x =的值域；⑶．是否存在自然数a ，使得函数()y f x =的值域恰为11[,]32？若存在，试写出所有满足条件的自然数a 所构成的集合；若不存在，试说明理由．解：⑴．()f x =[0,](0)x a a ∈>． ⑵．因41=a ，故函数()y f x =的定义域为1[0,]4，令t x =+1，则2(1)x t =-，3[1,]2t ∈，故21()()4242t f x F t t t t t===-++-，因t t 4=时，32[1,]2t =±∉，又3[1,]2t ∈时，t t 4+递减，故()F t 单调递增，故16()[,]313F t ∈，即函数()y f x =的值域为16[,]313． ⑶．假设存在这样的自然数a 满足条件，令t x =+1，则21()()4242t f x F t t t t t===-++-，因[0,](0)x a a ∈>，则1]t ∈，要满足值域为11[,]32，则要满足max 1()2F t =，由于当且仅当tt 4=，2t =时，有44≥+t t 中的等号成立，且此时1()2F t =恰为最大值，故2[11]∈，1a ≥，又()F t 在[1,2]上是增函数，在1]上是减函数，故11)3F =≥，即09a <≤．综上，得91≤≤a ．16．已知函数2()f x ax x =-，222*()(2)(,)g x x a x a Z b Z =-∈∈，若存在0x ，使0()f x 为()y f x =的最小值，0()g x 为()y g x =的最大值，则此时数对(,)a b 为 ．解：由2()f x ax x =-知，243013b b b -+-≥⇒≤≤，又b Z ∈得，1,2,3b =；而()y f x =的最小值时0x =a 又0()g x 为()y g x =的最大值即20x a =，2a =得，6a =243b b -+-得a =0或1，则此时数对(,)a b 为(1,2)．17．已知函数2()2f x ax =-()g x =，若存在0x ，使得0()f x 是()y f x =的最大值，0()g x 是()y g x =的最小值，则这样的整数对(,)a b 为 ． 答案：(1,1)--，(1,3)-18．已知函数2()42(0)f x ax x a =-+>满足：对于任意的[0,]x m ∈，不等式|()|4f x ≤成立．⑴．若3a =，求m 的最大值；⑵．若函数()y f x =在区间[0,]m 上的最小值是3-，求a 的值；⑶．对于给定的正数a ，当a 为何值时，m 最大？并求出这个最大的m ． 解：⑴．当3a =时，2222()3423()433f x x x x =-+=-+?，故m 是方程23424x x -+=的较大根，故m =； ⑵．因3[4,4]-?，故2()42f x ax x =-+区间[0,]m 上的最小值是在对称轴处取得，故2()3f a=-，即45a =⑶．因224()()2f x a x a a =-+-，故min 4()2f x a=-．①若424a -<-，即203a <<时，m 是方程2424ax x -+=-的较小根，解之得：2m a-=．②若424a-?，即23a ³时，故m 是方程2424ax x -+=-的较大根，即m =min 4()2f x a =-越小，m 越大，故当424a -=-，即23a =时，m 可以取到最大为3³．故当且仅当23a =时，m 取得最大值3．20．函数22()|sin ||cos |f x x x αα=-++()R α∈的最小值是 ．1 21．设函数])1,1[()(2-∈-+=x a x ax x f 的最大值为)(a M ，则对于一切]1,1[-∈a ，)(a M 的最大值为 ．4522．函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值为()M a ，则()M a 的最小值是______．1223．求函数()|1||3|,[,1]f x x x x a a =-+-∈+的值域．24．求函数2314([,1],0)2x x y x a a a x ++=∈+>+的最小值． 25．求关于x 的函数y ax 的值域．26．是否存在自然数a ，b ，使函数21()2x f x x -=-的定义域和值域均为区间[a ，b ]?27．已知函数()|1||21||3f x x x x x =-+-+-++-，则当x = 时，()y f x =取得最小值．17128．对任意实数a ，b ，定义：1(,)(||)2F a b a b a b =+--，若函数2()f x x =，53()22g x x =+，()h x = 2x -+，那么函数()[((),()),()]G x F F f x g x h x =的最大值为________．129．已知函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[2,1]3-=-，[3]3-=-，[2,2]2=，若*)](,0[N n n x ∈∈，则()y f x =的值域中元素个数为 ．(1)42n n -+30．定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[1.5]1=，[ 1.3]2-=-．当*[0,)()x n n N ∈∈时，设函数()y f x =的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n a ，则式子90n a n+的最小值为 ．解：当[0,1)x ∈时，()[[]][0]0f x x x x ==⋅=；当[1,2)x ∈时，()[[]][1][]1f x x x x x ==⋅==；当[2,3)x ∈时，再将[2,3)等分成两段，5[2,)2x ∈时，()[[]][2][2]4f x x x x x ==⋅==；5[,3)2x ∈时，()[[]][2][2]5f x x x x x ==⋅==．类似地，当[3,4)x ∈，时，还要将[3,4)等分成三段，又得3个函数值；将[4,5)等分成四段，得4个函数值，如此下去．当[0,)()x n n *∈∈N 时，函数()y f x =的值域中的元素个数为(1)11234(1)12n n n a n -=++++++-=+，于是909111222n a n n n +=+-=- 1182()2n n++，故当13n =或14n =时，90n a n +的最小值为13．32．求函数2311()([1,1],0)1x x f x x a a a x ++=∈-+>+的最小值． 1．已知函数()||23f x x x a x =-+-．⑴．当4a =，25x ≤≤，求函数()f x 的最大值与最小值； ⑵．若x a ≥，试求()30f x +>的解集；⑶．当[1,2]x ∈时，()22f x x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】⑴．当4a =时，()|4|23f x x x x =-+-，①．24x ≤<时，2()(4)23(3)6f x x x x x =-+-=--+，当2x =时，min ()5f x =；当3x =时，max ()6f x =．②．当45x ≤≤时，2()(4)23(1)4f x x x x x =-+-=--，当4x =时，min ()5f x =；当5x =时，max ()12f x =．综上所述，当2x =或4时，min ()5f x =；当5x =时，max ()12f x =． ⑵．若x a ≥，()3[(2)]f x x x a +=--．当2a >时，2x a >-，或0x <，因2a a >-，故x a ≥； 当2a =时，得0x ≠，故x a ≥；当2a <时，0x >，或2x a <-，①若02a <<，则x a ≥；②若0a ≤，则0x >． 综上可知：当0a >时，所求不等式的解集为[,)a +∞；当0a ≤时，所求不等式的解集为(0,)+∞．⑶．方法1：若x a ≥，原不等式可化为2()1f x x ax =-≤，即1a x x≥-在[1,2]上恒成立，32a ≥；若x a <，原不等式可化为：2()1f x x ax =-+≤，故1a x x≤+在[1,2]上恒成立，故2a ≤．综上可知，a 的取值范围是322a ≤≤．方法2：当[1,2]x ∈时，()22f x x ≤-．即||1x x a ⋅-≤⇔11x a xx-≤-≤11x a x x x⇔-≤≤+．因1x x -在[1,2]上增，最大值是13222-=，1x x+在[1,2]上增，最小值是2，故只需322a ≤≤． 33．已知函数1()()x af x a R x a a x+-=∈≠-且． ⑴．当()y f x =的定义域为1[1,]2a a --时，求函数()y f x =的值域；⑵．设函数2()1|()()|g x x x a f x =-+-，求函数()y g x =的最小值． 解：⑴．()11()1a x f x a x a x --+==-+--，当112a x a -≤≤-时，112a x a -+≤-≤-+，111,122a x a x ≤-≤≤≤-，故111a x≤-+≤-0，即()y f x =的值域为[0,1]； ⑵．222,[1,)(,)1()1|()|2,(,1)x x a x a a a x a g x x x a a x x x a x a ⎧+-∈-+∞+-⎪=-+-=⎨---+∈-∞-⎪⎩2211(),[1,)(,)2419(),(,1)24x a x a a a x a x a ⎧+--∈-+∞⎪⎪=⎨⎪--+∈-∞-⎪⎩①若112a -≤-且12a ≠-，即12a ≤且12a ≠-时，当[1,)(,)x a a a ∈-+∞时，1()()2g x g ≥-= 14a --，当(,1)x a ∈-∞-时，2()(1)2g x g a a a ≥-=-，因2211(2)()()042a a a a ----=-≥，即12a ≤且12a ≠-时，函数的最小值为14a --；②若11122a -<-<，即1322a <<时，当[1,)(,)x a a a ∈-+∞时，2()(1)2g x g a a a ≥-=-，当(,1)x a ∈-∞-时，()(1)g x g a >-22a a =-，1322a <<即时，函数的最小值为22a a -；③若112a -≥，即32a ≥时，当[1,)(,)x a a a ∈-+∞时，2()(1)2g x g a a a ≥-=-，当(,1)x a ∈-∞-时，2199()()2244g x g a a a a >=-->-且，因22932()()042a a a a ---=-≥，即32a ≥时，函数的最小值为94a -，综上可得：min 2111,()4221,()2[()]132,()2293,()42a a a a g x a a a a a ⎧--≤≠-⎪⎪⎪=-⎪=⎨⎪-<<⎪⎪⎪-≥⎩且不存在． 6．已知函数2()1f x x =-，()|1|g x a x =-．⑴．若|()|()f x g x =有两个不同的解，求a 的值；⑵．若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； ⑶．求()|()|()h x f x g x =+在[2,2]-上的最大值．【解】⑴．方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|1|x a +=“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1”结合图形，得0a =或2a =．⑵．不等式()()f x g x ≥对x R ∈恒成立，即2(1)|1|(*)x a x -≥-对x R ∈恒成立．①．当1x =时，(*)显然成立，此时a R ∈．②．当1x ≠时，(*)可变形为21|1|x a x -≤-，令21(1),1()(1)(1)|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩，因当1x >时，()2x ϕ>；而当1x <时，()2x ϕ>-．故()2g x >-，故此时2a ≤-．综合①②得，所求a 的取值范围是2a ≤-．⑶．因22221(1),()|()|()|1||1|1(11),1(1)x ax a x h x f x g x x a x x ax a x x ax a x ⎧+--≥⎪=+=-+-=--++-≤<⎨⎪-+-<-⎩，①．当12a>时，即2a >时，结合图形可知()y h x =在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，且(2)33h a -=+，(2)3h a =+，经比较，此时()y h x =在[2,2]-上的最大值为33a +．②．当012a ≤≤时，即2a ≤≤0时，结合图形可知()y h x =在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33h a -=+，(2)3h a =+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()y h x =在[2,2]-上的最大值为33a +． ③．当102a-≤<时，即20a -≤<时，结合图形可知()y h x =在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a--，[1,2]上递增，且(2)33h a -=+，(2)3h a =+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()y h x =在[2,2]-上的最大值为3a +． ④．当3122a-≤<-时，即32a -≤<-时，结合图形可知()y h x =在[2,]2a -，[1,]2a -上递减，在[,1]2a ，[,2]2a -上递增，且(2)330h a -=+<，(2)30h a =+≥，经比较知，此时()y h x =在[2,2]-上的最大值为3a +．⑤．当322a <-时，即3a <-时，结合图形可知，()y h x =在[2,1]-递减，在[1,2]上递增，故此时()y h x =在[2,2]-上的最大值为(1)0h =．综上所述，当0a ≥时，()y h x =在[2,2]-上的最大值为33a +；当30a -≤<时，()y h x =在[2,2]-上的最大值为3a +；当3a <-时，()y h x =在[2,2]-上的最大值为(1)0h =． 34．已知函数：xa a x x f -+-=1)((a 为常数)． ⑴．当()y f x =的定义域为1[,1]2a a ++时，求函数()f x 的值域；⑵．试问：是否存在常数m 使得()()20f x f m x +-+=对定义域内的所有x 都成立；若有求出m ，若没有请说明理由．⑶．如果一个函数的定义域与值域相等，那么称这个函数为“自对应函数”．若函数()y f x =在[,]()s t a s t <<上为“自对应函数”时，求实数a 的范围．解．⑴．法一：x a x a x a x f -+-=-+--=111)()(，当112a x a +≤≤+时，112a x a --≤-≤--，121a x -≤≤--，112a x -≤-≤-，故2113-≤-+-≤-x a ．即()y f x =的值域为[3,2]--． 法二：x a x a x a x f -+-=-+--=111)()(在1[,1]2a a ++上为增函数．故)1()()21(+≤≤+a f x f a f ，()y f x =的值域为[3,2]--；⑵．法一：假设存在m 使得()()20f x f m x +-+=成立，则()()21f x f m x +-+=-+112120()()()a ma x a m x a x x m a --++==-----+恒成立，故2m a =，故存在常数2m a =满足题意；法二：因函数1y x=-图象的对称中心为(0,0)，函数x a x a x a x f -+-=-+--=111)()(的图象由xy 1-=的图象按向量(,1)a -平移得到．故函数xa x a x a x f -+-=-+--=111)()(的对称中心为(,1)a -，则由)(x f y =得：)2(2x a f y -=--，故)2()(2x a f x f -=--，()(2)f x f a x +-+ 20=，存在常数a m 2=满足题意；⑶．因函数()y f x =在(,)a +∞上为增函数，又[,](,)s t a ⊆+∞，()y f x =在[,]s t 上为增函数，()y f x =的值域为[(),()]f s f t ，又()f x 在[,]s t 上为“自对应函数”，[,][(),()]s t f s f t =，故()f s s =，()f t t =，故()f x x =有两个大于a 的相异实根，即：01)1(2=-+-+a x a x 有两个大于a 的相异实根，故0)1(4)1(2>---=∆a a ①，a a >-21②，01)1(2>-+-+a a a a ③，解得：3-<a ．36．对于函数()f x =b ，使得()y f x =的定义域和值域相同，则非零实数a 的值为_________________．4-解：若0a >，对于正数b ，()y f x =的定义域为(,][0,)bD a=-∞-+∞，但()y f x =的值域[0,)A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求．若0a <，对于正数b ，()y f x =的。
