分式
分式的运算知识点总结
分式的运算知识点总结一、分式的含义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数的比例，通常用a/b表示，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。
分式通常表示成有理数的形式，例如1/2、3/4等。
2. 分式的性质分式有以下性质：（1）分式的分母不可以为0，因为0不能作为除数。
（2）分式可以化简，即约分，将分子与分母的公因数约掉。
（3）分式可以相互转换，即通过乘以相同的数或者分式和分数的换算，可以将分式相互转换。
二、分式的加减法1. 分式的相加分式的相加即将两个分式的分子相加，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 + 1/3 = (1*3+1*2)/(2*3) = 5/6。
2. 分式的相减分式的相减即将两个分式的分子相减，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：2/3 - 1/4 = (2*4-1*3)/(3*4) = 5/12。
三、分式的乘除法1. 分式的相乘分式的相乘即将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 * 2/3 = (1*2)/(2*3) = 2/6 = 1/3。
2. 分式的相除分式的相除即将两个分式的分子相除作为新的分子，分母相除作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：3/4 ÷ 1/2 = (3*2)/(4*1) = 6/4 = 3/2。
四、分式的乘方和括号的运算1. 分式的乘方分式的乘方即将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分子和分母，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2)^2 = 1^2/2^2 = 1/4。
2. 分式的括号运算分式的括号运算即根据括号内的运算顺序进行计算，先乘除后加减，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2 + 1/4) ÷ (1/2 - 1/4) = (2/4 + 1/4) ÷ (2/4 - 1/4) = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 * 2/1 = 3/2。
分式的定义
分式的定义分式是由两个整式构成的比值，它通常写成$\frac{A(x)}{B(x)}$的形式，其中$A(x)$和$B(x)$是两个整式，$B(x)$不等于0。
分子$A(x)$是分式的分子，分母$B(x)$是分式的分母。
分数可以表示为带分数或小数，但分式只能表示为分式形式。
分子和分母都是整式的分式称为代数分式，而分子或分母中含有实数或变量的分式称为含有实数或变量的分式。
分数是初中数学中最简单和最重要的概念之一。
分式的含义是把一个整体分成若干份，并取其中的一份或几份，或者将分子分数与分母分数的比较简单的方法。
分式的定义把两个多项式的表达式用除法来表示，分母是被除数的表达式，分子是除数的表达式。
分式中的分式在代数上的意义是相同的。
例如，$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{6}$表示相同的数值，它们都代表同一个比值。
分式中不能出现分母为0的情况，因为任何数除以0都无法得到一个有意义的结果。
如果分母为0，那么分式就没有定义。
一个分式是简单分式，当分母和分子都为一次多项式时。
一个分式是复杂分式，当分子或分母中至少有一个高于一次的多项式时。
如果一个分子中的每一个项都是分母的因数，则该分式被称为真分式。
如果一个分式的分子是一个多项式，这个多项式可以被分解成独立的因子，每个因子都不是分母的因子，那么这个分式被称为带余式。
分式的基本运算要比整式复杂得多，因为要注意分母不能为零。
对于分式的四则运算来说，最重要的原则是分母化通，即把每个分式的分母化为相同的多项式，这样就能进行加减乘除了。
例如，如果要计算$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$，那么需要把分母化为相同的多项式，最终结果才能以分式的形式表示。
因此，可以将分母通分为$bd$，然后得到等效的分式$\frac{ad+bc}{bd}$。
总之，分式是代数学中一个非常重要的概念，它被广泛应用于各种数学方面，包括高等数学，物理和工程学。
了解分式的基本概念和运算方法是理解更高级数学理论的关键。
分式的知识点
分式是一种有上下两个部分的数字，它们之间用斜线“/”连接，比如2/3。
分式的上面叫做分子，下面叫做分母，分子和分母中可以有数字、字母等。
分式可以用来表示两个数字的比值，比如将一个数字分成几份中的一份等。
如何化简分式？
化简分式是将分式变得更简单，使分子ห้องสมุดไป่ตู้分母没有相同的因子，比如将6/8化简为3/4。
分式在实际生活中的应用：
分式可以用来表示比例，比如你想将一个蛋糕分成3份，那么每份就是1/3。
分式可以用来计算一些实际问题，比如你要购买一个原价是120元，打折后是80元，那么折扣就是80/120，可以化简为2/3。
分式还可以用来计算一些物理量，比如你要计算速度，就是行进的路程除以用的时间。
以上是有关分式的基础知识和应用，希望对你们的学习有所帮助！
化简分式需要找出分子和分母中可以同时除尽的数字，一直重复这个步骤直到不能再化简。
需要注意分母不能为0，否则分式没有意义。
如何进行分式的加减乘除？
分式加减法，需要先将分母变得相同，然后将分子加减后得到新的分子，再把分子和分母化简。
分式乘法，直接将分子相乘，分母相乘，然后化简。
