第三节 等比数列及其前n项和(1)
【金版学案】2021届高考数学总温习 第五章 第三节等比数列及其前n项和课时精练 理(1)
第三节 等比数列及其前n 项和1．(2021·江西卷)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24解析：由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)． 解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24. 答案：A2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且9a 1,3a 2，a 3成等比数列．假设a 1＝3，那么a 4＝( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．5解析：设等差数列{a n }的公差为d ，那么有9(a 1＋d )2＝9a 1·(a 1＋2d )，因为a 1＝3，因此可解得d ＝0，因此{a n }为常数列，a 4＝a 1＝3.应选C.答案：C3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设8a 2＋a 5＝0，那么以下式子中数值不能确信的是( ) A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n解析：由8a 2＋a 5＝0知，公比q ＝－2，因此a 5a 3＝q 2＝4，S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113，a n ＋1a n＝q ＝－2.S n ＋1S n＝1－q n ＋11－q n，依照n 的奇偶性可知，该式的结果不定．应选D.答案：D4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.6164B.6364C.3116D.3316 解析：∵a 1＝1,9S 3＝S 6，∴q ≠1.那么9·1－q 31－q ＝1－q 61－q ，得q 3＝1(舍)，q 3＝8，∴q ＝2，∴1a n ＝12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C5．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……若是那个进程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A.666－16－1只 B ．66只C ．63只D ．62只解析：从第一天起，每一天归巢后，蜂巢中的蜜蜂数依次为：6,62,63，…，这是一个等比数列，首项为6，公比为6，因此第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂66只．应选B.答案：B6．等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝∫304x d x ，那么公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：S 3＝∫304x d x ＝2x 2|30＝2×32－0＝18，由题知，a 1q 2＝6①a 1＋a 1q ＝12②②式除以①式得1q 2＋1q ＝2，解得q ＝1或－12，应选C.答案：C7．概念在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，若是关于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，那么称f (x )为“保等比数列函数”．现有概念在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.那么其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为 ( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④解析：等比数列性质，a n a n ＋2＝a 2n ＋1，①f (a n )f (a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝f 2(a n ＋1)；②f (a n )f (a n ＋2)＝2a n 2a n ＋2＝2a n ＋a n ＋2≠22a n ＋1＝f 2(a n ＋1)； ③f (a n )f (a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝|a n ＋1|2＝f 2(a n ＋1)；④f (a n )f (a n ＋2)＝ln|a n |ln|a n ＋2|≠(ln|a n ＋1|)2＝f 2(a n ＋1)．应选C. 答案：C8．(2021·茂名一模)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3·a 9＝2a 25，那么q ＝__________.解析：设等比数列的首项为a 1，由a 3·a 9＝2a 25，得：(a 1q 2)·(a 1q 8)＝2(a 1q 4)2，即a 21q 10＝2a 21q 8， ∵a 1≠0，q ＞0，∴q ＝ 2.答案：29．(2021·北京卷)假设等比数列{a n }知足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，那么公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 11－q n1－q＝2n ＋1－2.答案：2 2n ＋1－210．(2021·广东深圳二模)已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，那么a 13a 10＝________.解析：∵{a n }是递增的等比数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2，又∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，那么a 2＝1，a 8＝2， ∴q 6＝a 8a 2＝2，∴q 3＝2，∴a 13a 10＝q 3＝ 2.答案：211．若是数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n a n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，那么a 5＝________.解析：∵a na n －1＝a 1(－2)n －1＝(－2)n －1，∴a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1＝(－2)4＋3＋2＋1＝32.答案：3212．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }知足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，那么数列{b n }前n 项和的最大值为__________．解析：由题知，b 3＝18＝ln a 3，a 3＝e 18，b 6＝12＝l n a 6，a 6＝e 12，a 6a 3＝q 3＝e －6，q ＝e －2，那么a 1＝e 22，那么b 1＝22，b 2＝20，b n ＝22＋(n －1)·(－2)，n ＝12时，b n ＝0，那么S 12最大为132.答案：13213．(2021·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1, 证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解析：(1) 分两种情形讨论．①当q ＝1时，数列{a n }是首项为a 1的常数数列，因此S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1. ②当q ≠1时，数列S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ⇒qS n ＝qa 1＋qa 2＋…＋qa n －1＋qa n . 上面两式错位相减：(1－q )S n ＝a 1＋(a 2－qa 1)＋(a 3－qa 2)…＋(a n －qa n －1)－qa n ＝a 1－qa n . ⇒S n ＝a 1－qa n 1－q＝a 11－q n1－q.③综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q ，q ≠1.(2)利用反证法．设{a n }是公比q ≠1的等比数列， 假设数列{a n ＋1}是等比数列．那么 ①当∃n ∈N *，使得a n ＋1＝0成立，那么{a n ＋1}不是等比数列． ②当∀n ∈N *，使得a n ＋1≠0成立，那么a n ＋1＋1a n ＋1＝a 1q n ＋1a 1q n －1＋1＝恒为常数⇒a 1q n ＋1＝a 1q n －1＋1⇒当a 1≠0时，q ＝1.这与题目条件q ≠1矛盾．③综上两种情形，假设数列{a n ＋1}是等比数列均不成立，因此当q ≠1时， 数列{a n ＋1}不是等比数列． 14．(2021·广州一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)假设p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判定a p－1，a q－1，a r－1是不是成等比数列？并说明理由．解析：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n，∴当n＝1时，有a1＝(1－1)S1＋2，解得a1＝2.由a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n，①a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＋(n＋1)a n＋1＝nS n＋1＋2(n＋1)，②②－①得：(n＋1)a n＋1＝nS n＋1－(n－1)S n＋2.③由③式得：(n＋1)a n＋1＝nS n＋1－(n－1)S n＋2＝n(S n＋1－S n)＋S n＋2，得a n＋1＝S n＋2.④当n≥2时a n＝S n－1＋2，⑤⑤－④得：a n＋1＝2a n.由a1＋2a2＝S2＋4，得a2＝4，∴a2＝2a1.∴数列{a n}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴a n＝2n.(2)∵p，q，r成等差数列，∴p＋r＝2q.假设a p－1，a q－1，a r－1成等比数列，那么(a p－1)(a r－1)＝(a q－1)2，即(2p－1)(2r－1)＝(2q－1)2，化简得：2p＋2r＝2×2q.(*)∵p≠r，∴2p＋2r＞22p×2r＝2×2q，这与(*)式矛盾，故假设不成立．∴a p－1，a q－1，a r－1不是等比数列．。
2022届高考一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和
15，且 a5＝3a3＋4a1，则 a3＝( )
A．16
B．8
C．4
D．2
[解析]
由题意知aa11＞＋0a，1q＋q＞a10q，2＋a1q3＝15， a1q4＝3a1q2＋4a1，
解得aq1＝＝21，，∴a3＝a1q2＝4.故选 C.
[答案] C
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝13，a24＝a6，则 S5 ＝________.
[解析] 由 a24＝a6 得(a1q3)2＝a1q5，
整理得 q＝a11＝3.∴S5＝13（11－－335）＝1231.
[答案]
121 3
(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式； ②记 Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sm＝63，求 m. [解析] ①设{an}的公比为 q，由题设得 an＝qn－1. 由已知得 q4＝4q2，解得 q＝0(舍去)，q＝－2 或 q＝2. 故 an＝(－2)n－1 或 an＝2n－1.
