上海市华东师范大学二附中2018-2019学年高一下学期数学3月阶段测试题
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下期中考试数学试题一、单选题1．如果α是第三象限的角，那么3α必然不是下列哪个象限的角（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】先写出角α的范围，再除以3，从而求出3α角的范围，看出是第几象限角．【详解】α是第三象限的角，则32,22k k παπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，所以22,33332k k αππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈； 所以3α可以是第一、第三、或第四象限角． 故选：B ． 【点睛】本题考查了角的范围与象限角的判断问题，是基础题． 2．函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是（ ） A ．1sin ([0,])3y x x π=∈ B ．1cos ([0,])3y x x π=∈ C ．1sin ([0,])3y x x π=-∈D ．1cos ([0,])3y x x π=-∈【答案】D【解析】根据反三角函数的定义即可求出 【详解】 函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是1cos 3y x =-，[0,]x π∈， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查反正弦函数的定义和性质，熟记反三角的定义是关键，属于基础题．3．在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos a B c =，且满足21sin sin (2cos )sin22C A B C -=+，则ABC ∆为（ ） A ．锐角非等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【答案】C【解析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A B =，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A B C +=，0A B -=代入计算求出cos C 的值为0，进而确定出C 为直角，即可确定出三角形形状． 【详解】将已知等式2cos a B c =，利用正弦定理化简得： 2sin cos sin A B C = ，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，2sin cos sin cos cos sin A B A B A B ∴=+，即sin cos cos sin sin()0A B A B A B -=-=，A 与B 都为ABC ∆的内角，0A B ∴-=，即A B =，已知第二个等式变形得：sin sin (2cos )A B C -=11(1cos )22C -+=11cos 2C -， 1[cos()cos 2A B -+-()](2cos )1A B C --=1cos 2C -， 1(cos 1)2C ∴---1(2cos )1cos 2C C -=-，即(cos 1)(2cos )C C +-=2cos C -，整理得：2cos 2cos 0C C -=，即cos cos (2)0C C -=， cos 0C =或cos 2C =（舍去）， 90C ∴=︒，则ABC ∆为等腰直角三角形． 故选：C ． 【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．4．已知函数()()3f x cos x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立，则（ ） A ．函数()1f x -一定是奇函数B ．函数()1f x +一定是奇函数C ．函数()1f x -一定是偶函数D ．函数()1f x +一定是偶函数【答案】D【解析】由三角函数图象的性质得：函数()cos(3)f x x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立，得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，即函数(1)f x +一定为偶函数，得解． 【详解】由函数()cos(3)f x x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立， 得函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 即函数(1)f x +一定为偶函数， 故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移，熟记性质是关键，属中档题．二、填空题5．2019︒是第______象限． 【答案】三【解析】根据终边相同的角化为360k α⋅︒+，k Z ∈，0360α︒︒≤< 即可． 【详解】20193605219︒=︒⨯+︒，是第三象限角．故答案为：三． 【点睛】本题考查了终边相同的角的定义与应用问题，是基础题． 6．已知角α的终边经过点(2,3)P -，则sin α=______【答案】13-【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin α的值． 【详解】角α的终边经过点(2,3)P -，则2x =，3y =-，r OP ==，y sin r α∴==，故答案为：13-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 7．已知tan 2α=，则3sin cos 5sin 2cos αααα+=+______．【答案】712【解析】直接利用同角三角函数基本关系式化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可． 【详解】tan 2α=，则3sin cos 3tan 15sin 2cos 5tan 2αααααα++=++321752212⨯+==⨯+．故答案为：712【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式以及三角函数化简求值，考查计算能力．8．函数y =______．【答案】2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【解析】根据函数y =cos 0x ≥，再结合余弦函数的图象，求得x 的范围． 【详解】根据函数y =cos 0x ≥，可得2222k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，故函数的定义域为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 故答案为：2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题． 9．已知1cos()3πα-=，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cot 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】-【解析】由已知求得cos α，进一步得到tan α，再由诱导公式求cot 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭．【详解】由1cos()3πα-=，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1cos 3α-=，即1cos 3α=-，sin 3α∴=-，则sin tan cos ααα==cot cot tan 22ππααα⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：-． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．10．已知4sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α=______．【答案】2【解析】根据同角三角函数关系以及三角函数的倍角公式进行化简即可． 【详解】 若4sin 5α=，α在第二象限， 3cos 5α∴=-，则2sin 2sincos222tan2cos2cos 22αααααα==4sin 5231cos 15αα===+-，故答案为：2 【点睛】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用同角三角函数关系以及三角函数倍角公式是解决本题的关键．11．方程5sin 42cos2x x =+的解集为______． 【答案】3{|arcsin2,4x x k π=+或3arcsin 2,}4x k k Z ππ=-+∈ 【解析】方程化为关于sin x 的一元二次方程，求出sin x 的值，再写出方程的解集．【详解】方程5sin 42cos2x x =+可化为2(5sin 4212si )n x x =+-， 即24sin 5sin 60x x +-=， 解得3sin 4x =，或sin 2x =-（不合题意，舍去）； 所以该方程的解集为33|arcsin2,arcsin 2,44x x k x k k Z πππ⎧⎫=+=-+∈⎨⎬⎩⎭或． 故答案为：33|arcsin 2,arcsin 2,44x x k x k k Z πππ⎧⎫=+=-+∈⎨⎬⎩⎭或． 【点睛】本题考查了三角函数方程的求解与应用问题，是基础题． 12．已知2sin sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan 8πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】3-【解析】由已知等式求得tan α，展开二倍角的正切求得tan 8π，再由两角差的正切求解． 【详解】由2sin sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2sin cos 22ααα=-，4cos 22αα∴=-，则1tan 7α=-． 由22tan8tan141tan 8πππ==-，解得tan 18π=-tan 18π=-+．tan tan8tan 81tan tan 8παπαπα-⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭+(1--=3=-故答案为：3-． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，是中档题．13．将函数sin 2y x =的图象先沿x 轴向左平移6π个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数()y f x =图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：①该函数的解析式为sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③该函数在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④若函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，则12a =． 其中正确判断的序号是______（写出所有正确判断的序号）． 【答案】③④【解析】运用三角函数图象的平移变化及三角函数的性质可解决此问题． 【详解】根据题意知，()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令3x π=则，02y =≠ ∴①②错误；对③，由函数的单调性知正确； 对④，当2x π=时，f （x ）最小为111,22a a +=∴= ，正确； 故答案为③④． 【点睛】本题考查图象的变换及三角函数的性质的简单应用，考查推理求解能力，准确计算是关键，是中档题14．已知ABC ∆中，2227sin 3sin 2sin 2sin sin sin B C A A B C +=+，则cos 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】 【解析】由已知结合正弦定理可得：2227322sin b c a bc A +=+，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，化为：2225(sin 2cos )b c A A bc+-=5b cc b =+≥=，进一步得到in 1()s A θ-≥，又in 1()s A θ-≤，可得in 1()s A θ-=．得到22A k πθπ=++，*k N ∈．求出sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由诱导公式得答案．【详解】2227sin 3sin 2sin 2sin sin sin B C A A B C +=+，由正弦定理可得：2227322sin b c a bc A +=+，222732sin 2b c bc Aa +-∴=，又2222cos a b c bc A =+-， 2222732sin 2cos 2b c bc A b c bc A +-∴=+-，化为：2252(sin 2cos )b c A A bc+-=5b cc b =+≥=c =时取等号．即)A θ-≥tan 2θ=，sinθ=cos θ=即in 1()s A θ-≥，又in 1()s A θ-≤，)sin(1A θ∴-=．22A k πθπ∴-=+，即22A k πθπ=++，*k N ∈．sin sin 2cos 4424A k ππππθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(cos sin )2210θθ=-=⨯=-.cos cos sin 44410A A A πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：10-．【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题15．已知2sin cos 3αα+=． （1）求sin cos αα的值； （2）若α为第二象限的角，求11sin()cos()παπα---的值．【答案】（1）518-；（2）125-. 【解析】（1）利用同角三角函数关系，利用平方进行计算即可 （2）利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可 【详解】（1）2sin cos 3αα+=，∴平方得22sin 2sin cos cos αααα++=49，得452sin cos 199αα=-=-，得5sin cos 18αα=-．（2）若α为第二象限的角，sin 0α>，cos 0α<，则11sin()cos()παπα-=--11sin cos sin cos sin cos αααααα++=21235518==--． 【点睛】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，02πϕ<<）的相邻对称轴之间的距离为2π，且该函数图象的一个最高点为,212π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值和最小值． 【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间为：5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值为1.【解析】（1）由三角函数分析式的求法得：由题意有：2A =，T π=，即22Tπω==，由当12x π=时，函数()f x 取最大值，即22122k ππϕπ⨯+=+，解得23k πϕπ=+，又02πϕ<<，所以3πϕ=，即2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，（2）由三角函数的值域的求法得：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，得解． 【详解】（1）由题意有：2A =，T π= ，即22Tπω==， 由当12x π=时，函数()f x 取最大值，即22122k ππϕπ⨯+=+，解得23k πϕπ=+，又02πϕ<<，所以3πϕ=，即2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222232k x k πππππ-≤+≤+，得：51212k x k ππππ-≤≤+，()k ∈Z 故函数()f x 的分析式为：2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 函数()f x 的单调递增区间为：5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦． （2）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 故函数()f x 的最大值为2，最小值为1． 【点睛】本题考查了三角函数分析式的求法及三角函数的值域，熟记公式准确计算是关键，属中档题．17．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()f t A t b ωϕ=++(0,0,0)A ωϕπ>><<．（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过4.5，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m (0)m >小时投产，求m 的最小值．【答案】（1）1()sin()2(0)262f t t t ππ=++≥（2）4【解析】试题分析：（1）由图象可得： 2.51.5A b A b +=⎧⎨-+=⎩，周期12T =，2126ππω∴==，求得()f t 的解析式；（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为（t m +）小时，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：1()cos 226f t t π=+；同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：1()cos ()226f t m t m π+=++； 两企业用电负荷量之和为()()f t m f t ++，依题意，有9()()2f t m f t ++≤恒成立，求得m 最值 ；试题解析：（Ⅰ）由图象可得： 2.51.5A b A b +=⎧⎨-+=⎩，解得1,22A b ==周期12T =，2126ππω∴==，1()sin()226f t t πϕ∴=++，又()y f t =过点(0,2.5)，sin 1,ϕ∴= 且0ϕπ<<，2πϕ∴=，1()sin()2(0)262f t t t ππ∴=++≥（Ⅱ）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为（t m +）小时由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：1()cos 226f t t π=+； 同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：1()cos ()226f t m t m π+=++；两企业用电负荷量之和1()()[cos ()cos ]4(0)266f t m f t t m t t ππ++=+++≥；依题意，有19()()[cos ()cos ]42662f t m f t t m t ππ++=+++≤恒成立， 即cos()cos166t m t ππ++≤恒成立，展开有：(cos1)cossinsin16666m t m t ππππ+-≤恒成立，------10分(cos1)cossinsin)66666m t mt t πππππφ+-=+（其cos1sincosm mππφφ+==）；1≤，整理得到：1cos62m π≤-，依据余弦函数图像得：2422,()363k m k k Z πππππ+≤≤+∈，即124128k m +≤≤+，取0k =得：48m ≤≤ ∴m 的最小值为4．【考点】本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识，考查建立三角函数模型，数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力，考查函数与方程的思想、转化与化归的思想．18．在锐角ABC ∆中，已知5cos 13A =，6ABC S ∆=，若点D 是线段BC 上一点（不含端点），过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ．（1）若AEF ∆外接圆的直径长为134，求EF 的值； （2）求BC 的最小值（3）问点D 在何处时，DEF ∆的面积最大？最大值为多少？【答案】（1）3；（2）4；（3）当D 为BC 的中点时，DEF ∆的面积最大，最大值为216169. 【解析】（1）根据面积为6可得bc ，然后由正弦定理可得EF ；（2）用余弦定理得到2222cos BC b c bc A =+-，然后用重要不等式可得BC 的范围；（3）设ABD S x ∆=，然后根据面积关系将DEF ∆的面积用x 表示出来，再用一元二次函数求其最大值即可． 【详解】 （1）在锐角ABC ∆中，5cos 13A =，12sin 13A ∴=， 1126213ABC S bc ∆=⋅=，13bc ∴=，AEF ∆外接圆的直径长为134， 由正弦定理可得，1312sin 413EF EF A ==，3EF ∴=；（2）在ABC ∆中，由余弦定理得，2222cos BC b c bc A =+- 221021016b c bc =+-≥-=，当且仅当b c ==4BC ∴≥；故BC 的最小值为4（3）设ABD S x ∆=，则6ADC S x ∆=-，1sin 62ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=， 1213sin AB AC A ∴⋅==，DE AB ∵⊥于E ，DF AC ⊥于F ，12ABD S AB DE x ∆∴=⋅=，12ADC S AC DF ∆=⋅=6x -， 2x DE AB ∴=，122xDF AC -=，1sin()2EDF S DE DF A π∆=⋅⋅-12122sin 2x x A AB AC -=⋅⋅⋅ ()2246169x x -+=224(3)9169x ⎡⎤=---⎣⎦， ∴当3x =时，EDF S ∆的最大值为，216169． ∴当3x =时，三角形ABD 与三角形ADC 面积相等D ∴为BC 的中点，∴当D 为BC 的中点时，DEF ∆的面积最大，最大值为216169． 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，二次函数求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2018-2019学年华二附中高一年级下学期期中考试数学试卷
10.已知△ 中， ，则
【答案】：
二.选择题
11.如果 是第三象限的角，那么 必然不是下列哪个象限的角（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】：B
