天津市和平区高三上学期期末考试数学(理)试题
天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
和平区2017—2018学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵集合，集合∴故选C2. “”是“关于的方程有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵若关于的方程有实数根∴，即∴不一定等于故选A3. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 9B. 5C. 1D. -5【答案】B【解析】由约束条件作出可行域如图所示：目标函数可化为由图可知当直线过点时，取最大值故选B点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵双曲线的方程为∴双曲线的渐近线方程为，右焦点∵过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点∴直线的斜率在和之间，包括端点故选D5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. 72B. 90C. 101D. 110【答案】B【解析】输入参数第一次循环，，满足，继续循环第二次循环，，满足，继续循环第三次循环，，满足，继续循环第四次循环，，满足，继续循环第五次循环，，满足，继续循环第六次循环，，满足，继续循环第七次循环，，满足，继续循环第八次循环，，满足，继续循环第九次循环，，不满足，跳出循环，输出故选B点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．6. 将函数的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】将函数的图像向左平移个单位，得故选D7. 如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相交于点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，，，∵为的中点，∴，∴直线的方程为，直线的方程为联立，得∴，∴故选A点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用，向量的数量积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.8. 已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知函数的零点不唯一，等价于两函数与图象的交点个数不唯一∵的图象是开口向下、对称轴的抛物线，的图象是恒过的直线，注意到、，则分、、三种情况讨论：①当时，∵在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数（当时为常数函数）∴在上为增函数，在上为减函数∴始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一．②当时，在上为增函数，在上为减函数∵在上为增函数，且∴始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一．③当时，在上为增函数，在上为增函数，欲使始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一，则必有，即，解得：．综上所述，的取值范围是．故选C点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程根的个数，即为直线与函数图象的公共点的个数；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知是虚数单位，则复数__________．【答案】【解析】结合复数的运算法则有：.10. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为6011. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，其体积为：，下半部分是半个球，球的半径，其体积为据此可得，该几何体的体积为.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．12. 已知，则的最小值为__________．【答案】-1【解析】∵又∵∴，当且仅当，即时取等号∴最小值为故答案为点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中等题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13. 已知函数，若，则的值为__________．【答案】4【解析】依题意函数的自变量满足，即，此时恒成立∴∴∴故答案为414. 现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为__________．【答案】480【解析】假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置,有种情况，故不同排列方法种数种.故答案为480三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 在中，角所对的边分别是，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理角化边可得.则.据此利用余弦定理可得. (Ⅱ)由题意可得.利用同角三角函数基本关系可得.则∴.据此结合三角形面积公式有的面积.试题解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得.∵，∴.由余弦定理，得.（Ⅱ）由已知，，得.∵在中，为锐角，且，∴.∴.由，及公式，∴的面积.16. 甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，则则事件“甲同学进入复赛的”表示为，由与互斥，且、、彼此独立，能求出甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．试题解析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，则事件“甲同学进入复赛的”表示为.∵与互斥，且彼此独立，∴. （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为数学期望.17. 如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，点在线段上，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求证：平面；（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面可推出，再由，可证平面，从而得出，由及为的中点，推出，即可得证平面；（Ⅱ）依题意，平面，，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，得出，，，，，，，由为平面的一个法向量，再根据，即可得出，从而得证；(Ⅲ) 求出平面的一个法向量，设与平面所成角为，根据，即可求出与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴.∵，为的中点，∴.∵，∴平面.（Ⅱ）证明：依题意，平面，，如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.可得，，，，，，.∵平面的一个法向量，，∴，即.∵平面，∴平面.（Ⅲ）解：设平面的法向量为，则，.由，，得令，得，，即.设与平面所成角为，∵，∴.∴与平面所成角的正弦值为.点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角．18. 已知是等差数列，是等比数列，其中，，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，据此计算可得的通项公式，的通项公式.(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中求得的通项公式可得.错位相减结合等差数列前n项和公式可得.试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，由，得，，由，，得，，∴.∴的通项公式，的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，故.则.令，①则，②由②-①，得.∴.点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有.则椭圆的方程为.(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论：当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设，，，，联立直线方程与椭圆方程有，由弦长公式可得.联立直线与椭圆方程，结合弦长公式有.计算可得.据此可得：为定值.试题解析：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，则有.由，得.∴椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，则.（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，依题意，则直线的方程为，直线的方程为.设，，，，由得，则，，.由整理得，则..∴.综合（1）（2），为定值.20. 已知函数，，且曲线与在处有相同的切线. （Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：在上恒成立；（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)2.【解析】试题分析：(Ⅰ)函数有相同的切线，则，，据此计算可得；(Ⅱ)构造函数，令，原问题等价于在上恒成立，讨论函数的单调性可得，即在上恒成立.试题解析：（Ⅰ）∵，，，∴.∵，，∴，.∵，即，∴.（Ⅱ）证明：设，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴，即在上恒成立.（Ⅲ）设，其中，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴.，设，其中，则，∴在内单调递减，，∴，故，而.结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，∴方程在区间内实根的个数为2.。
2019届天津市和平区高三第一学期期末数学(理)试题(解析版)
2019届天津市和平区高三第一学期期末数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则集合等于A．B．C．D．【答案】B【解析】根据集合B定义，确定大小关系，再用列举法依次写出结果，最后对照选择.【详解】因此从而，选B.【点睛】常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般根据题目得出所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．2．已知，则“且”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据不等式性质判断两条件关系，再根据充分必要概念作选择.【详解】,因此充分性成立；，因此必要性成立，综上是充分必要条件，选C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3．在中，内角为钝角，，，，则（）A．2 B．3 C．5 D．10【答案】A【解析】先根据同角三角函数平方关系求，再根据余弦定理求【详解】因为为钝角，所以因此由余弦定理得（负值舍去），选A.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于A．B．C．D．【答案】B【解析】先求顶点坐标以及渐近线方程，再根据点到直线距离求解.【详解】因为双曲线顶点坐标为渐近线方程为，所以顶点到渐近线距离为，选B.1.已知双曲线方程求渐近线：2.已知渐近线设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.5．已知是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据条件将自变量转化到已知区间，再根据已知解析式求结果.【详解】，因为为奇函数，所以，选C.【点睛】函数的奇偶性与对称性或周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及对称性或周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6．已知，，，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】D【解析】先判断三个数的正负，再借助第三个数比较两个正数大小.【详解】,又，选D.比较较复杂的几个数大小时，往往需构造一个函数，利用函数单调性实现大小的确定. 7．函数A．在区间上单调递增B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递减【答案】A【解析】先根据两角差正弦公式以及二倍角公式、配角公式化简，再根据正弦函数性质判断单调性.【详解】因为，所以，即在上单调递增，选A.【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．8．如图，在梯形中，，，为边上一点，则的最小值为A．10 B．12C．15 D．16【答案】C【解析】先取CD中点N，化简，再根据N到直线AB距离最小值得结果. 【详解】取CD中点N，则,在AB上取AE=2，连接CE，则四边形AECD为平行四边形，则CE=AD=5,因为BE=3,BC=4,所以,即,,选C.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的一般方法.二、填空题9．已知i是虚数单位，则复数_________.【答案】【解析】根据复数除法法则进行计算.【详解】【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.10．的展开式中常数项为_________.【答案】【解析】先根据二项式通项公式确定常数项项数，再代入得结果.【详解】即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11．已知函数，则直线与函数的图像围成的封闭图形的面积为_________.【答案】【解析】由定积分求解封闭图形面积.【详解】封闭图形面积为【点睛】利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．12．如图，正方体的棱长为，分别为的中点，则三棱锥的体积为_________.【答案】【解析】先确定三棱锥的高，再根据椎体体积公式求解.【详解】连接,因为正方体中对角面,从而三棱锥体积等于【点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．13．对于任意，不等式恒成立，则常数的取值范围是_________.【答案】【解析】先参变分离转化为对应函数最值问题，再通过求函数最值得结果.【详解】因为，所以，因为（当且仅当时取等号），因此【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14．已知函数且函数在定义域内恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是_________.【答案】或【解析】先作出函数图象，再根据函数图象确定满足条件的位置，进而得参数的取值范围.【详解】由与相切得由与相切得由与相切得作出函数图象，如图，所以要使得函数有三个不同零点，需满足或，【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题15．已知中，角所对的边分别为，且满足条件，.（Ⅰ）求边；（Ⅱ）若的面积为，求角的度数.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由正弦定理将条件转化为边的关系，再联立方程组得结果，（Ⅱ）先根据三角形面积公式得，再根据余弦定理求角C.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得（Ⅱ）由题意得，因此根据余弦定理得即【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16．有3名同学在学校提供的共4门课程中选课，每人任选其中一门.（Ⅰ）求3人选择3门不同课程的概率；（Ⅱ）求恰有2门课程没有被选中的概率；（Ⅲ）求选择课程同学数的数学期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）先确定总事件数，再确定3人选择3门不同课程事件数，最后根据古典概型概率求结果，（Ⅱ）先确定总事件数，再确定恰有两门课程没有选中的事件数，最后根据古典概型概率求结果，（Ⅲ）先确定随机变量取法，再分布求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（Ⅰ）3名同学任选一门，共有种选法，其中3人选择3门不同课程有种选法，因此所求概率为（Ⅱ）3名同学任选一门，共有种选法，其中恰有2门课程两门课程没有选中有种选法，因此所求概率为（Ⅲ）记为选择A课程同学数，则，因此【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值. 17．如图，四棱锥中，底面为正方形，，，点分别为PC、PD、BC的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，再利用向量数量积为零得结果，（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，先求平面PAB法向量，再利用向量数量积为零得结果，（Ⅲ）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，先求平面DFG,FGE法向量,再利用向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.【详解】因为平面，为正方形，即所以以D为坐标原点，DA,DC,DP为轴建立空间直角坐标系，则（Ⅰ）（Ⅱ）设平面一个法向量为，取因为平面，所以平面，（Ⅲ）设平面一个法向量为，设平面一个法向量为，取取因此即二面角的余弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18．数列的前项和为，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等差数列的各项为正数，前项和为，且，若成等比数列，求.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据和项与通项关系得递推关系式，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，（Ⅱ）线根据条件列方程组，解得数列的首项与公差，再代入等差数列前n项和公式的结果.【详解】（Ⅰ）,又，因此，所以数列为以1为首项，3 为公比的等比数列，从而（Ⅱ）设数列的公差为，所以，或或（舍）从而【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.19．已知直线所经过的定点恰好是中心在原点的椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）点A的坐标为，为椭圆C上任意一点，求的最大值；（Ⅲ）已知圆：，直线.试证明当点在椭圆C上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）先求定点，再根据最大值列方程解得（Ⅱ）根据椭圆定义的最大值；（Ⅲ）先根据点在椭圆C上得，再根据圆心到直线距离小于半径得证，最后根据垂径定理表示弦长，解得取值范围.【详解】（Ⅰ）因为，所以，由得因为椭圆C上的点到点F的最大距离为（Ⅱ）设椭圆左焦点为则，此时满足，即（Ⅲ）因为点在椭圆C上，所以到直线距离为，因此直线与圆恒相交，直线被圆所截得的弦长为，因为，因此直线被圆所截得的弦长的取值范围为【点睛】涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和20．设，且、均为函数的极值点.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设，判断在区间上的上的单调性，并加以证明：（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数在区间上的最大值比最小值大，求函数的解析式.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）在区间上单调递增，（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）根据有两个极值点列不等式，解得的取值范围；（Ⅱ）先求导数，再结合二次函数图象确定导函数符号，最后确定单调性，（Ⅲ）根据单调性确定最值，由最大值比最小值大，确定的值.【详解】（Ⅰ）由题意得有两个不等的正根，即（Ⅱ），由（1）得，，，因此，即在区间上单调递增，（Ⅲ）由（2）得函数在区间上单调递增，故最大值，最小值分别为，因此因为，所以从而（负值舍去），即【点睛】函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等）.。
天津市和平区2020届高三上学期期末考试数学(理)试卷(含答案)
天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1） AC2．）A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3）A ．9B ．5C ．1D ．-54该直线斜率的取值范围是（ ）A5 ）A ．72B ．90C ．101D ．1106）AC72）A8．）A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）910的系数为．（用数字作答）11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．a>，则的最小值为．12．已知013的值为．14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；.17.18．已知{}n a是等差数列，{}{19..20..和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科期末质量调查试卷参考答案一、选择题1-4:CABD 5-8:BDAC二、填空题9．60 1112．-1 13．4 14．480三、解答题15．解：16．解：0,1,2,3.17．以A 为原点，分别以,,CB AC AP uu r uu u r uu u r .。
天津市和平区高三上学期期末质量调查数学(理)试题(有答案)-名校密卷
天津市和平区高三上学期期末质量调查数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|60A x x x =-->，{}|31B x x =-≤≤，则A B =I （ ） A ．(2,1]- B ．(3,2]-- C ．[3,2)-- D ．(,1](3,)-∞+∞U2.设变量x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．11C ．12D ．143.如图，在ABC ∆中，若5AB =，7AC =，60B ∠=︒，则BC 等于（ ）A ．53B ．62C ．8D ．524.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T 的值为（ ）A ．57B ．120C ．183D ．2475.已知log 2a ，log 2b R ∈，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线与抛物线28y x =-的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为43，则双曲线的离心率为（ ）A ．72B ．2C ．13D ．47.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NC BC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]1,4C ．[]2,5D ．[]1,78.已知函数22,0,()2,0,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程1()2f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）A．3 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．3(0,)4C．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．9(0,)16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知13z a i=+，234z i=-，若12zz为纯虚数，则实数a的值为．10.91()2xx-的展开式中的常数项为．（用数学作答）11.几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为2cm．12.直线3y kx=+(0k≠)与圆226490x y x y+--+=相交于A、B两点，若||23AB=，则k的值是．13.设0a b>>，则21()ab a b+-的最小值是．14.定义在R上的奇函数()f x是周期为2的周期函数，当[0,1)x∈时，()21xf x=-，则2(log3)f的值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x xπππ=-++-．（1）求()f x的最小正周期；（2）求()f x在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间．16. （本小题满分13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为12和23． （1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//EB PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（1）求证：AF PC ⊥；（2）求证：//BD 平面PEC ； （3）求锐角三角形D PC E --的余弦值．18. （本小题满分13分）设数列{}n a 满足条件11a =，1132n n n a a -+=+⋅． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nb n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,3)A ，离心率12e =． （1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC ∆的面积最大时，求C 点的坐标．20. （本小题满分14分）已知函数3221()233f x x ax a x =-+-(a R ∈且0a ≠）．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f --处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）当[]2,22x a a ∈+时，不等式|'()|3f x a ≤恒成立，求a 的取值范围．和平区第一学期高三年级数学（理）期末质量调查试卷答案一、选择题1-5CBCBA 6-8BCD二、填空题9.4 10.212 11.12.34-13.4 14.13-三、解答题15.解：（1）∵1()cos 2sin 2(sin cos )(sin cos )22f x x x x x x x =+++-221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+-31sin 2cos 22x x =- sin(2)6x π=- ∴()f x 的最小正周期22T ππ==．则63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 16.解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为311()28=， ∴甲至多击中目标目标2次的概率为17188-=． （2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．03321(0)(1)327P X C ==-=，123222(1)(1)339P X C ==⨯⨯-=，223224(2)(1)339P X C ==⨯⨯-=()， 33328(3)()327P X C ===． ∴随机变量X 的分布列为 X0 1 2 3 P 127 29 49 827∴随机变量X 的数学期望1248()01232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（1）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD u u u r 、AB uuu r 、AP uuu r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ． ∵(2,0,2)AF =u u u r ，(4,4,4)PC =-u u u r ，∴80(8)0AF PC ⋅=++-=u u u r u u u r ，∴AF PC ⊥.（2）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．∵(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-u u u u r ，(4,4,0)BD =-u u u r ，∴2BD EM =u u u r u u u u r ，∴//BD EM ．∵EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴//BD 平面PEC ．（3）解：∵AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =I ，∴AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =u u u r 为平面PCD 的一个法向量．设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =r ，∵(4,4,4)PC =-u u u r ，(0,4,2)PE =-u u u r ，∴0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y =，得1x =，2z =，故(1,1,2)n =r ．∴cos ,2AF n <>==u u u r r ， ∴锐二面角D PC E --的余弦值为2．18.解：（1）∵11a =，1132n n n a a -+-=⋅，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…0121323232n -=+⨯+⨯++⨯…101211(12)13(222)1332212n n n ---⨯-=++++=+⨯=⨯--…（2n ≥）， ∵当1n =时，113221-⨯-=式子也成立，∴数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⨯-． （2）解：∵1322n n n b na n n -==⋅-，即：013122b =⨯⨯-，123224b =⨯⨯-，233326b =⨯⨯-，…∴123n n S b b b b =++++…01213(1222322)(2462)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-++++……．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅…，① 则2212 1222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅…，② ①②，得0121(2222)2(21)2n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅…，∴(1)21n n T n =-⋅+， ∴3(1)232(123)nn S n n =-⋅+-++++…3(1)2(1)3n n n n =-⋅-++． 19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e =， 可得22222491,1,4a b a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆E 的方程为2211612x y +=． （2）由（1）可知1(2,0)F -，2(2,0)F ，则直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=， 直线2AF 的方程为2x =，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l 的斜率为正数．设(,)P x y 为直线l 上任意一点，|2|x =-，解得210x y --=或280x y +-=（斜率为负数，舍去）．∴直线l 的方程为210x y --=．设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=， 由221,161220x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2219164(12)0x mx m ++-=，由22(16)4194(12)0m m ∆=-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m >，故m =∴C点的坐标为(1919-）． 20.解：（1）∵当1a =-时，321()233f x x x x =---，2'()43f x x x =---， ∴82(2)8633f -=-+=，'(2)4831f -=-+-=． ∴[]2(2)3y x =--+，即所求切线方程为3380x y -+=． （2）∵22'()43()(3)f x x ax a x a x a =-+-=---．当0a >时，由'()0f x >，得3a x a <<；由'()0f x <，得x a <或3x a >． ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a -∞和(3,)a +∞，∵(3)0f a =，34()3f a a =-， ∴当0a >时，函数()y f x =的极大值为0，极小值为343a -． （3）2222'()43(2)f x x ax a x a a =-+-=--+， ∵'()f x 在区间[]2,22a a +上单调递减， ∴当2x a =时，2max '()f x a =，当22x a =+时，2min '()4f x a =-． ∵不等式|'()|3f x a ≤恒成立， ∴220,3,43,a a a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得13a ≤≤，故a 的取值范围是[]1,3．。