[解析] (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)． 又因为 a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1. 所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
A．4
B．8
C．16
D．32
答案：C
2．(基础点：等比数列的前 n 项和)设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5
等比数列前n项和公式(1)
§2.5 等比数列的前n 项和公式(1)【学习目标】1．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法． 2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．【学习过程】合作探究：推导等比数列的前n 项和公式问题1:你能列个式子帮国王计算一下总的麦粒数吗?式子: 问题2:你能想办法计算出这个和吗?(小组合作)问题3:设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0， 你能用上面的方法求出n S 吗?结论：如果数列{}n a 是公比为q 的等比数列，那么它的前n 项和公式是： （1）当=≠n S q 时，1 ； （2）当n S q 时，1== .使用等比数列前n 项和公式应注意对公比 或 的判断和讨论。
注意：①在等比数列前n 项和公式中将1nn a a q =代入，则公式可以变形为：n S = .②解决等比数列问题时，n n S q n a a ,,,,1五个量中，知道任意三个，可求另外两个，注意方程思想的应用.③以上推导过程用的是错位相减法，此方法在众多数列的求和中应用很广，要注意灵活掌握. ④当1=q ,1na S n =是n 的 函数；当1≠q 时，A Aq S nn +-=是关于n 的一个指数式与一个常数的和，其中指数的系数与常数项互为 ，且=A .☆☆ 提示：数列{}n a 是 ⇔A Aq S nn +-=（*,1,0N n q Aq ∈≠≠），可作为判断数列{}n a 是否为 的一个结论. 练一练：已知等比数列的前n 项和6131-⋅=-n n x S ，则x 的值为 ⑤n n n n n S S S S S 23,2,,--均不为零时，数列n n n n n S S S S S 23,2,,--构成 数列. 【典例分析】例1：等比数列{}n a 中：（1）a 1=－27,11,39n q a =-=，求n S ；（2）a 1=5 , q=1,n=10，求n S ；（3）若;,96,2,1891n a a q S n n 和求===（4）已知,263,2763==S S 求;n a例2、求数列231,,,,...x x x 的前n 项和S n .例3、在等比数列{}n a 中，.,604832n n n S S S 求，==例4、以数列{}n a 的任意相邻两项为坐标的点()()*+∈N n a a P n n n 1,均在一次函数kx y +=2的图象上，数列{}n b 满足条件：().0,11≠∈-=*+b N n a a b n n n（1）求证：{}n b 是等比数列；（2）设数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为,,n n T S 若,9,546-==S T S 求k 的值.【限时训练】1、.,64,2485346S a a a a 求=⋅=-2、等比数列{}n a 中前n 项和为n S ，42S =，86S =，求17181920a a a a +++的值3、已知等比数列{}na 中，661=+n a a，12812=-n a a ，126=n S ，求公比q 与项数n .4、在公比2=q 的等比数列{}n a 中，若,25log log log 1022212=+⋅⋅⋅++a a a 则=+⋅⋅⋅++1021a a a .5、数列{}n a 满足,,,,,123121--⋅⋅⋅--n n a a a a a a a 且{}1--n n a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求.21n n a a a S +⋅⋅⋅++=。
第五章 第三节 等比数列及其前n项和
答案：17
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考点二 等比数列的判定与证明[探究型]——应用逻辑推理 [例 1] (2018·珠海模拟)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1 ＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中 λ 为实数，n 为正整数． (1)对任意实数 λ，证明数列{an}不是等比数列； (2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论． 解：(1)假设存在一个实数 λ，使{an}成等比数列，则有 a22＝a1a3， 即23λ－32＝λ49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即 9＝0，这与事实 相矛盾．所以对任意实数 λ，数列{an}都不是等比数列．
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③若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{|an|}， a1n，{a2n}，{an·bn}，abnn(λ≠0)仍然是等比数列；
④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数 列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
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2．分类讨论的思想：等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时， {an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
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第五章 第三节 等比数列及其前n项和
解析：∵ an－ 2 an－1＝0，∴an＝2an－1 2×1－2n ∴q＝2.∴Sn＝ ＝2n＋1－2. 1－2
答案：2n＋1－2
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2 8 3．(2012· 长安模拟)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝9.当n≥2时， 3an＋1＝4an－an－1(n∈N*)． (1)证明：{an＋1－an}为等比数列； (2)求数列{an}的通项．
a1q ＋a1q
2
3
1 1 ＝32a q2＋a q3. 1 1
2 a1q＝2， 即 2 5 a1q ＝32.
a2qq＋1＝2q＋1， 1 化简得 2 5 a1q q＋1＝32q＋1， a1＝1， 又∵a1>0，q>0，解得 q＝2.
1 1 1 1 ＋ ，a3＋a4＝32 ＋ . ＝2 a a 1 a3 a4 2
(1)求{an}的通项公式；
2 (2)设bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
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解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，
1 1 由已知得a1＋a1q＝2a ＋a q， 1 1
D．32
答案： C
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3．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4， 则an＝
3n A．4· 2 3n－1 C．4· 2 2n B．4· 3 2n－1 D．4· 3
(
)
解析：(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，
等比 设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等 中项 比中项G＝ ± ab
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二、等比数列的性质 1．通项公式的推广：an＝am· n－m. q
2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s， a · ＝ar· s a a 则有 p q . 1 3．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{a }， n
2020届浙江高考数学总复习讲义： 等比数列及其前n项和
第三节等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k . [小题体验]1．(教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B2．(2018·台州模拟)已知等比数列{a n }各项都是正数，且a 4－2a 2＝4，a 3＝4，则a n ＝________；S 10＝________.解析：设公比为q ，因为a 4－2a 2＝4，a 3＝4， 所以有4q －8q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1. 因为q ＞0，所以q ＝2.所以a 1＝a 3q 2＝1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1.所以S 10＝1－2101－2＝210－1＝1 023.答案：2n －1 1 0233．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，则a 3＝______；S 5＝_________. 答案：9 1211．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4，又∵a 5＝a 3q 2＞0，∴a 5＝4. 2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 答案：－12或1考点一 等比数列的基本运算(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·绍兴模拟)等比数列{a n }的公比为2，前n 项和为S n .若1＋2a 2＝S 3，则a 1＝( ) A .17B.15C.13D ．1解析：选C 由题可得，1＋4a 1＝a 1＋2a 1＋4a 1，解得a 1＝13.2．(2018·杭二中仿真)各项都是正数的等比数列{a n }中，若a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( ) A.5＋12B.5－12C.1－52D.5＋12或1－52解析：选B 设数列{a n }的公比为q (q ＞0，q ≠1)，由a 2，12a 3，a 1成等差数列可得a 3＝a 2＋a 1，所以有q 2－q －1＝0，解得q ＝5＋12(负值舍去)．所以a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. [由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想1．(2019·浙北联考)设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：选C 因为q ＝2，所以S 4a 2＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2＝1＋q ＋q 2＋q 3q ＝1＋2＋4＋82＝152. 2．(2018·宁波模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＝14，a 2a 8＝4(a 5－1)，则a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8的值为( )A ．20B ．31C ．62D ．63解析：选B 因为a 2a 8＝a 25＝4(a 5－1)，解得a 5＝2.所以q ＝2.所以a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋2＋4＋8＋16＝31.3．(2018·杭州二检)设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________.解析：由题可得，设数列{a n }的公比为q (q ＞0，q ≠1)，根据题意可得a 1(1－q 4)1－q ＝80，a 1(1－q 2)1－q＝8，解得a 1＝2，q ＝3，所以a 5＝a 1q 4＝2×34＝162. 答案：3 162考点二 等比数列的判定与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用](2018·衢州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．证明：因为S n ＋1＝4a n ＋2， 所以S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，又a 1＝1，所以a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3， 当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2. 所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝4a n －4a n －1. 因为b n ＝a n ＋1－2a n ， 所以当n ≥2时，b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝4a n －4a n －1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2. 所以{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·宁波模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7. 由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2， 所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.2．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4＝________.解析：由题可得，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，因为S 4S 2＝5，不妨设S 2＝1，则S 4＝5，所以S 4－S 2＝4， 所以S 8＝1＋4＋16＋64＝85，所以S 8S 4＝855＝17.