【解析】：
解：∵α是第二象限角，
∴α∈（2kπ+ ，2kπ+π），k∈Z，
∴ ∈（ kπ+ ， kπ+ ），k∈Z．
∴是第一或二，四象限角．
【解析】：
解：（1）由题可得：
∴
（2）∵
∴
∴bc=6
∵
∴
即BC的取值范围为
（3）∵∠EDF+∠BAC=
∴
又
当且仅当DE=DF时等号成立，此时AD是∠BAC的角平分线。
∴
=
=6
∴
当DE=DF，AB=AC时，
则
∴
【答案】：C
【解析】：
解：将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选：C．
14.已知函数 满足 恒成立，则（）
A.函数 一定是奇函数B.函数 一定是奇函数
C.函数 一定是偶函数D.函数 一定是偶函数
【答案】：D
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高三下质量调研数学试题
华东师大二附中2018-2019学年第二学期高三年级质量调研数学试卷一、填空题1.行列式5189的值为________.2.设集合{}{}，，，，，，，2024321-==B A 则=B A ________.3.已知向量()()，，，，，512751=-==_______. 4.如果复数z 满足，0222=+-z z 那么=z ______.5.椭圆1222=+y x 的焦距是______.6.掷一颗均匀的骰子,所得点数为质数的概率是_______(结果用最简分数表示).7.若圆锥的侧面积与底面积之比为2,则其母线与轴的夹角大小为________.8.从5名男教师和4名女教师选出4人参加“组团式援疆”工作,且要求选出的4人中男女教师都有,则不同的选取方法的种数为________.9.若两直线42:2:21+-=++=x y l c kx y l ，的交点在第一象限,则正整数=k ______.10.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-231的二项式展开式中,常数项为正数,则正整数n 的最小值是______.11.已知()R b a bay xx ∈++=+，122既是奇函数,又是减函数,则=+b a _______. 12.已知坐标平面上的曲线Γ和直线称l ，若l 与Γ有且仅有一个公共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，称l 为Γ的一条“基线”，则下列曲线中:，；④；③；②①xx y x y x y x y 111arcsin 23-=+=== 没有“基线”的是_________(写出所有符合要求的曲线编号).13.已知数列{}n a 的极限是A,如果数列{}n b 满足，＞，，⎪⎩⎪⎨⎧≤=66103102n a n a b n n n 那么数列{}n b 的极限是A.A 3B.A 2C.AD.不存在 14.已知，，R y x ∈则“11＞或＞y x ”是“2＞y x +”的 A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体1111D C B A ABCD -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为A.12B.24C.48D.5816.函数()()，＞，0m R x x f y ∈=若存在实数，M m ≤使得对所有，D x ∈都有()，M x f m ≤≤则称()()D x x f y ∈=“有界”，设()()R x x f y ∈=1是增函数， ()()R x x f y ∈=2是周期函数，且对所有()()，＞，＞，0021x f x f R x ∈已知 ()()()，x f x f x h 21=下列命题中真命题是A.若()x h 是周期函数,则()x f 1“有界”B.若()x h 是周期函数,则()x f 2“有界”C.若()x f 1“有界”,则()x h 不是周期函数D.若()x f 2“有界”,则()x h 不是周期函数17.如图,正三棱柱111C B A ABC -底面三角形的周长为6,侧棱长1AA 长为3. (1)求正三棱柱111C B A ABC -的体积； (2)求异面直线C A 1与AB 所成角的大小.18.已知函数().sin cos sin 2x x x x f -=(1)求()x f 的最小正周期；(2)设△ABC 为锐角三角形,角A 的对边长，2,角B 的对边长，3若()，0=A f 求△ABC 的面积.19.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数量的变化趋势；(2)研究人员用函数()14878.445020006554.0++=-t e t P 拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年初对应时刻()t P t ，0=P)的单位是干人，设()t P 的反函数为()，x T 求()2400T 的值(精确到0.1),并解释其实际意义.20.设常数，2≥m 在平面直角坐标系xOy 中,已知点()，，20F 直线，m y l =:曲线 ()l m y y x ，：≤≤-=Γ0121与y 轴交于点A 、与Γ交于点B,P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用m 表示点B 到点F 的距离；(2)若0=⋅FQ AP 且，FQ FP FA =+求m 的值；(3)设，22=m 且存在点P 、Q,使得△FPQ 是等边三角形,求△FPQ 的边长。
上海市华师大二附中2018学年高一下学期期中数学试卷含解析
2018-2018学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．2．函数f（x）=的定义域是．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为．8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是．9．已知，且，则cos（x+2y）=．10．设函数f（x）=，关于f（x）的性质，下列说法正确的是．①定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；②值域是R；③最小正周期是π；④f（x）是奇函数；⑤f（x）在定义域上单调递增．二、选择题（4*4=16分）11．为了得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向右平移D．向左平移12．α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜D．α+β＞13．下列函数中以π为周期，在（0，）上单调递减的是（）A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx|C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|14．下列命题中错误的是（）A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立三、解答题（8+10+12+14=44分）15．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β），求α，β的值．16．若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．17．已知函数y=．（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；（2）求函数y=f（t）的值域．18．用a，b，c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a，b，R，其中b≤a，问a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c．2018-2018学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用特殊角的三角函数，反正切函数的定义和性质，求得arctan（cot）的值．【解答】解：arctan（cot）=arctan（）=，故答案为：．2．函数f（x）=的定义域是{x|x=2kπ，k∈z} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1，解出即可．【解答】解：由题意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案为：{x|x=2kπ，k∈z}．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanθ=﹣3，∴sinθ（sinθ﹣2cosθ）====，故答案为：．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是[]．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinx≥cosx，再由已知x的范围求得x的具体范围．【解答】解：∵===sinx﹣cosx，∴sinx≥cosx，又x∈（0，2π），∴x∈[]．故答案为：∈[]．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．【考点】反三角函数的运用．【分析】由题意可得arcsinx与arccosx=均为锐角，x＞0，求得cos（arcsinx﹣arccosx）的值，可得x的值．【解答】解：∵arcsinx∈（﹣，），arccosx∈（0，π），arcsinx﹣arccosx=，∴arcsinx与arccosx 均为锐角，x＞0．又cos（arcsinx﹣arccosx）=cos=，即cos（arcsinx）?cos（arccosx）+sin（arcsinx）sin（arccosx）=?x+x?=，∴?x=，∴x2（1﹣x2）=，∴x2=，或x2=，∴x=，或x=．经检验，x=不满足条件，故舍去．故答案为：．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由0＜cos1＜1，得外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，再求出内函数t=sinx的减区间，取使t大于0的部分得答案．【解答】解：令t=sinx，∵0＜cos1＜1，∴外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，又sinx＞0，∴当x∈[）（k∈Z）时，内函数t=sinx大于0且单调递减，∴函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z），故答案为：[）（k∈Z）．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；．【考点】三角函数线．【分析】观察知道，利用x＞0时，sinx＜x，结合余弦函数的单调性解答．【解答】解：因为sinx＜x，所以0＜θ＜，sinθ＜θ，所以cos（sinθ）＞cosθ，令x=cosθ，所以cosθ＞sin（cosθ），故答案为：cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是{ω|ω≥1或ω≤﹣}．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象特征，正弦函数的最大值，分类讨论求得ω的取值范围．【解答】解：∵关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，∴当ω＞0时，由ω？≥，ω≥1，当ω＜0时，由ω？（﹣）≥，求得ω≤﹣，故答案为：{ω|ω≥1或ω≤﹣}．9．已知，且，则cos（x+2y）=1．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=﹣2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．【解答】解：设f（u）=u3+sinu．由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=﹣2a．因为f（u）在区间上是单调增函数，并且是奇函数，∴f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．∴x=﹣2y，即x+2y=0．。
2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)
第三个交点的横坐标为 2，所以在（0,2 上的三个解的和为 2+2=4，
在（2,4 上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为 2×3=6，第三个交点的横坐标
为 4，所以在（2,4 上的三个解的和为 6+4=10，
所以结合图像对称性，可知，在
均有三个解， ，且均有对称性，
∴在区间
上所有解的和为
，
故选：D
2018 届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考 试数学试题
一、单选题
1．已知无穷等比数列 的各项的和为 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充要条件 C．必要非充分条件 【答案】A
B．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件
【解析】先根据已知得
，
再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】
，所以
，因为 S＜0，所以 0.
8．已知抛物线
，直线
、
（
）， 与
恰有一个公共点 ， 与 恰有一个公共点 ， 与 交于点 .
（1）当
时，求点 到 准线的距离；
（2）当 与 不垂直时，求 的取值范围；
（3）设 是平面上一点，满足
且
，求 和 的夹角大小.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】（1）
，
，因为 与 恰有一个公共
点 ，，所以
，再求出抛物线的准线方程和点 到 准线的距离.（2）由 可得
，否则，令
，则
的概率为______（结果用最简分数表示）．
【答案】 【解析】胡涂涂同学掷了 3 轮，要使得 的概率. 【详解】
，分两种情况讨论，再利用古典概型求
胡涂涂同学掷了 3 轮，要使得
，有两种情况，① 一轮点数为 1，二轮点数为 1、
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(解析版)
华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷2018.03一.填空题1.设全集，若集合，，则______【答案】【解析】【分析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.计算：______【答案】【解析】【分析】设，求出，即得解.【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量，，则________【答案】13【解析】【分析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.如果复数满足，那么________【答案】1【解析】【分析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解. 【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.（）的反函数________【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.方程的解为________【答案】2【解析】【分析】由题得，即，解方程再检验即得解.【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】【分析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距.【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】【分析】由题得，，再求其轴截面的面积.【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A. 只有B. 在直线上C. 多于三个D. 在第二象限【答案】C【解析】【分析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解. 【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A. B.036162 C. 3053234 D. 3055252【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD 所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】【分析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列.（3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题与详细解析
华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________．10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以32x =-时，arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦；∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.考点：余弦定理；三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-.【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】【分析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.（2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x 的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.【答案】（1）π或3π；（2）[arctan；（3）19；【解析】试题分析：(1) 4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或，arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.（2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kka=-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos7π为无理数，所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。
2018年上海市华东师范大学第二附属中学高三三模数学试题
绝密★启用前2018年上海市华东师范大学第二附属中学高三三模数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知平面直角坐标系中不垂直于x 轴的直线l ，则“l 的斜率等于k ”是“l 的倾斜角等于arctan k ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件D ．既非充分又不必要条件2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．方程ln3ln4ln5x x x +=正实数解的个数为（ ）. A ．0个B ．1个C ．3个D ．多于3个4．某作图软件的工作原理如下：给定()0,0.01δ∈，对于函数()y f x =，用直线段链接各点()()55,,n f n n n Z δδδδ⎛⎫-≤≤∈ ⎪⎝⎭，所得图形作为()y f x =的图象.因而，该软件所绘()sin 2001y x =与sin y x =的图象完全重合.若其所绘()cos y x ω=与cos y x =的图象也重合，则ω不可能等于（ ）A ．1999B ．1001C ．999D ．101第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明5．设x ∈R ，则不等式103x x +<-的解集为______. 6．()31x f x x+=的反函数为()1f x -=______. 7．已知向量(7,1,5)a =-r，(3,4,7)b =-r，则||a b +=________8．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是3，首项12a =，则其公比q =______.9．如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________10．方程()()515log 1log 31x x +--=的解为x =______.11．在62x ⎛+ ⎝的二项展开式中，常数项等于______.12．已知圆锥的高与底面直径均与球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为______. 13．已知a 、b C ∈，集合{}{}2,,1a b a b =+，则⋅=a b ______.14．沙沙从写有数字05的6枚卡片中不放回地抽取3张并进行如下操作：若3张卡片中不含写0的那张，则记录这3张卡片上数字的平均值；若3张卡片中含有写0的那张，则记录这3张卡片上数字之和，那么他在抽取一次之后，记录的数等于3的概率为______（结果用最简分数表示）.15．已知ABC ∆中，5BC =，6CA =，4AB =，P 是ABC ∆内一点，使得530PA PB PC ++=.设PD 垂直BC 于D ，PE 垂直CA 于E ，则PD PE ⋅=______.16．若函数4y a x a x=-+-在区间[]1,4上的最小值是4，实数a 的取值范围是______. 三、解答题17．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14AA =，M 是11C A 的中点.装…………○……线…………○……_姓名：___________班级：装…………○……线…………○……（1）求四面体1MA AB 的体积；（2）求异面直线MB 与1AA 所成角的大小. 18．设a 、0b >，函数()xxf x a b =+.（1）若()f x 是偶函数，求ab 的值；（2）若2b =，求()()1f x f x +>时x 的取值范围（用a 表示）.19．如图，某校机器人社团需要制作一种四边零件ABCD ，要求90A ∠=，30BDC ∠=o ，AD 长10厘米，DC 长20厘米.（1）若65ADB ∠=，求BC 的长（结果精确到0.01厘米）； （2）若要求C ADC ∠=∠，求CBD ∠的大小（结果精确到1）. 20．已知()()2,0P t tt >是抛物线2y x=上一点，过原点O 作直线OP 的垂线l ，设点A 的坐标为()0,a ，其中(]0,1a ∈，直线PA 交l 于点Q .（1）当1t =时，求原点O 到直线PA 的距离（用a 表示）； （2）若当P 在抛物线上运动时，Q 点的轨迹经过点⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值. 21．