浙教版九年级数学下1.1锐角三角函数(2)课时练习含答案初三数学教学反思设计学案说课稿
2020—2021学年浙教版数学九年级下册 1.1 锐角三角函数 教案
锐角三角函数——正弦教学目标知识与技能1、在了解认识正弦的基础上,通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都是固定值这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算过程与方法经历抽象正弦概念的进程,领会正弦概念的意义,在理解的基础上学会应用。
情感态度与价值观使学生经历锐角正弦的意义探索过程,培养学生观察分析、类比归纳的探究问题的能力。
教学策略本节课主要采用创设情境导入新课、例题讲解、知识运用、总结巩固等环节,以问题的解决为主线,始终在学生知识的“最近发展区”设置问题。
重点理解认识正弦概念,会在直角三角形中求出某个锐角的正弦值。
难点掌握根据锐角的正弦值及直角三角形的一边,求直角三角形的其他边长的方法。
学习者特征分析学习者是初三年级的学生,多数学生对数学学习比较有兴趣,其中有个别学生的思维比较活跃,但整体的学习能力和认知水平偏弱,个别学生的自控能力较差,需要老师不断提醒。
教学过程教学设计与师生互动备注一、创设情境、导入新课操场里有一个旗杆,老师让小明去测量旗杆高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34度,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗?学了这一章之后你就会求这个旗杆的高度了。
本章的学习也为今后高中的学习打下基础。
任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,若①∠A=30°②∠A=45°③∠A=60°,计算∠A的对边与斜边的比,你能得出什么结论?这就引发我们产生这样一个疑问:在直角三角形中,当∠A取其他一定度数的锐角时,•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?推理与证明:观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3,它们之间有什么关系?分析:由图可知Rt△AB1C1PPT演示学生活动:思考、口答。
关注学生对含30°角的直角三角形定理的复习与运用。
PPT演示证明过程由学生完成∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3, 所以有:k AB C B AB C B AB C B ===333222111, 结论,在Rt △ABC 中,锐角A 的对边与斜边的比是一个固定值,也即是对于锐角A 的每一个确定的值,其对边与斜边的比值是唯一确定的. 我们把这个比值叫做锐角A 的正弦,记作sinA 。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册第一章的第一节内容。
本节内容主要介绍锐角三角函数的定义及应用。
通过本节的学习,学生能够理解锐角三角函数的概念,掌握正弦、余弦、正切函数的定义及简单的性质,并能运用锐角三角函数解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识,对函数的概念和性质有一定的了解。
但是,对于锐角三角函数这一部分内容,由于涉及到三角函数的定义和性质,对学生来说可能存在一定的难度。
因此,在教学过程中,需要注重对学生基础知识的学习和巩固,并通过实例让学生感受锐角三角函数在实际问题中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能:理解锐角三角函数的概念,掌握正弦、余弦、正切函数的定义及简单的性质;能够运用锐角三角函数解决一些实际问题。
2.过程与方法:通过观察、实验、探究等方法,引导学生主动参与学习,培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生对数学学习的兴趣,培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点:锐角三角函数的概念及应用。
2.难点:正弦、余弦、正切函数的定义及简单的性质。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活中的实例,引发学生的兴趣,激发学生的学习欲望。
2.启发式教学法:引导学生主动思考,发现知识,培养学生的创新能力。
3.合作学习法:学生进行小组讨论,培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教学课件:制作精美的教学课件,辅助教学。
2.教学素材:准备一些与锐角三角函数相关的实例,用于讲解和练习。
3.学具:为学生准备一些三角板、直尺等学具,用于实验和操作。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用课件展示一些与锐角三角函数相关的实例,如跳伞运动员下降的高度与时间的关系,引导学生思考如何用数学知识来描述这种关系。
2.呈现(10分钟)介绍锐角三角函数的定义及性质,通过课件和实物演示,让学生直观地感受锐角三角函数的概念。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案一. 教材分析浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是本册教材的第一课时,主要介绍锐角三角函数的定义及概念。
本节课内容是学生对初中数学中三角函数知识的初步接触,对于培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对函数的概念有一定的了解。
但是,对于锐角三角函数的定义和应用,学生可能还存在一定的困惑。
因此,在教学过程中,教师需要关注学生的认知水平,通过实例讲解,让学生更好地理解和掌握锐角三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义和概念;2.能够运用锐角三角函数解决实际问题;3.培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点:锐角三角函数的定义和概念;2.教学难点:如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例讲解法、小组合作法等教学方法,引导学生主动探究、积极思考,提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片;2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过展示一些生活中的实际问题,如测量身高、角度等,引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
从而引出锐角三角函数的概念。
2.呈现(10分钟)讲解锐角三角函数的定义和概念,让学生了解锐角三角函数的基本性质。
通过示例,让学生掌握如何运用锐角三角函数解决实际问题。
3.操练(10分钟)让学生分组讨论,选取一个生活实例,运用锐角三角函数进行解决。
教师巡回指导,为学生提供帮助。
4.巩固(5分钟)选取一些练习题,让学生独立完成,巩固所学知识。
教师及时批改,给予反馈。
5.拓展(5分钟)引导学生思考:除了生活中的实例,还有哪些领域会用到锐角三角函数?让学生了解锐角三角函数在实际应用中的广泛性。
6.小结(5分钟)对本节课的主要内容进行总结,让学生明确所学知识的重难点。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册第一章第一节的内容。
本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及性质,包括正弦、余弦、正切函数。
通过本节课的学习,学生能够理解锐角三角函数的概念,掌握各函数的定义及性质,并能运用其解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识,对函数的概念和性质有一定的了解。
但锐角三角函数的概念和性质较为抽象,学生可能难以理解和接受。
因此,在教学过程中,教师需要注重引导学生通过实例来理解抽象的锐角三角函数概念,并通过大量的练习来巩固所学知识。
三. 教学目标1.知识与技能:理解锐角三角函数的概念,掌握正弦、余弦、正切函数的定义及性质。
2.过程与方法:通过实例分析,引导学生运用锐角三角函数解决实际问题。
3.情感态度与价值观:培养学生对数学的兴趣,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点:锐角三角函数的概念及其性质。