答案：17[由题悟法]等比数列的性质可以分为3类1．(2018·诸暨模拟)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20.则该数列的前9项和为( )A ．50B ．70C ．80D ．90解析：选B 由等比数列的性质得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，由S 3＝40，S 6－S 3＝20，知公比为12，故S 9－S 6＝10，S 9＝70.2．(2018·浙江联盟模拟)已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5＝________；a 4的最大值为________．解析：因为a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，所以a 3＋a 5＝5，所以a 3＋a 5＝5≥2a 3a 5＝2a 4，所以a 4≤52.即a 4的最大值为52.答案：552一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·舟山模拟)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( )A ．－3B ．±3C ．－3 3D ．±3 3解析：选C 因为－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，由等比数列的性质及等比中项可知，xz ＝3，y 2＝3，且y 与－1，－3符号相同，所以y ＝－3，所以xyz ＝－3 3.2．(2019·湖州六校联考)已知等比数列的前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为( )A ．66B ．64C ．6623D ．6023解析：选D 因为等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，所以54(S 3n －60)＝36，解得S 3n ＝6023.3．(2018·金华十校联考)在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为( ) A ．10 B ．25C ．50D ．75解析：选B 因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝52＝25.4．(2018·浙江名校协作体测试)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n ，均有S n ＋3＝8S n ＋3，则a 1＝_________，公比q ＝________.解析：因为S n ＋3＝8S n ＋3，所以当n ≥2时，S n ＋2＝8S n －1＋3，两式相减，可得a n ＋3＝8a n ，所以q 3＝8，解得q ＝2；当n ＝1时，S 4＝8S 1＋3，即15a 1＝8a 1＋3，解得a 1＝37.答案：3725．(2018·永康适应性测试)数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ＋n ，则a 1＝______，数列{a n }的通项公式a n ＝_______.解析：因为S n ＝2a n ＋n ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －2a n －1－n ＋1，即a n ＝2a n －1－1，即a n －1＝2(a n －1－1)，所以数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以a n －1＝－2n ，所以a n ＝1－2n .答案：－1 1－2n二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·浙大附中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1＝pS n ＋q (n ∈N *，p ≠－1)，则“a 1＝q ”是“{a n }为等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为a n ＋1＝pS n ＋q ，所以当n ≥2时，a n ＝pS n －1＋q ，两式相减得a n ＋1－a n ＝pa n ，即当n ≥2时，a n ＋1a n ＝1＋p .当n ＝1时，a 2＝pa 1＋q .所以当a 1＝q 时，a 2a 1＝1＋p ，满足上式，故数列{a n }为等比数列，所以是充分条件；当{a n }为等比数列时，有a 2＝pa 1＋q ＝(1＋p )a 1，解得a 1＝q ，所以是必要条件，从而选C.2．(2019·乐清模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.46－13D.45－13解析：选B 因为a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＝S n ＋1－S n ，所以S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝1，公比为4的等比数列，所以S 6＝45.3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.15解析：选A ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 设该女子第一天织布x 尺，则x (1－25)1－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n －1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8.5．(2019·金华模拟)设A n ，B n 分别为等比数列{a n }，{b n }的前n 项和．若A n B n ＝12n ＋1，则a 7b 3＝( ) A.19 B.12763 C.43D.1312解析：选C 由题意知，A n B n＝12n ＋1，令A n ＝k (2n －1)，k ≠0，则B n ＝A n ·(2n ＋1)＝k (2n－1)(2n ＋1)＝k (4n －1)．所以a 7＝A 7－A 6＝k (27－1)－k (26－1)＝64k ，b 3＝B 3－B 2＝k (43－1)－k (42－1)＝48k ，所以a 7b 3＝64k 48k ＝43.6．(2018·超级全能生模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 1，S 2,5成等差数列，则数列{a n }的公比q ＝________，S n ＝_________.解析：由题可得，2S 2＝2(1＋q )＝1＋5＝6，所以q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n －1.答案：2 2n －17．(2018·慈溪中学)在正项等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 1＋a 3＋a 5＝21，则q ＝________；a 3＋a 5＋a 7的值为________．解析：设公比为q .则由a 1＝1，a 1＋a 3＋a 5＝21可得q 4＋q 2－20＝0，解得q 2＝4，所以q ＝±2.因为q ＞0，所以q ＝2.所以a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝4×21＝84.答案：2 848．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 018积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．解析：由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 018＝a 2 018， 故a 1a 2a 3·…·a 2 017＝1，由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1＞1， 所以a 1 009＝1，公比0＜q ＜1，所以a 1 008＞1且0＜a 1 010＜1，故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 008或1 009.答案：1 008或1 0099．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)得a n ＝n ， ∴b n ＝2n ，∴b n ＋1b n＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.10．(2019·舟山模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数，a n ＋1，n 为奇数，a 4＝52，若b n ＝a 2n －1－1(b n ≠0)．(1)求a 1；(2)求证：{b n }是等比数列；(3)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 2n . 解：(1)因为a 4＝52，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数，a n ＋1，n 为奇数，所以a 3＝a 4－1＝32，由a 3＝12a 2，得a 2＝3，所以a 1＝a 2－1＝2.(2)证明：当n ≥2时，b n b n －1＝a 2n －1－1a 2n －3－1＝12a 2n －2－1a 2n －2－2＝12，当n ＝1时，b 2b 1＝a 3－1a 1－1＝12满足上式，故数列{b n }是首项为1，公比为12的等比数列．(3)因为b n ＝a 2n －1－1， 所以a 2n －1－1＝⎝⎛⎭⎫12n －1， 所以a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1＋1， 所以a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝2－12n －1＋n ，又因为a 2＝a 1＋1，a 4＝a 3＋1，……，a 2n ＝a 2n －1＋1， 所以S 2n ＝2(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋n ＝4－12n －2＋3n .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·暨阳联考)已知数列{a n }，{b n }，其中{a n }是首项为3，公差为整数的等差数列，且a 3＞a 1＋3，a 4＜a 2＋5，a n ＝log 2b n ，则{b n }的前n 项和S n 为( )A ．8(2n －1)B ．4(3n －1) C.83(4n －1)D.43(3n －1) 解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意可知：3＜2d ＜5，所以d ＝2.所以a n ＝2n ＋1＝log 2b n ，所以b n ＝22n ＋1，所以数列{b n }是首项为8，公比为4的等比数列，所以前n 项和S n ＝83(4n －1)．2．(2018·浙江十校联考)已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *. (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列； (2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t －1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23， 所以1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1. 因为a 1＝35，则1a 1－1＝23. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列． (2)由(1)知，1a n －1＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n ，所以a n ＝3n 3n ＋2. 假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1). 由a n ＝3n3n ＋2与(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1)， 得⎝⎛⎭⎫3s 3s ＋2－12＝⎝⎛⎭⎫3m 3m ＋2－1⎝⎛⎭⎫3t3t ＋2－1. 即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s . 因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s .因为3m ＋3t ≥23m ＋t ＝2×3s ，当且仅当m ＝t 时等号成立， 这与m ，s ，t 互不相等矛盾．所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．。
第七章 第三节 等比数列及其前n项和 课件(共54张PPT)
(2)等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么_G_叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a
与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒_G_2_＝__a_b_．
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_a_1_q_n_－_1___．
__n_a_1 ，q＝1； (2)前 n 项和公式：Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq，q≠1.
第七章 数 列
第三节 等比数列及其前n项和
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.通过实例，理解等比数列的概念． 考情分析： 等比数列的基本运算，
2．探索并掌握等比数列的通项公式 等比数列的判断与证明，等比数列的
与前 n 项和的公式．
性质与应用仍是高考考查的热点，三
3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m＋n＝p＋q＝2r，则 aman＝apaq＝a2r . (2)若数列{an}、{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}、a1n 、{a2n }、{anbn}、 abnn (λ≠0)仍然是等比数列． (3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an， an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
解析： (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12 (an＋bn).
