常微分方程典型例题.ppt
第8章 常微分方程—8-8(习题课)
习题5
求解
y a y 2 0 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
y y x,
xπ 2
y 4 y 0 , x π 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ满足条件
处连续且可微的解. 例4 设函数 数, 且 内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
dp f ( x, p ) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形 • 欧拉方程
齐次
非齐次
代数法
x 2 y p x y q y f ( x) d t 令 x e ,D dt t y D( D 1) pD q f (e )
例3 求微分方程
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解:
y C1 sin 2 x C2 cos 2 x
) cos 2 x, x y 1 sin 2 x ( 1 2 2 2
定解问题的解: 故所求解为
y 1 ) cos 2 x , sin 2 x ( 1 2 2
高等数学A
第8章 常微分方程
习 题 课
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
微分方程习题课
高等数学 常微分方程
7
二、一阶微分方程求解
1、可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy f1 ( x ) f 2 ( y ) dx
M 1 ( x ) M 2 ( y )d x N 1 ( x ) N 2 ( y ) d y 0 g ( y )dy f ( x )dx 转化
解分离变量方程
两边积分, 得 则有
第十二章习题课
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f ( x)dx
8
2、齐次方程
属于一阶微分方程 y f ( x , y )
dy y 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. 1）.【定义】 dx x y 2）. 【解法】 作变量代换 u , 即 y xu, x dy du u x , dx dx du u x f ( u), 代入原式 dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x 第十二章习题课
第十二章习题课
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5
主要内容
一阶方程 类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
待 定 系 数 法
特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式
第十二章习题课
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【分类1】常微分方程, 偏微分方程.
【分类2】 一阶微分方程 F ( x , y, y) 0,
3
y f ( x , y );
( n) 高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ) 0,
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
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一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
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n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
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1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
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2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
常微分方程ppt (20)
2u 2u 2u 2 2 0. 2 x y z
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。 方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数， 称为方程的阶数。 一般的n阶微分方程的形式为：
dy dny F ( x, y. ,, n ）＝0. dx dx
dy dny dny F 其中： ( x, y. ,, n ）＝0 是变量 x, y, , n 的已知函数。 dx dx dx
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 ( t ) 10 ( t ) 20 ( t ) t
2
2 2 ( t ) 20 ( t ) 20 ( t ) t
2
用maple 7编写的双摆的动态演示图
如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是线性的， 则称它为线性微分方程，否则称之为非线性微分方程。
x x2 sin t 是二阶非线性微分方程。 例如： 解和隐式解：设 y ( x) 是定义在区间 ( a, b) 上的 n
阶可微函数，将其代入方程
后，能使它变成恒等式， 则称函数 y ( x) 为方程的解。 若关系式 程解称
0
( n 1) , , c2
则称 y ( x, c1 ,, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： c1 cos x c2 sin x 是 y y 0 的通解。 因为 y c1 sin x c2 cos x 而
cos x sin x 1 0 sin x cos x
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
当单摆随时间而摆动时，我们可以看到，摆线在逐渐变短，同时摆的幅 度越来越大 !
1.1.2 微分方程的基本概念
常微分方程
x
dy u x du , 代入原式 u x du f (u),
dx
dx
dx
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
即 du dx , 积分即可. f (u) u x
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x ,
2 是单根，设 y
代入方程, 得 2Ax
B
x(
Ax B)e2x
2A x
,
A
1 2
,
于是 y x(1 x 1)e2x
设原方程的通解为y u(x)
代入得u(x) sin x
x
xx
u(x) cosx c
通解为y 1 cosx C.
x
x e ( y)dy ( y 3e ( y)dy dy C)
y2
e2 (
y
3
e
y2 2
dy
C)
y2
2
Ce
y2 2
二、伯努利方程
伯努利方程的标准形式
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
y x
y
y
2
,
x x
令u y , 则 dy xdu udx, x
u
xu
2u2 1 u
u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
高数第6章 常微分方程
二、微分方程的定义
含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程. 如果微分方程中未知函数只含有一个自变量，则此微分方 程称为常微分方程；如果未知函数中含有两个或两个以上 自变量，则此微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微 分方程，简称微分方程.
