高三数学函数专题复习：函数的概念与性质函数解析式及定义域函数的值域与最值函数的单调性
高考函数详细知识点总结
高考函数详细知识点总结高考数学中，函数是一个重要的概念，几乎涉及到每年的数学必考内容。
函数作为一种数学工具，在解决实际问题、分析数学关系等方面具有重要意义。
本文将对高考函数的详细知识点进行总结，以便帮助考生更好地掌握高考数学知识。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个对应关系，将自变量的每一个值对应到唯一的因变量上。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数结果的取值范围。
3. 奇偶性：函数的奇偶性与函数图像的对称性相关，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。
4. 单调性：函数的单调性描述了函数图像的增减变化趋势，分为递增和递减两种情况。
二、函数的表示和分类1. 显式表示和隐式表示：函数可以通过显式表达式（y=f(x)）或隐式方程表示。
2. 基本初等函数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数在高考数学中经常出现。
3. 复合函数：由一个函数的输出作为另一个函数的输入所得到的函数。
三、函数的图像和性质1. 函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示，通过观察函数图像可以了解函数的性质。
2. 函数的对称性：函数可能存在关于y轴、x轴或原点的对称性。
3. 函数的周期性：若存在正数T，使得对于函数中的任意x值，都有f(x+T)=f(x)，则称函数是周期函数。
四、函数的运算和变换1. 函数的四则运算：函数可以进行加减乘除运算，不同函数之间的运算法则与数的运算法则类似。
2. 函数的平移变换：将函数图像在平面上上下左右平移得到新的函数图像。
3. 函数的伸缩变换：改变函数图像的纵坐标和/或横坐标，使其更陡峭或扁平。
五、函数的极限和连续性1. 函数的极限：极限可以用于描述函数在某个点附近的变化趋势，重要的极限有左极限和右极限。
2. 函数的连续性：函数在一个区间上的无间断性，重要的连续性概念有间断点、可去间断点、跳跃间断点和第一类间断点等。
六、函数的导数和应用1. 导数的定义：导数是函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结
高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结函数是高中数学中一个重要的知识点，涉及到函数的概念、性质、图像、分类和应用等方面。
以下是高中数学中关于函数的知识点总结。
1、函数的定义：对于一个自变量集合D和一个值域集合R，如果存在一种规律使得对于任意一个自变量x∈D，都能唯一确定一个值y∈R，则称y是x的函数，记作y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量，f称为函数。
2、函数的表示方法：（1）显式表示法：y=f(x)（2）参数表示法：y=f（x,a,b,c……）（1）定义域：x的取值范围（2）值域：对于定义域中的每一个x，其得到的函数值y的集合（3）奇偶性：f(x)=f（-x）时，称函数f(x)为偶函数；f（x）=-f（-x）时，称函数f（x）为奇函数；对于任意函数f（x），其可分解为奇函数和偶函数的和（4）单调性：若对于定义域D内的任意两个数x1<x2，都有f（x1）<f（x2），则函数f（x）在D内单调递增；若对于定义域D内的任意两个数x1<x2，都有f（x1）>f（x2），则函数f（x）在D内单调递减；若函数f（x）在D内单调递增或单调递减，则称其为单调函数（5）周期性：若存在一个正数T，使得对于定义域D内的任意x，均有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期4、函数的图像:（1）一般函数的图像：曲线（2）奇函数的图像：关于原点对称（4）周期函数的图像：具有一定的对称性（1）初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（2）组合函数：由多个初等函数组合而成（3）参数方程、隐函数、微积分中的函数等函数在数学中的应用范围非常广泛，涉及到数学、物理、化学、工程、生物等多个领域。
例如：（1）最值问题（2）曲线的切线和法线（3）求函数的零点、极值、间断点（4）微积分、求导和积分（5）奇偶性的应用综上所述，函数是高中数学中的重要知识点，需要掌握其定义、性质、分类和应用等方面的内容。
高中高三数学函数知识点
高中高三数学函数知识点函数是高中数学中的重要内容，是数学研究中最为基础和有着广泛应用的数学概念之一。
在高三的数学学习中，函数的知识点非常重要，掌握好函数的概念、性质和应用，对于学习和应对高考都有着积极的影响。
下面将对高中高三数学函数的知识点进行详细介绍。
一、函数的概念和性质1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，指的是每一个自变量（输入）对应唯一的因变量（输出）。
通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
2. 定义域和值域函数的定义域是自变量所有可能取值的集合，值域是因变量所有可能取值的集合。
3. 函数的表示方法函数可以通过方程、图像、表格或文字描述等多种方式表示。
4. 奇偶性函数的奇偶性是指当自变量变为-x时，函数值的对应关系。
若有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若既不满足奇函数的条件，也不满足偶函数的条件，则为既非奇函数也非偶函数。
二、常见函数类型1. 一次函数一次函数的表达式为y=ax+b（a≠0），是一种呈直线形状的函数。
其中a代表直线的斜率，b是函数的常数项。
2. 二次函数二次函数的表达式为y=ax²+bx+c（a≠0），是一种呈抛物线形状的函数。
其中a代表抛物线开口的方向和开口度，b是抛物线与y轴的交点，c是抛物线与x轴的交点。
3. 幂函数幂函数的表达式为y=ax^b（a≠0, b为有理数），是一种以指数为变量的函数。
其中a和b都是常数。
4. 指数函数指数函数的表达式为y=a^x（a>0, a ≠ 1），是幂函数的一种特殊形式。
其中a为常数，x为指数变量。
5. 对数函数对数函数的表达式为y=loga(x)（a>0, a ≠ 1），是指数函数的反函数。
其中a为底数，x为对数变量。
6. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的表达式分别为y=sin(x)、y=cos(x)和y=tan(x)。
数学高三函数知识点大全集
数学高三函数知识点大全集函数是高中数学的核心内容之一，也是高三数学考试的重点。
掌握函数的相关知识点对于高三学生来说至关重要。
本文将为你提供数学高三函数知识点大全集，涵盖了函数的定义、性质、图像、求解等方面。
希望能够帮助你系统地学习和梳理这些知识点。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个变量间的关系，每一个自变量（通常用x表示）对应唯一一个因变量（通常用y表示）。
函数可以用公式、图像或者表格来表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的自变量取值的集合，值域是所有可能的因变量取值的集合。
3. 奇函数和偶函数：如果函数满足f(-x) = -f(x)，那么它是奇函数；如果函数满足f(-x) = f(x)，那么它是偶函数。
4. 单调性：如果函数在定义域上是递增的或递减的，那么它具有单调性。
5. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意x，有f(x+T) = f(x)，那么函数具有周期性。
二、常见函数类型1. 一次函数：也称为线性函数，形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
2. 二次函数：也称为抛物线，形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
3. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
4. 指数函数：形式为y = a^x，其中a为常数，a大于0且不等于1。
5. 对数函数：形式为y = log_a(x)，其中a为常数，a大于0且不等于1。
三、函数的图像与性质1. 函数图像的平移与伸缩：根据函数图像的性质，我们可以通过平移和伸缩来得到函数的图像。
平移可以通过改变函数的函数式中的参数来实现，伸缩可以通过改变函数式中的系数来实现。
2. 函数的对称性：函数图像可能具有对称轴，如y轴、x轴或者原点。
利用对称性，我们可以简化求解过程。
3. 函数与方程：将函数的图像与方程结合起来，可以解决一些复杂的问题。
四、函数的求解与应用1. 方程和不等式求解：利用函数图像的性质，我们可以将方程和不等式转化为函数的问题，从而求解。
高三数学所有函数知识点
高三数学所有函数知识点函数是数学中一个重要的概念，它在高三数学中占据着重要的地位。
函数可以描述数学中的关系，帮助解决各种实际问题。
下面将详细介绍高三数学中所有函数的知识点。
一、函数的基本概念函数是一种对应关系，如果存在一对元素，使得对于每一个自变量（输入）都对应唯一的因变量（输出），则称这种对应关系为函数。
函数可以用数学符号表示为：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：定义域是指所有自变量的取值范围，值域是指所有因变量的取值范围。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的变化趋势，可以分为增函数和减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数在定义域内的对称性，可以分为奇函数和偶函数。
4. 周期性：周期函数是指函数在一定区间内以相同的规律重复的函数。
5. 对称轴和最值：函数的对称轴指的是函数的图像关于某条直线对称，最值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
6. 渐近线：渐近线是指函数的图像无限靠近但不与某直线相交的特殊直线。
三、常见函数类型1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数，k表示斜率，b 表示截距。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不为0。
3. 反比例函数：y = k/x，其中k为常数，x不为0。
4. 幂函数：y = x^a，其中a为实数，x大于0。
四、函数的图像与性质1. 一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了线的倾斜程度，截距b决定了线与y轴的交点。
2. 二次函数的图像是一条抛物线，开口向上或向下取决于二次项系数的正负。
3. 反比例函数的图像是一条由坐标原点发出的双曲线。
4. 幂函数的图像根据指数a的正负来决定曲线在第一象限和第四象限的开口方向。
五、复合函数和反函数1. 复合函数是指将一个函数代入到另一个函数中的运算，常用符号为g(f(x))。
2. 反函数是指函数的逆运算，将函数的输入和输出互换得到的函数。
高考数学函数基础知识清单
高考数学函数基础知识清单函数是高中数学中的重要内容和基础知识点，对于高考数学来说尤为重要。
本文将为大家总结高考数学函数基础知识清单，帮助大家复习和巩固相关概念和技能。
一、函数的定义与性质1. 函数的定义：函数是一个集合和对应关系的二元关系，通常用f(x)表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是输入变量x的取值范围，值域是函数对应值f(x)的取值范围。
3. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
二、常见的函数类型1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b是常数，k称为比例系数，b 称为常数项。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
3. 幂函数：y = x^n，其中n为整数。
4. 指数函数：y = a^x，其中a为正实数且a ≠ 1。
5. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为正实数且a ≠ 1。
6. 三角函数：正弦函数、余弦函数等。
三、函数的图像与性质1. 函数图像的表示：坐标系、平面直角坐标系。
2. 函数图像的基本性质：对称性、零点、极值等。
3. 函数的平移、伸缩和翻折：函数图像在坐标系中的变化与函数式的关系。
四、函数的运算与复合1. 函数的四则运算：加、减、乘、除。
2. 复合函数：f(g(x))，其中f(x)和g(x)是两个函数。
3. 反函数：f^(-1)(x)，满足f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x)) = x的函数。
五、函数方程与函数不等式1. 函数方程：包括一元函数方程和多元函数方程。
2. 函数不等式：包括一元函数不等式和多元函数不等式。
六、函数的应用1. 函数的模型：将实际问题抽象化为函数模型进行求解。