天津市和平区2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题及答案
和平区2021—2022学年度第一学期期末质量调查高三数学试卷温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.祝同学们考试顺利!第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}111A x x =-<≤，{}1,0,2,3B =.则U A B ⋂=（）A.{}1,2,3- B.{}1,2,3C.{}1,1,2-D.{}1,1,2,3-2.已知,a b ∈R 且0a b ⋅≠，则“a b <”是“11a b>”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（） A. B.C. D.4.已知0.5log 1.1a =，091.1b =，110.9c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b c a <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a <<5.已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A.323πB.4πC.2πD.43π 6.若132ab m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且112a b -=，则m =（）A.6B.6D.167.已知抛物线()220y px p =>上一点()2,m 到焦点的距离为3，准线为l ，若l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，则双曲线C 的离心率为（）A.3C.28.将函数()2sin cos f x x x x =的图象向右平移3π个单位，得到()gx 的图象，再将()g x 图象上的所有点的横坐标变成原来的12，得到()h x 的图象，则下列说法正确的个数是（） ①函数()hx 的最小正周期为2π；②,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 图象的一个对称中心； ③函数()hx 图象的一个对称轴方程为56x π=；④函数()h x 在区间5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 A.1B.2C.3D.49.已知a ∈R ，设函数()222,1ln 1,1x ax a x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若关于x 的方程()14f x x a =-+恰有两个不等实数根，则实数a 的取值范围是（） A.(],0-∞B.58⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭C.55,,84⎛⎫-⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.(]5,08⎛⎫+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共105分）注意事项：1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.2.本卷共11题，共105分.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10.已知向量()1,2a =--，向量()3,4b =-，则向量a 在b 方向上的投影向量为______.11.过点()1,2-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为，则直线l 的斜率为______.12.设曲线axy e =在点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =______.13.已知,R x y +∈，451x y +=，则11332x y x y+++的最小值为______.14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =______.15.如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E 、F 分别为线段BC 、CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，点M 在线段EF 上，且满足()56AM xAB AD x R =+∈，则x =______；若点N 为线段BD 上一动点，则AN MN ⋅的取值范围为______.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-.（I ）求a 的值： （I ）求sin C 的值； （III ）求cos 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 17.（本小题满分15分）如图.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点 （I ）求证：PB ∥平面ACM ；（II ）求直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值； （III ）求平面PAC 与平面PAD 夹角的余弦值.18.（本小题满分15分）已知等比数列{}n a 的公比2q =，前3项和是7.等差数列{}n b 满足13b =，2242b a a =+. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式：（II ）求（i ）()1221ni ii b =∑-；（ii ）21312i ni i a b+=∑19.（本小题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，且椭圆上动点P 到右焦点最小距离为1.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）点M ，N 是椭圆C 上的两点，O是坐标原点，MN =MON △面积的最大值. 20.（本小题满分16分）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）.（1）求函数()f x 的单调区间；（II ）若对以()0,x ∀∈+∞都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值集合；（III ）证明：11111nn e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中n *∈N ，e 为自然对数的底数）.和平区2021—2022学年度第一学期期末质量调查高三数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（9×5分=45分）二、填空题（6×5分=30分） 10、34,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 11、1-或17-12、213、414、1n-15、12，371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题（共75分）16、（14分）解：（I ）ABC △中，由1cos 4A =-，得sin 4A =，由1sin 2bc A =，得24bc =， 又由2b c -=，解得6b =，4c =. 由2222cos a b c bc A =+-，可得8a =.由sin sin a c A C=，得sin 8C =（II ）27cos 22cos 18A A =-=-，sin 22sin cos 8A A A ==-cos 2cos 2cos sin 2sin 66616A A A πππ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭ 17、（15分）（I ）证明：连接BD ，与AC 交于O ，在PBD △中， ∵O ，M 分别为BD ，PD 的中点， ∴BP OM ∥，∵BP ⊄平面ADE ，OM ⊂平面CAM ， ∴BP ∥平面CAM .（II ）解：连接PE ，设E 是AB 的中点，∵ABCD 是正方形，PAB △为正三角形，∴PE AB ⊥. 又∵面PAB ⊥面ABCD ，交线为AB ， ∴PE ⊥平面ABCD .过E 作EF CB ∥，与CD 交于F .以E 为原点，分别以EB ，EF ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴，如图，建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，(P ，()1,2,0C ，()1,2,0D -，1,1,22M ⎛- ⎝⎭∴(1,0,PA =-，()0,2,0AD =，3,1,22BM ⎛=- ⎝⎭设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,20n PA x y n AD y ⎧⋅=-==⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1z =.则x =()3,0,1n =-.设直线BM 与平面PAD 所成角为α，∴3sin cos ,21n BM n BMn BMα⋅====⨯⋅即直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值2.（III ）解：由（2）可知()2,2,0AC =，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =，则11110220m PA x m AC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11z =.则1x =1y =()3,m =-. 设面PAC 与面PAD 夹角为θ， ∴27coscos ,7n m n m n mθ⋅===⋅ ∴面PAC 与面PAD 夹角的余弦值为7.18、（15分）解：（I ）∵1237a a a++=.且等比数列{}n a 的公比2q =，∴111247a a a ++=，解得11a =，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，∴解得22a =，48a =，则25b =，又13b =，∴等差数列{}n b 的公差2d =，()12121n b b n n =+-=+.（II ）（i ）设数列()221n n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前n 项和为n S ，∵()()()22112121212121n n b n n n n ==---+-+，∴111111112113355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()1222121ni ini b n =∑=-+，（ii ）设数列2132n n a b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ， ()()21213211223146231422n n n n n a bn n n -+⎡⎤⎛⎫=++=⋅⋅+=+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()124474314n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ()23144474314n n T n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅两式做差得：()()21316344314n n n T n +-=+⨯+⋅⋅⋅+-+⋅()2144416331414n n n +-⋅=+⨯-+⋅-()111431434n n n n n +++=-+⋅=-⋅∴14n nT n +=⋅即1213124nn i i i a bn ++=∑=.19、（15分）解：（I ）依题意222121c e a a c a b c ⎧==⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y += （II ）（i ）当MN 斜率不存在时，即直线MN x ⊥轴，设(0M x .则03x =∴0112233NON S MN x =⋅=⨯=△ （ii ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 方程为y kx m =+，()11,Mx y ，()22,N x y由221 43x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2224384120k x kmx m +++-=， 则()()()22222Δ(8)44341248430km k m k m =-+⋅-=-+>，1228km43x x k +=-+，212241243m x x k -=+， ∴MN ===即()()22222434361k m k k +=+-+. 设原点O 到直线MN 的距离为d，则d =∴()()()()()()222222222222222224323434323243312616161k k k k k k d k k k k ⎛⎫+++ ⎪++⋅++⎝⎭==-=≤=++++ （当224323k k +=+，即0k =时不等式取等号，验证满足题意）∴1122MNN S MN d =⋅≤⋅=△，3>，∴MONS △的最大值为. 20、（16分）解：（I ）()1a x af x x x'-=-=，()0,x ∈+∞. 令()0f x '>，有x a >，∴当0a <，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递增：当0a >，()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，(),x a ∈+∞时，()0f x '>，单调递增.（II ）由题意得()min 0f x ≥，()0,x ∀∈+∞由（I ）得（i ）当0a ≤，()f x 在()0,+∞上单调递增，()f x 无最小值：（ii ）当0a >，()0,x a ∈时，()f x 单调递减，(),x a ∈+∞时，()f x 单调递增.()()min 1ln 0f x f a a a a ==--≥令()1ln ga a a a =--， ∴()ln g a a '=-令()0g a '>，有ln 0a ->，∴01a <<∴()g a 在()0,1a ∈单调递增，()1,a ∈+∞单调递减，1a =时，()g a 取得极大值 ∴()()10g a g ≤=即()0f a ≤，又∵()0f a ≥∴()0f a =，∴1ln 0a a a --=唯一解为1a =， ∴实数a 的取值集合为{}1.（III ）证明：要证明11111nn e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两边取对数，只需证明()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵n *∈N ，0n >，111n +>，1ln 10n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭即证111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，令11x n =+，则只需证()11ln 112x x x x-<<-<≤ （i ）由（I ）知当1a =时，()1ln f x x x =--在(]1,2上单调递增，∴()()10f x f >=.即1ln 0x x -->，∴()ln 112x x x <-<≤（ii ）令()()1ln 112x x x xϕ=+-<≤， ()221110x x x x xϕ'-=-=>∴()x ϕ在(]1,2上单调递增，∴()()10x ϕϕ>=，即1ln 10x x+->，∴()1ln 112x x x >-<≤ 综上可得()11ln 1,12x x x x-<<-<≤得证，即原不等式成立.。
2020届天津市和平区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届天津市和平区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合{|13}A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，则集合()R A B =I ð（ ） A ．{}1,0- B ．()1,1(2,3]-⋃C ．(0,1)(1,2)(2,3]⋃⋃D ．{}0,3【答案】D【解析】根据集合{|13}A x Z x =∈-<≤，写出集合中的元素，然后根据交并补的定义计算即可.解：{}{|13}=0,1,2,3A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，{}|12R B=x x x ≠≠且ð，则()R A B =I ð{}0,3. 故选：D.本题考查集合交并补的定义和运算，考查列举法表示集合，属于基础题. 2．设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果. 解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3．奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，则()()63f f +-的值为（ ） A ．-10 B ．15C ．10D ．9【答案】D【解析】根据条件分析，可知()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，进而可以求出()()63f f +-的值.解：()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，即()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，所以()()639f f +-=.故选：D.本题考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ．求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5．设0.22a =，3log 0.9b =，0.11log 4c =+，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】根据对数的运算可以化简0.14og .l 0c =，所以可得01c <<.同理可知12a <<，10b -<<，由此可以比较,,a b c 的大小关系.解：0.22a =，则12a <<，333log 0.9log 9log 10b ==-，10b -<<，0.10.11log 4.log 04c =+=，所以01c <<，所以a c b >>.故选：A.本题考查指对函数大小的比较，考查中间值法的应用，涉及对数函数的运算性质，属于基础题.6．将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．54π【答案】B【解析】先根据题意化简sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到()1sin 22y x ϕ=+，再沿x轴向左平移8π，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据得到的函数为偶函数，所以可知,42k k Z ππϕπ+=+∈，由此解出,4k k Z πϕπ=+∈，逐一判断选项即可得出结果.解：()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，沿x 轴向左平移8π个单位后，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，解得：,4k k Z πϕπ=+∈，所以ϕ的取值不可能是4π-. 故选：B.本题考查正弦函数的二倍角公式、考查三角函数平移以及三角函数的奇偶性，熟悉三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.7．抛物线28y x =的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，()(),0A m n n >为抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】C【解析】由直线AF 与双曲线有且只有一个交点可知，直线AF 与双曲线的渐近线平行.又抛物线与双曲线共焦点，||8AF =，所以利用抛物线的定义，可求出A 点坐标，从而求出直线AF 的斜率，从而求出双曲线渐近线的斜率ba=率.解：()(),0A m n n >，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，所以直线AF 与双曲线的渐近线平行. ||8AF =，F 为抛物线的焦点，所以6m =，代入28n m =，则n =即(6,A ，AF k ==b a =2e ==.故选：C.本题考查求双曲线的离心率，涉及到直线与双曲线的位置关系，以及抛物线定义的转化，属于中档题.8．某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（ ） A ．136B ．112C ．16D ．13【答案】C【解析】3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为12，13，16，计算结果即可.解：3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有33A 种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为111123636⋅⋅=，则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A ⋅⋅⋅=.故选：C.本题考查相互独立事件的概率，涉及分类加法的思想，属于基础题.9．已知函数21)110()20x x f x x x x x ++-<≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩.若方程()1f x kx =+有两个实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．2(1,]ln 2C ．(1,2]D ．12,2ln 2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】逐段分析函数()f x的单调性和最值，)x ∈+∞时，22()x x f x x++=，以1y x =+为渐近线，所以1k >时，与22()x x f x x++=，)x ∈+∞有一个交点.当1y kx =+与()1)1f x x =++相切时，即2ln 2k <时，1y kx =+与()1)1f x x =++有一个交点，由此，可求出k 的取值范围.解：当10x -<≤时，()1)1f x x =++，在(]1,0-上单调递增，在0x =处有最大值1．当0x >时，22()x x f x x++=，在(上单调递减，在)+∞上单调递增，在x处取得最小值1．以1y x =+为渐近线，直线1y kx =+与()1)1f x x =++必有一个交点，若方程()1f x kx =+有两个实根，则令一根在)+∞上，所以斜率1k >，且不能与()1)1f x x =++相交，'()f x ='2(0)ln 2f ==.所以斜率k 的取值范围是2(1,]ln 2. 本题考查直线与曲线的交点问题，分析函数的单调性以及切线是常用的方法，属于中档题.二、填空题10．设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a ＝3．故答案为3本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．已知a ＞0，62(?)a x x的二项展开式中，常数项等于60，则(x –)6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）． 【答案】1【解析】试题分析：62(?)a x x 展开式通项为6631662()()r r r r r rr a T C x a C x x--+=-=-，由630,2r r -==得常数项2226()60,()1560,2(0)a C a a a -=-⨯==>，所以，令1x =得622(?)x x 的展开式中各项系数和为1 【考点】二项式定理.12．设随机变量X 的概率分布列如下表，则随机变量X 的数学期望EX =__________．X1 2 3 4P13m14 16【答案】94【解析】利用分布列中概率和为1可求出14m =，然后通过求期望的公式即可求出期望值.解：1111346m +++=，所以14m =.所以11119123434464EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：94.本题考查求分布列的期望，解题的关键是熟记期望的公式，属于基础题.13．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，1AC =，60BAC ∠=o ，则此球的表面积等于______． 【答案】8π【解析】【详解】试题分析：由已知条件得：01121sin 6032AA ⨯⨯⨯⨯=，∴12AA =，∵22202cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴3BC =， 设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R =，∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于24(2)8ππ=. 【考点】1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；3.球的表面积.14．如图，在ABC V 中，3AB =,4AC =,45BAC ∠=︒,2CM MB =u u u u r u u u r，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若AP mAB =u u u r u u u r ，AQ nAC =u u ur u u u r ，则当32m =时，n =___________,AP AQ ⋅=u u u r u u u r __________．【答案】35272 【解析】(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，根据平行线等分线段成比例，求出13BN AQ =u u u r u u u r ，12NB CQ =u u u r u u u r ，进而得出1123CQ QA =u u ur u u u r ，从而推导出,AQ AC u u u r u u u r 之间的关系. (2).根据第(1)问求出的比例关系，计算出||AP uuu r ，||AQ u u u r的长，又45BAC ∠=︒，由向量的数量积公式即可计算结果.解：(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，32AP AB =u u u r u u u r ，则13BN AQ =u u u r u u u r.又2CM MB =u u u u r u u u r ，则12NB CQ =u u u r u u u r ，∴ 1123CQ QA =u u ur u u u r ，35AQ AC =u u u r u u u r .(2). 32AP AB =u u u r u u u r ，所以39||322AP =⨯=u u u r ，35AQ AC =u u u r u u u r ，312||455AQ =⨯=u u u r ，AP AQ ⋅=u u u r u u u r 9122272||||cos 452525AP AQ ⋅=⨯⨯=o u u u r u u u r . 故答案为：35，2725.本题考查平行线等分线段成比例，考查平面向量数量积的应用，熟悉数量积公式是解题的关键，属于基础题.15．