北师大版必修1 3.4.1.2对数的运算性质
北师大版高一数学必修一对数的运算性质说课稿
北师大版高一必修一对数的运算性质说课稿逐字稿尊敬的各位考官大家好，我是今天的01号考生，今天我说课的题目是对数的运算性质。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材《对数的运算性质》选自北师大版必修一第2章第二节，学生已经学习了对数的概念,为本节课做好了铺垫。
通过本节课的学习，又为以后学习换底公式和对数函数打下基础。
所以本节内容起着承上启下的作用。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，在学习本节课之前学生掌握了对数的概念，具有一定的分析、归纳的能力。
三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1、理解并掌握对数运算的性质，会进行简单的对数运算，进一步理解对数的概念和意义。
2、经历数学知识发生发展过程，体会数学知识的逻辑性和严密性，培养学生实事求是的科学精神3、通过对数的运算性质的推导以应用，培养学生数学运算素养和逻辑推理素养四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为对数运算性质的理解和应用。
教学难点为对数运算性质的推导和应用，尤其是公式的逆用。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：复习导入在这个环节中，我将提问学生，“同学们，对数的概念是什么？”“对数式与指数式是如何相互转化的？”我这样设计的意图是衔接新旧知识，提高学习效率，为之后的学习做铺垫。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4第2课时对数的运算性质及换底公式学案(含解析)北师大版必修1
第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。
北师大版数学必修1课件：3.4.1.2对数的运算性质
3 3
C.
1 2
D. 2
1 3 解析:选 A. f ( f (log 3 2)) f ( ) ． 2 3
1. 三条运算性质: 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么：
(1) loga (MN) = loga M + log a N;
n log M = n log a M(n (2) a
2
提升总结
对于底数相同的对数的化简,常用的方法是: 1.“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的 对数； 2.“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）．
loga x,loga y,loga z
例2.用 表示下列各式
2
(1) log a (x yz)
x2 (2) log a yz
x (3) log a 2 yz
你能用所学的知识证明你的结论吗？
证明： loga M loga N loga (MN)
证明：设 loga M p,loga N q,
q 则a p M,a p q N, (p q)
MN a a a
loga M loga N
loga (MN) loga a pq p q
2 3
( 1 2 lg x - 3lg y - lg z ____________________; 2
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设I为地震
时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为
r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I1和I2，
(3)a loga N N
log 2 4 2
北师大版高一数学必修1第三章《对数函数》
第三章 《对数函数》第1节 对数知识点1：对数的概念： 1、对数的概念一般地，如果a ()1,0≠>a a 的b 次幂等于N ，即N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式b N a =log 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R 。
2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =． 3．两种特殊的对数（1）通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．（2）以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系（1）由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． （2）对数恒等式：N aNa =log ；N a N a =log 。
()1,0≠>a a知识点2：对数的运算性质：已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的． 要点3、对数的换底公式及其推论1．换底公式：同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 2、推论：bN N a log 1log =．N mnN b nb m log log =（N ，b 大于零且不等于1） 例1：求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -； （2）(1)log (2)x x -+； （3）2(1)log (1)x x +-．例2：求下列各式中x 的值。
高中数学北师大版 必修一 对数的运算性质 课件
且 ≠ 1)吗？
设 = ，则 = ，于是 = .
根据性质③得 = ，即
=
= + −
= 2 +
1
2
−
1
.
3
① () = + ;
②
= − ;
③ = ( ∈ ).
方法小结
利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直
接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以
10或为底的对数，就能方便地求出这些对数.
活动3：
(1)利用计算工具求2, 3的近似值；
(2)根据对数的定义，你能利用2, 3的值求2 3的值吗？
积的乘方：
r
设 = , =
∵ = + ,
∴ = + .
根据对数与指数间的关系可得：
= , = , () = + = + .
这样，就得到了对数的一个运算性质：
① () = + .
于是，
1
2
= 1 − 2 = (4.8 + 1.5 × 9.0) − (4.8 + 1.5 × 8.0) = 1.5.
1
利用计算工具可得，
2
= 101.5 ≈ 32.
