抽象函数的周期性
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识 一．重难点归纳 函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。
如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
(2）三角函数的周期①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；(3)与周期有关的结论 ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；④若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑤y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑥y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 二．例题 例1已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),试证明(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减命题意图 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析 本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得技巧与方法 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xx x --)=f (0)=0∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数例2设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图 本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力 知识依托 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝ f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口错解分析 不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法 由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x x x x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键(1) 解 因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x xx xf f f +=≥, x ∈［0,1］ 又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21, f (41)=a 41(2)证明 依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即 f (x )=f (2－x ),x ∈R又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解 由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n 21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21) =［f (n 21)］n=a 21∴f (n21)=a n 21又∵f (x )的一个周期是2∴f (2n +n 21)=f (n21), ∴a n =f (2n +n 21)=f (n21)=a n 21因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n三．练习1 下列函数中的奇函数是( )A f (x )=(x －1)xx -+11 B f (x )=2|2|)1lg(22---x xC f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x x D f (x )=x x x x sin cos 1cos sin 1++-+2.（重庆卷6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是（ C ）(A)f (x )为奇函数 （B ）f (x )为偶函数(C) f (x )+1为奇函数 （D ）f (x )+1为偶函数3 函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x =1对称 4 函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是____ 5 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________6．设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1 求证 (1)f (x )是奇函数 (2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a参考答案:1 解析 f (－x )=2222(0)() (0) (0)() (0)x x x x x x x x x x x x ⎧⎧->-+<⎪⎪=⎨⎨--<--+>⎪⎪⎩⎩ =－f (x )，故f (x )为奇函数答案 C 3 解析 f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称 答案 C4 解析 令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减答案 (－∞,－1] 5 解析 ∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0 f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0 又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0 答案 (－∞,0） 6 证明 (1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )∴f (x )是奇函数(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ) ∵f (x +a )=f ［x -(-a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ), 故f (x )是以4a 为周期的周期函数四．易错题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数f(x)在定义域R 上不是常数函数，且f(x)满足条件，对任意x ∈R ，都有f(4+x)= f(4-x),f(x+1)=f(x-1),则f(x)是（ ） A 、奇函数但非偶函数 B 、偶函数但非奇函数 C 、奇函数又是偶函数 D 、非奇非偶函数 2、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f(x)＋f(－x)＝0,g(x)g(－x)＝1，且x ≠0,g(x)≠1，则)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=（ ） A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案：B3、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知函数f (x )满足：f (p +q )= f (p ) f (q )，f (1)= 3，则)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)9() 10 ()5(2f ff+的值为A.15B.30C.75D.60答案：B4、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，当x∈[-3,-2]时，f（x）=4x+12，则f（112.5）的值为A．2 B．3 C．4 D．5答案：A5、(山东省博兴二中高三第三次月考)若奇函数()()f x x R∈满足()()()()22,22f f x f x f=+=+，则()5f的值是A．0 B．1 C．52D．