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为 微 分 方 程 的 阶 . 例 如 ， ysin x xy 是 一 阶 微 分 方 程 ； xy cos x ey 是二阶微分方程； ysin x yex 1 是三阶微分 方程.
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立 的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称为微 分方程的通解.在通解中，若使任意常数取某一定值， 或由附加条件求出任意常数的值后得到的微分方程的 解称为特解.用来确定通解中任意常数的附加条件，称 为初始条件.
例如，引例 1 中，y x2 C 是y 2x 的通解，过点 （1，3）是初始条件， y x 2 是特解；引例 2 中， S (t) 2t2 C1t C2 是 S(t) 4 的通解，S (0) 0, S(0) 5 是初
两边积分，得 ln y ln x C1
化简得 y eC1 x ， 即 y eC1 x 令 C eC1 ， 则 y Cx
另外，可以看出 y 0也是方程的解，因此，原方程的通 解为
y Cx 。
说明：凡遇到积分后有对数的情形，都应做类似于上 述的讨论，因其比较烦琐，而且一般情况下，最后得到的 函数形式确是微分方程的通解。为方便起见，今后遇到这 种情形可做如下简化处理.以例 2 为例，示范如下：
(1
x)dx
即
arctan y 1 (1 x)2 C 2
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
常微分方程PPT
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
常微分方程PPT课件
8.1 常微分方程的基本概念
例
【例8-2】列车在平直线路上以20 m/s的速度行驶,当其制动时获得的加速度为 -0.4 m/s2 时，问开始制动后多长时间列车才能停住?在这段时间内列车行驶了多少路程? 解 设把列车刹车时的时刻记为t=0.设制动后t时刻列车行驶了s.显然直接求s=s（t）是困 难的,但由导数的物理意义可知d2s/dt2=-0.4 两端积分,得ds/dt=∫（-0.4）dt=-0.4t+C1 两端再积分,得s=-0.2t2+C1t+C2 其中C1,C2都是任意常数.现在需要确定C1,C2的值,根据题意知,未知函数s=s（t）满足 s0=0,v（0）=s′0=20 代入上面的两式,得C1=20,C2=0,因此s(t)=-0.2t2+20t 由于列车刹住时的速度为零,即s′(t)=-0.4t+20=0 求得t=50 s,于是列车所走的路程为s（50）=-0.2×502+20×50=500（m）
8.1 常微分方程的基本概念
上述两个实例讨论的都是已知未知函数导数（或微分）所满足的方程，求解未知函数的问 题，这就是微分方程问题.
定义8.1 含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微 分方程称为常微分方程,简称为微分方程或方程;未知函数是多元函数的微分方程称 为偏微分方程.本书只讨论常微分方程.例8-1和例8-2中所建立的方程都是常微分方 程. 不同类型的微分方程在解法上有很大的差异.因此,在解微分方程之前必须正确识别 微分方程的类型.所谓微分方程的类型主要指方程的阶、线性与非线性、变系数与常 系数、齐次与非齐次等.
8.1 常微分方程的基本概念
例如 可以验证例8-1中,函数y=x2+C和y=x2+1都是方程dy/dx=2x的解,其中 y=x2+C是微分方程dy/dx=2x的通解,y=x2+1是微分方程dy/dx=2x的特解;例8-2 中的通解为s（t）=-0.2t2+C1t+C2,特解为s(t)=-0.2t2+20t. 在通解中说任意常数是独立的,其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个 数减少.例如,函数y=C1sin x+C2sinx形式上有两个任意常数,但这两个常数并 不是独立的,事实上它可以写成y=（C1+C2）sinx=Csinx（其中C=C1+C2）,因此 本质上它只含有一个任意常数. 显然,微分方程的通解给出了解的一般形式,若用未知函数及其各阶导数在某 个特定点的值将通解中的任意常数确定下来,就得到微分方程的特解.