设*m N ∈，若无穷数列{}n x 满足：对所有整数121d m ≤≤-，都成立2m d d x x -=，则称{}n x “m -折叠数列”.*n（2）给定常数*P N ∈，是否存在数列{}n x ，使得对所有*m N ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的值？证明你的结论； （3）设递增数列{}i a 满足()**i a Ni N ∈∈.已知如果对所有*m N ∈，{}n x 都是ma-折叠数列，则{}n x 的各项中至多只有k 个不同的值，证明：()1211m m a k -≤-+.参考答案1．C 【解析】 【分析】由反正切函数的值域以及充分必要条件的判定可得出正确选项. 【详解】当0k ≥时，由直线l 的斜率为k ，可得出直线l 的倾斜角为arctan k . 当k 0<时，由直线l 的斜率为k ，可得出直线l 的倾斜角为arctan k π+. 反之，若直线l 的倾斜角为arctan k ，则直线l 的斜率为()tan arctan k k =. 因此，“l 的斜率等于k ”是“l 的倾斜角等于arctan k ”的必要非充分条件. 故选：C. 【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，考查了反正切函数的应用，同时也考查了必要不充分条件的判断，在判断时要熟悉直线倾斜角的取值范围以及反正切函数的值域，考查推理能力，属于中等题. 2．B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系 3．B 【解析】 【分析】利用对数的运算性质先证明出log log b b caac=，可将原方程变形为ln ln 34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再利用复合函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性，即可得出原方程解的个数. 【详解】先证明log log b b c a a c =，设log b c a m =，log b a c n =，两个等式两边同时都取以b 为底数的对数得log log log b b b m c a =⋅，log log log b b b n c a =⋅，则log log b b m n =，m n =∴，即log log b b c a a c =.由ln3ln 4ln5x x x +=，可得ln ln ln 345x x x +=，0x >，等式两边同时除以ln 5x 得，ln ln 34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于函数ln 35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln 45xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，则函数ln ln 3455xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()0,∞+上单调递减，当ln 2x =时，即当2x e =时，有2234155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，原方程的解只有一个. 故选：B. 【点睛】本题考查方程解的个数的判断，注意利用对数的运算性质和换元法、复合函数的单调性来判断解的唯一性，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 4．D 【解析】 【分析】由题意可知，该软件所绘()sin 2001y x =与sin y x =的图象完全重合，说明给定的δ恰好为函数()sin 2001y x =最小正周期的()k k N*∈倍，若其所绘()cos y x ω=与cos y x =的图象也重合，则δ也为函数()cos y x ω=最小正周期的()k k N*∈倍，可得出()20,0.01k πδω=∈，可得出ω所满足的不等式，即可得出ω的取值范围，进而得出正确选项. 【详解】由题意可知，该软件所绘()sin 2001y x =与sin y x =的图象完全重合，说明给定的δ恰好为函数()sin 2001y x =最小正周期的()k k N*∈倍，若其所绘()cos y x ω=与cos y x =的图象也重合，则δ也为函数()cos y x ω=最小正周期的()k k N*∈倍，则()20,0.01k πδω=∈，即20.01k πω<，200628k ωπ∴>>. 因此，ω不可能的取值为101. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数中参数的求解，解题的关键就是得出δ与正余弦型函数最小正周期之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 5．()1,3- 【解析】 【分析】 解不等式103x x +<-即可得出该不等式的解集. 【详解】 解不等式103x x +<-得13x -<<，因此，不等式103x x +<-的解集为()1,3-. 故答案为：()1,3-. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 6．()133x x ≠- 【解析】 【分析】 由31x y x+=，解出x ，可得出函数()1y f x -=的解析式，并求出该函数的定义域. 【详解】 由31x y x+=得31xy x =+，即()31x y -=，得13x y =-. 因此，()()1133fx x x -=≠-. 故答案为：()133x x ≠-.本题考查反函数解析式的求解，解题时还应求出反函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题. 7．13 【解析】 【分析】先求出向量a b +=（4，3，12），由此能求出|a b +|． 【详解】∵向量()715a =-，，，()347b =-，，， ∴a b +=（4，3，12），∴|a b +|==13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．13【解析】 【分析】利用无穷等比数列各项和公式可求出q 的值. 【详解】由题意可知，无穷等比数列{}n a 的各项的和为12311a q q ==--，解得13q =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查等比数列公比的计算，利用无穷等比数列各项和公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 9．4- 【解析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m 方程，即可得到结论． 【详解】由题意，双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，则223y x m m ---=1，半焦距为4，则﹣m ﹣3m ＝16， ∴m ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题． 10．4 【解析】 【分析】利用对数的运算性质得出()()5log 131x x ⎡⎤+-=⎣⎦，然后将对数式化为指数式，结合真数大于零可解出x 的值. 【详解】()()()()()()515555log 1log 3log 1log 3log 131x x x x x x +--=++-=+-=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1030135x x x x ⎧+>⎪->⎨⎪+-=⎩，解得4x =.因此，方程()()515log 1log 31x x +--=的解为4x =.故答案为：4. 【点睛】本题考查对数方程的解，解题时要充分利用对数的运算性质，还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题. 11．154【解析】 【分析】求出二项展开式通项，利用x 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得出所求常数项.62x⎛⎝展开式通项为6136666226662=22kkk kk k k k k kxC C x x C x------⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎝⎭.令3602k-=，解得4k=，因此，62x⎛⎝的二项展开式中常数项为42611521544C-⋅=⨯=.故答案为：154.【点睛】本题考查利用二项展开式通项求常数项，考查运算求解能力，属于中等题.12．12【解析】【分析】设球的半径为r，可得出圆锥的高和底面半径，然后计算出圆锥的体积和球的体积，即可得出圆锥与球的体积之比.【详解】设球的半径为r，则圆锥的高为2r，底面半径为r，则圆锥的体积为3212233rr rππ⨯=，球的体积为343rπ，因此，圆锥与球的体积之比为33241:332r rππ=.故答案为：12.【点睛】本题考查圆锥与球体体积的计算，要明确各几何量之间的等量关系，考查计算能力，属于基础题.13．1-【解析】【分析】根据题意得出21a b b a =+⎧⎨=⎩，解此方程组，即可计算出⋅a b 的值. 【详解】1b b ≠+，且21a b b a =+⎧⎨=⎩，解得1212a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.当12a =+，12b =-时，1112222a b i i ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当122a =-，122b i =--时，1112222a b ⎛⎫⎛⎫⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 综上所述，1a b ⋅=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用集合相等求参数，同时也考查了实系数方程虚根的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 14．320【解析】 【分析】列举出事件“沙沙在抽取一次之后，记录的数等于3”所包含的基本事件，并计算出所有的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】由题意知，事件“沙沙在抽取一次之后，记录的数等于3”所包含的基本事件有：()1,3,5、()2,3,4、()0,1,2，共3个，所有的基本事件个数为3620C =.因此，沙沙在抽取一次之后，记录的数等于3的概率为320. 故答案为：320. 【点睛】本题考查利用古典概型概率的计算，解题关键就是求出所求事件所包含的基本事件数，一般利用列举法或者计数原理来得出，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．17596-【解析】 【分析】以点C 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，求出点A 、B 的坐标，结合530PA PB PC ++=求出点P 的坐标，再由0PE CA ⋅=求出点E 的坐标，由此可计算出PD PE ⋅的值. 【详解】以点C 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如下图：在ABC ∆中，5BC =，6CA =，4AB =，得2536163cos 2564BCA +-∠==⨯⨯，则sin BCA ∠=，9,22A ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，()5,0B ，()0,0C ， 设点()P m n ,，则4515755,522PA m n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()3153,3PB m n =--，(),PC m n =--.由题意得45515302530m m m n n n ⎧-+--=⎪⎪---=，解得256m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩256P ⎛ ⎝⎭.设92CE CA λλ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，则92526PE CE CP λ⎛=-=-- ⎝⎭.由92590262PE CA λ⎛⎫⋅=-⨯+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5572λ=. 3548PE ⎛∴=- ⎝⎭，0,PD ⎛= ⎝⎭，因此，5717596PD PE ⎛⋅==- ⎝⎭.故答案为：17596-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，建立坐标系求出相应点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于难题.16．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意得出函数()4f x x a x=+-在区间[]1,4上的最大值为4a -，利用双勾函数的单调性得出函数4y x x=+在区间[]1,4上的最大值为5，最小值为4，然后对a 分4a ≤、5a ≥、45a <<三种情况分类讨论，结合函数()4f x x a x=+-在区间[]1,4上的最大值为4a -求出实数a 的取值范围. 【详解】由于函数4y a x a x =-+-在区间[]1,4上的最小值是4，构造函数()4f x x a x=+-， 则函数()4f x x a x=+-在区间[]1,4上的最大值为4a -， 由双勾函数的单调性可知，函数4y x x=+在区间[)1,2上单调递减，在区间(]2,4上单调递增，min 4y ∴=，max 5y =.①当4a ≤时，对任意的[]1,4x ∈，()4f x x a x=+-，则()()m a x154f x f a a ==-≠-，不合乎题意；②当5a ≥时，对任意的[]1,4x ∈，()4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()max 24f x f a ==-，合乎题意；③当45a <<时，对任意的[]1,4x ∈，()4f x x a x=+-，如下图所示：则()()(){}{}max95,42max 1,2max 5,494,52a a f x f f a a a a ⎧-<<⎪⎪==--=⎨⎪-≤<⎪⎩.综上所述，当92a ≥时，函数4y a x a x =-+-在区间[]1,4上的最小值是4.因此，实数a 的取值范围是9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为: 9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查绝对值函数的最值问题，同时也考查了双勾函数单调性的应用，解题时应充分利用绝对值变换，利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17．（1；（2）arctan . 【解析】 【分析】（1）取AC 的中点G ，连接BG ，可得BG ⊥平面11ACC A ，然后以BG 为高计算四面体1MA AB 的体积；（2）连接MG ，则有1//AA MC ，可知异面直线MB 与1AA 所成的角为BMG ∠，然后在Rt BMG ∆中，利用锐角三角函数的定义可求出tan BMG ∠，由此可得出异面直线MB 与1AA 所成角的大小.【详解】（1）取AC 的中点G ，连接BG ，在正三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，点G 为AC 的中点，则BG AC ⊥，1AA ⊥底面ABC ，BG ⊂平面ABC ，1BG AA ∴⊥， 1AA AC A =，BG ∴⊥平面11AAC C .1AA M ∆的面积为1111114222AA M S A M AA ∆=⋅=⨯⨯=，BG ==因此，四面体1MAA B 的体积为11112333B AA M AA M V S BG -∆=⋅=⨯=； （2）连接MG ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC ，四边形11AAC C 为平行四边形，则11//A C AC . M 、G 分别为11A C 、AC 的中点，则1//A M AG ，∴四边形1AA MG 为平行四边形， 1//MG AA ∴，则异面直线MB 与1AA 所成的角为BMG ∠，在Rt BMG ∆中，BG =14MG AA ==，tan BG BMG MG ∴∠==，BMG ∴∠=MB 与1AA所成的角为【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，同时也考查了异面直线所成角的计算，考查计算能力，属于中等题.18．（1）1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义()()f x f x -=，利用作差法并利用因式分解法可求出ab 的值；（2）将2b =代入函数()y f x =的解析式，由()()1f x f x +>可得出21xa a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，然后分10a -≤和10a ->两种情况讨论，利用指数函数的单调性可得出不等式的解. 【详解】 （1）函数()xxf x a b =+是偶函数，则()()()()xxxx f x f x a bab ----=+-+()()()()()1111x x xxx x x xx xx x a b a b a b a b a b ab ab ⎡⎤+⎛⎫=+-+=+-=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()10xxx xab ab ab ⎡⎤+-⎣⎦==对任意的x ∈R 恒成立， 则()10xab -=对任意的x ∈R 恒成立，因此，1ab =； （2）2b =Q ，()2xxf x a ∴=+，则()1112x x f x a+++=+，由()()1f x f x +>，得1122x x x x a a +++>+，可得出222x x x x a a a ⋅+⋅>+，即()21xxa a >-⋅，不等式两边同时除以x a 得21xa a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭. ①当10a -≤时，即当1a ≥时，原不等式恒成立；当10a ->时，即当01a <<时，则22a >，指数函数2xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数， 由21xa a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭可得()2log 1a x a >-.因此，当1a ≥时，x 的取值范围是R ；当01a <<时，x 的取值范围是()2log 1,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性的定义求参数，同时也考查了指数函数的单调性解不等式，解题时注意底数的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19．（1）11.84厘米；（2）53. 【解析】 【分析】（1）在R t A B D ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BD ，然后在BDC ∆中利用余弦定理求出BC ；（2）设CBD x ∠=，利用x 表示图中各角，在ABD ∆中，利用锐角三角函数的定义得出()10sin 30BD x =-，然后在BCD ∆中，利用正弦定理得出关于角x 的三角方程，解出sin x的值，即可得出角x 的值. 【详解】（1）在Rt ABD ∆中，10AD =，65ADB ∠=，90A ∠=，10=23.66cos65cos65AD BD ∴=≈.在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos30BC BD CD BD CD =+-⋅⋅2223.6620223.6620140.21322=+-⨯⨯⨯≈，因此，11.84BC ≈（厘米）； （2）设CBD x ∠=，由三角形的内角和定理得150ADC C x ∠=∠=-，120ADB ADC BDC x ∠=∠-∠=-，9030ABD ADB x ∴∠=-∠=-，由题意知012090x <-<，得30120x <<. 在Rt ABD ∆中，由锐角三角函数的定义得()()10sin 30sin 30AD BD x x ==--，在BCD ∆中， 由正弦定理()20sin sin 150BD x x =-，即()20sin 150sin x BD x-=，即()()20sin 15010sin sin 30x xx -=-，化简可得24sin 2sin 10x x --=，解得sin 0.809x =≈，可得53x ≈，因此，CBD ∠的大小约为53. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，解题时要结合三角形已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．（1；（2）23. 【解析】 【分析】（1）求出直线PA 的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出原点O 到直线PA 的距离； （2）求出直线l 的方程与直线PA 的方程，联立两直线的方程求出点Q 的坐标，然后将点⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入点Q 的坐标，即可求出实数a 的值. 【详解】（1）当1t =时，()1,1P ，()0,A a ，则直线PA 的斜率为1a -， 所以，直线PA 的方程为()1y a x a =-+，即()10a x y a -+-=， 因此，原点O 到直线PA=；（2）直线OP 的斜率为t ，则直线l 的方程为x y t =-，则直线PA 的方程为2t ay x a t-=+，联立两直线方程2x y t t a y x at ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，解得2211at x t a a y t a ⎧=-⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩.由于点Q 的轨迹经过点⎛⎫⎪⎝⎭，可得223111at t a a t a ⎧-=-⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩，解得233a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，23a =. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线的交点，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.21．（1）0或±1；（2）存在，证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中所给定义，列方程讨论q 的取值可得出结果；（2）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列{}n x 的图象有无数条对称轴，可联想三角函数；（3）结合（2）的结论利用数学归纳法即可证明. 【详解】（1）要使通项公式为()nn x qn N *=∈的数列{}nx 是“3-折叠数列”，只需6dd qq -=.①当0q =时，0n x =，显然成立； ②当0q ≠时，上式可化为621dq -=，则()231d q -=，{}1,2,3,4,5d ∈，1q ∴=±.综上所述，0q =或±1；（2）对于给定的p ，{}n x 都是“pm -折叠数列”，故数列{}n x 的图象有多条对称轴，其中n pm =都是数列{}n x 的图象的对称轴， 设cosn nx pπ=，由()nm m Npππ*=∈，得对称轴为n pm =，且数列{}nx 的周期为2p ，满足给定常数p N *∈，使得对所有的m N *∈，{}n x 都是“pm -折叠数列”，{}n x ∴是周期数列，且周期为2p ，在(]1,2p 这个周期内，n p =为对称轴，故(]1,2n x p ∈对应的项的个数与[],2n x p p ∈对应的项的个数相等，[],2n x p p ∈，[],2n x pπππ∈，n x ∴在[],2p p 上单调递增，p N *∈，故{}n x 各项中共有1p +个不同的取值.综上所述，给定常数p N *∈，存在数列{}n x ，使得对所有m N *∈，{}n x 都是“pm -折叠数列”，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的取值； （3）由（2）知，(),m a pm p N m N **=∈∈且1k p +=，即1k p =-.故要证原不等式成立，只需证121m pm p -≤+，只需证112m m p-≤+. ①当1m =时，不等式112m m p -≤+显然成立； ②假设当m k =时，有112k k p-≤+成立， 则当1m k =+时，()11111111121222k k k k k p p p+----+≤++<++=+， 故当1m k =+时，不等式成立. 综上所述，()1211m m a k -≤-+.【点睛】本题主要考查了数列、三角函数、不等式证明等知识，考查了分类讨论思想、函数思想，解题时还应注意对新定义的理解与迁移，属于难题.。