2. 函数的最大值与最小值：求极值的方法和应用。
3. 函数的应用举例：求面积、体积、最优解等实际问题。
以上是高考数学函数基础知识的清单，希望能够对大家的复习和考试有所帮助。
在复习过程中，要理解函数的定义与性质，熟练掌握各种函数的类型，能够准确绘制函数图像并分析函数的各种性质，同时要培养应用函数解决实际问题的能力。
高考数学函数的定义和性质
高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。
它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。
本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。
用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。
2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。
2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。
如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。
2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。
如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。
2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。
如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。
3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。
高三 函数知识点
高三函数知识点函数是数学中的重要概念之一，在高中数学学习中占据着重要地位。
掌握函数的相关知识点对于高三学生来说至关重要。
本文将介绍函数的定义、性质、图像以及函数的类型等知识点。
一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素（称为自变量）映射到另一个集合中的元素（称为因变量）。
函数通常表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数具有以下基本性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数映射到的因变量的集合；2. 单调性：函数可以是递增的或递减的；3. 奇偶性：函数可以是奇函数（满足f(-x) = -f(x)）或偶函数（满足f(-x) = f(x)）；4. 周期性：函数可以是周期函数，即存在正数T，使得对于任意x，有f(x+T) = f(x)。
二、函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
通过观察函数的图像，可以获得关于函数性质的直观认识。
函数图像的特征包括：1. 增减性和极值：函数的图像在增减区间上表现为上升或下降的趋势，并在极值点上取得最大值或最小值；2. 过零点：函数的零点是函数图像与x轴的交点，对应于函数的解；3. 对称性：函数的图像可能具有对称性，如关于y轴的对称、关于原点的对称等；4. 渐进线：函数图像可能存在水平渐近线和垂直渐近线；5. 断点和间断点：函数图像上的断点表示函数在该点不连续，而间断点表示函数在该点不存在。
三、常见函数类型高中数学教学中常见的函数类型包括：1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数，表示直线函数；2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，表示抛物线函数；3. 指数函数：y = a^x，其中a为底数大于0且不等于1，表示幂函数；4. 对数函数：y = loga(x)，其中a为底数大于0且不等于1，表示逆幂函数；5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等；6. 绝对值函数：y = |x|，表示以原点为顶点的V型函数；7. 反比例函数：y = k/x，其中k为常数，表示反比例关系。
高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结
高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结函数是高中数学中的一个重点知识点，涉及到的内容包括函数的定义、函数的性质、函数的图像、函数的求导、复合函数、反函数等。
下面为大家总结一下高中数学中与函数相关的重要知识点。
一、函数的基本概念1.定义：函数是一种数学关系，将自变量的每一个取值都对应一个唯一的因变量的取值。
2.记法：常用的记法有f(x)、y、φ(x)、g(t)等。
3.定义域和值域：对于函数f(x)，定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量可能取值的集合。
4.相等和相同的函数：当函数定义域相同时，若任意x值下f(x)和g(x)相等，则称f(x)和g(x)相等，在定义域和值域都相同的前提下，若在每个x值下f(x)和g(x)相等，则称f(x)和g(x)相同。
二、函数的性质1.奇偶性：对于定义在整个实数集上的函数f(x)，若对任意x值都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；若对任意x值都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；否则称为既不是奇函数也不是偶函数。
2.周期性：对于函数f(x)，若存在一个正数T使得对于任意x值都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期为T的周期函数。
3.单调性：设函数f(x)在区间I上有定义，若对于任意x1,x2∈I，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上是单调递增的；若对于任意x1,x2∈I，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上是单调递减的。
4.最值：若在一个有限区间上函数f(x)的值有上下界，且有至少一个点使得f(x)的值达到了上界或下界，则称上界和下界分别为函数f(x)在该区间上的最大值和最小值，该点称为函数的最值点。
5.奇偶性、周期性、单调性和最值的使用场景：在分析函数的图像时，通过对其奇偶性、周期性、单调性和最值的分析，可以快速得到函数的大致形状和特点。
三、函数的图像1.基本图像：y=x（一次函数）、y=x^2（二次函数）、y=x^3（三次函数）等。
高中函数的性质知识点总结
高中函数的性质知识点总结高中数学中，函数是一个非常重要的概念，它涉及到数学的各个领域。
了解函数的性质，能够更好地理解和应用数学知识。
本文将对高中函数的性质知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握相关内容。
一、函数的定义和表示1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量的值与一个唯一确定的因变量的值相对应。
2. 函数的表示方法：常见的函数表示方法有函数关系式、函数图像和函数表格等。
二、函数的定义域和值域1. 定义域：函数的定义域是指自变量的取值范围，它决定了函数的合法输入。
2. 值域：函数的值域是指因变量的取值范围，它由函数的定义域和函数的性质共同决定。
三、函数的奇偶性1. 奇函数：若对于函数中的任意x，有f(-x)=-f(x)，则该函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
2. 偶函数：若对于函数中的任意x，有f(-x)=f(x)，则该函数为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
四、函数的单调性和极值1. 单调递增：若对于函数中的任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则函数为单调递增函数。
2. 单调递减：若对于函数中的任意x1<x2，有f(x1)>f(x2)，则函数为单调递减函数。
3. 极值：函数在某一定义域内取得的最大值或最小值称为极值。
极值点通常是函数的拐点或者是导数为零的点。
五、函数的周期性1. 周期函数：如果对于函数中的任意x，有f(x+T)=f(x)，则该函数为周期函数。
其中T为函数的周期。
六、函数的对称性1. 对称中心：对于函数图像中的一点x0，若将该点作为对称轴，函数图像关于该点对称，则该点为对称中心。
2. 中心对称：若对于函数中的任意x，有f(-x)=f(x)，则该函数是中心对称函数。
七、函数的零点和解析式1. 零点：函数在定义域内满足f(x)=0的点称为函数的零点。
2. 解析式：函数的解析式是用代数表达式表示的函数表示方法，例如y=f(x)=ax^2+bx+c。
高中数学 函数定义域,值域,解析式的求法及最值
课题函数教学目标函数的定义域、值域、最值以及解析式的求法重点、难点函数的最值以及解析式的求法考点及考试要求函数的最值以及解析式的求法教学内容（一）函数值域的概念：函数的值域就是我们通常说的y的范围，它是一个集合{y︱y=2x+1} 值域一定要与函数的定义域联系起来。
（二）函数的值域与最值的联系：注意：（三）常见函数的值域：考题8例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1x x x g --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ，①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域： （1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［+∞). （2）设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1xx xg --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x（1）画出函数的图象；（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值. 解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上 的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域：（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）. 一、填空题1.设函数f 1(x )=x 21,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案 007212.（2008·安徽文，13）函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案 []+∞,3 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 .答案 3 4.已知f (2211)11xx x x +-=+-，则f(x )的解析式为 . 答案 f (x )=212x x +5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 .答案 （-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=则f (-3)= . 答案 68.已知函数ϕ (x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（=16, ϕ (1)=8,则ϕ(x )= .答案 3x +x 5二、解答题9.求函数f (x )=21)|lg(|x x x --的定义域.解 由,11010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x );（2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解 （1）依题意令a =b =x ,则 f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有 ①2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ②2f (x )-f (-x )=lg(1+x )两式联立消去f (-x )得 3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ),∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1).。
高三数学函数三要素知识点
高三数学函数三要素知识点函数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域，尤其在高三数学中扮演着重要的角色。
理解和掌握函数的三要素是高中数学学习的基础，也是考试中常见的考点。
本文将详细介绍函数的三要素，包括定义域与值域、图像与性质以及解析式与关系式。