微分方程
常见的全微分表达式
x2 y2 xdx ydy d 2
xdy ydx y d 2 x x
xdy ydx y d arctg 2 2 x x y
xdy ydx d ln xy xy
xdx ydy 1 2 2 d ln( x y ) 2 2 x y 2
设 y * 是 ( 2) 的一个特解, Y 是与(2) 对应
的齐次方程 (1) 的通解 , 那么 y Y y * 是二 阶 非齐次线性微分方程(2) 的通解.
定理 4
* 1 * 2
设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y 与 y 分别是方程,
u ln x ln u ln C
将变量还原，得：
y ln y ln C x y ln y C1 (C1 ln C ) x
所以，原方程的解为： y Ce 。
y x
例3. xy' y[ln( xy ) 1], 求通解。
y 解：方程中出现f ( xy ), f ( x y ), f ( x 2 y 2 ), f x 等形式的项时，通常要 做相应的变量替换： 2 2 y u xy , x y , x y , , x ' 令u xy, 则 u' y xy代入原方程，得： ,
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
常微分方程-恰当方程.ppt
例3 验证方程 (cos x sin x xy2 )dx y(1 x2 )dy 0,
是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.
解:这里M (x, y) cos x sin x xy2, N (x, y) y(1 x2 ),
M (x, y) 2xy N (x, y) ,
y
x
故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得
下面证明(7)的右端与 x无关, 即对x的偏导数常等于零
事实上
x
[N
y
M
(x, y)dx] N
x x
[
y
M
(
x,
y)dx]
N x
[ y x
M (x,
y)dx]
N x
M y
0.
于是, (7)右端的确只含有 y,积分之得
(
y)
[N
y
M
(
x,
y)dx]dy,
故
u(
x,
y)
M
(x,
y)dx
du u dx u dy x y
如果我们恰好碰见了方程
u(x, y) dx u(x, y) dy 0
x
y
就可以马上写出它的隐式解
u(x, y) c.
1 恰当方程的定义
定义1 若有函数u(x, y), 使得
du(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
则称微分方程
M (x, y)dx N(x, y)dy 0, (1)
由于 2u 和 2u 都是连续的 ,从而有 2u 2u ,
yx xy
yx xy
故
M (x, y) N (x, y) .
y
x
高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
、一阶微分方程的可解类型（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程 1.（05,4分）微分方程xy 2y xlnx 满足y （1）x 2y)= x 21 n x.2.（ 06,4分）微分方程y =y （1 x ）的通解为— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得理（丄 1）dx.积分得 In y In x x G ，即 |y e C 1x e x y x因此，原微分方程的通解为y Cxe x ,其中C 为任意常数.（二）奇次方程与伯努利方程1. （ 97,2,5 分）求微分方程（3x 2 2xy y 2）dx （x 2 2xy ）dy 0的通解解：所给方程是奇次方程•令y=xu,则dy=xdu+udx.代入原方程得3（ 1+u- u 2） dx+x ：1-2 u ） du=0.分离变量得上生 du - dx, 1 u ux积分得 In 1 u u 23In x C 1,即 1 u u 2=Cx 3.以u —代入得通解x 2 xy y 2—. xx2 （9927 分）求初值问题（y '•口）dx xdy 0（x 0）,的解.y x 1 0常微分方程积分得 x 2y=C+ x 2 In xdx C In xdx 3 1 1由y(1) 9得C 0 y 3xlnx1x. 9 1-的解为 9分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为鱼+ 2ydx x2In x,两边乘e x =x 2得解：所给方程是齐次方程(因dx, dy 的系数(y+•，厂『)与(-x)都是一次齐次函数)令dy xdu udx,带入得x(u .1 u 2dx x( xdu udx) 0,化简得 12 u 2dx xdu 0.分离变量得dx du 门 ---------- =0. x 、1 u 2积分得ln xln(u .1 u 2)G,即 u 』1 u 2 Cx以u —代入原方程通解为y+... —y 2 Cx 2.x “再代入初始条件y xi 0,得C = 1.故所求解为y+J x 2 y 2x 2,或写成y *(x 2 1).