九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第1课时相似三角形及相似三角形判定的预备定理同步练习
沪科版-数学-九年级上册-22.2 相似三角形的判定教案
22.2 相似三角形的判定第1课时相似三角形及相似三角形的判定1┃教学过程设计┃5.怎样判定两个三角形相似？问题2：如图,在△ABC中,D为AB上任意一点,作DE∥BC,交边AC于E,△ADE与△ABC相似吗？思考：若DE平行于BC,那么△ABC与△AED相似吗？提问学生怎样判定两个三角形相似.1.什么样的两个三角形相似？2.怎样说明对应角相等？对应边长度的比相等？可指导学生通过度量,判断对应角是否相等,对应边长度的比是否相等.归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.问题3：观察一下,如图△ABC与△EDF相似吗？为什么？这两个三角形相似,已知条件与边有关吗？教师引导学生思考,并让学生合作讨论.学生讨论,得出：(1)只满足一对角相等不能判定两个三角形相似；(2)如果两个三角形中有两对角对应相等,那么这两个三角形相似.用实验的方法得到结论.相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.探索三角形相似的条件.三、运用新知,解决问题(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？(2)顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？进一步巩固所学知识.四、课堂小结,提炼观点本节课你学到了什么？(1)相似三角形的有关概念.(2)平行线截三角形相似.(3)相似三角形的判定定理1.加强教学反思,帮助学生系统整理知识.五、布置作业,巩固提升(1)教材78页和79页练习.(2)写出图中的相似三角形.加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】相似三角形及相似三角形的判定1相似三角形：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似判定1：两角分别相等的两个三角形相似.┃教学整体设计┃第2课时相似三角形的判定2、3【教学目标】1.会说出识别两个三角形相似的方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.2.能依据条件,灵活运用三种识别方法正确判断两个三角形相似.【重点难点】重点：用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似.难点：综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、复习回顾,导入新课1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；(2)两角分别相等的两个三角形相似.2.上节学的“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理是怎样得出的？二、师生互动,探究新知两边成比例且夹角相等的两个三角形相似吗？(1)如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC上的三等分点(即AD＝13AB,AE＝13AC),那么△ADE与△ABC相似吗？你用的是哪一种方法？(2)思考：通过量角或量线段计算之后,可以得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看,△ADE与△ABC有一对对应角相等,即∠A＝∠A(是公共角),而另一个条件是AD＝13AB,AE＝13AC,即ADAB＝13,AEAC＝13,因此ADAB＝AEAC.如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似吗？(3)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简单地说：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.教师归纳强调：对应相等的角必须是成比例的边的夹角,如果不是夹角,它们不一定会相似.(4)判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.学生在作业本上证明,教师适时给予指导.三、运用新知,解决问题如图,△ABC中,D、E是AB、AC上的点,AB＝7.8,AD＝3,AC＝6,CE＝2.1,试判断△ADE与△ABC是否相似,小张同学的判断理由是是这样的：解：因为AC＝AE＋CE,而AC＝6,CE＝2.1,故AE＝6－2.1＝3.9.由于ADAB≠AEAC,所以△ADE与△ABC不相似.你同意小张同学的判断吗？请你说说理由.四、课堂小结,提炼观点本节课你有什么收获？五、布置作业,巩固提升教材第82页练习第2、3、4题.┃教学小结┃【板书设计】相似三角形的判定2、3判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.┃教学整体设计┃第3课时直角三角形的相似【教学目标】1.使学生了解直角三角形相似定理的证2.通过了解定理的证明方法,培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.【重点难点】┃教学过程设计┃相似.三、运用新知,解决问题(1)在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,若BD＝3.6 cm,BC∶AC＝3∶4,则BC长为()A.4 cmB.5.6 cmC.6 cmD.7.2 cm(2)如图,已知：△ABC内接正方形DGFE,AH⊥BC于H,AH＝5 cm,AD∶BD＝2∶3.求BC的长.通过练习进一步加深对定理的理解,同时培养了学生的应用意识和能力.四、课堂小结,提炼观点(1)通过本节课的学习,你有哪些收获？还有什么疑惑？说给老师、同学听听.(2)教师与同学聆听部分同学的收获.加强教学反思,帮助学生养成系统整理知识的习惯.五、布置作业,巩固提升教材第84页练习1、2、3、4题.加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】直角三角形的相似定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.。
第22章 22.2.5 直角三角形相似的判定定理
自我诊断 2. 已知：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C直角三角形相似的条件为( D )
A．∠A＝∠A′
B.A′ACC′＝B′BCC′
C.AACB＝AA′ ′CB′ ′
D.AACB＝AB′′CC′′
易错点 2: 忽略“在直角三角形中”这一条件，导致错误．
自我诊断 3. 如图，△ABC 中，CD⊥AB，垂足为 D.下列条件中，①∠A＋ ∠B＝90°； ②AB2＝AC2＋BC2；③ABCC ＝CBDD；④CD2＝AD·BD，能证明△ ABC 是直角三角形的有( C )
11．如图，P 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过 P 点作直线 截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有
3 条．
12．如图，已知 AD 为△ABC 中 BC 边上的高，且CADD＝12，AC＝ 5，AB＝ 2 5，求证：△ACD∽△BAD.