又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12 的等比数列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
高考数学一轮第六章数列第三节等比数列及其前n项和人教A版
∴Sann＝41－4 21n＝2n－1. 2n
[名师微点]
等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三 求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． (2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论， 当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
解析：设等比数列{an}的公比为 q，
∵aa12＋＋aa34＝＝5254，，
∴aa11＋q＋a1aq12q＝3＝52，54，
②
①
由①除以②可得1q＋＋qq23＝2，解得 q＝12，代入①得 a1＝2，
∴an＝2×21n－1＝24n，Sn＝2×11－－1212n＝41－21n，
等比数列的判定方法
[解题技法]
定义法 若aan＋n 1＝q(q 为非零常数，n∈N*)或aan－n1＝q(q 为 非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法 若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)， 则{an}是等比数列
通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均 为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
第三节 等比数列及其前n项和
第三节
等比数列及其前n项和
结束
2．已知数列{an}是公比 q≠± 1 的等比数列，则在{an＋an＋1}，{an＋1
an －an}，a ，{nan}这四个数列中，是等比数列的有 n＋1
(
)
A． 1 个 C． 3 个
B．2 个 D． 4 个
答案：C
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第三节
等比数列及其前n项和
2． 在涉及等比数列前 n 项和公式时要注意对公比 q 是否等 于 1 进行判断和讨论．
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第三节
等比数列及其前n项和
结束
[典例]
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an＋Sn＝n.
(1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋Sn＝n， ① 思 考 怎样从an+Sn=n中求出通项 an? ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ② ②－①得 an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， an＋1－1 1 ∴ ＝ . an－1 2
结束
1．(2013· 承德一模)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公比 q 的值为 A． 1 1 C．1 或－2 1 B．－2 1 D．－1 或2 ( )
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第三节
等比数列及其前n项和
结束
2 a1q ＝7， 解析：根据已知条件得 2 a1＋a1q＋a1q ＝21，
21－2n 故 Sn ＝ ＝2n＋1－2. 1－ 2
3.3 等比数列及其前n项和
数,n∈N*){an}
a2 n1
是等比数列.
(3)中项公式:
an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)
等比数列问题的基本方法：在a1,q,n,an,Sn五个量中，知 三求二. 3.分类讨论的思想：当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时，{an}为递 增数列；a1<0,q>1或a1>0,0<q<1时，{an}为递减数列；当 q<0时，{an}为摆动数列；当q=1时，{an}为常数列.
又∵a2a6=a3a5= ∴a2a3a4a5a6= =32.
4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到 2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将
出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲
（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀
为沙漠,问至少经过几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积
3 2
a1
(1
q
3
)
4
1
,
1 q
2
解得 q2
1, 4
a1=6.综合可得：a1
3 2
或a1=6
2.设数列{an}是等差数列，a5=6. （1）当a3=3时，请在数列{an}中找一项am,使得a3,a5,am成
（2）当a3=2时，若自然数n1,n2,…,nt,… （t∈N*）满足 5<n1<n2<…<nt<…使得a3,a5a,n1 ,an2 ,…,ant ,…是等比数列， 求数列{nt}的通项公式. 解 （1）设{an}的公差为d,则由a5=a3+2d,
2021版新高考数学一轮教师用书：第6章 第3节 等比数列及其前n项和 Word版含答案
第三节 等比数列及其前n 项和[考点要求] 1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．(对应学生用书第106页)1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1an ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1（q ＝1），a 1（1－q n）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.[常用结论]等比数列的常用性质1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ．2．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍然是等比数列．3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，其中当公比为－1时，n 为偶数时除外．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n ）1－a.( )(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、教材改编1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4 D ．±42．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A ．13 B ．－13 C ．19 D ．－193．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________． 4．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB ＝210 MB).(对应学生用书第106页)考点1 等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n 项和公式时，注意分q ＝1和q ≠1两类分别讨论．1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________． 3．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 2＝________． 4．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .抓住基本量a 1, q ，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优． 考点2 等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列；(2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列； (3)通项公式法：若a n ＝Aq n －1(A ，q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列．设数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝53，a n ＋2＝53a n ＋1－23a n ，令b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *) (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[逆向问题] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ，若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21. (2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n ＋1， ∴2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2， ∴存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *).(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向问题．[教师备选例题]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n－a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式． 考点3 等比数列性质的应用等比数列性质的应用可以分为3类 (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)[一题多解]已知数列{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 (2)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2B ．73C ．310 D ．1或2(3)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项a n 或和S n 的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度．[教师备选例题]数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式a n ＝________.12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1 [设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64，所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.]1.已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝1，a 5＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N ＋)的最小值为( )A ．83 B ．1 C ．2 D ．32．等比数列{a n }满足a n ＞0，且a 2a 8＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 9＝________．。
第三节 等比数列及其前n项和-高考状元之路
第三节 等比数列及其前n 项和预习设计 基础备考知识梳理1．等比数列的定义 如果一个数列从第 项起，每一项与它前一项的比等于 那么 这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示 ．2．等比数列的通项公式设等比数列}{n a 的首项为,1a 公比为q ，则它的通项=n a3．等比中项 若 ，则G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：.m n a a = *).,(N m n ∈(2)若}{n a 为等比数列，且*),,,(1N n m i k n m k ∈⋅+=+，则(3)若}{},{n n b a （项数相同）是等比数列，则),0}({=/λλn a }}{{},{},1{2nn n n n n b a b a a a ⋅仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列}{n a 的公比为),0(=/q q 其前n 项和为⋅n s6．等比数列前n 项和的性质若公比不为-1的等比数列}{n a 的前n 项和为,n s 则,n s n n n n s s s s 232,--仍成等比数列，其公比为典题热身1．已知等比数列}{n a 满足,6,33221=+=+a a a a 则=7a64.A 81.B 128.c243.D 答案：A2．在正项等比数列}{n a 中，1a 和19a 为方程016102=+-x x 的两根，则=12108a a a ( ) 32.A 64.±B 64.C 256.D答案：C3．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且h a a a a ==22593,2.则1a 等于 （ ）21.A 22.B 2.C 2.D 答案：B4．(2011．山东济宁一模)在数列}{n a 中，n n ca a =+1（c 为非零常数），且前n 项和为,3k s n n +=则实数A 的值为（ ）0.A 1.B 1.-c 2.D答案：C5．(2011．上海春高考)若n s 为等比数列}{n a 的前n 项和，,082=+as a 则=36s s 答案：-7 课堂设计 方法备考题型一 等比数列有关基本量的计算【例1】已知}{n a 为等比数列，,320,2423=+=a a a 求}{n a 的通项公式， 题型二 等比数列的判定与证明【例2】已知数列}{n a 和}{n b 满足：432,11-+==+n a a a n n λ，n n b )1(-=),213(+-n a n 其中A 为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数⋅,λ数列}{n a 不是等比数列；(2)证明：当18-=/λ时，数列}{n b 是等比数列，答案：C3．（2010．全国I ）已知各项均为正数的等比数列*}{a 中，,10,5987321==a a a a a a 则=654a a a ( ) 25.A 7.B 6.C 24.D答案：A4．(2010．广东高考)已知数列}{n a 为等比数列，n s 是它的前n 项和，若,2.132a a a =且4a 与72a 的等差中项为,45则=5s ( ) 35.A 33.B 31.C 29.D答案：C5．(2010．辽宁高考)设}{n a 是由正数组成的等比数列，其前n 项和．若,7,1342==S a a 则=5s ( )215.A 431.B 433.C 217.D 答案：B高效作业 技能备考一、选择题1．（2011．菱湖模拟）在等比数列}{n a 中，,21=a 前n 项和为,n s 若数列}1{+n a 也是等比数列，则n s 等于 ( )n A 2. n B 3. 13.-n C 12.1-+n D答案：A2．（2010．安徽高考）设}{n a 是任意等比数列，若它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，y ，Z ，则下列等式中恒成立的是 ( )Y Z X A 2.=+ )(2)(.X Z X Y Y B -=- XZ Y C =2. )()(.X Z X X Y Y D -=- 答案：D3．（2011．广东汕头模拟）记等比数列}{n a 的前n 项和为n s 若,18,263==S s 则510s s等于( ) 3.-A 5.B 31.-c 33.D答案：D4．（2011．天津和平区质检）在正项等比数列}{n a 中，<+1n a ,5,6,6482=+=⋅a a a a a n 则75a a等于( ) 65.A 56.B 32.C 23.D 答案：D5．（2011．天津滨海新区五校联考）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比,1=/q 设=+=Q a a p ),log (log 2175.055.0,2log 935.0a a +P 与Q 的大小关系是( ) Q P A ≥. Q P B <. Q p c ≤. Q P D >.答案：D6．（2011．杭州联考）等比数列}{n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件,011,01,110099100991<-->->a a a a a 给出下列结论：i q 10<<①;0110199<-a a ②100T ③的值是n T 中最大的；④使1>n T 成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是( )①②④.A ②④.B ①②.c ①②③④.D二、填空题7．若数列*}{a 满足；),(2,111⋅∈==+N a a a n n π则=5a ；前8项的和=8s （用数字作答） 答案：16 2558．设等比数列}{n a 的公比,21=q 前n 项和为,n s 则=44a S 答案：159．设}{n a 是公比为q 的等比数列，,1||>q 令=+=n a b n n (1,...),2,1若数列}{n b 有连续四项在集合,19,23,53{--}82,37中，则=q 6答案：-9三、解答题10．（2011．课标全国卷）已知等比数列}{n a 中，,311=a 公比⋅=31q n s )1(为}{n a 的前n 项和，证明：;21n n a s -= (2)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}{n b 的通项公式．11．(2010．陕西高考)已知}{n a 是公差不为零的等差数列，,11=a 且931,,a a a 成等比数列，(1)求数列}{n a 的通项；(2)求数列}2{n a 的前n 项和⋅n s12. (2011．安徽高考)在数l 和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作,n T 再令.1,lg ≥=n T a n n(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设,tan tan 1+⋅=n n n a a b 求数列}{n b 的前n 项和⋅n s。
2020届高三理数一轮讲义：6.3-等比数列及其前n项和(含答案)
[微点提醒] 1
1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}， an 也是等比数列. 2.由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0.