一、定义域与值域函数的定义域是指函数中自变量取值范围的集合，可以是实数集、整数集或其他特定集合，记作D(f)。
而值域则是函数通过自变量变化所能取得的函数值的集合，记作R(f)。
在探究函数的定义域和值域时，可以借助图像来进行分析和判断。
例如，对于一元函数y=f(x)，如果函数的解析式为y=x^2+1，我们可以通过观察解析式中的幂函数性质得知，这个函数的定义域是实数集R，因为幂函数的定义域是整个实数集。
而对于函数的值域，我们可以通过画出函数的图像来观察。
通过分析得知，y=f(x)的图像为抛物线，开口向上，顶点在(0,1)处，因此值域为{y∈R | y≥1}。
二、图像与性质函数的图像可以直观地展示函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性、最值等。
我们可以通过图像的形状和关键点来确定函数的性质。
以一元函数y=f(x)为例，通过观察函数的图像，我们可以判断函数的单调性。
如果函数在定义域内任意两点的连线均不与函数图像相交，那么这个函数是严格单调递增或递减的。
如果函数在某一区间内是单调递增或递减的，并且在该区间内等号成立，那么这个函数是递增或递减的。
此外，通过观察图像的对称性，我们可以判断函数的奇偶性。
如果函数满足f(-x)=f(x)，那么这个函数是偶函数；如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么这个函数是奇函数。
另外，通过直观观察函数图像的开口方向和顶点位置，还可以判断函数的最值。
对于抛物线函数来说，开口向上的抛物线的最小值在顶点处，最大值不存在；开口向下的抛物线的最大值在顶点处，最小值不存在。
对于其他类型的函数，可以通过函数图像的分析来得到相应的最值性质。
三、解析式与关系式函数的解析式是函数的一种表示形式，通常使用代数式来表示。
高三数学函数的知识点
高三数学函数的知识点函数是数学中一种重要的概念，它在高三数学中占据着很大的比重。
本文将介绍高三数学函数的知识点，帮助学生们加深对函数概念和相关内容的理解。
一、函数的定义和性质1.1 函数的定义：函数是一种对应关系，将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
通常用符号表示为：y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
1.2 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数的图像表示了自变量和因变量之间的关系。
1.3 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像关于y轴对称的性质。
如果函数满足f(-x)=-f(x)，则该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，则该函数是偶函数。
1.4 单调性：函数的单调性描述了函数图像的递增或递减特点。
如果对于定义域内的任意x1、x2，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则函数是递增的；当x1<x2时有f(x1)>f(x2)，则函数是递减的。
二、函数的基本类型2.1 常数函数：常数函数是指对任意的x值，函数的输出恒为一个常数。
例如，f(x)=3就是一个常数函数，其图像为一条水平线段。
2.2 一次函数：一次函数是指函数的表达式中只有x的一次幂，没有其他次数的幂。
例如，f(x)=2x+1就是一个一次函数，其图像为一条直线。
2.3 二次函数：二次函数是指函数的表达式中含有x的二次幂，并且没有其他次数的幂。
例如，f(x)=x^2+3就是一个二次函数，其图像为一个开口朝上的抛物线。
2.4 指数函数：指数函数是以常数为底数的x的幂函数。
例如，f(x)=2^x就是一个指数函数，其图像为递增的曲线。
2.5 对数函数：对数函数是指以常数为底数的对数函数。
例如，f(x)=log2(x)就是一个对数函数，其图像为递增而缓慢的曲线。
三、函数的运算和性质3.1 四则运算：函数之间可以进行加减乘除的四则运算。
例如，对于函数f(x)=2x和g(x)=x+1，可以进行f+g、f-g、f*g和f/g的运算。
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结高中数学中的函数是一个重要的知识点，它是解决问题的一个重要工具。
下面是高中数学函数知识点的总结，包括函数的概念、性质、图像、特殊函数以及常见的函数类型。
一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是一个变量间的关系，是一种映射关系，每个自变量只对应一个因变量。
2.函数的表示：函数可以用关系式、函数表、图像、符号表示等方式进行表达。
3.定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
4.奇偶性：函数的奇偶性可以根据函数的表达式进行判断，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
5.单调性：单调性分为单调递增和单调递减，可以根据函数的导数进行判断。
6.周期性：周期函数指的是满足f(x+T)=f(x)的函数，其中T是函数的周期。
7.奇偶函数的性质：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
8.复合函数：复合函数指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
二、函数的图像与性质1.直线函数：直线函数的图像为一条直线，可以通过给定的两个点来确定直线的斜率和截距。
2.平方函数：平方函数的图像为一个抛物线，开口方向由函数的二次项系数决定。
3.绝对值函数：绝对值函数的图像为一条V型曲线，开口方向由函数的系数决定。
4.指数函数：指数函数的图像为一条递增的曲线，底数大于1时递增速度较快。
5.对数函数：对数函数的图像为一条递减的曲线，底数大于1时递减速度较慢。
6.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的图像具有周期性。
7.反比例函数：反比例函数的图像为一条经过原点的反比例曲线，即y=k/x，其中k为常数。
三、特殊函数1.分段函数：分段函数指的是在满足不同条件下，函数的表达式可以有所不同。
2.取整函数：取整函数指的是将一个实数x映射为最接近x的整数值。
3.符号函数：符号函数指的是将一个实数x映射为其符号，大于0的数映射为1，小于0的数映射为-1，等于0的数映射为0。
高中函数必考知识点总结
高中函数必考知识点总结一、函数的概念与性质1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它是一个或多个自变量和因变量之间的对应关系。
在数学中，通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数也可以用y表示，即y=f(x)。
函数的定义域为自变量能取得的值的集合，值域为函数在定义域内所有可能取得的值的集合。
2. 函数的性质（1）定义域和值域：一个函数的定义域和值域是描述这个函数在横坐标和纵坐标上的取值范围。
（2）奇函数与偶函数：奇函数的图像对称于原点，即f(-x)=-f(x)；偶函数的图像对称于y 轴，即f(-x)=f(x)。
（3）周期函数：周期函数是指满足f(x+T)=f(x)的函数，其中T为函数的周期。
（4）单调性：函数在定义域上的单调性分为递增和递减两种情况。
二、函数的图像与性质1. 一次函数（1）一次函数的图像是一条直线，其表达式一般为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
（2）一次函数的图像是一条直线，斜率k表示了直线的斜率，而截距b表示了直线与y 轴的交点。
2. 二次函数（1）二次函数的图像是一个抛物线，其表达式一般为y=ax^2+bx+c，其中a不为0。
（2）二次函数的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），对称轴方程为x=-b/2a，开口向上或开口向下取决于a的正负。
3. 指数函数（1）指数函数的图像是一条过点（0,1）的递增曲线，其表达式一般为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1。
（2）指数函数的性质：具有底数为正数，且大于1时函数递增；具有底数为0到1之间的数时函数递减。
（3）指数函数的图像在x轴上没有横截点，y轴上有一个横截点（0,1）。
4. 对数函数（1）对数函数的图像是一条过点（1,0）的递增曲线，其表达式一般为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1。
（2）对数函数的性质：具有底数为正数，且大于1时函数递增；具有底数为0到1之间的数时函数递减。
函数知识点总结高三数学
函数知识点总结高三数学函数知识点总结高三数学函数是数学中的重要概念，被广泛运用于各个领域。
在高中数学中，我们学习了许多函数的知识点，包括函数的定义、性质以及图像等。
本文将对这些知识点进行总结，帮助大家更好地理解函数的概念和运用。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义函数是一个输入和一个对应唯一的输出的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是函数对应的因变量。
函数可以用表格、图像或公式来表示。
2. 定义域和值域定义域是函数能够接受的输入值的集合，通常用D(f)表示；值域是函数所有可能的输出值的集合，通常用R(f)表示。
在定义函数时，我们需要注意定义域的限制，避免出现无意义的输入。
3. 单调性和奇偶性函数的单调性描述了函数在定义域内递增或递减的趋势。
一个函数可以是递增函数、递减函数或者既递增又递减的函数。
函数的奇偶性描述了函数图像关于y轴对称的性质。
一个函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
4. 奇偶扩展和周期性对于函数f(x)，如果满足f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
如果满足f(-x) = f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
这里的奇偶性可以通过函数图像的对称性来判断。
周期函数是指满足f(x + T) = f(x)的函数，其中T称为函数的周期。
周期函数的图像在一个周期内重复出现。
5. 函数的图像和基本函数函数的图像可以通过画坐标轴并标注函数的特点来表示。
例如，对于线性函数f(x) = kx + b，其图像为一条直线；对于平方函数f(x) = x^2，其图像为开口朝上/下的抛物线。
基本函数是指一些常见的函数形式，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
了解基本函数的性质和图像可以帮助我们更好地理解其他函数。
二、常见函数的特殊性质和变换1. 反函数对于函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x，且g(f(x)) = x，那么g(x)就是f(x)的反函数。
高三整理函数知识点总结
高三整理函数知识点总结在高中数学中，函数是一个重要的概念和工具。
掌握了函数的基本概念和相关知识，可以帮助我们解决很多数学问题。
下面是高三整理的函数知识点总结。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
2. 函数的性质：函数包括定义域、值域、奇偶性、单调性、最值等性质。
其中定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
二、初等函数1. 指数函数：指数函数指的是形如f(x)=a^x（a>0且a≠1）的函数，其中a是底数，x是指数。
2. 对数函数：对数函数指的是形如f(x)=loga(x)（a>0且a≠1）的函数，其中a是底数，x是对数。
3. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们与三角比的关系密切。
4. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等，它们是三角函数的反函数。
5. 幂函数：幂函数指的是形如f(x)=x^n（n为整数）的函数，其中n可以是正整数、负整数或零。
6. 分段函数：分段函数是由不同的函数规则在不同的区间内定义的函数。
三、函数的图像和性质1. 函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示，通常是曲线或者直线。
2. 函数的对称性：函数可能有奇对称、偶对称、轴对称等对称性。
3. 单调性：函数的单调性指的是函数值的变化趋势，可以是递增、递减或者恒增、恒减。
4. 最值：函数的最大值和最小值是函数在定义域上的两个特殊点。
5. 零点：函数的零点指的是函数取零值的自变量的取值。
四、函数的运算1. 四则运算：函数可以进行加法、减法、乘法和除法的运算。
2. 复合函数：复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入进行运算的函数。
3. 反函数：反函数是函数的一种特殊形式，将函数的自变量和因变量交换得到。
五、函数的应用1. 函数方程：通过给出函数的性质，求解函数的具体形式的方程。