分式除法，将被除数的分子和分母交换位置，然后将分子和分母相乘，再化简。
分式的认识与计算
分式的认识与计算分式是数学中常见的表达形式之一，它由分子和分母组成，分子位于分式的上方，分母位于分式的下方，中间以一条水平线分隔。
本文将从分式的基本概念开始，介绍分式的计算方法以及一些常见的应用场景。
一、基本概念分子和分母：分式的分子表示被除数，分母表示除数。
例如，分式3/4中，3为分子，表示被除数；4为分母，表示除数。
真分数和假分数：当分子小于分母时，分式被称为真分数；当分子大于或等于分母时，分式被称为假分数。
例如，1/2是真分数，3/2是假分数。
带分数：由整数和分数部分组成，整数部分表示整数部分，分数部分表示真分数。
例如，1 1/2是带分数，由整数1和真分数1/2组成。
二、分式的计算方法1. 分式的加减法分式的加减法遵循找到相同的分母，然后将分子进行加减运算的原则。
具体步骤如下：（1）找到相同的分母；（2）将分子进行加减运算；（3）结果的分子作为新分式的分子，分母保持不变。
2. 分式的乘除法分式的乘除法遵循分式乘法和分式除法规则。
具体步骤如下：（1）分式乘法：将分子相乘作为新分式的分子，分母相乘作为新分式的分母；（2）分式除法：将第一个分式的分子与第二个分式的倒数（即分子与分母交换）相乘，作为新分式的分子，将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘，作为新分式的分母。
三、分式的应用场景1. 比例问题分式在比例问题中有着广泛的应用。
例如，若某商品原价为100元，打8折后的售价可表示为100*(1-8/10)。
2. 方程问题分式也常出现在解方程的过程中。
例如，将一个未知数表示为分式形式，然后通过分式的计算方法解方程。
如：2/x = 3/(x+1)，可以通过分式的乘法和化简等步骤来求解。
3. 财务问题分式在财务问题中的运用也十分广泛，如货币换算、利率计算、股票涨跌幅计算等。
例如，假设某股票的涨幅为5%，而你持有的股票数量为500股，可以通过分式计算出涨幅所带来的收益。
四、总结分式是数学中常见的表达形式，广泛应用于实际问题的解决中。
分式分式及其基本性质分式
求解最值问题
通过建立分式方程，可以求解某 些数学问题的最值。
简化计算
分式方程可以用于简化某些计算 ，例如分数计算等。
05
分式的应用
分式在生活中的应用
物理学
分式在物理学中被广泛应用，例如用 于描述物体的运动状态、力的分解和 合成、能量转换等。
工程学
在工程学中，分式用于描述各种物理 量之间的关系，如电阻、电容、电感 等。
分式的乘除法
概念
分式的乘除法是指将两个或多个分式进行乘除运算的过程。
运算法则
分式的乘法是将分式的分子与分子相乘，分母与分母相乘；分式的除法是将除式 的分子与分母相乘，被除式的分子与分子相乘，分母与分母相乘。
分式的混合运算
概念
分式的混合运算是指将加减乘除等运算结合在一起进行计算的过程。
运算法则
混合运算先乘除后加减，有括号的先算括号。
分式在数学中有广泛的应用，如解方 程、求导数、计算面积和体积等等。
02
分式的基本性质
分式的约分
分子和分母同时除以最大公约数，化简为最简分式。
约分可以化简分数，使其更易于比较大小或计算。
分式的通分
01
找到几个分式的最简公分母。
02
将各个分式的分子与最简公分母相乘，得到通分后的分式。
通分可以将几个分式化为同分母分式，便于比较大小或进行运
分式的符号
一个分式可以表示成 a/b 的形式，其中 a 和 b 都是整式，b 不等于 0。
如果 b 是正数，那么分式的值是正数或负数 ；如果 b 是负数，那么分式的值是正数或负
数，具体取决于 a 和 b 的3
分式是一种数学运算的结果，表示两 个整式相除的结果。
分式的值可以是一个具体的数字，也 可以是一个未知数。
分式
分式1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5.任何一个不等于零的数的零次幂等于16.正整数指数幂运算性质正整数指数幂运算性质正整数指数幂运算性质正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：; （3）积的乘方；（4）同底数的幂的除法：；（5）商的乘方；7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． 8.科学记数法：把一个数表示成na10×的形式（其中101<≤a，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是1−n 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 第十七章反比例函数 1.定义：形如y＝xk（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
分式的的概念
分式的的概念分式是数学中的一种表示数值的方式。
其含有两个部分，分子和分母，它们分别表示数字的上部分和下部分。
分数可以表示一个数的部分或部分之间的比例关系。
分式是数学中最基础的概念之一，也是基本的数学运算之一。
首先，我们来看一下分式的基本形式。
一个分式的基本形式为a/b，其中a 是分子，b 是分母。
分子和分母都是整数，且分母不能为零。
例如，1/2、3/4、5/7 都是分式的例子。
分式可以用于表示一个整数的一部分。
例如，1/2 表示一个单位被等分为两份后的其中一份。
同样地，3/4 表示一个单位被等分为四份后的其中三份。
分式也可以表示一个数在整体中的比例关系。
例如，5/7 可以表示一个集合中的物品数量与该集合总物品数量的比例。
分式在数学中的应用非常广泛。
在代数中，我们经常遇到各种各样的分式，例如代数方程中的分式方程。
在几何中，分式可以用于表示一个几何图形的部分或者几何关系的比例。
接下来，我们来看一下分式的运算。
分式可以进行加减乘除等运算。
在分式的加法和减法中，我们首先需要将两个分式的分母取公倍数，然后将分子的部分相加或相减，保持分母不变。