2018-2019年上海市上师大附中高三下第三次月考数学试卷及答案
上海师范大学附属中学2019年高三第三次质量检测数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1. 设集合{2,3,4,12}A =，{0,1,2,3}B =，则A B = {}2,32.不等式11x<的解集为 ()(),01,-∞+∞3．已知tan 2θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos θ=___4．已知球主视图的面积等于9π，则该球的体积为__36π ___.5. 从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法_____780____.（用数字作答）6. 定义(),,,a a bF a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是____（2）（3）（4）____（写出所有真命题的序号）①若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数()()(),F f x g x 为奇函数 ②若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数()()(),F f x g x 为偶函数 ③若()f x 、()g x 都是增函数，则函数()()(),F f x g x 为增函数 ④若()f x 、()g x 都是减函数，则函数()()(),F f x g x 为减函数7.已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当时[2,4]x ∈，43()|log ()|2f x x =-，则1()2f 的值为128.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，121a a ==，平面内三个不共线的向量OA 、OB 、OC 满足11()(1)n n n OC a a OA a OB -+=++-，2n ≥，*n N ∈，若A 、B 、C 在同一直线上，则2018S = 29. 已知点,C D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD λ=MC ，则实数λ的取值范围为__1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦____.10.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅12. 11.已知点A (–3,–2)和圆C ：(x–4)2+(y–8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B )，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 712.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和()()114f x f x +⋅-=对任意的x R ∈都成立，若当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，则当[]100,100x ∈-时，函数()f x 的值域为100100[2,2]- .二、选择题（每题5分，共20分）13. 若非空集合A 、B 、C 满足AB C =，且B 不是A 的子集，则（ B ）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”的必要条件14.定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ B ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 815.已知函数1202()12212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，则满足方程()n f x x =的根的个数为（ C ）A. 2n 个B. 22n 个C. 2n个 D. 2(21)n-个16.关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程组存在唯一解的条件是（ C ）．A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21aa 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =+. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.解：（1）()21cos 2cos 2x f x x +==，其对称轴为2,,2k x k x k Z ππ==∈，因为直线线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴， 所以,2k a k Z π=∈， 又因为()1222g x x =+，所以()()()112sin 2=222g a g k k ππ==+ 即()122g a =. (2)由（1）得()()()1cos 2212sin 216h x f x g x x x x π=+=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1710,,2,,sin 2,2266662x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以()h x 的值域为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()221x f x a =-+（常数a R ∈） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[]2,3x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值.【答案】：（1）若当1a =时，()f x 为奇函数。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)3月段考数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）3月段考数学试卷试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）已知点P（5a.-12a）在角α的终边上.且a＞0.则sec(3π2+α) =___ ．2.（填空题.4分）求值：sin50°（1+ √3 cot80°）=___ ．3.（填空题.4分）已知x=−1312π .则11−11−11−csc2x的值为___ ．4.（填空题.4分）已知锐角α.β是钝角△ABC的两个内角.且θ的终边过点P（sinβ-cosα.cosβ-sinα）.则θ是第___ 象限角．5.（填空题.4分）在△ABC中.已知tan A+B2=sinC.给出以下论断：① tanA-cotB=1 ② 0＜sinA+sinB≤ √2③ sin2A+cos2B=1 ④ cos2A+cos2B=sin2C其中正确的是：___ ．6.（填空题.4分）已知1−tanθ1+tanθ=2019 .则sec2θ+tan2θ=___ ．7.（填空题.4分）已知sinα+cosβ=1.cosα+sinβ=0.则sin（α+β）=___ ．8.（填空题.4分）已知α∈（-π.π）.且tanα是关于x的方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根.则α的值为___ ．9.（填空题.4分）在△ABC中. cosAcosB+1sinAsinB =53.则tan A2•tan B2=___ ．10.（填空题.4分）在△ABC中. ba +ab=4cosC，cos(A−B)=16.则cosC=___ ．11.（单选题.4分）若角α、β的终边关于y轴对称.则下列等式成立的是（）A.sinα=sinβB.cosα=cosβC.tanα=tanβD.cotα=cotβ12.（单选题.4分）“ α+β=π4”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分亦不必要条件13.（单选题.4分）已知△ABC中. tanA+tanB+√3=√3tanAtanB且. sinBcosB=√34.则△ABC是（）A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形14.（单选题.4分）设α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.且tanα= 1+sinβcosβ.则（）A.3α-β= π2B.3α+β= π2C.2α-β= π2D.2α+β= π215.（问答题.10分）如图.点A、B是单位圆O上的两点.点C是圆O与x轴的正半轴的交点.将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转π3到OB．（1）若点A的坐标为（35 . 45）.求1+sin2α1+cos2α的值；（2）用α表示|BC|.并求|BC|的取值范围．16.（问答题.10分）在△ABC中.已知c=2，C=π3．（1）求△ABC周长的最大值；（2）若2sin2A+sin（2B+C）=sinC.求△ABC的面积．17.（问答题.12分）（1）如图.点P在线段AB上.直线AB外一点O对线段AP.BP的张角分别为α.β.即∠AOP=α.∠BOP=β．求证：sin(α+β)OP =sinαOB+sinβOA．（2）在△ABC中.AB=c.DC=kAD.∠DBA=α.∠DBC=β.其中k＞0.试用c.k.α.β表示线段BC的长．18.（问答题.12分）如图.边长为1的正方形ABCD中.P.Q分别为边BC.CD上的点.且△PCQ的周长为2．（1）求线段PQ长度的最小值；（2）试探究∠PAQ是否为定值.若是.给出这个定值；若不是.说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）3月段考数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）已知点P （5a.-12a ）在角α的终边上.且a ＞0.则 sec (3π2+α) =___ ． 【正确答案】：[1] −1312【解析】：由P 的坐标求得|OP|.再由任意角的三角函数的定义求得sinα.然后利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解．【解答】：解：∵P （5a.-12a ）.且a ＞0.∴|OP|= √(5a )2+(−12a )2=13|a | =13a. ∴sinα= −12a 13a =−1213 . ∴ sec (3π2+α) =1cos(3π2+α)= 1sinα = −1312 ．故答案为： −1312 ．【点评】：本题考查任意角的三角函数的定义.考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用.是基础题．2.（填空题.4分）求值：sin50°（1+ √3 cot80°）=___ ． 【正确答案】：[1]1【解析】：利用cot80°=tan10°.tan60°= √3 .将原式化为 cos10°cos10° =1．【解答】：解：因为cot80°=tan10°.tan60°= √3 所以1+ √3 cot80°=1+tan60°tan10°= cos60°cos10°+sin60°sin10°cos60°cos10° =cos (60°−10°)cos60°cos10°=cos50°cos60°cos10°.则sin50°（1+ √3 cot80°）=sin50°cos50°cos60°cos10°=12sin100°12cos10° =cos10°cos10°=1. 故答案为：1．【点评】：本题考查三角函数的恒等变化.能将 √3 替换成tan60°是关键.属于基础题．3.（填空题.4分）已知x=−1312π .则11−11−11−csc2x的值为___ ．【正确答案】：[1] 8+4√3【解析】：将所求式子化为：1sin2x .利用倍角公式求出sin2π12= 1−cosπ62=1−√322=2−√34.代入即可．【解答】：解：因为cscx= 1sinx. 所以11−11−11−csc2x = 11−11−csc2x−11−csc2x=11+1−csc2xcsc2x=csc2x = 1sin2x.又因为sin2x=sin2(−13π12) =sin2π12.且 sin2π12= 1−cosπ62=1−√322=2−√34.所以原式= 1sin2x =2−√34=2−√3=4(2+√3)4−3=8+4√3 .故答案为8+4√3．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换.涉及二倍角公式.属于基础题．4.（填空题.4分）已知锐角α.β是钝角△ABC的两个内角.且θ的终边过点P（sinβ-cosα.cosβ-sinα）.则θ是第___ 象限角．【正确答案】：[1]二【解析】：由题意利用三角函数的单调性.判断点的坐标的符号.从而得出点所在的象限．【解答】：解：∵锐角α.β是钝角△ABC的两个内角.∴α+β＜π2 .∴β＜π2-α．∴两边同取正弦可得.sinβ＜sin（π2-α）=cosα.即sinβ＜cosα.sinβ-cosα＜0；∴两边同取余弦可得.cosβ＞cos（π2-α）=sinα.即sinα＜cosβ.cosβ-sinα＞0．∵θ的终边过点P（sinβ-cosα.cosβ-sinα）.故点P的横坐标小于零.纵坐标大于零.故θ为第二象限角.故答案为：二．【点评】：本题主要考查三角函数的单调性.判断点所在的象限的方法.属于基础题．5.（填空题.4分）在△ABC中.已知tan A+B2=sinC.给出以下论断：① tanA-cotB=1 ② 0＜sinA+sinB≤ √2③ sin2A+cos2B=1 ④ cos2A+cos2B=sin2C其中正确的是：___ ．【正确答案】：[1] ② ④【解析】：利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos A+B 2 = √22进而求得A+B=90°.进而求得tanA-cotB=tanA-tanA=0.可得 ① 不正确； ② 利用两角和公式化简.利用正弦函数的性质求得其范围符合.得 ② 正确；③ sin 2A+cos 2B=2sin 2A 不一定等于1.排除 ③ ； ④ 利用同角三角函数的基本关系可知cos 2A+cos 2B=cos 2A+sin 2A=1.进而根据C=90°可知sinC=1.进而可知二者相等.得 ④ 正确．【解答】：解：∵tan A+B 2 =sinC.∴ sin A+B2cosA+B 2 =2sin A+B 2 cos A+B 2 .整理求得cosA+B 2 = √22.∴A+B=90°． ∴tanA -cotB=tanA-tanA=0.不等于1.故 ① 不正确． 由上可得 sinA+sinB=sinA+cosA= √2 sin （A+45°）. 45°＜A+45°＜135°.故有 √22＜sin （A+45°）≤1. ∴0＜sinA+sinB≤ √2 .所以 ② 正确．sin 2A+cos 2B=sin 2A+sin 2A=2sin 2A.不一定等于1.故 ③ 不正确． ∵cos 2A+cos 2B=cos 2A+sin 2A=1.sin 2C=sin 290°=1. 所以cos 2A+cos 2B=sin 2C.所以 ④ 正确． 故答案为 ② ④ ．【点评】：本题主要考查了三角函数的化简求值.考查了学生综合分析问题和推理的能力.基本的运算能力.属于中档题．6.（填空题.4分）已知 1−tanθ1+tanθ=2019 .则sec2θ+tan2θ=___ ． 【正确答案】：[1] 12019【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式及倍角公式化sec2θ+tan2θ为含有tanθ的代数式求解．【解答】：解：∵ 1−tanθ1+tanθ=2019 .∴sec2θ+tan2θ=1cos2θ+2tanθ1−tan 2θ= cos 2θ+sin 2θcos 2θ−sin 2θ+2tanθ1−tan 2θ =1+tan 2θ1−tan 2θ+2tanθ1−tan 2θ= (1+tanθ)2(1−tanθ)(1+tanθ) = 1+tanθ1−tanθ=12019 ．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用.是基础题．7.（填空题.4分）已知sinα+cosβ=1.cosα+sinβ=0.则sin（α+β）=___ ．【正确答案】：[1] −12【解析】：把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1.再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=-1.可得结果．【解答】：解：sinα+cosβ=1.两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1. ① .cosα+sinβ=0.两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0. ② .由① + ② 得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1.即2+2sin（α+β）=1.∴2sin（α+β）=-1．∴sin（α+β）= −12．故答案为：−12．【点评】：本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用.三角函数的求值.属于基本知识的考查.是基础题．8.（填空题.4分）已知α∈（-π.π）.且tanα是关于x的方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根.则α的值为___ ．【正确答案】：[1] −5π6【解析】：由题意利用韦达定理求出tanα＜1tanα .且sinα=- 12.由此求得α的值．【解答】：解：已知α∈（-π.π）.且tanα是关于x的方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根.根据韦达定理可得两根之积等于1.故另一个根为1tanα .且tanα＜1tanα① ．∴tanα+ 1tanα =-2secα= −2cosα.即1sinαcosα= −2sinαsinαcosα.∴sinα=- 12② ．由① ② .结合α∈（-π.π）.可得α=- 5π6.【点评】：本题主要考查韦达定理.根据三角函数的值求角.属于中档题．9.（填空题.4分）在△ABC中. cosAcosB+1sinAsinB =53.则tan A2•tan B2=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：把已知等式化弦为切.整理后求得tan A2•tan B2= 13或tan A2•tan B2=3．再由A.B.C为三角形三内角.得tan A2 .tan B2.tan C2均大于0.可得tan A2•tan B2＜1.则答案可求．【解答】：解：在△ABC中.由cosAcosB+1sinAsinB =53.得1−tan2A21+tan2A2•1−tan2B21+tan2B2+12tanA21+tan2A2•2tanB21+tan2B2= 53.整理得(1−tan2A2)(1−tan2B2)+(1+tan2A2)(1+tan2B2)4tan A2•tan B2= 53．即1+tan2A2tan2B22tan A2tan B2=53.则tan A2•tan B2= 13或tan A2•tan B2=3．又A.B.C为三角形三内角.得tan A2 .tan B2.tan C2均大于0.可得tan A2•tan B2＜1.则tan A2•tan B2= 13．故答案为：13．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值.考查万能公式的应用.是中档题．10.（填空题.4分）在△ABC中. ba +ab=4cosC，cos(A−B)=16.则cosC=___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：由题意.利用余弦定理和正弦定理.化简求得sin2A+sin2B=2sin2C.再利用降幂公式与和差化积.以及同角的三角函数关系.求得cosC的值．【解答】：解：△ABC中. ba + ab=4cosC.∴cosC＞0；∴a2+b2=2×2abcosc=2（a2+b2-c2）. ∴a2+b2=2c2.∴sin2A+sin2B=2sin2C.∴ 1−cos2A2 + 1−cos2B2=2sin2C.即2-（cos2A+cos2B）=4sin2C；∴2-2cos（A+B）cos（A-B）=4sin2C. 又cos（A-B）= 16.cos（A+B）=-cosC.∴2+ 13cosC=4sin2C=4×（1-cos2C）. 化简得12cos2C+cosC-6=0.解得cosC= 23或cosC=- 34（不合题意.舍去）；所以cosC= 23．故答案为：23．【点评】：本题考查了三角恒等变换应用问题.也考查了正弦、余弦定理的应用问题.是中档题．11.（单选题.4分）若角α、β的终边关于y轴对称.则下列等式成立的是（）A.sinα=sinβB.cosα=cosβC.tanα=tanβD.cotα=cotβ【正确答案】：A【解析】：根据α、β的终边关于y轴对称.