已知正实数,x y 满足22412x y xy +=+，则当x =__________时，121x y xy++的最小值是__________． 【答案】126 【解析】利用基本不等式可知12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号.而121x y xy ++运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在122y x ==时取得最小值，由此得解. 解：由题意可知：2222412244x y xy x y xy +=+≥=⋅，即12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号，21211211222221x y xy x y xy xy xy xy ++≥⋅=+=-∴22226≥-=，当且仅当“122y x ==”时取等号. 故答案为：12，6. 本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.三、解答题16．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.已知2224cos c a b bc C =+-，且2A C π-=.（1）求cos C 的值； （2）求cos 3B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）cos 5C =（2【解析】（1）2224cos c a b bc C =+-，由余弦定理可得2a c =，再由正弦定理可得sin 2sin A C =,将2A C π-=，代入化简可得2sin cos C C =，从而求出cos C 的值.（2）由条件2A C π-=，可知5cos cos 236B C ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又cos 5C =，进而可求出sin C ，sin 2C ，以及cos 2C 的值，利用两角差的余弦即可求出结果. 解：（1）∵2224cos c a b bc C =+-,由余弦定理可得2a c =， ∴由正弦定理得sin 2sin A C =, 又∵2A C π-=,∴sin sin cos 2A C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, ∴2sin cos C C =，又∵22sin cos 1C C +=,解得cos 5C =.（2）由（1）知sin C =, ∴4sin 22sin cos 5C C C ==,23cos 22cos 15C C =-=, ∴5cos cos cos 2336B A C C ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭55coscos 2sin sin 266C C ππ=+314525=+⋅=本题考查利用正余弦定理转化解三角形，考查两角和与差的余弦以及二倍角公式，属于中档题.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（325．【解析】试题分析：（1）因为顶点在1A 在底面ABC 上的的射影恰好为B 得到1A B AC ⊥，又AB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）建立空间直角坐标系，求出()10,2,2AA =u u u r ，()112,2,0BC B C ==-u u u r u u u u r，利用向量的数量积公式求出棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）求出平面PAB 的法向量1n u r ，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =u u r，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：1A B ABC ⊥Q 面，1A B AC ∴⊥，又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，1AC AB B ∴⊥面，1AC A AC ⊂Q 面，11A AC AB B ∴⊥平面平面．（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ，()10,4,2B ，()12,2,2C ，()10,2,2AA =u u u r ，()112,2,0BC B C ==-u u u r u u u u r，1111cos ,288AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅u u u r u u u r u u u u u u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故1AA 与棱BC 所成的角是3π． （3）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P ．设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =u r，则110,{0n AP n AB ⋅=⋅=u r u u u r u r u u u r ，由()()1,3,2{0,2,0AP AB ==u u u r u u u r ，得320{20x y z y ++==，令1z =，则()12,0,1n =-u r ， 而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =u u r ．则12121225cos ,5n n n n n n ⋅〈〉==-=-⋅u r u u r u r u u r u r u u r ． 由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是25．【考点】利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1M 作直线1l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O :2224a x y +=于另一点N .若ABN V 的面积为3，求直线1l 的斜率. 【答案】（1）22143x y +=（2）12± 【解析】（1）由题意可知：当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △面积取最大值，又离心率为12，则可以列出方程222121232c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解出,,a b c 的值即可求出椭圆的方程.（2）首先讨论两条直线中斜率为0和斜率不存在的情况，判断三角形的面积是否为3；然后讨论一般情况，设直线1l 的方程为1y kx =+，直线2l 的方程为11y x k=-+，分别与椭圆和圆联立，用K 表示出线段AB 的长和点N 到直线1l 的距离，表示出ABN V 的面积，即可求出斜率的值.解：（1）∵椭圆C 的离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时， 12PF F △.∴22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为：22143x y +=. （2）若1l 的斜率为0，则||AB =||2MN =， ∴ABN V，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0. 设直线1l 的方程为1y kx =+， 由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122834k x x k -+=+，122834x x k -=+，∴||AB ==直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=，∴||MN ==∴ABN V的面积11||||322S AB MN =⋅==， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±. 本题考查根据基本量求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的表示，同时考查了学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题.19．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528++=a a a ，42a +是3a 、5a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试比较()()11211nk k k k a a a =++--∑与12的大小，并说明理由； （3）若数列{}n b 满足()*21log n n b a n N +=∈，在每两个k b 与1k b +之间都插入()1*2k k N -∈个2，使得数列{}n b 变成了一个新的数列{}p c ，试问：是否存在正整数m ，使得数列{}p c 的前m 项和2019=m S ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）12n n a -=（2）111112212n +⎛⎫-< ⎪-⎝⎭,详见解析（3）存在992m =，使得2019=m S【解析】（1）根据条件列出方程组，解基本量即可.（2）由（1）可知通项为：()()1211k k k a a a ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，对通项裂项可得：()()1112111221212121k k k k k -++⎛⎫=- ⎪----⎝⎭，从而可求出前n 项和，即可比较出大小关系.（3）由（2）可知：212log log 2n n n b a n +===数列{}p c 中含有12,,,n b b b L 含有个2，所以数列{}p c 中，k b 的前所有项之和为()0122(123)22222k S k -=+++++++++L L ，求出S ，代入k 的具体值，可知当10k =时，1077S =，当11k =时，2112S =，所以在10k =的基础之上加上471个2可得2019S =，把前面所有项的个数加起来即可得到m 的值.解：（1）由42a +是3a ，5a 的等差中项，得35424a a a +=+，∴34543428a a a a ++=+=,解得48a =.∴3520a a +=，从而1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵1q >，∴解得2q =.∴11a =，从而12n n a -=.（2）由（1）知()()()()11112211111221212121k k k k k k k k a a a -++++⎛⎫==- ⎪------⎝⎭.∴()()11211nk k k k a a a =++--∑12231111111111221212212122121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111112212n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭ （3）212log log 2n n n b a n +===. 根据题意，数列{}p c 中，k b （含k b 项）前的所有项的和为： ()0122(1)(123)22222222k k k k S k -+=+++++++++=+-L L . 当10k =时，10552210772019S =+-=<，当11k =时，11662221122019S =+-=>，又∵201910779424712-==⨯,∴()28101222471992m =++++++=L 时，2019=m S ，∴存在992m =，使得2019=m S .本题考查用基本量求数列的通项，考查裂项相消求和，考查根据数列的和求数列的项数，属于数列新定义题型，同时考查了学生的计算能力以及学生分析问题的能力，属于难题.20．设函数()xf x ae =，()lng x x b =+，其中,a b ∈R ,e 是自然对数的底数. （1）设()()F x xf x =，当1a e -=时，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a e -=，1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切；（3）当22a e≥时，证明：()[()]f x x g x b >-. 【答案】（1）最小值2e --（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）求出()F x 的解析式，求导求单调性，然后则可求出最小值.（2）总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切，及()y f x =与()y g x =永远都存在两条公切线，分别设出切点求出切线方程，根据切线方程为同一条，列出方程组求解，证明等式恒成立即可. （3）即证明当22a e ≥时，ln 0xae x x->.令()ln (0)xae G x x x x=->，求导求令()G x 的最小值大于0即可. 解：（1）1()x F x xe -=，1()(1)x F x x e '-=+，当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，故1x =-时，()F x 取得最小值()21F e --=-. （2）∵()1x f x e-'=， ∴()1x f x e-=在点()1,m m e -处的切线方程为11(1)m m y e x m e --=+-； ∵()1g x x'=， ∴()ln g x x b =+在点(),ln n n b +处的切线方程为1ln 1y x n b n =++-. 由题意得111(1)ln 1m m e nm e n b --⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，则1(1)e 0m m m b ---+=. 令1()(1)n h m m e m b -=--+，则1()1m h m me '-=-，由（1）得1m <-时，()h m '单调递增，又()10h '=，1m <时，()0h m ¢<， ∴当1m <时，()0h m ¢<，()h m 单调递减； 当1m >时，()0h m ¢>，()h m 单调递增. 由（1）得21(1)(2)110b h b b e e--=-+-+>…， 又2233(3)(2)23(2)(3)23024b h b b e b b b b b -⎛⎫-=-+->--+-=-+> ⎪⎝⎭， ()110h b =-<，所以函数()h m 在()1,1b -和()1,3b -内各有一个零点， 故当1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（3）()[()]ln 0xae f x x g x b x x>-⇔->. 令()ln (0)xae G x x x x=->，以下证明当22a e ≥时，()G x 的最小值大于0.求导得22(1)1(1)()x x a x e a x e x G x x x x '---=-=. ①当01x <≤时，()0G x '<，()(1)0G x G ae =>…； ②当1x >时，2(1)()(1)x a x x G x e x a x '⎡⎤-=-⎢⎥-⎣⎦， 令()(1)x x H x e a x =--，21()0(1)x H x e a x '=+>-， 又2222(2)0ae H e a a -=-=…，取()1,2t ∈且使2(1)t e a t >-，即2211ae t ae <<-， 则22()0(1)t t H t e e e a t =-<-=-， ∵()()20H t H <,故()H x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()G x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae G x x x =-， 且()()000001x x H x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-，故()0001ln 1G x x x =--， ∵()()02001101G x x x '=-<-，故()0G x 是()1,2上的减函数. ∴()0(2)1ln 20G x G >=->,所以()0G x >. 综上，当22a e≥时，()[()]f x x g x b >-. 本题考查利用导数求函数的最小值，考查利用导数求曲线的切线，设计到了公切线问题和导数的零点代换问题，考查了学生的计算能力和转化问题的能力，属于难题.。
天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学(理)试卷含答案
天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（ ）{}0,1,2,3,4A =---{}212B x x =<A B =I A ． B ．{}4{}1,2,3--C ． D ．{}0,1,2,3--{}3,2,1,0,1,2,3---2．“”是“关于的方程有实数根”的（ ）2a =x 230x x a -+=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）x y 、24,20,20,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩3z x y =-A ．9 B ．5 C ．1 D ．-54．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一221412x y -=F F 个交点，则该直线斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．33⎛⎝(3,333⎡⎢⎣3,3⎡-⎣5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）SA ．72B ．90C ．101D ．1106．将函数的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（ 1sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭3π）A ． B ．1sin 2y x =12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ． D ．1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相ABCD E BC 2DF FC =u u u r u u u r AE BF 交于点，则的值为（ ）G AG BF ⋅u u u r u u u rA ．B ．C ．D ．4747-3535-8．已知函数若始终存在实数，使得函数的()2,1,25,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩b ()()g x f x b =-零点不唯一，则的取值范围是（ ）a A ． B ． C ． D ．[)2,4(),2-∞(),4-∞(],4-∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知是虚数单位，则复数．i 3i 2i -=+10．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）622x x ⎛ ⎝3x 11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12．已知，则的最小值为 ．0a >()()141a a a--13．已知函数，若，则的值为 ．()2433x f x x -=+-()4f a =-()f a -14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在中，角所对的边分别是，且.ABC ∆,,A B C ,,a b c 22a bc =（Ⅰ）若，求；sin sin A C =cos A （Ⅱ）若，求的面积.22cos 2A =6a =ABC ∆16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通342312过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.X X 17．如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，P ABC -PA ⊥ABC AC BC ⊥D PC 为的中点，点在线段上，，.E ADF PB 4PA AC ==2BC =（Ⅰ）求证：平面；AD ⊥PBC （Ⅱ）若，求证：平面；34PF PB =EF ∥ABC （Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.PE ADB18．已知是等差数列，是等比数列，其中，，{}n a {}n b 111a b ==234a b a +=.347a b a +=（Ⅰ）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）记，求数列的前项和.()()12121n n n c a a a b b b n=++++++L L {}n c n n S 19．已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直()2222:10x y E a b a b +=>>12线相切.60x y -+=（Ⅰ）求椭圆的方程；E （Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：F AB CD CD AB ∥为定值.2CDAB 20．已知函数，，且曲线与在处有相同()2f x ax x =-()lng x b x =()f x ()g x 1x =的切线.（Ⅰ）求实数的值；,a b （Ⅱ）求证：在上恒成立；()()f x g x ≥()0,+∞（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.[)6,n ∈+∞()()f x x ng x +=()1,n e和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科期末质量调查试卷参考答案一、选择题1-4:CABD 5-8:BDAC二、填空题9． 10．60 11．1i -4233π+12．-1 13．4 14．480三、解答题15．解：（Ⅰ）由及正弦定理，得.sin sin A C =a c =∵，22a bc =∴.2a c b ==由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=.222244144b b b b +-==（Ⅱ）由已知，，得.22a bc =6a =18bc =∵在中，为锐角，且ABC ∆2A 22cos 2A =∴.21sin 1cos 223A A =-=∴.12242sin 2sin cos 2223A A A ==⨯=由，及公式，18bc =42sin A =1sin 2S bc A =∴的面积.ABC ∆14218422S =⨯=16．解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，,,A B C 则事件“甲同学进入复赛的”表示为.ABC ABC U ∵与互斥，且彼此独立，ABC ABC ,,A B C ∴()()()P ABC ABC P ABC P ABC =+U ()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+.32131134324328=⨯⨯+⨯⨯=（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.X ，()3211011143224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111211432432P X ==⨯⨯+⨯⨯31114324+⨯⨯=，()1213112432432P X ==⨯⨯+⨯⨯3211143224+⨯⨯=.()321134324P X ==⨯⨯=所以，随机变量的分布列为X数学期望.()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=17．（Ⅰ）证明：∵平面，平面，PA ⊥ABC BC ⊂ABC ∴.PA BC ⊥∵，，AC BC ⊥PA AC A =I ∴平面.BC ⊥PAC ∵平面，AD ⊂PAC ∴.BC AD ⊥∵，为的中点，PA AC =D PC ∴.AD PC ⊥∵，PC BC C =I ∴平面.AD ⊥PBC （Ⅱ）证明：依题意，平面，，如图，PA ⊥ABC AC BC ⊥以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐A ,,CB AC AP u u r u u u r u u u r x y z 标系.可得，，，，，，()0,0,0A ()2,4,0B ()0,4,0C ()0,0,4P ()0,2,2D ()0,1,1E .3,3,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵平面的一个法向量，，ABC ()0,0,4AP =u u u r 3,2,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ∴，即.0AP EF ⋅=u u u r u u u r AP EF ⊥∵平面，EF ⊄ABC ∴平面.EF ∥ABC （Ⅲ）解：设平面的法向量为，则，.ADB (),,n x y z =r 0n AD ⋅=r u u u r 0n AB ⋅=r u u u r 由，，得()0,2,2AD =u u u r ()2,4,0AB =u u u r 220,240,y z x y +=⎧⎨+=⎩令，得，，即.1z =1y =-2x =()2,1,1n =-r 设与平面所成角为，PE ADB θ∵，()0,1,3PE =-u u r ∴sin cos ,PE n PE n PE nθ⋅==⋅u u r r u u r r u u r r ()()021131215106⨯+⨯-+-⨯==⋅∴与平面.PE ADB 21518．解：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，{}n a d {}n b q 由，得，，111a b ==()11n a n d =+-1n n b q -=由，，得，，234a b a +=347a b a +=22q d =34q d =∴.2d q ==∴的通项公式，的通项公式.{}n a 21n a n =-{}n b 12n n b -=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，212n a a a n +++=L 1221n n b b b +++=-L 故.()21212n n n c n n n n=-=⋅-则.()()21222212n n S n n =⨯+⨯++⋅-+++L L 令，①231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L 则，②234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L 由②-①，得.()12322222n n n T n +=⋅-++++L ()1122n n +=-⋅+∴.()()112212n n S n n +=-⋅+-+++=L ()()111222n n n n ++-⋅-+19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，60x y -+=b则有()226311b ==+-，得.2212a b -=22443a b ==∴椭圆的方程为.E 22143x y +=（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，AB 3AB =23CD =则.24CDAB =（2）当直线的斜率存在时，AB 设直线的斜率为，依题意，AB k 0k ≠则直线的方程为，直线的方程为.AB ()1y k x =-CD y kx =设，，，，()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y ()44,D x y 由得，()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22223484120k x k x k +-+-=则，，2122834k x x k +=+212241234k x x k-=+2121AB k x x =+-2222228412143434k k k k k ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.()2212134k k +=+由整理得，则22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩221234x k =+3424334x x k -=+.()22342311434k CD k x x k +=+-=+∴.()()2222248134434121k CD k AB k k ++=⋅=++综合（1）（2），为定值.24CDAB =20．解：（Ⅰ）∵，，，()11f a =-()10g =()()11f g =∴.1a =∵，，()21f x ax '=-()bg x x '=∴，.()121f a '=-()1g b '=∵，即，()()11f g ''=21a b -=∴.1b =（Ⅱ）证明：设，()()()()2ln 0u x f x g x x x x x =-=-->.()()()211121x x u x x x x+-'=--=令，则有.()0u x '=1x =当变化时，的变化情况如下表：x ()(),u xu x '∴，即在上恒成立.()()10u x u ≥=()()f x g x ≥()0,+∞（Ⅲ）设，其中，()()()2ln h x ng x f x x n x x =--=-()1,n x e ∈.()2222n n x x n h x x x x⎛+ ⎝⎭⎝⎭'=-=-令，则有.()h x '2n x =当变化时，的变化情况如下表：x ()(),h x h x '∴.()2ln 122n n n h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极大值()3ln 310≥->，()()()22n n n n h e n e n e n e =-=+-设，其中，则，()x t x x e =-()6,x ∈+∞()10xt x e '=-<∴在内单调递减，，()t x ()6,+∞()()60t x t <<∴，故，而.x x e <()0n h e <()11h =-结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，()h x ()h x ()1,n e ∴方程在区间内实根的个数为2.()()f x x ng x +=()1,n e。
天津市和平区高三数学上学期期末试卷 理(含解析)