高三函数基本知识点总结
高三函数基本知识点总结函数是高中数学中的重要概念，也是数学建模和解决实际问题的基础。
在高三阶段，学生需要掌握函数的基本知识点，并能够灵活运用于各种数学问题中。
本文将对高三函数的基本知识点进行总结。
一、函数的定义与表示方法函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
函数的常见表示方法有显式表达式、隐式表达式、参数方程等。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数在定义域内的所有可能取值。
2. 奇偶性：函数的奇偶性与函数的对称性有关，可以通过奇、偶或无奇偶性来确定函数在坐标系中的对称性。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域上的增减关系，包括增函数、减函数、严格增函数、严格减函数等。
4. 周期性：周期函数是指函数在一定范围内满足 f(x + T) = f(x) 的函数，其中 T 为正常数。
三、函数的图象与变换1. 函数图象：函数的图象是函数在坐标系中的表现形式，可以通过绘制函数的图象来研究函数的性质。
2. 基本变换：函数的基本变换包括平移、伸缩和翻转等，这些变换会改变函数的图象在坐标系中的位置和形状。
四、函数的运算1. 函数的加法与减法：两个函数的加法与减法是指将两个函数在相同自变量下对应的函数值相加或相减。
2. 函数的乘法与除法：两个函数的乘法与除法是指将两个函数在相同自变量下对应的函数值相乘或相除。
五、函数的解析式、图象与实际问题将函数与实际问题相结合，可以通过函数的解析式和图象来解决与函数相关的实际问题，如求最值、求方程的解、求参数的取值范围等。
六、常见函数类型1. 一次函数：一次函数是指函数的最高次数为 1 的函数，其形式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 为常数。
2. 二次函数：二次函数是指函数的最高次数为 2 的函数，其形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 为常数。
3. 幂函数：幂函数是指函数的自变量是以常数为底的幂函数。
高三数学函数知识点
高三数学函数知识点函数，作为数学中的重要概念之一，在高三数学学习中也占据着非常重要的地位。
下面，本文将从基本定义、性质及应用等方面，详细介绍高三数学中的函数知识点。
一、函数的基本定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
我们通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
在高三数学中，函数通常涉及定义域、值域、图像和关于x的表示等概念。
- 定义域：函数中自变量x的取值范围称为定义域，记作D(f)。
- 值域：函数中因变量f(x)的所有可能取值的集合称为值域，记作R(f)。
- 图像：函数的图像是指其所有可能的有序对(x, f(x))所构成的集合。
- 关于x的表示：函数也可以通过方程、不等式或表格等形式来表示。
二、函数的性质在高三数学中，我们常常需要通过一些性质来研究和描述函数的特点。
1. 奇偶性：若对于函数f(x)有f(-x) = f(x) (奇函数) 或 f(-x) = -f(x) (偶函数)，则函数具有对应的奇偶性。
2. 增减性：若对于函数f(x)有x₁ < x₂时，f(x₁) < f(x₂) (增函数) 或 f(x₁) > f(x₂) (减函数)，则函数具有对应的增减性。
3. 极值：函数在定义域内的局部最大值和最小值称为极大值和极小值，极大值和极小值统称为极值。
4. 最值：函数在定义域内的最大值和最小值称为最大值和最小值，最大值和最小值统称为最值。
三、函数的应用函数广泛应用于实际问题的建模和解决中，下面我们介绍几个常见的函数应用。
1. 利润函数：用于描述某种产品的销售利润与销量之间的关系。
2. 成本函数：用于描述某个生产过程中总成本与生产数量之间的关系。
3. 面积函数：用于计算平面图形的面积，如正方形、矩形、圆等。
4. 高度函数：用于描述抛物线相关的问题，如计算物体的高度、距离等。
5. 收益函数：用于描述某项投资的收益情况，如银行存款、股票收益等。
数学函数高三知识点
数学函数高三知识点在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的概念。
它是数学中的一种基础工具，被广泛应用于各个领域。
在高三阶段，学生们对函数的理解和运用要求更为深入和复杂。
本文将介绍高三数学函数的一些重要知识点。
一、函数的定义及性质函数是自变量和因变量之间的一种关系。
通常用符号表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数有定义域、值域、奇偶性、单调性等性质。
1. 定义域和值域函数的定义域是所有自变量可能取值的集合，也就是x的取值范围。
而值域则是所有因变量可能取值的集合，也就是y的取值范围。
2. 奇偶性奇函数的定义是f(-x) = -f(x)，即关于原点对称；偶函数的定义是f(-x) = f(x)，即关于y轴对称。
3. 单调性函数的单调性指的是函数值随自变量的增减而增加或减小。
分为增函数和减函数。
增函数是指函数在定义域上单调递增，减函数则是函数在定义域上单调递减。
二、函数的图像与性质函数的图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过图像来判断函数的性质。
1. 基本函数的图像基本函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
它们的图像特点如下：- 线性函数为一条直线，关系式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
- 二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于二次项系数的正负。
- 指数函数的图像为曲线，以底数大于1且不等于1为例，当x趋近于无穷大时，函数值趋近于正无穷，当x趋近于负无穷大时，函数值趋近于0。
- 对数函数的图像为曲线，以底数大于1且不等于1为例，当x趋近于无穷大时，函数值趋近于正无穷，当x趋近于0时，函数值趋近于负无穷。
2. 函数的对称性函数在坐标系中可以具有对称性。
常见的对称方式有：- 关于x轴对称：当f(x) = f(-x)时，函数关于x轴对称。
- 关于y轴对称：当f(x) = -f(-x)时，函数关于y轴对称。
- 关于原点对称：当f(x) = -f(-x)时，函数关于原点对称。
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高考数学函数专项突破（分节）精选习题集及详解答案第一部分函数的概念与性质第一节函数的概念一、选择题1．下列对应中是映射的是()A．(1)、(2)、(3)B．(1)、(2)、(5)C．(1)、(3)、(5) D．(1)、(2)、(3)、(5)2．下面哪一个图形可以作为函数的图象()3．(2009年茂名模拟)已知f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，∅是空集，那么下列结论可以成立的是()A．A＝B＝∅B．A＝B≠∅C．A、B之一为∅D．A≠B且B的元素都有原象(x，y)|x＋y＝1，映射f：M→N，在f作用下点(x，y)的元素是(2x,2y)，则集合N＝() 4．已知集合M＝{}(x，y)|x＋y＝2，x>0，y>0A.{}(x，y)|xy＝1，x>0，y>0B.{}(x，y)|xy＝2，x<0，y<0C.{}(x，y)|xy＝2，x>0，y>0D.{}5．现给出下列对应：(1)A＝{x|0≤x≤1}，B＝R－，f：x→y＝ln x；(2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ；(3)A ＝{平面α内的三角形}，B ＝{平面α内的圆}，f ：三角形→该三角形的内切圆； (4)A ＝{0，π}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝sin x . 其中是从集A 到集B 的映射的个数( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题6．(2009年珠海一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝________.7．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )，若B 中元素(6,2)在映射f 下的元素是(3,1)，则k ，b 的值分别为________．8．(2009年东莞模拟)集合A ＝{a ，b }，B ＝{1，－1,0}，那么可建立从A 到B 的映射个数是________．从B 到A 的映射个数是________．三、解答题9．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，求f (72)的值．10．集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，映射f ：M →N 满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，那么映射f ：M →N 的个数是多少？参考答案1．解析：(4)中元素c 没有象，不符合映射定义中的“集A 中的任意一个元素在集B 中都有元素与之对应”；(5)中，与元素a 对应的元素有两个，不符合映射定义中的“对于集A 中的任意一个元素，在集B 中都有唯一确定的元素与之对应”；而(1)(2)(3)中的对应都符合映射定义．故本题正确答案为A.答案：A2．解析：A 、C 、D 中的对应法则都是“一对多”，故它们不是函数的图象，正确答案为B. 答案：B 3．B4．解析：因为x ＋y ＝1，所以2x ·2y ＝2x ＋y ＝2.这就是说，集合N 中的元素，其横坐标与其纵坐标之积为常数2，又显然集合N 中横、纵坐标都是正数，故本题正确答案为D.答案：D5．解析：(1)的对应中，对于集A 中值0，在集合B 中，没有元素与之对应，故(1)的对应不是从A 到B 的映射；(2)的对应中，对于集A 中的任意一个非零x 的值，在集合B 中，都有两个元素与之对应(不满足唯一性)，故(2)的对应不是从A 到B 的映射；(3)、(4)的对应都满足映射的定义，故(3)、(4)的对应都是从A 到B 的映射．故选B.答案：B 6．－17．解析：依题意，(3,1)→(6,2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝61＋b ＝2，∴k ＝2，b ＝1.答案：k ＝2，b ＝1 8．9 89．解析：∵f (ab )＝f (a )＋f (b )，∴f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝f (4×2)＋f (3×3)＝ f (4)＋f (2)＋2f (3)＝f (2×2)＋f (2)＋2f (3) ＝3f (2)＋2f (3)＝3p ＋2q .10．解析：∵f (a )∈N ，f (b )∈N ，f (c )∈N ，且 f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，∴有0＋0＋0＝0＋1＋(－1)＝0.当f (a )＝f (b )＝f (c )＝0时，只有一个映射；当f (a )、f (b )、f (c )中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C 13·A 22＝6个映射．因此所求的映射的个数为1＋6＝7.第二部分 函数的解析式与定义域一、选择题1．函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式可取为( ) A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 23．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f ⎝⎛⎭⎫1f (2)的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 5．(2009年北京卷)若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x ＜0⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0则不等式|f (x )|≥13的解集为( )A ．(－3,1)B ．[－1,3]C ．(－1,3]D ．[－3,1] 二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A,2∉A ，则a 的取值范围是____________． 7．如果f [f (x )]＝2x －1，则一次函数f (x )＝_____________.8．(2009年潮州模拟)为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_______．三、解答题 9．如右图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A点(终点)移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )．(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值．10．(2009年汕头模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a <0)不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求实数a 的取值范围．参考答案1．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >03x ＋1>0⇒－13<x <1，故选B.答案：B2．解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝2t t 2＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1.答案：C 3．A 4.A5．解析：(1)由|f (x )|≥13⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0⎪⎪⎪⎪1x ≥13⇒－3≤x ＜0.(2)由|f (x )|≥13⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x ≥13⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0⎝⎛⎭⎫13x ≥13⇒ 0≤x ≤1.∴不等式|f (x )|≥13的解集为{x |－3≤x ≤1}．答案：D6．解析：∵2∉A ，∴4－4a ＋a 2－1<0，即a 2－4a ＋3<0， 解得1<a <3. 答案：1<a <37．解析：设f (x )＝kx ＋b ，则f [f (x )]＝kf (x )＋b ＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b . 由于该函数与y ＝2x －1是同一个函数， ∴k 2＝2且kb ＋b ＝－1，∴k ＝±2. 当k ＝2时，b ＝1－2； 当k ＝－2时，b ＝1＋ 2.答案：2x ＋1－2或－2x ＋1＋ 2 8．49．解析：(1)这个函数的定义域为(0,12)， 当0＜x ≤4时，S ＝f (x )＝12·4·x ＝2x ；当4＜x ≤8时，S ＝f (x )＝8；当8＜x ＜12时，S ＝f (x )＝12·4·(12－x )＝24－2x.∴这个函数的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ∈(0，4]，8，x ∈(4，8]，24－2x ，x ∈(8，12).(2)其图形如右，由图知， [f (x )]max ＝8.10．解析：(1)∵不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)，∴x ＝1和x ＝3是方程ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＝0(a <0)的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2a ＝－4c a ＝3，∴b ＝－4a －2，c ＝3a ，又方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根．∴Δ＝b 2－4a (c ＋6a )＝0，∴4(2a ＋1)2－4a ×9a ＝0. ∴(5a ＋1)(1－a )＝0，∴a ＝－15或a ＝1(舍)．∴a ＝－15，b ＝－65，c ＝－35，∴f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由(1)知f (x )＝ax 2－2(2a ＋1)x ＋3a＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＋1a 2－(2a ＋1)2a ＋3a＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＋1a 2＋－a 2－4a －1a ∵a <0，∴f (x )的最大值为－a 2－4a －1a ，∵f (x )的最大值为正数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0－a 2－4a －1a >0∴⎩⎨⎧a <0a 2＋4a ＋1>0 解得a <－2－3或－2＋3<a <0.∴所求实数a 的取值范围是()－∞，－2－3∪(－2＋3，0)．第三部分 函数的值域与最值一、选择题1．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3} D ．{y |0≤y ≤3}2．(2008年中山模拟)函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是( ) A ．(－∞，－1] B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)3．(2009年郑州模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2， ||x ≥1x ， ||x <1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[)0，＋∞，则g (x )的值域是( )A.(]－∞，－1∪[)1，＋∞B.(]－∞，－1∪[)0，＋∞ C ．[0，＋∞) D.[)1，＋∞4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x >01，x <0，则(a ＋b )－(a －b )f (a －b )2(a ≠b )的值是( )A ．aB ．bC ．a ，b 中较小的数D ．a ，b 中较大的数5．(2008年重庆卷)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为( )A.14B.12C.22 D.32二、填空题6．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝________.7．若f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2对任意的非负实数x 成立，则f ⎝⎛⎭⎫12010＋f ⎝⎛⎭⎫22010＋f ⎝⎛⎭⎫32010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫20092010＝________.8．(2009年福州模拟)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________.三、解答题9．若函数y ＝f (x )＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2,2b ]，求b 的值．10．某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？参考答案1．A 2.D3．解析：要f(μ)的值域是[)0，＋∞，则μ可取(－∞，－1]∪[)0，＋∞.又g(x)是二次函数，定义域连续，故g(x)不可能同时取(－∞，－1]和[)0，＋∞.结合选项只能选C .答案：C4．解析：按a>b ，a<b 两种情形分类讨论． 答案：D5．C 6.2 7.20098．解析：由||x ＋1≥||x －2⇒()x ＋12≥()x －22⇒x ≥12，故f ()x ＝⎩⎨⎧||x ＋1⎝⎛⎭⎫x ≥12||x －2⎝⎛⎭⎫x<12，其图象如下，则f min ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12＋1＝32.答案：329．解析：∵y ＝f(x)＝12(x 2－4x ＋8)＝12(x －2)2＋2，∴其图象的对称轴是x ＝2.因此y ＝f(x)在[2,2b]上是递增函数，且2b>2，即b>1. 又函数y ＝f(x)＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，所以有f(2b)＝2b ，即12(2b)2－2×2b ＋4＝2b ，∴b 2－3b ＋2＝0，∴b ＝1(舍去)，b ＝2.10．解析：(1)利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以y ＝⎩⎨⎧5x －12x 2－(0.5＋0.25x )(0≤x ≤5)⎝⎛⎭⎫5×5－12×52－(0.5＋0.25x )(x>5)＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －12x 2－0.5(0≤x ≤5)12－0.25x (x>5). (2)在0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5，当x ＝－b2a ＝4.75(百台)时，y max ＝10.78125(万元)；当x>5(百台)时，y ＜12－0.25×5＝10.75(万元)， 所以当生产475台时，利润最大． (3)要使企业不亏本，即要求⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5－12x 2＋4.75x －0.5≥0或⎩⎨⎧x>512－0.25x ≥0，解得5≥x ≥4.75－21.5625≈0.1(百台)或5＜x ＜48(百台)时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本．第四部分 函数的单调性一、选择题1．(2009年顺德一中月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a ，x ＜1，log a x ， x ≥1，是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，3) C.⎣⎡⎭⎫35，3 D ．(1,3)2．(2010年湖北卷)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1)3．(2010年辽宁卷)设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x之和为( )A ．－3B ．3C ．－8D ．84．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－52，＋∞ D ．(－3，＋∞) 5．(2009年浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 二、填空题6．函数y ＝x 2＋2x －3的递减区间是________．7．如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1,0)上是增函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫23，f (1)从小到大的排列是________．8．(2010年湖南卷)已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)．(1)若a ＞0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(]0，1上是减函数，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f (x )在(－1,1)上有定义，当且仅当0<x <1时f (x )<0，且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1,1)上单调递减．10．(2009年珠海模拟)已知α，β是方程4x 2－4tx －1＝0(t ∈R )的两个实数根，函数f (x )＝2x －tx 2＋1的定义域为[α，β]．(1)判断f (x )在[α，β]上的单调性，并证明你的结论； (2)设g (t )＝max f (x )－min f (x )，求函数g (t )的最小值．参考答案1．解析：依题意，有a>1且3－a>0，解得1<a<3，又当x<1时，(3－a)x －4a<3－5a ，当x ≥1时，log a x ≥0，所以3－5a ≤0解得a ≥35，所以1<a<3，故选D .答案：D 2．C 3.C4．解析：设f(x)＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a2.若－a 2≥12，即a ≤－1时，则f(x)在⎣⎡⎦⎤0，12上是减函数，应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1； 若－a2≤0，即a ≥0时，则f(x)在⎣⎡⎦⎤0，12上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a ≥0； 若0<－a 2<12，即－1<a<0，则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a24≥0恒成立，故－1<a<0. 综上有a ≥－52.故选C .答案：C5．解析：因为f ′(x)＝2x －a x 2＝2x 3－ax2，对∀a ∈R ，f ′(x )在(0，＋∞)正、负不确定，故A 、B 错误，而对C ，当a ＝0时，f (x )＝x 2，显然成立，故选C.答案：C6．(－∞，－3)7．