得到两个角之间的关系.结合三角函数的诱导公式即可得到结论．【解答】：解：∵α、β终边关于y轴对称.设角α终边上一点P（x.y）.则点P关于y轴对称的点为P′（-x.y）.且点P与点P′到原点的距离相等.设为r.则P′（-x.y）在β的终边上.由三角函数的定义得sinα= yr .s inβ= yr.∴sinα=sinβ.故选：A．【点评】：本题考查任意角的三角函数的定义以及直线关于直线的对称直线.点关于直线的对称点问题．12.（单选题.4分）“ α+β=π4”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分亦不必要条件【正确答案】：D【解析】：根据正切函数的定义域.结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】：解：依题意.若α+β=π4 .若α= π2+kπ（或者β= π2+kπ）.则tanα（或tanβ）无意义.所以（1+tanα）（1+tanβ）=2不成立.故充分性不成立；若（1+tanα）（1+tanβ）=2.所以tanα+tanβ1−tanαtanβ=1⇒tan（α+β）=1⇒α+β= π4+kπ .故必要性不成立.所以“ α+β=π4”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”的既不充分也不必要条件.故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用函数的定义域和周期性是解决本题的关键.比较基础．13.（单选题.4分）已知△ABC中. tanA+tanB+√3=√3tanAtanB且. sinBcosB=√34.则△ABC是（）A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形【正确答案】：A【解析】：利用两角和的正切求得A+B.再由倍角公式求得B.则答案可求．【解答】：解：∵由tanA+tanB+√3=√3tanAtanB .得：tanA+tanB1−tanAtanB=- √3 .即tan（A+B）=- √3 .∴A+B=120°.C=60°.又sinBcosB= √34.∴sin2B= √32.则2B=60°或2B=120°.即B=30°或B=60°.若B=30°.则A=90°.tanA不存在.不合题意；若B=60°.则A=C=60°.△ABC为正三角形．故选：A．【点评】：本题考查三角形形状的判定.考查了两角和的正切及倍角公式的应用.是基础题．14.（单选题.4分）设α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.且tanα= 1+sinβcosβ.则（）A.3α-β= π2B.3α+β= π2C.2α-β= π2D.2α+β= π2【正确答案】：C【解析】：化切为弦.整理后得到sin（α-β）=cosα.由该等式左右两边角的关系可排除选项A.B.然后验证C满足等式sin（α-β）=cosα.则答案可求．【解答】：解：由tanα= 1+sinβcosβ.得：sinαcosα=1+sinβcosβ.即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα.sin（α-β）=cosα=sin（π2−α）.∵α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.∴当2α−β=π2时.sin（α-β）=sin（π2−α）=cosα成立．故选：C．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.训练了利用排除法及验证法求解选择题.是基础题．15.（问答题.10分）如图.点A、B是单位圆O上的两点.点C是圆O与x轴的正半轴的交点.将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转π3到OB．（1）若点A的坐标为（35 . 45）.求1+sin2α1+cos2α的值；（2）用α表示|BC|.并求|BC|的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得.cosα 和sinα 的值.再利用二倍角公式求得sin2α 和 cos2α的值.可得 1+sin2α1+cos2α的值． （2）由题意可得.|OC|=|OB|=1.∠COB=α+ π3 .由余弦定理可得|BC|2的解析式．根据α∈（0. π2 ）.利用余弦函数的定义域有和值域求得|BC|的范围．【解答】：解：（1）由已知可得.cosα= 35 .sinα= 45 ．∴sin2α=2sinαcosα= 2425 .cos2α=2cos 2α-1=- 725 . 1+sin2α1+cos2α = 1+24251+(−725) = 4918 ． （2）由题意可得.|OC|=|OB|=1.∠COB=α+ π3.由余弦定理可得|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OB||OC|cos∠COB=1+1-2cos （α+ π3 ）=2-2cos （α+ π3 ）．∵α∈（0. π2 ）.∴α+ π3 ∈（ π3 . 5π6 ）.∴cos （α+ π3 ）∈（- √32 . 12 ）.∴|BC|2∈（1.2+ √3 ）.∴|BC|∈（1.√6+√22 ）．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、余弦定理、二倍角公式、余弦函数的定义域和值域.属于中档题．16.（问答题.10分）在△ABC 中.已知 c =2，C =π3 ．（1）求△ABC 周长的最大值；（2）若2sin2A+sin （2B+C ）=sinC.求△ABC 的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由已知利用余弦定理.基本不等式可求得a+b≤4.当且仅当a=b=2时.等号成立.即可求解△ABC 周长的最大值；（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAcosA-cosAsinB=0.可得cosA=0或sinB=2sinA.分类讨论求得b 的值.利用三角形的面积公式即可得解．【解答】：解：（1）∵ c =2，C =π3 .∴由余弦定理.得 c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab =(a +b )2−3ab ≥(a +b )2−3•(a+b)24.∴得a+b≤4.当且仅当a=b=2时.等号成立.∴C△ABC=a+b+c≤6.即△ABC周长的最大值为6；（2）∵2sin2A+sin（2B+C）=sinC.∴2sin2A+sin[（B+C）+B]-sin[（B+C）-B]=2sin2A+2cos（B+C）sinB=0. ∴2sinAcosA-cosAsinB=0.∴cosA=0或sinB=2sinA.∴ ① cosA=0时. A=π2 .此时b=2√3，S△ABC=12bc=2√33.② sinB=2sinA时.由正弦定理.知b=2a. ∵c2=a2+b2-ab=3a2=4.∴ a=2√33，b=4√33，S△ABC=12absinC=2√33.综上.△ABC的面积为2√33．【点评】：本题主要考查了余弦定理.基本不等式.三角函数恒等变换的应用.三角形的面积公式在解三角形中的应用.考查了分类讨论思想和转化思想.属于中档题．17.（问答题.12分）（1）如图.点P在线段AB上.直线AB外一点O对线段AP.BP的张角分别为α.β.即∠AOP=α.∠BOP=β．求证：sin(α+β)OP =sinαOB+sinβOA．（2）在△ABC中.AB=c.DC=kAD.∠DBA=α.∠DBC=β.其中k＞0.试用c.k.α.β表示线段BC的长．【正确答案】：【解析】：（1）由S△AOB=S△AOP+S△BOP S△ACB.列出等式化简证得结论即可；（2）由三角形的面积公式.列出等式化简就求得BC的值．【解答】：（1）证明：由题意知.S△AOB=S△AOP+S△BOP S△ACB.即12OA•OB•sin（α+β）= 12OA•OP•sinα+ 12OA•OP•sinβ.等式两边同除12OA•OB•OP.即得sin(α+β)OP =sinαOB+sinβOA；（2）解：∵DC=kAD.∴ S△ABD S△BCD =12AB•BD•sinα12BC•BD•sinβ= 1k.解得BC= k•AB•sinαsinβ = cksinαsinβ．【点评】：本题考查了三角形面积计算问题.是基础题．18.（问答题.12分）如图.边长为1的正方形ABCD中.P.Q分别为边BC.CD上的点.且△PCQ的周长为2．（1）求线段PQ长度的最小值；（2）试探究∠PAQ是否为定值.若是.给出这个定值；若不是.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设∠CQP=θ，θ∈(0，π2) .用θ的三角函数值表示△PCQ的周长.求出PQ.再求最小值；（2）∠PAQ为定值π4.设∠DAQ=α.∠BAP=β.计算tanα、tanβ和tan（α+β）的值.从而求得∠PAQ的值．【解答】：解：（1）设∠CQP=θ，θ∈(0，π2) . 则CP=PQsinθ.CQ=PQcosθ.△PCQ的周长为L△PCQ=PQ+CP+CQ=PQ+PQsinθ+PQcosθ=2.解得PQ=21+sinθ+cosθ=1+√2sin(θ+π4)≥1+√2=2√2−2；（2）∠PAQ为定值π4.设∠DAQ=α.∠BAP=β.其中α、β、α+β∈（0. π2）；则tanα=DQDA =1−CQ1=1−CQ .同理tanβ=1-CP；∴ tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2−CP−CQ1−(1−CQ)(1−CP)=2−CP−CQCP+CQ−CP•CQ= PQPQsinθ+PQcosθ−PQ2sinθcosθ=1sinθ+cosθ−PQsinθcosθ= 1sinθ+cosθ−21+sinθ+cosθsinθcosθ=1+sinθ+cosθ(sinθ+cosθ)(1+sinθ+cosθ)−2sinθcosθ= 1+sinθ+cosθ(sinθ+cosθ)2+sinθ+cosθ−2sinθcosθ=1+sinθ+cosθ1+2sinθcosθ+sinθ+cosθ−2sinθcosθ=1 .∴ α+β=π4 .∴ ∠PAQ=π2−(α+β)=π4．【点评】：本题考查了三角恒等变换应用问题.也考查了解三角形的应用问题.是中档题．。
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题含解析
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一.填空题，则，设全集1.，若集合______【答案】【解析】【分析】.先求出得解，再求【详解】由题得，所以···}.-3,-2,2,3,4,5,={···，故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.计算：2.______【答案】【解析】【分析】. ，即得解，求出设.，设【详解】∵.所以所以.所以故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量________，则，13 【答案】【解析】【分析】- 1 -.由题得，即得.【详解】由题得，∴13故答案为：【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知. 识的理解掌握水平和分析推理计算能力________4.，那么如果复数满足1 【答案】【解析】【分析】的值，再求，所以方程没有实数根，由求根公式求出z由题得. |z|的大小得解，所以，所以方程没有实数根，【详解】∵1故答案为：【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌. 握水平和分析推理计算能力________5.）的反函数（【答案】（）【解析】【分析】. ,再求出原函数的值域即得反函数求出）（，设）所以,，【详解】设（.因x≥0，所，所以y≥0，所以反函数因为x≥0，所以，.，故答案为：【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的. 理解掌握水平和分析推理计算能力________方程6.的解为- 2 -【答案】2【解析】【分析】，即，解方程再检验即得解由题得.【详解】. 经检验，当x=-10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解2故答案为：【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考. 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力________81的二项展开式中，所有项的系数之和为在7.，则常数项为8 【答案】【解析】【分析】.由题得再利用二项式展开式的通项求常数项得解，所以n=4,得】由为式二n=4, ，所以项展开的通项题【详解，令..所以常数项为8故答案为：【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________ 【答案】8【解析】【分析】，，且，即得双曲线的焦距，解方程组即得.- 3 -8.，∴，【详解】，所以该双曲线的焦距为，且8故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和.分析推理计算能力________9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为36 【答案】【解析】【分析】. ，，再求其轴截面的面积由题得.，【详解】由题得，所以36故答案为：【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考. 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力时，他投，首先，他令胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列10.，当的概率，否则，令，即令一次骰子，若所得点数大于，则 ______（结果用最简分数表示）．为【答案】【解析】【分析】.的概率轮，要使得胡涂涂同学掷了3，分两种情况讨论，再利用古典概型求、11，胡涂涂同学掷了3轮，二轮点数为有两种情况，要使得，①一轮点数为【详解】，三轮点数26，二轮点数为1、、、，三轮点数为5、61；②一轮点数为23、45、、、、234 为1；.∴由古典概型得所求的概率故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌.握水平和分析推理计算能力已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为11.- 4 -_______【答案】【解析】【分析】=1. 22，先求出单位圆直观图的方程(x-y)+8y为了简化问题，我们可以设单位圆x2+y2=1，a画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC 即为椭圆的，ba和，我们可以求出b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为bOD即为椭圆的.从而推导出离心率，第（cosθ，sinθ），即圆上的点P2+y2=1x【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆，第二步变换，绕着一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），所以据此得到单位圆的直观图（cosθ+45°，即投影点顺时针旋转sinθ，sinθ）sinθ，θ为参数，消去参数可得方，sinθ程y=方程参的数为，x=cosθ+为，=1.2(x-y)+8y2得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了- 5 -，根据椭圆上的点到原点的距离b，OD即为椭圆的该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a. ，从而推导出离心率a和b最大为a，最小为b，我们可以求出sinθ）到原点的距离的平方为椭圆上的点（cosθ+sinθ，=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析. 推理能力是（）的下列结论：①，关于函数的，12.设R、取得最小值；③函数；④的最小值是零点；②3中有且时，函数- 6 -________仅有一个是错误的，则-17 【答案】【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，.，解方程组得且，0ac【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果＜）且.c＜0，则函数在定义域内也没有最小值则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，，.且，解方程组得，-17故答案为：【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解. 掌握水平和分析推理能力二.选择题”的（13.的各项的和为已知无穷等比数列，则“）”是“ B. 充分非必要条件A. 充要条件既非充分也非必要条件D. 必要非充分条件C.A 【答案】【解析】【分析】再利用充要条件的先根据已知得＜，因为，所以S0，所以0.，. 定义判断得解0.【详解】由题得0，所以＜S，因为，，∴.”的是充要条件∴“”是“A故答案为：项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这n【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前.些知识的理解掌握水平和分析推理能力- 7 -、、）无解，则必有（ 14.的方程组：）已知关于（其中D.C.A. B.B 【答案】【解析】【分析】，其中不同时为1、.所以当ab=1,且a,b由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.、1，，其中所以当ab=1,且a,b不同时为.∴，即:B故选【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 和分析推理能力已知（R）图像的交点不可能（，则函数15.）与）（R在直线 C. 多于三个A. 只有D. 在第二象上 B.限C 【答案】【解析】【分析】）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的（RR）与结合函数（最多个数得解.（【详解】结合函数）与R（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有个交点，在第三、第四象限，因为函数R）在第2个交点，在第二象限，最多有1（三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点. 故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.方程416.已知是周期为的奇函数，且当，时，在- 8 -，则方程区间）内有唯一解在区间上所有解的和为（ C. 3053234D. 3055252B. 036162A.D 【答案】【解析】【分析】均有三个解，的图像，分析得到在在同一个坐标系下作出函数y=为解的在区和上间所有称，且均有对性，所以，】解【详2×1=2，第0,2结合图像对称性，可知，在（上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为，所以在（2+2=4，0,2上的三个解的和为三个交点的横坐标为2，4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2,4 在（2×3=6，第三个交点的横坐标为，2,4上的三个解的和为所以在（6+4=10均有三个解，，且均有对称性，所以结合图像对称性，可知，在上所有解的和为∴在区间，D故选：【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合.分析推理能力解答题三..、17.如图，三棱锥中，、、均为直角，，- 9 -1）求三棱锥的体积；（.）求异面直线所成角的大小（2与 (2)(1) 【答案】【解析】【分析】为坐以点B.(2) BCD,（1）由题得AB⊥平面，再求出三棱锥的体积先求出轴建立空间直角坐标系，利用向量法所在直线为z所在的直线为y轴，以BA标原点，以BD.求异面直线所成角的大小与BCD,AD=AB⊥平面1）由题得【详解】 ,BD=，（所以三棱锥.的体积,所以）2（轴建立空间直zBAyBDB如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在直线为- 10 -B(0,0,0),A(0,0,1),角坐标系，则,,所以所以异面直线，与所成角的余弦.所成角为与∴异面直线【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.，函数18..R设）若，解不等式；（1，使得上单调递增. （2）求所有的在区间(1) 【答案】 (2)【解析】【分析】）由题得1再解不等式得解.(2)（在区间分类讨论，，数形结合分析得到使得和上单调递增. 的a的取值范围】（1解）由题得【详.，即，二次函数）若（2在区间y=，上单调递增.∴；，，；当，当，，明显符合，所以此时. 综上，【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单- 11 -调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为19.150°的两面墙，另两边是长度均.为8米的篱笆、平方米，求的长（结果精确到）若0.01米），；（1面积的最大值（结果精确到）若要求0.01平方米），求花坛（2.(1)10.05 (2) 平方米【答案】【解析】【分析】①，因为，由正弦定理得（1，即所以）设显然BD,，再利用余弦定理和基本不等式求②，解①②即得解.(2) 连接.，再求花坛出面积的最大值，由正弦定理得）设，，∴（【详解】1②，因为所以.解①②得.所以由正弦定理得,,显然2（）连接BD,由余弦定理得平方米. ，即最大值为∴【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.已知抛物线，直线、（），与20.恰有一，与恰有一个公共点，个公共点与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；- 12 -和且）设的夹角大小. （3是平面上一点，满足，求(3)(1) (2) 【答案】【解析】【分析】恰有一个公共点，，因为），，所以（1与点和方程出抛物线的准准线的距离.（2）线得由可，再求到以.(3) 由题得，所得得，再立与求与出，联，联立，求得，根据，和，即得得解方程，所以的夹角为.，（1，）【详解】，恰有一个公共点∵，与，∴准线的距离到准线为，所以点因为抛物线.得，可得）由（2，消去，，∴整理得得与，联立，联立得3（与）由题得，联立得，∵，与，∴a得）问结论，，，，消去由第（2，据此，，∵∴的夹角为和，解得∴，，∴.- 13 -【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.时，，，若数列，且当设满足：对所有，21.满足为“，函数则称，数列数列”，设R，（）.数列，求的值；，而是）若（1存在但对任意，证明：都不是使得（2），设数是数列，，列；是（，证明：对任意）设，使得数列，都存在.3(1) (2)见证明；(3)【答案】见证明【解析】【分析】先证明当分，）.(2) ，，（1两种情况讨论得到，即满足，所以是只需数列，，且当，所以不，，且当，所，即满足，只需，数列；再证明当是m为奇数，在归纳，得到：以当是不所，以数是列.(3)通过数列有解，存在；，m有解，存在为偶数，在当，.，所以对任意都存在再结合函数映射性质可知，，当时，，.是数列使得，），1；，，当（【详解】.当，不符；综上所述，，，- 14 -数列，也不是，，…，既不是，数列；（2，）当，数列，也不是，，数列；当，…，既不是，，数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是，，，，，，…，只需当，，∴不是，且当，数列；即满足，∴是数列，，当，，，，，…，只需，，∴不是，数列，即满足，∴是，且当数列；都不是数列，使得，是综上，存在数列，但对任意.，，当）有解，存在；3（；，，当有解，存在；，当，有解，存在有解，存在，当；，……，m存在当为奇数，有解，，在；m有解，存在为偶数，在；，当时，，结合函数映射性质可知，当.，都存在是，使得数列∴对任意【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.- 15 -。
