直线与双曲线的位置关系(2)学案
直线与双曲线的位置关系(文)_基础学案
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)y a x b b a -=>>22221(0,0)x a y b ba -=>>要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点； 若2220,b a k -≠即bk a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=12||y y -=双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化 （2） 利用双曲线的几何性质（3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质 例1.求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆2211625x y +=共焦点，且过点(－2的双曲线；(2)与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线． 【解析】(1)∵椭圆2211625x y +=的焦点为(0，±3)， ∴所求双曲线方程设为：222219y x a a -=-，又点(－2在双曲线上， ∴2210419a a-=-，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为22154y y -=.(2)∵双曲线221164x y -=的焦点为(±0)， ∴设所求双曲线方程为：2222120x y a a -=-，又点2)在双曲线上， ∴22184120a a-=-，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为221128x y -=. 【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的基本步骤。
高二数学学案 3.2.2双曲线的方程和性质的应用
课前案问题引领一、与双曲线有关的其他几何性质(1)通径：过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1⎝⎛⎭⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点作垂直于焦点所在对称轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫做通径，其长度为(2)焦点三角形：双曲线上的点P 与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积S ＝ .(3)距离：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上任意一点M 到左焦点的最小距离为 ，到右焦点的最小距离为 .二、直线与双曲线的位置关系直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？将y ＝kx ＋m 与x 2a 2－y 2b2＝1联立消去y 得一元方程(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2(m 2＋b 2)＝0.目标导航1、熟悉双曲线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率、通径、焦点三角形面积等）。
2、会求与双曲线有关的轨迹问题。
3、会判断简单的直线与双曲线的交点个数。
路径导学例1：过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为 ．式练习：过点(0,2)和双曲线x216－y29＝1只有一个公共点的直线有几条？直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．(2)数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程．思维导图课后案A组1.双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F（﹣3，0），M（0，4），点P为双曲线右支上的动点，且△MPF周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（）A．32BC．2D．32.（2021·全国高考真题（理））已知12,F F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3F PF PF PF∠=︒=，则C的离心率为（）ABCD3.若曲线224x y-=与直线()23y k x=-+有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是______．4.已知A，B两点的坐标分别是()60-，，()60，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是29，则点M的轨迹方程为________________________。
高二数学最新教案-直线与双曲线的位置关系第二课时 精品
宝应县范水高级中学备课纸学科：数学 执教者：卢浩 执教班级：高（）（） 日期： 年 月 日 教学内容: 直线与双曲线(二)教学目的要求；1、掌握直线与双曲线的关系2、会根据椭圆双曲线性质求双曲线方程教学重点；直线与椭圆双曲线位置关系 教学难点：双曲线的简单几何性质应用 教学方法：师生共同讨论法学法指导：1、渗透数形结合思想；2.、提高学生解题能力。
3、与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律教具准备：投影片复习：一、直线与双曲线的位置关系（当直线的斜率存在时）： （１）有两个公共点0 ∆⇔；（２）有一个公共点0=∆⇔或直线与渐近线平行； （３）无公共点0 ∆⇔或直线为两条渐近线．例1：已知双曲线22:14yH x -=，过点P （1，1）的直线l 与H 只有一个公共点，求l 的方程。
例2、纵横坐标都是整数的点叫格点，过格点P作与双曲线223-=有且仅有x y一个公共点的直线l，若l恰有3条，求P点的坐标。
例3、已知双曲线：22F，且倾斜角为45︒，与双曲线交-=，直线l过右焦点33x y2于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上，并求弦AB的长。
例4、过双曲线1422=-yx的左焦点Ｆ的直线交双曲线于Ａ、Ｂ两点，且AB ＝４，这样的直线有 条；变：若AB ＝５，有 条； AB ＝３，有 条；AB ＝２有 条； AB ＝有 条；AB ＝１，有 条；AB ＝21，有 条练习：（1） 直线y k x =与曲线y =_____条（2） 过双曲线22221x y ab-=的一个焦点的直线交它的弦长为2a ，若这样的直线仅有两条，则离心率为___________。
教后感：。
直线与双曲线的位置关系教案