解析：∵f (x )为R 上的奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫13＝－f ⎝⎛⎭⎫－13，f ⎝⎛⎭⎫23＝－f ⎝⎛⎭⎫－23，f (1)＝－f (－1)，又f (x )在[]－1，0上是增函数且－13>－23>－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫－13>f ⎝⎛⎭⎫－23>f (－1)， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫23＜f (1)．答案：f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫23＜f (1)8．(1)⎝⎛⎦⎤－∞，3a (2)()－∞，0∪(]1，3 9．证明：(1)由f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1－x 2＝f (0)＝0.∴f (x )＝－f (－x )，即f (x )为奇函数． (2)先证f (x )在(0,1)上单调递减． 令0<x 1<x 2<1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 11－x 1x 2，∵0<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0， ∴x 2－x 11－x 2x 1>0， 又∵(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1＋1)<0， ∴x 2－x 1<1－x 2x 1，∴0<x 2－x 11－x 2x 1<1，由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 11－x 1x 2<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )在(0,1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)＝0， ∴f (x )在(－1,1)上为减函数． 10．解析：(1)f (x )在[α，β]上为增函数∵f (x )＝2x －tx 2＋1，∴f ′(x )＝－2x 2＋2tx ＋2(x 2＋1)2，∵ 当x ∈(α，β)时，4x 2－4tx －1<0，∴ 当x ∈(α，β)时，－2x 2＋2tx ＋12>0，∴当x ∈(α，β)时，－2x 2＋2tx ＋2>0, ∴f ′(x )>0，∴f (x )在[α，β]上单增．(2)由题意及(1)可知，f (x )max ＝f (β)，f (x )min ＝f (α)， ∴g (t )＝f (β)－f (α)＝2β－tβ2＋1－2α－tα2＋1＝(β－α)[－2αβ＋t (α＋β)＋2]α2β2＋α2＋β2＋1∵α＋β＝t ，αβ＝－14，∴β－α＝(β＋α)2－4αβ＝t 2＋1，α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝t 2＋12，∴g (t )＝8t 2＋1(2t 2＋5)16t 2＋25，t ∈R ，令t 2＋1＝U ，则t 2＝U 2－1，U ∈[1，＋∞)，∴g (t )＝8U (2U 2＋3)16U 2＋9＝16U 3＋24U16U 2＋9，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫16U 3＋24U 16U 2＋9′＝8()32U 4＋6U 2＋27(16U 2＋9)2>0， ∴16U 3＋24U 16U 2＋9在[1，＋∞)单调递增，∴当U ＝1，t ＝0时，g (t )min ＝85.第五部分 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件2．(2010年安徽卷)若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3)3．(2009年肇庆一中模拟)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－2)＝0，则不等式f (x )g (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)4．(2009年天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥04x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)5．(2009年全国卷Ⅰ)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2) D ．f (x ＋3)是奇函数 二、填空题6．(2010年福建卷)函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 7.(2009年南昌模拟)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图所示，则不等式f (x )<0的解是________．8．(2009年重庆卷)若f (x )＝12x－1＋a 是奇函数，则a ＝____________.三、解答题9．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x . (1)求函数g (x )的解析式； (2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x －x2.(1)求证：f(x)是周期函数．(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．参考答案1．解析：f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，若“f(x)，g(x)均为偶函数”，则“h(x)为偶函数”，而反之若“h(x)为偶函数”，则“f(x)，g(x)不一定均为偶函数”，所以“f(x)，g(x)均为偶函数”，是“h(x)为偶函数”是充分而不必要的条件，故选B.答案：B2．解析：用－x代换x得：f(－x)－g(－x)＝e－x，即f(x)＋g(x)＝－e－x，解得：f(x)＝e x－e－x2，g(x)＝－e x＋e－x2，而f(x)单调递增且大于等于0，g(0)＝－1，故选D.答案：D3．A4．解析：由已知，当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－4x＝－(4x－x2)＝－f(x)．当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝4(－x)－(－x)2＝－(x2＋4x)＝－f(x)．且f(0)＝0，∴f(x)为奇函数，又当x ≥0时，f (x )为增函数， ∴f (x )在R 上为单调递增函数， ∴由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a . 即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1. 答案：C5．解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数， ∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期 T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)， 即f (x ＋3)是奇函数．故选D. 答案：D6．解析：f (x )－1＝x 3＋sin x 为奇函数，又f (a )＝2， ∴f (a )－1＝1，故f (－a )－1＝－1即f (－a )＝0. 答案：0 7．(－2,0)∪(2,5]8．解析：f (－x )＝12－x －1＋a ＝2x1－2x ＋a ，f (－x )＝－f (x )⇒2x1－2x ＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ⇒2a ＝11－2x －2x1－2x＝1，故a ＝12.答案：129．解析：(1)设函数y ＝f (x )的图象上任一点Q (x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x 2＝0y 0＋y 2＝0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－xy 0＝－y.∵点Q (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上，∴－y ＝x 2－2x ，即y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x .(2)由g (x )≥f (x )－|x －1|可得：2x 2－|x －1|≤0. 当x ≥1时，2x 2－x ＋1≤0，此时不等式无解． 当x <1时，2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12.因此，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，12. (3)h (x )＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ＋1.①当λ＝－1时，得h (x )＝4x ＋1在[－1,1]上是增函数，符合题意，∴λ＝－1. ②当λ≠－1时，抛物线h (x )＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ＋1的对称轴的方程为x ＝1－λ1＋λ.(ⅰ)当λ<－1，且1－λ1＋λ≤－1时，h (x )在[－1,1]上是增函数，解得λ<－1.(ⅱ)当λ>－1，且1－λ1＋λ≥1时，h (x )在[－1,1]上是增函数，解得－1<λ≤0.综上，得λ≤0.10．解析：(1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2， 又f (x )为奇函数，∴－f (x )＝－2x －x 2. ∴f (x )＝x 2＋2x .当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]． ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)， 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8， ∴x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数．∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7) ＝…＝f (2004)＋f (2005)＋f (2006)＋f (2007) ＝f (2010)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋…＋f (2011)＝0＋…＋0＝0.第六部分 函数的图象一、选择题1．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图象关于原点对称，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝1log 2x(x ＞0) B ．f (x )＝log 2(－x )(x ＜0) C ．f (x )＝－log 2x (x ＞0) D ．f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0) 2．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图象大致是( )3．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是( )A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 1 4．函数f (x )＝2|log 2x |－⎪⎪⎪x －1x 的图象为( )5.(2009年日照模拟)函数y ＝f (x )的图象如右图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )二、填空题6．(2009年上海嘉定一中测试)f (x )是定义域为R 的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1，则x ∈(－4，－2)时，f (x )的表达式为________．7.(2010年深圳一模)已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如右图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)8．定义在R 上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＋f (x )＝0，且函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋54为奇函数，给出下列结论： ①函数f (x )的最小正周期是52；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫54，0对称； ③函数f (x )的图象关于直线x ＝52对称；④函数f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫52.