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却
高中数学北师大版必修1-4对数教案
对数教学目标：1、理解对数的定义及常用对数。
2、掌握对数的运算性质。
3、掌握换底公式及对数式变形，理解自然对数。
重点：对数的定义及对数的运算性质。
难点：换底公式及对数式变形 教学过程：一、对数及性质1、对数与指数的关系N x N a a x log =⇒=2、对数的性质① 和 没有对数，②1的对数是 ，即)1,1(1log ≠>=a a a 且③底数的对数是 ，即应用：1、指数式与对数式的转换()()()()()3001.0lg 5532log 41.010*********212117-=-====--a()()()1641864476log 6233=⎪⎭⎫⎝⎛==-x2、指数的性质()()()()()[]0lg log ln 31lg log 20)(log log 12335===x x x3、若的值求y x m y m x 24121,2log ,log +==4、的值求设n m a a a n m +==2,3log ,2log二、对数的运算 1、对数的运算性质()()()()===∙n a a a M NMN M log 3log 2log 12、换底公式及推论若c>0且c ≠1，则abb c c a log log log =（a>0，且a ≠1，b>0） 推论：()()()()=∙∙=∙==d c b a b a a c b a b a n a n a mnlog log log 4log log 3log 2log 1应用：1、对数运算性质()()()348log 348log 358log 932log 2log 2251lg 5lg 32lg 41223log 3335-++-+--+2、换底公式的应用：()()()()45log ,518,9log 28log 4log 2log 5log 25log 125log :13618125255842求已知计算==++∙++ba3、对数方程的求解()()()()()()()010lg lg 32log 12log 2)3(log 12log 13225522=-+-=+=+x x x x x x 、、4、已知()的值。
数学上学期(北师大版必修第一册)4.2.1对数的运算性质课件
=
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
二、对数运算性质的注意事项
1，只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立;
2，注意： ≠ ∙
a＋b
log185＋log189
a＋b
a＋b
x＝
＝
＝
＝
.
18
log1818＋log182 1＋log18
1＋1－log189 2－a
9
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一，对数的运算性质
1，log ∙ = log + log ；
2，log = log − log ；
1 2
log 1 ( 9 ) =
2 2
1 18
log 1 ( ) =
2 2
1
18log 1
22
= 18;
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P103练习
练习2：计算
(1)log 2 64 × 16 ；
(2)log 3 9 × 27 ；
(4)log 3 36 − log 3 12；
5
(5)log 7
(3)lg
2
3
1
−2
= lg 2 + lg − lg 3 = 2lg + lg − 3lg ;
(4)lg
2
3
= lg
1
−2
2
3
+ lg + lg =
1
− lg
2
2
3
+ lg +
高中数学第4章对数运算和对数函数2对数的运算课件北师大版必修第一册
(4)法一：原式＝lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝(lg 10)2＝
12345
5．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
81
[logab·log3a＝llgg
b lg a·lg
3a＝llgg
3b＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，
所以b＝34＝81.]
1234 5
[跟进训练] 1．求下列各式的值． (1)24＋log23；(2)12log312－log32；(3)lg25＋2lg2－lg22.
[解] (1)24＋log23＝24×2log23＝16×3＝48.
(2) 12log312－log32＝log3
12－log32＝log3
12 2
＝log3 3＝21 .
[跟进训练]
3．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝ 40，logxyzm＝12，求logzm的值．
[解] 由logxm＝24得logmx＝214，由logym＝40得logmy＝410，由
logxyzm＝12得logm(xyz)＝112，则logmx＋logmy＋logmz＝112. 所以logmz＝112－214－410＝610， 所以logzm＝60.
[解] 因为9b＝5， 所以log95＝b. 所以log3645＝lloogg994356＝lloogg9954× ×99＝lloogg9945＋＋lloogg9999＝ab＋＋11.