2.难点:正弦、余弦、正切函数的定义及性质。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活实例引入锐角三角函数的概念,引导学生理解其应用。
2.讲授法:讲解锐角三角函数的定义及性质,引导学生进行思考。
3.实践操作法:让学生通过实际操作,巩固所学知识。
4.小组讨论法:分组讨论,培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示锐角三角函数的定义及性质。
2.实例材料:准备相关的生活实例,用于引入锐角三角函数的概念。
3.练习题:准备适量的练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用生活实例,如建筑工人测量高度、航海员测定方向等,引导学生思考如何利用三角函数解决问题。
通过实例引入锐角三角函数的概念。
2.呈现(15分钟)讲解锐角三角函数的定义及性质,包括正弦、余弦、正切函数。
利用课件展示各函数的图像,帮助学生理解其性质。
3.操练(15分钟)让学生分组进行实践操作,运用锐角三角函数解决实际问题。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册第一章第一节的内容。
本节内容主要介绍了锐角三角函数的定义及求法,通过对特殊直角三角形的观察,让学生理解正弦、余弦、正切函数的概念,并掌握它们的基本性质。
这部分内容是初中数学的重要知识,对于学生来说,既是基础又是难点,需要教师耐心引导,让学生通过实践操作,逐步理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识,对直角三角形有一定的了解。
但锐角三角函数的概念和性质较为抽象,学生可能难以理解。
因此,在教学过程中,需要教师关注学生的认知水平,通过生动形象的举例和实际操作,帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能:让学生了解锐角三角函数的定义,掌握正弦、余弦、正切函数的求法及基本性质。
2.过程与方法:通过观察、操作、思考、讨论等活动,培养学生的观察能力、动手能力、逻辑思维能力和合作能力。
3.情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养学生的耐心和毅力,使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点:锐角三角函数的定义及求法,正弦、余弦、正切函数的基本性质。
2.难点:对锐角三角函数概念的理解,以及函数性质的运用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活实例和实际操作,让学生在情境中感受和理解锐角三角函数。
2.启发式教学法:引导学生观察、思考、讨论,激发学生的学习兴趣,培养学生的创新能力。
3.小组合作学习:学生进行小组讨论和实践操作,培养学生的合作能力和团队精神。
六. 教学准备1.教具准备:直角三角形模型、多媒体设备等。
2.教学素材:相关的生活实例、图片、练习题等。
3.课前调查:了解学生对锐角三角函数的预习情况,为课堂教学提供依据。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过展示生活中常见的直角三角形实例,如建筑工人测高度、运动员投篮等,引导学生思考:如何利用直角三角形来求解未知角度的值?从而引出锐角三角函数的概念。
《锐角三角函数》教学反思
《锐角三角函数》的教学反思
《锐角三角函数》是九年制义务教育新课程标准九年级第二十八章第一节第一课时的内容。
首先引导学生复习回顾在直角三角形中,两锐角之间的互余关系、各边之间适用于勾股定理逆,且30°角所对边是斜边的一半这一特殊性质,为接下来推导证明提供知识铺垫。
教师引导学生提出猜想,固定角的对边与斜边的比值是一个固定值,引发学生进一步研究执教三角形的兴趣。
自主探究活动中,几个小组根据要求用几何画板作图,测量并计算:第一、二、三、四、五、六组分别对应作出一个含有24°、37°、45°、50°、60°、75°的直角三角形,测量出所画角度的对边与斜边的长度,并求出它们的比值。
测量能说明问题,但并不严谨,证明猜想的过程,教师传授学生对于相似比值的使用,进而得出正弦定理。
巩固练习环节中,学生充分使用勾股定理计算边长,继而求得正弦值,或从逆向思维的方式,使用正弦值解得边长,渗透了数形结合的思想。
遗憾的是,在证明正弦的过程中,学生能够快速理解相似过程,但要从相似比过渡到正弦定理,还有些不适应,暴露出学生对分式方程的性质掌握不全面。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计2
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计2一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册的教学内容,本节课的主要内容是引导学生探究并理解锐角三角函数的概念,能够运用锐角三角函数解决实际问题。
教材通过丰富的实例,让学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用,培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基础知识,对函数的概念有一定的理解。
但是,对于锐角三角函数的定义和应用,还需要进一步的引导和探究。
此外,学生的空间想象能力和实际问题解决能力有待提高。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的概念,掌握正弦、余弦、正切函数的定义。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题,提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的空间想象能力,提高学生的合作交流能力。
四. 教学重难点1.重点:锐角三角函数的概念和定义。
2.难点:运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,引导学生主动探究锐角三角函数的定义和应用。
2.利用多媒体辅助教学,展示实例,增强学生的空间想象能力。
3.小组合作交流,培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关实例资料。
3.学习小组分组。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用多媒体展示实际问题,如修建房屋时如何确定墙角的角度,引导学生思考如何利用数学知识解决实际问题。
2.呈现(10分钟)展示正弦、余弦、正切函数的定义,引导学生理解锐角三角函数的概念。
3.操练(10分钟)学生分组讨论,结合实例,运用锐角三角函数解决问题。
教师巡回指导,解答学生疑问。
4.巩固(10分钟)学生自主完成练习题,巩固锐角三角函数的知识。
教师选取部分题目进行讲解。
5.拓展(10分钟)引导学生思考锐角三角函数在实际生活中的其他应用,如工程测量、建筑设计等。
6.小结(5分钟)学生总结本节课所学内容,教师进行点评。
7.家庭作业(5分钟)布置相关练习题,巩固所学知识。
浙教版数学九年级下册 1.1《锐角三角函数(2)》参考教案
《锐角三角函数(2)》参考教案【教学目标】(一)教学知识点1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义;2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算;3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
(二)思维训练要求1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现的能力。
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯;2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心。
【教学重点】1.探索30°、45°、60°角的三角函数值;2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算;3.比较锐角三角函数值的大小。
【教学难点】进一步体会三角函数的意义。