直线与双曲线的位置关系 xx 中学 教者xxx教学目标:1、知识目标: 直线与双曲线的位置关系。
2、能力目标: 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。
3、德育目标: 事物之间即有区别又有联系的辩证观点。
教学重点: 直线与双曲线的位置关系及判断方法。
教学难点: 学生解题综合能力的培养。
教学时数: 两课时教学方法: 启发式教学过程:一、课题导入回忆直线与椭圆的位置关系及判断方法(将直线方程代入椭圆方程中 得到一个一元二次方程,然后用判别式来判断)。
二、讲授新课通过观察第一组动画演示,学生能够直观的发现直线与双曲线的位 置关系：相离:没有公共点。
相切:有一个公共点。
相交:有两个公共点。
通过观察第二组动画演示,使学生能够发现，当直线与双曲线的渐 近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点。
练习：判断直线x y 21=与双曲线322=-y x 的位置关系。
例：已知直线l :1+=kx y ,双曲线422=-y x 。
问k 取何值时，直线与双曲线相交、相切、相离？分析：结合前面观察的结果和直线与椭圆位置关系的判断方法引导学生将直线方程代入双曲线方程中，得到一个方程,研究方程解的情况。
解：结论：直线与双曲线的位置关系的判断方法：把直线方程与双曲线方程联立，消去x （或y ）后得到一个方程。
若方程的二次项系数不 为零，则方程为一元二次方程。
此时，当⊿ ＞0时，直线与双曲 线相交；当⊿=0时，直线与双曲线相切；当 ⊿＜0时，直线与双 曲线相离。
若方程的二次项系数为零，则方程为一元一次方程。
此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交，只有一个 公共点。
得由⎩⎨⎧=-+=4122y x k x y 052122=---kx x k ）（。
是它们只有一个公共点直线与双曲线相交，但平行与双曲线的渐近线时，直线，即：当,101)1(2l k k ±==-时，即当101:)2(2±≠≠-k k 2016)1(20)2(222+-=-+=∆k k k ()个公共点。
河北省邯郸四中高二数学《直线与双曲线位置关系》学案
选修 1-1（2-1）圆锥曲线第二节 双曲线【使用说明与学法指导】1.双曲线的定义揭示了它的几何属性，根据定义导出它们的标准方程，进而研究其几何性质，所以要重视定义在解题中的作用．2.学习本章要体会以坐标法为桥梁，用代数法来研究处理几何问题的方法，掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质等内容．3.本章内容对运算能力要求比较高，在学习中要不断提高自己的运算能力．直线与双曲线位置关系【学习目标】1.掌握标准方程1. 灵活应用解决双曲线与直线位置关系问题【例题讲解】例1过双曲线16322=-y x 的右焦点2F ，倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B 两点，求AB 。
例 2已知双曲线3322=-y x ，直线l 过右焦点且与曲线交与A,B 两点，斜率为k（1）当k 为何范围时l 与双曲线交于同一支上（2）当k 为何值时，l 与双曲线分别交于两支上【合作探究】例 3已知双曲线4422=-y x ，问过点A(1,1)能否作直线l ，使它与双曲线交于P 、Q 两点，且A 为线段PQ 中点？若存在，求出直线l 方程，若不存在说明理由。
练习1. 双曲线116922=-y x 的右顶点A ，右焦点F ，过F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，求三角形AFB 面积。
2. 已知双曲线12222=-by x （b>0）的左右焦点分别为21,F F 一条渐近线方程为y=x ，点P （3，0y ）在双曲线上，求1PF ∙2PF3. 已知双曲线422=-y x 直线l ：y=k （x-1）（1） k 为何值时，双曲线与直线只有一个公共点（2） 双曲线上有两点关于l 对称，求k 的范围。
高中数学 直线与双曲线的位置关系教案 新人教版必修4
教学方式探索与实践——问题与猜想教学方法课题: 直线与双曲线的位置关系一、教学目标:〔一〕知识目标:掌握直线的斜率对其与双曲线位置关系的影响, 学会用根的判别式判断两者位置关系。
〔二〕能力目标:培养学生观察、发现、分析、探索知识能力, 培养学生数形结合和化归等数学思想。
〔三〕情感目标:通过问题情境, 培养学生自主参与意识, 及合作精神, 激发学生探索数学的兴趣, 体验数学学习的过程和成功后的喜悦。
二、教学重点: 引导学生探究直线与双曲线相关知识。
三、教学难点: 应用数学思维及直线与双曲线位置关系等知识来解决数学问题。
四、教学方法: MM 教学方式探索与实践——问题与猜想教学方法五、教学过程体验:问题: 如果直线 与双曲线 没有公共点, 求 的取值X 围。
〔高二数学上复习参考题八13题〕分组探讨, 解决问题：解: 由联立方程 得:∵直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点 ∴ 解之得:∴k 的取值X 围为25,25-<>k k 或 让学生在对这一问题独立思考的基础上, 安排学生分组交流, 提出让学生对该题可进行如何变式, 然后再去研究、探讨、猜想、解决问题。
变式一: 如果直线 与双曲线 有一个公共点, 求 的取值X 围。
变式二: 如果直线 与双曲线 有两个公共点, 求 的取值X 围。
变式三: 如果直线 与双曲线 在左支上有两个公共点, 求 的取值X 围。
变式四：如果直线 与双曲线 在右支上有两个公共点, 求 的取值X 围。
变式五：如果直线 与双曲线 每一支上都有一个公共点, 求 的取值X 围。
通过对该题的解答带领学生分析得出变式一的解 变式一解: 由联立方程 得:∵直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有一个公共点∴① 得:② 得: 解之得:∴ 的取值X 围为 , 或 , 或通过对问题和变式一的分析、解答, 提出有无其它解法？ 处理直线与圆锥曲线位置关系的题目, 基本上有两种方法：一是代数角度, 考虑方程组解的情况；二是几何角度, 数形结合, 尤其是直线与双曲线的位置关系, 考虑直线与渐近线的关系是较为优化的思路。
高中数学选择性必修一双曲线的简单几何性质(第2课时)
(2)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2，0)作斜率为
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的直线，交双
曲线于M，N两点，且|MN|＝4，求双曲线方程．
(1)|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2
＝ （1＋a2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝ （1＋a2）[3－2aa22＋3－8 a2]
＝2
（1＋a2）（6－a2）
|3－a2|
.