高中数学竞赛辅导试题：函数的值域与最值
第4节 函数的值域与最值二．基础练习1.函数(0)[,]y kx b k x m n =+>∈的值域为_____________.2.函数22y x x =-的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为___________.3.若函数()f x 的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则(2)f x +的定义域为_____值域为_____.4.函数122,(,2]x y x -=-∈-∞的值域为___________.5.设1a >，函数log a y x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =________. 6.函数21x xe y e +=的值域是__________. 三．典型例题例1.求下列函数的值域(1)211x y x -=- (2)2211x y x -=+ (3)245(2)2x x y x x -+=>-例2.求下列函数的值域(1)221[0,5]y x x x =-- ∈ (2)14211x x y +=-+例3.求函数y x =的值域例4.已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则m M=__________.四．课后作业1.已知函数()y f x =是定义在R 上的单调增函数，值域为(,)a b ；函数()y g x =是定义在R 上的单调减函数，值域为(,)c d .则函数()()y f x g x =-的值域为____________.2.函数2y x =-__________.3.函数1()lg(4211)x x f x +=-+的最小值为____________.4.函数2121x x y -=+的值域是__________. 5.函数1213x y x-=+的值域是__________. 6.函数2()f x =的最小值为____________.7.设||,||1(),||1x x f x x x ≥⎧=⎨ <⎩，则()f x 的值域为____________. 8.函数311[2,0]3y x x x =-+ ∈-的值域是_____________.9.已知函数2()12(1)x x f x a a a =-->.（1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，函数()f x 的最小值为-7，求a 的值及函数()f x 的最大值.10.已知3()2log ,[1,9]f x x x =+∈，求函数22[()]()y f x f x =+的值域.。
函数的值域与最值
函数的值域与最值班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．值域是R ＋的函数是( )A ．y ＝5x 2－2B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝|log 2x 2|解析：取x ＝1，排除D 项，取x ＝0，排除A ，C 项． 答案：B2．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎦⎤32，3D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析：y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，因为y ∈⎣⎡⎦⎤－254，－4，又f (0)＝－4，f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝－4，故32≤m ≤3，选C. 答案：C点评：利用数形结合f (0)＝f (3)更易理解． 3．函数y ＝(x －1)(x －3)(x －1)(2x ＋1)的值域是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫－23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫－23，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：原函数化为y ＝x －32x ＋1(x ≠1)，则2yx ＋y ＝x －3， 即(2y －1)x ＝－(y ＋3) ∴x ＝y ＋31－2y∵1－2y ≠0，∴y ≠12又∵x ≠1，∴y ≠－23.答案：D4．(2011·湖北二次联考)已知函数f (x )＝lg(5x ＋45x ＋m )的值域为R ，则m 的取值范围是( )A ．(－4，＋∞)B ．[－4，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：由题意得y ＝5x ＋45x ＋m 的值域应包含(0，＋∞)，而y ＝5x ＋45x ＋m ≥25x ·45x ＋m ＝4＋m ，因此4＋m ≤0，m ≤－4，选D.答案：D5．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：先求得函数g (x )＝f (x )x 的解析式，再分析其具有的性质．对于字母a 的符号需要通过题设中二次函数的最值去分类讨论，其分界点应当为对称轴，应分析其与区间端点1的关系．由题设知，二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的对称轴x ＝a 在区间(－∞，1)内，即a <1，则函数g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax－2a 在区间(1，＋∞)上一定是增函数．事实上，若a ＝0，则g (x )＝x 在区间(1，＋∞)上一定是增函数；若0<a <1，因为分式函数y ＝x ＋a x 在区间(a ，＋∞)上是增函数，这里a <1，故函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定是增函数；若a <0，由于y ＝ax 在区间(1，＋∞)上是增函数，故函数g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax－2a 在区间(1，＋∞)上是增函数．综合得，当a <1时，函数g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a 在区间(1，＋∞)上是增函数．故应选D.答案：D6．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.32解析：两边平方得：y 2＝4＋2(1－x )(x ＋3)， ∵1－x ≥0，x ＋3≥0， ∴4≤y 2≤4＋2⎝⎛⎭⎫1－x ＋3＋x 22＝8，∵y ≥0，∴2≤y ≤22， ∴M ＝22，m ＝2，∴m M ＝22.答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．函数y ＝2x －5x －3的值域是{y |y ≤0或y ≥4}，则此函数的定义域为________．解析：y ＝2x －5x －3＝2＋1x －3，即1x －3≤－2或1x －3≥2， 由1x －3≤－2⇒52≤x <3，由1x －3≥2⇒3<x ≤72.答案：[52，3)∪(3，72]8．(2011·黄冈质检)已知x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35 (x ≥3)f (x ＋2) (x ＜3)，其值域设为D ，给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________(写出所有可能的数值)．解析：当x ≥3时，f (x )＝x 2－35≥9－35≥－26， 故f (3)＝－26，f (7)＝14，f (10)＝65当x ＜3时，f (x )＝f (x ＋2)，此时，函数有周期2，故f (2)＝f (4)，f (1)＝f (3)故答案为－26,14,65. 答案：－26,14,659．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b .函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}，(x ∈R )的最小值是________．解析：如下图所示：函数y ＝max{|x ＋1|，|x －2|}的图象为图中实线部分，∴max{|x ＋1|，|x －2|}的最小值为32.答案：3210．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.答案：1三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的值均为非负实数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解析：(1)f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋6＋2a －4a 2≥6＋2a －4a 2. 又∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴6＋2a －4a 2＝0，即2a 2－a －3＝0， 解得a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R ，函数值均为非负，即f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6≥0对一切x ∈R 恒成立， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0， 解得－1≤a ≤32，故a ＋3>0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174，a ∈[－1，32]． ∵二次函数g (a )在[－1，32]上单调递减，∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)， 即－194≤g (a )≤4，故g (a )的值域为[－194，4]．点评：本例中的(1)(2)两小题从表面上看十分相似，其实(1)中的[0，＋∞)是f (x )的值域，其解法是先求出f (x )的值域，与已知值域相同，建立含a 的方程；(2)中的[0，＋∞)是函数f (x )的值域所在范围，是不等式恒成立的问题．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )， (x >0)，－f (x )， (x <0)，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]恒成立，试求b 的取值范围． 解析：(1)由已知c ＝1，f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2， (x >0)，－(x ＋1)2， (x <0). ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在x ∈(0,1]恒成立，根据单调性可得1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2， 所以－2≤b ≤0.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 1≤x ≤2x －1， 2<x ≤3，g (x )＝f (x )－ax ，x ∈[1,3]，其中a ∈R ，记函数g (x )的最大值与最小值的差为h (a )．(1)求函数h (a )的解析式；(2)画出函数y ＝h (a )的图象并指出h (a )的最小值．解析：解答本题可先确定g (x )的解析式，再求h (a )，进而画出h (a )的图象，观察图象可求出h (a )的最小值．(1)g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ax ， 1≤x ≤2(1－a )x －1， 2<x ≤3，①当a <0时，函数g (x )是区间[1,3]上的增函数，此时，g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，g (x )min ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝1－2a ； ②当a >1时，函数g (x )是区间[1,3]上的减函数，此时，g (x )min ＝g (3)＝2－3a ， g (x )max ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝2a －1；③当0≤a ≤1时，若x ∈[1,2]，则g (x )＝1－ax ，有g (2)≤g (x )≤g (1)； 若x ∈(2,3]，则g (x )＝(1－a )x －1，有g (2)<g (x )≤g (3)； 因此，g (x )min ＝g (2)＝1－2a ，而g (3)－g (1)＝(2－3a )－(1－a )＝1－2a ，故当0≤a ≤12时，g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，有h (a )＝1－a ；当12<a ≤1时，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，有h (a )＝a ， 综上所述：h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ， a <01－a ， 0≤a ≤12a ， 12<a ≤12a －1， a >1(2)画出y ＝h (a )的图象，如图所示．数形结合，可得h (a )min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝12.。
