专题训练(三) 平行四边形中的动态问题

专题训练(三) 平行四边形中的动态问题

班别姓名

（教材P68习题第13题的变式与应用）

【原题】(人教版八年级下册教材第68页第13题)

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．

2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s 的速度向点D移动．

(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD?

(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．

3．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．

(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？

(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．

(1)作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；

(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？

(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

备用图

5．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．

(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；

(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；

(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的

长；若不可能，请说明理由．

参考答案

【例】 (人教版八年级下册教材第68页第13题)

如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，AD ＝24 cm ，BC ＝26 cm .点P 从点A 出发，以1 cm /s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3 cm /s 的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ ＝CD ，分别需经过多少时间？为什么？

【解答】①设经过t s 时，四边形PQCD 是平行四边形，

∵AP ＝t ，CQ ＝3t ，DP ＝24－t ，

∴DP ＝CQ.∴24－t ＝3t.

∴t ＝6，即经过6s 时，四边形PQCD 是平行四边形，此时PQ∥CD，且PQ ＝CD. ②设经过t s 时，PQ ＝CD ，即四边形PQCD 是等腰梯形，

∵AP ＝t ，BQ ＝26－3t ，

∴t ＝26－3t ＋2，t ＝7.

综上所述当t ＝6 s 或7 s 时，PQ ＝CD.

【方法归纳】 根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解．

1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝16，点E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．求当运动时间t 为多少秒时，以点P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形．

解：由题意可知，AP ＝t ，CQ ＝2t ，CE ＝12BC ＝8.∵AD ∥BC ，∴当PD ＝EQ 时，以点P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形

是平行四边形．

当2t ＜8，即t ＜4时，点Q 在C 、E 之间，如图甲．

此时，PD ＝AD －AP ＝6－t ，EQ ＝CE －CQ ＝8－2t ，

由6－t ＝8－2t 得t ＝2.

当8<2t<16，且t<6，即4

. ∴当运动时间为2s 或143

s 时，以点P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形．

图甲图乙

2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s 的速度向点D移动．

(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD?

(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．解：(1)设P，Q两点从出发开始到第x秒时，PQ∥AD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，即AP∥DQ.

∵PQ∥AD，

∴四边形APQD是平行四边形．

∴AP＝DQ.

∴3x＝25－2x.解得x＝5.

答：P，Q两点从出发开始到第5秒时，PQ∥AD.

(2)设P，Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米，

∵BP＝25－3a，CQ＝2a，

∴根据梯形面积公式得：

1

(25－3a＋2a)·8＝84.解得a＝4.

2

答：P，Q两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．

3．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．

(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？

(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．

解：(1)当t＝7秒时，四边形BPDQ为矩形．

理由如下：当t＝7秒时，PA＝QC＝7，

∵AC＝6，

∴CP＝AQ＝1.

∴PQ＝BD＝8.

∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝8，AC＝6，

∴AO＝CO＝3.

∴BO＝DO＝4.

∴OQ＝OP＝4.

∴四边形BPDQ为平形四边形．

∵PQ＝BD＝8，

∴四边形BPDQ为矩形．

(2)由(1)得BO＝4，CQ＝7，

∵BC⊥AC，

∴∠BCA＝90°.

∴BC2＋CQ2＝BQ2.

∴BQ＝56＝214.