(2)记坐标原点为O，由题意知，OA⊥OB，则 O→A · O→B ＝0，即x1x2＋y1y2＝ 0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0. 即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0， ∴(1＋a2)·3－－2a2＋a·3－2aa2＋1＝0， 解得a＝±1. 经检验，当a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
所以双曲线的标准方程是x42－y52＝1.故选B.
(2)已知双曲线x2－
y2 2
＝1，问过点A(1，1)能否作直线l，使l与双曲线交于P，
Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明
理由．
【解析】 设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 xx1222－ －yy221222＝ ＝11， ，作差可得(x1－x2)(x1＋x2)＝12(y1－y2)(y1＋y2)．
思考题2
已知双曲线方程为x2－
y2 4
＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有
一个公共点，则l的条数为( B )
“直线与双曲线的位置关系”教学案例
在问题中成长——髙中数学“直线与双曲线的位置关系”教学案例一、教学设计背景1、课标内容与要求:“双曲线”是高中数学《圆锥曲线与方程》中的重要内容.教材安排了两节内容：双曲线及其标准方程和双曲线的几何性质.要求学生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题.2、教学进行时:学生在学习了双曲线及其标准方程和双曲线的几何性质的基础上，作为双曲线方程的应用之一进行本节课的学习.这节课的学习，一方面可以巩固学生知识网络中已构建的对圆，椭圆与直线位置关系的认知，使学生对直线与双曲线的位置关系的认识从定性上升到定量，为下面抛物线的学习以及对四种圆锥曲线辨证统一的理解在认识上和方法上打下基础.另一方面，可以进一步加深用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法，对解析几何教学思想的认识有着重大的影响.二、教学设计思路1、设计重点:直线与双曲线的几种位置关系的认识，利用方程讨论直线与双曲线的位置关系的基本方法.2、难点突破:对直线与双曲线位置关系的认识上的“数形统一”，对渐近线的“无限趋近”意义的认识，用运动的观点，数形对应转化的思想理解及解决相关问题.3、教学方法：采用问题教学法，以问题思考为向导，以问题解决为目标，灵活创设情景，引导学生主体参与，自主探索，逐步深入，主动“创造”知识，动态生成概念，有效提升能力．三、教学目标1、知识与技能掌握直线与双曲线的几种位置关系；能利用方程讨论直线与双曲线的位置关系；能解决与直线有关的双曲线的一些综合问题.2、过程与方法使学生进一步熟练用代数方法（坐标，方程）讨论图形性质的能力；培养学生运用对应转化，数形结合，运动变化等观点和数学思想方法获取数学知识，分析问题和解决问题的实践能力.通过与圆，椭圆知识的类比联系，提高知识间纵横迁移的视角转换能力.3、情感、态度与价值观通过学生主体参与，培养自主学习的内在发展能力，体验获取数学知识的成功感；通过观察，联想，猜测，归纳等合情推理，激发学生勇于探索敢于创新的精神；通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征，辨证特征；通过师生，生生的交互讨论，共同探索，培养合作学习，提高数学交流表达能力.四、教学过程实录（一）创设情境，引入课题1、导言：前面我们学习了双曲线的定义，标准方程和几何性质，今天我们要继续研究双曲线，研究“直线与双曲线的位置关系”.2、提出问题：问题1 ：直线与双曲线有那些不同的位置关系？根据什么特征加以区分？生：有三种位置关系：相交，相切，相离.可以根据它们公共点的个数来区分. 问题2：直线与双曲线的公共点个数可能有几个？各对应什么位置关系？学生由观察图象得出三种位置关系，但对相交时公共点的个数不少同学认为最多有4个，也有可能是3个，2个；对有1个公共点，普遍认为是相切.【设计意图】问题出在学生思维水平的最近发展区，打破已有的认知平衡，引发认知冲突，激发起学生构建认知结构的主动性和迫切性．以问题1作为教学活动的开端，使学生初步了解这节课的教学任务，无论是操作层面或思维层面上，作好迎接挑战的准备.问题2让学生面临一个似曾相识，已有一些感性认识，但理性认识欠缺的问题，而由观察产生的偏差所引发的不同认识，更容易激发起学生的好奇心，好胜心和进一步探索的兴趣，形成一个欲罢不能的追求目标.针对这种情形，教师没有给出确定答案，而是以类化式问题引导学生回忆前面学过的知识及研究方式，构建数学知识点间的比较，同时使新知识类化到知识网络的恰当位置，重建与改组知识网络.问题3：除了观察公共点的个数，有没有其他判定方法？在研究圆，椭圆与直线的位置关系时，我们是如何进行判定的？生：可以由方程组的解的个数确定，具体可用d 法或判别式法.【设计意图】直观的“形”—公共点个数与“数”—方程组的解的个数的对应，为“依形判数”与“就数论形”的相互转化奠定了基础，使学生初步领略了数形结合这一解析几何的基本思想方法的作用，为下面的进一步研究提供了方法的依据.（二）自主探究，构建新知建构一.尝试体验,探究结论：以操作式问题丰富感性认识，构建具体的可操作的问题，引导学生用方程继续进行问题研究，并借助多媒体演示，调动学生眼、耳、口、手、脑等多种感官参与，使抽象问题具体化和可操作化，充分调动其学习的积极性和主动性.问题1：当R k ∈时，试讨论直线2+=kx y 与双曲线1222=-y x 的公共点情况. 分析：公共点即方程组的解.⇒⎩⎨⎧+==-21222kx y y x 098)21(22=---kx x k （1）当22±=k 时，直线2+=kx y 与双曲线1222=-y x 有一个公共点，相交； (2)当22±≠k 时，0)21(366422=-⨯+=∆k k ，即223±=k 时，直线2+=kx y 与双曲线1222=-y x 有一个公共点，相切；（3）当0<∆，即223>k 或223-<k 时，直线2+=kx y 与双曲线1222=-y x 无公共点，相离.（4）当0>∆，即223223<<-k 且22±≠k 时，直线2+=kx y 与双曲线1222=-y x 有两个公共点，相交.【设计意图】在学生从研究方程得出准确结论后，结合多媒体演示，引导学生再观察各种相应图形情况，分析，归纳，自己去发现结论，并加以表述，完成对该知识的形成.建构二. 归纳提炼，形成方法以目标式问题实现知识结构的完整和认知结构的整体优化，帮助学生识记、理解、运用、分析数学问题，及时反馈教与学的效果，调控教与学的进程，进行教学目标的有效构建，以达到掌握新知识的目的.问题2：哪位同学给我们归纳一下直线与双曲线的位置情况？生：相交：有一个公共点（直线与渐近线平行）或两个公共点（0>∆）；相切：（0=∆）；相离：（0<∆〉问题3：双曲线 122=-y x 与直线2-=x y ，x y =，x y 3= 各是什么位置关系？ 各有几个公共点？问题4：过平面上一点作双曲线的切线，最多有几条？为什么？由什么因素决定？生：最多有两条，可能有一条或无，由点的位置决定.教师多媒体演示各种情况.【设计意图】提出问题是思维活动的出发点，从意识到问题的存在并提出相关的问题，教师作为学习活动有力的合作者与促进者，要根据学生探究能力不同，设计开放程度不同的探究问题，引导鼓励学生运用观察，类比，归纳，猜想等方式围绕整个问题情境作深入而宽广的扫描，尽量扩大学生的感知范围.