3.在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止
② 得 1－q＝3，即 q＝－2，代入①式可得 a1＝1，
①
所以 a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
(2)设数列{an}首项为 a1，公比为 q(q≠1)，
则
S3＝a1（11－－qq3）＝74， S6＝a1（11－－qq6）＝643，解得
a1＝14， q＝2，
所以 a8＝a1q7＝14×27＝32.
由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1， 得 an＋1＝λan＋1－λan， 即 an＋1(λ－1)＝λan， 由 a1≠0，λ≠0 得 an≠0，所以aan＋n1＝λ－λ 1.
因此{an}是首项为1－1 λ，公比为λ－λ 1的等比数列，
λ n－1 于是 an＝ 1 λ－1 .
1－λ
λn (2)解 由(1)得 Sn＝1－ λ－1 .
1－a (4)数列{an}为等比数列，则 S4，S8－S4，S12－S8 成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q≠0. (2)若 a＝0，b＝0，c＝0 满足 b2＝ac，但 a，b，c 不成等比数列. (3)当 a＝1 时，Sn＝na. (4)若 a1＝1，q＝－1，则 S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
率为( )
3
A. 2f
3
B. 22f
12
C. 25f
第三节 等比数列及其前n项和
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=
1 an
,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)当n=1时,由6a1+1=9a1,
得a1= 1 .
3
当n≥2时,由6Sn+1=9an,
得6Sn-1+1=9an-1,
两式相减得6(Sn-Sn-1)=9(an-an-1), 即6an=9(an-an-1), ∴an=3an-1.
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考点三 等比数列的判定与证明
典例3
设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=
3 2
,a3=
5 4
,且当n≥2
时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.
(1)求a4的值;
(2)证明:
an1
1 2
an
为等比数列.
解析 (1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,
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∴数列{an}是首项为
1 3
,公比为3的等比数列,其通项公式为an=
1 3
×3n-1=3n-2.
(2)∵bn=
1 an
=
1 3
n2
,
∴{bn}是首项为3,公比为
1 3
的等比数列,
∴Tn=b1+b2+…+bn=
3
1
1
1 3 1
n
=
9 2
1
1 3
n
.
3
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第三节 等比数列及其前n项和
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2021版新高考数学：等比数列及其前n项和含答案
即病毒共复制了13次．∴所需时间为13×3＝39(秒).](对应学生用书第106页)考点1等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1、a n、q、n、S n、已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时、注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．1.设S n为等比数列{a n}的前n项和、已知3S3＝a4－2、3S2＝a3－2、则公比q＝()A．3B．4C．5D．6∴q ＝－12或q ＝1. ∴a 2＝a3q ＝－3或32.]4．(20xx·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中、a 1＝1、a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和、若S m ＝63、求m . [解] (1)设{a n }的公比为q 、由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2、解得q ＝0(舍去)、q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N ＋). (2)若a n ＝(－2)n －1、则S n ＝1－（－2）n 3. 由S m ＝63得(－2)m ＝－188、 此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1、则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64、解得m ＝6. 综上、m ＝6.抓住基本量a 1, q 、借用方程思想求解是解答此类问题的关键、求解中要注意方法的择优．考点2 等比数列的判定与证明故⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n 是首项为12、公差为34的等差数列． ∴an 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14、 故a n ＝(3n －1)·2n －2.(20xx·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1、b 1＝0、4a n ＋1＝3a n －b n ＋4、4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列、{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．[解] (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )、即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n ). 又因为a 1＋b 1＝1、所以{a n ＋b n }是首项为1、公比为12的等比数列． 由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8、即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1、所以{a n －b n }是首项为1、公差为2的等差数列． (2)由(1)知、a n ＋b n ＝12n －1、a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12、 b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12. 考点3 等比数列性质的应用。
高三一轮复习第五章 第三节等比数列及其前n项和
课时作业1．(2022·三明月考)若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n－2，则S8等于( ) A．255 B．256C．510 D．511【解析】 当n＝1时，a1＝2a1－2，据此可得：a1＝2，当n≥2时：S n＝2a n－2，S n－1＝2a n－1－2，两式作差可得：a n＝2a n－2a n－1，则：a n＝2a n－1，据此可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为：S8＝2×（1－28）1－2＝29－2＝512－2＝510．故选C．【答案】 C2．等比数列{a n}中，其公比q<0，且a2＝1－a1，a4＝4－a3，则a4＋a5等于( ) A．8 B．－8C．16 D．－16【解析】 q2＝a3＋a4a1＋a2＝4，q＝－2．a4＋a5＝(a3＋a4)q＝－8．【答案】 B3．(2022·湛江二模)已知递增的等比数列{a n}中，a2＝6，a1＋1、a2＋2、a3成等差数列，则该数列的前6项和S6＝( )A．93 B．189C．18916D．378【解析】 设数列的公比为q，由题意可知：q>1，且：2(a2＋2)＝a1＋1＋a3，即：2×(6＋2)＝6q＋1＋6q，整理可得：2q2－5q＋2＝0，则q＝2，(q＝12舍去)．则：a1＝62＝3，该数列的前6项和S6＝3×（1－26）1－2＝189．故选B．【答案】 B4．(2022·贵阳一中模拟考试)已知各项均为正数的等比数列{a n}，前3项和为13，a3＝a2·a4，则a4＝( )A．13B．19C．1 D．3 【解析】 ∵a3＝a2a4，又a n＞0，∴a3＝1，S3＝a3q2＋a3q＋1＝13，又q＞0，∴q＝13，∴a4＝a3q＝13，【答案】 A5．(2022·贵州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝32，S3＝214，则数列{a n}的公比为( )A．2或12B．－2或－12C．－12或2 D．12或－2【解析】 设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝a1q＝32，S3＝a1(1＋q＋q2)＝214，两式相除得（1＋q＋q2）q＝72，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝12或2．故选A．【答案】 A6．(2022·安徽淮北模拟)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )A．－2120B．－2C．－2110D．－215【解析】 由题意可知设这5个数分别为a，－2a，4a，－8a，16a，a≠0，故奇数项和与偶数项和的比值为a＋4a＋16a－2a－8a＝－2110．【答案】 C7．(2022·大庆二模)已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝( )A．16 B．8C．4 D．2【解析】 各项均不为0的等差数列{a n}，2a3－a27＋2a11＝0∴4a7－a27＝0，∴a7＝4b1·b13＝b27＝a27＝16．故选A【答案】 A8．(2022·山西晋中一模)已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝16，2a2＋a3＝a4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100等于( )A．11 000 B．5 050C．5 000 D．10 000【解析】 设等比数列{a n}的公比为q，因为等比数列{a n}的各项均为正数，所以q＞0，因为2a2＋a3＝a4，所以2a2＋a2q＝a2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因为2a1＋3a2＝16，即2a1＋3a1q＝16，解得a1＝2，所以通项公式为a n＝a1q n－1＝2×2n－1＝2n，所以log2a n＝log22n＝n，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100＝1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）×1002＝5050．故选B．【答案】 B9．(多选)(2022·广东肇庆模拟)已知数列{a n}是等比数列，公比为q，前n项和为S n，下列判断错误的有( )A．{1a n}为等比数列B．{log2a n}为等差数列C．{a n＋a n＋1}为等比数列D．若S n＝3n－1＋r，则r＝－1 3【解析】 令b n＝1a n，则b n＋1b n＝a na n＋1＝1q(n∈N＋)，所以{1a n}是等比数列，选项A正确；若a n＜0，则log2a n无意义，所以选项B错误；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，所以选项C 错误；若S n ＝3n －1＋r ，则a 1＝S 1＝1＋r ，a 2＝S 2－S 1＝3＋r －(1＋r )＝2， a 3＝S 3－S 2＝9＋r －(3＋r )＝6， 由{a n }是等比数列，得a 2＝a 1a 3，即4＝6(1＋r )，解得r ＝－13，所以选项D 正确．故选BC ．【答案】 BC10．(多选)(2022·浙江镇海中学模拟)设{a n }为等比数列，设S n 和T n 分别为{a n }的前n 项和与前n 项积，则下列选项正确的是( )A ．若S 2023≥S 2 022，则{S n }不一定是递增数列B ．若T 2 024≥T 2 023，则{T n }不一定是递增数列C ．若{S n }为递增数列，则可能存在a 2 022＜a 2 021D ．若{T n }是递增数列，则a 2 022＞a 2 021一定成立【解析】 对于选项A ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，S 2 023＝1，S 2 022＝0，S 2 021＝1，满足S 2 023≥S 2 022，但S 2 021＞S 2 022， 所以{S n }不是递增数列，故选项A 正确；对于选项B ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，T 2 023＝－1，T 2 024＝1，T 2 026＝－1，满足T 2 024≥T 2 023，但{T n }不是递增数列，故选项B 正确；对于选项C ，当{a n }为：1，12，14，18，…，时，S n ＝1－12n1－12＝2(1－12n )，满足{S n }为递增数列，此时a 2 022＝122 021＜a 2 021＝122 020，故选项C 正确； 对于选项D ，当{a n }为：2，2，2，…，时， T n ＝2n ，满足{T n }是递增数列，但是a 2 022＝a 2 021＝2，故选项D 不正确． 【答案】 ABC11．(2022·北京海淀高三上期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若－S 1、S 2、a 3 成等差数列，则数列{a n }的公比为________．