(三) 全微分方程 练习题(94,1,9分)设f (x)具有二阶连续导数，f(0) 0, f (0) 1,且[xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求f (x)以及全微分方程的通解解：由全微分方程的条件，有—[xy(x y) f(x)y] —[f (x) x y],y x即 x 2 2xy f (x) f (x) 2xy,亦即 f (x) f (x) x 2. 2(四) 由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程4. (98,3分)已知函数y y(x)在任意点x 处的增量y= J x ,当x 0时,1 x是x 的高阶无穷小，y(0)=，则y(1)等于()(A)2 .(B) .(C)e 〔(D) e 7.分析：由可微定义，得微分方程y 二.分离变量得1 xdy,两边同时积分得 In y arctanx C ,即y Ce arctanx .因而f (x)是初值问题y y x - 1y x 0 0, y | x f (x) 2 cos x sin x2x2.原方程化为 [xy 2 y (2 cos x sin 先用凑微分法求左端微分式的原函数： 其通解为1 x 2y 22xy y(cos x的解，从而解得12x) y]dx (x y 2x 2sin x cosx) dy yd (2sin xcos x) (2sin x cos x)dy0.0.0,1 2 2 1 2 2 (y dx x dy ) 2( ydx xdy) 2 2 1 :d [ x y 2xyy(cos x 2sin x)] 2y 1 x代入初始条件y(0)，得C=，于是y(x) e arctanx ,由此，y(1) eY 应选(D)二、二阶微分方程的可降阶类型5X00,3分)微分方程xy 3y 0的通解为 _____分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y=P(x)，则y=P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为P+-P=0,两边乘x 3得(Px 3) =0.通解为y P C 0 -再积分得所求通解为 yx C 2 G. xx 6. (02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x° 1，y1x 0—的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 •令y P(y)(以y 为自变量)，则y dy dP P dP .dx dx dy代入方程得yP dP +P=0，即『竺+卩=0(或P=0,，但其不满足初始条件y x 0 —)dy dy 2 分离变量得dP0, P yC 积分得 In P +ln y =C ，即 P=C(P=0对应 G=0)；y1 1由x 0时y 1， P=y —,得C 1 一，于是2 21y P 一 ,2ydy dx,积分得 y 2 x C 22y • 又由y x0 1得C 2. 1,所求特解为y三、二阶线性微分方程(一) 二阶线性微分方程解的性质与通解结构7. (01,3分)设y e x (C 1sin x C 2 cosx)(C 1,C 2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分 方程的通解，则该方程为 ______________ .22分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是 r i , a 1 i ,从而得知特征方程为2 2(r r)(r r 2) r(r 1 r 2)r r 1r 2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解 y e x (Gsinx C 2 cosx)求得 y e x [(G C 2)si nx (G C 2)cos x], y e x ( 2C 2si nx 2C 1 cosx), 从这三个式子消去G 与C 2,得y 2y 2y 0.(二) 求解二阶线性常系数非齐次方程9. (07,4分)二阶常系数非齐次线性微分方程 y 4y 3y 2e 2x 的通解为y 二 ______________分析：特征方程2 4 3 ( 1)( 3) 0的根为 1, 3.非齐次项e x , 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae 2x .代入方程得(4 A 8A 3A)e 2x 2e 2xA 2.因此，通解为 y C 1e x C 2e 3x 2e 2x..10. (10,10分)求微分方程y 3y 2y 2xe 的通解. 分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解 .1由相应的特征方程2 3 2 0,得特征根1 1, 2 2相应的齐次方程的通解为y Ge x C 2e 2x . 2非齐次项f(x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解y x(ax b)e x .代入原方程得 ax 2 (4a b)x 2a 2b 3[ax 2 (2a b)x b] 2(ax 2 bx) 2x, 即 2ax 2a b 2x, a 1,b2.3原方程的通解为y Ge x C 2e 2x x(x 2)e x ,其中G, C 2为两个任意常数.