天津市和平区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共40分．在四个选项中只有一项是正确的．1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．﹣i B．+i C．1﹣i D．1+i2．（5分）设x，y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（）A．3 B．4 C．6 D．83．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．48 B．192 C．240 D．14404．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣5x+6）的单调递减区间为（）A．（，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，2）5．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．6．（5分）函数f（x）=tan（+），x≠+2kπ（k∈Z）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π7．（5分）“m≥8”是“方程x2﹣mx+2m=0有两个大于2的根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）如图，在△ABC中，P为中线AO上一个动点，若AO=2，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣D．0二、填空题：每小题5分，共30分.9．（5分）工厂对一批产品进行抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品重量的范围是，样本数据分组诶．若样本中产品重量小于50克的个数是36，则样本中重量不小于48克，并且小于54克的产品的个数是．10．（5分）若{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．等比数列{b n}满足b1=9，b1+b2=a1+a2，则等于．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．（5分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若c•cosB=b•cosC，且cosA=，则sinB的值为．13．（5分）已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈时，f（x）=2x﹣1，则f （﹣6）=．14．（5分）若x＞0，y＞0，且2x+y+6=xy，则2x+y的最小值是．三、解答题：共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=cos2ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值．16．（13分）现有9张扑克牌，其中有黑桃3张、红桃4张、梅花2张，从中任意抽取2张，每张牌被抽到的可能性都相等．（Ⅰ）求抽取到的2张牌花色不同的概率；（Ⅱ）设X表示被抽到的2张牌中花色为红桃的张数，求X的分布列及数学期望．17．（13分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=2，D为CC1的中点．（Ⅰ）求证：BC1⊥平面B1CD；（Ⅱ）求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值．18．（13分）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，若S3=7，且a1，a2+1，a3+1构成等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=lna2n+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线y=x上．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线y=x的对称点的横坐标为x0=，求椭圆的方程．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（I）若a=0，求函数f（x）在上的最小值；（II）若函数f（x）在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（III）求函数f（x）的极值点．天津市和平区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共40分．在四个选项中只有一项是正确的．1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．﹣i B．+i C．1﹣i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算进行求解即可．解答：解：===+i，故选：B点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2．（5分）设x，y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（）A．3 B．4 C．6 D．8考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=x+y的最大值．解答：解：不等式表示的区域是如下图示的三角形，3个顶点是（3，0），（6，0），（2，2），目标函数z=x+y在（6，0）取最大值6．故选C．点评：线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．48 B．192 C．240 D．1440考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S的值，当i=4时，满足条件i≥4，退出循环，输出S的值为48．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=2不满足条件i≥4，S=4，i=2不满足条件i≥4，S=12，i=3不满足条件i≥4，S=48，i=4满足条件i≥4，退出循环，输出S的值为48．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基础题．4．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣5x+6）的单调递减区间为（）A．（，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，2）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可．解答：解：要使函数有意义，则x2﹣5x+6＞0，即x＞3或x＜2．设t=x2﹣5x+6，则当x＞3时，函数t=x2﹣5x+6单调递增，当x＜2时，函数t=x2﹣5x+6单调递减．∵函数y=log2t，在定义域上为单调递增函数，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，当x＜2时，函数f（x）单调递减，即函数f（x）的递减区间为（﹣∞，2）．故选：D．点评：本题主要考查复合函数单调性的判断，利用复合函数同增异减的原则进行判断即可，注意要先求出函数的定义域．5．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得=，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到．解答：解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，由题意可得=，则c===2a，则e==2．故选B．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=tan（+），x≠+2kπ（k∈Z）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，可得结论．解答：解：函数f（x）=tan（+），x≠+2kπ（k∈Z）的最小正周期为=2π，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，属于基础题．7．（5分）“m≥8”是“方程x2﹣mx+2m=0有两个大于2的根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次方程根的分布进行判断即可．解答：解：设f（x）=x2﹣mx+2m，若方程x2﹣mx+2m=0有两个大于2的根，则满足，即，解得m≥8，则“m≥8”是“方程x2﹣mx+2m=0有两个大于2的根”充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件判断，根据一元二次方程根的分布转化为函数问题是解决本题的关键．8．（5分）如图，在△ABC中，P为中线AO上一个动点，若AO=2，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣D．0考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：P为中线AO上一个动点，可得=2，于是•（+）=2=﹣2，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵P为中线AO上一个动点，∴=2，∴•（+）=2=﹣2≥﹣=﹣2，当且仅当=1时取等号．∴•（+）的最小值是﹣2．故选：A．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、数量积性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：每小题5分，共30分.9．（5分）工厂对一批产品进行抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品重量的范围是，样本数据分组诶．若样本中产品重量小于50克的个数是36，则样本中重量不小于48克，并且小于54克的产品的个数是90．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，先求出样本容量的值，再计算样本中重量在时，f（x）=2x ﹣1，则f（﹣6）=3．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先由图象关于直线x=﹣2对称得f（﹣4﹣x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+8）=f（x），得f（x）是以8为周期的周期函数，从而f（﹣6）=f（2），从而求出所求．解答：解：∵图象关于直线x=﹣2对称∴f（﹣4﹣x）=f（x）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）f（4+x）=﹣f（x+4）=f（x）∴f（x+8）=f（x）∴f（x）是以8为周期的周期函数．f（﹣6）=f（2）=22﹣1=3，故答案为：3．点评：本题主要考查函数的奇偶性和对称性以及性质间的结合与转化，如本题周期性就是由奇偶性和对称性结合转化而来的，属于基础题．14．（5分）若x＞0，y＞0，且2x+y+6=xy，则2x+y的最小值是12．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知条件可得x﹣1＞0，进而可得2x+y=2（x﹣1）++4≥4+2=12，验证等号成立即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且2x+y+6=xy，若x=1，则2+y+6=y，即8=0矛盾，故x≠1，变形可得（x﹣1）y=2x+6，∴y=，由y＞0可得＞0，可得x﹣1＞0，∴2x+y=2x+=2x+=2x+2+=2（x﹣1）++4≥4+2=12当且仅当2（x﹣1）=即x=3且y=6时取等号，故2x+y的最小值为12故答案为：12点评：本题考查基本不等式求最值，得出x﹣1＞0并准确变形是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=cos2ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ首先通过函数关系式的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步利用函数的周期确定函数的解析式．（Ⅱ）进一步利用函数的单调性确定函数的最值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos2ωx+sinωxcosωx==由于：所以：ω=1则：f（x）=f（）==（Ⅱ）根据函数解析式得到在区间上函数单调递增，在上函数单调递减，所以：．，，所以：f（x）在闭区间上的最大值为：最小值为：0．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期确定函数的解析式，进一步利用函数的单调性确定函数的最值．属于基础题型．16．（13分）现有9张扑克牌，其中有黑桃3张、红桃4张、梅花2张，从中任意抽取2张，每张牌被抽到的可能性都相等．（Ⅰ）求抽取到的2张牌花色不同的概率；（Ⅱ）设X表示被抽到的2张牌中花色为红桃的张数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设“抽取到的2张牌花色不同”为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出抽取到的2张牌花色不同的概率．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．解答：解：（Ⅰ）设“抽取到的2张牌花色不同”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2PEX==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题．17．（13分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=2，D为CC1的中点．（Ⅰ）求证：BC1⊥平面B1CD；（Ⅱ）求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量法结合线面垂直的判定定理即可证明BC1⊥平面B1CD；（Ⅱ）平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）取AC的中点O，连接BO，取A1C1的中点O1，连接O1O，以O为坐标原点，建立空间坐标系如图，则B（，0，0），C（0，1，0），B1（，0，2），C1（0，1，2），D（0，﹣1，1），∵=（﹣，1，2），=（﹣，1，﹣2），=（﹣，﹣1，﹣1），∴•=（﹣，1，2）•（﹣，1，﹣2）=3+1﹣4=0，•=（﹣，﹣1，﹣1）•（﹣，1，2）=3﹣1﹣2=0，即BC1⊥B1C，BC1⊥B1D；∴BC1⊥平面B1CD；（Ⅱ）设平面BB1D的法向量为=（x，y，z），=（0，0，2），=（﹣，﹣1，1），由•=0，•=0，得，令x=1，则y=﹣，z=0，即=（1，﹣，0），由（Ⅰ）=（﹣，1，2），为平面B1DC的一个法向量，则cos＜，＞===﹣，∵二面角B﹣B1D﹣C为锐二面角，∴二面角B﹣B1D﹣C的余弦值为．点评：本题主要考查线面垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．18．（13分）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，若S3=7，且a1，a2+1，a3+1构成等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=lna2n+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得，解得a2=1，从而，进而2q2﹣5q+2=0，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由b n=lna2n+1=ln22n=2nln2，得b n+1﹣b n=2（n+1）ln2﹣2nln2=2ln2，由此利用等差数列前n项和公式能求出T n．解答：解：（Ⅰ）由已知得，解得a2=1，设数列{a n}的公比为q，由a2=2，得，由S3=7，得，∴2q2﹣5q+2=0，解得q=2或q=（不合题意，舍去），∵a1=1，q=2，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（Ⅱ）∵b n=lna2n+1=ln22n=2nln2，∴b n+1﹣b n=2（n+1）ln2﹣2nln2=2ln2，∴{b n}是等差数列，∴T n===n（n+1）ln2．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线y=x上．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线y=x的对称点的横坐标为x0=，求椭圆的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立，得到线段AB的中点，设y=﹣x+1与椭圆+=1的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出椭圆的离心率；（Ⅱ）求出椭圆的右焦点坐标，再由点关于直线对称的求法，运用中点坐标公式和直线垂直的条件，即可得到b=2，进而得到a，即可得到椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）联立，得x=，y=，∴直线y=﹣x+1与x﹣2y=0的交点为M（，），∴线段AB的中点为（，），设y=﹣x+1与椭圆+=1的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆+=1，得：+=1，+=1，两式相减，得+=0，=﹣=﹣1，即有a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a=c，∴e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=c，则椭圆的右焦点F（b，0），设F关于直线y=x对称点为（，y0），则，解得b=2，a=b=2．则椭圆方程为+=1，点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，以及方程的运用，同时考查点差法和点关于直线对称的求法，属于中档题．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（I）若a=0，求函数f（x）在上的最小值；（II）若函数f（x）在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（III）求函数f（x）的极值点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（I）把a=0代入f（x），对其进行求导，利用导数研究其最值问题；（II）对f（x）进行求导，将其转化为在区间上存在于区间使得不等式g（x）＞0恒成立，根据抛物线的性质可以看出，图象开口向上，利用根与系数的关系进行求解；（III）对f（x）进行求解，可以设出h（x）=2x2﹣2ax+1，对a进行讨论：a≤0或a＞0两种情况，利用导数研究函数的极值问题；解答：解：（I）当a=0时，函数f（x）=lnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x＞0，∴f（x）在上是增函数，当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，∴f（x）在上的最小值为1；（II）f′（x）=+2x﹣2a=，设g（x）=2x2﹣2ax+1由题意知，在区间上存在区间使得不等式g（x）＞0恒成立，由于抛物线g（x）=2x2﹣2ax+1开口向上，∴只要g（2）＞0，或g（）＞0即可，由g（2）＞0，即8﹣4a+1＞0，∴a＜，由g（）＞0，即﹣a+1＞0，∴a＜，∴a＜，即实数a的取值范围（﹣∞，）（III）∵f′（x）=，设h（x）=2x2﹣2ax+1，①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，这时f′（x）＞0此时f（x）没有极值点；②当a＞0时，当x＜或x＞时，h（x）＞0，这时f′（x）＞0，∴当a＞时，x=是函数f（x）的极大值点；x=是函数f（x）的极小值点，综上，当a≤时，函数f（x）没有极值点；当a时，x=是函数f（x）的极大值点；x=是函数f（x）的极小值点；点评：此题主要考查利用导数研究求闭区间上的最值问题，此题综合性比较强，这类题型是2015届高考的热点问题，解的过程中我们用到了分类讨论和转化的思想，是一道中档题；。
2024届天津市和平区高三上学期期末质量调查数学试题及答案
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 （选择题共45分）注意事项：1．答题Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．·柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．·如果事件A B 、互斥，则()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =．·任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()()()P AB P A P B A =．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合{}{}{}23,1,360U x x A B x x x =∈≤==+-=N ，则()U A B = ð（）（A ）{}2,0,2,3-（B ）{}3,2-（C ）{}3,2,4-（D ）{}3,0,2-（2）“x y >”是“11x y<”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）函数()f x 的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（）（第3题）（A ）()2334x x f x x -++=（B ）()334x x f x x-++=（C ）()2334x x f x x -+-=（D ）()334x x f x x-+-=（4）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70,85,86,88,90,90,92,94,95,100．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（ ）①这组数据的中位数为90；②这组数据的平均数为89；③这组数据的众数为90；④这组数据的第75百分位数为93；⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化．（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个（5）已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，1322n n a S =+，则4S 的值为（ ）（A ）9（B ）21（C ）45（D ）93（6）已知函数()sin (0)f x x ωω=>，函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2，将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）（A ）()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）()1πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（C ）()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）()cos2f x x=（7）如图，已知四棱锥A BCDE -的体积为,V CE 是BCD ∠的平分线，34CD CE BC ==，若棱AC 上的点P 满足13AP AC =，则三棱锥A DEP -的体积为（ ）（第7题）（A ）27V（B ）17V（C ）316V （D ）421V （8）已知实数,,a b c ，满足31log 35bca ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则下列关系不可能成立的是（ ）（A ）b c a<<（B ）b a c<<（C ）c b a<<（D ）c a b<<（9）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为点F ，过点F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为点A （点A 在第一象限），直线FA 与双曲线C 交于点B ，若点B 为线段AF 的中点，且2FA =，则双曲线C 的方程为（ ）（A ）22144x y -=（B ）22124x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=第Ⅱ卷 （非选择题共105分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．2．本卷共11题，共105分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）（10）i 为虚数单位，复数z 满足()34i 12i z +=-，则z 的虚部为______．（11）在8的二项展开式中，2x 的系数为______．（12）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是______；（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是______．（13）直线:l y x =与圆()()()222:240C x y rr -+-=>相交于,A B 两点，若点D 为圆C 上一点，且ABD △为等边三角形，则r 的值为______．（14）如图，在ABC △中，3BO OC =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ，记,AB a AC b == ，用,a b表示AO = ______；设,AB mAM AC nAN == ，若0,0m n >>，则21m n+的最小值为______．（第14题）（15）若方程222210x ax a x -+++-=在区间(]0,3内有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（16）（本小题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为3,,,sin2sin ,7a b c C C a c ==．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若7c =，（ⅰ）求b 的值；（ⅱ）求()cos A B -的值．（17）（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥，4,26AD DC AB ===，四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36．（第17题）（Ⅰ）证明：1AB ∥平面11CDD C ；（Ⅱ）求平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角的余弦值；（Ⅲ）求点1D 到平面1ACB 的距离．（18）（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为点12,F F ，左，右顶点分别为点12,A A ，离心率为23．已知点2A 是抛物线()22:20C y px p =>的焦点，点1F 到抛物线2C 的准线的距离为1．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程和抛物线2C 的方程；（Ⅱ）直线1A M 交椭圆1C 于点M （点M 在第二象限），交y 轴于点2,N A MN △的面积是11A MF △面积的125倍，求直线1A M 的斜率．（19）（本小题满分15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式以及()2*2nii S n i=∈∑N ；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足11b =，且120n n b b +-=，（ⅰ）求()*112nk k k k k k k a a b b n a a =+⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦∑N ；（ⅱ）若()()1*113521246211,,n n n m m m m nc c n P c c c c Q c c c c b -+-=-∈=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+N ，*N ,m m G ∈是m P 与m Q 的等比中项且0m G >，则对任意*,,s t s t G G h ∈-≤N ，求h 的最小值．（20）（本小题满分16分）已知函数())()()0,g e ax f x x x a =>=∈R ，（Ⅰ）若1a =-，讨论()()()F x f x g x =⋅在()0,+∞的单调性；（Ⅱ）若0a >，函数()()()4ln G x f x g x ⎡⎤=⋅⎣⎦，不等式()1sin 66x a x G x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当*N ,2n n ∈≥时，求证：221671sin 6nk n n k k n =-+>∑．和平区2023－2024学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（9×5分＝45分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）DBDBCABBA二、填空题（6×5分＝30分）（10）25-．（11）74．（12）131:254．（13）．（14）1344a b + ．（15）1915⎛⎤+ ⎥⎝⎦．三、解答题（共75分）（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为sin22sin cos C C C =，已知sin2sin C C =，所以1cos 2C =且()0,πC ∈，所以π3C =，由正弦定理有sin sin a c A C =，所以3sin sin 7A C ==（Ⅱ）（ⅰ）因为7c =，所以3a =，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得23400b b --=，解得8b =或5b =-（舍），所以b 的值为8．（ⅱ）因为(),0,πa c A <∈，又因为sin A =13cos 014A ==>，法（一）()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+，因为7,3,8c a b ===，所以2221cos 27a cb B ac +-==-，所以sin B =，()13123cos 14798A B ⎛⎫-=⨯-+=⎪⎝⎭．法（二）因为ππ,3A B C C ++==，所以2π3B A =-，则()2222cos cos πcos 2πcos2cos πsin2sin π3333A B A A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦271sin22sin cos 2cos 198A A A A A ===-=，所以()7111177123cos 98219698A B -⎛⎫-=⨯-==⎪⎝⎭．（17）（本小题满分15分）解：因为侧棱1AA ⊥底面,ABCD AD DC ⊥，所以以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，又因为棱柱体积为36，易知底面ABCD 为直角梯形，其面积为364182S +=⨯=，柱体体积36V Sh ==，有12DD =．所以()()()()()()()()11114,0,0,4,3,0,0,6,0,0,0,0,4,0,2,4,3,2,0,6,2,0,0,2A B C D A B C D ．