【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，－S 1、S 2、a 3成等差数列，所以2S 2＝－S 1＋a 3，则2(a 1＋a 2)＝－a 1＋a 3，因此3a 1＋2a 2＝a 3，所以q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1． 【答案】 3或－112．(2022·新乡三模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N )．【解析】 很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得：S 3S 6＝a 1（1－q 3）1－qa 1（1－q 6）1－q＝11＋q 3＝89，解得：q ＝12，则：a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12．【答案】 －1213．(2022·石家庄二模)已知前n 项和为S n 的等比数列{a n }中，8a 2＝a 3a 4，S 5＝a 6－4． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：14≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n <12．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1， 由8a 2＝a 3a 4有q 3＝a 3a 4a＝8，可得q ＝2， 又由S 5＝a 6－4，有a 1（1－25）1－2＝32a 1－4，解得a 1＝4，有a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1． (2)证明：由1an ＝(12)n ＋1，可得1a1＋1a2＋…＋1a n＝14[1－(12)n]1－12＝12－12n＋1，又n∈N*，所以12－12n＋1<12；而12－12n＋1显然随n的增大而增大，所以12－12n＋1≥14，因此14≤1a1＋1a2＋…＋1a n<12．14．(2022·威海市高三模拟)已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【解】 (1)∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，所以a2＝4．又∵2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a2＝2a1·(a3＋1)，即a2＝2(a2－d)·(a2＋d＋1)，解得，d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故a n＝3n－2．(2)b n＝a n3n＝3n－23n＝(3n－2)·13n，∴T n＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n－2)×13n，①①×13得13T n＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n－5)×13n＋(3n－2)×13n＋1．②①－②得2 3 T n＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋ (3)13n－(3n－2)×13n＋1＝13＋3×132（1－13n－1）1－13－(3n－2)×13n＋1＝56－12×13n－1－(3n－2)×13n＋1，∴T n＝54－14×13n－2－3n－22×13n＝54－6n＋54×13n．。
2021版新高考数学一轮复习讲义：第五章第三讲 等比数列及其前n项和 (含解析)
第三讲 等比数列及其前n 项和ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 等比数列的概念 (1)等比数列的定义如果一个数列__从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q __表示．符号语言：__a n ＋1a n＝q __(n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么__G __叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝__ab __.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab >0时，a 、b 才有等比中项，且有互为相反数的两个．知识点二 等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝__a 1q n －1__＝__a m q n －m __.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧__na 1__，q ＝1，__a 1(1－q n )1－q __(＝__a 1－a n q1－q __)，q ≠1. 知识点三 等比数列的主要性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和{pa nqb n}(其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列．当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．(5)等比数列{a n }的单调性①满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．②满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．③当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．④当q <0时，{a n }为摆动数列．重要结论1．等比数列的概念的理解(1)等比数列中各项及公比都不能为零．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n ；若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .(5)若{a n }是等比数列，且a n >0(n ∈N *)，则{log a a n }(a >0且a ≠1)成等差数列，反之亦然． (6)若{a n }是等差数列，则{aa n }(a >0，a ≠1)成等比数列，反之亦然．(7)三个数成等比数列可设三数为bq ，b ，bq ，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为b q 3，bq，bq ，bq 3.2．等比数列前n 项和公式的推导方法__错位相减法__.双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列命题不正确的是( ABCD )A ．满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列B ．如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列C ．如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列D ．数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列 题组二 走进教材2．(必修5P 54A 组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__12,48__.[解析] 设该数列的公比为q ，由题意知，192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.3．(必修5P 62B 组T2改编)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝__－(－12)n －1__.[解析] 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－1×(－12)n －1＝－(－12)n －1.题组三 考题再现4．(2018·北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D ) A ．32f B ．322f C ．1225f D ．1227f[解析] 本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应用． 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f ，故选D ．5．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( C )A ．16B ．8C ．4D ．2[解析] 设数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝3a 3＋4a 1，得a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，得q 4－3q 2－4＝0，令q 2＝t ，则t 2－3t －4＝0，解得t ＝4或t ＝－1(舍去)，所以q 2＝4，即q ＝2或q ＝－2(舍去)．又S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.故选C ．6．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝__1213__. [解析] 解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13(1－35)1－3＝1213.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 等比数列的基本运算——自主练透例1 (1)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( A )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里(3)(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝__58__.(4)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 4＝5S 2，则a 6＝__16或－16__. [解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4(14×q 3－1)，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，即q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12，故选C ．(2)由题意得，将该人每天所走的路程依次排列，形成一个公比为12的等比数列，记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1[1－(12)6]1－12＝378，解得a 1＝192，所以a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里，故选A ．(3)解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1及S 3＝34，易知q ≠1.把a 1＝1代入S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝34，得1＋q ＋q 2＝34，解q ＝－12，所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1×[1－(－12)4]1－(－12)＝58. 解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34，a 1＝1，所以1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以a 4＝a 1·q 3＝(－12)3＝－18，所以S 4＝S 3＋a 4＝34＋(－18)＝58.解法三：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝A (1－q n )(其中A 为常数)，则a 1＝S 1＝A (1－q )＝1 ①，S 3＝A (1－q 3)＝34 ②，由①②可得A ＝23，q＝－12.所以S 4＝23×[1－(－12)4]＝58.(4)设等比数列的公比为q ，由a 3＝2知：若q ＝1，则S 4＝8，而5S 2＝20，不合题意．∴q ≠1，∴a 1(1－q 4)1－q ＝5a 1(1－q 2)1－q，解得q ＝2或－2.当q ＝2时，a 6＝a 3·q 3＝16，当q ＝－2时，a 6＝a 3q 3＝－16，即a 6＝16或－16. 名师点拨 ☞等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a 1，q 的方程组求解，体现了方程思想的应用．特别提醒：在使用等比数列的前n 项和公式时，q 的值除非题目中给出，否则要根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．考点二 等比数列的判定与证明——师生共研例2 已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：{1a n －1}是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列{1a n }的前n 项和T n .[解析] (1)记b n ＝1a n－1，则b n ＋1b n ＝1a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n －11a n－1＝2a n ＋1－3a n3－3a n ＝1－a n 3(1－a n )＝13，又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以{1a n －1}是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n －1＝12·(13)n －1，即a n ＝2·3n －11＋2·3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －11＋2·3n －1.(2)由(1)知，1a n －1＝12·(13)n －1，即1a n ＝12·(13)n －1＋1. 所以数列{1a n }的前n 项和T n ＝12(1－13n )1－13＋n ＝34(1－13n )＋n .名师点拨 ☞等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中． 