(三) 确定二阶线性常系数非齐次方程特解的类型(04,2,4分)微分方程y yx 2 1 sin x 的特解形式可设为()分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是21 0,特征根为 i.由线性方程解的迭加原理，分别考察方程 y y x 2 1L (1与y y sin xL (2) 方程(1)有特解y ax 2 bx c,方程(2)的非齐次项f (x) e x sin x sinx( 0,1,i 是特征根),它有特解yx(Asinx Bcosx).因此原方程有特解 y ax 2 bx c x(Asinx Bbcosx)应选(A).(四) 二阶线性变系数方程与欧拉方程(A)y (C)y2 ax 2ax2bx c x(Asin x Bcosx).(B)y x(ax bx c 2bx c Asi nx.(D)y ax bx c A cosx.Asin xB cosx).因此特解为y 2x .1 x 2.四、高于二阶的线性常系数齐次方程分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i _1)，对应的特征方程是(1)(2i)(2i) (1)( 24)32440,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0,选(D).(00,2,3分)具有特解y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y yy y 0.(B)y y y y 0.(C)y6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1,从而特征方程为(r 1)2(r 1)0,即r 3 r 2 r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程(00,2,8分)函数y=f(x)在0,上可导，f(0) 1,且满足等式1 X f (x) f(x) — 0 f(t)dt 0,x 1 0(1)求导数f (x)；2)证明：当x 0时,成立不等式e x f(x) 1.分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量 d 2ydyd 2y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y dx dt dtdt相应的特征方程23 2 0,特征根1x e t (t In x)，将它化成常系数的情形: 0. 1, 22,通解为yGe t C 2e 2t .因此，所求原方程的通解为 y C 1 x CJ,其中C 1,C 2为任意常数.x (05,2,12分)用变量代换x cost(0 t 满足y x 0 1,y)化简微分方程(1 x 2)yxy y 0,并求其x02的特解.分析：建立y 对t 的导数与y 对x 的导数之间的关系• dt 业叫讣dx dt dx ' d 2ydt 2于是原方程化为 回到x 为自变量得 Gx 由 y(0) C 21 C 22 2 d y d y . 2. sin t dt 2 dx 2 0,其通解为 C 2、1 x 2.i.y (o ) C i參。
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11
设
z
C(x) x3
，代入线性方程(1)，得C ( x)
C
x2 2
因此,线性方程(1)的通解为 z
C x3
1 2x
代回原变量，得原方程通解为e y x3 , C 1 x2 2
即 y ln( x3 ) C 1 x2 2
12
(4)形如dy xf (ax b y) y (a,b 是常数)的方程
9
(3)形如dy p(x) q(x)eay 常数a 0的方程. 令 z eay, dx
可化为关于 z 的伯努利方程 dz ap( x)z aq( x)z2 dx
例 6 求解方程dy 1 xe y 的通解. dx x
解 令z e y, 则 dz e y dy dx dx
原方程化为 dz z xz 2 dx x
7
| C1
再代回原来变量可得原方程通积分.
8
(2)形如dy y f (xy)的方程 dx x
令 z xy,可化为变量可分离方程dz xf (z) dx
例 5 求方程dy y (4x2 y2 1)的通解. dx x
解 令 z xy,原方程可化为dz x(4z 2 1) dx
解之,再代回可得原方程通解 y 1 tan(x2 C) 2x
通解为z C
14
ln x
设 z C(x)代入线性方程(1),得C(x) 1 ln x
两边积分得C(x) x C 所以，上述线性方程(1)的通解为z 1 (C x)
ln x 代回原变量，得原方程的通解cos y ln x ，
Cx
此外u 0，即 y n （为整数）也是原方程的解
y
x
18
取 x0 0, y0 0得通积分为
x2 xy 2x y3 4 y C
2
3
例 12 解方程(ln x xy 2 )dx 2x2 ydy 0
解 显然M N ,原方程不是全微分方程, y x
把原方程改写成微商形式
dy dx
ln
x 2x2
xy y
2
或 dy 2 dx
1 x
y2
x
x
6. (xye y y2 )dx x2e y dy 0
17
三.将方程从微商形式改为微分形式,或从微分形式改 为微商形式,有时可以把方程变为可解类型.