证明：∵AD 是 BC 边上的高，∴∠ADC＝∠BDA＝90°.∵AC＝ 5，AB＝ 2 5，∴AACB＝12.又∵CADD＝12，∴AACB＝CADD.Rt△ACD∽Rt△BAD.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 8:13:46 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/32021/9/32021/9/3Sep-213-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/32021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021
沪科版九年级数学上册《相似形》22.2.2利用角的关系判定两个三角形相似
*8.【2019·海南】如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB
＝5，BC＝4.点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQ
∥AB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD
平分∠ABC 时，AP 的长度为( )
8 A.13 C.2153
15 B.13 D.3123
阶段核心方法专训
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
BC＝AC， 在△ BCE 和△ ACD 中，∠BCE＝∠ACD，
CE＝CD， ∴△BCE≌△ACD，∴AD＝BE.
整合方法
(2)求证：△ABF∽△ADB.
解：由(1)知，△BCE≌△ACD， ∴∠CBE＝∠CAD. ∵∠BMC＝∠AMF， ∴∠AFB＝∠ACB＝60°＝∠ABD. 又∵∠BAF＝∠DAB， ∴△ABF∽△ADB.
1．如图所示的三个三角形中，相似的是( A )
A．①和② C．①和③
B．②和③ D．①②和③
阶段核心方法专训
2．【2019·玉林】如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC， EF与AC交于点G，则相似三角形共有( C ) A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
阶段核心方法专训
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于 点D，下列结论：
点 E，交 CB 于点 F.若 AC＝3，AB＝5，则 CE
的长为( A )
3
沪科9年级数学上册第22章 相似形2 相似三角形的判定
感悟新知
知3－练
例4 如图 22.2-9，△ ABC 是等边三角形，点 D， E 分别 在CB， AC 的延长线上，∠ ADE=60°． 求证：△ ABD ∽△ DCE.
感悟新知
解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相 似”找到两组角对应相等即可．
证明： ∵∠ ABC= ∠ ACB=60°， ∴∠ ABD= ∠ DCE=120°． ∵∠ ADB+ ∠ DAB= ∠ ABC=60°， ∠ ADB+ ∠ EDC= ∠ ADE=60°， ∴∠ DAB= ∠ EDC．∴△ ABD ∽△ DCE．
A.3 C. 125或 4
B.
25 4
D.4
或
25 4
感悟新知
解题秘方：先利用勾股定理求出 BC 的长，再分 类讨论 . 根据 “两角分别相等的两个 三角形相似”和“相似三角形的对应 边成比例”计算．
知3－练
感悟新知
知3－练
解：∵∠ BAC=90°， AB ＝ 6， AC=8，∴ BC=
62+82=10. 当∠ EDC=90°时，∠ EDC= ∠ A. 又∵∠ DCE= ∠ ACB，∴△ CDE ∽△ CAB，
知1－练
(1) 求∠ AED和∠ ADE的度数；
解：∵∠BAC＝45°，∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝95°. ∵△ABC∽△ADE， ∴∠AED＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠ABC＝95°.
感悟新知
(2)求 DE 的长． 解：∵△ABC∽△ADE， ∴DBCE＝AAEC＝505＋030＝58. 又∵BC＝70 cm，∴DE＝43.75 cm.
5-1.如图， 在 △ ABC中，按如下步骤作图：
知3－练
(1) 以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 于点 D；
2022九年级数学上册 第22章 相似形22.2 相似三角形的判定第2课时 相似三角形的判定定理1
5 即3 2
AC 3
AC
，∴AC＝
5 2
.
BA
12．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿 AB边向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s 的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，以P，Q，B 为顶点的三角形与△ABC相似？
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2022/5/62022/5/6Friday, May 06, 2022
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2022/5/62022/5/62022/5/65/6/2022 9:04:01 AM
11、人总是珍惜为得到。2022/5/62022/5/62022/5/6M ay-226-May-22
解：△BCD∽△BAC.理由如下：∵BD＝ 4 ，AB
4
3
＝3，BC＝2，∴ B D 3 2 ， B C 2 ，
BC 2 3 B A 3
∴ B D B C . ∵∠DBC＝∠CBA， BC BA
∴△BCD∽△BAC.
(2)若CD＝
5 3
，求AC的长．
解：∵△BCD∽△BAC，∴ C D B C ，
BC BA
16
8
过2秒或0.8秒时，以P，Q，B为顶点的三角形与△ABC相似．
1.利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似时，易找错对应边而判断错误． 2.考虑问题不周全而出错．例如：在△ABC中，AB＝9，AC＝6.点M在边AB上，且AM＝3， 点N在AC边上．求当AN的长为多少时，△AMN与原三角形相似．解决此问题应分类讨论： ①△AMN∽△ABC；②△AMN∽△ACB.
6．△ABC如图，那么以下四个三角形中，与△ABC相似的 是( C)
沪科版数学九年级（上册）22.2相似三角形的判定-教案（1）
相似三角形的判定【教学目标】1.理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角：2.掌握相似三角形判定定理的“预备定理”；3.能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学重点】灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学难点】三角形相似的判定定理的探索与证明。
【课时安排】5课时。
【教学过程】【第一课时】三角形相似判定定理的“预备定理”。
一、复习旧知：前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：（一）辨析：1.四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？2.四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？3.什么样的两个多边形是相似多边形？4.什么是相似比（相似系数）？（二）简答：1.正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形。
2.正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形。
3.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。
4.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
二、概念讲解：概念：如图1,AAB（2与八AB。
相似。
记作“△ABCs/XABt，”,读作“Z\ABC相似于左ABC，”。
注意：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。
, 、ZA=ZA\ZB=ZB；ZC=ZC；△ABCs/XABC，V〉AB BC CA明确：对于，根据相似三角形的定义，应有……（引导学生明白定义的双重性。
）问题：将左ABC与左ABC，相似比记为ki，△ABC与8ABC相似比记为k?,那么幻与灯有什么关系？ki=k2能成立吗？说明：三角形全等是三角形相似的特例。
（一）类比猜想：1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？2.全等是不是需要所有的对应边和对应角都相等？3.猜想：两个三角形相似是不是也需要所有的对应边？和对应角都相等？有没有简便的方法？（二）简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS,ASA、SSS,AAS,直角三角形还有HL。
HK沪科版 初三九年级数学 上册第一学期秋(教学设计 教案)第22章 相似形(全章分课时 含反思)
第22章 相似形 22．1 比例线段第1课时 相似图形1．了解相似图形和相似比的概念；2．会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；(重点)3．掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算．(难点)一、情境导入观察以下三组图形：每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？二、合作探究探究点一：相似图形如下图所示的四组图形，相似的有()A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解析：由相似图形的概念可知，只有(1)(3)(4)形状相同．①形状相同是指一模一样，没有一点不同之处，(2)中的图形虽然都是圆柱，但是形状不相同，所以不是相似图形；②只要形状相同，即使位置不同，也应看成是相似图形，如(4)组就是这样．故选C.易错提醒：看图形是否相似，要紧扣定义“形状相同，大小可以不同”，但大小相同也是相似的一种情形．探究点二：相似多边形与相似比 【类型一】 相似多边形下列图形都相似吗？为什么？(1)所有正方形；(2)所有矩形；(3)所有菱形；(4)所有等边三角形；(5)所有等腰梯形；(6)所有等腰三角形；(7)所有等腰直角三角形；(8)所有正五边形．