其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的符号) 三、解答题9．(2010年福州模拟)函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象的示意图如右图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数？(2)若x 1∈[]a ，a ＋1，x 2∈[]b ，b ＋1，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}指出a ，b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，判断f (6)，g (6)，f (2010)，g (2010)的大小．10．若函数f (x )对定义域中任意x 均满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则称函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称． (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋m x的图象关于点(0,1)对称，求实数m 的值；(2)已知函数g (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＝x 2＋ax ＋1，求函数g (x )在(－∞，0)上的解析式；(3)在(1)(2)的条件下，当t ＞0时，若对任意实数x ∈(－∞，0)，恒有g (x )＜f (t )成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．解析：(x ，y )关于原点的对称点为(－x ，－y )，所以 g (x )＝log 2x (x >0)⇒f (x )＝－log 2(－x )(x <0)，故选D. 答案：D 2．D 3.A 4.D5．解析：由f (x )图象知f (x )≥1， ∴y ＝log 12f (x )≤0，结合图象知选C.答案：C6．f (x )＝－(x ＋4)2＋1 7.②③ 8.②③9．解析：(1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)a ＝1，b ＝9. 理由如下：令φ(x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 3，则x 1，x 2为函数φ(x )的零点． ∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0， ∴方程φ(x )＝f (x )－g (x )的两个零点x 1∈(1,2)，x 2∈(9,10) 因此整数a ＝1，b ＝9.(3)从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴g (2010)<f (2010)． ∵g (6)<g (2010)，∴f (6)<g (6)<g (2010)<f (2010)．10．解析：(1)由题设可得f (x )＋f (－x )＝2， 即x 2＋mx ＋m x ＋x 2－mx ＋m －x ＝2，解得m ＝1.(2)当x ＜0时，－x ＞0且g (x )＋g (－x )＝2， ∴g (x )＝2－g (－x )＝－x 2＋ax ＋1. (3)由(1)得f (t )＝t ＋1t ＋1(t ＞0)，其最小值为f (1)＝3.g (x )＝－x 2＋ax ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋1＋a 24， ①当a 2＜0，即a ＜0时，g (x )max ＝1＋a 24＜3，得a ∈(－22，0)②当a2≥0，即a ≥0时，g (x )max ＜1＜3，得a ∈[0，＋∞)；由①②得a ∈(－22，＋∞)．第七部分 函数模型及其应用一、选择题1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x (x ∈N )的关系为y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年报废可使其营运年平均利润最大( )A ．2B ．4C ．5D ．62．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( ) A.3×0.5100克 B ．(1－0.5%)3克C ．0.925克 D.1000.125克3．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A ．413.7元B ．513.7元C ．546.6元D ．548.7元 4．如图甲所示，图甲点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A —B —C —M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积函数的图象形状大致是图乙中的( )图乙5．(2008年揭阳模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如右图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元二、填空题6．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r %增加到(r ＋10)%，那么r 的值等于________．7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如右图所示：据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．8．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________．三、解答题9．某工厂拟建一座平面图(如右图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函数关系式，并指出其定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．10．(2009年柳州模拟)某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率P 与日生产量x (x ∈N *)件间的关系为P ＝⎩⎨⎧x ＋20200，0<x ≤15x 2＋3003000，15<x ≤30每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元． (1)将日利润y (元)表示日产量x (件)的函数； (2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？ (注：次品率P ＝次品个数产品总数×100%，正品率＝1－P )参考答案1．解析：设年平均利润为g(x)，则g(x)＝－x 2＋12x －25x ＝12－(x ＋25x)．∵x ＋25x ≥2 x·25x ＝10，∴当x ＝25x，即x ＝5时，g(x)max ＝2. 答案：C2．解析：设放射性元素后一年比前一年减少了x ，则100年后只剩原来质量的a(1－x)100，依题意得：a(1－x)100＝12a ，1－x ＝1000.5，∴()1－x 3＝1000.53＝1000.125，故选D .答案：D3．解析：此人购买的商品原价为168＋423÷90%＝638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%＋(638－500)×70%＝450＋96.5＝546.6元． 答案：C4．解析：当0≤x ≤1时，y ＝12·x·1＝12x ；当1＜x ≤2时，y ＝1－12(x －1)－14(2－x)－14＝－14x ＋34；当2＜x ≤2.5时，y ＝12(52－x)×1＝54－12x.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ， 0≤x ≤1，－14x ＋34，1＜x ≤2，－12x ＋54，2＜x ≤2.5.图形为A .答案：A5．解析：两种话费相差为Δy ，第5题图根据几何关系可得：Δy ＝Δy ′，又Δy ′＝10，∴Δy ＝10. 答案：A6．解析：销售利润＝销售价－进价进价×100%.设销售价为y ，进价为x ，则⎩⎨⎧y －xx×100%＝r%，y －x (1－8%)x (1－8%)×100%＝(r ＋10)%.解之得r ＝15. 答案：157．解析：(1)由题意和图示，当0≤t ≤0.1时，可设y ＝kt(k 为待定系数)，由于点()0.1，1在直线上，∴k ＝10；同理，当t>0.1时，可得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ⇒0.1－a ＝0⇒a ＝110.(2)由题意可得y ≤0.25＝14，即得⎩⎪⎨⎪⎧10t ≤140≤t ≤0.1或⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎫116t －110≤14t>0.1⇒0≤t ≤140或t ≥0.6，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ()0≤t ≤0.1⎝⎛⎭⎫116t －110()t>0.1 (2)0.6 8．解析：总利润L(Q)＝40Q －120Q 2－10Q －2000＝－120(Q －300)2＋2500.故当Q ＝300时，总利润最大值为2500万元．答案：2500万元9．解析：(1)因污水处理水池的长为x 米，则宽为200x米，总造价y ＝400⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋248×200x×2＋80×200 ＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16000，由题设条件⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<200x ≤16，解得12.5≤x ≤16，即函数定义域为[12.5,16]． (2)先研究函数y ＝f(x)＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16000在[12.5,16]上的单调性，对于任意的x 1，x 2∈[12.5,16]，不妨设x 1＜x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝800⎣⎡⎦⎤(x 2－x 1)＋324⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝800(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1－324x 1x 2，∵12.5≤x 1≤x 2≤16，∴0＜x 1x 2＜162＜324，∴324x 1x 2>1，即1－324x 1x 2＜0.又x 2－x 1>0，∴f(x 2)－f(x 1)＜0，即f(x 2)＜f(x 1)， 故函数y ＝f(x)在[12.5,16]上是减函数．∴当x ＝16时，y 取得最小值，此时，y min ＝800⎝⎛⎭⎫16＋32416＋16000＝45000(元)，200x ＝20016＝12.5(米)． 综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低价为45000元．10．解析：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2900⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ＋20200x －1100·x ＋20200·x ， 0<x ≤15，2900⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋3003000x －1100·x 2＋3003000·x ，15<x ≤30，＝⎩⎪⎨⎪⎧2500x －20x 2， 0<x ≤15，2500x －43x 3， 15<x ≤30.(2)当0<x ≤15时，y ＝2500x －20x 2＝－20⎝⎛⎭⎫x －12522＋20·⎝⎛⎭⎫12522， ∴当x ＝15时，y 取得最大值33000(元)． 当15<x ≤30时，y ′＝2500－4x 2， 令y ′＝2500－4x 2＝0，得x ＝25；当15<x<25时，y ′>0；当25<x ≤30时，y ′<0，∴y ＝2500x －43x 3在区间(15,25]上单调递增，在区间[25,30]上单调递减．故当x ＝25时，y 取得最大值，其值为2500×25－43×253＝1250003(元)．∵33000<1250003，∴当x ＝25时，y 取得最大值为1250003(元)．答：该厂的日产量为25件时，日利润最大．第八部分 函数测试—————————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷题目要求的)1．设集合A 和集合B 都是实数集R ，映射f ：A →B 是把集合A 中的元素x 对应到集合B 中的元素x 3－x ＋1，则在映射f 下象1的原象所组成的集合是( )A ．