5答案：D6、(广东省五校2008年高三上期末联考)定义在R上的函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x都有3()()2f x f x=-+，且(1)1,f-=(0)2f=-，则(1)(2)(3)(20f f f f+++鬃?的值为A．2-B．1-C．0 D．1答案：D．解析：本题考查了函数的对称性和周期性．由3()()2f x f x=-+，得(3)()f x f x+=，因此，()f x是周期函数，并且周期是３函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称, 因此，()f x=-3()2f x--，所以，(1)1f=(1)(2)(3)0f f f++=，(1)(2)(3)(2008)f f f f+++鬃?＝(1)f7、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知)(xf是偶函数，)(,xfRx若将∈的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数，)2008()10()9()8(,1)2(fffff++++-=则等于（）A．－1004 B．1004 C．－1 D．1答案：D8、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数)(xfy=的定义域为R，它的反函数为)(1xfy-=，如果)(1axfy+=-与)(axfy+=互为反函数且aaf=)(（a为非零常数），则)2(af的值为（）A．a-B．0 C．a D．a2答案：B9、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)定义在R上的函数y＝f（x）满足：f（－x）＝－f（x），f（1＋x）＝f（1－x），当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3，则f（2 007）的值是（）(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2答案：A 10、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)定义在R 上的函数()f x满足()(4)f x f x-=-+，当2x>时，()f x单调递增，如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x+<--<+且则的值（）A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负答案：A11、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知)(xf是定义在R上的函数，且)2()(+=xfxf恒成立，当)0,2(-∈x时，2)(xxf=，则当[]3,2∈x时，函数)(xf的解析式为（）A．42-x B．42+x C．2)4(+x D．2)4(-x答案：D12、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的奇函数)(xf满足)3()3(xfxf-=+，若当x ∈(0，3)时，xxf2)(=，则当x∈(- 6，-3)时，)(xf=( ) A.62+x B.-62+x C.62-x D.-62-x答案：B13、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)设定义在R 上的函数f(x)的反函数为f－1(x)，且对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝3，则f－1(x－1)＋f－1(4－x)等于（）A．0 B．—2 C．2 D．2x—4答案：A14、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)设函数f (x)是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若f(2)>１，f (2008)=33-+aa，则a的取值范围是（）A. (－∞, 0)B. (0, 3)C. (0, +∞)D. (－∞, 0)∪(3, +∞) 答案：B15、(山东省济南市2008年2月高三统考)已知()f x是以2为周期的偶函数，当[0,1]x∈时，()f x x=，那么在区间[1,3]-内，关于x的方程()1f x kx k=++（其中k是为不等于l的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是A．(1,0)-B．1(,0)2-C．1(,0)3-D．1(,0)4-答案：C16、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)函数()f x的定义域为R，对任意实数x满足(1)(3)f x f x-=-，且(1)f x-＝(3)f x-，当12x≤≤时，()f x＝2x，则()f x的单调减区间是（）A.[2k，2k+1](k Z∈) B.[2k-1，2k](k Z∈)C.[2k，2k+2] (k Z∈) D.[2k-2，2k](k Z∈)答案：A17、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数 ()4+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．()()32f f >B ．()()52f f >C ．()()53f f >D ．()()63f f > 答案：D18、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数)(,2121x x x x ≠，||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立，”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是 A ．xx f 1)(=B ．||)(x x f =C ．x x f 2)(=D ．2)(x x f =答案：A。
对抽象函数周期性的认识
对抽象函数周期性的认识麻城实验高中 阮 晓 锋对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。
几种特殊的抽象函数的周期：设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足：（1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k єZ)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。
（2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。
(3）()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（5）1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（6）()+1(+)=()-1f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（7）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（8）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b|推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数的周期性与对称性(精)
抽象函数的周期性与对称性(精)抽象函数的周期性和对称性问题可以通过恒等式简单判断。
如果函数满足f(x+a)=f(-x+a)，那么它是偶函数，对称轴为x=a，周期为T=2a。
如果函数满足f(x+a)=-f(-x+a)，那么它是奇函数，对称中心为(a,0)。
如果函数满足f(a-x)=f(b+x)，那么它的对称轴为x=(a+b)/2，周期为T=|b-a|。
如果函数满足f(x+a)=-f(x-a)，那么它的对称中心为(a,0)，周期为T=2a。
需要注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别，对称轴或对称中心的位置可以通过对应法则求得。
例如，对于已知定义在实数集上的奇函数f(x)，满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为-1.又如，如果函数f(x)对于任意实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于x=1对称。
练1：如果函数y=f(x+1)是偶函数，则y=f(x)的图像关于x=1对称。