在分式的乘法和除法中，我们分别将分子和分母相乘或相除。
最后，我们还可以对分式进行化简，即将分子和分母约分至最简形式。
例如，4/8 可以化简为1/2，因为两个数都可以被4 整除。
分式可以表示无限循环小数。
无限循环小数是指小数部分有重复的数位，并且这种重复一直不断的情况。
一个无限循环小数可以通过一个带有一个括号的数字表示，括号内的部分是循环的部分。
例如，1/3 可以表示为0.333...，它的循环部分是3。
同样地，1/9 可以表示为0.111...，它的循环部分是1。
分式可以用于解决实际问题。
例如，我们可以使用分式来计算数据之间的比例关系。
假设我们有5 个苹果和3 个橙子，我们可以使用分式5/3 来表示两者数量的比例。
分式还可以用于解决比例问题，例如如果4 个工人需要10 天完成一项任务，那么8 个工人需要多少天完成同样的任务？我们可以使用一个分式来解决这个问题。
分式的认识与运算
分式的认识与运算分式是数学中的一种表达形式，它由分子和分母组成，用分子除以分母表示。
在分式中，分子和分母可以是整数、小数、甚至是其他分式。
分式在数学中具有广泛的应用，特别是在代数、方程式求解以及实际问题中的运用。
一、分式的认识分式的基本形式是a/b，其中a称为分子，b称为分母。
分式可以用来表示实数的比值、比例或部分数额。
例如，10/5表示10和5的比值，即2；3/4表示3的四分之三。
分式也可以表示为小数，比如1/2等于0.5。
分式可以化简为最简形式。
即分子和分母的公因数要被约去，使得分子和分母没有公因数。
例如，4/8可以化简为1/2，16/20可以化简为4/5。
化简分式使其更加简洁明了，方便运算和理解。
二、分式的运算1. 分式的加减运算：两个分式相加减，要求分母相同，可以先找到它们的最小公倍数，然后对分子进行运算，并保持分母不变。
例如，1/3 + 2/3 = 3/3 = 1。
2. 分式的乘法运算：两个分式相乘，直接将它们的分子和分母相乘即可。
例如，1/4 × 3/2 = 3/8。
3. 分式的除法运算：两个分式相除，可以将除法转化为乘法，即将除数的分子和除数的倒数的分子相乘，同时分母作同样的操作。
例如，1/4 ÷ 3/2 = 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6。
在进行分式的运算时，可以先将分式化简为最简形式，然后再进行运算，最后再将结果化简为最简形式，以保证结果的准确性。
三、应用实例1. 比例问题：分式可以用来表示比例关系，例如三个数a、b、c成比例，可以写为a/b = c/d。
通过解方程，可以求出未知数的值。
2. 面积和体积问题：对于一些复杂的几何图形，可以通过设立分式表示其面积或体积与已知量之间的关系。
通过解方程，可以求出未知量的值。
3. 财务问题：分式可以用来描述资金的分配比例、投资收益率等内容。
通过运算，可以帮助实际问题的解决。
总结：分式在数学中起着重要的作用，它可以用来表示比例、比值、部分数额等内容。
分式的知识点
公因式 如32262464=÷÷=(公因式是2) b a b b b ab b ab 33322=÷÷=（公因式是b ）y x y x y x y x y x y x y x y x +-=++-+=+-))(())(()(222最小公倍数=两数的乘积/最大公约（因）数, 解题时要避免和最大公约（因）数问题混淆例子6,9的最小公倍数是6×9÷3=18；4,6的最小公倍数是4×6÷2=12；3，4的最小公倍数是3×4=12 如23，32 通分得693233=⨯⨯，642322=⨯⨯（最小公分母是2×3=6）最小公分母，即分母的最小公倍数 a 3，b 2通分得ab b b a b 33=⨯⨯，aba ab a 22=⨯⨯（最小公分母是a ×b=ab ） d b a 23，mbc 2通分得dm b am md b m a 2233=⨯⨯，dm b cbd bd mb bd c 222=⨯⨯（d mb mb d b 32=⨯,不是最小公分母，d mb 2才是） 22y x x -，2)(y x y -， 注意))((22y x y x y x +-=- ，))(()(2y x y x y x --=-由此可得两式的最小分母是 ))()((y x y x y x +--，即通分得))()(())()(()(2y x y x y x xy x y x y x y x y x x +---=+--- ))()(())()(()(2y x y x y x y xy y x y x y x y x y +--+=+--+ 四、分式的运算1）分式的乘除用到的知识是约分，分式的加减用到的知识是通分 2）分式的加减要通分令分母相同，分子再进行相加减，得出结果后，看能否约分，假如能约分，则需约分，假如不能约分，则不需约分。
分式知识点
分式知识点一、分式定义形如AB，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
二、分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。
三、最简分式一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。
和分数不能化简一样，叫最简分数。
四、最简公分母（1）最简公分母的定义通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（2）一般方法①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里。
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂。
五、分式有、无意义的条件1、分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零。
（2）分式无意义的条件是分母等于零。