【教学过程】Ⅰ.创设问题情境,引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下:让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处,使这位同学拿起三角尺,她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点,30°的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB 的长度,BE 的长度,因为DE=AB ,所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可.[生]在Rt △ACD 中,∠CAD =30°,AD =BE ,BE 是已知的,设BE=a 米,则AD =a 米,如何求CD 呢?[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:30°的角所对的边等于斜边的一半,即AC =2CD ,根据勾股定理,(2CD)2=CD 2+a 2. CD =33a. 则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°的正切值,在上图中,tan30°=aCDAD CD,则CD=atan30°,岂不简单. 你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°、60°、45°、45°.[师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[生]sin30°=21.sin30°表示在直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边等于2a.根据勾股定理,可知30°角的邻边为a ,所以sin30°=212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°=2323=a a . tan30°=33313==a a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图,很容易求得sin60°=2323=a a , cos60°=212=a a ,tan60°=33=a a . [生]也可以利用上节课我们得出的结论:一锐角的正弦等于它余角的余弦,一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°=cos(90°-60°)=cos30°=23cos60° =sin(90°-60°)=sin30°=21. [师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a ,则另一条直角边也为a ,斜边2a.由此可求得sin45°=22212==a a , cos45°=22212==a a , tan45°=1=aa[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30°、45°、60°角的三角函数值、45°、60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值,你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为1,2,3,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大. [师]再来看第二列函数值,有何特点呢?[生]第二列是30°,45°、60°角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从大到小分别为3,2,1,余弦值随角度的增大而减小.[师]第三列呢?[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值,首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45°=1比较特殊.[师]很好,掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.2.例题讲解(多媒体演示)[例2]计算:2(1)2sin303cos60;(2)cos45tan60sin60;2sin45tan45cos60-+⋅-+⋅分析:本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2.解:(1)2sin303cos6011232212-=⨯-⨯=-2sin45tan45cos60112221-+⋅=-+⨯=[补充例]一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)22(2)cos45tan60sin60222+⋅⎛⎫=+⎪⎝⎭=分析:引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.解:根据题意(如图) 可知,∠BOD=60°, OB=OA =OD=2.5 m , ∠AOD =21×60°=30°, ∴OC=OD·cos30° =2.5×23≈2.165(m). ∴AC =2.5-2.165≈0.34(m).所以,最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. Ⅲ.随堂练习 1.计算:(1)sin60°-tan45°; (2)cos60°+tan60°; (3)22sin45°+sin60°-2cos45°. 解:(1)原式=23-1=223-;(2)原式=21+=23213+=(3)原式=22×22+23×22; =22231-+2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°.高为7 m ,扶梯的长度是多少? 解:扶梯的长度为21730sin 7=︒=14(m), 所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结 本节课总结如下:(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°=21,sin45°=22,sin60°=23;cos30°=23,cos45°= 22,cos60°=21;tan30°=33,tan45°=1,tan60°=3. (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小. Ⅴ.活动与探究如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB =CD=30 m ,两楼问的距离AC=24 m ,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高? (精确到0.1 m ,2≈1.41,3≈1.73)[过程]根据题意,将实际问题转化为数学问题,当光线从楼顶E ,直射到乙楼D 点,D 点向下便接受不到光线,过D 作DB ⊥AE(甲楼).在Rt △BDE 中.BD=AC =24 m ,∠EDB =30°.可求出BE ,由于甲、乙楼一样高,所以DF=BE. [结果]在Kt △BDE 中,BE=DB·tan30°=24×33=83m. ∵DF =BE ,∴DF=83≈8×1.73=13.84(m).甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).。
锐角三角函数教案与反思
锐角三角函数教案与反思《锐角三角函数教案与反思》这是优秀的教案文章,希望可以对您的学习工作中带来帮助!【教学目标】1、知识技能:初步了解锐角三角函数的意义,初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义,并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。
2、数学思考:在体验探求锐角三角函数的定义的过程中,发现对同一锐角而言它的对边与斜边的比值不变的规律,从中思考这种对应关系所揭示的数学内涵。
3、解决问题:从实际问题入手研究,经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边之间的关系的过程,体会研究数学问题的一般方法以及所采用的思考问题的方法。
4、情感态度:在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度,进一步激发学习需求。
学习重点:锐角正弦的定义学习难点:理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。
【教学对象】九年级学生【教学过程】活动一、创设情境,导入新课图片欣赏:意大利比萨斜塔。
问题:数学来源于生活,应用于生活,用数学视觉观察世界,用数学思维思考世界,若用“塔身中心线与垂直中心线所成的角”来描述比萨斜塔的倾斜程度,应该怎么做?师生活动:多媒体动画展示“垂直中心线”“塔身中心线”“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离”,显示相关数据,并提出问题,激励学生观察、思考。