（第17题）（Ⅰ）证明：因为()10,3,2AB = ，平面11CDD C 的法向量为()11,0,0n =，110AB n ⋅= ，所以11AB n ⊥，又因为1AB ⊂平面11CDD C ，所以1AB ∥平面11CDD C ．（Ⅱ）解：因为()()10,3,2,4,6,0AB AC ==- ，设平面1ACB 的法向量为()2,,n x y z =，则212320,460.n AB y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3x =，则()23,2,3n =- ，由（Ⅰ）得()11,0,0n =，设平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角为θ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅====⋅则平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角θ（Ⅲ）解：因为()114,3,0D B =，所以，点1D 到平面1ACB的距离为1122D B n n ⋅==（18）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设点1F 的坐标为(),0c -．依题意，2,3,2 1.c a p a a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得3,2,6.a c p =⎧⎪=⎨⎪=⎩，于是2225b a c =-=．所以，椭圆1C 的方程为22195x y +=，抛物线2C 的方程为212y x =．（Ⅱ）设点M 坐标为()11,x y ，点N 坐标为()20,y ，且由题意1120,00,y x y <>>，（法一）由211125A MN A MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，即2175y y =，则1127x A O =，由1127x A O=，即1237x =，可得167x =，因为点M 在第二象限，则167x =-，将167x =-代入椭圆方程22195x y +=，求得1157y =，所以点M 坐标为615,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()13,0A -，则直线1A M 的斜率为()1571637=---．（法二）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3,0y k x k =+>，因此点()20.3,3N k yk =．()223,1.95y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()2128145395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．由121125A A MN MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730595y k k y k ==+，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3,0x my m =->，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．由112125MN A A MF S S =△△，可得1112425A A A N MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730559y m m y m ==+，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（法三）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3y k x =+，则0k >，因此点()20.3,3N k y k =．()223,1.95y k x x y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()212845395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．()2212132122995303339595M A NA A M A N A k k kS S S y y k k k -=-=⨯-=-=++△△△，1112115295A MF kS y k ==+△，112125A F M M A NS S =△，即()322995121595595k k k k k -=⨯++，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3x my =-，则0m >，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．()()212212212232715330335959A NA A MN A MA m m S S S y y m m m m -=-=⨯-=-=++△△△，1112115259A MF mS y m ==+△，211125A M M A F NS S =△△，即()()22232715121555959m m m m m -=⨯++，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（19）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112143442,22 1.a d a d a a ⨯⎧+=+⎪⎨⎪=+⎩，即11420,1.a d a d -=⎧⎨-=-⎩，解得()11,,121212.n a a n n d =⎧=+-=-⎨=⎩，()22112n n n S n -+==，则n S n n =，()()222222122232212n ni i i n n S i n n n i ==-+==++⋅⋅⋅+==+-∑∑．所以22221n i i S n n i==+-∑．（Ⅱ）等比数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=，公比为2，所以12n n b -=，（ⅰ）设()1112,n nk k k k k k k k a A a b B b a a ==+⎛⎫-== ⎪⎝⎭∑∑，()1111122n nn k k k k k k k k k k k k k k k a a a b b a b b A B a a a a ===++⎡⎤⎛⎫--+=+==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑，()()11,212nk k k k k k A a b a b k -===-∑，()0121123252212n A n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，①()1232123252212n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-．②①式－②式得()231122222212n n A n -⎡⎤-=+⨯+++⋅⋅⋅+--⎣⎦，()()2212212332212nn n n n -=+⨯--=-+--．所以()3232nA n =+-．又112nk k k k k a B b a a =+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，则()()11122322221212121k k k k k k k a k b a a k k k k --+--==--++-．所以10213212222222221315375212121n n nB n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．则()()223232123222121n n nn A B n n n n +=+-+-=-++++．所以21124422221nn k k k k k k k a n n a b b a a n =+⎡⎤⎛⎫---+=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑．（ⅱ）当1n =时，012112c c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，12111,21.2n n n n n n c c c c ++-+⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相除得212n n c c +=-，121211112221211,11132321122m m m m m m c c P c Q c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦==--==--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21132m m G ⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．当m 为偶数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递增，2m =时m G 有最小值112,,223m G ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．当m 为奇数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递减，1m =时m G 有最大值21,,13m G ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．则()()max min 11122m m h G G ≥-=-=，所以h 的最小值为12．（20）（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为()()()1,e x a F x f x g x -=-=⋅=，所以())e e e e xx x x F x ----'==='，所以，函数()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）()()()423ln G x f x g x x ax ax ⎡⎤=⋅=⋅=⎣⎦不等式可化为：311sin 066x x x a -+>，设16t a =，令()31sin 6h x x tx x =-+，则()21cos 2h x x x t +'=-，令()21cos 2m x x x t =+-，则()sin m x x x -'=+，再令()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x =+'-≥，所以()s x 在()0,+∞单调递增，则()0s x >，即()0m x '>，所以()m x 在()0,+∞单调递增，又因为()21cos 02y x x x =+>的值域为()1,+∞．①当1t ≤时，即16a ≥时，()21cos 02m x x x t =+->，即()0h x '>，则()h x 在()0,+∞单调递增，所以()0h x >恒成立，符合题意．②当1t >时，即106a <<时，()010m t =-<，若取x >时，()0m x >，所以存在00x >，使()00m x =，则当()00,x x ∈时，()0m x <，函数()h x 在()00,x 上单调递减，此时()0h x <，所以()00,x x ∈时，()0h x <，与原题()0h x >矛盾，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅲ）原式即证1111172sin3sin 4sin sin 23466n n n n +++⋅⋅⋅+>+-．由（Ⅱ）可知，0x >时，31sin 6x x x >-，则2sin 116x x x >-．令1x n =，则()21111111sin 11166161n n n n n n n ⎛⎫>->-=+- ⎪--⎝⎭．取2,3,4,n =⋅⋅⋅，则11111111112sin 3sin 4sin sin 1123462321n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+>-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1766n n =+-．。
天津市五区县高三上学期期末考试数学(理)试题(有答案)
天津市部分区第一学期期末考试高三数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,4,|log ,A B y y x x A ===∈，则AB =（ ）A ． {}14,B ． {}0,14,C ． {}0,2D ．{}0,1,24,2.设变量,x y 满足约束条件24033010x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．165-B ． 3-C ．0D ．1 3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（ ）A ．4B ． 5C ． 6D ． 74.已知ABC ∆是钝角三角形，若1,2AC BC ==，且ABC ∆3AB =（ ）A ．3B ．7 C. 22 D ．35.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -= B ．22194x y -= C. 22149x y -= D ．22184x y -= 7.在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD BE 、相交于点P ，连结AP .设(),AP xAB yAC x y R =+∈，则,x y 的值分别为（ ） A ．1123， B ．1233， C. 1255， D ．1136，8.已知()()23xf x x e =-（其中,x R e ∈是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程()()120f x t f x t --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（ ）A ．()2,0e -B ． (]2,0e - C. 32,6e e -⎡⎤-⎣⎦ D ．(32,6e e -⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分.9.已知,,a b R i ∈是虚数单位，若()()1222i ai b i -+=-，则a b +的值为__________．10.在6214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x -的系数为__________.（用数字作答）11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是____________．12.在平面直角坐标系xOy 中，由曲线()10y x x=>与直线y x =和3y =所围成的封闭图形的面积为__________.13.在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线2cos :sin x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，1a >），若1C 恰好经过2C 的焦点，则a 的值为 ．14.已知()24,1,1xx x x f x e x ⎧-<=⎨≥⎩，若方程()f x kx =有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）已知函数()()()2cos cos f x x x x a a R =+∈. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2，求a 的值. 16. （本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名自A 学校且1名为女棋手，另外4名自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛. （1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X 为选出的4名队员中A B 、两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，1,//,2,2AB AD AD BC AD BC E ⊥==在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD .（1）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （2）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值； （ii ）求二面角A PC D --的余弦值. 18. （本小题满分13分） 已知数列{}n a 的前n 项和()()2**11,n n n n n na a A nn N b n N a a ++=∈=+∈，数列{}n b 的前n 项和为n B .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*2nn n a c n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和n C ； （3）证明：()*222n n B n n N <<+∈.19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b . （1）求椭圆C 的方程；（2）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. 20. （本小题满分14分） 已知函数()()321,,3f x x x cx d c d R =-++∈，函数()f x 的图像记为曲线C . （1）若函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，求c 的取值范围；（2）若函数()y f x m =-有两个零点(),αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（3）设曲线C 在动点()()00,A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题9.8 10. 24-11. 32+ 12. 4ln 3-14. (,e)-∞三、解答题15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为随机变量()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）法一：∵△AGD△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且25,AC = 故36555GC AC ==. 同理可得33555GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分 而PAAC A =∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则5sin cos ,PE DE θ=<>=………8分 （ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n ，2115535DE +>==⨯.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分 （II ）由题意知：2122-==n n n n a n c ，12n n C c c c =+++，123135212222-=++++n nn C ， 23411352122222+-=++++n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-n n n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212122121-++>=+-n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分 设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分 若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分 因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在， 由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-= 所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c = 即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--， 即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+. 设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =-所以'22111()2k f x x x c ==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. (14)分。
天津市和平区高三上学期期末质量调查数学(理)试题(有答案)
天津市和平区高三上学期期末质量调查数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2|60A x xx ，|31Bx x，则A B（）A ．(2,1]B ．(3,2]C ．[3,2)D ．(,1](3,)2.设变量x ，y 满足约束条件10,10,330,xy x y xy 则目标函数4z x y 的最大值为（）A ．4B ．11C ．12D ．143.如图，在ABC 中，若5AB ，7AC ，60B ，则BC 等于（）A ．53B ．62C ．8D ．524.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T 的值为（）A ．57B ．120C ．183D ．2475.已知log 2a ，log 2b R ，则“222ab”是“log 2log 2a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线22221x y ab（0a ，0b ）的两条渐进线与抛物线28yx 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若ABO 的面积为43，则双曲线的离心率为（）A ．72B ．2C ．13D ．47.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD，2AB ，1AD ，若M、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NC BCDC，其中0,1，则AM AN 的取值范围是（）A ．0,3B ．1,4C ．2,5D ．1,78.已知函数22,0,()2,0,x x f x xx x若关于x 的方程1()2f x x m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（）A ．30,4B ．3(0,)4C ．90,16D ．9(0,)16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知13z a i ，234z i ，若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为．10.91()2x x的展开式中的常数项为．（用数学作答）11.几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为2cm ．12.直线3y kx (0k )与圆226490xyx y 相交于A 、B 两点，若||23AB ，则k 的值是．13.设0ab，则21()ab a b 的最小值是．14.定义在R 上的奇函数()f x 是周期为2的周期函数，当[0,1)x 时，()21xf x ，则2(log 3)f 的值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x xxx．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在,44上的单调递增区间．16. （本小题满分13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为12和23．（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA平面ABCD ，//EB PA ，4ABPA ，2EB ，F为PD 的中点．（1）求证：AFPC ；（2）求证：//BD 平面PEC ；（3）求锐角三角形D PCE 的余弦值．18. （本小题满分13分）设数列n a 满足条件11a ，1132n nna a ．（1）求数列n a 的通项公式；（2）若nnb n a ，求数列n b 的前n 项和n S ．19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a bab经过点(2,3)A ，离心率12e．（1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF 的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC 的面积最大时，求C 点的坐标．20. （本小题满分14分）已知函数3221()233f x xaxa x (aR 且0a）．（1）当1a 时，求曲线()y f x 在(2,(2))f 处的切线方程；（2）当0a 时，求函数()y f x 的单调区间和极值；（3）当2,22xa a时，不等式|'()|3f x a 恒成立，求a 的取值范围．和平区第一学期高三年级数学（理）期末质量调查试卷答案一、选择题1-5CBCBA 6-8BCD二、填空题9.410.21211.3312.3413.414.13三、解答题15.解：（1）∵13()cos2sin 2(sin cos )(sin cos )22f x xx x x x x 2213cos2sin 2sin cos 22x x x x13cos2sin 2cos222x x x31sin2cos222x xsin(2)6x∴()f x 的最小正周期22T．则63k xk ，kZ ，所以，当,44x时，()f x 在,64x上单调递增．16.解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为311()28，∴甲至多击中目标目标2次的概率为17188．（2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．03321(0)(1)327P X C ，123222(1)(1)339P X C，223224(2)(1)339P X C()，33328(3)()327P XC ．∴随机变量X 的分布列为X123P1272949827∴随机变量X 的数学期望1248()1232279927E X ．17.（1）证明：依题意，PA平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．∵(2,0,2)AF ，(4,4,4)PC，∴80(8)0AF PC ，∴AF PC .（2）证明：取PC 的中点M，连接EM ．∵(2,2,2)M ，(2,2,0)EM ，(4,4,0)BD，∴2BDEM ，∴//BD EM ．∵EM平面PEC ，BD 平面PEC ，∴//BD 平面PEC ．（3）解：∵AF PD ，AFPC ，PD PC P ，∴AF 平面PCD ，故(2,0,2)AF为平面PCD 的一个法向量．设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z ，∵(4,4,4)PC ，(0,4,2)PE，∴0,0,n PC n PE即4440,420,x y zy z令1y ，得1x ，2z ，故(1,1,2)n ．∴2043cos,2226AF n，∴锐二面角D PCE 的余弦值为32．18.解：（1）∵11a ，1132n n na a ，∴121321()()()nn n a a a a a a a a 0121323232n (1)1211(12)13(222)1332212n n n …（2n ），∵当1n 时，113221式子也成立，∴数列n a 的通项公式1322n na ．（2）解：∵1322n nn b na n n ，即：13122b ，123224b ，233326b ，…∴123n nS b b b b …1213(1222322)(2462)n n n ……．设01211222322n n T n …，①则2212 1222(1)22n nnT n n …，②①②，得121(2222)2(21)2n nnnnT n n …，∴(1)21nn T n ，∴3(1)232(123)nnS n n …3(1)2(1)3nn n n ．19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e，可得22222491,1,4a b ab a解得2216,12,a b∴椭圆E 的方程为2211612xy．（2）由（1）可知1(2,0)F ，2(2,0)F ，则直线1AF 的方程为3(2)4yx ，即3460x y ，直线2AF 的方程为2x ，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l的斜率为正数．设(,)P x y 为直线l 上任意一点，则22|346||2|3(4)x y x ，解得210x y 或280x y （斜率为负数，舍去）．∴直线l 的方程为210xy ．设过C 点且平行于l 的直线为20xy m ，由221,161220xyx y m，整理得2219164(12)0x mx m ，由22(16)4194(12)0m m，解得276m，因为m 为直线20x y m在y 轴上的截距，依题意，0m，故219m.∴C 点的坐标为16191619(,1919）．20.解：（1）∵当1a时，321()233f x xxx ，2'()43f x xx ，∴82(2)8633f ，'(2)4831f ．∴2(2)3yx ，即所求切线方程为3380x y ．（2）∵22'()43()(3)f x xax ax a x a ．当0a 时，由'()0f x ，得3a xa ；由'()0f x ，得xa 或3x a ．∴函数()y f x 的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a 和(3,)a ，∵(3)0f a ，34()3f a a ，∴当0a时，函数()yf x 的极大值为0，极小值为343a ．（3）2222'()43(2)f x xaxax a a ，∵'()f x 在区间2,22a a上单调递减，∴当2x a 时，2max '()f x a ，当22xa时，2min'()4f x a．∵不等式|'()|3f x a 恒成立，∴220,3,43,aa a aa 解得13a ，故a 的取值范围是1,3．。
天津市和平区耀华中学2024届高三上学期期末数学试题
(x)
=
0
得：
x-
1 x
=
0 或 ln
x
-2
=
0 ，解得
x=- 1或
x
=1或
x
=
3，
对于
D：
x
+
1 x
¹
0
，令
f
(
x)
=
0
得： ln
(
x
-
2)
=
0
，解得
x
=
-3
或
x
=
3，
综上，只有选项 C 满足题意. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查由函数图象判断解析式，通常做法是从定义域、奇偶性、单 调性、特殊值、零点等方面入手去分析，从而得出正确的答案. 4．A 【分析】直接由幂函数、对数函数单调性比较大小即可.