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同时大于零。
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。
2、分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。
注意：“分母不为零”这个条件不能少3、分式无意义的条件分式有意义的条件是分母等于零六、分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简。
化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。
分数不能化简一样，叫最简分数。
七、分式的通分与约分通分（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
（2）通分的关键是确定最简公分母。
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数。
分式的知识点
分式的知识点分式是一种特殊的算术运算，它定义为带有两个或多个数字的分子和分母的表达式，符号形式为a/b，其中a是分子，b是分母，如2/3表示2分之3。
分式的含义是由分子和分母决定的，它不仅是基本的算术运算，而且是非常重要的数学概念。
分式知识点包括：一、分式的定义分式是一个带有两个或多个数字的分子和分母的表达式，符号形式为a/b，其中a是分子，b是分母，如2/3表示2分之3。
二、分式的基本运算1. 加法运算两个分式相加时，先将分母相同，然后将分子相加，得到新的分式，如(2/3 + 5/6) = (10/6) 。
2. 减法运算两个分式相减时，先将分母相同，然后将分子相减，得到新的分式，如(2/3 - 5/6) = (-4/6)。
3. 乘法运算两个分式相乘时，先将分母乘以分母，然后将分子乘以分子，得到新的分式，如(2/3 * 5/6) = (10/18)。
4. 除法运算两个分式相除时，先将分子乘以分母，然后将分母乘以分子，得到新的分式，如(2/3 ÷ 5/6) = (12/15)。
三、分式的倒数分式的倒数是将原来的分式分子分母位置对调，得到一个新的分式，符号形式为a'/b'，其中a'是原来分母，b'是原来分子，如2/3 的倒数为3/2。
四、分式的约分分式的约分是将分子和分母都除以分子和分母的最大公约数，得到一个新的分式，符号形式为a'/b'，其中a'是分子的最大公约数，b'是分母的最大公约数，如8/24 约分为1/3。
五、分式的应用分式在日常生活中有广泛的应用，例如在购物时，分式可以帮助我们计算折扣；在烹饪时，分式可以帮助我们计算食材的比例；在几何学中，分式可以帮助我们确定图形的面积和周长等。
分式的运算法则公式
分式的运算法则公式一、分式的加法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的和可以表示为一个新的分式：a/b + c/d = (ad + bc)/bd例如：1/2+2/3=(1*3+2*2)/(2*3)=7/6二、分式的减法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的差可以表示为一个新的分式：a/b - c/d = (ad - bc)/bd例如：2/3-1/4=(2*4-1*3)/(3*4)=5/12三、分式的乘法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的乘积可以表示为一个新的分式：(a/b) * (c/d) = (ac)/(bd)例如：1/2*2/3=(1*2)/(2*3)=1/3四、分式的除法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的除法可以表示为一个新的分式：(a/b)/(c/d)=(a/b)*(d/c)=(a*d)/(b*c)例如：1/2÷2/3=(1/2)*(3/2)=(1*3)/(2*2)=3/4五、带分数的乘积法则公式设a是一个整数，b/c是一个带分数，那么它们的乘积可以表示为一个新的分式：a*(b/c)=(a*b)/c例如：2*(11/2)=(2*3)/2=3设a/b是一个分式，并且a/b不等于0，那么它的倒数可以表示为一个新的分式：1/(a/b)=b/a例如：1/(2/3)=3/2设a/b是一个分式，并且a/b不等于0，那么它的负数可以表示为一个新的分式：-(a/b)=(-a)/b=a/(-b)例如：-(2/3)=(-2)/3=2/(-3)以上就是关于分式的运算法则公式的详细介绍。
通过运用这些公式，我们可以简化分式的运算，更加方便地求解分式的加减乘除问题。
分式分式的基本性质
2023-11-04CATALOGUE目录•分式的定义与概念•分式的基本性质•分式的运算•分式方程•分式的简化与化简•分式在实际生活中的应用01分式的定义与概念分式的定义分子在分式$\frac{A}{B}$中，A叫做分式的分子。
分母在分式$\frac{A}{B}$中，B叫做分式的分母。
定义如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
分式值为0的条件当分母为0，而分子不为0时，分式的值无意义。
分式通分将异分母的分式化为同分母的分式的过程。
分式约分将分子和分母同时除以它们的公因式，将分式化简。
分式的基本概念分式的重要性分式是数学中一个重要的概念，是连接整式与分数的桥梁。
分式的运算是数学中的基本运算之一，掌握好分式的性质和运算法则是学习数学的基础。
02分式的基本性质03约分后结果约分后的结果是分子、分母没有公因式的分式或整式。
分式的约分01约分定义约分是分式的一种恒等变形，其目的是将一个分式化简成最简分式或整式。
02约分步骤首先将分子、分母的公因式提取出来，然后约去分子、分母的公因式。