北师大版必修1 第3章 4 第2课时 对数的运算
第2课时 对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算性质思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案 有．例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m＝M ，a n＝N ，∴MN ＝a m·a n＝am ＋n，∴log a (MN)＝m ＋n ＝log a M＋log a N.得到的结论log a (MN)＝log a M ＋log a N 可以当公式直接进行对数运算． 梳理 如果a>0，a ≠1，M>0，N>0，则 (1)log a (MN)＝log a M ＋log a N. (2)log a M n＝nlog a M(n ∈R)． (3)log a MN ＝log a M －log a N.知识点二 换底公式思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e 为底)，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？ 答案 设法换为同底．思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝xlog 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？答案 把3x ＝5化为对数式为log 35＝x ， 又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论．梳理 对数换底公式为log b N ＝log a Nlog a b(a ，b>0，a ，b ≠1，N>0)．特别地：log a b·log b a ＝1(a>0，且a ≠1，b>0，且b ≠1)．1．log 2x 2＝2log 2x.( × )2．log a [(－2)×(－3)]＝log a (－2)＋log a (－3)．( × ) 3．log a M·log a N ＝log a (M ＋N)．( × )4．log x2＝1log2x.( √)类型一具体数字的化简求值例1 计算：(1)log345－log35；(2)log2(23×45)；(3)lg27＋lg8－lg 1000lg1.2；(4)log29·log38.考点对数的运算题点具体数化简求解对数值解(1)log345－log35＝log3455＝log39＝log332＝2log33＝2.(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)＝13log22＝13.(3)原式＝3333222278)lg10lg(3210)1212lg lg1010-⨯÷=3234312lg lg310210.12122lg lg1010⨯⎛⎫⎪⎝⎭===(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)＝2log23·3log32＝6·log23·1log23＝6.反思与感悟具体数的化简求值主要遵循2个原则：(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．(2)不同底化为同底．跟踪训练1 计算：(1)2log63＋log64；121(2)lg25lg100;4-⎛⎫-÷⎪⎝⎭(3)log43·log98；132.5(4)log 6.25e0.064+考点对数的运算题点 具体数化简求解对数值解 (1)原式＝log 632＋log 64＝log 6(32×4)＝log 6(62)＝2log 66＝2.(2)原式＝12225lg 1014⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪÷ ⎪ ⎪⎝⎭＝lg102÷10－1＝2×10＝20. (3)原式＝lg3lg4·lg8lg9＝lg32lg2·3lg22lg3＝34.(4)原式＝1322.5164log (2.5)21000⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝2＋12－410＝2110.类型二 代数式的化简 命题角度1 代数式恒等变形 例2 化简log ax2y 3z.考点 对数的运算 题点 指数对数的混合运算 解 ∵x 2y 3z >0且x 2>0，y>0，∴y>0，z>0. log ax2y 3z＝log a (x2y)－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a |x|＋12log a y －13log a z.反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lgx 2不一定等于2lgx ，反例：log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．要特别注意log a (MN)≠log a M·log a N ，log a (M±N)≠log a M±log a N. 跟踪训练2 已知y>0，化简log a xyz. 考点 对数的运算 题点 指数对数的混合运算解 ∵xyz>0，y>0，∴x>0，z>0. ∴log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝12log a x －log a y －log a z.命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数解 方法一 ∵log 189＝a,18b＝5， ∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 方法二 ∵log 189＝a,18b＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a.方法三 ∵log 189＝a,18b＝5， ∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，∴log 3645＝lg45lg36＝lg (9×5)lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a ＋b2－a.反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元． 跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256. 考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数 解 ∵log 23＝a ，则1a ＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.1．下列各等式正确的是( ) A ．log 23·lo g 25＝log 2(3×5) B ．lg3＋lg4＝lg(3＋4) C ．log 2xy ＝log 2x －log 2yD ．lg nm ＝1n lgm(m>0)考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 D解析 A ，B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义． 2．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b·log c b ＝log c a B ．log a b·log c a ＝log c b C ．log a (bc)＝log a b·log a c D ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c 考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 B解析 由log a b·log c b ＝lgb lga ·lgb lgc ≠log c a ，故A 错；由log a b·log c a ＝lgb lga ·lga lgc ＝lgblgc ＝log c b.C ，D 显然错误．故选B.3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b1－aD.a ＋2b 1－a考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数 答案 C解析 log 512＝lg12lg5＝lg (3×4)lg102＝lg3＋2lg21－lg2＝b ＋2a1－a.4．lg0.01＋log 216的值是________． 考点 对数的运算题点 具体数化简求解对数值 答案 2解析 lg0.01＋log 216＝－2＋4＝2.5．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值是________．