三2-1随机变量

例3．（补） 一射手对靶连续不断地进行射击，直 到第一次命中为止，如果每次射击命中 地概率为p，试求所需射击次数X的分布 列。
二 若干常用的离散型分布




1 0－1分布（亦叫二点分布） 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P ｑ ｐ 其中，0<p<1,q＝1－p,则称X服从参数为ｐ的 0－1分布(或二点分布)，记作X～b(1，ｐ)。 实际生活中，若一个随机试验只有结果A与， 则描述这试验的随机变量就服从0－1分布。

(2)指数分布

0 , x 0 随机变量X的概率密度f(x)= x e , x 0
则称X服从参数为λ(λ>0)的指数分布，记 作X～S（λ）。 指数分布也称为“寿命分布”,实践证 明，电子元器件的使用寿命、动物的寿 命及一个系统中一件事发生两次的间隔 时间等都可以应用指数分布来解决。



其中μ,σ为常数,σ>0，则称X服从参数为μ， σ的正态分布， 2 ） 记作X～N（μ，

特别当μ＝0,σ＝1时,正态分布称为标准 正态分布,记为X～N(0,1) 密度函数
( x )

1 2
x
e
x2 2
( x )
分布函数
( x ) 1 2

e
t2 2

5．几何分布 若随机变量X分布列是
P ( X k ) pq

k 1
, ( k 0 ,1,2 , )
其中 0<p<1,q=1-p, 这种分布称为几何分布。

作业 P 315 习题6.1 1，2，3，4
§3 连续型随机变量


一、 连续型随机变量的概念 定义11 若随机变量X的分布函数F(x)可 表示成一个函数f(x)(f(x)≥0)的积分 x t F(x)= f ( t )dt



标准正态下密度函数 ( x ) 的图形具有为 一般正态分布曲线同样的特征，不同之 处在于的曲线图形以Y轴为对称轴。 (1) ( x ) 是偶函数,即 ( x ) ( x ) (2) ( x ) 1 ( x )
一元正态分布的计算与应用 （P185）

0 , 其 它


则称Ｘ服从区间[a,b]上的均匀分布, 记作X～U[a,b]。 均匀分布源于几何概率，乘客候车时 间、时钟走时的误差、近似计算的误差 等均属于均匀分布一类。

例9（补） 设随机变量X在区间[0,5]上服从均匀分 布，求方程 x 2 3 x x 2 0 有实根的概率。
b



例8 （补） 设随机变量X具有密度函数
C f( x) , x 2 1 x

试确定 （1）常数C； （2）X的分布函数F（x）； （3）P（X>1）。
3.2、几种常用的连续型分布

(1)均匀分布 1 ,a x b 随机变量X的概率密度F(x)＝ b a



例5 （补） 某考试有5道选择题，每题共有4个备 选答案，其中只有一个正确。考生完全 凭猜测做题，求该生能猜对题目数的分 布列。

在实际应用中，统计学家发现当独立重 复试数的次数较大，且p又相对较小时， 事件Ａ在ｎ重伯努例试验中发生ｉ次的 概率 i i n i

P（X i) C n p q i ≈
i! e

其中i＝0，1，2, …,n , λ＝np

例 6 （补） 据广告称，某营养口服液每500毫升 中所含的有益菌为100亿个，随机抽取1 毫升，问其中至少含有2亿个有益菌的概 率是多少？



例7 （补） 保险公司里，有2500个同年 龄和同社会阶层的人参加人寿保险，在 一年里每个人死亡的概率为0.002，每个 参加保险的人在一月一日付12元保险费， 而死亡时家属可向公司领2000元，问： （1）“保险公司亏本”的概率是多少？ （2）“保险公司获利不少于10000元和 20000元”的概率各是多少？

例4 （补） 袋内有5个白球，6个红球， 从中摸出两球，记
0 ， 两球全红 X 1 ， 两球非全红



显然 X服从二点分布，其分布列为 X 0 1 P（X=k） 3/11 8/11
2 二项分布

如果随机变量X的分布列为 i i n i P(X＝i)＝ C n p q i=0,1,2, …,n. 其中0<p<1,q＝1－p，则称X服从参数为 ｎ，p的二项分布，记作 X～b(ｎ，ｐ) 显然 ｎ次重复独立的伯贝努利试验中事 件A发生的次数是一个服从二项分布的随 机变量