函数最值练习题
函数最值练习题函数最值练习题函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入与输出之间的关系。
在函数的应用中，我们经常需要求函数的最值，即函数在特定区间或整个定义域内的最大值或最小值。
本文将通过一些练习题来探讨函数最值的求解方法。
题目一：求解函数的最大值和最小值考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求解该函数在定义域内的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要找到函数f(x)的驻点，即导数为零的点。
对f(x)求导得到f'(x) = 2x - 4，令其等于零，得到x = 2。
因此，x = 2是函数f(x)的驻点。
接下来，我们需要确定函数f(x)的凹凸性。
对f'(x)再次求导得到f''(x) = 2，由于f''(x)恒大于零，所以函数f(x)是上凹函数。
由于x = 2是函数f(x)的驻点，且函数f(x)是上凹函数，所以x = 2处的函数值f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1是函数f(x)的最小值。
接下来，我们需要考虑函数f(x)的端点情况。
由于函数f(x)没有定义域的限制，我们只需要关注其在实数范围内的情况。
由于函数f(x)是上凹函数，所以当x趋向于无穷大时，函数f(x)的值趋向于正无穷大；当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的值趋向于正无穷大。
因此，函数f(x)在整个定义域内没有最大值。
综上所述，函数f(x)在定义域内的最小值为-1，而没有最大值。
题目二：求解函数在闭区间上的最大值和最小值考虑函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求解该函数在闭区间[0, 3]上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要找到函数g(x)的驻点和端点。
对g(x)求导得到g'(x) =3x^2 - 12x + 9，令其等于零，得到x = 1，x = 3。
因此，x = 1和x = 3是函数g(x)的驻点。
接下来，我们需要确定函数g(x)的凹凸性。
高中数学必修二：函数极值与最值习题解析
高中数学必修二：函数极值与最值习题解析函数极值和最值是高中数学中一个重要的概念和知识点，在解析这一内容之前，我们首先要明确什么是函数极值和最值。
函数的极值包括两种情况，一种是函数在某一区间内取得最大值或最小值，另一种是函数在某一点处取得最大值或最小值。
函数的最值则是针对整个定义域内的最大值或者最小值。
在解析函数极值和最值的相关习题时，我们可以根据题目的要求，使用不同的方法来求解。
下面我们将通过一些常见的习题来进行解析。
【习题一】已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极值和最值。
解析：首先我们需要求 $f'(x)$ ，将函数$f(x)$对$x$求导得：$f'(x)=3x^2-12x+9$为了求得函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极值点，我们需要将导函数$f'(x)$等于零，并求解方程：$3x^2-12x+9=0$将方程进行因式分解，得到：$(x-3)(x-1)=0$解得$x=3$或$x=1$。
将$x=3$和$x=1$代入原函数$f(x)$中，可以得到两个函数值：$f(3)=20$ 和 $f(1)=6$因此，函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极小值为6，极大值为20。
对于最值的求解，我们可以直接将区间[-2, 4]的端点分别代入函数$f(x)$中，求得函数值，并和极值进行比较。
$f(-2)=-12$， $f(4)=66$综上所述，函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的最小值为-12，最大值为66。
【习题二】已知函数$g(x)=x^3-9x^2+24x$，求函数$g(x)$的最小值和最大值所对应的$x$的值。
解析：首先我们需要求函数$g(x)$的导函数$g'(x)$，将函数$g(x)$对$x$求导得：$g'(x)=3x^2-18x+24$为了求得函数$g(x)$的极值点，我们需要将导函数$g'(x)$等于零，并求解方程：$3x^2-18x+24=0$将方程进行因式分解，得到：$(x-4)(x-2)=0$解得$x=4$或$x=2$。
函数专题之值域与最值问(附有训练题)
函数专题之值域与最值问题一．观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 【例1】求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
【练习1-1】：1、求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）2、求下列函数值域：（1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）21y x =- {2,1,0,1,2x ∈-- （3）31y x =+ （4）1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（答案一[4,5]-）， （答案二{3,0,1}-）， （答案三(,1)(1,)-∞+∞ ）， （答案四{1,0,1}-） 二、配方法(当所给函数是二次函数y=ax ²+bx+c 或可化为二次函数的复合函数y=a[f(x)]²+b f(x)+c 时，可利用配方法求值域。
)【例2-1】已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。
（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈． 解：（1）∵2(1)4y x =+-∴min 4y =- ∴值域为[4,)-+∞．（2）∵223y x x =+-的图象如图， 当0x =时，min 3y =-，∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞．（3）根据图象可得： 当1x =-时，min 4y =-，当2x =时，max 5y =，∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-． （4）根据图象可得：当1x =时，min 0y =，当2x =时，max 5y =，∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]． 说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同； （2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。
(2021年整理)高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)
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函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法(耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。
(1）2121x y x -=+； (2）()lg 12cos y x =-; (3）2y x =；(4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6)3sin 2cos xy x-=-。
高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)
函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。
（1）2121x y x -=+； （2）()lg 12cos y x =-；（3）2y x =（4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6）3sin 2cos xy x-=-。
解：（1）[解一]分离常数法：()()21212211,11,212121x x y y x x x -+-===-≠⇒∈-∞+∞+++ [解二]反函数法：()21122112122x y y y x y x y x y -+=⇒-=--⇒=-⇒≠+-（2）基本函数性质法：[][]cos 1,112cos 1,3x x ∈-⇒-∈-又12cos 0x -> (](]12cos 0,3,lg3x y ⇒-∈⇒∈-∞（3）换元法：令0t =≥，则221x t =+[)22132101,24y x t t t t y ⎛⎫=++=++≥⇒∈+∞ ⎪⎝⎭又（4）基本不等式法：令10t x =+≠，则()()21211414t t x t y t tt---+=-⇒==+-当0t >时，40y ≥=，当且仅当2t =即1x =时取等号当0t <时，48y ≤-=-，当且仅当2t =-即3x =-时取等号 ∴(][),80,y ∈-∞-+∞（5）单调性法：1lg y x =在[]1,2上单调增且226y x x =-+在[]1,2上单调增 12y y y ⇒=+在[]1,2上单调增[]5,8lg 2y ⇒∈+（6）数形结合法：设()cos ,sin P θθ、()2,3Q ，则3sin 2cos PQ xk y x-==-设()3212y k x k ⎡-=-⇒≤⇒∈-+⎢⎣⎦即2y ⎡∈+⎢⎣⎦例2：函数()21f x ax a =++在区间()1,1-上的值有正有负，求实数a 的取值范围。
对数函数的_值域与最值练习题含答案
对数函数的 值域与最值练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合A ={x|ln x <1}，B ={y|y =√x −20}，则A ∪B =（ ）A.(0, e)B.(0, +∞)C.[0, +∞)D.(0, e)∪[20, +∞)2. 定义域为R 的函数y ＝f(x)的值域为[a, b]，则函数y ＝f(x +a)的值域为（ ）A.[2a, a +b]B.[a, b]C.[0, b −a]D.[−a, a +b]3. 若函数f(x)=log a (x +1)的定义域和值域都为[0, 1]，则a 的值为（ ）A.2B.12C.3D.134. 已知函数f(x)={log 3x,x ＞0x 2,x ≤0，若f(−1)=2f(a) ，则a 的值为( ) A.−√22 B.√3 C.√3或−√22 D.±√225. 已知函数y =lg [(a 2−1)x 2−2(a −1)x +3]的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A.[−2, −1]B.[−2, 1]C.(−2, 1)D.(−∞, −2)∪[1, +∞)6. 已知a ，b 为正实数，且a +2b =4，则log 2a +log 2b ( )A.当a =2，b =1时，取得最大值1B.当a =b =43时，取得最大值2log 243C.当a =2，b =1时，取得最小值1D.当a =b =43时，取得最小值2log 2437.已知函数f(x)=log 2(ax 2+2x +2)(a ∈R)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. [0，12]B. (0，12]C. [12，+∞)D.(12，+∞)8. 已知函数f(x)=log2x−4,x∈[1,4]，则函数y=f(x2)⋅log√2(2x)的值域是( )A.[−4,0]B.[−2,0]C.[−9,−8]D.[−94,−2]9. 若不等式log2x−m≥0(x≥4)恒成立，则实数m的取值范围是________．10. 函数的值域是________，的值域是________.11. 函数y=log12(x2+2)的最大值为________，单调递增区间是________．12. 函数y＝log12(x2−6x+11)的值域为________．13. 已知函数f(x)=log32x2+bx+cx2+1的值域为[0, 1]，则b2+c=________．14. 已知函数f(x)＝log a(2x−a)在区间[12,23]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．15. 给出下列四个命题：（1）函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0；（2）函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)；（3）若函数f(x)＝1g(x2+ax−a)的值域是R，则a≤−4或a≥0；（4）若函数y＝f(x−1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称其中所有正确命题的序号是________．16. 己知函数f(x)=log12(2x−1);(1)求函数f(x)的定义域，及f(1);(2)若x ∈[1,92]，求函数f (x )的值域．17. 已知函数. （1）若的定义域，值域都是，求的值；（2）当时，讨论在区间上的值域.18. 设，且. （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的值域.19. 已知函数f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)(0<a <1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为−2，求a 的值．20. 已知函数f(x)=log a x−5x+5(a >0且a ≠1)．(1)当a =2，x ∈[10,15]时求f(x)的值域；(2)设g(x)=log a (x −3)，若方程f(x)−1=g(x)有实根，求a 的取值范围．21. 已知函数f(x)=log a x(a >0且a ≠1）．(1)若f (2a +2)≤f (5a )，求a 的取值范围；(2)若y =f (x 2+x +12)的最大值为2，求f (x )在区间[18,4]上的值域．22. 已知函数f(x)=1+log2x，x∈[1, 16]．(1)求函数f(x)的值域；(2)设g(x)=[f(x)]2−f(x4)，求g(x)的最值及相应的x的值．