专题训练(三) 平行四边形中的动态问题

专题训练(三) 平行四边形中的动态问题
班别姓名
（教材P68习题第13题的变式与应用）
【原题】(人教版八年级下册教材第68页第13题)
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s 的速度向点D移动．
(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD?
(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．
3．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．
(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
(1)作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；
(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
备用图
5．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；
(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的
长；若不可能，请说明理由．
参考答案
【例】 (人教版八年级下册教材第68页第13题)
如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，AD ＝24 cm ，BC ＝26 cm .点P 从点A 出发，以1 cm /s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3 cm /s 的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ ＝CD ，分别需经过多少时间？为什么？
【解答】①设经过t s 时，四边形PQCD 是平行四边形，
∵AP ＝t ，CQ ＝3t ，DP ＝24－t ，
∴DP ＝CQ.∴24－t ＝3t.
∴t ＝6，即经过6s 时，四边形PQCD 是平行四边形，此时PQ∥CD，且PQ ＝CD. ②设经过t s 时，PQ ＝CD ，即四边形PQCD 是等腰梯形，
∵AP ＝t ，BQ ＝26－3t ，
∴t ＝26－3t ＋2，t ＝7.
综上所述当t ＝6 s 或7 s 时，PQ ＝CD.
【方法归纳】 根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解．
1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝16，点E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．求当运动时间t 为多少秒时，以点P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形．
解：由题意可知，AP ＝t ，CQ ＝2t ，CE ＝12BC ＝8.∵AD ∥BC ，∴当PD ＝EQ 时，以点P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形
是平行四边形．
当2t ＜8，即t ＜4时，点Q 在C 、E 之间，如图甲．
此时，PD ＝AD －AP ＝6－t ，EQ ＝CE －CQ ＝8－2t ，
由6－t ＝8－2t 得t ＝2.
当8<2t<16，且t<6，即4<t<6时，点Q 在B 、E 之间，如图乙．此时，PD ＝AD －AP ＝6－t ，EQ ＝CQ －CE ＝2t －8，由6－t ＝2t －8得t ＝143
. ∴当运动时间为2s 或143
s 时，以点P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形．
图甲图乙
2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s 的速度向点D移动．
(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD?
(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．解：(1)设P，Q两点从出发开始到第x秒时，PQ∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AP∥DQ.
∵PQ∥AD，
∴四边形APQD是平行四边形．
∴AP＝DQ.
∴3x＝25－2x.解得x＝5.
答：P，Q两点从出发开始到第5秒时，PQ∥AD.
(2)设P，Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米，
∵BP＝25－3a，CQ＝2a，
∴根据梯形面积公式得：
1
(25－3a＋2a)·8＝84.解得a＝4.
2
答：P，Q两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．
3．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．
(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．
解：(1)当t＝7秒时，四边形BPDQ为矩形．
理由如下：当t＝7秒时，PA＝QC＝7，
∵AC＝6，
∴CP＝AQ＝1.
∴PQ＝BD＝8.
∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝8，AC＝6，
∴AO＝CO＝3.
∴BO＝DO＝4.
∴OQ＝OP＝4.
∴四边形BPDQ为平形四边形．
∵PQ＝BD＝8，
∴四边形BPDQ为矩形．
(2)由(1)得BO＝4，CQ＝7，
∵BC⊥AC，
∴∠BCA＝90°.
∴BC2＋CQ2＝BQ2.
∴BQ＝56＝214.
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
(1)作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；
(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQRA是矩形？
(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．
备用图
解：(2)如图1，由题意得：AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t.
要使四边形PQBA是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC即AP∥BP，只需满足AP＝BQ即t＝18－2t，解得t＝6，因此，当t＝6秒时，四边形PQBA是矩形．
(3)不存在，理由：
如图2，要使四边形PQCD是平行四边形，已有AD∥BC即DP∥CQ，
只需满足DP＝CQ即12－t＝2t，
∴t＝4时，四边形PQCD是平行四边形，
但DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，
∴按已经速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形．
5．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝4，CD ＝10，P 是AB 上一动点，M 、N 、E 分别是PD 、PC 、CD 的中点．
(1)求证：四边形PMEN 是平行四边形；
(2)请直接写出当AP 为何值时，四边形PMEN 是菱形；
(3)四边形PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．
解：(1)∵M、N 、E 分别是PD 、PC 、CD 的中点，
∴ME 是PC 的中位线，NE 是PD 的中位线．
∴ME ∥PC ，EN ∥PD.
∴四边形PMEN 是平行四边形．
(2)当AP ＝5时，
在Rt △PAD 和Rt △PBC 中，⎩⎨⎧AP ＝BP ，∠A ＝∠B，AD ＝BC ，
∴△PAD ≌△PBC(SAS )．
∴PD ＝PC.
∵M 、N 、E 分别是PD 、PC 、CD 的中点，
∴NE ＝PM ＝12PD ，ME ＝PN ＝1
2PC.
∴PM ＝ME ＝EN ＝PN.
∴四边形PMEN 是菱形．
(3)四边形PMEN 可能是矩形．
若四边形PMEN 是矩形，则∠DPC＝90°.
设PA ＝x ，PB ＝10－x ，
则DP ＝42＋x 2，CP ＝42＋（10－x ）2.
∵DP 2＋CP 2＝DC 2，
即16＋x 2＋16＋(10－x)2＝102，
∴x 2－10x ＋16＝0.
解得x ＝2或x ＝8.
故当AP ＝2或AP ＝8时，四边形PMEN 是矩形．。