【期中试卷】湖南省桃江县第一中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

桃江一中2017年下学期期中考试高三数学理科第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}|22A x x =-≤≤，集合{}2|230B x x x =-->，则A B =A. ()(),13,-∞-+∞B. (]1,2-C.(](),23,-∞-+∞D.[)2,1- 2.设复数z 满足1132z i z +=--，则z =3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是A.4.已知函数()5f x x =，若2,2a b <->，则()()""f a f b >是"0"a b +<的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n = A. 2 B. 3 C. 4 D. 56.各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n S 是首项和公差都为2的等差数列，公比为负数的等比数列{}n b ，其首项和公比相等，且数列{}n b 为等差数列，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2018项的和为A.7.()62121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是A. 15B. -15C. 17D. -178.任取实数[],0,1x y ∈，则满足12x y ≤≤ A. 34 B. 35 C.56 D.5129.如图正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成角为α，则sin α的取值范围是A. ⎤⎥⎣⎦B. ⎤⎥⎣⎦C. ⎣⎦D.⎤⎥⎣⎦10.两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R B R ∈∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 A.49 B. 109C. 1D. 3 11.已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的一条渐近线为l ，圆()22:8C x a y -+=与l交于,A B 两点，若ABC ∆为等腰直角三角形，且5OB OA =，其中O 为坐标原点，则双曲线Γ的离心率为12.若关于x 的不等式32ln xx x x x ae -+≤恒成立，则实数a 的取值范围是A. [),e +∞B.[)0,+∞C. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)1,+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某沿海四个城市A,B,C,D 的位置如图所示，其中60,135,ABC BCD ∠=∠=80/,AB n mile=40,BC CD =+=，D 位于A 的北偏东75 方向，现在有一艘轮船从A 出发以5080/AB nmile h =的速度向D 直线航行，60min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C 航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ= . 14.已知数列{}n a 满足()()()111,211n n n na a a n N n na *+==∈++，若不等式2410n ta n n ++≥恒成立，则实数t 的取值范围是 .15.()1,|:1320320y A a b l ax by x y x y ⎧<⎫⎧⎪⎪⎪=-=--<⎨⎨⎬⎪⎪⎪++>⎩⎩⎭直线与不等式组表示的平面区间无公共点点P A ∈，过点P 作圆()()22:211C x y +++=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，则PA PB ⋅的最小值为 .16.已知函数()421421x x x x k f x ++=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且a =D 在线段AC 上，.4DBC π∠=（1）若BCD ∆的面积为24，求CD 的长；（2）若0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c =，1tan 3A =，求CD 的长.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.19.（本题满分12分）如图（1）所示，已知正方形AMCD 的边长为2，延长AM ，使得M 为AB 的中点，连接AC .现将ACD ∆沿AC 折起，使得平面ACD ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图（2）所示. （1）求证：BC ⊥平面ACD ；（2）求平面ACD 与平面MCD 的夹角的余弦值.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y p x p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且2Q F P Q =，过F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点. （1）求C 的方程；（2）设AB 的垂直平分线l 与C 相交于,M N 两点，试判断,,,A M B N 四点是否在同一个圆上？若在，求出l 的方程；若不在，说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()f x x =，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数.（1）求λ的最大值；（2）若()21g x t t λ=++在[]1,1-上恒成立，求t 的取值范围；（3）讨论关于x 的方程()2ln 2xx ex m f x =-+的根的个数.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线OM 与圆C 的交点为O,P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x x =-++，不等式的解集为P. （1）求P ；（2）证明：当,m n P ∈时，42mn m n +>+桃江一中2017年下学期期中考试高三数学理科试题参考答案一、选择题：13. _ 14. _____. 15. 0 16.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解：（Ⅰ）由，解得.在中，，即，.（Ⅱ）因为，且，可以求得，.依题意，，即，解得.因为，故，故.在中，由正弦定理可得，解得.18．解：（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，．（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出为事件B，．（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量X．平均保费，∴平均保费与基本保费比值为1.23．19.解：(1)由图(1)可知，，既又平面平面，平面平面，平面平面(2) 取AC中点O, 连DO, 由平面ACD⊥平面ABC知,DO⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量，则，既，解得令，可得又为平面的一个法向量，则.20.解：（1）由题意，Q（）,则,∵即解得∴抛物线C的方程为……………………………………4分（2）假设A,M,B,N四点共圆.由（1）可知，F(2，0). 设直线的方程为由可得设则∴…………………………………6分设线段AB的中点为点E，则点E（）∵∴设直线的方程为由可得设则∴………………………8分设线段MN的中点为点D，则点D（）∵A,M,B,N四点共圆∴即………………………………………9分………10分整理可得∴∴直线的方程为. ………………………12分21.解：(1)又在上单调递减在恒成立故的最大值为。

……3分(2)只需在上恒成立，既令，则需则又恒成立……4分(3)由于令，当时，，既单调递增；当时，，即单调递减.又当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个解；当，即时，方程有两个解. ……5分22.(I)由圆的参数方程（为参数）知，圆的圆心为，半径为，圆的普通方程为……4分将代入得圆的极坐标方程为……5分设，则由解得 (7)分设，则由解得......9分所以 (10)分23.解：（Ⅰ）由的单调性及得，或．所以不等式的解集为. ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，，，所以，从而有． (10)分。