设计意图:通过动画展示比萨斜塔的背景材料,扫除学生对引言中一些词语理解的障碍,为抽象出直角三角形做铺垫。
追问1:在上述问题中,可以抽象出什么几何图形?上述问题可以抽象出什么数学问题?师生活动:结合动画演示,引导学生得出:这个问题可以抽象出一个直角三角形,实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边,求这条直角边所对锐角的度数”。
追问2:对直角三角形的三边关系,已经研究了什么?还可以研究什么?设计意图:从实际需要和从数学内部的需要自然引入课题,激发学生的求知欲。
活动二、探究发现,形成概念问题:为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,•在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?(1)解决问题,初步体验隐去引例中的背景材料后,直观显示出图中的直角三角形,追问1:你能用数学语言来表述这个实际问题吗?如何解决这个问题?师生活动:学生组织语言与同伴交流。
九年级数学下册第1章解直角三角形1.1锐角三角函数练习(含解析)(新版)浙教版
1.1 锐角三角函数题号一二三总分得分第Ⅰ卷(选择题)评卷人得分一.选择题(共10小题,3*10=30)1.如图,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM⊥OA 于点M ,且PM :OM =3:4,则cosα的值等于()A .34B .43C .45D .352.在△ABC 中,∠C=90°,BC =2,AB =3,则下列结论中正确的是( )A .sin A =B .cos A =5323C .sin A =D .tan A =23523. 计算sin 45°的结果等于( )2A.B .12C. D.22124.在△ABC 中,∠C=90°,sinA =,则tanB 等于( )45A. B.4334C. D.35455.计算5sin 30°+2cos 245°-tan 260°的值是( )A. B.212C .-D .1126.令a =sin 60°,b =cos 45°,c =tan 30°,则它们之间的大小关系是( )A .c <b <aB .b <a <cC .a <c <bD .b <c <a7.在Rt△ABC 中,∠C=90°,cosA =23,则tanB 等于()A .35B C D 8.把Rt△ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′,那么锐角A ,A′的余弦值的关系为()A .cosA =cosA′B .cosA =3cosA′C .3cosA =cosAD .不能确定9.在△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,则下列各项中正确的是()A .a =c·sinB B .a =c·cosBC .a =c·tanBD .以上均不正确10.求得o 45cos 230sin 2-︒-2tan45的值为°()A .0B .1C .2D .12第Ⅱ卷(非选择题)评卷人得分二.填空题(共8小题,3*8=24)11.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB =8,cosA =,则AC 的长是____.3412. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC :AC =1:2,则sinA =_______,cosA =______,tanB =______.13.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,b =20,c =,则∠B 的度数为_______.14.在Rt△ABC 中,两边的长分别为3和4,则最小角的正弦值为_______或_______.15.已知:如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,3==BC AC ,作∠DAC=30°,AD 交CB于D 点,则∠BAD=_______.16.已知:α是锐角,tanα=724,则sinα=_____,cosα=_______.17.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB =10,AC =5.则sin∠ACB_______.18.如图,在△CDE 中,∠E=90°,DE =6,CD =10,则∠D 的三个三角函数值分别是sinD =_______,cosD =_______,tanD =_______.评卷人得分三.解答题(共7小题,46分)19.(6分)计算:(1)cos 245°+sin 60°·tan 30°-tan 30°;(2).sin 60°+tan 45°cos 30°-2sin 30°(3)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 22220.(6分)如图,角α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,另一边经过点P (2,),求角α的三个三角函数值..21.(6分)已知:如图,在菱形ABCD 中,DE⊥AB 于E ,BE =16cm ,⋅=1312sin A 求此菱形的周长.22.(6分)已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,延长CA至D点,使AD=AB.求:(1)求∠D及∠DBC;(2) 求tanD及tan∠DBC;(3)请用类似的方法,求tan22.5°.23.(6分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于D,∠CBD=α,AB=3,BC=4,求sinα,cosα,tanα的值.24. (8分)已知:如图,∠AOB=90°,AO=OB,C、D是上的两点,∠AOD>∠AOC,(1)0<sin∠AOC<sin∠AOD<1;(2)1>cos∠AOC>cos∠AOD>0;(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______;(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______.25. (8分)如图所示,在△ABC 中,∠ABC=60°,AB∶BC=2∶5,且S △ABC =10,求3tanC 的值.答案1-5 CCBBB6-10 ACAB11. 6213. 45°14. 35.15. 15°16. 725;2425,提示:作BD ⊥CA 延长线于D 点.18. 45CE CD =,35DE CD =,43CE DE =.19. 解:(1)原式=+-=1-;12123333(2)原式==-7-4.32+132-13(3)原式14-20. 过点P 做PA ⊥x 轴于点A ,则根据勾股定理,得OP=4,sinα=PA OP =,cosα=12OA OP =,tanα=PA OA=.21. 解:设DE =12x cm ,则得AD =13x cm ,AE =5x cm .利用BE =16cm.列方程13x-5x =16.解得x =2.∴AD=13×2=26cm 则菱形的周长=AD×4=36×4=104cm22. (1)∵AD =AB ∴ ∠D+∠DBA=30°∴∠D =15°,∠DBC =15°+60°=75°;(2)设BC=1 则∴tan 2tan 2D DBC =∠=,(3).125.22tan -= 23. ∵∠CBD +∠ABD =90°,∠A +∠ABD=90°,∴∠A =∠CBD =∠α,在直角△ABC 中,根据勾股定理,得AC =5,∴sinα=sin A =45BC AC =,cosα=cos A =35AB AC =,tanα=tan A =43BC AB =.24. 提示:作CE ⊥OA 于E ,作DF ⊥OA 于F . (3)增大, (4)减小.25.【解析】已知面积,要求tan C 的值,应作高,构造直角三角形.解:如答图,过A 作AD ⊥BC 于D ,∵∠B =60°,∴∠BAD =30°,∴AB ∶BD =2∶1,又∵AB ∶BC =2∶5,∴AB ∶BD ∶BC =2∶1∶5,设AB =2k ,则BD =k ,BC =5k (k >0),∴AD =k ,3∵S △ABC =10,3∴BC ·AD =10,即·5k ·k =10,1231233∴k =2,∴AD =2,CD =BC -BD =10-2=8,3tan C ===.AD CD 23834。
《锐角三角函数》教学反思