23. 已知f(x)=(log2x)2−2a log2x−3(a∈R).(1)当a=−1时，解不等式f(x)<0；(2)若x∈[2,8]，求函数f(x)的最小值.24. 已知函数g(x)=a2x+ta x(a>0,a≠1)是奇函数．(1)求实数t的值；(2)若g(1)>0，求使不等式g(kx−x2)+g(x−1)<0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；(3)设f(x)=logb [a2x+a−2x−bg(x)](b>0,b≠1)，若g(1)=32，问是否存在实数b使函数f(x)在[1,log23]上的最大值为0？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析对数函数的值域与最值练习题含答案一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】C【考点】对数函数的值域与最值函数的定义域及其求法并集及其运算【解析】化简集合A、B，再计算A∪B．【解答】解：集合A={x|ln x<1}={x|0<x<e}=(0, e)，B={y|y=√x−20}={y|y≥0}=[0, +∞)；则A∪B=[0, +∞)．故选C.2.【答案】B【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法对数函数的值域与最值【解析】考虑函数的三要素，只要2个函数的定义域和值域相同，函数的值域也就相同．【解答】∵定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a, b]，而函数y＝f(x+a)的定义域也是R，对应法则相同，故值域也一样，3.【答案】A【考点】对数函数的值域与最值【解析】分当a>1和0<a<1两种情况，分别利用函数的单调性和已知条件，求得a的值．【解答】(x+1)的定义域和值域都为[0, 1]，解：当a>1时，由函数y=loga2=1，解得a=2．可得当x=1时，函数取得最大值为loga2=0，a无解．当0<a<1时，由条件可得当x=1时，函数取得最小值为loga综上可得，a=2，4.【答案】C【考点】分段函数的应用对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(−1)=1，且f(−1)=2f(a)，所以f(a)=12.当a>0时，由log3a=12，得a=√3；当a≤0时，由a2=12，得a=−√22，所以a=√3或a=−√22.故选C.5.【答案】A【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系对数函数的值域与最值【解析】根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．【解答】解；∵函数y=lg[(a2−1)x2−2(a−1)x+3]的值域为R，∴当a2−1=0时，a=1或a=−1，验证a=1时不成立；当a2−1≠0时，{a2−1>0，Δ=4(a−1)2−12(a2−1)≥0，解得−2≤a<−1.综上，−2≤a≤−1，∴实数a的取值范围是[−2, −1]．故选A．6.【答案】A【考点】基本不等式对数函数的值域与最值【解析】【解答】解：已知a>0，b>0，a+2b=4，∴a+2b≥2√a⋅2b=2√2ab（当且仅当a=2b时取等号），∴2√2ab≤4，∴ab≤2，∴ab的最大值为2，∴当a=2，b=1时，log2a+log2b=log2ab取得最大值1.故选A.7.【答案】A【考点】对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意函数y=ax2+2x+2能取遍所有正数,分两种情况讨论：①当a=0时，y=2x+2显然满足题意；②当a≠0时，必须有{a>0，Δ≥0，即4−8a≥0，解得0<a≤12.综上，a的取值范围是[0，12].故选A.8.【答案】C【考点】对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得：f(x)=log2x−4,x∈[1,4]，则f(x2)=log2(x2)−4，x2∈[1,4]，所以x∈[1,2].y=f(x2)⋅log√2(2x)=[log2(x2)−4]⋅log√2(2x)=(2log2x−4)⋅2(log22+log2x)=4(log2x−2)(1+log2x)=4[(log2x)2−log2x−2]log2x∈[0，1]，函数y=f(x2)⋅log√2(2x)的值域为[−9,−8] .故选C.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）9.【答案】m≤2【考点】对数函数的值域与最值【解析】问题转化为m≤log2x在[4, +∞)恒成立，结合对数函数的性质求出m的范围即可．【解答】若不等式log2x−m≥0(x≥4)恒成立，则m≤log2x在[4, +∞)恒成立，而y＝log2x在[4, +∞)递增，故y的最小值是y＝log24＝2，故m≤2，10.【答案】[0．+∞),(∼m．4]【考点】函数的值域及其求法对数函数的值域与最值复合函数的单调性【解析】根据偶次方根为非负数求得f(x)的值域，根据g(x)的定义域和单调性求得g(x)的值域．【解答】对于f(x)=√1−x≥0对任意x≤1成立，故f(x)的值域是[0,+∞)对于g(x)=x−2√1−x+3，由于函数g(x)在(−∞,1]上为增函数，且g(1)=4，故g(x)∈(−∞,4]故填：（1）[0,+∞)；(2)(−∞,1)11.【答案】−1,(−∞, 0)【考点】对数函数的值域与最值函数的单调性及单调区间【解析】根据对数函数的性质结合函数的单调性，从而得出答案．【解答】解：当x=0时，函数y=log122=−1，函数y=x2+2在(−∞, 0)递减，∴函数y=log1(x2+2)在(−∞, 0)递增，故答案为：−1，(−∞, 0)．12.【答案】(−∞, −1]【考点】对数函数的值域与最值【解析】先求y ＝x 2−6x +11的取值范围，再根据对数函数单调性求值域．【解答】∵ x 2−6x +11＝(x −3)2+2≥2，∴ log 12(x 2−6x +11)≤log 122=−1， 13.【答案】6【考点】对数函数的值域与最值对数函数的定义域函数的值域及其求法【解析】根据f(x)的值域为[0, 1]，及对数函数的单调性便可得到1≤2x 2+bx+c x 2+1≤3，可设y =2x 2+bx+cx 2+1，可整理成关于x 的一元二次方程的形式：(y −2)x 2−bx +y −c =0，方程有解，从而便有△≥0，从而得到4y 2−(4c +8)y +8c −b 2≤0，根据1≤y ≤3便知1，3为方程4y 2−(4c +8)y +8c −b 2=0的两实数根，由韦达定理即可求出b ，c ，从而可以得出b 与c 的和．【解答】解：由0≤f(x)≤1得：1≤2x 2+bx+c x 2+1≤3， 即{2x 2+bx+cx 2+1≥1，2x 2+bx+cx 2+1≤3，解得：{x 2+bx +c −1≥0，x 2−bx +3−c ≥0，即{Δ1=b 2−4(c −1)≥0，Δ2=b 2−4(3−c)≥0，当{Δ1=0Δ2=0时，0≤log 32x 2+bx+c x 2+1≤1取等号. 解得{b =±2，c =2， ∴ b 2+c =6.14.【答案】(13,1)【考点】对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值【解析】先利用对数函数的图象性质，即“底、真同，对数为正”的特点，将数f(x)＝loga(2x−a)在区间[12,23]上恒有f(x)>0问题转化为{a>12x−a>1在区间[12,23]上恒成立或{0<a<1 0<2x−a<1在区间[12,23]上恒成立，通过解决一次不等式恒成立问题即可得解【解答】由对数函数的图象性质，f(x)＝loga (2x−a)>0⇔{a>12x−a>1或{0<a<10<2x−a<1由{a>12x−a>1在区间[12,23]上恒成立，得{a>12×12−a>1即a∈⌀由{0<a<10<2x−a<1在区间[12,23]上恒成立，得{0<a<12×23−a<12×12−a>0即a∈(13,1)15.【答案】∵y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，故函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c ＝0，故成立；由y＝2−x(x>0)，知0<y<1，x＝−log2y，x，y互换，得函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)，故①②③【考点】反函数对数函数的值域与最值命题的真假判断与应用【解析】①由y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，知函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c ＝0；②由y＝2−x(x>0)，知0<y<1，x＝−log2y，x，y互换，得函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)；③根据对数函数的值域为R，则R+为y＝x2+ax−a值域的子集，将问题转化为二次函数问题后，可判断③的真假；④y＝f(x−1)是偶函数，它的图象关于y轴(x＝0)对称．y＝f(x)是由y＝f(x−1)向左平移1个单位得到，故可判断④的真假．∵y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，故函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0，故成立；由y＝2−x(x>0)，知0<y<1，x＝−log2y，x，y互换，得函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)，故成立；（1）若函数f(x)＝lg(x2+ax−a)的值域是R，则y＝x2+ax−a的图象与x轴有交点，即a2+4a≥0，故a≤−4或a≥0，故（2）成立；（3）y＝f(x−1)是偶函数，它的图象关于y轴(x＝0)对称．y＝f(x)是由y＝f(x−1)向左平移1个单位得到．故：y＝f(x)关于x＝−1对称，故（4）不成立．三、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分）16.【答案】解：(1)根据对数函数的定义可得:2x−1>0，解得x>12，所以函数f(x)的定义域是(12,+∞)，值域是R．(2)令u=2x−1，则由x∈[1,92]知，u∈[1,8]；因为函数f(x)=log12u在[1,8]上是减函数，所以f(x)=log12u∈[−3,0]所以函数f(x)在x∈[1,92]上的值域为[−3,0]．【考点】函数的定义域及其求法对数函数的值域与最值【解析】（1）根据对数函数的真数部分大于0，即可求出定义域，对于值域，直接根据对数函数的定义即可得到．（2）令u=2x−1，则由x∈[1,92]知，u∈[1,8]；接下来根据对数函数的性质，可知函数f(x)=log12u在[1,8]上是减函数，据此可求出f(x)=log12u的值域，据此即可完成本题．【解答】解：(1)根据对数函数的定义可得:2x−1>0，解得x>12，所以函数f(x)的定义域是(12,+∞)，值域是R．(2)令u=2x−1，则由x∈[1,92]知，u∈[1,8]；因为函数f(x)=log12u在[1,8]上是减函数，所以f(x)=log12u∈[−3,0]所以函数f(x)在x∈[1,92]上的值域为[−3,0]．17.【答案】（1）实数α不存在在；（2）当0<b<1时，值域为：[log2(b2−2b+1),0]当1<b≤2，值域为(−∞,0]当b>2时，值域为：(−3,log2(b2−2b+1)]【考点】函数的值域及其求法对数函数的值域与最值对数函数的定义域【解析】（1）根据对数的真数大于零，结合已知和一元二次不等式解集的性质、对数函数的单调性进行求解即可；（2）根据复合函数的单调性，结合所给的区间，分类讨论进行求解即可．【解答】（1）因为f(x)的定义域是R，所以x2−ax+1>0在实数集上恒成立，故一元二次方程x2−ax+1=0的根的判别式Δ=a2−4<0⇒a2≤4f(x)的值域是R，说明y=x2−ax+1能取遍所有的正实数，因此一元二次方程x2−ax+1=0的根的判别式Δ=a2−4≥0⇒a2≥4，显然这与刚得到a2<4矛盾，故不存在这样的实数α；（2）因为a=2，所以f(x)=log2(x2−2x+1)=log2(x−1)2，函数的定义域为不等于1的全体实数，故区间[0,b]的右端点不能等于1，即b>0且b≠1，显然函数在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．当0<b<1时，函数在[0,b]上是减函数，故函数的最大值为f(0)=log21=0，函数的最小值为：f(b)=log2(b2−2b+1)，因此函数的值域为：[log2(b2−2b+1),0]当1<b≤2，函数没有单调性，故函数的最大值为f(0)=log21=0，而x≠1，所以函数的值域为(−∞,0]当b>2时，函数的最大值为：f(b)=log2(b2−2b+1)，而x≠1，所以函数的值域为：(−∞,log2(b2−2b+1)]18.【答案】（1）a=2,(−1,3)；（2）[log23,2]【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法对数函数的值域与最值【解析】（1）由f (1)=2代入可得α的值，列出不等式组{1+x >03−x >0可得定义域； （2）根据复合函数的单调性判断f (x )在区间[0,32]的单调性即可得结果【解答】（1）f (1)=2，∴ log a 4=2(a >0,a ≠1)，…a =2由{1+x >03−x >0，得x ∈(−1,3)，∴ 函数f (x )的定义域为(−1,3) （2）f (x )=log 2(1+x )+log 2(3−x )=log 2(1+x )(3−x )=log 2[−(x −1)2+4] ．当x ∈(−1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在[0,32]上的最大值是f (1)=log 24=2 函数f (x )在[0,32]上的最小值是f (0)=log 23．f (x )在区间[0,32]上的值域是[log 23,2]19.【答案】解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)．(2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)=log a [(1−x )(x +3)]=log a (−x 2−2x +3)=log a [−(x +1)2+4]，∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4．∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2，∴ log a 4=−2，∴ a −2=4，∴ a =12.【考点】对数函数的定义域对数及其运算对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)．