初中数学九年级上册《1.0第1章 二次函数》PPT课件 (2)
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二次函数的性质ppt课件
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求 二次函数的表达式． 解：∵当 x≤0 时，y 的最大值为 2，当 x＞0 时，y 的最大值 为 3，∴抛物线的对称轴 x＝b2在 y 轴的右侧．∴b＞0. ∵抛物线开口向下，当 x≤0 时，y 的最大值为 2，∴c＝2. 又∵4×(－4×1(－)×c1－) b2＝3，∴b＝±2. ∵b＞0，∴b＝2.∴二次函数的表达式为 y＝－x2＋2x＋2.返回
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点.
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3．【2023·广州】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线 y＝x2－3上，且 0＜x1＜x2，则y1___<_____y2.(填“<”“>” 或“＝”)
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4．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增 大而增大，则m的取值范围是____m_≥_－__1．
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5．一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在y轴正半轴 上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函 数的表达式可以是____y_＝__－__x_2＋__1_(_答__案__不__唯__一__)．
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6． 已知函数y＝－x2－7x＋18. (1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 解：y＝－x2－7x＋18＝－x＋722＋1241. 该函数图象的开口向下，对称轴为直线 x＝－72， 顶点坐标为－72，1241.
x
2
b a
x
(
b 2a
)2
(b 2a
)2
c
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
a(x b )2 4ac b2
2a
4a
新知学习
浙教版数学九年级上册 1.1 二次函数 课件(共27张PPT)
你认为今天这节课最需要掌握 的是 ________________ 。
｛a - b + c = 10 a+b+c = 4
4a + 2b + c = 7
待定系数法
解得a = 2, b = -3, c = 5 所以所求的二次函数是y = 2x2 - 3x + 5
做一做
已知二次函数y=ax²+bx+3, 当x=2时, 函数值为3, 当x= - 2时, 函数值为2, 求这个 二次函数的解析式.
• 3、王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一 年后银行将本息自动转存为又一个一年定期.两年后 王先生共得本息y元与年存款利率x之间的函数关系式 是 y=2(1+x)2 =2x2+4x+2
• 观察下列函数,说出其特点.
• (1) y= x2
• (2) y=-x2+30x • (3) y=2x2+4x+2
解：(1) y = x(20 - 2x)
= -2x2 + 20x (0<x<10)
（2）当x=3时
y = -2 32 + 20 3 = 4（ 2 m2）
x
例２:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为10；当x=1时,函数 值为4；当x=2时,函数值为7.求这个二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数 为y = ax2 + bx + c,由题意得：
解：（1）a 0
（2）a = 0,b 0 （3）a = 0,b 0, c = 0
当m取何值时，函数y= (m+2)xm2-2 分别是一次函数？ 反比例函数？
二次函数？
试一试:
初三上数学课件(人教版)-二次函数
列二次函数解析式
列二次函数关系式要着重于三个方面：(1)找准实际问题中的 等量关系 ；
(2)根据等量关系 列出方程或等式
；(3)将方程或等式整理
成 二次函数的一般形式
.
自我诊断 2. 在半径为 4cm 的圆中，挖出一个半径为 xcm 的圆，剩下的一
个圆环的面积为 ycm2，则 y 与 x 的函数关系为( D )
A．m，n 是常数，且 m≠0
B．m，n 是常数，且 m≠n
C．m，n 是常数，且 n≠0
D．m，n 可以是任何常数
x2＋2x≤2 9．若函数 y＝2xx＞2 ，则当函数值 y＝8 时，自变量 x 的值是( D )
A．± 6
B．4
C．± 6或 4
D．4 或－ 6
10．二次函数
y＝3－5x－
解：(1)∵原矩形的面积为 3×4＝12(cm2)，边长增加后的矩形面积为(3＋x)(4 ＋x)＝(x2＋7x＋12)(cm2)． ∴y＝x2＋7x＋12－12＝x2＋7x.∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x2＋7x. (2)y＝x2＋7x 是二次函数．因为它满足二次函数的定义中的条件：①是整式， ②自变量的最高次数为 2，③二次项系数不为 0. (3)∵增加的边长必须是非负数，∴x 的取值范围是 x≥0.