而计算机提供对数学活动过程的直观演示，使学生体验到用运动的观点来研究图形的思想，为下面学习提供启示.让图形说话，可以充分调动学生的直觉思维，极大地激发学生学习的兴趣，并能使学生更深刻地理解几何.（三）应用拓展，激活思维拓展1、以多变式问题活跃学生思维，构建一题多变，一题多问，一题多用，一题多解的数学问题，培养学生思维的变通性，实现知识的有效迁移和开拓应用.问题5：过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为4π的弦AB ，求弦AB 的长及AB 中点N 到右焦点F 的距离.师生分析探究：（1）在圆与椭圆的学习中，我们是任何计算弦长的？这些方法适用于双曲线吗？（用弦长公式）（2）本题中的弦并非一般弦，而是焦点弦，有其他方法求弦长吗？（利用焦半径公式）（3）哪一种方法比较合理？(4)椭圆是否也可用焦半径公式计算焦点弦长？具体操作时有什么不同？（双曲线要根据弦的两端点在一支还是两支上分别处理，椭圆则不需要分情况考虑） 拓展2、以提升式问题提高认知水平，注重对学生逻辑思维的训练及非逻辑思维的强化，构建速度与难度式的数学问题，鼓励学生运用直觉思维，以量的模糊换取质的生动，实现对问题解决的直觉领悟，培养敏锐的洞察力.问题6：已知双曲线1222=-y x ，试问过点N （1，1），能否作一直线与双曲线交于D C ,两点，且使N 为CD 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.【设计意图】学生不难求出方程，但实际上这样的直线与双曲线不相交.此例可以训练思维的逻辑性、严密性和对开放式问题的思考角度.3、巩固练习：（1）过双曲线1222=-y x 的左焦点作直线L ，交双曲线于B A ,两点，若4=AB ，这样的直线L 共有 ______ 条（2）已知双曲线122=-y x 的左焦点为F ，点P 为双曲线在第三象限内的任意一点，则直线PF 的斜率的取值范围是 ______（3）过右焦点F 的直线与双曲线1222=-y x 的右支相交于两点，则直线的斜率的取值范围是______【设计意图】在学生初步达到本课时知识目标后，设置新疑点，使此问题向彼问题迁移，以应用知识解决新的数学问题.以上这些问题若采用常规方法通过设斜率解方程去解决运算量相当大，而结合图象与双曲线性质能比较迅速获解.使学生能更深刻地体会“数形结合”的思想方法，提高运用数学思想解决实际问题的意识.（四）总结提炼，感悟深化1、请学生归纳本节课的学习内容和思想方法，师生讨论补充；2、作业：作业本.五、教学思考和感悟1、课堂实施（1）学生之“学”：在本节课学习之前，学生已经学习了“圆和椭圆”这两种圆锥曲线，从定义，标准方程，几何性质，直线与其位置关系，方程的应用，这几个方面进行知识的构建，所以对研究的程序、内容、方法以及相关结论都有所积累，具有相当清晰的知识背景，这是目前的认知状态和能力状态.在继续学习了双曲线的定义，标准方程，几何性质之后，进一步研究双曲线与直线的位置关系自然成为学生构建完整知识网络系统的内在需要，当前的认知、情感状态为本节课“以学生为主体，从问题到问题”的教学设计提供了可能性.学生完全有能力在教师引导下自主探索，完成本课的学习，多渠道获取知识，并将学到的知识加以综合应用，解决新问题.（2）教师之“教”：建构主义理论认为，学生对新知识，新方法的接受不是消极，被动的，而是积极地利用现有的知识和方法去吸收内化新知识，新方法，将之内存于自己已有的知识结构中，教师必须抛弃那种单纯传授知识，视学生为“知识容器”的被动的教学模式和思想，把教学过程变成一个学生主动参与探索，互动交流，不断发现问题、解决问题的实践过程，在学会知识的同时，更学会学习.2.教学效果本节课课堂气氛民主热烈，学生情绪饱满，思维活跃，所有的问题都是在学生共同参与下，通过热烈讨论，相互启发，思考探索解决的，教师处于引导和平等参与的地位.通过本节课的学习，学生不仅掌握了有关知识，而且深刻地领略了平面解析几何的基本思想——“以数论形，数形结合”对于解决实际问题的重要意义，提高运用思想方法的自觉性，并进一步发展了思维的严密性和灵活性.3.反思提高以学生为本，是现代课堂教学设计的基本理念.以教师的“教”为本，学生只能处于“观众”席位，丧失了学习过程中的自主性和主动性.以书本知识为本，忽视了师生，生生之间的情感交流，学生只能获得僵化的知识，丧失了学习过程中的情感性和发展性.而以学生的学为本，发展为本设计课堂教学，通过学生积极，主动的思维和创造性的探索活动，实现思维结构的优化和认知系统的建构，使学生的知识获得“生成和生长”，从而使数学课堂成为思维的课堂，学生再创造的课堂，生命活力焕发的课堂.问题是数学的心脏，问题也是思维的出发.数学教学的核心就是培养学生解决数学问题的能力，形成良好的思维品质.所以在本节课的教学设计中，主要采用问题教学法，通过类化式问题、操作式问题、目标式问题、多变式问题、提升式问题等数学问题系统构建，以一系列问题，配合多媒体动态演示，引导学生主体参与，积极思维，主动探索，勇于发现，敢于创新，在优化认知机构的同时，发展学生从特殊到一般的问题类比、方法迁移、归纳推理的思维能力，把学生引向探索学习之路.。
高中数学同步学案 直线与双曲线的位置关系
第二课时 直线与双曲线的位置关系[读教材·填要点]1．直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线l ：y ＝kx ＋m(m≠0)① 双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0,b>0)②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0,即k ＝±b a 时,直线l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线C 相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0,即k≠±b a 时,Δ＝(－2a 2mk)2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离． 2．弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l 与双曲线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|.[小问题·大思维]1．当直线与双曲线只有一个公共点时,直线一定与双曲线相切吗？提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点． 2．当直线的斜率不存在或斜率k ＝0时,如何求弦长？提示：把直线方程直接代入双曲线方程,求出交点坐标,再求弦长．直线与双曲线的位置关系已知双曲线x 2－y 2＝4,直线l ：y ＝k(x －1),试确定实数k 的取值范围,使：(1)直线l 与双曲线有两个公共点； (2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k x －1，消去y,得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0,(*)当1－k 2＝0,即k ＝±1,直线l 与双曲线的渐近线平行,方程化为2x ＝5, 故方程(*)只有一个实数解,即直线与双曲线相交,有且只有一个公共点． 当1－k 2≠0,即k≠±1时,Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233,且k≠±1时,方程(*)有两个不同的实数解,即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时,方程(*)有两个相同的实数解,即直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜0，1－k 2≠0，即k ＜－233或k ＞233时,方程(*)无实数解,即直线与双曲线无公共点．