考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 2解析 由已知得lga ＋lgb ＝2，lga·lgb＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga·lgb＝4－2＝2.1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简． 2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N)n，②log a (MN)＝log a M·log a N ，③log a M±log a N ＝log a (M±N).一、选择题1．下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a (M －N)＝log a M log a N ；③a nm -＝1m an；④(a m )n＝n m a ；⑤log n a b ＝－nlog a b.A ．2B ．3C ．4D ．5考点 对数的运算 题点 对数的运算性质答案 B解析 ①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确． 2.1411log 9＋1511log 3等于( )A ．lg3B ．－lg3 C.1lg3D ．－1lg3考点 对数的运算题点 具体数化简求解对数值 答案 C解析 原式＝log 1914＋log 1315＝12log 1314＋log 1315＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＋log 1315＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12×15 ＝log 13110＝lg 110lg13＝－1－lg3＝1lg3.3．化简log 58log 52等于( )A ．log 54B ．3log 52C ．2D ．3考点 对数的运算 题点 换底公式的应用 答案 D 解析log 58log 52＝log 28＝log 2(23)＝3. 4．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则用a ，b 表示lg15为( ) A ．b －a ＋1 B ．b(a －1) C ．b －a －1 D ．b(1－a)考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数 答案 A解析 lg15＝lg(3×5)＝lg3＋lg5＝lg3＋lg 102＝lg3＋1－lg2＝b －a ＋1.5．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25D.125考点 对数的运算 题点 换底公式的应用 答案 D解析 由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lgxlg6＝2，lgx ＝－2lg5，x ＝5－2＝125.6．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值是( )A ．log 26B ．log 36C ．2D ．1考点 对数的运算 题点 换底公式的应用 答案 C解析 原式＝(log 32)2＋2log 32·log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2. 二、填空题7．(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 考点 对数的运算题点 具体数化简求解对数值 答案 54解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 23＋1log 232＝56log 23·32log 23＝54. 8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________. 考点 对数的运算题点 具体数化简求解对数值 答案 1解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10) ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1.9．已知lg(x ＋2y)＋lg(x －y)＝lg2＋lgx ＋lgy ，则xy ＝________.考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 2解析 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y>0，x －y>0，x>0，y>0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x>y y>0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x>y ，y>0，(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0，∴xy＝2.10．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y ＝________.考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 1解析 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得 xlog 63＝ylog 64＝2，∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62， 故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1. 11．若x·log 32016＝1，则2016x＋2016－x＝________. 考点 对数的运算题点 指数对数的混合运算 答案103解析 方法一 ∵x·log 32016＝log 32016x＝1， ∴2016x ＝3，∴2016－x＝13.∴2016x ＋2016－x＝3＋13＝103.方法二 由x·log 32016＝1，得x ＝1log 32016＝log 20163，∴2016x＝ 2 016log 32 016＝3,2016－x＝12016x ＝13.∴2016x ＋2016－x＝3＋13＝103.12．若f(x)＝a12x -且f(lga)＝10，则a ＝________.考点 对数的运算 题点 指数对数的混合运算 答案 10或1010解析 f(lga)＝a1lg 2a -＝algaa＝10，∴a lga＝(10a)12，两边取常用对数， 得(lga)2＝12(1＋lga)，∴2(lga)2－lga －1＝0，解得lga ＝1或lga ＝－12，则a ＝10或a ＝1010. 三、解答题 13．计算：(1)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log31；(2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8.考点 对数的运算题点 具体数化简求解对数值解 (1)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋9×12－0 ＝14＋1＋92＝234. (2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝2lg2＋lg31＋12lg0.62＋13lg23 ＝2lg2＋lg31＋lg0.6＋lg2＝2lg2＋lg31＋(lg6－lg10)＋lg2 ＝2lg2＋lg3lg6＋lg2＝2lg2＋lg3(lg2＋lg3)＋lg2 ＝2lg2＋lg32lg2＋lg3＝1. 四、探究与拓展14．若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg5可以表示为( )A.3pq 1＋3pqB.1＋3pq 3pqC.pq 2＋3pqD.3pq 3＋2pq考点 对数的运算题点 用代数式表示对数答案 A解析 ∵log 83＝lg3lg8＝lg33lg2＝lg33(1－lg5)＝p ，① log 35＝lg5lg3＝q ，② 联立①②两式得lg5＝3pq 1＋3pq. 15．设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，其中c 为斜边，且c ≠1，求证：log (c ＋b)a ＋log (c －b)a ＝2log (c ＋b)a·log (c －b)a.考点 对数的运算题点 换底公式的应用证明 ∵a ，b ，c 是直角三角形的三边长，c 为斜边，∴log (c ＋b)a ＋log (c －b)a ＝1log a (c ＋b )＋1log a (c －b )＝log a (c －b )＋log a (c ＋b )log a (c ＋b )·log a (c －b )＝log a[(c－b)(c＋b)] 1log(c＋b)a·1log(c－b)a＝log a a2·log(c＋b)a·log(c－b)a ＝2log(c＋b)a·log(c－b)a，即等式成立．。