《锐角三角函数》教学反思《锐角三角函数》王义美这节课是锐角三角函数的第一节课,是一节概念课,教学目标是让学生认识直角三角形的边角关系,即锐角的四个三角函数的概念。
通过集体备课、讲课、作业反馈几个环节,进行以下几方面的反思。
一、数学概念课教学数学概念教学要使学生明确概念的背景、作用、概念中有哪些规定、限制等问题。
(一)概念的引出这节课引入锐角三角函数概念的时候,从学生的认知水平出发先提出问题:(1)如图Rt△ABC中,AC=3,BC=4,求AB=?(2)如图Rt△ABC中,AC=3,∠B=40°,求AB=?对于第一个问题,学生在对勾股定理的已有认知基础上,很容易求出AB,但对第二个问题,则不够条件求AB了。
从而引出课题。
在中,针对学生思维的多样性,集备时对课本中的探索进行改动。
探索1得出直角三角形中,锐角A的对边与邻边的比值是唯一确定的。
在此基础上,设计一个开放性的探索2。
让学生从探索1中得到启发去找找直角三角形中其他两边的比值是否也是唯一确定的。
按照集备时的设想,是希望能充分拓展学生思维,找到各种不同的比值,从而比较自然的引出四种比值,即四个三角函数。
但是在实际教学过程中,存在两个极端,一部分学生很快找到四个比值。
另一部分则感觉摸不着头脑,需要不同程度的提示。
在课后反思中,我们打算在下一次教学设计进行修改。
对于水平比较低的班级,在探索1得出,通过填空提示学生找出其它两边比值,再进行探索2。
(二)概念讲解新课标提倡学生自主思考探索,但是数学概念毕竟是需要教师进行讲解,特别是一些规定限制必须由教师强调。
这节课上我是结合图形小结等。
但还应注意定义的中文说法即还是应该回到汉字,这样有助于学生记忆定义。
在下一节课开始的复习,我用了这种方法,发现学生的确容易记忆。
二、教学中注重解题方法的总结本节课有一道例题,是这样设计的例1:求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.解:在Rt△ABC中,BC=8,AC=15,∵∴AB= = =sin A= =cos A= =tan A= =以填空的形式,给学生一定的提示,也给了一个规范的格式。
浙教版数学九年级下册《1.1 锐角三角函数》教学设计1
浙教版数学九年级下册《1.1 锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析浙教版数学九年级下册《1.1 锐角三角函数》是学生在初中阶段学习三角函数的起点,这部分内容既是对以前学习的平面直角坐标系、锐角三角函数概念、正弦线、余弦线的延续和拓展,又是学习更复杂三角函数的基础。
本节课的主要内容有:正弦、余弦、正切的概念,以及它们在直角三角形中的定义。
教材通过具体的例题,引导学生理解三角函数的概念,并通过自主探究、合作交流的活动,让学生掌握锐角三角函数的定义和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对平面直角坐标系、正弦线、余弦线有一定的了解。
但是,对于三角函数的内在联系和应用,可能还存在着一定的困惑。
因此,在教学过程中,教师需要关注学生的认知基础,通过引导和帮助,让学生逐步理解和掌握锐角三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解正弦、余弦、正切的概念,掌握它们在直角三角形中的定义。
2.能运用锐角三角函数的定义解决一些简单问题。
3.培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点:正弦、余弦、正切的概念,以及它们在直角三角形中的定义。
2.难点:理解三角函数的内在联系和应用。
五. 教学方法1.引导法:教师通过提问、引导,帮助学生思考和解决问题。
2.合作交流法:学生分组讨论,共同解决问题。
3.实践操作法:学生通过实际操作,加深对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料,如PPT、例题、练习题等。
2.准备教学工具,如黑板、粉笔、直尺等。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过提问,引导学生回顾平面直角坐标系、正弦线、余弦线的相关知识,为新课的学习做好铺垫。
2.呈现(10分钟)教师通过PPT展示正弦、余弦、正切的概念,以及它们在直角三角形中的定义。
引导学生理解三角函数的内在联系。
3.操练(10分钟)学生分组讨论,通过实际操作,加深对锐角三角函数定义的理解。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
浙教版九年级数学下册第1章解直角三角形1.1锐角三角函数第2课时同步测试-附答案
第1章 解直角三角形1.1 锐角三角函数(第2课时)1.特殊角三角函数值.2.sin α的增大而增大.A 组 基础训练1.tan30°的值等于( )A.12B.32C.33 D .-3 2.已知α为锐角,且tan (90°-α)=3,则α的度数为( )A .30°B .60°C .45°D .75° 3.若∠A 为锐角,cosA<32,则∠A 的取值范围是( ) A .30°<∠A<90° B .0°<∠A<30° C .0°<∠A<60° D .60°<∠A<90° 4.在△ABC 中,若sinA =cosB =22,则下列最确切的结论是( ) A .△ABC 是直角三角形 B .△ABC 是等腰三角形 C .△ABC 是等腰直角三角形 D .△ABC 是锐角三角形5.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若∠A =60°,则sinA +sinB 的值等于________. 6.如图,沿倾斜角为30°的山坡植树,要求相邻两棵树的水平距离AC =2m ,那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为________m.第6题图1.如图,将三角尺的直角顶点放置在直线AB上的点O处,使斜边CD∥AB,那么∠α的余弦值为________.第7题图8.(sin45°-1)2+|1-tan60°|=__________.9.求下列各式的值:(1)2-2sin30°×cos30°;(2)3sin60°-2cos45°+38;(3)sin30°+cos230°×tan45°;(4)(4sin30°-tan60°)(tan60°+4cos60°).10.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,AC=6,求BC、AB的长.第10题图B 组 自主提高11.若规定sin (α-β)=sin α·cos β-cos α·sin β,则sin15°=________. 12.小聪想在一个矩形材料中剪出如图中阴影所示的梯形,作为要制作的风筝的一个翅膀.请你根据图中的数据帮他计算出BE ,CD 的长度(结果保留根号).第12题图13.通过书P9课内练习第3题知道:对于任意锐角α,都有tan α=sin αcos α.运用此结论,解答下题:已知锐角α,且tan α=3,求sin α+cos αsin α-cos α的值.C组综合运用14.(遂宁中考)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:第14题图sin2A1+sin2B1=________;sin2A2+sin2B2=________;sin2A3+sin2B3=________.(1)观察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B=________;(2)如图4,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想;(3)已知:∠A+∠B=90°,且sinA=513,求sinB.下册 第1章 解直角三角形 1.1 锐角三角函数(第1课时)【课时训练】 1-4.CADC 5.326. 407. 1258.2239. (1)∵∠C=90°,∴AC =AB 2-BC 2=12,∴sin A =513,cos A =1213,sin B =1213,cos B=513; (2)tan A =512,tan B =125.发现tan A ×tan B =1. 10. cos A =53,tan A =255. 11. ∵∠ACB=90°,CD ⊥AB ,∴∠DCB =∠A,∠ACD =∠B,AB =AC 2+BC 2=5,∴sin ∠DCB =sin ∠A =BC AB =45,sin ∠ACD =sin ∠B =AC AB =35.12. C13. (1)OA =4,OB =2; (2)tan α=tan ∠BAO =OB OA =12,sin α=sin ∠BAO =OB AB =225=55. 14. .∵BE⊥AC,∴∠EAH +∠AHE=90°.∵AD ⊥BC ,∴∠HAE +∠C=90°.∴∠AHE =∠C.∵在Rt △AHE 中,AH =3,AE =2,∴HE =AH 2-AE 2=32-22= 5.∴tan ∠AHE =AE HE =25=255.∴tan C =255. 15. (1) 3 (2)∵tan A =BC AC =34,∴cot A =AC BC =43.。