练2：如果函数y=f(x)满足11f(x+3)=-f(x)，且f(3)=1，则f(2010)=-1/2.23、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且当x>2时，f(x)=2x-3，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 2f(3)+f(1)+f(5)=2(2×3-3)+2×1-3+2×5-3= 8.4、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x。
要求求出f(7.5)的值。
由奇函数的定义可知，f(5.5)=f(-5.5)，即f(7.5)=f(-7.5)。
又因为f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)，所以f(x+4k)=f(x)，其中k为整数。
故f(-7.5)=f(-7.5+4×2)=f(0)=-f(0)，即f(0)=0.又f(1)+f(-1)=0，所以f(1)=-f(-1)。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=fx -a 或fx -2a=fxa >0恒成立,则y=fx 是周期为2a 的周期函数；2、若y=fx 的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=fx 的图像关于点a,0和b,0对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=fx 的图像有一个对称中心Aa,0和一条对称轴x=ba ≠b ,则函数y=fx 是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=fx 满足fa+x=fa -x ,其中a>0,且如果y=fx 为奇函数,则其周期为4a ；如果y=fx 为偶函数,则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=-fx ()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=fx 是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为2a 的周期函数;7、8应掌握具体推导方法,如7 函数图像的对称性：1、若函数y=fx 满足fa+x=fb -x ,则函数y=fx 的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=fx 满足fx=f2a -x 或fx+a=fa -x ,则函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=fx 满足fa+x+fb -x=c ,则y=fx 的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线fx,y=0关于点a,b 的对称曲线的方程为f2a -x,2b -y=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 ()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=fx 定义在实数集上,则y=fx+a 与y=fb -x 的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=fx 有反函数,则y=fa+x 和y=f -1x+a 的图像关于直线y=x+a 对称;一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f1+sinx=2+sinx+cos 2x , 求fx二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题;例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题; 例3．已知fx 是二次函数,且fx+1+fx -1=2x 2-4x ,求fx .四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决; 例4．对任意实数x,y ,均满足fx+y 2=fx+2fy 2且f1≠0,则f2001=_______. 例5．已知fx 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 fab=afb+bfa. 1求f0,f1的值；2判断fx 的奇偶性,并证明你的结论;五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6．设函数fx 对任意实数x,y ,都有fx+y=fx+fy ,若x>0时fx<0,且f1= -2, 求fx 在-3,3上的最大值和最小值;例7．定义在R +上的函数fx 满足： ①对任意实数m ,fx m =mfx ； ②f2=1. 1求证：fxy=fx+fy 对任意正数x,y 都成立； 2证明fx 是R +上的单调增函数； 3若fx+fx -3≤2,求x 的取值范围;六、递推法 对于定义在正整数集N 上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8．已知fx 是定义在R 上的函数,f1=1,且对任意x ∈R 都有fx+5≥fx+5,fx+1≤fx+1;若gx=fx+1-x ,则g2002=_________.模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法; 应掌握下面常见的特殊模型：=_____________ 例11．设定义在R 上的函数fx ,满足当x>0时,fx>1,且对任意x,y ∈R ,有fx+y=fxfy,f1=2 1解不等式f3x -x 2>4；2解方程fx 2+12fx+3=f2+1 例12．已知函数fx 对任何正数x,y 都有fxy=fxfy ,且fx ≠0,当x>1时,fx<1;试判断fx 在0,+∞上的单调性,并说明理由;函数性质练习1. 已知函数为偶函数,则的值是A. B. C. D.2. 若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f m 1234)(x f (]1,-∞-A. B.C. D.3. 如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为,那么在区间上是A. 增函数且最小值是B. 增函数且最大值是C. 减函数且最大值是D. 减函数且最小值是4. 设是定义在上的一个函数,则函数在上一定是 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数5. 下列函数中,在区间上是增函数的是A. B. C. D. 6. 函数是A. 是奇函数又是减函数B. 是奇函数但不是减函数C. 是减函数但不是奇函数D. 不是奇函数也不是减函数7. 设奇函数的定义域为,若当时,的图象如右图,则不等式的解是8. 函数________________.9. 已知,则函数的值域是.10. 若函数是偶函数,则的递减区间是 .11. 下列四个命题 1; 2函数是其定义域到值域的映射;)2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f )(x f [3,7]5)(x f []3,7--5-5-5-5-)(x f R )()()(x f x f x F --=R ()0,1x y =x y -=3xy 1=42+-=x y )11()(+--=x x x x f )(x f []5,5-[0,5]x ∈)(x f ()0f x <2y x =+[0,1]x ∈y =2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+)(x f ()f x =3函数的图象是一直线；4函数的图象是抛物线,其中正确的命题个数是____________.12. 已知函数的定义域为,且同时满足下列条件：1是奇函数；2在定义域上单调递减；3求的取值范围.抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=fx -a 或fx -2a=fxa >0恒成立,则y=fx 是周期为2a 的周期函数；2、若y=fx 的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=fx 的图像关于点a,0和b,0对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=fx 的图像有一个对称中心Aa,0和一条对称轴x=ba ≠b ,则函数y=fx 是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=fx 满足fa+x=fa -x ,其中a>0,且如果y=fx 为奇函数,则其周期为4a ；如果y=fx 为偶函数,则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=-fx ()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=fx 是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为2a 的周期函数;7、8应掌握具体推导方法,如7 函数图像的对称性：1、若函数y=fx 满足fa+x=fb -x ,则函数y=fx 的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=fx 满足fx=f2a -x 或fx+a=fa -x ,则函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称；2()y x x N =∈22,0,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩()f x ()1,1-()f x ()f x 2(1)(1)0,f a f a -+-<a ()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++3、若函数y=fx 满足fa+x+fb -x=c ,则y=fx 的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线fx,y=0关于点a,b 的对称曲线的方程为f2a -x,2b -y=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=fx 定义在实数集上,则y=fx+a 与y=fb -x 的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=fx 有反函数,则y=fa+x 和y=f -1x+a 的图像关于直线y=x+a 对称;二、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例2. 已知f1+sinx=2+sinx+cos 2x , 求fx解：令u=1+sinx ,则sinx=u -1 0≤u ≤2,则fu=-u 2+3u+1 0≤u ≤2 故fx=-x 2+3x+1 0≤x ≤2二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题;例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设解:xx x f x x f x f x x 323)(,1)(2)1(,1--==-联立方程组，得得代换用三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题; 例3．已知fx 是多项式函数,且fx+1+fx -1=2x 2-4x ,求fx . 解：由已知得fx 是二次多项式,设fx=ax 2+bx+c a≠0 代入fx+1=ax+12+bx+1+c=ax 2+2a+bx+a+b+c fx -1= ax -12+bx -1+c=ax 2+ b -2ax+a -b+c∴fx+1+ fx -1=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , fx=x 2-2x -1.四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决; 例4．对任意实数x,y ,均满足fx+y 2=fx+2fy 2且f1≠0,则f2001=_______. 解：令x=y=0,得：f0=0,令x=0,y=1,得f0+12=f0+2f12,∵f1≠0 ∴f1= . 令x=n,y=1,得fn+1=fn+2f12=fn+ 即fn+1-fn = 12,故fn = 2n ,f2001= 20012例5．已知fx 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 fab=afb+bfa. 1求f0,f1的值；2判断fx 的奇偶性,并证明你的结论; 3若f2=2,u n =f2n n ∈N ,求证：u n+1>u n n ∈N . 解：1令a=b=0,得f0=0,令a=b=1,得f1=0.2fx 是奇函数;因为：令a=b=-1,得f -1-1=-f -1-f -1,f -1=0, 故f -x=f -1x= -fx+xf -1= -fx ,故fx 为奇函数. 3先用数学归纳法证明：u n =f2n >0 n ∈N 略五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6．设函数fx 对任意实数x,y ,都有fx+y=fx+fy ,若x>0时fx<0,且f1= -2,求fx 在-3,3上的最大值和最小值;解：令x=y=0,得f0=0,令y=-x ,得f -x+fx=f0=0,即fx 为奇函数. 设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,由已知得fx 2-x 1<0,故fx 2=fx 2-x 1+x 1=fx 2-x 1+fx 1< fx 1 所以fx 是R 上的减函数,又f3=f1+f2=3f1=-6,f -3=6 故fx 在-3,3上的最大值为6,最小值为-6.例7．定义在R +上的函数fx 满足： ①对任意实数m ,fx m =mfx ； ②f2=1. 1求证：fxy=fx+fy 对任意正数x,y 都成立； 2证明fx 是R +上的单调增函数； 3若fx+fx -3≤2,求x 的取值范围;解：1令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则fxy=f2m+n =m+nf2=m+n .1212又fx+fy=f2m +f2n =mf2+nf2=m+n ,所以fxy=fx+fy 2证明：设0<x 1<x 2,可令m<n 且使x 1=2m ,x 2=2n 由1得fx 1-fx 2=12x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=f2m -n=m -nf2=m -n<0故fx 1<fx 2,即fx 是R +上的增函数;3由fx+fx -3≤2及fx 的性质,得fxx -3≤2f2=f4 解得 3<x ≤4;六、递推法 对于定义在正整数集N 上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8．已知fx 是定义在R 上的函数,f1=1,且对任意x ∈R 都有fx+5≥fx+5,fx+1≤fx+1;若gx=fx+1-x ,则g2002=_________.解：由fx+1≤fx+1得fx+5≤fx+4+1≤fx+3+2≤fx+2+3≤fx+1+4 又∵fx+5≥fx+5 ∴fx+5≤fx+1+4 ∴fx+1≤fx+1 又∵fx+1≤fx+1 ∴fx+1=fx+1又∵f1=1 ∴fx=x gx=fx+1-x=1,故g2002=1;模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法; 应掌握下面常见的特殊模型：=_____________ 分析：因为函数fx 恒满足f2+x= f2-x ,方程fx=0有5个实根,可以将该函数看成是类似于二次函数y=kx -22为模型引出解题思路,即函数的对称轴是x=2,并且函数在f2=0,其余的四个实数根关于x=2对称 解：因为实数集上的函数fx 恒满足f2+x= f2-x ,方程fx=0有5个实根,所以函数关于直线x=2对称,所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称,其中有一个实数根为2,其它四个实数根位于直线x=2两侧,关于直线x=2对称,则这5个根之和为10;例11．设定义在R 上的函数fx ,满足当x>0时,fx>1,且对任意x,y ∈R ,有fx+y=fxfy,f1=2 1解不等式f3x -x 2>4；2解方程fx 2+12fx+3=f2+1 分析：可联想指数函数fx=a x ;解：1先证fx>0,且单调递增,因为fx=fx+0=fxf0,x>0时fx>1,所以f0=1 对于任意x<0,则-x>0,fxf -x=fx -x=f0=1,∴fx=()1f x - ∵-x>0,f -x>1 ∴0<fx<1 综上所述 fx>0 任取x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,fx 2-x 1>1, 所以fx 1-fx 2=fx 2-x 1+x 1-fx 1=fx 2-x 1fx 1-fx 1=fx 1fx 2-x 1-1>0 所以x ∈R 时,fx 为增函数;不等式f3x -x 2>4可化为3x -x 2>2 解得：{x|1<x<2}2f1=2,f2=4,f3=8,原方程可化为：fx 2+4fx -5=0,解得fx=1或fx=-5舍 由1得x=0;例12．