上海市华东师范大学二附中2018-2019学年高一下学期数学3月阶段测试题(解析版)
华东师范大学二附中2021届高一下学期数学3月阶段测试一、填空题（每小题4分，共40分）1.已知点在角的终边上，且，则______________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，利用诱导公式化简，则可得结果．【详解】因为，则r13a，∴sinα，cosα，又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式及同角基本关系式的应用，属于基础题．2.求值：______________.【答案】1【解析】【分析】先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利用诱导公式变形，约分后即可得到结果．【详解】因为＝•）＝•＝•＝•＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．3.已知，则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由下向上依次运算，1﹣csc2x＝﹣cot2x，11+tan2x，11﹣cos2x．【详解】原式代入得．故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题，考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．4.已知锐角是钝角的两个内角，且的终边过点，则是第______象限角.【答案】二【解析】【分析】由题意得，利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角，则，因此，则sin<sin（）＝cos，同理可得sin<sin（）＝cos，所以，，故P在第二象限，故答案为：二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系，考查了正弦函数单调性的应用，考查了诱导公式的应用，属于中档题.5.在中，已知，给出以下四个论断：①②③④，其中正确的是.【答案】②④【解析】试题分析：因为，整理得，所以不正确，，，，所以②正确，，③错，，，，故④正确，故答案为②④.考点：1、三角形内角和定理及诱导公式；2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.6.已知，则____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的三角函数公式，结合弦化切化简得，由，直接得出结果．【详解】∵分子、分母都除以cos2θ，∴得=，（）∵，∴所求=故答案为．【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用，考查了弦化切的方法，属于中档题．7.已知，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8.已知，且是关于的方程的两个根中较小的根，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα，然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值，根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值．【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1＝0的较小根，且两根之积为1，∴方程的较大根是cot．∴tan+cot＝﹣2sec，即，且tan<cot,∴．又，解得或，又tan<cot，∴，故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用，考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值，易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍，属于中档题．9.在中，已知．则______．【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得．解得或．又由、、为的三个内角知，，．故．因此，．10.在中，，则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，找出A﹣B，设BD＝x，在△ADC中两次利用余弦定理将cos（A﹣B）及cos C表示出，分别求出x建立关于a，b 的方程，化简变形后利用整体换元求出答案．【详解】由题意知，4cos C，∴由余弦定理得，4，化简可得＝2，则,又中不妨设a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，设BD＝x，则AD＝x，DC＝a﹣x，AC＝b，在△ADC中，cos∠DAC＝cos（A﹣B），由余弦定理得：（a﹣x）2＝x2+b2﹣2x•b•，即：(b﹣6a)x＝，解得：x＝．①又在△ADC中，由余弦定理还可得cos C，∴cos C，化简得x＝，②由①②可得，又＝2，联立可得=,即=,两边同时除以，得=+6，令，则12，解得t=或，又由题意，∴t=cos C=，故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于难题．二、选择题（每小题4分，共16分）11.若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A. B. C. D. .【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以, , ,.选A.12.“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此时无意义；∴“”是“”的既不充分亦不必要条件．故选D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法，属于基础题．13.已知中，且，，则是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由tan A+tan B tan A tan B，推导出C＝60°，由，推导出A＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状．【详解】∵tan A+tan B tan A tan B，即tan A+tan B（1﹣tan A tan B），∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，∴A+B＝120°，即C＝60°，∵，∴,∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°∴△ABC为直角三角形或等边三角形．故选：C．【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14.设且则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，选考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．【此处有视频，请去附件查看】三、解答题：15.如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.（1）若点的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos和sin的值，再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值，可得的值．（2）由题意可得，|OC|＝|OB|＝1，∠COB＝，由余弦定理可得的解析式．根据∈（0，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围．【详解】（1）由已知，，∴，∴；（2）由单位圆可知：，由余弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求值域的问题，属于中档题．16.在中，已知.（1）求周长的最大值；（2）若，求的面积.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理及已知条件可得：，利用基本不等式解得，从而可求周长的最大值．（2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论分别求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）由余弦定理，得，于是得，当且仅当时，等号成立，∴，即周长的最大值为6；（2），⇒，或，①时，，此时，②时，由正弦定理，知，∵，∴，综上，的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．17.（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.（2）在中，，其中，试用表示线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论；（2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC. 【详解】（1）等式两边同除，即得；（2）∵，∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键，属于基础题. 18.如图，边长为1的正方形中，分别为边上的点，且的周长为2.（1）求线段长度的最小值；（2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ＝θ，根据三角函数的定义，CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ，因此可以表示出，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．【详解】（1）设∠CPQ＝θ，则CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ＝，∠PAB＝∴，即xy+（x+y）＝1又tan＝x，tan＝y∴，∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题．。
2018-2019学年上海市华东师范大学二附中高一下学期数学3月阶段测试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学二附中高一下学期数学3月阶段测试题一、单选题1．若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A．B．C．D．.【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以,, , .选A.2．“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此时无意义；∴“”是“”的既不充分亦不必要条件．故选D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法，属于基础题．3．已知中，且，，则是（）A．正三角形B．直角三角形C．正三角形或直角三角形D．直角三角形或等腰三角形【答案】C【解析】由tan A +tan Btan A tan B ，推导出C ＝60°，由，推导出A ＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状． 【详解】 ∵tan A +tanB tan A tan B ， 即tan A +tan B （1﹣tan A tan B ）， ∴tan （A +B ），又A 与B 都为三角形的内角，∴A +B ＝120°，即C ＝60°， ∵，∴,∴2B ＝60°或120°，则A =90°或60° ∴△ABC 为直角三角形或等边三角形． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用． 4．设0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） A ．32παβ-= B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【答案】C【解析】试题分析：由已知得， sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得， sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以()sin cos cos sin cos ,sin cos sin 2παβαβααβαα⎛⎫-=-==- ⎪⎝⎭，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，选C【考点】同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．二、解答题5．如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.（1）若点的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos和sin的值，再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值，可得的值．（2）由题意可得，|OC|＝|OB|＝1，∠COB＝，由余弦定理可得的解析式．根据∈（0，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围．【详解】（1）由已知，，∴，∴；（2）由单位圆可知：，由余弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求值域的问题，属于中档题．6．在中，已知.（1）求周长的最大值；（2）若，求的面积.【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）由余弦定理及已知条件可得：，利用基本不等式解得，从而可求周长的最大值．（2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论分别求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）由余弦定理，得，于是得，当且仅当时，等号成立，∴，即周长的最大值为6；（2），⇒，或，①时，，此时，②时，由正弦定理，知，∵，∴，综上，的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．7．（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.（2）在中，，其中，试用表示线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论；（2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC.【详解】（1）等式两边同除，即得；（2）∵，∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键，属于基础题.8．如图，边长为1的正方形中，分别为边上的点，且的周长为2.（1）求线段长度的最小值；（2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ＝θ，根据三角函数的定义，CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ，因此可以表示出，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y 的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．【详解】（1）设∠CPQ＝θ，则CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ＝，∠PAB＝∴，即xy+（x+y）＝1又tan＝x，tan＝y∴，∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题．三、填空题9．已知点在角的终边上，且，则______________.【答案】【解析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，利用诱导公式化简，则可得结果．【详解】因为，则r13a，∴sinα，cosα，又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式及同角基本关系式的应用，属于基础题．10．求值：______________.【答案】1【解析】先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利用诱导公式变形，约分后即可得到结果．【详解】因为＝•）＝•＝•＝•＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．11．已知，则的值为_______________.【答案】【解析】由下向上依次运算，1﹣csc2x＝﹣cot2x，11+tan2x，11﹣cos2x．【详解】原式代入得．故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题，考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．12．已知锐角是钝角的两个内角，且的终边过点，则是第______象限角.【答案】二【解析】由题意得，利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角，则，因此，则sin<sin（）＝cos，同理可得sin<sin（）＝cos，所以，，故P在第二象限，故答案为：二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系，考查了正弦函数单调性的应用，考查了诱导公式的应用，属于中档题.13．在中，已知，给出以下四个论断：①②③④，其中正确的是.【答案】②④【解析】试题分析：因为，整理得，所以不正确，，，，所以②正确，，③错，，，，故④正确，故答案为②④.【考点】1、三角形内角和定理及诱导公式；2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.14．已知，则____________.【答案】【解析】利用二倍角的三角函数公式，结合弦化切化简得，由，直接得出结果．【详解】∵分子、分母都除以cos2θ，∴得=，（）∵，∴所求=故答案为．【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用，考查了弦化切的方法，属于中档题．15．已知，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.16．已知，且是关于的方程的两个根中较小的根，则的值为____________.【答案】【解析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα，然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值，根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值．【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1＝0的较小根，且两根之积为1，∴方程的较大根是cot．∴tan+cot＝﹣2sec，即，且tan<cot,∴．又，解得或，又tan<cot，∴，故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用，考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值，易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍，属于中档题．17．在中，已知．则______．【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得．解得或．又由、、为的三个内角知，，．故．因此，．18．在中，，则____________.【答案】【解析】根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，找出A﹣B，设BD＝x，在△ADC中两次利用余弦定理将cos （A﹣B）及cos C表示出，分别求出x建立关于a，b的方程，化简变形后利用整体换元求出答案．【详解】由题意知，4cos C，∴由余弦定理得，4，化简可得＝2，则,又中不妨设a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，设BD＝x，则AD＝x，DC＝a﹣x，AC＝b，在△ADC中，cos∠DAC＝cos（A﹣B），由余弦定理得：（a﹣x）2＝x2+b2﹣2x•b•，即：(b﹣6a)x＝，解得：x＝．①又在△ADC中，由余弦定理还可得cos C，∴cos C，化简得x＝，②由①②可得，又＝2，联立可得=,即=,两边同时除以，得=+6，令，则12，解得t=或，又由题意，∴t=cos C=，故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于难题．。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019 学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 .十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 .若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为A．32f B．322fC．1225f D．1227f【答案】 D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解 .