(2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)=log a [(1−x )(x +3)]=log a (−x 2−2x +3)=log a [−(x +1)2+4]，∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4．∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2，∴ log a 4=−2，∴ a −2=4，∴ a =12.20.【答案】解：(1)∵ x−5x+5=1−10x+5，x ∈[10,15]，∴ x−5x+5∈[13,12]． 当a =2时，f(x)=log 2x−5x+5，∴ f(x)∈[−log 23,−1]．(2)若f(x)−1=g(x)有实根，即：log ax−5x+5=1+log a (x −3)有实根． 由x−5x+5>0且x −3>0，得：x >5，即方程x−5x+5=a(x −3)有大于5的实根．∵ x >5，∴ a =x−5(x−3)(x+5)=x−5(x−5+2)(x−5+10) =x −5(x −5)2+12(x −5)+20=1x −5+20x −5+12 ≤2√20+12=3−√516，∴ a ∈(0, 3−√516]．对数函数的值域与最值由函数零点求参数取值范围问题基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）利用导数法判断内函数的单调性，结合对数函数的单调性和复合函数单调性“同增异减”的原则，可判定f(x)在x∈(−∞, −5)上的单调性；（2）通过g(x)=1+loga(x−3)，求出方程f(x)=g(x)的表达式，利用方程有实根，求出函数的定义域；法一：求出方程中a的表达式，通过变形，利用基本不等式求出a的取值范围．法二：转化方程为二次函数，通过二次方程根的分布，求出a取值范围．【解答】解：(1)∵x−5x+5=1−10x+5，x∈[10,15]，∴x−5x+5∈[13,12]．当a=2时，f(x)=log2x−5x+5，∴f(x)∈[−log23,−1]．(2)若f(x)−1=g(x)有实根，即：loga x−5x+5=1+loga(x−3)有实根．由x−5x+5>0且x−3>0，得：x>5，即方程x−5x+5=a(x−3)有大于5的实根．∵x>5，∴a=x−5(x−3)(x+5)=x−5(x−5+2)(x−5+10)=x−5(x−5)2+12(x−5)+20=1x−5+20x−5+12≤2√20+12=3−√516，∴a∈(0, 3−√516]．21.【答案】解：(1)当0<a<1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的减函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≥5a,解得0<a≤23．当a>1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的增函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≤5a,解得a>1．故a的取值范围为(0,23]∪(1,+∞)．(2)因为x2+x+12=(x+12)2+14≥14，且loga (x2+x+12)有最大值2，所以0<a<1，且loga 14=2，解得a=12．因为f(x)=log12x是(0,+∞)上的减函数，且f(18)=3，f(4)=−2，所以f(x)在区间[18,4]上的值域为[−2,3]．【考点】对数函数的图象与性质对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当0<a<1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的减函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≥5a,解得0<a≤23．当a>1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的增函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≤5a,解得a>1．故a的取值范围为(0,23]∪(1,+∞)．(2)因为x2+x+12=(x+12)2+14≥14，且loga (x2+x+12)有最大值2，所以0<a<1，且loga 14=2，解得a=12．因为f(x)=log12x是(0,+∞)上的减函数，且f(18)=3，f(4)=−2，所以f(x)在区间[18,4]上的值域为[−2,3]．22.【答案】解：(1)∵x∈[1, 16]，∴log2x∈[0, 4]，∴1+log2x∈[1, 5]，∴f(x)的值域是[1, 5]. (2)g(x)=[f(x)]2−f(x4)，∵f(x)的定义域为[1, 16]，∴1≤x4≤16，∴g(x)的定义域为[1, 2]. g(x)=[f(x)]2−f(x4)=(1+log2x)2−(1+log2x4)=(log2x)2−2log2x，设log2x=t，∴y=t2−2t，x∈[1, 2]，∴t∈[0, 1]，∴当t=0即x=1时，g(x)有最大值0，当t=1即x=2时，g(x)有最小值−1.综上：当x=1时，g(x)有最大值0；当x=2时，g(x)有最小值−1．【考点】对数函数的值域与最值函数的值域及其求法【解析】（1）x∈[1, 16]，log2x∈[0, 4]，进而求解；（2）由题意x∈[1, 16]，所以1≤x4≤16，g(x)的定义域为[1, 2]，进而求解；【解答】解：(1)∵x∈[1, 16]，∴log2x∈[0, 4]，∴1+log2x∈[1, 5]，∴f(x)的值域是[1, 5]. (2)g(x)=[f(x)]2−f(x4)，∵f(x)的定义域为[1, 16]，∴1≤x4≤16，∴g(x)的定义域为[1, 2]. g(x)=[f(x)]2−f(x4)=(1+log2x)2−(1+log2x4)=(log2x)2−2log2x，设log2x=t，∴y=t2−2t，x∈[1, 2]，∴t∈[0, 1]，∴当t=0即x=1时，g(x)有最大值0，当t=1即x=2时，g(x)有最小值−1.综上：当x=1时，g(x)有最大值0；当x=2时，g(x)有最小值−1．23.【答案】解：(1)当a=−1时，解不等式f(x)<0，得，(log2x)2+2log2x−3<0.即−3<log2x<1，故不等式的解集为{x|18<x<2}.(2)令t=log2x∵ x∈[2,8]:t∈[1,3]函数f(x)换元得：y=g(t)=t2−2at−3,t∈[1,3]此二次函数开口向上，对称轴为t轴=a.分类如下：①当a≤1时，y min=g(1)=1−2a−3=−2a−2，②当1<a≤3时，y min=g(a)=a2−2a2−3=−a2−3，③当a>3时，y min=g(3)=9−6a−3=6−6a.综上，当a≤1时，y min=−2a−2；当1<a≤3时，y min=−a2−3；当a>3时，y min=6−6a.【考点】其他不等式的解法对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=−1时，解不等式f(x)<0，得(log2x)2+2log2x−3<0，即−3<log2x<1，故不等式的解集为{x|18<x<2}.(2)令t=log2x∵ x∈[2,8],t∈[1,3]函数f(x)换元得：y=g(t)=t2−2at−3,t∈[1,3]此二次函数开口向上，对称轴为t轴=a.分类如下：①当a≤1时，y min=g(1)=1−2a−3=−2a−2，②当1<a ≤3时，y min =g(a)=a 2−2a 2−3=−a 2−3，③当a >3时，y min =g(3)=9−6a −3=6−6a .综上，当a ≤1时，y min =−2a −2；当1<a ≤3时，y min =−a 2−3；当a >3时，y min =6−6a .24.【答案】解：(1)函数g (x )=a 2x +ta x (a >0,a ≠1)的定义域为R ，且为奇函数，所以g (0)=0，即1+t =0．解得t =−1．(2)由(1)得g (x )=a x −a −x ，由g (1)>0得a −1a >0，a >0，∴ a >1， 由g (kx −x 2)+g (x −1)<0得g (kx −x 2)<−g (x −1)，∴ g (x )为奇函数，∴ g (kx −x 2)<g (1−x )，∵ a >1，∴ g (x )=a x −a −x 为R 的增函数，∴ kx −x 2<1−x 对一切x ∈R 恒成立，即x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，故Δ=(k +1)2−4<0，解得−3<k <1 .(3)假设存在正数b (b ≠1)符合题意，因为g (1)=32(a >0)，代入可得a −1a =32，解得a =2或a =−12（舍）， 则g (x )=2x −2−x ，f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]=log b [22x +2−2x −b (2x −2−x )]=log b [(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2]，设t =2x −2−x ，则(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2=t 2−bt +2，∵ x ∈[1,log 23]，∴ t ∈[32,83]， 记p (t )=t 2−mt +2，∵ 函数f(x)=log b [a 2x +a −2x −bg(x)]在[1,log 23]上的最大值为0， (i)若0<m <1，则函数p (t )=t 2−mt +2在[32,83]上有最小值为1， ∵ 对称轴t =m 2<12，∴ p min (t )=p (32)=174−32m =1⇒m =136， 不合题意；(ii)若m >1，则函数p (t )=t 2−mt +2>0在[32,83]上恒成立（最小值大于0）， 且最大值为1，① {12<m 2≤2512,p (t )max =p (83)=1,⇒{1<m ≤256,m =7324,⇒m =7324， 又此时m 2=7348∈[32,83]，又p (t )min =p (7348)<0，故g (x )无意义，所以m =7324应舍去． ② {m 2>2512,p(t)max =p (32)=1,⇒{m >256,m =136,⇒m 无解， 综上所述．不存在正数b (b ≠1)，使函数f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]在[1,log 23]的最大值为0 .【考点】奇函数奇偶性与单调性的综合对数函数的值域与最值【解析】（1）函数g (x )=a 2+ta 2(a >0,a ≠1)的定义域为R ，且为奇函数所以g (0)=0，即1+t =0．解得t =−1．【解答】解：(1)函数g (x )=a 2x +ta x (a >0,a ≠1)的定义域为R ，且为奇函数，所以g (0)=0，即1+t =0．解得t =−1．(2)由(1)得g (x )=a x −a −x ，由g (1)>0得a −1a >0，a >0，∴ a >1， 由g (kx −x 2)+g (x −1)<0得g (kx −x 2)<−g (x −1)，∴ g (x )为奇函数，∴ g (kx −x 2)<g (1−x )，∵ a >1，∴ g (x )=a x −a −x 为R 的增函数，∴ kx −x 2<1−x 对一切x ∈R 恒成立，即x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，故Δ=(k +1)2−4<0，解得−3<k <1 .(3)假设存在正数b (b ≠1)符合题意，因为g (1)=32(a >0)，代入可得a −1a =32，解得a =2或a =−12（舍）， 则g (x )=2x −2−x ，f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]=log b [22x +2−2x −b (2x −2−x )]=log b [(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2]，设t =2x −2−x ，则(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2=t 2−bt +2，∵ x ∈[1,log 23]，∴ t ∈[32,83]， 记p (t )=t 2−mt +2，∵ 函数f(x)=log b [a 2x +a −2x −bg(x)]在[1,log 23]上的最大值为0， (i)若0<m <1，则函数p (t )=t 2−mt +2在[32,83]上有最小值为1，试卷第21页，总21页 ∵ 对称轴t =m 2<12，∴ p min (t )=p (32)=174−32m =1⇒m =136， 不合题意；(ii)若m >1，则函数p (t )=t 2−mt +2>0在[32,83]上恒成立（最小值大于0）， 且最大值为1，① {12<m 2≤2512,p (t )max =p (83)=1,⇒{1<m ≤256,m =7324,⇒m =7324， 又此时m 2=7348∈[32,83]，又p (t )min =p (7348)<0，故g (x )无意义， 所以m =7324应舍去． ② {m 2>2512,p(t)max =p (32)=1,⇒{m >256,m =136,⇒m 无解， 综上所述．不存在正数b (b ≠1)，使函数f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]在[1,log 23]的最大值为0 .。
高一数学的函数定义域、值域和单调性、奇偶性练习题(整理)
高一数学函数练习题求函数的定义域1、 求下列函数的定义域: .x 2 2x 15|x 3 32、设函数f (x)的定义域为［0,1］，则函数f (x 2)的定义域为_ ；函数f (.. x 2)的定义域为二、求函数的值域4、求下列函数的值域：2⑴ y x 2x 3 (x R) y ■. x 2 4x 5 3、若函数f(x 1)的定义域为［2，3］，则函数f (2x 1)的定义域是 ________ (2x 1)0 4 x 2 2⑵ y x 2x 3 x [1,2]⑵y三、求函数的解析式系2已知函数f(x 1) x 4x，求函数f(x) , f(2x 1)的解析式。
已知f(x)是二次函数，且f(x 1) f (x 1) 2x24x，求f(x)的解析式。