是0＜x＜50 ；当 x＝2 时，矩形的面积为 96 cm2.
13．已知两个变量 x、y 之间的关系式为 y＝(m－2)·xm2－2＋x－1. (1)当 m 为何值时，x、y 之间是二次函数关系？ (2)当 m 为何值时，x、y 之间是一次函数关系？ 解：(1)m＝－2； (2)①m－2＝0，即 m＝2 时 y＝x－1； ②m2－2＝1 即 m＝± 3时是一次函 数； ③若 x≠0，m2－2＝0，m＝± 2是一次函数．
浙教版数学九年级上册第1章二次函数复习课件(共16张ppt)
4.在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2
不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移
2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解
析式是 ( )
A．y＝2(x－2)2 + 2
C．y＝2(x－2)2－2
B．y＝2(x + 2)2－2
D．y＝2(x + 2)2 + 2
典型例题
例1.二次函数的图象经过A(1,0) B(3,0) C(2,-1)三点, (1)求这个函数的解析式. (2)求函数与直线 y=2x+1 的交点坐标 .
5 9 入得 : a 1, 顶点P ( , ) 2 4 5 2 9 (2)平移前的抛物线为 : y (x ) 2 4 5 向左平移只要超过 个单位,向上平移 2 9 超过 个单位即可 . 4
典型例题：例3
已知二次函数
y x 2 ax a 2 。
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。 （2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 13时，求 出此二次函数的解析式。 （3）在（2）中的二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象 上是否存在点P，使得△PAB的面积为 3 13 ，若存在求出P点坐 标，若不存在请说明理由。 2
例6:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分
别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知
点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线
相交于点D。(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关 于x的函数关系式； (2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时
初中数学九年级上册22.1.1《二次函数》PPT课件
问题2：
多边形的对角线总数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相 邻的各顶d点= 1，n2可 3作n ＿（＿n＿-3＿）条对角线.因此，n边形的对角
22
线此总式数表＿示＿了＿多＿边＿形的对角线总数d与边数n之间的关系，
对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
为什么a≠0呢?
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之
间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数
关系；
【（解3析）】菱（形1的）两由题条意对得角线S 的 和6a为2 (，a26其cm中0，)S是写a出的菱二形次的函面数；积S（cm2）
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值 一定是___0___.
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种解函析数：？S=a( 620-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
与（一2对）角由线题长意得x（cym）4x之2 间(，x的其0函中) 数y是关x系的二．次函数；
（3）由题意得
S
1 2
x(26
x)
Байду номын сангаас
1 2
x2
，1其3x中(0
x
26)
S是x的二次函数.
1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？ 2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米， 宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关 系【式解．析】 (1)y=x2
浙教版九年级上册 1.1 二次函数 课件(共20张PPT)
情境
2.y = 2(1+x)2 =2x2+4x+2
知识
精讲
3.y= (56-x)(x-2)=-x2+58x-112
例题 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
解析
小结
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
梳理
(a,b,c是常数, 且a≠0 )
当堂 检测
概念讲解
二次函数的一般式
创设 情境
创设
情境 已知 AB＝6cm，CD＝3cm，AD＝4cm. (1)求四边形纸板 CGEF 的面积 S(cm2)关于 x 的函数表达式和 x 的取值范围；
知识 (2)当 S＝8 时，求 AE 的长度．
精讲
例题 解析
小结 梳理
当堂 检测
挖掘教材
1：函数 y m 3 xm27
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
解析
4.函数 y＝(x－1)2＋(2x－1)2 中二次项系数为________，一次项系数为________，
小结
梳理
常数项为
．
当堂 检测
例题解析
例 1 如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部 创设 分） ,设 AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形 EFGH 的面积为 y（cm2） .
1.1 二次函数
知识回顾
创设 什么叫函数?