解：(1)相似，因为正方形每个角都等于90°，所以对应角相等，而每个正方形的四条边长都相等，所以对应边长度的比相等；(2)不一定，虽然矩形的每个角都等于90°，对应角相等，但是对应边长度的比不一定相等，如图①；(3)不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边长度的比相等，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；(4)相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边长度的比相等，并且对应角都等于60°；(5)不一定，如图③，对应边长度的比不相等，对应角不相等；(6)不一定，如图④，对应边长度的比不相等，对应角不相等； (7)相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°，45°，90°，所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1∶1∶2，所以对应边长度的比相等； (8)相似，因为正五边形的各角都等于108°，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边长度的比相等．方法总结：相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边长度的比相等．【类型二】 相似比已知四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH 和四边形ABCD 的相似比．解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，且∠A ＝∠E ＝80°，∠B ＝∠F ＝75°， ∴AB 与EF 是对应边． ∵EF AB ＝68＝34， ∴四边形EFGH 与四边形ABCD 的相似比为34.方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法．三、板书设计相似图形⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧相似图形：形状相同的两个图形相似多边形⎩⎪⎨⎪⎧相似多边形：各角分别相等、各边成 比例的两个多边形相似比：相似多边形对应边长度的比性质：相似多边形的对应角相等，对应边长度的比相等判定：各角分别相等，对应边长度的比相等，二者缺一不可在探索相似多边形特征的过程中，让学生运用“观察－比较－猜想”分析问题，进一步发展学生观察、分析判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质．在解决问题过程中体会学习数学的乐趣．第2课时 比例线段1．知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；(重点) 2．理解成比例线段的概念；(重点) 3．掌握成比例线段的判定方法．(难点)一、情境导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形．它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同．二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】 根据线段的比求长度如图所示，已知M 为线段AB 上一点，AM ∶MB ＝3∶5，且AB ＝16cm ，求线段AM 、BM 的长度．解：线段AM 与MB 的比反映了这两条线段在全线段AB 中所占的份数，由AM ∶MB ＝3∶5可知AM ＝38AB ，MB ＝58AB .∵AB ＝16cm ，∴AM ＝38×16＝6(cm)，MB ＝58×16＝10(cm)．方法总结：本题也可设AM ＝3k ，MB ＝5k ，利用3k ＋5k ＝16求解更简便，这也是解这类题常用的方法．【类型二】 比例尺在比例尺为1∶50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是________m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离”可求解．设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1∶50 000＝3∶x ，解得x ＝150 000cm ＝1500m.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化．探究点二：成比例线段【类型一】 判断线段成比例下列四组线段中，是成比例线段的是( ) A ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm B ．4cm ，8cm ，3cm ，5cm C ．5cm ，15cm ，2cm ，6cm D ．8cm ，4cm ，1cm ，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例．四个选项中，只有C 项排列后有25＝615.故选C.方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等作出判断；(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断．【类型二】由线段成比例求线段的长已知三条线段的长分别为1cm，2cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式．解：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论．设要求的线段长为x，若x∶1＝2∶2，则x＝22；若1∶x＝2∶2，则x＝2；若1∶2＝x∶2，则x＝2；若1∶2＝2∶x，则x＝2 2.所以所添加的数有三种可能，可以是22，2，或2 2.方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积．三、板书设计比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n或写成ABCD＝mn成比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括．在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识．并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力．第3课时 比例的性质与黄金分割1．掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质；(重点)2．