已知函数f (x)满足2f (x) f ( x) 3x 4，贝U f (x)= __________________1设f (x)与g(x)的定义域是{x |x R,且x 1} , f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x) g(x) ，求x 1f (x)与g(x)的解析表达式四、求函数的单调区间26、求下列函数的单调区间：⑴y x 2x 3⑵y x2 2x 3 ⑶ y x2 6 x 127、函数f (x)在［0,)上是单调递减函数，则f(1 X )的单调递增区间是____________________五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为U, y2 x 5 ；⑴y i ⑵y i 1x1，y2 ...(X 1)(x 1)；⑶ f (x) x，g(x) x2;⑷ f (x) g(x) Vx3；⑸ f'x) (.2x 5)2, f2(x) 2xA、⑴、10、若函数f (x)=A、(一^，+g)⑵、⑶x 42mx 4mx 33B、(0,；]4C、的定义域为R,则实数m的取值范围是3(—+m )(4 ,)[0,11、若函数f (x) • m x2 mx 1的定义域为则实数m的取值范围是((A) 0 m 4 (B) 0 m 4 (C)212、对于1 a 1，不等式x (a 2)x 1(D) 0 m 0恒成立的x的取值范围是((A) 0 x 2 (B) x 0 或x 2 (C) x 1 或x 3 (D) 1 x 113、函数f (x) 、4 x2•、X2 4 的定义域是( )A. [ 2,2] B.C.( , 2) U (2, )D.{ 2,2}( 2,2)0)是( )A、奇函数，且在(0，1)上是增函数B、奇函数，且在(0，1)上是减函14、函数f(X)x (xx数C、偶函数，且在(0, 1)上是增函数D、偶函数，且在(0, 1)上是减函数x 2(x 1)15、函数f (x) x2( 1 x 2)，若f(x) 3，则x= ____________________2x(x 2)116、已知函数f (x)的定义域是(0, 1］，则g(x) fxafxa )( )(㊁a 0)的定义域为 _________________ 。
高考数学 求函数的值域与最值 练习题(含答案)
高考考点精练专辑019函数及其表示(九)求函数的值域与最值九、求函数的值域与最值求函数的值域与最值，虽有区别，但方法基本相同。
求出的值域除小数情况(只有几个有限元素组成的集合)外都可以用区间表示，可能是开区间，也可是闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间，还可能是多个区间的并集。
求出的值域中，有的能直接找出最值(含有闭区间)，有的也许找不出最值(都是开区间)。
㈠、求函数的值域求函数的值域是学习中的难点，方法因题而易，灵活多样。
常用的方法有：直接法、图像法、单调法、换元法，反解法(解方程法，即方程思想)、判别式法、分离常数法、配方法、导数法等。
1.(2019上海文理同卷13)(共23题的第13题 4道选择题第1题 150分占5分) 下列函数中，值域为[)0,+∞的是( )A.2xy = B.12y x = C.tan y x = D.cos y x = 答案：B解：2x y =的值域为()0,+∞，故A 错；12y x =的定义域为[)0,+∞，值域也是[)0,+∞，故B 正确；tan y x =的值域为(),-∞+∞，故C 错；cos y x =的值域为[]1,1-，故D 错。
因此，选B 。
点拔：直接求四个选项中的函数的值域即可。
2.(2016北京理14)(共20题 6道填空题第6题 150分占5分)设函数()33,,2,,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 。
答案：2； (),1-∞-解：如图作出函数()33g x x x =-与直线直线2y x =-的图象，它们的交点是()1,2A -，()0,0O ，()1,2B -，由()233g x x '=-，知1x =是函数()g x 的极大值点，BA-112-2-22yxO①当0a=时，()33,0,2,0,x x xf xx x⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x的最大值是()12f-=；②由图象知当1a≥-时，()f x有最大值是()12f-=；只有当1a<-时，由332a a a-<-，因此()f x无最大值，∴所求a的范围是(),1-∞-。
高中 函数的极值与最值 练习 含答案
训练目标(1)函数极值、最值的概念、求法；(2)函数极值、最值的应用. 训练题型 (1)求函数的极值；(2)求函数的最值；(3)恒成立的问题；(4)零点问题.解题策略 (1)f ′(x )＝0是函数f (x )存在极值点的必要条件，f (x )的极值可用列表法求解；(2)利用最值研究恒成立问题，可分离参数后构造函数，转化为函数的最值问题；(3)零点问题可借助于函数的图象解决.1．“可导函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的________条件．2．函数y ＝ln x x的最大值为________． 3．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是________．①f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)；②f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)；③f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)；④f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)．4．已知直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________．5．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为________．6．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b＝________. 8．已知f (x )＝ax 3，g (x )＝9x 2＋3x －1，当x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为________．9．直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则AB 的最小值为________．10．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为________．12．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是__________．13．已知g (x )＝λx ＋sin x 是区间[－1,1]上的减函数，且g (x )≤t 2＋λt ＋1在x ∈[－1,1]上恒成立，则实数t 的取值范围是__________．14．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界，已知函数f (x )＝1＋a (12)x ＋(14)x ，若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则实数a 的取值范围是______．答案解析1．必要不充分 2.1e3.④ 4．－2<a <2 5.－239 6.1 7．－23解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9， 经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23. 8．a ≥11解析 f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3≥9x 2＋3x －1.∵x ∈[1,2]，∴a ≥9x ＋3x 2－1x 3. 令1x ＝t ，则当t ∈[12，1]时，a ≥9t ＋3t 2－t 3. 令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3，h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2＋12.∴h ′(t )在[12，1]上是增函数． ∴h ′(x )min ＝h ′(12)＝－34＋12>0. ∴h (t )在[12，1]上是增函数． ∴a ≥h (1)＝11.9.32解析 令2(x ＋1)＝a ，解得x ＝a 2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (x ≥0，t >0)， 即t ＋ln t ＝a ，则AB ＝|t －a 2＋1|＝|t －t ＋ln t 2＋1|＝|t 2－ln t 2＋1|. 设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t，令g ′(t )＝0，得t ＝1， 当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以AB ≥32，所以AB 的最小值为32. 10．a <－1 11.⎝⎛⎦⎤π3，π12．[4，＋∞) 13.(－∞，－1]14．[－5,1]解析 由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，即－3≤f (x )≤3，所以－42x －(12)x ≤a ≤22x －(12)x 在[0，＋∞)上恒成立， 所以[－42x －(12)x ]max ≤a ≤[22x －(12)x ]min . 设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t， 由x ∈[0，＋∞)得t ≥1.因为h ′(t )＝－4＋1t 2，p ′(t )＝2＋1t 2. 又由1t 2－4<0知t >12， 故t ≥1时，h ′(t )<0，所以h (t )在[1，＋∞)上单调递减，又p (t )在[1，＋∞)上单调递增，故h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5,1]．。
高一上学期函数专题：值域最值求法(含答案解析)
高一上学期函数专题：值域最值求法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数()2f x = ）A ．[]22-,B ．[]1,2C ．[]0,2D ．⎡⎣ 2．函数2211x y x -=+的值域是 A ．[1,1]- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．(1,1)-3．设函数()2251x x f x x -+=-在区间[]2,9上的最大值和最小值分别为M ､m ,则m M +=. A ．272 B ．13C ．252D ．12 4．函数()3452x f x x -+=-的值域是（ ） A ．()(),22,-∞+∞B ．()(),22,-∞--+∞C ．55,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．R 5．函数()11142x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]2,2-上的最小值为（ ） A ．14 B ．34 C ．1316 D ．136．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ）A ．3B ．1C ．1D ．47．已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．48．函数()212log 617y x x =-+的值域是（ ）.A ．RB ．(],3-∞-C ．[)8,+∞D ．[)3,+∞ 9．已知324y x x =++，则y 的取值范围为（ ）A ．(),22,⎤⋃-∞+∞⎦B ．(][),22,-∞-+∞C ．(),-∞⋃+∞D ．(),11,⎤⋃-∞+∞⎦二、填空题10．函数()20.4log 34y x x =-++的值域是________.11．2211x x y x x -+=++的值域为________．三、解答题12．已知函数()=21x f x ，求函数()f x 的定义域与值域．13．已知函数()24f x x mx =++．(1)求函数在区间[]1,2上的最大值max y ；(2)当[]1,2x ∈时，0y <恒成立，求实数m 的取值范围.14．已知函数2()2f x x ax =-+-，[1,3]x ∈（1）若()0f x <恒成立，求a 的范围．（2）求()f x 的最小值()g a ．15．已知函数()22()lg 1(1)1f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦.（1）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【分析】求出函数的定义域，设224(2)4t x x x =-+=--+，求出t 的值域，再求出2y =可得解.【详解】由240x x -+≥得240x x -≤，得04x ≤≤，设224(2)4t x x x =-+=--+，则04t ≤≤，所以2[0,2]y =，即函数2y =[0,2].故选：C2．B【分析】 由2211x y x-=+可得221y yx x +=-，当10y +≠时，由()()4110y y ∆=-+-≥ ，解得11y -<≤，从而得到答案．【详解】 因为2211x y x -=+，所以221y yx x +=-， 整理得()2110y x y ++-=当10y +=时，上式不成立，故1y ≠-当10y +≠时，()()4110y y ∆=-+-≥ ，解得11y -<≤故选B.【点睛】本题考查求函数的值域，属于一般题．3．C【分析】把函数解析式化为()()()22142541111f x x x x x x x x -+-+===-+---,令1x t -=,则()[]4,1,8t t ty f x ==+∈,根据对勾函数性质可求出最小值和最大值.【详解】解：()()()22142541111f x x x x x x x x -+-+===-+---； 因为[]2,9x ∈，所以[]11,8x -∈，令1x t -=，则[]1,8t ∈；因为()[]4,1,8t t ty f x ==+∈， 根据对勾函数性质可知当2t =时，函数有最小值为4；当8t =时，函数有最大值为172. 所以252m M +=. 故选：C.【点睛】本题考查了函数的变形分离常数法，及利用导数在闭区间求最值的问题，属于中档题. 4．B【分析】先分离常数，再根据反比例函数单调性求值域.【详解】()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=------，()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞．【点睛】本题考查分式函数单调性以及值域，考查基本求解能力.5．B【分析】 先令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()21g t t t =-+，再根据范围结合二次函数的性质，即可得解. 【详解】 解：令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则原函数等价于()21g t t t =-+，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又二次函数g t 的对称轴为11,424t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故最小值是13=24g ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()f x 的最小值为34. 