情境
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取
知识
精讲 一个确定的之间的关系我们把它叫做函数关系。
例题
解析
对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数，x叫自变量。
小结
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质》PPT
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
函数y=ax2+bx+c的顶点式
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
（- b ，4ac - b2 ） 2a 4a
快速反应：火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与 时间 t (s) 的关系为h = - 5 t ²+ 150 t +10 经过多长时 间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
的顶点都在
（ B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
y
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
方∵9对向/a4于=，）-1y，求＜=与a出0x,y2它∴轴+开b的交x口+点对c向我坐称下标们轴，为可、顶以顶点确坐点定标坐（它标2的、.5开，与口y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点（时0），，- 4这），样与就x可轴以交画点为出（它1的,0)大、致(4,图0）象，。
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
函数y=ax2+bx+c的顶点式
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
（- b ，4ac - b2 ） 2a 4a
快速反应：火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与 时间 t (s) 的关系为h = - 5 t ²+ 150 t +10 经过多长时 间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
的顶点都在
（ B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
初三二次函数ppt课件ppt课件ppt课件
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。
人教版数学九年级上册《二次函数》PPT
四解析式
交点 式
y=a(x-x1) (x-x2)
已知与x轴
的两个交
点及另一 个点返回
抛物线与X轴、Y轴的交点坐标：
y ax2 bx c
与x轴交点，令y=0; 与y轴交点，令x=0
抛物线的平移：
知
Y=ax2+k
识
点 Y=ax2
总
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Y=a(x-h)2
结
Y=a(x-h)2+K
Y=ax2
Y=ax2+bx+c
例5：
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°， 点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，
点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 A
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
几秒后ΔPBQ的面积最大？
最大面积是多少？
P
C
Q
B
练习2
练 （1）填写表中的空格：
习
抛物线
y a(x b )2 4ac b2 2a 4a
开口方向
顶点坐标
对称轴
a>0 最 值
a<0
a>0 增 减 性 a<0
(0,0)
当a>0时开口向上，并向上无限延伸； 当a<0时开口向下，并向下无限延伸.
(0,c)
(h,0)
(h,k)
y轴
y轴 直线 x h 直线 x h
x 0时，x 0时， x h时 x h时
求C， A，B的坐标。
典
（3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。
例
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
浙教版九年级数学上册全册完整精品课件
浙教版九年级数学上册全册完整精品课件一、教学内容1. 第1章：二次函数1.1 二次函数的概念与图像1.2 二次函数的性质1.3 二次函数的解析式1.4 二次函数的应用2. 第2章：一元二次方程2.1 一元二次方程的概念与解法2.2 一元二次方程的根的判别式2.3 一元二次方程的根与系数的关系2.4 一元二次方程的应用3. 第3章：圆3.1 圆的基本概念与性质3.2 直线和圆的位置关系3.3 三角形的圆心角、弧、弦的关系3.4 圆的应用4. 第4章：统计与概率4.1 数据的收集与整理4.2 频数与频率4.3 概率的基本概念4.4 统计与概率的应用二、教学目标1. 理解并掌握二次函数、一元二次方程、圆的基本概念、性质和应用。
2. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学思维能力。
3. 学会使用统计与概率知识分析问题，培养数据分析能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数的性质、一元二次方程的解法、圆的性质、统计与概率的计算。
2. 教学重点：二次函数的应用、一元二次方程的根的判别式、圆与直线的位置关系、数据的收集与整理。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：课本、练习本、圆规、三角板、计算器等。
五、教学过程1. 导入：通过实际问题引入二次函数、一元二次方程、圆等概念，激发学生学习兴趣。
2. 新课讲解：详细讲解各章节知识点，结合例题进行讲解。
3. 随堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 课后作业：布置适量的作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数的图像与性质2. 一元二次方程的解法与根的判别式3. 圆的基本性质与位置关系4. 统计与概率的计算方法七、作业设计1. 作业题目：画出二次函数y=x^22x3的图像，并求出其顶点坐标。
解一元二次方程x^23x+2=0，并说明其根的情况。
证明圆的直径所对的圆周角是直角。
收集某班学生的身高数据，计算平均身高和身高的方差。
九年级数学上册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象(2)课件(新版)浙教版
顶点坐标
( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
填空： 1．由抛物线y=2x²向＿左＿平移＿1＿个单位可
得到y= 2(x+1)2.
2．函数y= -5(x －4)2 的图象。可以由抛物
线＿y＿=-＿5x＿2 向＿右＿平移4个单位而得到的。
在同一直角坐标系中画出函数 y1(x2)2 3的图象 .