例3 设随即变量X～U（2，5），现对X的 取值情况进行三次独立观察，求至少有 两次出现X的值大于3的概率。

作业： P315 习题6.1 5，6，7，8
§ 5一元正态分布

如果随机变量X的概率密度
f( x)
e 2
1

( x )
2
2

2
( x )
，
dt( x )
正态分布概率密度的特征 :




(1) 它是一条在轴上方,呈倒钟形的连续 曲线， (2) 曲线关于＝μ对称,且在＝μ处达到最 大值， (3)X的取值与σ的大小有关,σ越小,取值离 μ越近(取值集中);σ越大, 取值离μ越远 (取值分散)， (4) 曲线以轴为渐近线。

例4 公共汽车车门的高度，是按男子与 车门碰头的机会在0.01以下来设计的， 设男子身高X 服从 168cm , 7cm 的正态分布，问车门的高度应如何确定 ？


例5 某地抽样调查，考生的英语成绩（ 按百分制计算，近似服从正态分布）， 平均分数为72分，96分以上的占总数的 2.3%，试求考生的英语成绩在60分到84 分之间的概率。



例10 （补） 考察某母鸡种的优劣，即可以通过考 察其下蛋的时间间隔来解决。据经验， 该种母鸡下蛋的间隔时间X服从参数为 0.05的指数分布。问该种母鸡下蛋时间 间隔不超过24小时的概率是多少？
§ 4 有关概率的计算

连续型随即变量: (P314) 例2 设X ～ E(2) ， 求 P{ -1≤X≤4} ， P{ X＜-3} 以及 P（X≥-10 ）

由定义可知随机变量X具有以下特性： （1） X是由ω唯一确定的， （2） X的取值是随机的， （3） 对任意实数x，事件（X<x）的概 率存在。



例如抛掷一颗骰子，观察出现的函数， 此时样本空间Ω＝{“出现1点”，“出现2 点”，……， “出现6点”}，如果我们 记 1 , 出现1点 2 , 出现2点 ... ... , X= 6 , 出现6点
p
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

i
1

Ck P( X k ) ; ( k 1,2 ,3 , , N ) N

例 1（补） 若
为一分布列，试求出常数C的值。


例2 （补） 盒中有标号为0,1,2,3,4的５个球，从 中任取３球，标号为 x1 , x2 , x3 记X min{ x1 , x2 , x3 } ,试求 （1）X的分布列， （2）*X的分布函数， （3）P(1/2<X<2)


例3 设某射手每次射击击中目标的概率 是0.8，若其连续射击10次，则其命中目 标的次数X是一个随机变量，其取值可能 是0，1，2，3，…，10 。 若将试验改为该射手连续向一目标射击 ，直到命中为止，其射击次数Y也是个随 机变量，其Y取值为1，2，3，…。

例3（P 178） 考察“乘客候车时间”的试验，它有不 可列个结果[0，5），则乘客候车时间X 也是个随机变量，其取值为[0，5）。

作业: P187 习题3.2 1，2，3，4，5，6，7，8
3 *泊松分布

在概率论中表达式 P(X＝i)＝

i
i!

e

(λ>0, i＝0,1,2, …,n，…) 本身就是一个随机变量X的概率分布,称 为泊松分布
4．*超几何分布

一批产品共N件，其中有M件次品，从中 任取n件，以X表示取出的n件中的次品数， 那么它的分布列是 k n k CMCN M P( X k ) , ( k 0 ,1,2 , , nim( M , n )) n CN 这种分布列为超几何分布，
0 1 / 6 1 / 3 F ( x ) P ( x )1 / 2 2 / 3 5 / 6 1
, , , , , , ,
x1 1 x 2 2 x 3 3 x 4, 4 x5 5 x6 x6
§2 离散型随机变量

一 离散型随机变量的概念 定义 2.3 若随机变量X只能取有限个或无限可 列个值,则称X为离散型随机变量。


则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的 概率密度函数，简称概率密度。

由定义知概率密度f(x)具有如下性质： (1) 非负性: 对任意实数x，f(x)≥0 (2) 规范性: f ( x )dx =1


(3) P(a≤X<b)= a f ( x )dx (4)对任意x，F(x)连续，且在f(x)的连续 点x处，有 F'(x)＝f(x) (5)对任意常数a，P（X＝a）＝0
二、分布函数（补）


定义2.2 设ξ是任一随机变量，则对任意 实数ｘ，称函数 F(x)＝P(X<x) 为X的分布函数。 F(x)在点X的取值是随机变量X落在区间 (－∞,x)上,即事件(X<x)的概率.