〔变式训练1〕(1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( D ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列(2)(2018·课标全国Ⅰ，17)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .①求b 1，b 2，b 3；②判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； ③求{a n }的通项公式．[解析] (1)设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8，即a 26＝a 3·a 9. (2)①由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.②{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． ③由②可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.考点三 等比数列性质的应用——多维探究角度1 等比数列项的性质的应用例3 (1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则a 2a 16a 9的值为( B )A ．－2＋22B ．－ 2C ．2D ．－2或 2(2)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝__5__.[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.故选B ．(2)由题意知a 1a 5＝a 23＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2.所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25.所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.名师点拨 ☞(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．角度2 等比数列前n 项和的性质例4 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝__2__.(2)(2020·浙江丽水模拟)已知各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 3＝10，S 9＝70，那么S 12＝( A )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50[分析] (2)可将S 3，S 9用a 1和公比q (显然q ≠1)表示，解方程组求出a 1、q 进而可求S 12；但利用S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列运算简便；注意到S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)＝a 11－q －a 11－q·q n，故可设S n ＝A －Aq n 求解． [解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)解法一：设等比数列的公比为q ，显然q ≠1， 又S n ＝a 1(1－q n )1－q，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝q 6＋q 3＋1＝7.∴q 3＝2或－3(舍去)． 又S 12S 3＝1－q121－q 3＝1－(q 3)41－q 3＝15. ∴S 12＝15S 3＝150.故选A ．解法二：∵S 9＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9) ＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3＝S 3(1＋q 3＋q 6)，∴10(q 6＋q 3＋1)＝70，∴q 3＝2或－3(舍去)， ∴S 12＝S 9＋q 9S 3＝70＋80＝150.故选A ．解法三：由等比数列的性质知S 3、S 6－S 3、S 9－S 6、S 12－S 9是等比数列，∴(S 6－10)2＝10(70－S 6)，解得S 6＝30或－20(舍去)，又(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)(S 12－S 9)，即402＝20(S 12－70)，解得S 12＝150.故选A ．解法四：设等比数列前n 项和为S n ＝A －Aq n ，则⎩⎪⎨⎪⎧A (1－q 9)＝70，A (1－q 3)＝10，两式相除得1＋q 3＋q 6＝7， 解得q 3＝2或－3(舍去)，∴A ＝－10. ∴S 12＝－10(1－24)＝150.故选A ．[引申]本例(2)中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？ [解析] 由本例解法一知q 3＝2或－3， 当q 3＝2时，S 12＝S 9＋q 9S 3＝70＋80＝150；当q 3＝－3时，S 12＝S 9＋q 9S 3＝70－270＝－200.故选C ． 名师点拨 ☞(1)等比数列前n 项和的性质主要是：若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列． (2)利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口．(3)注意等比数列前n 项和公式的变形．当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n ，即S n＝A －Aq n (q ≠1)．(4)S 2n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n (1＋q n ＋q 2n )，…. 〔变式训练2〕(1)(角度1)在等比数列{a n }中，若a 3＝4，a 9＝1，则a 6＝__±2__，若a 3＝4，a 11＝1，则a 7＝__2__.(2)(角度1)(2020·内蒙古呼和浩特一中摸底)已知数列{a n }是递减的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2·a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( B )A ．8－12n －3B ．16－12n －4C ．2n －3－8D ．16－2n －3(3)(角度2)(2020·吉林统考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝( C )A ．13B ．13或12C ．3D ．3或－2[解析] (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 3，a 6，a 9组成的新数列的公比为q 3.若a 3＝4，a 9＝1，则a 26＝4，a 6＝±2，合题意； a 3，a 7，a 11组成的新数列的公比为q 4，由a 3＝4，a 11＝1，得a 27＝4，当a 7＝2时，q 4＝12，合题意，当a 7＝－2时，q 4＝－12，不合题意，舍去．(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝8，∴a 1·a 4＝8，又a 1＋a 4＝9且数列{a n }是递减数列，∴a 1＝8，a 4＝1，∴q 3＝18，∴q ＝12，∴S n ＝8(1－12n )1－12＝16－12n －4，故选B ．(3)不妨设S 4＝1，则S 12＝7， ∵S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， ∴(S 8－1)2＝7－S 8，解得S 8＝3或－2， 又S 8＝(1＋q 4)S 4>0，∴S 8＝3，∴S 8S 4＝3.故选C ．另解：由题意S 12S 4＝(1＋q 4＋q 8)S 4S 4＝1＋q 4＋q 8＝7即q 8＋q 4－6＝0，∴q 4＝2或－3(舍去)，∴S 8S 4＝(1＋q 4)S 4S 4＝1＋q 4＝3，故选C ．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升等差、等比数列的综合运用例5 (2020·重庆巴蜀中学期中)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，{b n }为各项均为正数的等比数列，b 1＝2，且b 2＋S 2＝7，a 2＋b 3＝10.(1)求a n 与b n ；(2)定义新数列{C n }满足C n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，(n 为奇数)b n ，(n 为偶数)(n ∈N *)求{C n }前20项的和T 20.[分析] (1)用等差、等比数列基本公式求解； (2)分组求和即可．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2q ＋2＋d ＝7，1＋d ＋2q 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－1d ＝7(舍去)，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，b n ＝b 1q n －1＝2n .(2)由题意知C n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)，2n (n 为偶数).∴T 20＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋…＋C 19＋C 20 ＝1＋22＋3＋24＋…＋19＋220 ＝(1＋3＋…＋19)＋(22＋24＋…＋220) ＝10(1＋19)2＋4(1－410)1－4＝100＋43(410－1)．[引申](1)本例中数列{C n}的前n 项和T n＝__⎩⎨⎧n 24＋43(2n－1)(n 为偶数)，(n ＋1)24＋43(2n －1－1)(n 为奇数).__.(2)本例中若C n ＝a n ·b n ，则{C n }的前n 项和T n ＝__(n －1)·2n ＋1＋2__.[解析] (1)当n 为偶数时T n ＝＋＝n 24＋4(1－4n 2)1－4＝n 24＋43(2n－1)．当n 为奇数时T n ＝＝(n ＋1)24＋4(1－4n -12)1－4＝(n ＋1)24＋43(2n －1－1)．∴T n＝⎩⎨⎧n 24＋43(2n－1)(n 为偶数)，(n ＋1)24＋43(2n －1－1)(n 为奇数).(2)T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ① 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1② ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 名师点拨 ☞(1)若{a n }，{b n }分别为等差、等比数列，则求{a n ·b n }前n 项和时用“错位相减法”． (2)求奇数项与偶数项表达式不同的数列的前n 项和一般用分组求和法．(注意当n 为偶数时，奇数项、偶数项都是n2项；当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项为n －12项)需对n 进行分类讨论求解．〔变式训练3〕(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．[解析] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，即b n ＋1b n ＝13.因此数列{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1－(13)n1－13＝32－12×3n －1.。
高考数学第一轮复习-第6章 第3讲 等比数列及前n项和
高考数学第一轮复习 第3讲 等比数列及前n 项和 考点一 等比数列的概念及运算知识点1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q 叫做等比数列的公比．2 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 3 等比数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)，其中a 1是首项，q 是公比．通项公式的变形：a n ＝a m ·q n －m . 4 等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1).5 等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列．注意点 等差中项与等比中项的区别两个数的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个.入门测1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列. ( )(2)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127D ．1283．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则该等比数列的公比q 为( )A.14B.12 C ．2D ．8[考法综述] 通过等比数列的通项公式，前n 项和公式等考查，a 1，a n ，n ，q ，S n 之间的运算关系．通过等比数列的概念考查判断数列为等比数列的方法．命题法1 等比数列的基本运算典例1 (1)在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3(2)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．【解题法】 等比数列的基本运算方法(1)等比数列可以由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行．(2)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题．