北师大版高中数学必修一：3.4对数.docx
高中数学学习材料唐玲出品[读教材·填要点]1．对数的概念与性质(1)定义：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b．其中a叫作对数的底数，N叫作真数．log a N读作以a为底N的对数．(2)常用对数与自然对数：以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N；以e为底的对数叫作自然对数，记作ln_N．(3)基本性质：①负数没有对数，即log a N中真数必须大于零；②1的对数为0，即log a1＝0；③底数的对数为1，即log a a＝1；④对数恒等式：a log a N＝N．2．对数的运算性质如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则： (1)积的对数：log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)商的对数：log a MN ＝log a M －log a N ；(3)幂的对数：log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数的换底公式log b N ＝log a Nlog a b(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．[小问题·大思维]1．指数式a b ＝N 和对数式log a N ＝b (a ＞0且a ≠1，N ＞0)有什么关系？ 提示：关系如图示2．如何用对数的定义证明a log a N ＝N?提示：因为若a b ＝N ，则b ＝log a N (a ＞0且a ≠1)，所以由等量代换得a log a N ＝N . 3．对数运算性质(1)当M 、N 同号时成立吗？ 提示：不一定成立．如lg [(－5)×(－3)]有意义， 而lg(－5)、lg(－3)无意义．[研一题][例1] (1)将对数式log 1327＝－3化为指数式；(2)将指数式(14)－2＝16化为对数式；(3)求式子log 2(log 5x )＝0中的x ； (4)计算412(log 29－log 25)．[自主解答] (1)因为log 1327＝－3，所以(13)－3＝27；(2)因为(14)－2＝16，所以log 1416＝－2；(3)因为log 2(log 5x )＝0，所以log 5x ＝1，所以x ＝5；(4)原式＝2log 29－log 25＝2log 292log 25＝95.[悟一法](1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式a b ＝N 等价于b ＝log a N (a ＞0且a ≠1，N ＞0)，要注意a 、b 、N 的位置．(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．(3)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意其结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．[通一类]1．(1)将指数式104＝10 000和(13)m ＝5化为对数式；(2)将对数式log 0.10.01＝2和ln x ＝12化为指数式；(3)求式log 3(lg x )＝1中的x ； (4)计算71－log75的值．解：(1)lg 10 000＝4, m ＝log 135； (2)0.12＝0.01, e 12＝x ；(3)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000； (4)原式＝77log 75＝75.[研一题][例2] 计算下列各式的值． (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；(3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.[自主解答] (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12；(2)原式＝32lg 3＋3lg 2－32lg 3＋2lg 2－1＝32（lg 3＋2lg 2－1）lg 3＋2lg 2－1＝32；(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.[悟一法]利用对数的运算性质化简、求值的一般策略：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．[通一类]2．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： (1)log a xy z ； (2)log a x 2y 3z.解：(1)log a xyz ＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log a x 2y 3z ＝log a (x 2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .[研一题][例3] (1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)． (2)设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b的值．[自主解答] (1)法一：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13.法二：原式＝(lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8)(lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125)＝(3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2)(lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5)＝(13lg 53lg 2)(3lg 2lg 5)＝13；(2)法一：由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436， ∴2a ＋1b ＝2log 363＋log 364 ＝log 369＋log 364 ＝log 3636＝1.法二：对已知条件取以6为底的对数， 得a log 63＝2，b log 62＝1，∴2a ＝log 63，1b ＝log 62.于是2a ＋1b＝log 63＋log 62＝log 66＝1.[悟一法](1)解决指数、对数的化简、求值时，一般通过指数、对数互化及换底公式，使所求式子的底数与已知条件中的底数统一，从而达到代入化简求值的目的．(2)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决． (3)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地说，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，在取对数时，要注意底数的合理选取．[通一类]3．(1)设log 1227＝a ，求证log 616＝4（3－a ）3＋a ；(2)已知14a ＝2，用a 表示log27.解：(1)法一：4（3－a ）3＋a ＝4（3－log 1227）3＋log 1227＝4log 1212327log 12（123×27）＝4log 1243log 12（43×36）＝log 12412log 12（43×36） ＝6log 12426log 12（2×3）＝log 1216log 126＝log 616， 故原式得证．法二：a ＝log 1227＝3log 312＝32log 32＋1，∴log 32＝32a －12，log 616＝4log 62＝4log 22log 26＝41＋log 23＝41＋2a 3－a＝4（3－a ）3＋a ；(2)∵14a ＝2，∴log 142＝a ，log27＝log 147log 142＝1－log 14212log 142＝1－a 12a ＝2－2a a .已知lg x ＋lg y ＝21g(x －2y )，求log 2xy 的值．[错解] 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以xy ＝(x －2y )2， 即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0， 解得x ＝y 或x ＝4y . 