{1}B ．{0}C ．{0，－1,1}D ．{0,1,2}2．若不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．[0,1] D ．(－1,0] 3．函数y ＝log a (|x |＋1)(a ＞1)的大致图象是( )4．已知函数f (x )＝log a x ，其反函数为f －1(x )，若f －1(2)＝9，则f (12)＋f (6)的值为( )A ．2B ．1 C.12D.135．函数f (x )＝(12)x 与函数g (x )＝log 12|x |在区间(－∞，0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝( )A ．－1 B. 2C ．－1或 2D ．1或－ 27．设函数f (x )＝－x 2＋4x 在[m ，n ]上的值域是[－5,4]，则m ＋n 的取值所组成的集合为( )A ．[0,6]B ．[－1,1]C ．[1,5]D ．[1,7]8．方程(12)|x |－m ＝0有解，则m 的取值范围为( )A ．0＜m ≤1B ．m ≥1C ．m ≤－1D ．0≤m ＜19．定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0，D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，e －x ，x <010．设a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，那么( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b11．中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后(2006年)售价为y 万元，每年下调率平均为x %，那么y 和x 的函数关系式为( )A ．y ＝30(1－x %)6B ．y ＝30(1＋x %)6C ．y ＝30(1－x %)5D ．y ＝30(1＋x %)512．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))>0，则当n ∈N *时，有( )A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )13．函数f (x )＝11－ex 的定义域是________．14．若x ≥0，则函数y ＝x 2＋2x ＋3的值域是________．15．设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1,2]上f (x )＝______.16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >00，x ＝0－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设f (x )＝a ·2x －12x ＋1是R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求f (x )的反函数f －1(x )．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72. (1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3ax －4x 的定义域为区间[－1,1]．(1)求g (x )的解析式；(2)判断g (x )的单调性．20．(本小题满分12分)某工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰为51元；(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少？如果订购1 000个，利润又是多少？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)21.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋x －14. (1)若函数的定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)若定义域为[a ，a ＋1]时，f (x )的值域是[－12，116]，求a 的值．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(13)x ， 函数y ＝f －1(x )是函数y ＝f (x )的反函数．(1)若函数y ＝f －1(mx 2＋mx ＋1)的定义域为R ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈[－1,1]时，求函数y ＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值g (a )．答案：卷(二)一、选择题1．C2．A 不等式x 2－x ≤0的解集M ＝{x |0≤x ≤1}，f (x )＝ln(1－|x |)的定义域N ＝{x |－1<x <1}，则M ∩N ＝{x |0≤x <1}．3．B4．B 依题意，函数f (x )＝log a x ，所以f －1(x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，若f －1(2)＝9，所以a 2＝9，a ＝3，f (x )＝log 3x ，f (12)＋f (6)＝log 33＝1，选择B. 5．D f (x )＝(12)x 在x ∈(－∞，0)上为减函数，g (x )＝log 12(－x )在(－∞，0)上为增函数． 6．C 本题考查分段函数求值．据题意得f (a )＝12⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0log 2a ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤02a ＝12， 解之得a ＝2或－1，故选C.7．D 由－x 2＋4x ＝4得x ＝2，由－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，结合二次函数的图象知－1≤m ≤2,2≤n ≤5，故－1＋2≤m ＋n ≤2＋5，即1≤m ＋n ≤7.8．A 由(12)|x |－m ＝0得，m ＝(12)|x |， ∵|x |≥0，∴0＜(12)|x |≤1， ∴方程(12)|x |－m ＝0有解，必须0＜m ≤1，故选A. 9．C 利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数．又y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0 在(－2,0)上为增函数．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，1e x ，x <0在(－2,0)上为减函数．故选C. 10．C a ＝log 0.70.8>0，且a ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1.b ＝log 1.10.9<log 1.11＝0.c ＝1.10.9>1.∴c >1>a >0>b .即b <a <c .故选C.11．C 每年价格为上一年的(1－x %)倍，所以五年后的价格为y ＝30(1－x %)5.12．C 对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)·(f (x 2)－f (x 1))>0，因此x 2－x 1和f (x 2)－f (x 1)同号，所以f (x )在(－∞，0]上是增函数．由于n ∈N *，且n ＋1>n >n －1，所以－n －1＜－n <－n ＋1＜0，即f (n ＋1)＝f (－n －1)<f (－n )<f (－n ＋1)＝f (n －1)．二、填空题13．【解析】 要使f (x )有意义，则1－e x ＞0，∴e x ＜1，∴x ＜0，∴f (x )的定义域是(－∞，0)．【答案】 (－∞，0)14．【解析】 x ≥0时，函数单调递增，故值域为[3，＋∞)．【答案】 [3，＋∞)15．【解析】 由函数f (x )是最小正周期为2的偶函数，且它在区间[0,1]上的图象为线段AB ，可画出f (x )在区间[－1,0]和[1,2]上的图象如图所示，可得f (x )在区间[1,2]上的图象为线段BC ，其中B (1,1)，C (2,2)，所以在区间[1,2]上，f (x )＝x .【答案】 x16．【解析】 依题意有g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >10，x ＝1－x 2，x <1，所以g (x )的递减区间是(0,1)．【答案】 (0,1)三、解答题17．【解析】 (1)由题意知f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立．即a ·2－x －12－x ＋1＝－a ·2x －12x ＋1， 即(a －1)(2x ＋1)＝0，∴a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝2x －12x ＋1， 由y ＝2x －12x ＋1得2x ＝1＋y 1－y， x ＝log 21＋y 1－y， ∴f －1(x )＝log 21＋x 1－x(－1＜x ＜1)． 18．【解析】 (1)∵f (4)＝－72， ∴24－4m ＝－72，∴m ＝1. (2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2) ＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)． ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，2x 1x 2＋1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减． 19．【解析】 (1)∵f (a ＋2)＝18，f (x )＝3x .∴3a ＋2＝18，即3a ＝2.故g (x )＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1,1]．(2)g (x )＝－(2x )2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14.当x ∈[－1,1]时，2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2.令t ＝2x ， 由二次函数单调性得－⎝⎛⎭⎫t －122＋14在⎣⎡⎦⎤12，2上是减函数， ∴函数g (x )在[－1,1]上是减函数．20．【解析】 (1)设订购x 个，单价为51元．60－(x －100)×0.02＝51，∴x ＝550.(2)当0＜x ≤100且x ∈Z 时，P ＝60；当100＜x ≤550且x ∈Z 时，P ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x ；当x ＞550且x ∈Z 时，P ＝51.∴P ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60(0＜x ≤100且x ∈Z )，62－0.02x (100＜x ≤550且x ∈Z )，51(x ＞550且x ∈Z ).(3)订购500个零件，利润为500×[(62－0.02×500)－40]＝6 000(元)；订购1 000个零件，利润为1 000×(51－40)＝11 000(元)．21．【解析】 (1)∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－12， ∴对称轴为x ＝－12. ∵－12＜0≤x ≤3， ∴f (x )的值域是[f (0)，f (3)]，即⎣⎡⎦⎤－14，474. (2)∵f (x )的最小值为－12， ∴对称轴x ＝－12∈[a ，a ＋1]． ∴⎩⎨⎧a ≤－12，a ＋1≥－12. 解得－32≤a ≤－12. ∵区间[a ，a ＋1]的中点为x 0＝a ＋12，当a ＋12≥－12， 即－1≤a ≤－12时， f (x )最大值为f (a ＋1)＝116. ∴(a ＋1)2＋(a ＋1)－14＝116. ∴16a 2＋48a ＋27＝0.∴a ＝－34⎝⎛⎭⎫a ＝－94舍去. 当a ＋12＜－12， 即－32≤a ＜－1时， f (x )最大值为f (a )＝116， ∴a 2＋a －14＝116. ∴16a 2＋16a －5＝0.∴a ＝－54⎝⎛⎭⎫a ＝14舍去. 综上知a ＝－34或a ＝－54. 22．【解析】 (1)∵f －1(x )＝log 13x (x ＞0)， ∴f －1(mx 2＋mx ＋1)＝log 13(mx 2＋mx ＋1)，由题知，mx 2＋mx ＋1＞0恒成立， ∴①当m ＝0时，1＞0满足题意；②当m ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＝m 2－4m ＜0 ⇒0＜m ＜4，∴实数m 的取值范围为0≤m ＜4.(2)∵x ∈[－1,1]，∴(13)x ∈[13，3]， y ＝[f (x )]2－2af (x )＋3＝[(13)x ]2－2a (13)x ＋3 ＝[(13)x －a ]2＋3－a 2，。