2019-2020学年度最新浙教版九年级数学下册同步考点练习《锐角三角函数》及答案解析
1.1 锐角三角函数(二)1.计算:cos30°=32;tan60°·sin45°=62;|tan60°-2|=2-3;(sin30°-1)2= 12.2.点A(cos60°,-tan30°)关于原点对称的点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫-12,33 . 3.在△ABC 中,已知∠C =90°,∠A =30°,AB =12,则BC=(A)A. 6B. 6 2C. 6 3D. 124.在△ABC 中,若∠A ,∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinA -32+⎝⎛⎭⎪⎪⎫cosB -122=0,则△ABC 是(B)A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰(非等边)三角形5.若∠A 为锐角,cosA<32,则∠A 的取值范围是(A)A. 30°<∠A<90°B. 0°<∠A<30°C. 0°<∠A<60°D. 60°<∠A<90° 6.计算:(1)3tan30°-3cos60°+2sin45°.【解】 原式=3×33-3×12+2×22=1-32+1=12.(2)sin30°1+cos30°+1tan30°. 【解】 原式=121+32+133=12+3+ 3 =1×(2-3)(2+3)(2-3)+ 3 =2-3+3=2.(3)3tan30°-2tan60°sin60°+cos 225°+sin 225°.【解】 原式=3×33-2×332+1=-332+1=-2+1=-1.(第7题)7.如图,在等边三角形ABC 中,D 是BC 边上的一点,延长AD 至点E ,使AE =AC ,∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O ,求tan ∠AEO 的值.【解】 ∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC =60°,AB =BC. ∵BF ⊥AC ,∴∠ABF =12∠ABC =30°.∵AB =AC ,AE =AC , ∴AB =AE. ∵AO 平分∠BAE , ∴∠BAO =∠EAO.在△BAO 和△EAO 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AB =AE ,∠BAO =∠EAO ,AO =AO ,∴△BAO ≌△EAO(SAS). ∴∠AEO =∠ABO =30°. ∴tan ∠AEO =tan30°=33.8.一般地,当α,β为任意角时,sin(α+β),sin(α-β)与cos(α-β)的值可以用下面的公式求得:sin(α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β; sin(α-β)=sin α·cos β-cos α·sin β; cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β. 例如sin 90°=sin(60°+30°)=sin 60°×cos 30°+cos 60°×sin 30°=32×32+12×12=1.类似地,求:(1)sin 15°的值.【解】 sin 15°=sin(60°-45°)=sin 60°×cos 45°-cos 60°×sin 45°=32×22-12×22 =6-24.(2)cos 15°的值.【解】 cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°×cos 45°+sin 60°×sin 45°=12×22+32×22 =6+24.(3)tan 15°的值.【解】 tan 15°=sin 15°cos 15°=6-246+24=2-3.9.如图,在矩形ABCD 中,AB >AD ,AB =a ,AN 平分∠DAB ,DM ⊥AN 于点M ,CN ⊥AN 于点N ,则DM +CN 的值为(用含a 的代数式表示)(C)(第9题)A.aB.45aC.22aD. 32a 【解】 设AN ,DC 交于点E. ∵在矩形ABCD 中,AN 平分∠DAB , ∴∠DAN =45°. ∴∠NEC =∠DEA =45°.∵在Rt △DME 中,sin ∠DEM =DM DE ,∴DM =DE ·sin45°=22DE.∵在Rt △ENC 中,sin ∠NEC =CNEC ,∴CN =EC ·sin45°=22EC.∴DM +CN =22(DE +EC)=22DC =22AB =22a.10.如图,在平面直角坐标系中,点B 的坐标为(0,3),∠AOB =90°,∠B =30°.将△AOB 绕点O 顺时针旋转一定角度后得到△A ′OB ′,并且点A ′恰好落在线段AB 上,则点A ′的坐标为(D)(第10题)A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-32,332B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫-32,32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-332,32 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫-32,32 【解】 ∵点B 的坐标为(0,3),∴BO =3. ∵∠AOB =90°,∠B =30°,∴AO =BO ·tan30°=3,∠BAO =90°-30°=60°. 又∵△A ′OB ′是由△AOB 旋转得到的,点A ′在AB 上,∴A′O =AO =3,∴△AOA ′是等边三角形,∴∠AOA ′=60°.过点A ′作A ′C ⊥AO 于点C ,则A ′C =A ′O ·sin60°=32,OC =A ′O ·cos60°=32.∵点A ′在第二象限,∴点A ′⎝⎛⎭⎪⎪⎫-32,32. 11.如图,在等边三角形ABC 中,D ,E 分别为AB ,BC 边上的点,AD =BE ,AE 与CD 相交于点F ,AG ⊥CD 于点G ,则sin ∠FAG的值为12.【解】 在△CAD 与△ABE 中, ∵⎩⎪⎨⎪⎧CA =AB ,∠CAD =∠ABE =60°,AD =BE ,∴△CAD ≌△ABE(SAS).∴∠ACD =∠BAE.∵∠BAE +∠CAE =60°,∴∠ACD +∠CAE =60°,∴∠AFG =60°,∴在Rt △AFG 中,∠FAG =90°-60°=30°, ∴sin ∠FAG =12.(第11题)(第12题)12.如图,AB =6,O 是AB 的中点,直线l 经过点O ,∠1=120°,P 是直线l 上一点,当△APB 为直角三角形时,AP =3或 3 3或3 7 .(第12题解)【解】 如解图,分类讨论如下:①在Rt △AP 1B 中,∵∠1=120°,OP 1=OB , ∴∠OBP 1=∠OP 1B =30°,∴AP 1=12AB =12×6=3.②在Rt△AP2B中,∵∠1=120°,OP2=OB,∴∠P2BO=∠OP2B=60°,∴AP2=sin∠OBP2·AB=32×6=3 3.③∵∠1=120°,∴∠P3OB=60°,∴在Rt△OP3B中,BP3=tan∠P3OB·OB=3×3=3 3,∴在Rt△AP3B中,AP3=AB2+BP32=62+(3 3)2=3 7.④∵∠1=120°,∴∠P4OA=60°,∴在Rt△OP4A中,AP4=tan∠P4OA·OA=3×3=3 3.综上所述,当△APB为直角三角形时,AP=3或3 3或3 7.13.对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sinα=sin(180°-α),cosα=-cos(180°-α).(1)求sin120°,cos120°,sin150°的值.(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sinA,cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的大小.【解】(1)由题意,得sin120°=sin(180°-120°)=sin60°=3 2,cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=-1 2,sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=12.