已知函数fx 对任何正数x,y 都有fxy=fxfy ,且fx ≠0,当x>1时,fx<1;试判断fx 在0,+∞上的单调性,并说明理由;分析：可联想幂函数 fx=x n 解：对x ∈R +,有fx=20ff =≥,又fx ≠0,故fx>0设x 1,x 2∈R +,且x 1<x 2,则211x x >,则()()()()()2211211211111x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===< ⎪⎝⎭所以fx 1>fx 2,故fx 在R +上为减函数;函数性质答案1. B 奇次项系数为2. D3. A 奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性4. A5. A 在上递减,在上递减,在上递减,6. A为奇函数,而为减函数. 7. 奇函数关于原点对称,补足左边的图象8. 是的增函数,当时,9. 该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小；自变量最大时,函数值最大10.11. 1,不存在；2函数是特殊的映射；3该图象是由离散的点组成的；4两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线.12. 解：,则,0,20,2m m -==3(2)(2),212f f =--<-<-()()()()F x f x f x F x -=--=-3y x =-R 1y x=(0,)+∞24y x =-+(0,)+∞()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=-222,12,01(),2,102,1x x x x f x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪<-⎩(](2,0)2,5-[2,)-+∞1,x y ≥-x 1x =-min 2y =-[)0,+∞210,1,()3k k f x x -===-+121x x ≥≤且22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩∴01a <<。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明
周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明周期函数是指函数在一些时间间隔内重复出现相同的值的函数。
周期函数的周期是指函数在一个完整的周期内重复出现的时间间隔。
在讨论周期函数的注意点之前，我们先来了解一下常见的抽象函数周期性的证明。
常见抽象函数周期性的证明：1.偶函数的周期性证明：偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
要证明一个函数是偶函数，需要通过代数方法来验证上述等式是否成立。
其中常见的方法有代入法和变量替换法。
例如对于函数f(x)=x^2-1，将x替换成-x，得到f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x)，所以函数f(x)是一个偶函数。
2.奇函数的周期性证明：奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。
要证明一个函数是奇函数，也需要通过代数方法来验证上述等式是否成立。
同样常见的方法有代入法和变量替换法。
例如对于函数f(x)=x^3+x，将x替换成-x，得到f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)，所以函数f(x)是一个奇函数。
3.周期为2π的三角函数的周期性证明：对于常见的三角函数sin(x)和cos(x)，它们的周期都是2π，也就是说sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x + 2π) = cos(x)。
可以通过代数方法来证明它们的周期性，我们需要利用三角函数的性质和三角恒等式。
例如对于函数f(x) = sin(x)，我们有f(x + 2π) = sin(x + 2π)= sin(x)cos(2π) + cos(x)sin(2π) = sin(x)，而且sin(x)在区间[0,2π]上单调递增，所以可以得出函数f(x)的周期是2π。
同理，对于函数f(x) = cos(x)，我们有f(x + 2π) = cos(x + 2π) = cos(x)cos(2π) - sin(x)sin(2π) = cos(x)，而且cos(x)在区间[0,2π]上单调递减，所以可以得出函数f(x)的周期是2π。
(六)抽象函数的周期性
周期性1、已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(x ＋m)＝－f(x),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝－f(x) 所以，f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m] ＝－f(x ＋m) ＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.2、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m ),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m) 令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立， 所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()1()1()11()f x f x m f x f x m f x ---++==++++＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()11()1()()11()f x f x m f x f x m f x f x -+-++=-=-=-++-+ 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x)所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x),求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x) ＝f(b －(x －b))＝f(b ＋(x －b)) ＝f(x)∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得所以，2|a －b|是f(x)的周期6、已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2) 两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2) 即：f(x ＋3)＝－f(x) ∴ f(x ＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004习题:1、f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有： f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.2、f(x)是定义在T 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x ∈[2，3]时，f(x)＝x ，当x ∈[－2，0]时，求f(x)的解析式.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1,求证:2m 是f(x)的一个周期.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有： f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数, 求证:2m 是f(x)的一个周期.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是奇函数, 求证:4m 是f(x)的一个周期.周期性的应用1、函数)(x f 在（0，2）上是增函数，且)2(+x f 是偶函数，那么下列不等式成立的是（ ）2、设f x x R ()()∈是以3为周期的奇函数， 且f f a ()()112>=，，则（ ）3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数， 2)1(=f ，且)6()1(+=+x f x f ，求)4()10(f f +的值4、)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于直线2=x 对称，且x ∈[-2，2]时，1)(2+-=x x f ， 求：当x ∈[-6，-2]时，)(x f 的解析式5、)(x f 定义域为R ，)()2(x f x f -=+。