故选：B.【点睛】本题考查了指数函数的性质和二次函数的最值的求法，属于基础题.6．A【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值.【详解】当2x >时，20x ->，则()()1122222f x x x x x =+=-++≥-- 4=，当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.7．B【详解】原式可化为：22()1313()2x y x y xy ++=+≤+，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==时成立．所以选B.8．B【分析】先求出函数的定义域，然后判定复合函数的单调性，结合单调性求出函数值域【详解】()22617380x x x -+=-+>恒成立，∴函数()212log 617y x x =-+的定义域为R设()22617388t x x x =-+=-+≥由复合函数的单调性可知函数()212log 617y x x =-+在定义域R 上先增后减，函数取到最大值即：()21122log 617log 83y x x =-+≤=-函数的值域为(],3-∞-故选B【点睛】本题主要考查了求复合函数的值域，在求解时先求出函数的定义域，然后判断出函数的单调性，最后求出函数值域，需要掌握解题方法9．A【分析】 本题首先可将函数转化为2432224x y x +⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭，2x ≠-，然后分为2x >-、2x <-进行讨论，通过基本不等式即可得出结果.【详解】3243224224x y x x x +⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，2x ≠-，当2x >-时，240x +>，243222224x x ++-≥=+， 当且仅当642x 时取等号；当2x <-时，240x +<，243222224x x ++-≤-=+， 当且仅当642x 时取等号，则y 的取值范围为(),22,⎤⋃-∞+∞⎦， 故选：A.10．[)2,-+∞【分析】先求出函数的定义域为()1,4-，设()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，()1,4x ∈-，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出()20.4log 34y x x =-++的单调性，从而可求出值域.【详解】解：由题可知，函数()20.4log 34y x x =-++，则2340x x -++>，解得：14x -<<，所以函数的定义域为()1,4-，设()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，()1,4x ∈-， 则31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 为增函数，3,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 为减函数， 可知当32x =时，()f x 有最大值为254， 而()()140f f -==，所以()2504f x <≤， 而对数函数0.4log y x =在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数()20.4log 34y x x =-++在区间31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，在3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数， 0.425log 24y ∴≥=-， ∴函数()20.4log 34y x x =-++的值域为[)2,-+∞.故答案为：[)2,-+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.11．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用判别式法求得函数的值域.【详解】 由于22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以函数2211x x y x x -+=++的定义域为R ， 由2211x x y x x -+=++化简得221yx yx y x x ++=-+， 即()()21110y x y x y -+++-=，关于x 的一元二次方程有解，1y =时，存在0x =，符合题意，1y ≠时，由()()221410y y ∆=+--≥， 即231030y y -+≤，即()()3310y y --≤， 解得(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭， 综上可得2211x x y x x -+=++的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查分式型函数值域的求法，属于中档题.12．定义域(,4]-∞,值域(7,16]【解析】【分析】根据题意函数()=21x f x 可知，利用偶次方根的被开方数非负，写出对应的不等式，即可解出函数的定义域．利用换元法，令t =t 为自变量的二次函数，结合t 的取值范围，即可解出()f x 的值域．【详解】()=21x f x1620x ∴-≥，解得4x ≤()f x ∴定义域(,4]-∞.令t =[)0,4t ∈2216x t ∴=-所以原式可变为221621(1)16y t t t =-+-=--+．[)0,4,(7,16]t y ∈∴∈()f x ∴的定义域为(7,16]综上所述，()f x 定义域(,4]-∞，()f x 的定义域为(7,16]【点睛】本题主要考查了求函数的定义域与值域的问题，换元法求函数值域，常用在函数解析式含有根式或者三角函数模型．13．(1)当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+ ；(2) 5m <-.【分析】（1）分322m -<和322m -≥两种情况，讨论函数的最大值； （2）[]1,2x ∈时，0y <恒成立的等价条件为(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，求出不等式组的解可确定m 的取值范围．【详解】(1)函数24y x mx =++的图象开口向上，对称轴为2m x =-， 在区间[]1,2上的最大值，分两种情况： ①322m -<（3m >-）时，根据图象知，当2x =时，函数取得最大值82max y m =+； ②322m -≥（3m ≤-）时，当1x =时，函数取得最大值5max y m =+. 所以，当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+.(2)[] 1,20x y ∈<，恒成立，只需在区间[]1,2上的最大值0max y <即可，所以(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，得45m m <-⎧⎨<-⎩，所以实数m 的取值范围是5m <-. 【点睛】本题主要考查含参数的二次函数在给定区间的最大值，分类讨论是解决本题的关键；另外恒成立问题往往通过其等价条件来求解更简单．14．（1）a <（2）3114()34a a g a a a -≤⎧=⎨->⎩． 【分析】（1）利用分离参数法，结合基本不等式，并根据不等式恒成立的意义求解；（2）根据对称轴与区间中点的位置分类讨论，结合二次函数的图象和性质求得.【详解】解：（1）220x ax -+-<，22ax x <+，[1,3]x ∈，22x a x +∴<，22222x x x x+=+，当且仅当[1,3]x =时成立，∴2min2x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ a ∴<（2）当22a ≤即4a ≤时，min ()(3)311f x f a ==-； 当22a >即4a >时，min ()(1)3f x f a ==-， 综上，3114()34a a g a a a -≤⎧=⎨->⎩． 15．（1）5(,1],3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】对()221(1)1a x a x -+++研究：（1）分类讨论210a -=和210a -≠，210a -≠时，应该有2100a ⎧->⎨∆<⎩； （2）分类讨论210a -=和210a -≠，210a -≠时，应该有2100a ⎧->⎨∆≥⎩； 【详解】（1）函数()22()lg 1(1)1f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，即()221(1)10a x a x -+++>在R 上恒成立。
2021高考数学考前押题 函数的值域与最值(1)
2021高考数学考前押题：函数的值域与最值函数的最值1.用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x ≥0),那么f(x)的最大值为( )(A)4 (B)5(C)6 (D)7解析:f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x ≥0)的图象如下图.令x+2=10-x,得x=4.当x=4时,f(x)取最大值,f(4)=6.应选C.答案:C2．设函数f(x)= ()221sin 1x x x +++的最大值为M,最小值为m,那么M+m= . 解析:f(x)= 2212sin 1x x xx ++++=1+22sin 1x xx ++, 令g(x)=22sin 1x xx ++,那么g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.答案:23.将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=()2梯形的周长梯形的面积,那么s 的最小值是 .解析:如下图,设梯形上底边长为x(0<x<1),那么梯形两腰长为1-x,(1-x).22·()2231x x --. 令u(x)=()2231x x --,0<x<1.∵u ′(x)=()()()()2222231231x x x x x ----- =()()()2223311x x x ---,∴当0<x<13时,u ′(x)>0,u(x)单调递增; 当13<x<1时,u ′(x)<0,u(x)单调递减,∴当x=13时,u(x)最大,s 最小,×22133113⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭.答案4.已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f (x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).(1)求f(-1),f的值;(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.解:(1)f(-1)=kf(1)=-k,∵f=kf,∴f=1k f=1k×=-34k.(2)∵对任意实数x,f(x)=kf(x+2),∴f(x-2)=kf(x),∴f(x)=1k f(x-2),当-2≤x<0时,0≤x+2<2,f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0,f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4);当2<x≤3时,0<x-2≤1,f(x)=1k f(x-2)=1k(x-2)(x-4).故f(x)=()()()()()()224,32,2,20,2,02,124,23,k x x xkx x xx x xx x xk⎧++-≤<-⎪+-≤<⎪⎪⎨-≤≤⎪⎪--<≤⎪⎩∵k<0,∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数.(3)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,f(x)在x=-3或x=1处取得最小值f(-3)=-k2或f(1)=-1,而在x=-1或x=3处取得最大值f(-1)=-k或f(3)=-1 k.故有①k<-1时,f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k2,在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.②k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1.③-1<k<0时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,在x=3处取得最大值f(3)=-1 k.函数的值域问题1.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为( )(A)(0,+∞) (B)[0,+∞)(C)(1,+∞) (D)[1,+∞)解析:∵3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0.∴f(x)∈(0,+∞).应选A.答案:A2.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=()()()()4,,,,g x x x g xg x x x g x++<⎧⎪⎨-≥⎪⎩那么f(x)的值域是( )(A)9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∪(1,+∞)(B)[0,+∞)(C)9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(D)9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∪(2,+∞)解析:由题意f(x)=()() 222,,2,, x x x g x x x x g x ⎧++<⎪⎨--≥⎪⎩=()()[]222,,12,,2,1,2,x x xx x x⎧++∈-∞-⋃+∞⎪⎨--∈-⎪⎩=()()[]2217,,12,, 2419,1,2,24x xx x⎧⎛⎫++∈-∞-⋃+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪--∈-⎪⎪⎝⎭⎩因此当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时, f(x)的值域为(2,+∞);当x∈[-1,2]时,f(x)的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,应选D.答案:D3.