分式的通分通分定义通分是将几个异分母的分式化为同分母的分式的一种恒等变形。
通分步骤首先确定每个分式的最简公分母，然后将每个分式的分子、分母同时乘以同一个不等于零的整式，化为同分母的分式。
通分后结果通分后的结果是同分母的分式。
分式的相等与不相等分式相等如果两个分式的值相等，那么这两个分式是相等的。
分式不相等如果两个分式的值不相等，那么这两个分式是不相等的。
03分式的运算1分式的加减法23将异分母分式转化为同分母分式，然后进行加减运算。
异分母分式相加减通过通分，将异分母分式转化为同分母分式。
通分分母不变，分子相加减得到结果。
分母不变，分子相加减将分子和分母进行因式分解，找到公因式并约分。
约分将分子和分母同时乘以一个不为零的数或式子，使得分母相同。
通分按照分数的乘除法规则进行计算。
分式的乘除法分式的乘除法按照运算顺序进行先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
分式知识点归纳
《分式》知识点归纳一、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，A为分子，B为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（B≠0）②分式无意义：分母为0（B=0）③分式值为0：分子为0且分母不为0④分式值为正或大于0：分子分母同号?⑤分式值为负或小于0：分子分母异号?⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质（1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
（3）注意：在应用分式的基本性质时，要注意同乘或同除的整式不为O 这个限制条件和隐含条件分母不为0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.3、“两大类三类型”通分“两大类”指的是：一是分母是单项式；二是分母是多项式“两大类”下的“三类型”：“二、三”型，“二，四”型，“四、六”型1）“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是他们的乘积；2）“二，四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母；3）“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母既要有独特的因式，也应包括相同的因式4.通分的方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是分母单项式，那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果分母是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
分式的分解
分式的分解一、分式的定义分式是由两个整数或者代数式构成的表达式，其中一个整数或者代数式在另一个整数或者代数式下面，用横线隔开。
二、分式的形式分式通常写成a/b的形式，其中a和b分别为分子和分母，a和b 都可以是整数、代数式或者混合式。
三、分式的分解分式的分解指的是将一个分式表示的整体化简为多个分式的和或差。
1. 分母的分解当分母为一个多项式时，可以进行分解为多个分式的和或差。
例如，对于分式1/(x+1)，可以进行分解为两个分式：1/x和-1/(x+1)。
2. 分子的分解当分子为一个多项式时，可以进行分解为多个分式的和或差。
例如，对于分式(x+1)/(x+2)，可以进行分解为两个分式：1+1/(x+2)。
3. 分式的拆分当分式的分子和分母都是多项式时，可以进行拆分为多个分式的积或商。
例如，对于分式(x^2+2x+1)/(x+1)，可以进行拆分为两个分式：(x+1)*(x+1)/(x+1)。
四、分式的简化分式的简化是指将一个分式表示的整体化简为最简形式。
1. 化简分数当分子和分母没有公因数时，可以将分数化简为最简形式。
例如，将分数4/8化简为1/2。
2. 化简代数式当分子和分母存在公因式时，可以将代数式因式分解后进行约分，使得分式化简为最简形式。
例如，将分式x^2/(x+1)化简为x/(x+1)。
五、分式的运算分式可以进行加、减、乘、除等运算。
1. 分式的加法和减法对于分式a/b和c/d，可以进行分式的加法和减法运算。
加法运算结果为(a*d+c*b)/(b*d)，减法运算结果为(a*d-c*b)/(b*d)。
2. 分式的乘法对于分式a/b和c/d，可以进行分式的乘法运算。
乘法运算结果为(a*c)/(b*d)。
3. 分式的除法对于分式a/b和c/d，可以进行分式的除法运算。
除法运算结果为(a*d)/(b*c)。
六、分式的应用分式在实际生活和数学中有广泛的应用。
1. 比例问题比例可以用分式表示，例如人口比例可以表示为人口数量的分式。
分式的基本性质
分式的基本性质分式（Fraction）是数学中常常遇到的一种数值表达形式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的部分，而分母表示分割的总共的部分。
例如，分数1/2表示将一个整体分成2个相等的部分，而分数3/4表示将一个整体分成4个相等的部分中的3个部分。
在学习分式的过程中，我们需要了解分式的一些基本性质，以帮助我们更好地理解和应用分式。
1. 分式的定义分式可以用以下形式表示：a / b其中，a和b为整数，且b不等于0。
a称为分式的分子，b称为分式的分母。
分子表示分割的部分，分母表示分割的总共的部分。
2. 分式的化简分式的化简是指将一个分式表示为最简形式的过程。
一个分式被称为是最简的，当且仅当分式的分子和分母没有公因数。
通过化简分式，我们可以更方便地进行运算和比较。
2.1 约分约分是将分子和分母同时除以它们的公因数，以得到最简分式的过程。