【详解】由题意 31+log3 2 + lg 5 + log3 2 ´ log4 9 ´ lg 2 = 3´ 3log3 2 + lg 5 + log3 2 ´ log22 32 ´ lg 2
= 3´ 2 + lg 5 + log3 2´ log2 3´ lg 2
= 6 + (lg 5 + lg 2) = 6 +1 = 7 .
A． x2 9
-
y2 6
=1
B．
x2 3
-
y2 6
=1
C．
x2 6
-
y2 9
=1
D．
x2 6
-
y2 3
=1
8．如图，三棱台 ABC -A1B1C1 中， AB : A1B1 = 1: 2 ，三棱台 ABC -A1B1C1 的体积记为V1 ，
天津和平区2019年高三(上)年末数学试卷(理)含解析解析
天津和平区2019年高三(上)年末数学试卷(理)含解析解析【一】选择题〔共8小题，每题5分，总分值40分〕1、集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，那么集合{x|x≥3}等于〔〕A、M∩NB、M∪NC、∁R 〔M∩N〕D、∁R〔M∪N〕2、假设变量x，y满足约束条件，那么z=3x﹣4y旳取值范围是〔〕A、[﹣11，3]B、[﹣11，﹣3]C、[﹣3，11]D、[3，11]3、阅读如图旳程序框图，运行相应旳程序，输出n旳值为〔〕A、5B、7C、9D、114、a，b∈R，且ab≠0，那么“a＞b”是“lg〔a﹣b〕＞0”旳〔〕A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件5、如图，半径为2旳⊙O中，∠AOB=90°，D为OB旳中点，AD旳延长线交⊙O于点E，那么线段DE旳长为〔〕A、B、C、D、6、假设双曲线﹣=1旳一个焦点在抛物线y2=2px旳准线上，那么该双曲线旳离心率为〔〕A、B、C、D、27、记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，那么定义在区间[0，+∞〕上旳函数f〔x〕=min{x2+1，x+3，13﹣x}旳最大值为〔〕A、5B、6C、8D、108、函数f〔x〕=x|x|﹣mx+1有三个零点，那么实数m旳取值范围是〔〕A、〔0，2〕B、〔2，+∞〕C、〔﹣∞，﹣2〕D、[2，+∞〕【二】填空题〔共6小题，每题5分，总分值30分〕9、a∈R，复数〔2+ai〕〔2﹣i〕旳实部与虚部互为相反数，那么a旳值为、10、一个几何体旳三视图如下图〔单位：cm〕，那么几何体旳体积为cm3、11、圆C旳极坐标方程为ρ=2cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴旳正半轴建立平面直角坐标系，直线l旳参数方程为〔t为参数〕，那么圆C旳圆心到直线l旳距离为、12、在〔x﹣〕9旳展开式中，x5旳系数为、13、在△ABC中，内角A，B，C所对旳边分别为a，b，c，且满足a+b=2，C=，sinA+sinB= sinC，那么△ABC旳面积为、14、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，D是BC边上旳一点〔含端点〕，那么•旳取值范围是、【三】解答题〔共6小题，总分值80分〕15、函数f〔x〕=2sin﹣4sin2，x∈R、〔1〕求f〔x〕旳最小正周期；〔2〕求f〔x〕旳区间[，]上旳最大值和最小值、16、在8件获奖作品中，有3件一等奖，有5件二等奖，从这8件作品中任取3件、〔1〕求取出旳3件作品中，一等奖多于二等奖旳概率；〔2〕设X 为取出旳3件作品中一等奖旳件数，求随机变量X 旳分布列和数学期望、17、如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA 1=2，AC=1，点M 和N 分别为A 1B 1和BC 旳中点、〔1〕求证：AC ⊥BM ；〔2〕求证：MN ∥平面ACC 1A 1；〔3〕求二面角M ﹣BN ﹣A 旳余弦值、18、设等差数列{a n }旳前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2+a 4=10、〔1〕求数列{a n }通项公式；〔2〕假设数列{b n }满足++…+=1﹣，n ∈N *，求数列{b n }旳前n 项和T n 、19、椭圆C 通过点A 〔2，3〕、B 〔4，0〕，对称轴为坐标轴，焦点F 1、F 2在x 轴上、 〔Ⅰ〕求椭圆C 旳方程；〔Ⅱ〕求∠F 1AF 2旳角平分线所在旳直线l 与椭圆C 旳另一个交点旳坐标、20、设函数f 〔x 〕=x 3﹣x 2+6x+m 、〔1〕关于x ∈R ，f ′〔x 〕≥a 恒成立，求a 旳最大值；〔2〕假设方程f 〔x 〕=0有且仅有一个实根，求m 旳取值范围；〔3〕当m=2时，假设函数g 〔x 〕=+x ﹣6+2blnx 〔b ≠0〕在[1，2]上单调递减，求实数b 旳最大值、2018-2016学年天津市和平区高三〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考【答案】与试题【解析】【一】选择题〔共8小题，每题5分，总分值40分〕1、集合M={x|＜0}，N={x|x ≤﹣1}，那么集合{x|x ≥3}等于〔 〕A 、M ∩NB 、M ∪NC 、∁R 〔M ∩N 〕D 、∁R 〔M ∪N 〕【考点】交、并、补集旳混合运算、【分析】求出M 中不等式旳解集确定出M ，求出M 与N 旳交集、并集，进而确定出交集与并集旳补集，即可作出推断、【解答】解：由M 中不等式变形得：〔x ﹣3〕〔x+1〕＜0，解得：﹣1＜x ＜3，即M={x|﹣1＜x ＜3}，∵N={x|x ≤﹣1}，∴M ∪N={x|x ＜3}，M ∩N=∅，那么∁R 〔M ∪N 〕={x|x ≥3}，∁R 〔M ∩N 〕=R ，应选：D 、2、假设变量x ，y 满足约束条件，那么z=3x ﹣4y 旳取值范围是〔 〕A 、[﹣11，3]B 、[﹣11，﹣3]C 、[﹣3，11]D 、[3，11]【考点】简单线性规划、【分析】画出不等式组表示可行域，要求线性目标函数旳最值，确实是直线〔目标函数〕截距旳范围，求解即可、【解答】解：不等式组表示旳区域如图，其中A 〔0，2〕，B 〔5，3〕、C 〔3，5〕z=3x ﹣4y 旳几何意义是直线在y 轴上旳截距，当直线通过点B 〔5，3〕时，z=15﹣12=3，取最大值为3， 当取得点C 〔3，5〕时，z=3﹣20=﹣11，z 取最小值为﹣11，因此目标函数z=3x ﹣4y 旳取值范围为[﹣11，3]，应选：A 、3、阅读如图旳程序框图，运行相应旳程序，输出n旳值为〔〕A、5B、7C、9D、11【考点】程序框图、【分析】由中旳程序框图可知：该程序旳功能是利用循环结构计算并输出变量n旳值，模拟程序旳运行过程，分析循环中各变量值旳变化情况，可得【答案】、【解答】解：当S=1时，满足进行循环旳条件，执行循环体后，S=3，n=5，当S=3时，满足进行循环旳条件，执行循环体后，S=15，n=7，当S=15时，满足进行循环旳条件，执行循环体后，S=105，n=9，当S=105时，不满足进行循环旳条件，故输出旳n值为9，应选：C4、a，b∈R，且ab≠0，那么“a＞b”是“lg〔a﹣b〕＞0”旳〔〕A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件旳推断、【解答】解：“lg〔a﹣b〕＞0”⇔“a﹣b＞1”⇔“a＞b+1”，当“a＞b”时，“a＞b+1”不一定成立，故“a＞b”是“lg〔a﹣b〕＞0”旳不充分条件；当“a＞b+1”时，“a＞b”一定成立，故“a＞b”是“lg〔a﹣b〕＞0”旳必要条件；故“a＞b”是“lg〔a﹣b〕＞0”旳必要不充分条件；应选：B、5、如图，半径为2旳⊙O中，∠AOB=90°，D为OB旳中点，AD旳延长线交⊙O于点E，那么线段DE旳长为〔〕A、B、C、D、【考点】与圆有关旳比例线段、【分析】延长BO交⊙O于点C，我们依照中⊙O旳半径为2，∠AOB=90°，D为OB旳中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE旳长、【解答】解：延长BO交⊙O于点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得应选C6、假设双曲线﹣=1旳一个焦点在抛物线y2=2px旳准线上，那么该双曲线旳离心率为〔〕A、B、C、D、2【考点】双曲线旳简单性质、【分析】求出抛物线旳准线方程，双曲线旳a，b，c，解方程可得p2=16，即有c=2，运用离心率公式计算即可得到所求值、【解答】解：抛物线y2=2px旳准线为x=﹣，由双曲线﹣=1旳a=，b=||，可得c=，即有=||，解得p2=16，可得c=2，那么离心率e===、应选：A、7、记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，那么定义在区间[0，+∞〕上旳函数f〔x〕=min{x2+1，x+3，13﹣x}旳最大值为〔〕A、5B、6C、8D、10【考点】函数旳最值及其几何意义、【分析】在同一坐标系中作出三个函数y=x+3，y=x2+1与y=﹣x+13旳图象，依题意，由图象即可求得max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}、【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1，y=x+3，y=13﹣x旳图象如图：由图可知，min{x2+1，x+3，13﹣x}为y=x+3上A点下方旳射线，抛物线AB之间旳部分，线段BC，与直线y=13﹣x点C下方旳部分旳组合体，显然，在C点时，y=min{x2+1，x+3，13﹣x}取得最大值、解方程组得，C〔5，8〕，∴max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}=8、应选：C、8、函数f〔x〕=x|x|﹣mx+1有三个零点，那么实数m旳取值范围是〔〕A、〔0，2〕B、〔2，+∞〕C、〔﹣∞，﹣2〕D、[2，+∞〕【考点】根旳存在性及根旳个数推断；函数零点旳判定定理、【分析】f〔x〕=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx利用参数分离法得m=|x|+，构造函数g〔x〕=|x|+，转化为两个函数旳交点个数问题进行求解即可、【解答】解：由f〔x〕=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx，当x=0时，方程不成立，即x≠0，那么方程等价为m=|x|+设g〔x〕=|x|+，当x＜0时，g〔x〕=﹣x+为减函数，当x＞0时，g〔x〕=x+，那么g〔x〕在〔0，1〕上为减函数，那么〔1，+∞〕上为增函数，即当x=1时，函数取得微小值同时也是最小值g〔1〕=1+1=2，作出函数g〔x〕旳图象如图：要使f〔x〕=x|x|﹣mx+1有三个零点，那么等价为m=|x|+有三个不同旳根，即y=m与g〔x〕有三个不同旳交点，那么由图象知m＞2，故实数m旳取值范围是〔2，+∞〕，应选：B、【二】填空题〔共6小题，每题5分，总分值30分〕9、a∈R，复数〔2+ai〕〔2﹣i〕旳实部与虚部互为相反数，那么a旳值为、【考点】复数代数形式旳乘除运算、【分析】利用复数代数形式旳乘除运算化简，由实部加虚部等于0求得a值、【解答】解：〔2+ai〕〔2﹣i〕=〔4+a〕+〔2a﹣2〕i，∵〔2+ai〕〔2﹣i〕旳实部与虚部互为相反数，∴4+a+2a﹣2=0，解得：a=﹣、故【答案】为：、10、一个几何体旳三视图如下图〔单位：cm〕，那么几何体旳体积为12πcm3、【考点】棱柱、棱锥、棱台旳体积；函数旳零点、【分析】由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，依照圆锥和圆柱旳体积公式进行求解即可、【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，圆锥旳高为3cm，底面半径r=2cm，那么圆锥旳体积为=4π〔cm3〕，圆柱旳高为2cm，底面半径r=2cm，那么圆柱旳体积为π×22×2=8π〔cm3〕，那么该几何体旳体积为4π+8π=12π〔cm3〕，故【答案】为：12π11、圆C旳极坐标方程为ρ=2cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴旳正半轴建立平面直角坐标系，直线l旳参数方程为〔t为参数〕，那么圆C旳圆心到直线l旳距离为、【考点】简单曲线旳极坐标方程；参数方程化成一般方程、【分析】求出圆C旳直角坐标方程和直线l旳直角坐标方程，利用点到直线旳距离公式能求出圆C旳圆心到直线l旳距离、【解答】解：∵圆C旳极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，∴圆C旳直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，圆心C〔1，0〕，半径r==1，∵直线l旳参数方程为〔t为参数〕，∴直线l旳直角坐标方程为3x﹣4y﹣4=0、∴圆C旳圆心到直线l旳距离d==、故【答案】为：、12、在〔x﹣〕9旳展开式中，x5旳系数为18、【考点】二项式系数旳性质、【分析】写出二项展开式旳通项，由x得指数等于5求得r值，那么【答案】可求、【解答】解：由=，令9﹣2r=5，可得r=2，∴x5旳系数为、故【答案】为：18、13、在△ABC中，内角A，B，C所对旳边分别为a，b，c，且满足a+b=2，C=，sinA+sinB=sinC，那么△ABC旳面积为、【考点】余弦定理；正弦定理、【分析】由题意和正弦定理可得c值，由余弦定理可得ab旳值，整体代入三角形旳面积公式计算可得、【解答】解：∵在△ABC中，∵sinA+sinB=sinC，∴由正弦定理可得a+b=c，又∵a+b=2，C=，∴c=2，解得c=2，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=〔a+b〕2﹣3ab，代值可得4=8﹣3ab，解得ab=，∴△ABC旳面积S=absinC==，故【答案】为：、14、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，D是BC边上旳一点〔含端点〕，那么•旳取值范围是[﹣6，1]、【考点】平面向量数量积旳运算、【分析】建立平面直角坐标系，求出各点坐标，使用坐标计算、【解答】解：以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，∵BC==、∴cosB===、∴sinB=、∴A〔，〕，B〔0，0〕，C〔，0〕、设D〔a，0〕，那么=〔a﹣，﹣〕，=〔，0〕、∴=a﹣6、∵D是BC边上旳一点〔含端点〕，∴0≤a≤、∴当a=0时，取得最小值﹣6，当a=时，取得最大值1、故【答案】为[﹣6，1]、【三】解答题〔共6小题，总分值80分〕15、函数f〔x〕=2sin﹣4sin2，x∈R、〔1〕求f〔x〕旳最小正周期；〔2〕求f〔x〕旳区间[，]上旳最大值和最小值、【考点】三角函数中旳恒等变换应用；正弦函数旳图象、【分析】〔1〕利用三角函数恒等变换旳应用化简函数【解析】式可得f〔x〕=2sin〔+〕﹣2，依照三角函数周期公式即可求值得解；〔2〕由x∈[，]，可求+∈[，]，利用正弦函数旳图象和性质即可得解、【解答】〔此题总分值为13分〕解：〔1〕∵f〔x〕=2sin﹣4sin2=2sin﹣2〔1﹣cos〕=2〔sin cos+cos sin〕﹣2=2sin〔+〕﹣2、…3分∴f〔x〕旳最小正周期T==6、…5分〔2〕∵x∈[，]，∴+∈[，]，…7分∵f〔x〕在区间[，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，…9分而f〔〕=﹣2，f〔〕=2，f〔〕=﹣，…11分∴f〔x〕旳区间[，]上旳最大值为2﹣2，最小值为﹣、…13分16、在8件获奖作品中，有3件一等奖，有5件二等奖，从这8件作品中任取3件、〔1〕求取出旳3件作品中，一等奖多于二等奖旳概率；〔2〕设X为取出旳3件作品中一等奖旳件数，求随机变量X旳分布列和数学期望、【考点】离散型随机变量旳期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列、【分析】〔1〕设A为事件“取出旳3件产品中，一等奖多于二等奖”，利用互斥事件加法公式能求出取出旳3件作品中，一等奖多于二等奖旳概率、〔2〕随机变量X旳所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应旳概率，由此能求出随机变量X旳分布列和数学期望、【解答】解：〔1〕设A为事件“取出旳3件产品中，一等奖多于二等奖”，依题意，那么有P〔A〕==，∴取出旳3件作品中，一等奖多于二等奖旳概率为、〔2〕随机变量X旳所有可能取值为0，1，2，3，P〔X=0〕==，P〔X=1〕==，P〔X=2〕==，P〔X=3〕==，∴EX==、17、如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA 1=2，AC=1，点M 和N 分别为A 1B 1和BC 旳中点、 〔1〕求证：AC ⊥BM ；〔2〕求证：MN ∥平面ACC 1A 1；〔3〕求二面角M ﹣BN ﹣A 旳余弦值、【考点】二面角旳平面角及求法；直线与平面平行旳判定、 【分析】〔1〕以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC ⊥BM 、 〔2〕推导出=0，由是平面ACC 1A 1旳一个法向量，且MN ⊄平面ACC 1A 1，能证明MN ∥平面ACC 1A 1、 〔3〕求出平面MBN 旳法向量和平面ABN 旳法向量，利用向量法能求出二面角M ﹣BN ﹣A 旳余弦值、【解答】证明：〔1〕由题意知AC 、AB 、AA 1两两垂直，如图，以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 那么A 〔0，0，0〕，B 〔0，2，0〕，C 〔1，0，0〕，M 〔0，1，2〕，∵=〔1，0，0〕，=〔0，﹣1，2〕，∴=0，∴⊥， ∴AC ⊥BM 、〔2〕∵M 〔0，1，2〕，N 〔〕，A 〔0，0，0〕，B 〔0，2，0〕，∴=〔〕，=〔0，2，0〕，∴=0， ∴MN ⊥AB ，∵是平面ACC 1A 1旳一个法向量，且MN ⊄平面ACC 1A 1， ∴MN ∥平面ACC 1A 1、解：〔3〕由〔2〕得=〔〕，=〔0，1，﹣2〕，设平面MBN 旳法向量为=〔x ，y ，z 〕，那么，取z=1，得=〔4，2，1〕，平面ABN 旳法向量=〔0，0，2〕，cos ＜＞===，∵二面角M ﹣BN ﹣A 旳平面角是锐角，∴二面角M ﹣BN ﹣A 旳余弦值为、18、设等差数列{a n }旳前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2+a 4=10、 〔1〕求数列{a n }通项公式；〔2〕假设数列{b n }满足++…+=1﹣，n ∈N *，求数列{b n }旳前n 项和T n 、【考点】数列旳求和；数列递推式、 【分析】〔1〕通过设等差数列{a n }旳公差为d ，利用等差中项及a 2+a 4=10可知a 3=5，通过S 4=4S 2可知4a 3﹣2d=4〔2a 3﹣3d 〕，计算可得d=2，进而计算即得结论；〔2〕通过++…+=1﹣与++…+=1﹣作差，结合〔1〕整理可知b n =〔n ≥2〕，验证当n=1时也成立，进而利用错位相减法计算即得结论、【解答】解：〔1〕设等差数列{a n }旳公差为d ， ∵a 2+a 4=10， ∴a 3==5，∵S 4=4S 2，∴4a 3﹣2d=4〔2a 3﹣3d 〕， 即20﹣2d=4〔10﹣3d 〕，解得：d=2， ∴a n =a 3+2〔n ﹣3〕=2n ﹣1；〔2〕依题意，++…+=1﹣，n ∈N *，当n ≥2时，++…+=1﹣，两式相减得：=〔1﹣〕﹣〔1﹣〕=，由〔1〕可知b n =〔n ≥2〕，又∵b 1=〔1﹣〕a 1=满足上式，∴b n =，n ∈N *，故T n =++…+，T n =++…++，两式相减得：T n =+〔++…+〕﹣=﹣﹣，∴T n =3﹣、19、椭圆C 通过点A 〔2，3〕、B 〔4，0〕，对称轴为坐标轴，焦点F 1、F 2在x 轴上、 〔Ⅰ〕求椭圆C 旳方程；〔Ⅱ〕求∠F 1AF 2旳角平分线所在旳直线l 与椭圆C 旳另一个交点旳坐标、 【考点】椭圆旳简单性质、【分析】〔Ⅰ〕设椭圆C 旳方程为=1，a ＞b ＞0，利用待定系数法能求出椭圆C 旳方程、〔Ⅱ〕直线AF 1旳方程为3x ﹣4y+6=0，求出直线l 旳方程为2x ﹣y ﹣x=0，与椭圆联立，得19x 2﹣16x ﹣44=0，由此利用韦达定理能求出直线l 与椭圆C 旳另一个交点坐标、 【解答】解：〔Ⅰ〕∵椭圆C 通过点A 〔2，3〕、B 〔4，0〕，对称轴为坐标轴，焦点F 1、F 2在x 轴上，∴设椭圆C 旳方程为=1，a ＞b ＞0，那么，解得a 2=16，b 2=12，∴椭圆C 旳方程为、〔Ⅱ〕∵椭圆C 旳方程为，∴F 1〔﹣2，0〕，F 2〔2，0〕，那么直线AF 1旳方程为y=，即3x ﹣4y+6=0，直线AF 2旳方程为x=2，由点A 在椭圆C 上旳位置得直线l 旳斜率为正数，设P 〔x ，y 〕为直线l 上一点，那么=|x ﹣2|，解得2x ﹣y ﹣1=0或x+2y ﹣8=0〔斜率为负，舍〕， ∴直线l 旳方程为2x ﹣y ﹣x=0，由，整理，得19x 2﹣16x ﹣44=0，设直线l 与椭圆C 旳另一个交点为M 〔x 0，y 0〕，那么有，解得，，∴直线l 与椭圆C 旳另一个交点坐标为〔﹣，﹣〕、20、设函数f 〔x 〕=x 3﹣x 2+6x+m 、〔1〕关于x ∈R ，f ′〔x 〕≥a 恒成立，求a 旳最大值；〔2〕假设方程f 〔x 〕=0有且仅有一个实根，求m 旳取值范围；〔3〕当m=2时，假设函数g 〔x 〕=+x ﹣6+2blnx 〔b ≠0〕在[1，2]上单调递减，求实数b 旳最大值、【考点】利用导数研究函数旳单调性；导数旳运算；利用导数求闭区间上函数旳最值、 【分析】〔1〕求出f 〔x 〕旳导数，得到3x 2﹣9x+〔6﹣a 〕≥0恒成立，依照判别式△≤0，求出a 旳范围即可；〔2〕求出f 〔x 〕旳极大值和微小值，从而求出m 旳范围即可；〔3〕求出g 〔x 〕旳导数，问题转化为b ≤﹣x 2在[1，2]恒成立，求出﹣x 2在[1，2]上旳最小值即可、 【解答】解：〔1〕f ′〔x 〕=3x 2﹣9x+6，x ∈R ，f ′〔x 〕≥a 恒成立，即3x 2﹣9x+〔6﹣a 〕≥0恒成立，∴△=81﹣12〔6﹣a 〕≤0，解得：a ≤﹣， ∴a 旳最大值是﹣；〔2〕由f ′〔x 〕=3〔x ﹣1〕〔x ﹣2〕，令f ′〔x 〕＞0，解得：x ＞2或x ＜1，令f ′〔x 〕＜0，解得：1＜x ＜2，∴f 〔x 〕极大值=f 〔1〕=+m ，f 〔x 〕微小值=f 〔2〕=2+m ，故f 〔2〕＞0或f 〔1〕＜0时，方程f 〔x 〕=0仅有1个实数根，∴m 旳范围是〔﹣∞，﹣〕∪〔﹣2，+∞〕；〔3〕∵g 〔x 〕=+x ﹣6+2blnx 〔b ≠0〕， ∴g ′〔x 〕=2x ﹣+，函数g 〔x 〕在[1，2]上单调递减，那么g ′〔x 〕≤0在[1，2]恒成立，从而b ≤﹣x 2在[1，2]恒成立，令h 〔x 〕=﹣x 2，h ′〔x 〕=﹣﹣2x ＜0，∴h 〔x 〕在[1，2]递减，h 〔x 〕min =h 〔2〕=﹣，故b 旳最大值是﹣、2016年7月31日。