则x y ＝1或xy＝4， 所以log 2x y ＝log 21＝0或log 2xy＝log 24＝4.[错因] 错解中忽略了lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )成立的前提是⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，即x ＞2y ＞0，在求出x ，y 的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根．[正解] 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 因为x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，所以x ＝y 应舍去． 则x y ＝4，所以log 2xy＝log 24＝4.1．下列各式中正确的个数是( ) ①lg(lg 10)＝0；②lg(lne)＝0； ③若10＝lg x ，则x ＝10； ④若log 25x ＝12，则x ＝±5.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝lg 1＝0，∴①正确；∵lne ＝1.∴lg(lne)＝lg 1＝0，∴②正确；若10＝lg x ，则1010＝x ，∴③不正确；若log 25x＝12，则2512＝x ，∴x ＝5，④不正确．故只有①②正确． 答案：B2．下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x ，y ，z ＞0)( ) A ．lg(x 2y z )＝(lg x )2＋lg y ＋lg z B ．lg(x 2y z )＝z lg x ＋2lg y ＋2lg z C ．lg(x 2y z )＝2lg x ＋lg y －2lg z D ．lg(x 2y z )＝2lg x ＋lg y ＋12lg z解析：lg(x 2y z )＝lg x 2＋lg y ＋lg z ＝2lg x ＋lg y ＋12lg z .答案：D3．(2012·安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14B.12 C ．2D ．4解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：D4．已知ln x ＝a ，ln y ＝b ，则ln [x ·(ye)2]＝________．(用a ，b 表示)解析：由于ln [x ·(y e )2]＝ln x ＋ln (y e )2＝ln x 12＋2ln y e ＝12ln x ＋2ln y －2ln e ＝12a ＋2b －2.答案：12a ＋2b －25．log 332·log 227＝________．解析：原式＝log 325·log 233＝5log 32×3log 23 ＝15log 32·log 23＝15. 答案：156．计算下列各式： (1)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5lg 10·lg 0.1；(2)log a na ＋log a 1a n ＋log a 1na (a ＞0且a ≠1)．解：原式＝lg 23＋lg 53－lg 2－lg 5lg 1012·lg 10－1＝2（lg 2＋lg 5）－12＝－4lg 10＝－4.(2)法一：原式＝log a a 1n＋log a a －n＋log a a －1n＝log a a1n －n －1n＝log a a －n ＝－n .法二：原式＝log a (n a ·1a n ·1na)＝log a a －n ＝－n .一、选择题1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( ) A.13B.123C.122D.133解析：∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，即x ＝23＝8. ∴x －12＝122.答案：C2．已知lg x －lg y ＝a ，则lg(x 2)3－lg (y2)3＝( )A ．3a B.32a C ．aD.a 2解析：lg (x 2)3－lg (y 2)3＝3(lg x 2－lg y2)＝3[(lg x －lg 2)－(lg y －lg 2)]＝3(lg x －lg y )＝3a .答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， （x ＜2）log 31（x 2－1）， （x ≥2），则f (f (2))＝( ) A.2e 2 B ．2e 2 C ．2eD ．2解析：∵f (2)＝log 31（22－1）＝log 33－1＝－1.∴f (f (2))＝f (－1)＝2e －2＝2e 2.答案：A4．已知2m ＝7n ＝p ，1m －1n ＝4，则p 的值是( )A ．(27)4B ．(27)14C ．(72)4D ．(72)14解析：∵2m ＝7n ＝p ，∴m ＝log 2p ，n ＝log 7p . 又1m －1n ＝1log 2p －1log 7p ＝log p 2－log p 7＝log p 27＝4，∴p 4＝27.∴p ＝(27)14.答案：B 二、填空题5．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解为________．解析：由原方程得lg x (x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10， 即x 2＋3x －10＝0，解得x 1＝2, x 2＝－5 又x ＞0， ∴x ＝2. 答案：x ＝26．若a ＞0，a 23＝49，则log 23a ＝________．解析：∵a ＞0, a 23＝49，∴log a 49＝23，∴log a 23＝13，∴log 23a ＝3.答案：37．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y ＝________．解析：∵2x ＝3，∴x ＝log 23. ∵log 483＝y ，∴y ＝log 48－log 43＝log 28log 24－log 23log 24＝32－12log 23， ∴x ＋2y ＝log 23＋2(32－12log 23)＝3.答案：38．若10α＝2，β＝lg 3，则100α－12β＝________． 解析：法一：∵10α＝2，β＝lg 3，∴α＝lg 2， 100α－12β＝100lg 2－12lg 3＝(10lg 2)2·(10lg 3)－22＝22×3－1＝43.法二：∵10α＝2，β＝lg 3.∴10β＝3， 100α－12β＝100α·100－12β＝(10α)2·(10β)－1＝22×3－1＝43.答案：43三、解答题 9．(1)求值：2log 32＋log 2＋3(3－2)2－(log 22)2.(2)2013年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长率为8%，那么大约经过多少年后国民生产总值是2013年的两倍？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)解：(1)原式＝2log 29＋2log (2＋3)(2－3)－(12)2＝9－2－14＝274；(2)设经过x 年后国民生产总值是2011年的两倍． 经过1年，生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，生产总值为a (1＋8%)2， …，经过x 年，生产总值为a (1＋8%)x . 由题意得a (1＋8%)x ＝2a ，即1.08x ＝2. 两边取常用对数，得lg 1.08x ＝lg 2. 故x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2011年的两倍．10．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0. ∴t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.精心制作仅供参考唐玲出品 由已知a ，b 是原方程的两个根， 则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )(lg b lg a ＋lg a lg b) ＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2·lg a lg b lg a lg b＝2×22－2×1212＝12.即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。
北师大版41421对数的概念对数的运算性质课件(42张)
(3)解：①由 3－2＝91可得 log391＝－2.