综上所述,(1)当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1∪(－1,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，233时,直线与双曲线有两个公共点．(2)当k ＝±1或k ＝±233时,直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞时,直线与双曲线没有公共点．若将“y＝k(x －1)”改为“y＝k(x －3)”,试解决(2)(3)两个问题？解：∵直线y ＝k(x －3)过定点(3,0),且定点(3,0)在双曲线x 2－y 2＝4的内部． ∴当k ＝±1时,直线l 与双曲线有且只有一个公共点； 当直线l 与双曲线没有公共点时,k 不存在,即k ∈∅.解直线和双曲线的位置关系的题目,一般先联立方程组,消去一个变量,转化成关于x 或y 的一元二次方程．再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时,就转化成x 或y 的一元一次方程,只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时,利用根的判别式,判断直线和双曲线的位置关系．1．已知双曲线x 2－y24＝1,过点P(1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点,求直线l 的方程．解：可分两种情况：①直线l 斜率不存在时,l ：x ＝1与双曲线相切,符合题意,此时直线l 为x ＝1. ②直线l 斜率存在时,设l 方程为y ＝k(x －1)＋1, 代入双曲线方程得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0,即k ＝±2,即l 与双曲线的渐近线平行时,l 与双曲线只有一个公共点．直线l 为y ＝2x －1或y ＝－2x ＋3.当4－k 2≠0时,令Δ＝0,得k ＝52,直线l 为y ＝52x －32.综上,直线l 的方程为x ＝1或y ＝2x －1或y ＝－2x ＋3或y ＝52x －32.弦长及中点弦问题已知双曲线x 2－y23＝1,过P(2,1)点作一直线交双曲线于A,B 两点．若P 为AB 的中点,(1)求直线AB 的方程； (2)求弦AB 的长．[自主解答] (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 代入双曲线方程3x 2－y 2＝3,得 3x 21－y 21＝3,3x 22－y 22＝3,两式相减得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2),即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝3,所以直线AB 的斜率 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3x 1＋x 2y 1＋y 2＝3×x 1＋x 22y 1＋y 22＝3×21＝6.所以直线AB 的方程为6x －y －11＝0. (2)将y ＝6x －11代入3x 2－y 2＝3,得 33x 2－132x ＋124＝0, 则x 1＋x 2＝13233,x 1x 2＝12433,由弦长的公式|AB|＝1＋k2x 1－x 22＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]得|AB|＝1＋36×1322－4×33×124332, 所以|AB|＝4332 442.保持例题条件不变,试判断A,B 两点在双曲线的左支上还是在右支上？ 解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －11，3x 2－y 2＝3，得33x 2－132x ＋124＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝13233>0，x 1·x 2＝12433>0，即x 1>0且x 2>0,∴点A,B 都在双曲线的右支上．对于弦长问题,主要是利用弦长公式,而弦长公式的应用,主要是利用根与系数的关系解决．另外,在弦的问题中,经常遇到与弦的中点有关的问题,这种问题经常用点差法解决．另外,要注意灵活转化,如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决．2．直线l 在双曲线x 23－y22＝1上截得的弦长为4,其斜率为2,求直线l 在y 轴上的截距m.解：设直线l 的方程为y ＝2x ＋m, 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*)设直线l 与双曲线交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点, 由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝－65m,x 1x 2＝310(m 2＋2)．∴|AB|＝1＋22|x 1－x 2| ＝5[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－65m 2－4×310m 2＋2＝4.解得m ＝±2103. 由(*)式得Δ＝24m 2－240, 把m ＝±2103代入上式,得Δ＞0,符合题意． 故m 的值为±2103.解题高手 妙解题 什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A,B 两点．若以AB 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值．[巧思] 以AB 为直径的圆过坐标原点,即OA ⊥OB.因此可联立直线与双曲线方程,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则问题可转化为x 1x 2＋y 1y 2＝0求解．[妙解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y,得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a<6且a≠± 3.②设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a 3－a 2， ③x 1x 2＝－23－a 2， ④∵以AB 为直径的圆过原点, ∴OA ⊥OB. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋1, ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a·2a 3－a 2＋1＝0.解得a ＝±1且满足②, ∴a ＝±1.1．过双曲线x 2－y 2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A,B 两点,则AB 的长为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．4 2解析：双曲线x 2－y 2＝4的焦点为(±22,0),把x ＝22代入并解得y ＝±2,∴|AB|＝2－(－2)＝4. 答案：B2．