抽象函数的周期性

抽象函数的周期

抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x 取定义域内的任意值且a 、b 、T 为非零常数，a ≠b ）。

1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。

证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T

叫函数f x ()的周期。

2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。

证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+⇒=+-。 3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。

证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x ()

例. 设f x ()是R 上的奇函数，f x f x ()()+=-2，当01≤≤x 时，f x x ()=，则

f (.)20055等于（ ）

A. 0.5

B. －0.5

C. 1.5

D. －1.5

4. f x a f x ()()

+=-

1

型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()

()

()+=++=-

+=-

-

=21

1

1。 5. f x a f x ()()

+=

1

型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()

()

()+=++=

+=

=21

1

1。 6. f x a f x f x ()()

()

+=

+-11型：f x ()的周期为4a 。

证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]()

()+=++=++-+211 =

+

+--+-

=-1111111f x f x f x f x f x ()

()()()

()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()

()

()+=++=-

+=-

-

=4221

21

1。 7. 两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为||22b a -。

证明：

f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()=-=-⎧⎨

⎩

⇒-=-⇒=+-222222，

。 正弦函数y x =sin 关于直线x =

π

2

、x =

32

π

对称，则y x =sin 的周期为||23222

2×

×ππ

π-=。 8. 一线一点对称型 ： 函数f x ()关于直线x a =及点（b ，0）对称，则f x ()的周期为

||44b a -。

证明：

f x f a x f b x f x f a x f b x f x b a f x ()()

()()()()()()=--=-⎧⎨

⎩

⇒-=--⇒+-=-222222，所以f x b a f x b a b a f x b a f x f x ()[()]()[()]()

+-=+-+-=-+-=--=44222222余弦函数y x =cos 关于直线x =0及点（

π

2

0，）对称，则y x =cos 的周期为

||42

402×

×π

π-=。

9. 两点对称型： 函数f x ()关于点（a ，0）、（b ，0）对称，则f x ()的周期为||22b a -。

证明：f a x f x f b x f x f a x f b x f x f x b a ()()

()()

()()()()222222-=--=-⎧⎨

⎩⇒-=-⇒=+-。

正弦函数y x =sin 关于点（0，0）、()π，0对称，则y x =sin 的周期为

||2202××ππ-=。

习题

⒈ 若)x 2(f y =的图象关于直线2a x =

和)a b (2

b x >=对称，则)x (f 的一个周期为 A.

2b a + B. )a b (2- C. 2

a

b - D. )a b (4- ⒉ 设函数)x (f y =是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知

]2,2[x -∈时，函数1x )x (f 2+-=，则]2,6[x --∈时，=)x (f .

⒊在R 上定义的函数)x (f 是偶函数，且)x 2(f )x (f -=，若)x (f 在 区间]2,1[上是减函数，则)x (f

A. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是增函数

B. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数

C. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数

D. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是减函数

⒋设)x (f 是定义在R 上的奇函数，且)x (f y =的图象关于直线2

1

x = 对称，则=++++)5(f )4(f )3(f )2(f )1(f . ⒌ 已知定义在R 上的奇函数)x (f 满足)x (f )2x (f -=+，则)6(f 的值为 A. 1- B. 0 C. 1 D. 2

⒍ 已知偶函数)x (f y =满足)1x (f )1x (f -=+，且当]0,1[x -∈时，9

43)x (f x +=， 则)5log (f 3

1的值等于

A. 1-

B.

5029 C. 45

101 D. 1 ⒎ 设)x (f 为R 上的奇函数，且0)3x (f )x (f =++-，若1)1(f -=-， 2log )2(f a <，则a 的取值范围是 . ⒏ 函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)

x (f 1

)2x (f =+，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于 A. 5 B. 5- C.

51 D. 5

1- ⒐ 已知定义在R 上的函数)x (f y =满足下列三个条件： ① 对于任意的R x ∈，都有)x (f )4x (f =+；