详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以a n 122a n 1(n 2,n N )，又a1 f ，则a8 a1q7 f(122)7 1227 f故选 D. 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列 . 等比数列的判断方法主要有如下两种：a n 1 *a n *( 1)定义法，若q( q 0,n N*)或q( q 0,n 2,n N *)，数a n a n 1列{a n}是等比数列；2( 2)等比中项公式法，若数列{a n}中，a n 0且a n21 a n a n 2(n 3,n N*)，则数列{a n} 是等比数列 .222．已知函数f x 2cos2x sin2x 2，则A．f x 的最小正周期为，最大值为3B．f x 的最小正周期为，最大值为4C ． f x 的最小正周期为 2π，最大值为 3D ． f x 的最小正周期为 2π，最大值为 4 【答案】 B【解析】 首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为35f x cos2x ，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项 22【详解】根据题意有 f x cos2x 1 1 cos2x 2 3 cos2x 5 ，22 22所以函数 f x 的最小正周期为 T 2，35且最大值为f x max4 ，故选 B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式， 并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性 质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果 .答案】解析】 由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可 详解】由函数图象平移变换的性质可知：y sin 2 x sin2x .10 5则函数的单调递增区间满足： 2k 2x 2k k Z ， 22 即 k x k k Z ，443 函数的单调递减区间满足： 2k2x 2k k Z ， 223．将函数 y sin(2x ) 的图象向右平移5个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间 C ．在区间 [3 ,5 ] 上单调递增 44[5 ,3 ] 上单调递增 42B ．在区间D ．在区间 3[ , ] 上单调递减 43[ ,2 ] 上单调递减将y sin2x 5 的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：令 k 1 可得一个单调递增区间为： 3 44633即k x k k Z ， 44令 k 1可得一个单调递减区间为： 5 ,7 ，本题选择 A 选项.44【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换， 三角函数的单调区间的判断等知识， 意在考查学生 的转化能力和计算求解能力 .2k 14．已知函数 y 5cos x （其中 k N ），对任意实数 a ，在区间 a,a 3 365上要使函数值 出现的次数不少于 4 次且不多于 8 次，则 k 值为（ ）4A ．2或3B ．4 或 3C ．5或 6D ．8或 7【答案】 A【解析】 根据题意 先表示出函数的周期，5然后根据函数值 出现的次数不少于 4 次且4 多于 8次，得到周期的范围， 从而得到关于 k 的不等式，从而得到 k 的范围，结合 k N ， 得到答案 . 【详解】2k 1 函数 y 5cos x ，3626 T 所以可得 2k 1 2k 1 ， 3因为在区间 a,a 3 上，函数值 5 出现的次数不少于 4次且不多于 8 次， 45 2k 1 1 2k 1 所以 5cos x 得 cos x 4 36 4 3 6小于等于 8，而 y cos 2k 3 1 x 6 与 y 41 的图像在一个周期 T 内有 2 个，3 6 42k 1即 y cos2k 13 1x 与 y64的图像在区间 a ,a 3 上的交点个数大于等于 4，所以 2T 3，即 4T3623 2k 137 解得 32 k 72，又因 k N ，所以得 k 2 或者 k 3 ， 故选： A.点睛】 本题考查正弦型函数的图像与性质， 根据周期性求参数的值， 函数与方程， 属于中档题 .、填空题答案】3, 6解析】 根据 y arcsin x 的单调性，结合 x 的范围，得到答案 详解】函数 y arcsin x 是单调递增函数，x 1 时， y arcsin 1 ，2 2 6故答案为： 3, 6 【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题 . 6．数列 a n 的前 n 项和 S n n 2 n 1,则 a n 的通项公式 a n ________________3 n 1 【答案】 2n n 2解析】 根据 a n 和 S n 之间的关系 ,应用公式 a nS1n 1 得出结果n n nS n S n 1 n 2详解】5．函数y arcsinx x 3, 1的值域是 2 2 的值域是所以 x 3 时， 2y arcsin所以函数的值域当n 1时,a1 S1 3 ；当n 2时,a n S n S n 1 n2 n 1 n 1 n 1 1 2n ；3 n 1∴ aan2n n 2∴3 n 1故答案为：2n n 2【点睛】本题考查了a n 和S n之间的关系式 ,注意当n 1和n 2时要分开讨论 ,题中的数列非等差数列 .本题属于基础题7．f x 3sin x cos x的值域是____________ .【答案】2,2解析】对f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案详解】f x 3sin x cosxsinx 1cosx2sin x6因为sin x 6 1,1所以f x 的值域为2,2 .故答案为：2,2【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题8．“a1 a4 a2 a3 ”是“数列a1,a2,a3,a4 依次成等差数列”的____________ 条件(填“充要”，充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”)答案】必要非充分解析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案 .详解】 因为数列 a 1,a 2,a 3,a 4 依次成等差数列， 所以根据等差数列下标公式，可得 a 1 a 4 a 2 a 3 ，当a 1 a 2 1 ， a 3 a 4 2 时，满足a 1 a 4 a 2 a 3 ， 但不能得到数列 a 1,a 2,a 3,a 4 依次成等差数列 所以综上， “a 1 a 4 a 2 a 3 ”是“数列 a 1,a 2,a 3,a 4 依次成等差数列 ”的必要非充分条件 故答案为：必要非充分 .【点睛】 本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题 . 9．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S 10 10 ， S 20 30 ，则 S 30 答案】 60解析】【详解】 若数列 {a n } 为等差数列则 S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以 S 10， S 20-S 10， S 30-S 20 仍然成等差数列． 因为在等差数列 {a n } 中有 S 10=10，S 20=30， 2 20 10 S 30 30 所以 S 30=60 ． 故答案为 60．答案】 450【考点】 余弦定理；三角形的面积公式 .1a11．已知数列 {a n } 中，其中 a1 9999 ， a n (a n 1)a 1，那么 log 99 a 100 ___________________________答案】 110．已知 ABC 的三边分别是a,b,c ，且面积 a 2 b 2 c 2S ，则角 C解析】 试题分析：由a 2b 2c 2 S，可得1 absinC 2a 2b 2c 2整理得sinCa 2b 2c 22abcosC ，即 tanC 1，所以 C 450 .1【解析】 由已知数列递推式可得数列 {log 99 a n }是以 log 99 a 1 log 99 9999 1 为首项， 991以 9999 为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】由 an (a n 1)，得 log 99 a n a 1 log 99 a n 1 ，log 99 a n a1 9999，log 99 a n 1 1 1 1则数列 {log 99a n } 是以 log 99 a 1 log 99 99 99 1 为首项，以 9999 为公比的等比数列， 99991 1 99log 99 a 100 (9999 )99 1．99故答案为： 1．【点睛】 本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子 的理解．12．等比数列 a n 中首项 a 1 2 ，公比q 3,a n a n+1+ +a m 720 n,m N * ,n m ，则 n m ______________________ .【答案】 9【解析】 根据等比数列求和公式，将 a n a n+1+ +a m 720 进行转化，然后得到关于n 和 m 的等式，结合 n,m N *,n m ，讨论出 n 和 m 的值，得到答案【详解】因为等比数列 a n 中首项 a 1 2 ，公比 q 3 ，所以 a n ,a n 1, , a m 成首项为 a n 2 3n 1，公比为 3的等比数列，共 n m 1项，整理得 3n m1 1 73n 201因为n,m N ,n m所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，所以a n a n+1+ +a m2 3n 11 3m n 127013则3n 1应是 720的约数， 所以可得 3n 1 3,9, 27 ， 所以 n 1,2,3 ， 当 n 1 时，得 3m 721 ，此时 m N * 当 n 2 时，得 3m 1 241，此时 m N 当 n 3时，得 3m 2 81，此时 m 6 ， 所以 m n 9 ， 故答案为： 9.【点睛】 本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题 13．在△ ABC 中，sin 2 A sin 2C 2018sin 2 B ，则at(n Atan )atn C B atn Atan atBn C2 【答案】 2 2017【解析】【详解】因为 sin 2 A sin 2C 2018sin 2 B 所以 a 2 c 2 2018 b 2注意到： tanA tanB tanC tanA tanB tanC2故tanA tanC tan B tanA tanB tanCsin 2B 1 b 2 2ac 2b 22 sinA sinC cosB ac a 2 c 2 b 2 2018b 2b 22017故答案为： 2 201714．已知数列 a n 的通项公式为 a n lg 1 n 2 23n ,n 1,2,3, ,S n 是数列的前 n 项 和，则 l n im S n ________ 答案】 lg32 tanA tanCtan 2B tanA tanB tanC ta 1nA ta 1nC tanB解析】 对数列 a n 的通项公式 a n lg 1 2 2 进行整理，再求其前 n 项和，利 n n 23n用对数运算规则，可得到 S n ，从而求出 l n im S n ，得到答案 . 详解】点睛】三、解答题 1 15．在 △ABC 中， a=7， b=8， cosB = – ．7（Ⅰ）求∠A ；Ⅱ ）求 AC 边上的高．π答案】 (1) ∠A=3【解析】 分析：（1）先根据平方关系求 sinB ,再根据正弦定理求 sinA ，即得 A ；（2）11 根据三角形面积公式两种表示形式列方程 absinC hb ，再利用诱导公式以及两角22 和正弦公式求 sinC ，解得 AC 边上的高．2 a n lg 1 n 23n lg2n 2 3n 2 2n 2 3nlgn1n2 n n 3所以 S n a 1 a 2 a 3a nlg2 3lg 3 4 lg 1 4 2 5 4 5 lg36n1n2lg 3n n 31n31 31 lg n lg 13 n所以lim S n n lim lg n1 3 1 1n n lg3.31故答案为： lg3.本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题 （2） AC 边上的高为332详解：解：（1）在△ABC 中，∵cosB=–1 ，∴B ∈（ π，π），∴sinB= 1 cos 2B 4 3．由点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条 件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 .16．已知un a n a n 1b a n 2b 2 ab n 1 b n n N *,a,b 0 .（ 1）当 a b 时，求数列 u n 前 n 项和 S n ；（用 a和 n 表示）；答案】（1） a 1时，S n n n 3 ,a 1时，2Sn n 1 an 2 n 22a n 1 a 2 2a ；（2）n 1 a 2解析】（1）当 a b 时，求出 u n n 1 a n ，再利用错位相减法， 求出 u n 的前 n 项和 S n ；（2）求出 un 的表达式，对 a ， b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限 u n 1 详解】2）求l n imu nu n 1正弦定理得sinA sinBsinA7∴ sin A= 3 ．∵B ∈（ π，π）， 22∴ A ∈（ 0，π）， ∴∠ A= π．232）在 △ABC 中， ∵sinC=sin （ A+B ） =sin AcosB+sin BcosA= 3 1 1 = 3 3 ．2 7 27 14如图所示，在 △ABC 中， ∵sinC= h ，∴h=BC sinC =7 3 3 3 3BC14 2∴AC 边上的高为 3 3 ．2u na,a blim n u n 1b,a b（ 1）当 a b 时，可得 u n n 1 a n ， 当 a 1时，得到 u n n 1 ，所以S n当 a 1 时， 所以 S n 2a 3a 2 4a 3na n 1 n 1 a n ，两边同乘 a 得 aS n 2a 2 3a 3 4a 4 na n n 1 a n 1上式减去下式得 1 a S n 2a a a a n 1 aa 1 a n n 1 1 a S n a n 1 a n 1，1aa 1 a a n 1 a n1 所以 S n 21 a 1 an 1 an 2 n 2 an 1 a 2 2a21a所以综上所述， a 1时， S n n n 3 ； a 1时， n 22）由（ 1）可知当 a b时， u nn 1 a n则 lim u nlim n 1n 1ann u n 1n na n 1 nn1 n1 n当 a1 b 时， unana n 1bab n 1 b n S nn 1 an 2n 2 an 1 a 2 2aa n 1 lim a ；n nnan 1 n 1ab则u nn 1 n 1ab nnab1 b a b a b a点睛】 本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题x17 ． 已知方程 arctan arctan （2 x ） a ；2x（ 1）若 a ，求 arccos 的值；42（ 2）若方程有实数解，求实数 a 的取值范围；3）若方程在区间 [5,15] 上有两个相异的解 、 ，求 的最大值 .112) [arctan ,arctan ] ；2 10 6 2 10 619；x程有实数解即 a 在 arctan x arctan 2 x 的值域上，（ 3）根据二次函数的性 质列不等式组得出 tana 的范围，利用根与系数的关系得出 α+β的最值 . 试题解析：x x π 2 x1) arctan x arctan 2 x π2 1 x 2或1 ， )2 4 x 2 x ，12x arccos =22）x2xu n lim n lim n u n 1 nn1nnaba n 1b n 1an若 b a 0， n 1 n 1u n a b l nim nl n im n n n u n 1 na ba b alim n b所以综上所述 lim n n u n 1a,a b b,a b答案】（ 1） 或 ；33）解析】 试题分析： （1）a 4 时，由已知得到 x2x2x 2 x 11 x 2或1;(2) 方3x2t arctan arctan 2 x a tana tana 2,t 4 x,2 1x 2 x t 26t 1012tana 1 , 1 a arctan 1 ,arctan 12 10 6 2 10 6 2 10 6 2 10 63）因为方程在区间5,15 上有两个相异的解、，所以4 x 11, 1 , 4 4 11 19318 ．（ 1）证明：cos 3x 4cos x 3cosx ；（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数f n x ，使得cos nx f n cosx 对所有实数 x 均成立，其中f n x 2n 1x n a1x n 1a n 1x a n,a1, ,a n均为整数，当n 为奇数时，a n 0，当 n 为偶数时，an 12 ；m（ 3）利用（ 2）的结论判断cos 1 m 6,m N*是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是解析】（1）cos 3x cos 2x x ，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；2）对n分奇偶，即n 2k 1和n 2k 两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（ 2）的结论，将cos 表示出来，然7 后判断其每一项都为无理数，从而得到答案 .详解】1）cos 3x cos 2x x cos2 x cosx sin 2x sin x2cos2x 1 cosx 2sin 2xcosx2cos3x cosx 2 1 cos2x cosx34cos x 3cosx 所以原式得证 .（ 2）n 为奇数时，2 3 2n 3 时，cos 3x f3cosx 2 cos x a1cos x a2cosx a3，其中a3 0 ，成立n 2k 1 时，cos 2k 1 x f2k 1 cosx2k 2 2k 1 2k 2 2k 32 cos xa 1 cos x a 2 cos x a 2k 2 cosx a 2k 1 ，其中 a 2k 1 0，成立n 2k 1时， cos 2k 1 x f 2k 1 cosx2k 2k 1 2k 2k 12 cos xa 1cos x a 2 cos x a 2k cosx a 2k1 ，其中a 2k10，成立，则当 n 2k 3 时，cos 2k 3 x cos 2k 1 x 2x cos 2k 1 xcos2x sin 2k 1 sin2x所以得到cos 2k 3 x 2cos 2k 1 xcos2 x cos 2k 1 x2k cos 2k 1 x a1 cos2 k x a 2 cos 2k 1 x a 2k cosx a 2k 1 2cos 2x 12k 2 2k 1 2k 2 2k 32 cos x a 1 cos x a 2 cos x a 2k 2 cosx a 2k 12k 2 2k 3 2k 2 2k 1 2k 12 cos x 4a 1 cosx 4a 2 2 cos x2a 2k a 2k 1 cosx2k 1因为 a 1, ,a n 均为整数，所以 4 a 1,4 a 2 2 , , 2a 2k a 2k 1 也均为整数， 故原式成立；n 为偶数时， 2 1 2 2n 2时， cos2x f 2 cosx 2 cos x a 1 cos x a 2 ，其中 a 1 2 1，n2k 2 时， cos 2k 2 xf 2k2cosx2k 3 2k 2 2k 3 2k 42 cos x a 1 cosx a 2 cosxa 2k 3 cosx a 2k 2 ，其中a 2k 2 1 2 11，成立，n 2k 时， cos2kx f 2k cosx2k 1 2k 2k 1 2k 22 cos x a 1 cos x a 2 cos xa 2k 1 cosx a 2k2kk其中 a 2k1 2 1 k 1 ，成立， 则当 n 2k 2 时，cos 2k 2 x cos 2kx 2x cos2kxcos2x sin2kxsin2x2k 2cos 2k 3 xcos 2k 1 xcos2xcos 2k 1 cos2x 所以得到3）由（ 2）可得 cos 1 m 6,m N *1 m 6,m N其中 2m 1,a 1,a 2 a m 均为有理数，本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式， 积化和差公式， 数学归纳法证明， 属于难题 .cos 2k 3 x 2cos2kxcos2x cos 2k 2 x2k 12k 2k 12k 222 2cos x a 1cosx a 2 cosx a 2k 1 cosx a 2k 2cos x 12k 3 2k 22k 3 2k 42 cos x a 1 cos x a 2 cos x a 2k3 cosx a 2k 2 22k 1 cos 2k 2 x 4a 1 cos 2k 1x 4a 2 22k 1 cos 2k x 2a 2k 1 a 2k 3 cosx 2a 2ka 2k 2其中 2a 2k a 2k 2 1 ，因为 a 1, ,a n 均为整数，2k 1所以 4 a 1 ,4 a 2 2 , , 2a 2k 1 a 2k 3 也均为整数， 故原式成立；综上可得：对任何正整数 n ，存在多项式函数 f n x ，使得 cos nx f n cosx 对所 有实数 x 均成立，其中n 1 n n 1f n x 2n 1x n a 1x n 1 a n 1x a n ，a 1, ,a n 均为整当 n 为奇数时， a n 0 ， n当 n 为偶数时， an1 2 ；m cos f m cos 2m 1 mcos a 1 m1cos7 a m 1 cos 7a mm因为 cos 为无理数，所以 cos m,cos77m17 m 1 m m 1故 2m 1 cos m a 1 cos m 1 a m 1 cos a m 为无理数，7 1 7 m 1 7 m cos 7均为无理数， 所以 cos 1 m 6,m N * 不是有理数 . 【点睛】。
上海市华东师范大学第二附属中学2018_2019学年高一数学下学期3月阶段测试题(含解析)