约分的步骤如下：1.找出分子和分母的公因数；2.将分子和分母都除以它们的公因数，得到最简分式。
例如，对于分式6/8，我们可以找到2是6和8的一个公因数，所以可以约分为3/4。
2.2 强化约分在某些情况下，为了进一步简化分式，我们可以继续进行约分的操作。
例如，对于分式12/16，我们不仅可以约分为3/4，还可以继续约分为3/8。
这是因为12和16都可以被2整除，所以我们可以连续约分两次。
3. 分式的运算分式有加法、减法、乘法和除法四种基本的运算。
下面将对这四种运算进行详细介绍。
3.1 分式的加法和减法分式的加法和减法的规则是：a/b + c/d = (a * d + b * c) / (b * d)a/b - c/d = (a * d - b * c) / (b * d)其中，a/b和c/d为两个分式，分子表示分割的部分，分母表示分割的总共的部分。
加法运算将两个分式的分子相乘后相加，然后将两个分式的分母相乘。
减法运算将两个分式的分子相乘后相减，然后将两个分式的分母相乘。
分式知识点总结
分式知识点总结分式是小学数学中一个重要的知识点，也是高中数学的基础。
分式的概念和应用广泛，是解决实际问题中常用的方法之一。
本文将从分式的定义、基本性质、运算法则以及应用等方面进行总结。
一、分式的定义分式是两个整数的比，由分子和分母两部分构成。
分子表示被除数，分母表示除数。
通常用a/b的形式表示，其中a为分子，b为分母。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是整数、小数、真分数或假分数，分式可以化简为最简形式。
2. 分式的值与分子和分母的关系密切相关，当分子增大而分母不变时，分式的值增大；当分子减小而分母不变时，分式的值减小。
3. 分式的值可以用图形来表示，例如在数轴上表示为一个点。
三、分式的运算法则1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法归结为求他们的公共分母，将分子相加或相减即可。
例如：a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法和除法：分式的乘法和除法的规则较为简单，直接将分子相乘或相除，分母相乘或相除即可。
例如：(a/b) × (c/d) = ac/bd(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc3. 分式的混合运算：分式的混合运算可以结合加减乘除的运算法则来进行。
在计算过程中，首先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
四、分式的应用分式可以应用于实际问题中，例如在计算比例、百分比、利润和折扣等方面。
1. 比例问题：比例可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到两个量的比值。
例如：甲乙两个人的身高比为3/5，已知甲的身高为150cm，求乙的身高。
2. 百分比问题：百分比可以表示为分式的形式，通过分式可以求解出百分比的具体数值。
例如：某商店举办打折促销活动，原价为120元的商品现在打8折，求折后的价格。
3. 利润和折扣问题：利润和折扣可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到具体的数值。
例如：某商品的进价为180元，利润率为20%，求售价；或者某商店举办折扣促销活动，折扣率为30%，求折后价格。
分式
分式概念总汇1、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
说明：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
例如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。
例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。
2、分式有意义、无意义，分式的值为零的条件（1）分式有意义的条件是分式的分母不为0；（2）分式无意义的条件是分式的分母为零；（3）分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
说明：（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。
如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。
例如在分式中隐含着，即，这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
3、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。
说明：（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必须满足2x+1≠0。
（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。
（3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。
分式的意义和性质
分式的意义和性质分式（Fraction）是指由两个整数表示的有理数，其中，分子（numerator）表示分数的一个部分，分母（denominator）表示分数的另一个部分。
分式通常写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 是分子，$b$ 是分母。
分式的意义和性质在数学中有广泛的应用，如代数、几何、物理等领域。
一、分式的意义：1. 分式表示数的部分：分式能够表示数的部分或部分数量。