会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题；(难点) 3．了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值．(难点)一、情境导入配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.二、合作探究探究点一：比例的性质【类型一】 比例的基本性质已知a ＋3b 2b ＝72，求a b 的值．解：解法一：由比例的基本性质，得2(a ＋3b )＝7×2b . ∴a ＝4b ，∴ab＝4.解法二：由a ＋3b 2b ＝72，得a ＋3bb ＝7，∴a b ＋3b b ＝a b ＋3＝7，∴ab＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法．【类型二】 合比性质如图，已知AB DB ＝ACEC.求证：(1)AD DB ＝AE EC ；(2)AB AC ＝ADAE.解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1，便可证明(1)成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立．证明：(1)∵AB DB ＝AC EC ，∴AB －DB DB ＝AC －EC EC ，即AD DB ＝AEEC；(2)∵AD DB ＝AE EC ，∴DB AD ＝EC AE .∴DB ＋AD AD ＝EC ＋AE AE (合比性质)．∴AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝ADAE .方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键．【类型三】 等比性质已知正数a 、b 、c ，且a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b＝k ，则下列四个点中，在正比例函数y ＝kx 图象上的点是( )A ．(1，12) B ．(1，2)C ．(1，－12) D ．(1，－1)解析：求出k 的值是关键．∵a 、b 、c 为正数，∴a ＋b ＋c ≠0.由等比性质，得a ＋b ＋c2（a ＋b ＋c ）＝k ，即k ＝12，∴y ＝12x .当x ＝1时，y ＝12×1＝12，∴点(1，12)在正比例函数y ＝kx 的图象上．故选A.方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为0.在解题时需注意这一点．探究点二：黄金分割【类型一】 利用黄金分割进行计算如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，BC ＝mAB ，求m 的值．解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC AB ＝BCAC ＝5－12.又∵BC ＝mAB ，∴AC ＝(1－m )AB ，∴（1－m ）AB AB ＝5－12，即1－m ＝5－12，∴m ＝3－52.方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC ，BC ，AB 之间的表达式，再利用BC ＝mAB 变形，求出m 的值．【类型二】 黄金分割的实际应用如图所示，乐器上有一根弦AB ，两个端点A 、B 固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，若DC 的长度为d ，试求这根弦AB 的长度．解：根据黄金分割的定义，可知AC AB ＝BDAB ＝5－12，∴AC ＝BD ＝5－12AB ，∴AD ＝AB －BD ＝AB －5－12AB .∴CD ＝AC －AD ＝5－12AB －(AB －5－12AB )＝(5－2)AB ＝d . ∴AB ＝15－2d ＝(5＋2)d .三、板书设计比例的性质与黄金分割⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧比例的性质⎩⎪⎨⎪⎧基本性质合比性质等比性质黄金分割⎩⎪⎨⎪⎧定义黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段∶原线段＝5－12∶1经历探究比例的性质和黄金分割的过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣．第4课时平行线分线段成比例及其推论1．了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；(重点)2．会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题．(难点)一、情境导入梯子是我们生活中常见的工具．如图是一个梯子的简图，经测量，AB＝BC，AD∥BE∥CF…，那么DE和EF相等吗？二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例的基本事实如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若AB＝3，DE＝72，EF＝4，求BC的长．解：∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝3，DE＝72，EF＝4，∴根据平行线分线段成比例可得ABBC＝DEEF，即BC＝EFDE·AB＝472×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长．探究点二：平行线分线段成比例基本事实的推论如图所示，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于()A ．3B ．4C ．6D ．8解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC ，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D.易错提醒：在由平行线推出成比例的线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上．探究点三：运用平行线分线段成比例基本事实作图如图，已知线段AB ，求作线段AB 的四等分点．解析：这里的四等分点的作法，不是用刻度尺去量取，而是采用尺规作图的方法，所以可考虑平行线等分线段定理去作图．解：作法：(1)作射线AC ；(2)在射线AC 上顺次截取AA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝任意长；(3)连接A 4B ；(4)过点A 1、A 2、A 3分别作A 4B 的平行线，交AB 于点B 1、B 2、B 3，点B 1、B 2、B 3即为所求的四等分点．