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么 函数()f x 就叫做奇函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。
（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数 ()f x 就叫做偶函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f =-； （3）图象特征：偶函数图象关于y 轴对称。
（这是判断偶函数的直观方法） 二、周期性周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。
例如，狄利克雷函数，当x 为有理数时，()f x 取1；当x 为非有理数时，()f x 取0。
（1）如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
（2）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期的周期函数。
（3）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(x f y =对定义域内一切x 来说，其中a 为常数，函数)(x f y =满足： （1）)()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线a x =成轴对称； （2）)()2(x f x a f =-⇔函数)(x f y =的图象关于直线a x =成轴对称；（3）)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=成轴对称； （4）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称（偶函数）； （5）)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称； （6）)(x f -=—)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(x f y=满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的 常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期（9）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期 的周期函数。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0；()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
抽象函数的对称性奇偶性与周期性总结及习题
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT ,0k Z k ∈≠也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期;分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,;把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(;[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-;分段函数的奇偶性3、函数的对称性： 1中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
抽象函数和复合函数的应用 解析版-高中数学
抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
抽象函数的周期性
抽象函数的周期抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。
本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考(以下x取定义域内的任意值且 a、b、T为非零常数，b)。
1. f(x)=：f(x，T)型：f (x)的周期为 T。
证明：对x取定义域内的每一个值时，都有 f (x • T)二f (x)，贝y f (x)为周期函数，T 叫函数f(x)的周期。
2. f (x a^ f (x b)型：f (x)的周期为|b -a|。
证明： f (x a)二f (x b)二f (x)二f (x b「a)。
3. f(x，a) - - f (x)型：f (x)的周期为 2a。
证明： f (x 2a) = f [( x a) a] - - f (x a) - - f (x)] = f (x)例•设f (x)是R上的奇函数，f(x • 2) - - f(x)，当0_x_1时，f(x) = x，则f (20055)等于( )A. 0.5B. — 0.5C. 1.5D. —1.514. f (x a) 型：f (x)的周期为2a。
f(x)证明：1 1f (x 2a)二f[(x a) a] f (x)。
f(x+a) 1f(x) 15. f (x a) —型：f (x)的周期为2a。
f(x)证明：1 1f (x 2a) = f[(x a) a] f (x)。
f(x+a) 1f (x)6. f (x * a)二——空'型：f (x)的周期为4a。
1 —f(x)f (x 4a) = f [( x 2a) 2a]=7.两线对称型：函数 f(x)关于直线x=a 、x =b 对称，则f(x)的周期为|2b-2a|。
证明:f(x) - f (2a x), _ f (2a _ x)二 f (2b - x)二 f (x)二 f (x 2b - 2a)。
f (x) = f (2b -x)-■ 3'正弦函数"sinx 关于直线--、x巧对称，则y =sinx的周期为|2XT -2X 八。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形；4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0；5、形如()0,ax b y c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
抽象函数周期性、对称性、奇偶性
抽象函数周期性、对称性、奇偶性综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2a bx +=对称；3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b +对称；4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称；6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称.3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b+对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称.6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数.略证：1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数, 又()f x -[()]f a x a =-+[()]f a x a =++(2)f a x =+(2)f a x =-[()]f a a x =+-[()]()f a a x f x =--=∴函数)(x f y =是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)a 对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. 3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 略证；任取x R ∈，令12,x a x x b x =+=-，则12x x a b +=+，12()()f x f x c +=，由中点公式知点11(,())x f x 与点22(,())x f x 关于点(,)22a b c+对称.由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1、（2005·广东 19）设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。