例如，$\frac{2}{3}$ 表示一个整体的三分之二，$\frac{7}{8}$ 表示一个整体的八分之七。
2. 分式表示比率：分式可以用来表示比率或比例。
例如，$\frac{5}{6}$ 表示五份中的六份，$\frac{3}{5}$ 表示三个中的五个。
3. 分式表示除法：分式可以看作是一个数除以另一个数的结果。
例如，$\frac{2}{5}$ 可以看作是2除以5的结果。
这种表示方法在计算中特别有用。
4. 分式表示小数：分式也可以表示小数。
例如，$\frac{1}{2}$ 表示小数0.5，$\frac{3}{4}$ 表示小数0.75二、分式的性质：1. 分式的大小比较：对于正的分式，分子越大，分数越大。
例如，$\frac{4}{5}$ 比 $\frac{2}{5}$ 大。
对于正的分式，分母越大，分数越小。
例如，$\frac{2}{3}$ 比 $\frac{2}{5}$ 小。
2. 分式的约分：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的数。
例如，$\frac{2}{4}$ 可以约分为 $\frac{1}{2}$。
约分可以简化计算，并且使得分式更加简洁。
5. 分式的倒数：分式的倒数是指将分子和分母互换位置所得到的新的分式。
例如，$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$。
倒数的意义是将分数的分子与分母的位置对调，可以改变分数的大小关系。
总之，分式作为有理数的一种表示形式，具有很多重要的意义和性质。
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分式总复习及测试一、知识结构：二、知识要点1. 同底数幂的除法法则，单项式除以单项式的运算法则。
2．分式的概念及其基本性质。
3．分式的加、减、乘、除及混合运算。
4．分式方程的解法和应用。
5．零指数幂与负整指数幂。
6．科学记数法。
三、需要注意的几个问题1．在了解分式的概念时，有两点要特别注意：1）形如（A、B为整式）的式子叫分式，这一点与分数的概念类似，但在分式的概念中，B中含有字母，这是与分数概念的根本A B所得的商，因此B的值不能为零，这一点与分数的概念也类似，在分数中，分母不能为零，比较容易理解和掌握，但在分式中容易，掌握就比较困难。
B的值不能为零，在分式概念中是一个要点，这是因为，如果B为零，那么分式就没有意义了。
因此，在学至终注意这个问题。
本性质、分式的约分与通分、分式的四则运算等，都与分数相应内容类似，对比着学习是有益的。
因此，如对分数的有关内容有所遗复习。
一元一次方程的分式方程的步骤，与解一元一次方程的步骤相似。
实际上多了两步。
第一步是在方程的两边都乘以最简公分母，约去解整式方程。
由于多了第一步，所以最后一步应有检验，把所得结果代入最简公分母，看是不是零，使最简公分母为零的根是原方程去。
4．与原教材比较：本章实际上是“整式的除法”与“分式”两部分内容的整合，这样做更符合人的认知规律，便于理解和掌握。
5．学习时注意类比思想和整体思想的运用。
四、例题讲解：例1、计算(1)a5÷a2；(2)(-x)3÷(-x)；(3)(xy)8÷(xy)6 (4)b2n+3÷b2n分析：同底数幂的除法，底数不变，指数相减。
解：(1)a5÷a2=a5-2=a3(2)(-x)3÷(-x)=(-x)3-1=(-x)2=x2(3)(xy)8÷(xy)6=(xy)8-6=(xy)2=x2y2(4)b2n+3÷b2n=b2n+3-2n=b3例2、计算：(1)a m+4÷(-a)4(2)(-x)2n+1÷x2n+1分析：先化成同底，再用同底数幂的除法法则进行运算。
解：(1)a m+4÷(-a)4=a m+4÷a4=a m+4-4=a m(2)(-x)2n+1÷x2n+1=-x2n+1÷x2n+1=-x2n+1-2n-1=-1例3、计算：(1)(x-y)3÷(y-x)2(2)(x+y)m+2n·(x+y)m+n÷(x+y)2分析：把x-y，x+y分别看作一个整体，这两道题是同底数幂的乘法，除法。
解：(1)(x-y)3÷(y-x)2=(x-y)3÷(x-y)2=(x-y)3-2=x-y(2)(x+y)m+2n·(x+y)m+n÷(x+y)2=(x+y)m+m+2n+n÷(x+y)2=(x+y)2m+3n÷(x+y)2=(x+y)2m+3n-2例4、(1)当x______时，(x-3)-2没有意义；(2)当x______时，(x-3)0有意义；(3)当x______时，(x+2)3÷(x+3)2有意义。
分析：根据规定a0和a-p(p是正整数)的底数不为零。
所以x-3=0时，(x-3)0就没意义，(x-3)-2也没意义。
根据除法性质可知x+3不能为答案：(1)x=3；(2)x≠3；(3)x≠-3。
例5、计算．(1)252m÷52m-1(2)-y3n+1÷y n-1(3)(-ab)5÷(-ab)(4)[(2x+3y2)2]3÷(2x+3y2)4解：(1)252m÷52m-1=(52)2m÷52m-1=54m÷52m-1=54m-(2m-1)=54m-(2m-1)=52m+1(2)-y3n+1÷y n-1=-y3n+1-(n-1)=-y3n+1-(n-1)=-y2n+2(3)(-ab)5÷(-ab)=(-ab)5-1=(-ab)4=a4b4(4)[(2x+3y2)2]3÷(2x+3y2)4=(2x+3y2)6÷(2x+3y2)4=(2x+3y2)6-4=(2x+3y2)2=4x2+12xy2+9y4数是多项式，在同底数幂相除指数相减时，除式的指数必须加括号，然后再用去括号法则完成运算。
如题(1)、(2)中的52m-1和y n-1.②当特别看清负号是属于底数如题(3)中(-ab)，还是不属于底数如题(2)中-y3n+1,并处理好负号。
③幂相除一定要强调同底，如题(1)中为不同除才能应用法则。
④当计算至最后底数是多项式的平方，应该应用完全平方公式加以展开，如题(4)。