例 11
解方程dy dx
x y2 x y2 4
解 把方程改写为微分形式
(x y 2)dx (x y2 4)dy 0
因为M 1 N ,所以是全微分方程,
dx
令 z ax by c,
则可将原方程化为变量可分离方程
dz a bf (z) dx
6
例 3 求方程dy x y 1的通解. dx
解 令 z x y 1,则 dz 1 dy , dx dx
原方程化为 dz 1 z ,通解为z 1 Cex, dx
原方程通解为 y 2 x Cex.
C( y) y 2 y ln y ,积分得C( y) C y2 ln y.
于是通积分为x C y ln y. y
4
练习
1. y ln ydx (x ln y)dy 0
2.
y
x2
1 sin y
xy
3.y
xy
1 x3 y3
5
2. 引进适当变换（变量替换） (1)形如dy f (ax by c)的方程
7
例4 求解方程 dy 2x 3y 4 dx 4x 6y 5
解 令 2x 3y z，
则方程可化为
dz 2 3 dy 2 3(z 4) 7z 22
dx
dx
2z 5 2z 5
分离变量，得
7z 22 dz dx 2z 5
即
29
22
x z ln | z 7 49
(1)
dy y
对应齐次方程通解为 x Cy2
令 x C( y) y2,代如方程(1),得
C( y) y 2 2 yC( y) 2 C( y) y 2 y y
2
C( y) y 2 2 yC( y) 2 C( y) y 2 y y
化简得C( y) 1 y
积分得C( y) ln | y | C1
1 x2
ln
x
19
令u y2,将其化为一个线性方程
du dx
1 x
u
1 x2
ln
x
解之,再代回得原方程通积分为 y2 C 1 ln2 x
x 2x
20
（5）其它变量替换
例 9 xyln x sin y cos y(1 x cos y) 0
解 令u cos y,代入方程得du u u2 dx x ln x ln x
这是伯努利方程，做变换 z u1，化简得
dz z 1 (1) dx x ln x ln x
这是线性方程，对应齐次方程dz z 0的 dx x ln x
解之，再代回，得原方程通解为 y ln(Cx x2 )
10
例7
解方程 dy dx
1 x2
(e
y
3x)
解
作变换u
e y，则方程可化为du dx
3u x
u2 x2
这是n 2的伯努利方程
令z
u 1，代入上式，化简得dz dx
3z x
1 x2
(1)
对应齐次方程 dz dx
3z x
0 的通解为 z
c x3
习题课
•本章的内容是可用初等积分法求解的各种类型 的微分方程. •要熟练掌握它们的解法，还应学习解微分方程 的各种技巧， 特别要善于根据方程的特点进行变形， 或引进合适的变量替换，把它们变到我们熟悉 的各种类型的方程.
1
1. 交换x与y的地位
例1
求方程 dy dx
2x
y
y2
的通解.
解 方程改写为dx 2 x y
2
15
例 10 dy x( y x) x3( y x)3 1 dx
解 令 y x u，代入原方程得 du xu x3u3 dx
这是伯努利方程，令 z u2，则方程可 化为 dz 2xz 2x3
dx 易求得解为z Cex2 x2 1
原方程通积分为 1 Cex2 x2 1 ( y x)2
dx
xx
令 z y ,可化为dz f (ax bz)
x
dx
例 8 求方程dy y x(x y)2的通解.
dx x
x
解 令 z y ,原方程可化为 dz (x z)2
x
dx
பைடு நூலகம்
令 u x z,则dz 1 u 2 dx
解之,再代回原方程,得通解为 y x tan(x C) x2 13
此外，y=x 也是方程的一个解.
16
练习
1. ey ( dy 1) xex dx
2. ( y xy2 )dx (x x2 y)dy 0 3. x dy y 2x2 y( y2 x2 )
dx 4. xdy ydx (x2 y)2 dx
5. 4e2y ( y)2 2xy 1 0
所以原方程通积分为x y2 (C1 ln | y |)
例 2 y
y
2 y ln y y x
解 原方程可化为dx x 1 2ln y dy y
3
dx x 1 2ln y dy y 这是以 x 为未知函数的一阶线性方程.
对应齐次方程dx x 的通解为x C ，
dy y
y
令 x C( y)，代入原方程，得 y