设g(x)是概念在R上,以1为周期的函数,假设函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],那么f(x)在区间[0,3]上的值域为.解析:设x1∈[0,1],f(x1)=x1+g(x1)∈[-2,5].∵函数g(x)是以1为周期的函数,∴当x2∈[1,2]时,f(x2)=f(x1+1)=x1+1+g(x1)∈[-1,6],当x3∈[2,3]时,f(x3)=f(x1+2)=x1+2+g(x1)∈[0,7].综上可知,当x∈[0,3]时,f(x)∈[-2,7].答案:[-2,7]函数的最值问题1.已知f(x)是概念在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ex+a,假设f(x)在R上是单调函数,那么实数a的最小值是( )(A)1 (B)-1(C)-2 (D)2解析:依题意得f(0)=0,当x>0时,f(x)>e0+a=a+1,假设f(x)在R上是单调函数,那么有a+1≥0,a≥-1,因此实数a的最小值是-1,应选B.答案:B2.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m、n知足m<n,且f(m)=f(n),假设f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,那么m+n等于( )52(C)1 (D)2(A)-1 (B)解析:由函数f(x)=|log2x|的图象知,当m<n且f(m)=f(n),得mn=1,且0<m<1<n.∴0<m2<m<1<n.∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,∴|log2m2|=2,∴m=12,n=2,∴m+n=5 2.答案:B3.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),假设a⊥b,那么9x+3y的最小值为. 解析:由a⊥b,∴(x-1)×4+2y=0,即2x+y=2.∴9x+3y=32x+3y≥=6.(当且仅当32x=3y即2x=y时等号成立).答案:64.已知a>0,a≠1,函数f(x)=()()1,1,xa xx a x⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩假设函数f(x)在[0,2]上的最大值比最小值大52,那么a的值为.解析:假设a>1,那么函数f(x)在[0,1]递增,[1,2]递减,∴f(x)max=f(1)=a,f(x)min=f(0)=1或f(x)min=f(2)= a-2,∴12,51,2aa<-⎧⎪⎨-=⎪⎩或()12,52,2aa a>-⎧⎪⎨--=⎪⎩故a=7 2.假设0<a<1,那么f(x)在[0,1]递减,(1,2]递减,∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)=a-2,∴1-(a-2)= 52,得a=12,综上a=12或a=72.答案:12或72函数的值域问题1.设f(x)=2,1,,1,x xx x⎧≥⎪⎨<⎪⎩g(x)是二次函数.假设f[g(x)]的值域是[0,+∞),那么g(x)的值域是( )(A)(-∞,-1]∪[1,+∞) (B)(-∞,-1]∪[0,+∞) (C)[0,+∞) (D)[1,+∞)解析:因为g(x)为二次函数,因此是值域不可能为选项A或B.假设g(x)的值域是[1,+∞),即|g(x)|≥1,那么f[g(x)]=[g(x)]2≥1,不符合题意.应选C.答案:C2.已知函数y=f(x)的值域为C,假设函数x=g(t)使函数y=f[g(t)]的值域仍为C,那么称x=g(t)是y=f(x)的一个等值域变换,以下函数中,x=g(t)是y=f(x)的一个等值域变换的为( )(A)f(x)=2x+b,x∈R,x=1 t(B)f(x)=ex,x∈R,x=cos t(C)f(x)=x2,x∈R,x=et(D)f(x)=|x|,x∈R,x=ln t 解析:A中,f(x)∈R,而f[g(t)]=2t+b≠b,A错;B中,f(x)∈(0,+∞),而f[g(t)]=ecos t∈1,ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B错;C中,f(x)∈[0,+∞),而f[g(t)]=(et)2∈(0,+∞),C错.应选D.答案:D3.已知函数f(x)=121x+-12的概念域为R,那么f(x)的值域是.解析:∵2x>0,121x+∈(0,1),∴-12<121x+-12<12,故函数值域为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.答案:11,22⎛⎫-⎪⎝⎭综合检测1.函数( )(A)[0,+∞) (B)[0,2](C)[0,2) (D)(0,2)解析:∵2x>0,故0≤4-2x<4,∴函数值域为[0,2).答案:C2.在实数的原有运算法那么中,咱们补充概念新运算“⊕”;当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,函数f(x)=(1⊕x)·x(其中“·”仍为通常的乘法),那么函数f(x)在[0,2]上的值域为( )(A)[0,4] (B)[1,4] (C)[0,8] (D)[1,8]解析:依照概念,f(x)=[](] 3,0,1,,1,2, x xx x⎧∈⎪⎨∈⎪⎩当x∈[0,1]时,f(x)∈[0,1];当x∈(1,2]时,f(x)∈(1,8],故函数f(x)在[0,2]上的值域为[0,8].答案:C3.关于函数y=f(x)(x∈I),y=g(x)(x∈I),假设对任意x∈I,存在x0使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),那么称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x2+px+q,g(x)=21x xx-+是概念在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为( )(A)32(B)2 (C)4 (D)54解析:g(x)= 21x x x -+=x+1x -1≥2-1=1,当且仅当x=1时,等号成立,∴f(x)在x=1处有最小值1,即p=-2,12-2×1+q=1,q=2,∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,∴f(x)max=f(2)=(2-1)2+1=2.答案:B4.函数y=1-42sin 21xx x ++的最大值与最小值的和为 .解析:令f(x)=42sin 21xx x ++,那么f(x)为奇函数,故f(x)max+f(x)min=0,∴ymax+ymin=2.答案:25．设函数y=x2-2x,x ∈[-2,a],假设函数的最小值为g(a),那么g(a)=.解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴x=1,而x=1不必然在区间[-2,a]上,应进行讨论.当-2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减,那么当x=a 时,ymin=a2-2a;当a ≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,那么x=1时,ymin=-1.答案:22,211,1a a a a ⎧--<<⎨-≥⎩6.圆x2+y2=1内接等腰梯形ABCD,其中AB 为圆的直径.设C(x,y)(x>0),记梯形ABCD 的周长为f(x),求f(x)的解析式及最大值.解:过点C 作CE ⊥AB 于E,那么OE=x(0<x<1),∴EB=1-x.∵x2+y2=1,∴,∴(0<x<1),=t,那么).∴f(x)=4-t2+2t=-(t-1)2+5≤5,当t=1,即x=12时f(x)有最大值为5.。
高考求函数值域与最值得方法与例题_训练题
函数专题之值域与最值问题一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)=的值域.y-+3x2(3点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.32(x解：由算术平方根的性质，知)2(x3-≥3。
∴函数的值域为)32(x-≥0，故3+),3[+∞ . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
高中数学函数值域和最值(一)新人教A版必修1
8、函数 y
x 2 2 的值域是 ____________ .
9、设 0 ≤ x ≤ 2，求函数 f ( x) 4x 3 2x 1 1的值域．
10、已知函数
f (x)
2
x
4ax
2a 6 ， x R
（ 1）求函数的值域为 0, 时的 a 的值；
（ 2）若函数的值均为非负值，求函数 f (a) 2 a a 3 的值域 .
3、函数 f (x)
x2
1 ， (x ≤ 1) 的值域是
．
x
4、已知函数 f ( x) x 2 2x 3 在闭区间 0,m 上最大值为 3，最小值为 2，则 m 的取值范围
为
.
5、 函数 y
16 4 x 的值域是 ________．
6、函数 y
3x
3x
的值域是 ____________ ．
1
7、函数 y lg( x2 1) 的值域是 ____________ .
值. 【 自我检测 】
1 1、函数 y
x
2 x 3 的值域为 _________ .
2、函数 y x 2 , x
2,3 的值域为 _________.
3、已知函数 f (x)
log3 x, x 2x ,x 0
0
，则
f ( f ( 1)) 9
_________.
4、函数 y 3 x 的值域为 _________.
11
1
,
,
2
23
5. R 0,9
6 1,1 ， 1,1 ， R 1
3
4
4 1,
5R
6
y/ y 0
【例 1】填空题：
13
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2011年理科复课班一轮复习训练题（51）
函数的值域与最值（1）
一．基本知识回顾
求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； ⑤不等式法；⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
二．题型与解法
题型一：观察法、反函数法、分离常数法、配方法
【例1】求下列函数的值域
（1）sin3log y =
（2）y =
（3）321
x
x e y e -=+
题型二：判别式法、不等式法、单调性法
【例2】求下列函数的值域
（1）221
1
x x y x x -+=++
（2）2
(01)y x x x
=+
<<
题型三：换元法
【例3】求下列函数的值域
（1）y x =
（2）y x =+
题型四：导数法
【例4】设函数()(1,)1
x a
f x x a R x +=≠∈-，若()ln(1)f x x ≤-在（1，+∞）上恒成立， 求a 的取值范围.
【例5】函数()sin ,[,]22
f x x x x ππ
=+∈-
的值域是
题型五：已知值域求参数的范围问题
【例6】已知函数2
2
()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域是R ，求实数a 的取值范围.
三．精典练习
1．函数2()23f x x mx =-+在区间[]0,2上的值域为[]2,3-，则m 的值为 （ ）
.A .B 94 .C .D 94
2．已知32()26f x x x a =-+（a 是常数），在[]2,2-上有最大值3，那么在[]2,2-上的最小值是 （ ） .A 5- .B 11- .C 29- .D 37-
3．函数24813
6(1)
x x y x ++=+()1x >-的最小值是 （ ）
.A 1 .B 3
2 .C 2 .D 3
4． 函数231
x
y x x =++()0x <的值域是 （ ） .A [)3,0- .B []3,1- .C (],3-∞- .D (),0-∞
5．函数2
1
y x =
-的定义域是()[),12,5-∞，则其值域是 （ ）
.A ()1,0,22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ .B (],2-∞ .C [)1,2,2⎛
⎫-∞+∞ ⎪
⎝
⎭ .D ()0,+∞
6．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[],a b ，则函数()y f x a =+的值域为（ ）
.A []2,a a b + .B []0,b a -.C [],a b .D [],a a b -+
7．函数19
1
()n f x x n ==
-∑的最小值为 （ ）
.A 190 .B 171 .C 90 .D 45
8．函数()log (1)[0,1]x
a f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）
.A 41 .B 2
1
.C 2 .D 4
9.已知52x ≥，则245
()24
x x f x x -+=-有 （ ）
.A 最大值
54 .B 最小值5
4
.C 最大值1 .D 最小值1
10.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1
()()()
F x f x f x =+
的值域是 （ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,
]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3
11.已知函数M ,最小值为m ,则
m
M
的值为 （ ）
(A)
14
(B)
12
(C)
2
(D)
2
12.设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［
54
］=1）,对于给定的n ∈N *
,定义[][](1)(1),(1)
(1)x n
n n n x C x x x x --+=
--+x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
时，
函数8x C 的值域是 ( ) A.16,283⎡⎤⎢
⎥⎣⎦ B.16,563⎡⎫⎪⎢
⎣⎭ C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤
⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
13．函数()
212
log 45y x x =-+的值域是 ；
14．已知 3()2log f x x =+，[]1,3x ∈，函数[]()2
2
()y f x f x
=+的值域是
15．函数2234x x y +=-⋅()10x -≤≤的值域是
16．函数221
x
x y =+的值域为
17． 函数()f x =
的最小值为
18． 若曲线21x
y =+与直线y b =没有公共点，则b 的取值范围为
19．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a = 20．函数y =x x --+12 （[]0,1x ∈）的值域是。