⑤在同底数幂相除中，所有在底母都必须保证底数不能为零。
例6、计算：(1)4-2(2)(-3)-3（3）分析：此例题是负整指数幂的运算，按a-p=(p是正整数，a 0)计算解：（1）4-2= =（2）(-3)-3==-（3）（- ）-2== =例7、用科学计数法表示下列各数：(1)0.0000896(2)-0.0000001解：(1)0.0000896=8.96×0.00001=8.96×10-5(2)-0.0000001=-1×0.0000001=-1×10-7说明：用科学记数法表示绝对值较小的数时，10的幂指数是负数，不能丢掉负号。
例8、计算：(1)45a4b3÷9a2b2(2)-4x2y4m÷20x2y分析：此例题是单项式除以单项式，按照单项式除以单项式的法则计算就可以了。
解：(1)45a4b3÷9a2b2= a b3-2=5a2b(2)-4x2y4m÷20x2y=-x2-2y4-1m=- y3m例9、计算(1)(2.2×1011)÷(4.4×109)，(2)36x4y3z÷(5x2y)2.解：(1)(2.2×1011)÷(4.4×109)= =1011-9=102=50(2)36x4y3z÷(5x2y)2=36x4y3z25x4y2= yz计算最后一定要算出值，如果求用科学记数法表示，则必须写成科学记数法的形式。
若没有要求，在计算结果较大或很小时可用科学例10、计算(1)(-3.6×1010)÷(-2×102)2÷(3×102)2(2)15(2a-3b)4(3a+2b)6÷[3(3a+2b)2(3b-2a)]3解：(1)(-3.6×1010)÷(-2×102)2÷(3×102)2=(-3.6×1010)÷(4×104)÷(9×104)=-0.9×106÷(9×104)=-0.1×102=-10(2)15(2a-3b)4(3a+2b)6÷[3(3a+2b)2(3b-2a)]3=15(2a-3b)4(3a+2b)6÷[27(3a+2b)6(3b-2a)3]=15(2a-3b)4(3a+2b)6÷[-27(2a-3b)3(3a+2b)6]=- (2a-3b)=-a+ b说明：①在有乘方、乘除综合运算中，先乘方然后从左到右按顺序相乘除。
②当除式的系数是负数时，一定要加上括号。
例11、计算(14a3b2-21ab2)÷7ab2解：原式=14a3b2÷7ab2-21ab2÷7ab2=2a2-3例12：计算解：= = =点评：分式乘除法的运算，一般可按以下步骤进行：第一步：将每个分子和分母分别按某一未知数的升幂（或降幂）排列，并将除法转化为乘法。
第二步：分别将每个分子和分母进行因式分解。
（对于简单问题，可将第一步和第二步并作一步进行）第三步：约分并整理。
遇有括号，应按去括号法则进行计算。
例13：通分：，分析：通分的一般步骤是：第一步：将每个分母按某同一未知数的降幂（或升幂）排列，并分解因式；第二步：求出分母的最简公分母（即各分母的最小公倍式）；第三步：对每个分式进行恒等变形使所有分式的分母都变成最简公分母。
解：因为最简公分母式：6(a+1)(a-1),所以=== =例14：计算+分析：同分母分式加减法的法则是：分母不变，分子相加减，并将结果化简。
解：原式=- = =1点评：x-1与1-x虽不相等，但经过调整后，很容易化为同分母（注意符号）例15：解方程=1-方程的指导思想是将分式方程转化为整式方程，转化的主要途径是去分母。
需要注意的是，转化后的整式方程与原分式方程不一定是，方程两边要同乘以各分母的最简公分母，这样，解出的整式方程的根若使最简公分母不为零，则此根也就是原分式方程的根，若使是原分式方程的根，而是它的增根，故解分式方程时一定要检验，可将变形后的整式方程的根代入所乘的最简公分母，视其结果是否则是增根，应舍去。
解：两边都乘以x2-1，得(x+1)(x-3)=x2-1+4解这个整式方程，得x2-2x-3=x2+3x=-3检验：把x=-3代入x2-1，得x2-1=8≠0，所以原分式方程的根为x=-3。
点评：在去分母时，对于原方程中的整式项，千万不要漏乘，如方程中右边的1，在去分母时，也要乘x2-1。
例16、轮船顺水航行66千米，与逆水航行48千米所用时间相同，已知轮船在静水中的速度是每小时19千米，求水流速度。
分析：顺流速度=静水中速度+水流速度，逆流速度=静水中速度-水流速度。
解：设水流速度为x千米/小时，则轮船的顺水速度为(19+x)千米/小时，逆水速度为(19-x)千米/小时。
依题意，得=解这个方程8(19+x)=11(19-x)，19x=(11-8)×19，所以x=3。
经检验x=3是所列方程的解，也符合题意。
答：水流速度为3千米/小时。
五、本章练习及答案：一、填空题1.（a3÷a4）3=______2.（-a3·a4）3=______3.（-a3÷a4）2=______4.如果把分式中的x和y的值都扩大4倍，则分式的值___________5.如果=0，则a=____________6．如果（x+1）2+（y-2）2=0，那么（x-1）2÷（y+2）2= ______二、选择题（单选）1．下列计算中正确的是[]A．x n+2÷x n+1=x2B．（xy）5÷xy3=（xy）2C．x10÷（x4÷x2）=x8D．（x4n÷x2n）·x3n=x3n+22．下列运算中，正确的是[]（1）（a3）2·a4÷a5=a2（2）（x-y）2= x2- xy+y2（3）（x4+64）÷（x2+4x+8）=x2-4x+8（4）（0.5）1998×21999=2A．（4）B．（2）（4）C．（1）（3）D．（3）（4）3．用科学记数法表示0.0000271应为[]A．2.71×10-4B．2.71×10-5C．2.71×106D．2.71×1034.代数式x2-+1是[]A．二次三项式B．多项式C．整式D．分式5.分式化简后，得[]A．2x+y B．－2x+y C．2x－y D．－2x－y6．已知- = ，则a、b的值是[]A．a=1，b=-1B．a=2，b=5C．a=－1，b=1D．a=2，b=－5三、判断下列计算及语句是否正确。