三、板书设计平行线分线段成比例及其推论⎩⎪⎨⎪⎧基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线）所得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析和概括能力，了解特殊与一般的辩证关系．再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，锻炼识图能力和推理论证能力．在探索过程中，体验探索结论的方法和过程，发展学生的推理能力和有条理的说理表达能力．22．2相似三角形的判定第1课时平行线与相似三角形1．理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；(重点)2．会用“平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似”进行计算和简单地证明．(难点)一、情境导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：相似三角形【类型一】利用定义判定相似三角形△ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由．解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.又因为ABDF＝32，BCEF＝32，ACDE＝3.62.4＝32，所以ABDF＝BCEF＝ACDE.所以△ABC∽△DFE.方法总结：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．【类型二】相似三角形的性质如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE ＝50cm ，EC ＝30cm ，BC ＝58cm ，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝40°，求：(1)∠AED 和∠ADE 的度数； (2)DE 的长．解：(1)∵△ABC ∽△ADE ， ∴∠AED ＝∠ACB ＝40°. 在△ADE 中，∠ADE ＝180°－40°－45°＝95°；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴AE AC ＝DE BC ，即5050＋30＝DE 58.∴DE ＝50×5850＋30＝36.25(cm)．方法总结：当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．探究点二：平行线与相似三角形如图，已知在ABCD 中，E 为AB 延长线上一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F .请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴△BEF ∽△CDF ，△BEF ∽△AED ， ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED .故当△BEF ∽△CDF 时，相似比为BE ∶CD ＝BE ∶AB ＝1∶3； 当△BEF ∽△AED 时，相似比为BE ∶AE ＝1∶4； 当△CDF ∽△AED 时，相似比为CD ∶AE ＝3∶4.已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N 与窗户的距离NC .解：∵AM ∥BN ，∴△NBC ∽△MAC ，∴BC AC ＝NC MC ，即1.23.2＝NC 2.5，∴NC ＝1516m.三、板书设计平行线与相似三角形⎩⎪⎨⎪⎧相似三角形的定义：三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形结论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或 两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力．第2课时 相似三角形的判定定理11．能正确地理解相似三角形的判定定理1；(重点) 2．能熟练地运用相似三角形的判定定理1.(难点)一、情境导入根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢？二、合作探究探究点一：相似三角形的判定定理1在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′＝80°，∠B ＝70°，∠C ′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由．解：△ABC ∽△A ′B ′C ′.理由：由三角形的内角和是180°，得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.故△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似)．方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可．一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角(或等角)的余角”等隐含条件．探究点二：相似三角形的判定定理1的应用【类型一】由三角形相似计算对应边的长如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长．解：解法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC，所以ADAB＝DEBC，即44＋8＝5BC，所以BC＝15cm.又因为DF∥AC，所以四边形DFCE是平行四边形，即FC＝DE＝5cm，所以BF＝BC－FC＝15－5＝10(cm)．解法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B.又因为DF∥AC，所以∠A＝∠BDF，所以△ADE∽△DBF，所以ADDB＝DEBF，即48＝5BF，所以BF＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到．【类型二】由相似三角形确定对应边的比例关系已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：AFBF＝EFFD.证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴AFBF＝EFFD.方法总结：要证明AF BF ＝EFFD ，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE 与△BFD 是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论．