②由
log1
3
9＝－2
可得13－2＝9.
③由 lg 0.001＝－3 可得 10－3＝0.001.
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
⑦lognax＝logan x；
⑧logaxx－ ＋yy＝－logaxx＋－yy.
其中式子成立的个数为( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
[审题路线图]对数的运算性质⇒化简求值．
解析：对于①，取 x＝4，y＝2，a＝2，则 log24·log22＝2×1＝2，而 log2(4＋2)＝log26≠2， ∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立； 对于②，取 x＝8，y＝4，a＝2， 则 log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2， ∴logax－logay＝loga(x－y)不成立； 对于③，取 x＝4，y＝2，a＝2，则 log2(4×2)＝log28＝3，而 log24·log22＝2×1＝2≠3， ∴loga(xy)＝logax·logay 不成立； 对于④，取 x＝4，y＝2，a＝2， 则lloogg2242＝2≠log224＝1，
[自我检测]
1．思维辨析(对的打“√”，错的打“ ”)
(1)loga(M·N)＝logaM·logaN.( )
(2)log5(－2)2＝2log5(－2)．( )
(3)logaMN ＝llooggaaMN .(
)
(1) 解析：loga(M·N)＝logaM＋logaN. (2) 解析：log5(－2)2＝2log52. (3) 解析：logaMN＝logaM－logaN.
高中数学 3.4.1.2 对数的运算性质同步教学课件 北师大版必修1
log3 34
1
(2) lg1005
5 log3 3
1 lg102 5
45 9
12 2
5
5
第十页，共23页。
提升(tíshēng)总 结
对数的化简与求值一般是正用与逆用公式,对真数(zhēn shù)进行处理,选 哪种策略化简,取决于问题的实际情况
对于求值的情况,要努力使真数(zhēn shù)化为指数幂的形式,且使其底数与 对数的底数相同,从而应用性质
则ap M, aq N,
MN a paq a(pq)
loga (MN) loga apq p q
loga M loga N
思 考： loga Mn ?
loga
M N
?
第七页，共23页。
对数(duìshù)的运算性质
如果(rúguǒ)a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
(3)
loga
M N
log a M log a N;
2. 对数的运算(yùn suàn)性质的应用：化简 求值
第二十二页，共23页。
一切澎湃于心，让我们真正能够在心里有所酝 酿的东西(dōngxī)，都值得我们去努力。
第二十三页，共23页。
即可求出对数值.
loga ab b
第十一页，共23页。
计算:(1) lg 0.001 ____3__;
(2)ln e-2 ___2_ .
(3)log336 log3 4 __2__ .
(4)log7 8
log7
1 8
__0__
.
第十二页，共23页。
提升(tíshēng)总 结
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证明： loga M loga N loga (MN)
证明：设
loga N p,loga N q, p q 则a M,a N,
p q (p q)
p q
MN a a a
loga (MN) loga a
pq
loga M loga N
所以，原式成立
对数的运算性质 8
对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则： (1)
log a (MN) log a M log a N;
即：两个正数的积的对数 等于这两个正数的对数的和；
(2) log a M n log a M(n R).
n
即：一个正数的n次方的对数 等于这个正数的对数的n倍；
1 = log a x - 2 log a y - log a z 2
对数的运算性质 13
巩固练习
用lgx,lgy,lgz表示下列各式:
2lg x + lg y + 3lg z (1) lg( x yz ) __________________;
2 3 1 3 3 2
(2)lg(xy z ) (3)lg x y
对数的运算性质 20
课后思考
下列各式成立吗？若不成立，你能举出一个反例吗?