(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4,∴三个内角分别为30°,30°,120°.①当∠A =30°,∠B =120°时,方程的两根分别为12,-12.将x =12代入方程,得4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122-m ·12-1=0,解得m =0.经检验,x =-12是方程4x 2-1=0的根,∴m =0符合题意.②当∠A =120°,∠B =30°时,方程的两根分别为32,32,不符合题意,舍去.③当∠A =30°,∠B =30°时,方程的两根分别为12,32.将x =12代入方程,得4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122-m ·12-1=0,解得m =0.经检验,x =32不是方程4x 2-1=0的根.综上所述,m =0,∠A =30°,∠B =120°.14.(1)如图①,在△ABC 中,∠C =90°,∠ABC =30°,AC =m ,延长CB 至点D ,使BD =AB.①求∠D 的度数. ②求tan75°的值.(2)如图②,点M 的坐标为(2,0),直线MN 与y 轴的正半轴交于点N ,∠OMN =75°,求直线MN 的函数表达式.(第14题)【解】 (1)①∵BD =AB ,∴∠D =∠BAD , ∴2∠D =∠D +∠BAD =∠ABC =30°, ∴∠D =15°. ②∵∠C =90°,∴∠CAD =90°-∠D =90°-15°=75°. ∵∠ABC =30°,AC =m , ∴BD =AB =2m ,CB =3m , ∴CD =CB +BD =(2+3)m , ∴tan75°=tan ∠CAD =CDAC=2+ 3.(2)∵点M 的坐标为(2,0),∠OMN =75°,∠MON =90°, ∴ON =OM ·tan ∠OMN =OM ·tan75°=2×(2+3)=4+2 3,∴点N 的坐标为(0,4+2 3). 设直线MN 的函数表达式为y =kx +b. 把M ,N 两点的坐标代入y =kx +b ,得⎩⎪⎨⎪⎧2k +b =0,b =4+2 3,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-2-3,b =4+23.∴直线MN的函数表达式为y=(-2-3)x+4+2 3.15.如图所示,“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏,救灾部门迅速组织力量,从仓储D处调集救援物资,计划先用汽车运到与D在同一直线上的C,B,A三个码头中的一处,再用货船运到小岛O.已知OA⊥AD,∠D=15°,∠OCA=30°,∠OBA=45°,CD=20 km.若汽车行驶的速度为50 km/h,货船航行的速度为25 km/h,问:这批物资在哪个码头装船,能最早运抵小岛O(在物资搬运能力上每个码头工作效率相同,参考数据:2≈1.4,3≈1.7)?(第15题)【解】∵∠OCA=∠D+∠COD,∠D=15°,∴∠COD=30°-15°=15°=∠D,∴CO=CD=20 km.在Rt△OCA中,∵∠OCA=30°,∴OA=12OC=10 km,∴CA=OAtan 30°≈17 km.在Rt△OBA中,∵∠OBA=45°,∴BA=OA=10,OB=2OA≈14 km,∴BC=CA-BA=17-10=7(km).当这批物资在C码头装船,运抵小岛O时,所用时间=20 50+2025=1.2(h);当这批物资在B 码头装船,运抵小岛O 时,所用时间=20+750+1425=1.1(h); 当这批物资在A 码头装船,运抵小岛O 时,所用时间=20+1750+1025=1.14(h). 综上所述,这批物资在B 码头装船,能最早运抵小岛O.。
九年级数学锐角三角函数教学反思
九年级数学锐角三角函数教学反思每个人都会犯错,但是,只有愚人才会执过不改,九年级数学的教师们在锐角三角函数的教学上有哪些反思呢?接下来是店铺为大家带来的关于九年级数学锐角三角函数教学反思,希望会给大家带来帮助。
九年级数学锐角三角函数教学反思(一)直角三角形中边角之间的关系,是现实世界中应用最广泛的关系之一。
锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用,因此,学好本节中关于锐角的三种三角函数,正切,正弦,余弦的定义是关键。
通过这一阶段的课堂教学,在合作探究中培养学生的问题意识,同学们的表现有了明显的转变,课堂上有问题能及时提出来,有的同学一堂课能提出好几个问题,其他同学对提出的问题争先恐后地辩解,争得面红耳赤。
本节课采用问题引入法,从教材探究性问题梯子的倾斜度入手,让学生主动参与学习活动。
用特殊值探究锐角的三角函数时,学生们表现得非常积极,从作图,找边、角,计算各个方面进行探究,学生发现:特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出,然后就问:三角函数与直角三角形的边、角有什么关系,三角函数与三角形的形状有关系吗?进一步深入地去认识三角函数;当得出正切的概念后,学生们就提出:能不能把公式变形成积的形式,去求边,这个问题已经把本课的内容拓展了,说明学生的问题意识已经增强了,能够合理地提出问题。
至此,每个学生在课堂的表现明显改变,表现得积极、主动、问题意识强。
在教学中,我还注重对学生进行数学学习方法的指导。
在数学学习中,有一些学生往往不注重基本概念、基础知识,认为只要会作题就可以了,结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目。
通过引导学生进行知识梳理,教会学生如何进行知识的归纳、总结,进一步帮助学生理解、掌握基本概念、基础知识。
在这节课的教学中存在许多缺陷,促使我进一步研究和探索。
我们必须清醒地认识到,课程改革势在必行,在教学中加入新的理念,发挥传统教学的基础性和严谨性,不断地改善教法、学法,才能适应现代教学。
《锐角三角函数》教学设计与反思
《锐角三角函数》教学设计与反思新浦初级中学 童官丰苏霍姆林斯基指出:教学目标是课堂教学的灵魂和方向,课的一切方面、组成部分和阶段都必须服从它。
学生是学习的主体,再精彩的教学设计都需要通过学生这一主体来落实。
如何把二者进行有机的融合是值得探讨的问题。
本文以浙教版九年级下册《锐角三角函数》一节课为例谈笔者的一些认识。
1 教学内容解析从《数学课程标准》看,本节是“图形与几何”领域的重要内容.掌握锐角三角函数的概念是解直角三角形及其相关实际问题的重要基础.同时,锐角三角函数建立了锐角与比值之间的一一对应关系,通过学习可以使学生对函数的基本概念有更深刻的了解。
2 教学目标知识技能:认识锐角三角函数的意义,理解锐角三角函数的定义,并会结合图形求某一锐角的三角函数值,进一步提高运算能力和识图能力。
数学思考:经历锐角三角函数定义的探求过程,会求某一锐角的三角函数值。
问题解决:学会运用数形结合的思想方法来分析和解决问题,领会由特殊到一般的探索方法,体验角度与比值一一对应的函数思想,培养数学的符号感。
情感态度:进一步体验数学与生活的密切联系,养成独立思考,善于交流的学习习惯,体验成功,树立学习自信心。
3 教学重难点重点:探索和认识锐角三角函数。
难点:锐角三角函数的概念反映了角度与比值之间对应的函数关系,这种角与比值之间的对应关系,以及用含有几个字母的符号 sin A 、cos A 、tan A 等表示函数,学生过去没有接触过,所以对学生来讲有一定难度。
(解决策略:结合图形,运用几何画板引导学生正确认识锐角三角函数的定义。
)4 学情分析①学生的知识基础:已经较好的掌握了含特殊角的直角三角形、相似三角形的知识,这为本节课的学习打下了基础,但函数概念及其符号化,本身比较抽象,且初二学函数概念时要求又比较低,所以需要进行复习。
②初三学生已经有了一定的数学活动经验,让学生带着问题探索和思考,真正经历知识的形成与发展过程,是完全可以做得到的。
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1.1 锐角三角函数(2)
1.在△ABC 中,已知∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,那么sin A =__1
2
__.
(第2题)
2.如图,沿倾斜角为30°的山坡植树,要求相邻两棵树的水平距离AC =2 m ,那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为__2.3__m(精确到0.1 m). 3.若太阳光线与地面成α角,其中30°<α<45°,一棵树的影子长为10 m ,则树高h 的取值范围
是__10
3
_3_m <h <10_m .