过点P(3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点,则这样的直线l 共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：双曲线方程为x 29－y24＝1,故P(3,0)为双曲线的右顶点,所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．答案：C3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1,焦点F(－c,0),将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2,所以|AB|＝2×b2a＝2×2a.∴b 2＝2a 2,c 2＝a 2＋b 2＝3a 2,∴e ＝c a ＝ 3.答案：B4．过双曲线x 24－y23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M,N 两点,F 2为其右焦点,则|MF 2|＋|NF 2|－|MN|的值是________．解析：|MF 2|＋|NF 2|－|MN| ＝|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1| ＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|) ＝4a ＝8. 答案：85．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点,那么k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝6，y ＝kx ＋2，得x 2－(kx ＋2)2＝6.即(1－k 2)x 2－4kx －10＝0有两个不同的正根．则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝40－24k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，得－153<k<－1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 6．已知双曲线3x 2－y 2＝3,直线l 过右焦点F 2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B 两点,试问A,B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．解：∵a ＝1,b ＝3,c ＝2, 直线l 过点F 2且倾斜角为45°, ∴直线l 的方程为y ＝x －2. 代入双曲线方程,得2x 2＋4x －7＝0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∵x 1·x 2＝－72＜0,∴A,B 两点分别位于双曲线的左、右两支上． ∵x 1＋x 2＝－2,x 1·x 2＝－72,∴|AB|＝1＋12|x 1－x 2| ＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·－22－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝6.一、选择题1．如图,ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( )解析：直线方程可化为y ＝ax ＋b,曲线方程可化为x 2a ＋y2b ＝1,若a ＞0,b ＞0,则曲线表示椭圆,故A 不正确．关于B 、D,由椭圆知直线斜率应满足a ＞0,而由B 、D 知直线斜率均为负值,故B,D 不正确．由C 可知a ＞0,b ＜0.答案：C2．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点,M,N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点,则|PM|－|PN|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P 与M,F 1三点共线以及P 与N,F 2三点共线时所求的值最大,此时|PM|－|PN|＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝6＋3＝9.答案：D3．已知双曲线E 的中心为原点,F(3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A,B 两点,且AB 的中点为N(－12,－15),则E 的方程为( )A.x 23－y26＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 26－y23＝1 D.x 25－y24＝1 解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0,b>0),由题意知c ＝3,a 2＋b 2＝9.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y 22b 2＝1,两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2.又直线AB 的斜率是－15－0－12－3＝1,所以4b 2＝5a 2.代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4,b 2＝5,所以双曲线的标准方程是x 24 －y25＝1.答案：B4．过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0,b>0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,垂足为点A,与另一条渐近线交于点B,若FB ―→＝2FA ―→, 则此双曲线的渐近线的斜率是( )A ．± 2B ．± 3C ．±2D ．± 5解析：由题意可知,双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x,不妨设过右焦点F(c,0)(c>0)的直线l 与渐近线y＝b a x 垂直,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则直线l 的方程为y ＝－a b (x －c),两直线方程联立解得y 1＝ab c ；把方程y ＝－a b (x －c)与方程y ＝－b a x 联立,解得y 2＝abc b 2－a 2,因为FB ―→＝2FA ―→,所以(x 2－c,y 2)＝2(x 1－c,y 1),由此得y 2＝2y 1,故abc b 2－a 2＝2ab c,即2(b 2－a 2)＝c 2＝a 2＋b 2,即b ＝3a,故此双曲线的渐近线斜率是± 3.答案：B 二、填空题5．过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M,N 两点,以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为________．解析：由题意知,a ＋c ＝b 2a ,即a 2＋ac ＝c 2－a 2,∴c 2－ac －2a 2＝0,∴e 2－e －2＝0, 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案：26．已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(7,0),直线y ＝x －1与其相交于M,N 两点,MN 中点的横坐标为－23,则此双曲线的方程是________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0,b ＞0),依题意c ＝7.