(1) lg(MN) = lg M× lg N
M lg M (2) lg = N lg N
(3) lg(M + N) = lg M＋lg N lg M (4) lg M - lg N = lg N
对数的运算性质 21
练习39
2 5
=log334 +5log33 =4+5=9
1 2 2 2 (2) lg100 = lg 10 lg10 5 5 5
对数的运算性质 11
1 5
巩固练习
- 4 计算:(1) lg 0.0001 ______;
(2)ln e - 2 . ____
-2
2 (3)log3 36 log 3 4 ____ .
1.大家应熟练掌握对数的三条运算性质: 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么：
(1) loga (MN) = loga M + loga N;
log a Mn = n log a M(n ∈ R). (2)
M (3) log a N = log a M - log a N;
2.能利用对数的性质进行化简求值等运算。
P87 习题 A组 3(6)(7)(8)(9) 4、5(2)(4)(6)(7)、 6(1)(3)(5)(7)
对数的运算性质 22
级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震
的相对能量程度。
对数的运算性质
15
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I1和I2由
题意得
{
I2 因此0.6(lg I2 - lg I1 ) = 0.9，即lg = 1.5 I1
I2 所以 = 101.5 = 32 ≈ I1
因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能 量程度的32倍。
4.1对数及其运算 二、 对数的运算性质
景德镇第一中专 文志杰
对数的运算性质
1
学习目标 1.进一步熟悉对数的概念.
2.掌握对数的运算性质、会用对数的性
质求解一些简单问题。
对数的运算性质
2
复习旧知
1.对数的定义： 一般地，如果a(a>0 , a≠1)的b次幂等于N
即：a N
b
那么数b叫做以a为底N的对数，
对数的运算性质
17
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1)lg( x2 yz- 3 ) = 2lg x + lg y - 3lg z
x 1 (2) lg 3 = lg x - 3lg y - lg z yz 2
对数的运算性质
18
课堂练习
P83 练习2的三道题
对数的运算性质
19
通过本节学习
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
• 对数的这些运算性质都可以由指数幂的运 算性质推导出来。 • 下面我们根据指数幂的运算性质来证明对 数的运算性质（1）
即：1的对数等于0；底的对数等于1
loga N
(3)a
(4)
N
b
log a a b
对数的运算性质 5
新知探索
• 动手实践 • 填写P80表3-7 • 你猜想出的性质是什么样的？ • 你能用所学的知识证明你的结论 吗？
对数的运算性质 6
归纳总结
积、商、幂的对数的运算性质：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
记作： a N b log
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数. 读作以a为底N的对数
对数的运算性质 3
2.对数式与指数式的互化
(a>0且a 1,N>0)
常用对数：log10N=lgN 自然对数：logeN=lnN.
对数的运算性质
4
3.四个结论：
(1)负数和零没有对数
(2)loga 1 0,loga a 1
3 2
-
1 3 lg x - lg y + lg z 3 2 _________________;
z
1 2 lg x - 3lg y - lg z ____________________; 2
对数的运算性质
14
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设
I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震
= 2loga x + loga y + loga z
x2 (2) log a = log a x 2 - (log a y + log a z) y - loga z
x (3) log a 2 = log a y z x - (log a y 2 + log a z)
ì 6.9 = 0.6 lg I1 ï ï , í ï 7.8 = 0.6 lg I 2 ï î
对数的运算性质
16
1.求下列等式中的x的值。
(1) log x 81 = 2 x = 9
2.求下列各式的值。
(2)10x+ lg2 = 2000 x = 3
(1)log6
3 216 = 2
(2)log0.5 1- log0.5 4 = 2
1 (4)log7 8 log 7 ____ . 0 8
对数的运算性质
12
例2.用
loga x,loga y,loga z 表示下列各式
2
(1) log a ( x yz)
x2 (2) log a yz
2
x (3) log a 2 y z
2
解: (1) loga ( x yz) = loga x + loga y + loga z
对数的运算性质 9
对数的运算性质
M = log a M - log a N; (3) log a N
即：两个正数的商的对数 等于这两个正数的对数的差.
对数的运算性质
10
例1.计算
(1) log3 (92 35 );
(2)lg100 .
2 5
1 5
解1log 3 9 3 log 3 9 log 3 3