2021-2022学年天津市和平区高三(上)期末数学试卷(附详解)
2021-2022学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 设集合A ={x|−1<x ≤1}，B ={−1,0,1,2,3}，则(∁R A)∩B =( )A. {−1,2,3}B. {1,2,3}C. {−1,1,2}D. {−1,1,2,3}2. 已知a ，b ∈R 且a ⋅b ≠0，则“a <b ”是“1a >1b ”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. 函数f(x)=(21+e x −1)cosx(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是( )A.B.C.D.4. 已知a =log 0.51.1，b =1.10.9，c =0.91.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <c <aB. a <c <bC. a <b <cD. c <b <a5. 已知底面边长为1，侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )A.32π3B. 4πC. 2πD. 43π6. 设(12)a =3b =m ，且1a −1b =2，则m =( )A. 6B. 16C. √6D. √667. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点(2,m)到焦点的距离为3，准线为l ，若l 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线所围成的三角形面积为√2，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. √6C. √3D. √628. 将函数f(x)=2sinxcosx +√3cos2x 的图象向右平移π3个单位，得到g(x)的图象，再将g(x)图象上的所有点的横坐标变成原来的12，得到ℎ(x)的图象，则下列说法正确的个数是( )①函数ℎ(x)的最小正周期为2π；②(π3,0)是函数ℎ(x)图象的一个对称中心；③函数ℎ(x)图象的一个对称轴方程为x =5π6；④函数ℎ(x)在区间[−π24,5π24]上单调递增A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知a ∈R ，设函数f(x)={x 2−2ax +2a,x ≤1lnx +1,x >1，若关于x 的方程f(x)=−14x +a恰有两个互异的实数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. (5+2√68,+∞)C. (−∞,0]∪(5+2√68，+∞) D. (−∞,5−2√68)∪(54,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 已知向量a ⃗ =(−1,−2)，向量b ⃗ =(−3,4)，则向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影向量为______． 11. 过点(−1,2)的直线l 被圆x 2+y 2−2x −2y +1=0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为______．12. 设曲线y =e ax 在点(0,1)处的切线与直线x +2y +1=0垂直，则a =______． 13. 已知x ，y ∈R +，4x +5y =1，则1x+3y +13x+2y 的最小值______． 14. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=−1，a n+1=S n S n+1，则S n =______．15. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点M 在线段EF 上，且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x ∈R)，则x = ______ ；若点N 为线段BD 上一动点，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3√15，b −c =2，cosA =−14． (Ⅰ)求a 和sinC 的值； (Ⅱ)求cos(2A +π6)的值．17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAB 为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点． (Ⅰ)求证：PB//平面ACM ；(Ⅱ)求直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值； (Ⅲ)求平面PAC 与平面PAD 夹角的余弦值．18. 已知等比数列{a n }的公比q =2，前3项和是7.等差数列{b n }满足b 1=3，2b 2=a 2+a 4．(Ⅰ)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (Ⅱ)求(ⅰ)∑2(2i−1)b in i=1；(ⅰ)∑a 2i n i=1b 3i+12．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且椭圆上动点P到右焦点最小距离为1．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)点M，N是曲线C上的两点，O是坐标原点，|MN|=2√2，求△MON面积的最大值．20.已知函数f(x)=x−1−alnx(其中a为参数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0,+∞)，都有f(x)≥0成立，求实数a的取值集合；(3)证明：(1+1n )n<e<(1+1n)n+1(其中n∈N∗，e为自然对数的底数)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x|−1<x≤1}，∴∁R A={x|x≤−1或x>1}，又B={−1,0,1,2,3}，∴(∁R A)∩B={x|x≤−1或x>1}∩{−1，0，1，2，3}={−1，2，3}．故选：A．由已知利用补集运算求∁R A，再由交集运算得答案．本题考查交集与补集的混合运算，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由1a >1b得：a−bab<0，则0<a<b或a<b<0或a>0>b，故“a<b”是“1a >1b”的既非充分又非必要条件，故选：D．根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数图象的判断，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．判断f(x)的奇偶性，再根据f(x)在(0,π2)上的函数值的符号得出答案．【解答】解：f(x)=(21+e x −1)cosx=1−e x1+e xcosx，f(−x)=1−e−x1+e−x cos(−x)=e x−1e x+1cosx=−f(x)．∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0<x<π2时，e x>1，cosx>0，∴f(x)=1−e x1+e xcosx<0，排除D，故选：B．4.【答案】B【解析】解：a=log0.51.1<log0.51=0，b=1.10.9>1，0<c=0.91.1<0.90=1，故a<c<b．故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正四棱柱外接球的体积，属于中档题．正四棱柱体对角线恰好是该球的一条直径，得球半径R=1，根据球的体积公式计算即可．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为√2，∴正四棱柱体对角线的长为√1+1+2=2，又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是该球的一条直径，得球半径R=1，则该球的体积V=43πR3=43π.故选：D．6.【答案】D【解析】解：设(12)a =3b =m ，则a =log 12m ，b =log 3m ， ∵1a −1b =2，∴1a −1b =log m 12−log m 3=log m 16=2， ∴m 2=16，解得m =√66．故选：D ．推导出a =log 12m ，b =log 3m ，从而1a −1b =log m 12−log m 3=log m 16=2，由此能求出m 的值．本题考查实数值的求法，考查有理数指数幂、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】C【解析】解：由抛物线的方程可知准线方程为x =−p2， 再由抛物线的性质可知2+P2=3， 解得：p2=1， 所以准线l ：x =−1，双曲线的方程可知渐近线的方程为：y =±ba x ， 联立准线l 与渐近线的方程可得y =±ba ，所以直线l 与两条渐近线所围成的三角形的面积S =12⋅|−1|⋅2b a=ba ，由题意可知ba =√2，所以双曲线的离心率e =c a =√c 2a 2=√1+b 2a 2=√3，故选：C ．由抛物线是点的横坐标及抛物线的性质求出参数p 的值，进而求出抛物线的准线l 的方程，再由双曲线的方程求出渐近线的方程，与准线l 联立求出交点的纵坐标，进而求出三条直线围成的面积，由题意可得a ，b 的关系，求出双曲线的离心率． 本题考查抛物线的性质及双曲线的性质和三角形面积的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=2sinxcosx +√3cos2x =sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)的图象向右平移π3个单位，得到g(x)=2sin(2x −π3)的图象，再将函数g(x)的图象上的所有点的横坐标变成原来的12，得到的函数关系式ℎ(x)=2sin(4x −π3)；对于①函数ℎ(x)的最小正周期为2π4=π2，故①错误；对于②当x =π3时，ℎ(π3)=2sin(4π3−π3)=0，故(π3,0)是函数ℎ(x)图象的一个对称中心，故②正确；对于③令4x −π3=kπ+π2(k ∈Z)，整理得x =kπ4+5π24(k ∈Z)，函数ℎ(x)图象的对称轴方程不为x =5π6，故③错误；对于④由于x ∈[−π24,5π24]，所以4x −π3∈[−π2,π2]，故函数ℎ(x)在区间[−π24,5π24]上单调递增，故④正确． 故选：B ．直接利用三角函数的关系式的变换和函数的图象的平移变换和伸缩变换，进一步利用函数的性质的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了函数的零点与方程根的问题，涉及到分类讨论思想，考查了学生的分析问题的能力与运算能力，属于较难题．假设方程在x >1时无解，得到a ≤54，由此分别讨论a >54,a =54,a <54时根的情况，进而可以求解． 【解答】解：当x >1时，令lnx +1=−14x +a ，则lnx +14x +1−a =0， 因为y =lnx +14x 为增函数，所以当该方程在x >1时无实数根时，14+1−a ≥0，所以a ≤54， ①a >54时，x >1时有一个解，所以x ≤1时，x 2−2ax +2a =−14x +a 有一个解， 即方程x 2+(14−2a)x +a =0有一个解，当x ≤1时，y =x 2+(14−2a)x +a 单调递减，且1+14−2a +a =54−a <0， 所以x ≤1时有一个解，所以a >54时，满足方程f(x)=−14x +a 恰有两个互异的实数解； ②a =54时，lnx +1=−14x +a 在x >1时无解， 但x2−2ax +2a =−14x +a 在x ≤1时只有一个解1，所以a =54时不成立；③a <54时，lnx +1=−14x +a 在x >1时无解，则当x ≤1时，方程x 2−2ax +2a =−14x +a 有两个互异的实数解， 即方程x 2+(14−2a)x +a =0在(−∞,1]上有两个互异的实数解，{ Δ=4a 2−a +116−4a >01+14−2a +a ≥0−14−2a 2<1，解得a <5−2√68， 综上，a 的范围为(−∞,5−2√68)∪(54,+∞)，故选：D ．10.【答案】(35,−45)【解析】解：∵向量a ⃗ =(−1,−2)，向量b ⃗ =(−3,4)， ∴|a ⃗ |=√5，|b ⃗ |=5， 设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则夹角的余弦值为cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=√5×5=−√55，b ⃗ 方向上的单位向量e ⃗ =(−35,45)，所以：a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影向量为|a ⃗ |⋅cosθ⋅e ⃗ =(35,−45)， 故答案为：(35,−45).求出各自的模长以及对应的夹角，再代入投影向量得计算公式求解即可．本题考查平面向量数量积的含义及物理意义，解答本题的关键是熟练掌握投影的概念及公式，属于基础题．11.【答案】−12【解析】解：根据题意，圆x 2+y 2−2x −2y +1=0的标准方程为(x −1)2+(y −1)2=1，其圆心为(1,1)，半径r =1，过点(−1,2)的直线l 被圆x 2+y 2−2x −2y +1=0截得的弦长为2，则直线l 经过圆的圆心，故直线l 的斜率k =1−21−(−1)=−12； 故答案为：−12．根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，结合弦长分析可得直线l 经过圆的圆心，由斜率计算公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析弦长与半径的关系，属于基础题．12.【答案】2【解析】解：∵y =e ax ∴y′=ae ax∴曲线y =e ax 在点(0,1)处的切线方程是y −1=a(x −0)，即ax −y +1=0 ∵直线ax −y +1=0与直线x +2y +1=0垂直 ∴−12a =−1，即a =2． 故答案为：2求出y =e ax 的导数，从而求出切线方程，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可． 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：因为x ，y ∈R +，4x +5y =1，所以1x+3y +13x+2y =(1x+3y +13x+2y )[(x +3y)+(3x +2y)]=2+3x+2y x+3y+x+3y3x+2y ≥2+2√3x+2yx+3y ⋅x+3y 3x+2y =4，当且仅当3x+2yx+3y =x+3y3x+2y 且4x +5y =1，即x =114，y =17时取等号，此时1x+3y +13x+2y 的最小值4． 故答案为：4．利用乘1法进行配凑，然后结合基本不等式即可求解．本题考查了利用基本不等式求解最值，“乘1法”的应用是求解问题的关键．14.【答案】−1n【解析】 【分析】根据a n+1=S n S n+1，可得S n+1−S n =S n S n+1，1S n+1−1S n=−1，再利用等差数列的通项公式即可得出答案．本题考查数列递推关系、等差数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【解答】解：∵a n+1=S n S n+1， ∴S n+1−S n =S n S n+1， ∴1Sn+1−1S n=−1，又1S 1=1a 1=−1，∴数列{1S n}是等差数列，首项为−1，公差为−1．∴1S n=−1−(n −1)=−n ，解得S n =−1n ． 故答案为：−1n ．15.【答案】12 [−3736,13]【解析】解：CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E ，F 分别是以BC ，DC 的一个三等分点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k EF⃗⃗⃗⃗⃗ ， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +k EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +k(EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +k(23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−23k)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(13+23k)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x ∈R)， 所以13+23k =56，解得k =34， 所以x =1−23×34=12， 设DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，x ∈[0,1]， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2cos60°=2， 所以AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(x −12)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(16−x)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅[(x −12)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(16−x)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] =x(x −12)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+[x(16−x)+(1−x)(x −12)]AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)(16−x)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4x 2−103x −13=4(x −512)2−3736，因为x ∈[0,1]，所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−3736,13]， 故答案为：12；[−3736,13].由题意得出E ，F 分别是BC ，DC 的一个三等分点，设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后把AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示可得，再设DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用基底AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后求数量积，再由函数性质得出取值范围．本题考查向量的线性运算，向量的数量积，解题关键是用基底AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示其他向量，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)在三角形ABC 中，由cosA =−14，可得sinA =√154，△ABC 的面积为3√15，可得：12bcsinA =3√15，可得bc=24，又b−c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2−2bccosA，可得a=8，a sinA =csinC，解得sinC=√158；(Ⅱ)cos(2A+π6)=cos2Acosπ6−sin2Asinπ6=√32(2cos2A−1)−12×2sinAcosA=√15−7√316．【解析】(Ⅰ)通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；(Ⅱ)利用两角和的余弦函数化简cos(2A+π6)，然后直接求解即可．本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．17.【答案】(I)证明：连接BD，与AC交于O，在△PBD中，∵O，M分别为BD，PD的中点，∴BP//OM，∵BP⊄平面ADE，OM⊂平面CAM，∴平面CAM．(II)解：连接PE，设E是AB的中点，∵ABCD是正方形，△PAB为正三角形，∴PE⊥AB．又∵面PAB⊥面ABCD，交线为AB，∴PE⊥平面ABCD．过E作，与CD交于F.以E为原点，分别以EB，EF，EP所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系E−xyz，则E(0,0,0)，B(1,0,0)，A(−1,0,0)，P(0,0,√3)，C(1,2,0)，D(−1,2,0)，M(−12,1,√32)∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−√3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,1,√32) 设平面PAD 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −√3z =0n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，令z =1.则x =−√3，得n ⃗ =(−√3,0,1)． 设直线BM 与平面PAD 所成角为α， ∴sinα=|cos〈n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32×1=√32即直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值√32．(III)解：由(2)可知AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，设平面PAC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1−√3z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1+2y 1=0，令z 1=1.