∴方程可化为x 2a 2－y27－a 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2.∵x 1＋x 22＝－23, ∴－a 27－2a 2＝－23,解得a 2＝2.∴双曲线的方程为x 22－y25＝1.答案：x 22－y25＝17．设一个圆的圆心在双曲线y 29－x216＝1的上支上,且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点,则原点O 到该圆圆心的距离是________．解析：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3),上焦点为F(0,5),设圆心为P(x 0,y 0),则y 0＝3＋52＝4.代入双曲线方程得169－x 2016＝1,所以x 20＝7×169,故|PO|＝ x 20＋y 20＝7×169＋16＝163. 答案：1638．设F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0,b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P,满足|PF 2|＝|F 1F 2|,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设PF 1的中点为M,由|PF 2|＝|F 1F 2|, 故F 2M ⊥PF 1,即|F 2M|＝2a,在Rt △F 1F 2M 中,|F 1M|＝2c2－2a2＝2b,故|PF 1|＝4b,根据双曲线定义得4b －2c ＝2a, 即2b －a ＝c,即(2b －a)2＝a 2＋b 2, 即3b 2－4ab ＝0,即3b ＝4a, 又双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x,所以y ＝±43x,即4x±3y＝0.答案：4x±3y＝0 三、解答题9．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a>0)与直线l ：x ＋y ＝1交于两个不同的点A,B,求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解：由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点,可知方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的解,消去y,并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a<2,且a≠1.而双曲线C 的离心率e ＝1＋a2a＝1a2＋1,从而e>62,且e≠2, 故双曲线C 的离心率e 的取值范围为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2,＋∞)． 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0)的离心率为233,且过点P(6,1)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线交于两个不同点A,B,且OA ―→·OB ―→>2(O 为坐标原点),求k 的取值范围．解：(1)由已知e ＝c a ＝233,∴c ＝233a, b 2＝c 2－a 2＝43a 2－a 2＝13a 2,即a 2＝3b 2. 又P(6,1)在双曲线上,∴63b 2－1b2＝1,∴b 2＝1,a 2＝3. 故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)联立⎩⎨⎧ y ＝kx ＋2，x 2－3y 2＝3，消去y 并整理得： (1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 交于不同两点A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)得：⎩⎨⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝－62k 2＋361－3k 2>0，∴k 2<1且k 2≠13.① 又x 1＋x 2＝62k 1－3k2, x 1x 2＝－91－3k2, ∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋2＝(k 2＋1)93k 2－1－2k·62k 3k 2－1＋2>2. ∴k 2－33k 2－1<0. ∴13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1, 故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
直线与双曲线的位置关系
课题 直线与双曲线的位置关系教学目标：1.了解直线与双曲线的三种位置关系：相交、相切、相离；2.掌握直线与双曲线位置关系的判定；3.能处理直线与双曲线截得的弦的中点问题。
教学重点：掌握直线与双曲线位置关系的判定。
教学难点：通过直线与双曲线的位置关系的判定方法，使学生感悟数形结合思想。
情感价值观：感悟几何问题代数化解法，感悟数形结合变化美、和谐美。
教学过程一、复习直线与椭圆的位置关系及判定方法二、导入直线与双曲线的位置关系三、例题分析及归纳例1：研究直线 与双曲线 的位置关系归纳直线与双曲线的位置关系练习：1. ()220,314y P l C x l -=过点的直线与双曲线：仅有一个公共点，求直线的方程。
()1y kx k R =+∈2231x y -=()()(){(){00=0∆〉⎧⎪∆〈⎪⎪⎪∆⎨⎪⎪⎪⎪⎩交于同一支与两支都有交点只有一个公共点直线与渐近线平行有两个公共点——相离——没有公共点直线与双线的位置关系相切——只有一个公共点相交()22,112y x A l l -例2：已知双曲线方程试问过点，能否作直线使与双曲线交于M 、N 两点，且使点A 是线段MN 的中点?这样的直线存在吗？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.四、小结五、作业 221y A B k AB -=练习2：直线y=kx+1与双曲线3x 相交于、两点，当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点()()()()()()221122221122112122121212121212121212,,,+-;+--=02-+=2+=2=221,-=:1y x y x x y N x y y y y y x x x x y y x x y y x x l y x x x x x l x -=-=⎧⎪⎨⎪⎩≠=-=分析：弦的中点问题，可用“点差法”， 设M 代入双曲线方程得到作差得： 且，；当时，可得，则直线： 此时直线与双曲线没有交点；当时，则直线也不满足。
高中数学 直线与双曲线的位置关系 教案新课标人教A版选修2
课题：《直线与双
曲线的位置关系》学案
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x 2-y 2=4,试讨论实数k 的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点; (2)有两个公共点;
(3)只有一个公共点; (4)交于异支两点；
(5)与左支交于两点.