一般地，平移二次函数 y ax2的图象就
可得到二次函数 y a( x m)2 k 的图象， 因此，二次函数 y a( x m)2 k 它的形状、
对称轴、顶点坐标和开口方向与a, m, k的
值有关。
m左加右减; k上加下减
课内练习:
1．指出下列二次函数的开口方向、对 称轴和顶点坐标：
在对称轴的左侧，y随着x 增大而增大
在对称轴的右侧，y随着x 增大而减小
当x=0时，y最小值为0 当x=0时，y最大值为0
小刚在同一坐标系中作出了三个二次函数
的图象：
y 1 x2 y 1 (x 3)2 y 1 ( x 3)2
2
2
2
他发现它们之间有很多的相同点和不同 点，三个图象之间到底有怎样的关系呢？
3
1.把函数 y 1 x2 的图象作怎样的平移变换， 3
就能得到函数 y1(x4)2 的图象。
3
2.说出函数 y1(x4)2的图象的顶点坐标 和对称轴。 3
做一做:
抛物线
开口方向
y =2(x+3)2
y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
向上 向下 向下
对称轴
直线x=-3
直线x=1 直线x=3
x2
向右平移３个单位
y 1 (x 3)2 2
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6、若将抛物线 y x2向左平移 3个单位得抛物
线
抛物线 又得到
y y
((yxx3x3)2)22的2再。2，所x图向得象下2的?平抛移物2线个经单怎位样得平移
6.若抛物线 y x2 6x c 的顶点在x轴上,则c的值 是( A )
7.已A知.9二次函B数.3 y 2C(.-x9 1)2 D.10,2 x 1， 那么函数y的值( Ｄ )
二次函数的复习
二次函数
抛物线
y ax2 bx c(a 0)
直线x
b的图象是一
2a
条
( ,b它,的4对ac称 轴b2是)
,顶点
2a 4a
坐标向是上
低 ,当a＞0时,开
口 向下 ,顶点是抛物线上的最 高 点, 当a＜0时, 开
1.二次函数 y x2 2x 4 的图象开口方向是 向上 , 对称轴是 直线x=-1 ,顶点坐标是 (-1,-5) .
③ 函数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0
＜x1＜x2＜2时，y1 > y2 你认为其中正确的个数是
（）
y
A．2 B．3
C．4 D．5
0
2
x
-3
(4)根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量 与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
（a≠0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（ ）
.
01
x
练习
（1）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那
么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c，a－b＋c 这五个 代数式中，值为正数的有（ ）
y
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
O
-1
1
x
（3）小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的
图象观察得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0；
x y＝ax2＋bx＋c
6.17
6.18
6.19
6.20
-0.03
-0.01
0.02
0.04
A．6.17＜ x ＜6.18 B．6.18＜ x ＜6.19
C．-0.01＜ x ＜0.02 D．6.19＜ x ＜6.20
2.根据图中的抛物线,当x满足x 2时，y随x增大而增大；
x
当 x满足 最大值.
2
时,
y随x增大而y减少；当x
x
2时,y有
3
01
3x
4.抛物线
y
x2
bx
y
c
x经2过A2(x-1,03),B(3,0)两点,
则这条抛物线的表达式为
.
5.写出一个二次函数的表达式,要求满足下列条件:
①y开口a向(x下;②2顶)2点坐3， 标为只(要 -2满 ,-3足 ). a为负数即可 .A.最小是1,最大是5来自B.最小是1,无最大值
C8..最某小旅是行3社,最有大10是09张床位,每D晚.每最床小收是费1,1最0大元是,客9床可全部出 租,若每床每晚提高2元,则减少10张床位出租,若每床每晚再 提变高化2下元去,,则为再了减投少资1少0而张利床润位大出,租每.床已每每晚次应提提高高2元( A的这)种方法
A.4元或6元 B.4元 C.6元 D.8元
9.直线y=x+2与抛物线 y x2 2x 的交点坐标 1是0.已(知-2二,0次)函和数(1,y3) a. x2 bx c 的顶点坐标是
a(x-21,-3b.x2)及c 部 分0 图象如图,由图象可知一元二次方程-3.3
的两个y 根分别是x1=1.3和x2=