三、板书设计相似三角形的判定定理1⎩⎪⎨⎪⎧判定定理1：两角分别对应相等的两个 三角形相似判定定理1的应用在探索活动中，要增强学生发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯．进一步培养学生合情推理能力和初步逻辑推理意识．第3课时 相似三角形的判定定理21．掌握相似三角形的判定定理2；(重点)2．能熟练地运用相似三角形的判定定理2.(难点)一、情境导入画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A ＝∠A ′，AB A ′B ′和AC A ′C ′都等于给定的值k .设法比较∠B 与∠B ′的大小(或∠C 与∠C ′的大小)，判断△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？二、合作探究探究点一：相似三角形的判定定理2如图，已知点D 是△ABC 的边AC 上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC ∽△BDC 的是( )A ．AB ·CD ＝BD ·BC B ．AC ·CB ＝CA ·CD C ．BC 2＝AC ·DC D ．BD 2＝CD ·DA解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似．本题中，∠C 是△ABC 和△BDC 的公共角，关键是找出∠C 的两边对应成比例，即CD CB ＝CBAC或BC 2＝AC ·DC .故选C.方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断．探究点二：相似三角形的判定定理2的应用如图所示，零件的外径为a ，要求它的厚度x ，需求出内孔的直径AB ，但不能直接量出AB ，现用一个交叉长钳(两条尺长AC 和BD 相等)去量，若OA ∶OC ＝OB ∶OD ＝n ，且量得CD ＝b ，求厚度x .解：因为OA ∶OC ＝OB ∶OD ，∠AOB ＝∠COD ，所以△AOB ∽△COD ，故AB CD ＝OAOC ＝n ，可得AB ＝bn ，所以x ＝a －bn2.方法总结：欲求厚度x ，根据题意较易推出△AOB ∽△COD ，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于x 的比例式，解之即可．如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，求点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．如果点P ，Q 同时出发，经过多长时间后△PBQ 与△ABC 相似？解：设经过t s 后，△PBQ 与△ABC 相似． (1)当BP BA ＝BQBC 时，△PBQ ∽△ABC .此时8－t 8＝2t 16，解得t ＝4.即经过4s 后△PBQ 与△ABC 相似； (2)当BP BC ＝BQBA时，△PBQ ∽△CBA . 此时8－t 16＝2t 8，解得t ＝1.6.即经过1.6s 后△PBQ 与△ABC 相似．综上所述可知，点P ，Q 同时出发，经过1.6s 或4s 后△PBQ 与△ABC 相似．易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ 的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ ∽△ABC 的情况，还要考虑△PBQ ∽△CBA 的情况．要证明△PBQ 与△ABC 相似，很显然∠B 为公共角，因此可运用两边对应成比例，且夹角相等列方程求解，同时要注意分类讨论．三、板书设计相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力．感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定方法(SAS )的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．第4课时 相似三角形的判定定理31．掌握相似三角形的判定定理3；(重点)2．能熟练地运用相似三角形的判定定理3.(难点)一、情境导入如图，如果要判定△ABC 与△A ′B ′C ′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？可否用类似于判定三角形全等的方法(SSS )，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似 【类型一】 利用三边长来判定三角形相似如图所示，在△ABC 中，点D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD ＝3，AE ＝6，DE ＝5，BD ＝15，CE ＝3，BC ＝15.根据以上条件，你认为∠B ＝∠AED 吗？并说明理由．解：∠B ＝∠AED . 理由：由题意得AB ＝AD ＋BD ＝3＋15＝18， AC ＝AE ＋CE ＝6＋3＝9，AC AD ＝93＝3，AB AE ＝186＝3，CB DE ＝155＝3， 所以AC AD ＝AB AE ＝CBDE，故△ABC ∽△AED ，所以∠B ＝∠AED .方法总结：要说明∠B ＝∠AED ，只需要得到△ABC ∽△AED ，根据三边对应成比例的两个三角形相似可证得△ABC ∽△AED .【类型二】 网格中相似三角形的判定如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是哪一个图形？解：由甲图可知AC ＝12＋12＝2，BC ＝2，AB ＝12＋33＝10. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，5，22； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，2，5； 同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3；同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.∵21＝22＝105＝2， ∴图②中的三角形与△ABC 相似．方法总结：(1)各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；(2)判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．三、板书设计相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似从学生已掌握的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力．