练习1.双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F ,点P 为左支下半支上任意一点 (异于顶点),则直线PF 的斜率的变化范围是_________
练习2.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是 。
例2 过双曲线 的右焦点作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A 、B 两点，求|AB|.
例3.以P （1，8）为中点作双曲线为y 2-4x 2=4的一条弦AB ，求直线AB 的方程。
例4 设两动点A 、B 分别在双曲线 的两条渐近线上滑动，且|AB|＝2，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
例7、直线y-ax-1=0和曲线3x 2-y 2=1相交，交点为A 、B ，当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点。
例9 过双曲线 的右焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与双曲线右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围.
练习1 已知直线y=ax+1与双曲线3x 2-y 2=1相交于A 、B 两点.是否存在这样的实数a,使A 、B 关于y=2x 对称？若存在，求a;若不存在，说明理由. 22136
x y -=。
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泰安五中数学学科高二学案
2.2.2直线与双曲线位置关系（二）
编制者：戚桂林编制时间：2014年12月26日审定
学习目标：
1、掌握直线与双曲线的位置关系
2、会根据直线与双曲线位置关系求弦长
教学重点：直线被双曲线截得的弦长以及中点弦问题
教学难点：直线被双曲线截得的弦长以及中点弦问题
㈠预习导学
1、判断直线与双曲线的位置关系的方法及步骤
2、弦长公式：__________________________________
㈡课堂导学
例1、求直线1
y x
=+被双曲线
2
21
4
y
x-=截得的弦长；
例2、已知双曲线：22
33
x y
-=，直线l过右焦点2F，且倾斜角为45︒，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上，并求弦AB的长。
例3、已知双曲线12
2
2
=-y x ，过点A （1，1）能否作一条直线L ，使
得它与双曲线交于P 、Q 两点且以A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线L 的方程，若不存在，请说明理由
例4、求过定点(0,1)的直线被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦中点轨迹方
程。
解：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则
22
1122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-，
∴121212
124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y x
x y =
-， 即2240x y y -+=（图象的一部分）
【拓展延伸】
1：经过双曲线13
2
2
=-y x 的右焦点
F 2作倾斜角为30°的直线，与双曲线
交于A 、B 两点，求： (1)｜ＡＢ｜；（2）△F 1AB 的周长(F 1是双曲线的左焦点)
2：已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F （0,7），直线1-=x y 与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为3
2
-，求双曲线的方程。
【反馈训练】
1．过双曲线x 2―y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．等轴双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y =2
1x 交于A ,
B
两点，若|AB ）（A ）x 2―y 2=6 （B ）x 2―y 2=9
（C ）x 2―y 2=16 （D ）x 2―y 2=25
3．斜率为2的直线l 被双曲线22
154
x y -=截得的弦长为25，则直
线l 的方程是（ ）
（A ）y =2x （B ）y =2x （C ）y =2x ±5
（D ）y =2x ±
5
4．经过双曲线122
22=-b
y a x (a >0, b >0)上任一点M ，作平行于实轴的
直线，与渐近线交于P , Q 两点，则|MP |·|MQ |为定值，其值等于（ ）
（A ）a 2 （B ）b 2 （C ）c 2 （D ）ab
5．若直线y =m 与双曲线22
1925
x y -=的两交点为P , Q ，且OP ⊥OQ （O
为坐标原点），则m 的值为（ ）（A ）±45
（B ）±5
4 （C ）±
154 （D ）±415
6．已知双曲线x 2―my 2=1 (m >0)的右顶点为A ，而B , C 是双曲线右支上两点，若△ABC 为正三角形，则m 的取值范围是 .
7．过点(0, 1)作直线l 与双曲线4x 2―ay 2=1相交于P , Q 两点，且∠POQ =2
π（O 为坐标原点），则a 的取值范围是 .
8．已知双曲线的方程2
2
12
y x -=，试问是否存在被点(1, 1)所平分
的弦？如果存在，求出所在直线；如果不存在，说明理由。
9．双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率
的直线交双曲线于P , Q 两点，若OP ⊥OQ , |PQ |=4，求双曲线的方程。