4.计算:⎝⎛⎭⎫π-120
-sin30°=(A )
A.1
2 B .π-1 C.32 D .1-32 5.点A (cos60°,-tan30°)关于原点对称的点B 的坐标是(A )
A.⎝⎛⎭⎫-12,33
B.⎝⎛⎭
⎫-32,33 C.⎝⎛⎭⎫-12
,-3
3 D.⎝⎛⎭⎫-12,3 6.在-
227
,0.168,π,3
8,sin60°中无理数的个数是(B ) A .1 B .2 C .3 D .4
7.若∠A 为锐角,cos A <3
2
,则∠A 的取值范围是(A )
A .30°<∠A <90°
B .0°<∠A <30°
C .0°<∠A <60°
D .60°<∠A <90°
8.在△ABC 中,若∠A ,∠B 满足⎪
⎪⎪⎪sin A -32+⎝⎛⎭⎫cos B -122=0,则△ABC 是(D )
A .直角三角形
B .钝角三角形
C .等腰非等边三角形
D .等边三角形 9.sin70°,cos70°,tan70°的大小关系(D ) A .tan70°<cos70°<sin70° B .cos70°<tan70°<sin70° C .sin70°<cos70°<sin70° D .cos70°<sin70°<tan70°
(第10题)
10.如图,梯子的长AC 为3.2 m ,当梯子的顶端离地面的高度AD 为8
5
3 m 时,
(1)求此时α的度数;
(2)已知AB =AC ,求此时两梯脚之间的距离BC . 【解】 (1)在Rt △ACD 中,
AD =8
5
3 m ,AC =3.2 m ,
∴sin α=AD AC =85 33.2=3
2
.
∵α为锐角,∴α=60°. (2)在Rt △ACD 中,
CD =AC ·cos60°=1
2
AC =1.6(m),
又∵AB =AC ,AD ⊥BC ,∴BC =2CD =3.2(m). (或由AB =AC ,加上60°的条件得出△ABC 为正三角形.) 11.计算: (1)3cos30°-3cos60°+2sin45°;
(2)(2014-π)0-⎝⎛⎭⎫
12-2-2sin60°
+|3-1|; (3)sin45°
tan60°-cos30°
. 【解】 (1)原式=3×32-3×12+2×2
2
=32-3
2
+1=1. (2)原式=1-1⎝⎛⎭⎫122-2×3
2
+3-1
=1-4-3+3-1 =-4.
(3)原式=223-
32=2232
=6
3.
12.计算:tan1°·tan2°·tan3°·tan4°·tan5°·…·tan87°·tan88°·tan89°. 【解】 原式=(tan1°·tan89°)·(tan2°·1×…×1=1.
(第13题)
13.两条宽度为1的线条,交叉重叠在一起,且它们的夹角为α,则它们重叠部分的面积为
1sin α
. 【解】 由已知得四边形ABCD 是平行四边形. ∵AB ,BC 上的高均为1, ∴四边形ABCD 是菱形.
作AE ⊥BC 于点E ,则∠ABE =∠ADC =α.
∴sin α=AE AB =1
AB ,
∴AB =1
sin α
.
∴BC =AB =1
sin α.
∴S =BC ·AE =1
sin α
.
4 cm ,下底长为12 cm ,两底角分别为60°和30°,那么梯形的周长等于20+4_cm.
(第14题解)
【解】 如解图,AD =4,BC =12,∠B =60°,∠C =30°.分别过点A ,D 作BC 的高AE ,DE ,则EF =AD =4,AE =DF .
在Rt △ABE 中,AE
BE =tan60°= 3.
在Rt △DFC 中,DF FC =tan30°=3
3.
∴3BE =3
3
FC .
又∵BE +FC =BC -EF =8, ∴BE =2,FC =6.
∴AB =BE cos B =2cos60°=4,DC =FC
cos30°
=4 3.
∴C 梯形ABCD =AB +BC +CD +AD =20+4 3(cm).
15.已知关于x 的方程x 2-(2cos α)x +1
4
=0有两个相等的实数根,则锐角α的度数为60°.
【解】 由题意,得
Δ=(2cos α)2-4×1
4=4cos 2α-1=0,
∴cos α=±1
2
.
又∵α为锐角,
∴cos α=-1
2不合题意,舍去,
∴cos α=1
2
,∴α=60°.
16.如图是某货站传送货物的平面示意图,为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°,已知原传送带AB 的长为6 m. (1)求新传送带AC 的长度;
(2)如果需要在货物着地点C 的左侧留出2 m 的通道,试判断距离B 点5 m 的货物MNQP 是否需要挪走?并说明理由.
(说明:计算结果精确到0.1 m ,参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45.)
(第16题)
【解】(1)作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中,AD=AB·si n45°=3 2(m).
在Rt△ACD中,AC=2AD=6 2≈8.5(m).
即新传送带AC的长度约为8.5 m.
(2)货物MNQP应搬走.理由如下:
在Rt△ABD中,BD=AB·cos45°=3 2(m).
在Rt△ACD中,CD=AC·cos30°=3 6(m).
∴CB=CD-BD≈3.1(m),
∴PC=PB-CB=1.9(m)<2 m,
∴货物MNQP应搬走.
17.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A-2x-k=0的两个根,求∠A和∠B的度数及k的值.
【解】∵sin A,sin B是方程的两个根,
∴sin A+sin B=2,sin A·sin B=-k.
又∵Rt△ABC中,∠C=90°,∴sin2A+sin2B=1,
∴(sin A+sin B)2-2sin A·sin B=1,∴2+2k=1,∴k=-1 2,
∴原方程为x2-2x+1
2=0,∴x1=x2=
2
2,
∴sin A=sin B=
2
2,∴∠A=∠B=45°.。