(3)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，xq ，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，xq ，xq, xq 3，…(注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．命题法2 等比数列的判定与证明典例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解题法】 等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定．1.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．842．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2D.n (n －1)24．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公比q ＝2，S k ＋2－S k ＝48，则k 等于( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．45．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.7．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.9.已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．考点二 等比数列的性质及应用知识点等比数列及其前n 项和的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列． (6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .注意点 使用性质解题时的注意事项(1)在使用等比数列及其前n 项和的性质时，要注意字母间的上标、下标的对应关系． (2)在等比数列中，若a m ·a n ＝a p ·a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则不一定有m ＋n ＝p ＋q 成立．如{a n }是非零常数列时，此结论就不成立.入门测1．思维辨析(1)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)若{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) (4)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )2．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 4a 10＝16，则a 6＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．83．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________.[考法综述] 等比数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法 等比数列性质的应用典例 (1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558(2)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式a n＝________.【解题法】 等比数列性质的应用问题(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．1.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．32．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83D ．33.已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( ) A ．512 B ．256 C ．81D ．164．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．5．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．6．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b }的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和S n.设四个实数成等比数列，其积为16，中间两项的和为5，则公比为________．课时练基础组1.在数列{a n}中，a n≠0，“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分与不必要条件2．等比数列{a n}中，a1＝3，a4＝24，则a3＋a4＋a5＝()A．33B．72C．84 D．1893．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝5，S m＝－11，S m＋1＝21，则m＝()A．3 B．4C．5 D．64.等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12 B．10C．8 D．2＋log355．已知等比数列{a n}满足a n>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)26．]各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于() A．80 B．30C．26 D．167．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a9成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则S11－S9S7－S6＝________.8．若数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1＝12a n(n∈N*)，其前n项和为S n，则S4a4＝________.9．若等比数列{a n}满足a m－3＝4且a m a m－4＝a24(m∈N*且m>4)，则a1a5的值为________．10．已知公比为2的等比数列{a n}中，a2＋a5＋a8＋a11＋a14＋a17＋a20＝13，则该数列前21项的和S21＝________.11．已知正项等比数列{a n}中，2a1＋a2＝a3,3a6＝8a1a3.(1)求数列{a}的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n －n log 23，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋1的前n 项和T n .12．已知a <b ，且满足a 2－a －6＝0，b 2－b －6＝0，数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝－6a ，a n ＋1＝6a n －9a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－ba n (n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n .能力组13.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152B.314C.334D.17214．数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2015110，则a 21＝______.15已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．16.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)设b n ＝a nn 2，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝a n ＋1－2a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .。
高考数学总复习(整合考点+典例精析+深化理解)第五章 第三节等比数列及其前n项和精讲课件 文
解析(jiě xī)：(1)由等比中项的性质知a3a13＝a5a11＝3，又a3＋a13＝4，
∴a3，a13是方程(fāngchéng)x2－4x＋3＝0的两根，解得a3＝ 3，a13＝1或a3＝1，a13＝3，
(2)由已知得q＝2，a1q2－a1＝6，解得a1＝2.
∴an＝2×2n－1＝2n，
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变式探究
(tànjiū)
1．(1)(2012·南宁适应性测试)已知数列(shùliè){an}是正项等比 数列(shùliè)，若a2＝2,2a3＋a4＝16，则数列(shùliè){an}的通 项公式an＝( )
A．2n－2 B．22－n C．2n－1 D．2n
(2)(2012·泉州四校联考)数列(shùliè){an}满足a1 ＝1，log2an＋1＝ log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是
是首项为 ，公比为 的等比数列(shùliè)
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【例3】 数列(shùliè){an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1 ＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列(shùliè)；
(2)设cn＝
，求证：{cn}是等比数列(shùliè)．
(2)由 当n≥2时，
＝an＋1得，
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两式相减得：n≥2时， ＝an＋1－an＝2. ∴cn＝2bn＝2·3n－1(n≥2)． 又当n＝1时，＝a2，∴c1＝3. ∴cn＝ ∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013＝3＋ ＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.
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是等比数列(děnɡ bǐ shùliè)，
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第三节等比数列及其前n项和
1.等比数列的定义
(1)条件：一个数列从第2项起________________________等于同一个常数.
(2)公比：是指_______，通常用字母q表示(q≠0).
(3)定义表达式:_____________________.
【即时应用】
判断下列数列是否为等比数列(请在括号中填“是”或“否”) （1）数列1,-1,1,-1,1,…( )
（2）数列a,a,a,a,a,…( )
（3）数列{an}满足an=2an-1(n≥2,n∈N*,an≠0) ( ) （4）数列{an}满足an+1=2an(n≥2,n∈N*,an≠0) ( )
2.等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则其通项公式为
________________.
【即时应用】
(1)等比数列
的第11项为_______.
(2)在等比数列{an}中，若a3=2,a6=16，则数列的通项公式
为_________.
3.等比中项
如果_______成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒__________
4.等比数列的前n 项和公式
(1)当公比q=1时,Sn=______
(2)当公比q ≠1时,Sn=________=________
【即时应用】
(1)在等比数列{an}中，a1=2.4,q=-1.5,n=5，则Sn=_______.
(2)在等比数列{an}中，a1=8, 则Sn=_______;
(3)设等比数列{an}的公比q=2,前n 项和为Sn ，则 =______.
【例1】(1)已知{an}是各项都为正数的等比数列,Sn 是{an}的前n 项和,若a1=1,5S2=S4，则a5=_______.
(2)（2011·大纲版全国卷）设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a2=6,6a1+a3=30,求an 和Sn.
【变式备选】1.已知Sn 为等比数列{an}的前n 项和，Sn=93， an=48，公比q=2，则项数n=_______.
n 11q a 22==，，
检测题
1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )
A ．4·⎝⎛⎭
⎫32n B ．4·⎝⎛⎭⎫23n C ．4·⎝⎛⎭
⎫32n －1 D ．4·⎝⎛⎭⎫23n －1 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64
B ．81
C ．128
D ．243
4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12
，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.
5．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.
6.(2012·岳阳模拟)b2=ac 是a,b,c 成等比数列的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
7.（2011·广东高考）已知{an}是递增等比数列,a2=2, a4-a3=4，则此数列的公比q=_______.
8.(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若 a4=-4，则公比q=_______;|a1|+|a2|+…+|an|=_______.
8.已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数 列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.。