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一数学下学期3月阶段测试题（含解析）一、填空题（每小题4分，共40分）1.已知点在角的终边上，且，则______________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，利用诱导公式化简，则可得结果．【详解】因为，则r13a，∴sinα，cosα，又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式及同角基本关系式的应用，属于基础题．2.求值：______________.【答案】1【解析】【分析】先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利用诱导公式变形，约分后即可得到结果．【详解】因为＝•）＝•＝•＝•＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．3.已知，则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由下向上依次运算，1﹣csc2x＝﹣cot2x，11+tan2x，11﹣cos2x．【详解】原式代入得．故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题，考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．4.已知锐角是钝角的两个内角，且的终边过点，则是第______象限角.【答案】二【解析】【分析】由题意得，利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角，则，因此，则sin<sin（）＝cos，同理可得sin<sin（）＝cos，所以，，故P在第二象限，故答案为：二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系，考查了正弦函数单调性的应用，考查了诱导公式的应用，属于中档题.5.在中，已知，给出以下四个论断：①②③④，其中正确的是 .【答案】②④【解析】试题分析：因为，整理得，所以不正确，，，，所以②正确，，③错，，，，故④正确，故答案为②④.考点：1、三角形内角和定理及诱导公式；2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.6.已知，则____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的三角函数公式，结合弦化切化简得，由，直接得出结果．【详解】∵分子、分母都除以cos2θ，∴得=，（）∵，∴所求=故答案为．【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用，考查了弦化切的方法，属于中档题．7.已知，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8.已知，且是关于的方程的两个根中较小的根，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα，然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值，根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值．【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1＝0的较小根，且两根之积为1，∴方程的较大根是cot．∴tan+cot＝﹣2sec，即，且tan<cot,∴．又，解得或，又tan<cot，∴，故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用，考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值，易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍，属于中档题．9.在中，已知．则______．【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得．解得或．又由、、为的三个内角知，，．故．因此，．10.在中，，则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，找出A﹣B，设BD＝x，在△ADC中两次利用余弦定理将cos（A﹣B）及cos C表示出，分别求出x建立关于a，b的方程，化简变形后利用整体换元求出答案．【详解】由题意知，4cos C，∴由余弦定理得，4，化简可得＝2，则,又中不妨设a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，设BD＝x，则AD＝x，DC＝a﹣x，AC＝b，在△ADC中，cos∠DAC＝cos（A﹣B），由余弦定理得：（a﹣x）2＝x2+b2﹣2x•b•，即：(b﹣6a)x＝，解得：x＝．①又在△ADC中，由余弦定理还可得cos C，∴cos C，化简得x＝，②由①②可得，又＝2，联立可得=,即=,两边同时除以，得=+6，令，则12，解得t=或，又由题意，∴t=cos C=，故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于难题．二、选择题（每小题4分，共16分）11.若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A. B. C. D..【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以,, , .选A.12.“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此时无意义；∴“”是“”的既不充分亦不必要条件．故选D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法，属于基础题．13.已知中，且，，则是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形【答案】A【解析】【分析】由tan A+tan B tan A tan B，推导出C＝60°，由，推导出A＝60°或90°，从而得到△ABC的形状．【详解】∵tan A+tan B tan A tan B，即tan A+tan B（1﹣tan A tan B），∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，∴A+B＝120°，即C＝60°，∵，∴,∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°.由题意知∴△ABC等边三角形．故选：A．【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14.设且则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，选考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．三、解答题：15.如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.（1）若点的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos和sin的值，再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值，可得的值．（2）由题意可得，|OC|＝|OB|＝1，∠COB＝，由余弦定理可得的解析式．根据∈（0，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围．【详解】（1）由已知，，∴，∴；（2）由单位圆可知：，由余弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求值域的问题，属于中档题．16.在中，已知.（1）求周长的最大值；（2）若，求的面积.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理及已知条件可得：，利用基本不等式解得，从而可求周长的最大值．（2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论分别求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）由余弦定理，得，于是得，当且仅当时，等号成立，∴，即周长的最大值为6；（2），⇒，或，①时，，此时，②时，由正弦定理，知，∵，∴，综上，的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．17.（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.（2）在中，为线段上一点，，其中，试用表示线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论；（2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC.【详解】（1）等式两边同除，即得；（2）∵，∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键，属于基础题.18.如图，边长为1的正方形中，分别为边上的点，且的周长为2.（1）求线段长度的最小值；（2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ＝θ，根据三角函数的定义，CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ，因此可以表示出，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．【详解】（1）设∠CPQ＝θ，则CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ＝，∠PAB＝∴，即xy+（x+y）＝1又tan＝x，tan＝y∴，∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题．。
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学期3月月考数学试题(精编含解析)
上海市2018-2019学年度华师大二附中高二下学期3月月考试卷数学一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是，下列结论中不正确的是（）A. 若，则B. 若，则且C. 一定有D. 一定有【答案】D【解析】【分析】实系数方程可从与0的大小关系进行分情况讨论，对选项逐一研究筛选。
【详解】选项A、B显然成立；在实数范围内韦达定理得到的选项C的结论，在复数范围内由计算可得，同样也能成立；选项D：复数范围内，故选D【点睛】在复数范围内，实系数方程的判别式时，方程的根可以通过虚数进行表示。
2. 教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 异面【答案】B【解析】分析：由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项解答：解：由题意，直尺所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直若直尺所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直故选B3.若为非零实数，则以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则.则对于任意非零复数，上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的性质，可根据复数的运算性质进行判断。
【详解】解：在复数范围内，存在使，命题①错误；②在复数范围内，复数满足，根据运算性质可得到，故成立；③在复数范围内表示的是复数与的模长，模长相等，复数可以不相等。
④在复数范围内，由于是非零复数，所以在得两边同时除以可得，故成立。
故选B【点睛】实数运算成立的等式，在复数范围内未必成立，不同范围成立条件不一样，注意合理使用。
4.（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（ ）A. 平面α与平面β垂直B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C. 平面α与平面β平行D. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°【答案】A【解析】设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5.设，则______．【答案】1【解析】【分析】通过运算，将复数转化为形式,即可得解.【详解】解：,所以Imz=1【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的虚部的定义，其中正确进行复数的除法运算是解题的关键，是基础题.6.设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ．【答案】﹣2【解析】．【考点定位】考查复数的定义及运算，属容易题。
2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期3月月考数学试卷含答案
2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知{}10,1x A xB x x x ⎧-⎫=≤=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = ______.2.函数()()212log 325f x x x =-+的单调递减区间为______.3.若α为第二象限角，sin cos 2αα=，则sin α=______.4.点A 从()1,0出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，记AOB α∠=，则sin 2α=______.5.已知()2131xx f x +=+，则3f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭______.6.已知,αβ为锐角，且满足()153cos ,sin 714ααβ=+=，则cos β的值为______.7.已知某扇形的周长为20cm ，当其面积最大时，圆心角的弧度数为______.8.把)2sin cos x x x +-为()[)()sin 0,0,0,2A x A ωϕωϕπ+>>∈的形式______.9.若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是______.10.若对满足360k αβ±≠⋅的任何角,αβ，都有()()sin 30sin 30cotcos cos 2m n αββααβ++--=+- ，则数值(),m n =______.11.设()111f x x x x=++-，若存在a R ∈使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______.12.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x 都有()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x <时，()0f x <。
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华东师范大学二附中2021届高一下学期数学3月阶段测试
一、填空题（每小题4分，共40分）
1.已知点()5,12P a a - 在角α的终边上，且0a >，则3sec 2πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭____________________. 2.
求值：()00sin 50180
+=_________________________. 3.已知1312x π=-，则21
111
11csc x
---的值为_______________. 4.已知锐角,αβ是钝角ABC ∆的两个内角，且θ的终边过点()sin cos ,cos sin P βαβα--，则θ是第______象限角.
5.已知ABC ∆中，tan sin 2
A B C +=，给出以下四个结论，其中正确结论的序号是______________. ①tan cot 1A B =
；②0sin sin A B <+≤；
③22sin cos 1A B +=；④222cos cos sin A B C +=
6.已知1tan 20191tan θθ
-=+，则sec2tan 2θθ+=_________________. 7.已知sin sin 1αβ+=，cos cos 0αβ+=，则()sin αβ+的值为_____________________.
8.已知(),αππ∈-，且tan α是关于x 的方程22sec 10x x α++=的两个根中较小的根，则α的值为___________________________.
9.在ABC ∆中，
cos cos 15sin sin 3A B A B +=，则tan tan 22
A B =__________________. 10.在ABC ∆中，()14cos ,cos 6b a C A B a b +=-=，则cos C =_______________. 二、选择题（每小题4分，共16分）
11.若角α与角β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ）
A . sin sin αβ=
B . cos cos αβ=
C . tan tan αβ=
D . cot cot αβ=
12.“4π
αβ+=”是“()()1tan 1tan 2αβ++=”的（ ）
A .充分非必要条件
B . 必要非充分条件
C . 充要条件
D .既不充分亦不必要条件
13.已知
ABC ∆
中，tan tan tan A B A B ++
=且，sin cos B B =，则ABC ∆是（ ） A . 正三角形 B . 直角三角形 C . 正三角形或直角三角形 D . 直角三角形或等腰三角形
14.设0,
,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1sin tan cos βαβ+，则（ ） A . 32παβ-= B . 32π
αβ+= C . 22π
αβ-= D . 22π
αβ+=
三、解答题（10+10+12+12=44）
15.如图，点A B 、是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3
π到OB . （1）若点A 的坐标为34,
55⎛⎫ ⎪⎝⎭，求1sin 21cos 2αα++的值； （2）用α表示BC ，并求BC 的取值范围.
16.在ABC ∆中，已知2,3c C π==
.
（1）求ABC ∆周长的最大值；
（2）若()2sin2A sin 2sin B C C ++=，求ABC ∆的面积.
17.（1）如图，点P 在线段AB 上，直线AB 外一点O 对线段,A P B P 的张角分别为,αβ，即,A O P B O P αβ∠=∠=.求证：()sin sin sin OP OB OA
αβαβ+=+. （2）在ABC ∆中，,,,AB c DC kAD DBA DBC αβ==∠=∠=，其中0k >，试用,,,c k αβ表示线段BC 的长.
18.如图，边长为1的正方形ABCD 中，,P Q 分别为边,BC CD 上的点，且PCQ ∆的周长为2.
（1）求线段PQ 长度的最小值；
（2）试探究PAQ ∠是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.
参考答案
一、填空题
1. 1312-
2. 1 3
. 8+4.二 5.②④ 6. 12019 7. 0 8. 56π- 9. 13
10. 23
二、选择题
11. A 12. D 13. C 14. C
三、解答题
15.（1）由已知，3
4
cos ,sin 55αα==， ∴22247
sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2525αααααα===-=-， ∴24
11sin 24925
71cos 218
125αα++==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭
；
（2）由单位圆可知：1,3OC OB COB π
α==∠=+，
由余弦定理得：
2222cos 112cos 22cos 33BC OC OB OC OB COB ππαα⎛⎫⎛⎫
=+-∠=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，∴1cos 32πα⎛⎫
⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴(21,2BC ∈+
，∴1,
2BC ⎛∈ ⎝⎭
.
16.（1）由余弦定理，得
()()()
2
22222222cos 334a b c a b ab C a b ab a b ab a b +=+-=+-=+-≥+-，
于是得4a b +≤，当且仅当2a b ==时，等号成立，
∴6ABC C a b c ∆=++≤，即ABC ∆周长的最大值为6；
（2）()2sin 2sin 2sin A B C C ++=
()()()2sin 2sin sin 2sin 2A 2cos sin 0A B C B B C B B C B ⇒+++-+-=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
2sin cos cos sin 0cos 0A A A B A ⇒-=⇒=或sin 2sin B A =，
①cos 0A =时，2A π
=
，此时12ABC b S bc ∆=== ②sin 2sin B A =时，由正弦定理，知2b a =，
∵222234c a b ab a =+-==
，∴1b sin 3323ABC a S ab C ∆====， 综上，ABC ∆
的面积为
3
. 17
.
（1）()111sin sin sin 222
AOB AOP BOP S S S OA OB OA OP OB OP αβαβ∆∆∆=+⇒+=+ 等式两边同除12OA OB OP ，即得()sin sin sin OP OB OA αβαβ+=+； （2）∵DC kAD =，∴1sin 1sin 21sin sin 2ABD
ABD
AB BD S ck BC S k BC BD ααββ∆∆==⇒=. 18.（1）设,0,2CQP πθθ⎛
⎫∠=∈ ⎪⎝⎭
，则sin ,CQ PQcos CP PQ θ
θ== sin cos 2PCQ
C PQ CP CQ
PQ PQ PQ θθ∆=++=++=，
∴2221sin cos 14PQ πθθθ==≥=++⎛⎫++ ⎪⎝⎭； （2）PAQ ∠为定值4
π， 设,DAQ BAP αβ∠=∠=，其中,,0,
2παβαβ⎛
⎫+∈ ⎪⎝⎭， 则1tan 11
DQ CQ CQ DA α-===-，类似tan 1CP β=-， ∴()()()tan tan 22tan 1tan tan 111CP CQ CP CQ CQ CP CP CQ CP CQ
αβαβαβ+----+===----+-
21sin cos sin cos sin cos PQsin cos PQ PQ PQ PQ θθθθθθθθ==+-+- ()()11sin cos 2sin cos 1sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1sin cos θθθθθθθθθθθθθθ
++=
=+++-+-++ ()21sin cos 1sin cos 112sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθθθ
θθθθθθ++++===+++-+++-， ∴4π
αβ+=，∴()24PAQ π
π
αβ∠=-+=.。