则x 1=−√3，y 1=√3，m ⃗⃗⃗ =(−√3,√3,1)．设面PAC 与面PAD 夹角为θ， ∴cosθ=|cos〈n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=2√77 ∴面PAC 与面PAD 夹角的余弦值为2√77．【解析】(1)连接BD 交AC 于O ，进而证明BP//OM ，然后根据线面平行的判定定理证明问题；(2)建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的法向量，进而通过空间向量的夹角公式求得答案；(3)求出平面PAC 的法向量，结合(2)，进而通过空间向量的夹角公式求得答案 本题考查利用空间向量来解决立体几何问题，考查学生的综合能力，属于难题．18.【答案】解：(Ⅰ)∵a 1+a 2+a 3=7，且等比数列{a n }的公比q =2，∴a 1+2a 1+4a 1=7，解得a 1=1， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，∴解得a 2=2，a 4=8，则b 2=5，又b 1=3，∴等差数列{b n }的公差d =2，b n =b 1+2(n −1)=2n +1； (Ⅱ)(i)设数列{2(2n−1)b n}前n 项和为S n ，∵2(2n−1)b n=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，∴S n =(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)=1−12n+1=2n2n+1，∴∑2(2i−1)b in i=1=2n2n+1；(ii)设数列{a 2n b 3n+12}的前n 项和为T n ， a 2n b 3n+12=22n−1[2(3n +12)+1]=12⋅4n ⋅(6n +2)=(3n +1)⋅4n ，∴T n =4×41+7×42+⋅⋅⋅+(3n +1)⋅4n ， 4T n =4×42+7×43+⋅⋅⋅+(3n +1)⋅4n+1，两式做差得：−3T n =16+3(42+43+...+4n )−(3n +1)⋅4n+1 =16+3×42−4n ⋅41−4−(3n +1)⋅4n+1=4n+1−(3n +1)⋅4n+1=−3n ⋅4n+1，∴T n =n ⋅4n+1，即∑a 2i ni=1b 3i+12=n ⋅4n+1．【解析】(Ⅰ)由已知求得a 1=1，即可得到数列{a n }的通项公式，求得a 2，a 4的值，即可求得等差数列{b n }的公差，则b n 可求；(Ⅱ)(i)设数列{2(2n−1)b n}前n 项和为S n ，可得2(2n−1)b n=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，由裂项相消法求得∑2(2i−1)b in i=1；(ii)设数列{a 2n b 3n+12}的前n 项和为T n ，可得a 2n b 3n+12=22n−1[2(3n +12)+1]=12⋅4n ⋅(6n +2)=(3n +1)⋅4n ，再由错位相减法求∑a 2i ni=1b 3i+12． 本题考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了利用裂项相消法与错位相减法求数列的前n 项和，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)依据题意得{e =ca =12a −c =1a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =√3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)①当MN 的斜率不存在时，即直线MN ⊥x 轴， 不妨设M(x 0,√2)，则|x 0|=2√33， 所以S △MON =12|MN|⋅|x 0|=12×2√2×2√33=2√63， ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +m ， {x 24+y 23=1y =kx +m，得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，则△=(8km)2−4(4k 2+3)(4m 2−12)=48(4k 2−m 2+3)>0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，因为|MN|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km 4k 2+3)2−4(4m 2−12)4k 2+3=2√2， 所以，m 2=4k 2+3−(4k 2+3)26(k 2+1)，点O 到直线MN 的距离d =√1+k 2，d 2=m 21+k 2=4k 2+3−(4k 2+3)26(k 2+1)1+k 2=6(4k 2+3)(1+k 2)−(4k 2+3)26(1+k 2)2=24k 4+42k 2+18−16k 4−24k 2−96(1+k 2)2 =8k 4+18k 2+96(1+k 2)2=8(k 2+1)2+2(k 2+1)−16(k 2+1)2=86+13⋅11+k 2−16⋅1(1+k 2)2，令t =k 2+1，(t ≥1)， 令y =43+13⋅1t −16⋅1t 2，y′=−13⋅1t 2+131t 3=13(1t 3−1t 2)=13⋅1−t t 3<0，所以在[1,+∞)上，单调递减， 所以y max =43+13⋅11−16⋅112=32， 所以d max =√32=√62，所以S △MON 最大值=12⋅|MN|⋅d =12⋅2√2⋅√62=√3．【解析】(Ⅰ)依据题意离心率为12，且椭圆上动点P 到右焦点最小距离为1，列方程组，解得a ，b ，即可得出答案．(Ⅱ)分两种情况：①当MN 的斜率不存在时，②当直线MN 的斜率存在时，写出直线MN 的方程，计算△MON 的面积最值，即可．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=x−a x，x ∈(0,+∞)，当a ≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)， 当a >0时，令f′(x)=0，得x =a ， x ∈(0,a)时，f(x)单调递减， x ∈(a,+∞)时，f(x)单调递增；综上：a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，无减区间，当a >0时，f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞)； (2)由(1)得：f(x)极小值=f(a)=a −1−alna ． ∵对任意x ∈(0,+∞)，都有f(x)≥0恒成立， ∴f(x)极小值=f(a)=a −1−alna ≥0． ∴a ≥≥11−lna，解得a =1，∴实数a 的取值集合为{1}．(Ⅱ)证明：设数列a n =(1+1n )n ，数列b n =(1+1n )n+1， 由x →∞lim(1+1x )x =e ，得：n →∞lima n =e ，n →∞limb n =e ，因此只需证数列{a n }单调递增且数列{b n }单调递减， ①证明数列{a n }单调递增： a n =(1+1n )n <(n+2n+1)n+1=a n+1，∴数列{a n }单调递增． ②证明数列{b n }单调递减： b n =(1+1n )n+1=1(n n+1)n+1=1(1−1n+1)n+1(令t =−(n +1)，换元)=(1+1t)t =a t ，由①得a t 关于t 单调递增，而t =−(n +1)关于n 单调递减， 由复合函数的单调性知，{b n }单调递减， ∴(1+1n )n <e <(1+1n )n+1．【解析】(1)求出f′(x)，x ∈(0,+∞)，再讨论a 的取值范围，从而求出其单调区间； (2)求出f(x)极小值=f(a)=a −1−alna.由此求出a ≥11−lna ；(3)设数列a n =(1+1n )n ，数列b n =(1+1n )n+1，由x →∞lim(1+1x)x =e ，得：n →∞lim a n =e ，n →∞limb n =e.由已知条件推导出数列{a n }单调递增且数列{b n }单调递减，由此能证明结论成立．本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造成法、导数和极限性质的合理运用．。
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和平区2017—2018学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷 数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}0,1,2,3,4A =---，{}212B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}4 B ．{}1,2,3--C ．{}0,1,2,3--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---2．“2a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设变量x y 、满足约束条件24,20,20,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为（ ）A ．9B ．5C ．1D ．-54．已知双曲线221412x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（ ）A．33⎛- ⎝⎭ B．( C．,33⎡-⎢⎣⎦D．⎡⎣ 5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为（ ）A ．72B ．90C ．101D ．1106．将函数1sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到图象对应的解析式为（ ）A ．1sin2y x = B ．12sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．1sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，2DF FC =uuu r uu u r，且AE 与BF 相交于点G ，则AG BF ⋅uuu r uu u r的值为（ ）A ．47 B ．47- C ．35 D ．35- 8．已知函数()2,1,25,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若始终存在实数b ，使得函数()()g x f x b =-的零点不唯一，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,4B ．(),2-∞C ．(),4-∞D ．(],4-∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知i 是虚数单位，则复数3i2i-=+ ． 10．62x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为 ．（用数字作答） 11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12．已知0a >，则()()141a a a--的最小值为 ．13．已知函数()f x =，若()4f a =-，则()f a -的值为 ．14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22a bc =. （Ⅰ）若sin sin A C =，求cos A ；（Ⅱ）若cos23A =，6a =，求ABC ∆的面积. 16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34、23、12，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率； （Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 17．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为PC 的中点，E 为AD 的中点，点F 在线段PB 上，4PA AC ==，2BC =.（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若34PF PB =，求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅲ）求PE 与平面ADB 所成角的正弦值.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其中111a b ==，234a b a +=，347a b a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记()()12121n n n c a a a b b b n=++++++L L ，求数列{}n c 的前n 项和n S . 19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆的短轴为直径的圆与直线0x y -=相切.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点F 的弦为AB 、过原点的弦为CD ，若CD AB ∥，求证：2CD AB为定值.20．已知函数()2f x ax x =-，()lng x b x =，且曲线()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）求证：()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立；（Ⅲ）当[)6,n ∈+∞时，求方程()()f x x ng x +=在区间()1,ne 内实根的个数.和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科期末质量调查试卷参考答案一、选择题1-4:CABD 5-8:BDAC二、填空题9．1i - 10．60 11．4233π+ 12．-1 13．4 14．480三、解答题15．解：（Ⅰ）由sin sin A C =及正弦定理，得a c =. ∵22a bc =， ∴2a c b ==.由余弦定理，得222cos 2b c a A bc +-=222244144b b b b +-==.（Ⅱ）由已知22a bc =，6a =，得18bc =.∵在ABC ∆中，2A为锐角，且cos 23A =，∴1sin23A ==.∴1sin 2sincos 2223A A A ==⨯=.由18bc =，sin A =及公式1sin 2S bc A =，∴ABC ∆的面积11829S =⨯⨯=. 16．解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件,,A B C ， 则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC ABC U . ∵ABC 与ABC 互斥，且,,A B C 彼此独立， ∴()()()P ABC ABC P ABC P ABC =+U()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+ 32131134324328=⨯⨯+⨯⨯=. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3211011143224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111211432432P X ==⨯⨯+⨯⨯31114324+⨯⨯=，()1213112432432P X ==⨯⨯+⨯⨯3211143224+⨯⨯=， ()321134324P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为数学期望()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 17．（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥.∵AC BC ⊥，PA AC A =I ，∴BC ⊥平面PAC . ∵AD ⊂平面PAC ， ∴BC AD ⊥.∵PA AC =，D 为PC 的中点， ∴AD PC ⊥. ∵PC BC C =I ， ∴AD ⊥平面PBC .（Ⅱ）证明：依题意，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，如图，以A 为原点，分别以,,CB AC AP uu r uu u r uu u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.可得()0,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,4P ，()0,2,2D ，()0,1,1E ，3,3,12F ⎛⎫⎪⎝⎭. ∵平面ABC 的一个法向量()0,0,4AP =uu u r ，3,2,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r ，∴0AP EF ⋅=uu u r uu u r，即AP EF ⊥.∵EF ⊄平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .（Ⅲ）解：设平面ADB 的法向量为(),,n x y z =r，则0n AD ⋅=r uuu r ，0n AB ⋅=r uu u r .由()0,2,2AD =uuu r ，()2,4,0AB =uu u r ，得220,240,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1z =，得1y =-，2x =，即()2,1,1n =-r.设PE 与平面ADB 所成角为θ，∵()0,1,3PE =-uu r，∴sin cos ,PE nPE n PE nθ⋅==⋅uur ruur r uur r==∴PE 与平面ADB 所成角的正弦值为15. 18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，由111a b ==，得()11n a n d =+-，1n n b q -=，由234a b a +=，347a b a +=，得22q d =，34q d =， ∴2d q ==.∴{}n a 的通项公式21n a n =-，{}n b 的通项公式12n n b -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n a a a n +++=L ，1221nn b b b +++=-L ，故()21212nn n c n n n n=-=⋅-. 则()()21222212nn S n n =⨯+⨯++⋅-+++L L .令231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，① 则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ，②由②-①，得()12322222n n n T n +=⋅-++++L ()1122n n +=-⋅+.∴()()112212n n S n n +=-⋅+-+++=L ()()111222n nn n ++-⋅-+. 19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线0x y -=的距离为b ，则有b ==由12a =，得22443a b ==.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）证明：（1）当直线AB 的斜率不存在时，易求3AB =，CD =则24CD AB=.（2）当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的斜率为k ，依题意0k ≠，则直线AB 的方程为()1y k x =-，直线CD 的方程为y kx =. 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-=， 则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，12AB x =-= ()2212134k k +=+.由22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩整理得221234x k =+，则34x x -=.34CD x =-=∴()()2222248134434121k CD k ABk k ++=⋅=++. 综合（1）（2），24CD AB=为定值.20．解：（Ⅰ）∵()11f a =-，()10g =，()()11f g =， ∴1a =.∵()21f x ax '=-，()bg x x'=， ∴()121f a '=-，()1g b '=. ∵()()11f g ''=，即21a b -=， ∴1b =.（Ⅱ）证明：设()()()()2ln 0u x f x g x x x x x =-=-->，()()()211121x x u x x x x+-'=--=. 令()0u x '=，则有1x =.当x 变化时，()(),u x u x '的变化情况如下表：∴()()10u x u ≥=，即()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立. （Ⅲ）设()()()2ln h x ng x f x x n x x =--=-，其中()1,nx e∈，()22x x n h x x x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=-=-.令()h x '，则有x =当x 变化时，()(),h x h x '的变化情况如下表：∴()ln 1222n n h x h ⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝⎭极大值()3ln310≥->. ()()()22n n n n h e n e n e n e =-=+-，设()x t x x e =-，其中()6,x ∈+∞，则()10xt x e '=-<， ∴()t x 在()6,+∞内单调递减，()()60t x t <<，∴x x e <，故()0n h e <，而()11h =-. 结合函数()h x 的图象，可知()h x 在区间()1,n e 内有两个零点， ∴方程()()f x x ng x +=在区间()1,n e内实根的个数为2.。