SX2020A099高考数学必修_抽象函数周期性的结论及应用
抽象函数周期性的结论及应用抽象函数是指没有具体地给出函数解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数．下面例析其周期性的三个重要结论及应用．一、三个结论若a，b是非零常数，且a≠b，则有满足以下条件的函数f(x)为周期结论1 (递推式与周期关系结论)⑴若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2a；⑵若f(x＋a)＝－1()f x，则T＝2a；⑶若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；⑷若f(x＋a)＝1()1()f xf x+-，则T＝4a．结论2(对称性与周期关系结论)⑴f(x)关于x＝a及x＝b对称，则T＝2(b－a)；⑵f(x)关于x＝b及M(a，0)对称，则T＝4(b－a)；⑶f(x)关于点M(a，0)和N(b，0)对称，则T＝2(b－a)．结论3 (奇偶性与周期关系结论)⑴f(x)是偶函数且关于直线x＝a对称，则T＝2a；⑵f(x)是奇函数且关于直线x＝a对称，则T＝4a．二、应用举例1．求值例1设f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－2，求13log 36f ⎛⎫ ⎪⎝⎭．解：由结论1⑴，得T ＝2．∴ ()133log 36log 36f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f (－log 336＋4)＝39log 4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 易知0＜log 394＜1， ∴ 13log 36f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝39log 4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝39log 43－2＝94－2＝41． 例2 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)[1－f (x )]＝1＋f (x )，f (1)＝2005，求f (2001)的值．解：由f (x )≠1，则有f (x ＋2)＝1()1()f x f x +-，由结论1⑷，得T ＝2×4＝8． ∴ f (2001)＝f (1＋8×250)＝f (1)＝2005．例3 已知函数f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)对于x ∈R 成立，且f (1)＝100，求f (2005)的值．解：由f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)， ①得f (x ＋2)＝f (x ＋4)＋f (x )． ②由①、②，得f (x ＋4)＝－f (x －2)，即f (x ＋6)＝－f (x )．由结论1⑵，知T ＝12．故有f (2005)＝f (1＋12×167)＝f (1)＝100．2．判断奇偶性例4 若函数f (x )对于x ∈R 满足，f (x ＋1002)＝－1()f x ，f (1002＋x )＝f(1002－x)，则f(x)为( )(A) 是奇函数而不是偶函数(B) 是偶函数而不是奇函数(C) 是奇函数又是偶函数(D) 不是奇函数也不是偶函数解：由f(x＋1002)＝－1()f x，结合结论1⑵，知T＝2004．∴f(x)＝f(2004＋x)＝f[1002＋(1002＋x)]＝f[1002－(1002＋x)]＝f(－x)．即f(－x)＝f(x)．∴y＝f(x)是偶函数．故选(B)．3．求解析式例5已知偶函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且x∈[3，4]时，f(x)＝2x－1，求当x∈[14，15]时，f(x)的解析式．解：由条件及结论3⑴，知f(x)的周期是2．故当x∈[14，15]时，f(x)＝f(x－18)＝f(18－x)．而知3≤18－x≤4，故f(x)＝f(18－x)＝[2×(18－x)－1]＝－2x＋35．。
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抽象函数的周期
抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。
本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x 取定义域内的任意值且a 、b 、T 为非零常数，a ≠b ）。
1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。
证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T
叫函数f x ()的周期。
2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。
证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+⇒=+-。
3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x ()
例. 设f x ()是R 上的奇函数，f x f x ()()+=-2，当01≤≤x 时，f x x ()=，则
f (.)20055等于（ ）
A. 0.5
B. －0.5
C. 1.5
D. －1.5
4. f x a f x ()()
+=-
1
型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=-
+=-
-
=21
1
1。
5. f x a f x ()()
+=
1
型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=
+=
=21
1
1。
6. f x a f x f x ()()
()
+=
+-11型：f x ()的周期为4a 。
证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]()
()+=++=++-+211 =
+
+--+-
=-1111111f x f x f x f x f x ()
()()()
()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=-
+=-
-
=4221
21
1。
7. 两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为||22b a -。
证明：
f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()=-=-⎧⎨
⎩
⇒-=-⇒=+-222222，。
正弦函数y x =sin 关于直线x =
π
2
、x =
32
π
对称，则y x =sin 的周期为||23222
2×
×ππ
π-=。
8. 一线一点对称型 ： 函数f x ()关于直线x a =及点（b ，0）对称，则f x ()的周期为
||44b a -。
证明：
f x f a x f b x f x f a x f b x f x b a f x ()()
()()()()()()=--=-⎧⎨
⎩
⇒-=--⇒+-=-222222，所以f x b a f x b a b a f x b a f x f x ()[()]()[()]()
+-=+-+-=-+-=--=44222222余弦函数y x =cos 关于直线x =0及点（
π
2
0，）对称，则y x =cos 的周期为
||42
402×
×π
π-=。
9. 两点对称型： 函数f x ()关于点（a ，0）、（b ，0）对称，则f x ()的周期为||22b a -。
证明：f a x f x f b x f x f a x f b x f x f x b a ()()
()()
()()()()222222-=--=-⎧⎨
⎩⇒-=-⇒=+-。
正弦函数y x =sin 关于点（0，0）、()π，0对称，则y x =sin 的周期为
||2202××ππ-=。
习题
⒈ 若)x 2(f y =的图象关于直线2a x =
和)a b (2
b x >=对称，则)x (f 的一个周期为 A.
