2020学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1.5 1.5.3 反证法和放缩法

1．5.3 反证法和放缩法[对应学生用书P21][读教材·填要点]1．反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法．2．放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．[小问题·大思维]1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．[对应学生用书P21][例1] 设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.[思路点拨] 本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．[精解详析] 假设4a (1－b )＞1,4b (1－c )＞1,4c (1－d )＞1，4d (1－a )＞1，则有a (1－b )＞14，b (1－c )＞14， c (1－d )＞14，d (1－a )＞14.∴a (1－b )＞12，b (1－c )＞12，c (1－d )＞12，d (1－a )＞12.又∵a (1－b )≤a ＋(1－b )2，b (1－c )≤b ＋(1－c )2，c (1－d )≤c ＋(1－d )2，d (1－a )≤d ＋(1－a )2，∴a ＋1－b 2＞12，b ＋1－c 2＞12， c ＋1－d 2＞12，d ＋1－a 2＞12. 将上面各式相加得2＞2，矛盾．∴4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解：(1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p＋1.①又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N ＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.[例2] 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.[思路点拨] 由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．[精解详析] 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0， 而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3∴π－3>0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)≥0 ∴a ＋b ＋c >0这与a ＋b ＋c ≤0矛盾． 因此，a ，b ，c 中至少有一个大于0.(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数， 即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0，则1＝(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(ad ＋bc )≥ac ＋bd .这与已知中ac ＋bd >1矛盾， ∴原假设错误，故a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数.[例3] 求证：32－1n ＋1＜1＋122＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N *且n ≥2)．[思路点拨] 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．[精解详析] ∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)， ∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1).即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k (k ∈N ＋且k ≥2)． 分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13， (1)n－1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n，将这些不等式相加得 12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n. ∴1＋12－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋1－1n.即32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N ＋且n ≥2)成立．(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a >b ，可换成证a >c 且c >b ，欲证a <b ，可换成证a <c 且c <b .(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(缩小)：1k2＜1k (k －1)，1k2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等．3．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明：由2n ≥n ＋k ≥n (k ＝1,2…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.[对应学生用书P23]一、选择题1．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A ．a 、b 、c 都是奇数 B ．a 、b 、c 都是偶数 C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．答案：D2．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定解析：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210，∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<101010102111···222+++个＝1. 答案：B3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 解析：假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＞－6，∵a ，b ，c ＜0，∴a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，∴a ＋1a＋b ＋1b ＋c ＋1c≤－6，这与假设矛盾，则选C.答案：C 4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝－a 2＋4a (a >2)，则( ) A ．p >qB ．p <qC ．p ≥qD ．p ≤q解析：∵p ＝(a －2)＋1a －2＋2，又a －2>0， ∴p ≥2＋2＝4，而q ＝－(a －2)2＋4， 由a >2，可得q <4，∴p >q . 答案：A 二、填空题5．给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以上两种说法正确的是________．解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．答案：②6．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条 7．A ＝1＋12＋13＋…＋1n与n (n ∈N ＋)的大小关系是________． 解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n≥++?··+n nnn项＝nn＝n . 答案：A ≥n 8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋bb ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵a >0，b >0， ∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋ba ＋b ＋2＝a ＋ba ＋b ＋2＝M .∴M <N . 答案：M <N 三、解答题9．已知0<x <2,0<y <2,0<z <2，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 证明：法一：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1均成立， 则三式相乘有：xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1.①由于0<x <2，∴0＜x (2－x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1. 同理：0＜y (2－y )≤1，且0＜z (2－z )≤1， ∴三式相乘得：0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1②②与①矛盾，故假设不成立．∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1.法二：假设x (2－y )＞1且y (2－z )＞1且z (2－x )＞1. ∴x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x )＞3.③又x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x ) ≤x ＋(2－y )2＋y ＋(2－z )2＋z ＋(2－x )2＝3④④与③矛盾，故假设不成立， ∴原题设结论成立．10．已知实数x 、y 、z 不全为零，求证： x 2＋xy ＋y 2＋ y 2＋yz ＋z 2＋ z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．证明：x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝|x ＋y2|≥x ＋y2.同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2.由于x 、y 、z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：15≤T n <14.解：(1)由S n ＝na n －2n (n －1)得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ，即a n ＋1－a n ＝4.∴数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝4n －3. (2)证明：T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)×(4n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1<14.又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15，得15≤T n <14.。