2b a + B. )a b (2- C. 2
a
b - D. )a b (4- ⒉ 设函数)x (f y =是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知
]2,2[x -∈时，函数1x )x (f 2+-=，则]2,6[x --∈时，=)x (f .
⒊在R 上定义的函数)x (f 是偶函数，且)x 2(f )x (f -=，若)x (f 在 区间]2,1[上是减函数，则)x (f
A. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是增函数
B. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数
C. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数
D. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是减函数
⒋设)x (f 是定义在R 上的奇函数，且)x (f y =的图象关于直线2
1
x = 对称，则=++++)5(f )4(f )3(f )2(f )1(f . ⒌ 已知定义在R 上的奇函数)x (f 满足)x (f )2x (f -=+，则)6(f 的值为 A. 1- B. 0 C. 1 D. 2
⒍ 已知偶函数)x (f y =满足)1x (f )1x (f -=+，且当]0,1[x -∈时，9
43)x (f x +=， 则)5log (f 3
1的值等于
A. 1-
B.
5029 C. 45
101 D. 1 ⒎ 设)x (f 为R 上的奇函数，且0)3x (f )x (f =++-，若1)1(f -=-， 2log )2(f a <，则a 的取值范围是 . ⒏ 函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)
x (f 1
)2x (f =+，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于 A. 5 B. 5- C.
51 D. 5
1- ⒐ 已知定义在R 上的函数)x (f y =满足下列三个条件： ① 对于任意的R x ∈，都有)x (f )4x (f =+；
② 对于任意的2x x 021≤<≤，都有)x (f )x (f 21<； ③ 函数)2x (f y +=的图象关于y 轴对称。
则下列结论正确的是
A. )5.15(f )5(f )5.6(f >>
B. )5.15(f )5.6(f )5(f >>
C. )5.6(f )5.15(f )5(f >>
D. )5.6(f )5(f )5.15(f >> ⒑定义在),(∞+∞-上的偶函数)x (f 满足)x (f )1x (f -=+，且在]0,1[- 上是增函数，下面是关于)x (f 的判断： ① )x (f 是周期函数；
② )x (f 的图象关于直线1x =对称； ③ )x (f 在]1,0[上是增函数； ④ ).0(f )2(f =
其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。
⒒
设
函
数
)x (f 在),(∞+∞-上满足)x 2(f )x 2(f +=-，
)x 7(f )x 7(f +=-，且在闭区间]7,0[上只有.0)3(f )1(f == ⑴ 试判断函数)x (f y =的奇偶性；
⑵ 试求方程0)x (f =在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论。
⒓ 函数)x (f y =的图象为1C ，1C 关于直线1x =对称的图象为2C ，将2C 向左平移2个单位后得到图象3C ，则3C 对应函数为
A. )x (f y -=
B. )x 1(f y -=
C. )x 2(f y -=
D. )x 3(f y -=
⒔ 函数)R x ()x (f y ∈=满足)x (f 是偶函数，又2003)0(f =，
)1x (f )x (g -=为奇函数，则=)2004(f .
答案：⒈ D ；⒉ 1)4x ()x (f 2
++-=；⒊ B ；⒋ 0；⒌ B ；⒍ D ；⒎ 1a >或2
1
a 0<
< ⒏ D ；⒐ A ；⒑ ①②④；⒒ ⑴ 非奇非偶函数；⑵ 802个根；⒓ A ；⒔ 2003.。