感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定方法(SSS )的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识．第5课时 判定两个直角三角形相似1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用；(重点) 2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解； 3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力；(难点) 4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．一、情境导入1．到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？答：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似．2．判定两个直角三角形相似有几种方法？答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例． 还有没有其他的方法证明直角三角形相似？二、合作探究探究点一：判定两个直角三角形相似【类型一】 判定两个直角三角形相似的特殊方法如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，AC ＝5.在Rt △A ′B ′C ′中，∠A ′C ′B ′＝90°，A ′C ′＝6，A ′B ′＝10.求证：△ABC ∽△B ′C ′A ′.解析：先求两直角三角形的斜边AC 和A ′B ′的比，再求两直角边BC 和A ′C ′的比．证明：在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝52－42＝3，∴BC A ′C ′＝36＝12.∵AC A ′B ′＝510＝12，∴BC A ′C ′＝AC A ′B ′.又∵∠ABC ＝∠A ′C ′B ′＝90°，∴Rt △ABC ∽Rt △B ′C ′A ′.【类型二】 网格图中的直角三角形相似如图，下列四个三角形中，与△ABC 相似的是 ()解析：根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC 各边的长度，求出三边的比，然后结合四个选项即可得解．设网格的边长是1，则AB ＝12＋12＝2，BC ＝12＋32＝10，AC ＝22＋22＝22，∴AB ∶AC ∶BC ＝2∶22∶10＝1∶2∶5，∴△ABC 是直角三角形．∵选项A 、D 中的三角形不是直角三角形，∴排除A 、D 选项；∵AB ∶BC ＝1∶2，B 选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2，C 选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2，∴选项B 正确．方法总结：以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键．探究点二：直角三角形相似的计算如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16cm ，AC ＝12cm ，点P 从B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向C 移动，点Q 从C 出发，以1cm/s 的速度向A 移动，若P 、Q 分别从B 、C。
沪科版初中数学九年级上册第22章相似三角形的判定(共32张)
本节课内容：
1.认识类似三角形，知道类似三角形的表示方 法及类似比.
2.学习一个定理：类似三角形判定的预备定理.
1.认识类似三角形:
回顾：什么样的两个多边形是类似多边形？
类似多边形： 边数相同 对应角相等 对应边长度的比相等
类似三角形： 对应角相等 对应边长度的比相等
类似三角形基本性质：
类似三角形的对应角相等，三边对应成比例 符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
AB BC CA . AB BC CA
认识： 根据三角形类似，利用其性质是解决角和线 段问题的重要方法！
4.类似三角形判定的预备定理：
温故知新：
平行线分线段成比例定理的推论？
3. 类似三角形的类似比:
3.类似三角形的类似比： 类似三角形的对应边的比类似比. 注意：类似比的表述有顺序性 △ABC 与△A′B′C′ 的类似比为k1：. .
△ABC∽△A′B′C′ △A′B′C′与△ABC 的类似比为k2 .
显然， k1 · k2 =1
显然，当且仅当三角形全等时
k1 =k2 =1
D A
C
x
E
3 213B
5
解：∵DE∥AB， ∠2=∠3
∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴DE=BE=3 ∴△CDE∽△CAB
3(x+3)=5x x=4.5
∴DE∥BF， ∴△EDM∽△FBM，
(2)：解：
(1)：证明：∵AB=2EB，
AB=2DC， ∴EB=DC，
又，BE∥DC， ∴四边形BCDE是平行四边形
∴∠D=∠AFG,∠E=∠AGF，
沪科版九年级数学上22.2.1相似三角形的判定课件1
二.引入新知
C
23.2相似三角形的判定（第1课时）
如图1，△ABC与△A′B′C′相似. 则 图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相 似于△A′B′C′”，“∽”叫相似符号. 两个三角形相似，用相似符号表示时， 与全等一样，应把对应顶点的字母写在对 应的位置上，这样便于找出相似三角形的 对应角和对应边. 即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对 应关系是唯一确定的，即A与A′、B与B′、 C与C′分别对应.如果仅说“这两个三角形 相似”,没有用“∽”表示的，则没有说 明对应关系.
内容分析
教学重点 掌握三角形一边的平行线的判定定理. 教学难点 三角形一边的平行线的判定定理的探索及 证明.
设计意图
通过三个问题的思考可使学生理解两个多边形相似条件的苛 刻性，对后面相似三角形判定的探索充满期待. 通过阅读，观察，讲解，使学生基本了解相似三角形的定义、 表示方法、对应关系、相似比. 紧接着提出问题，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习 数学的信心，才能真正掌握相似三角形中的对应关系和相似比 的概念. 通过让学生回忆三角形全等的知识，引导学生类比猜想两个 三角形相似的判定也有捷径可走，即不需要所有的对应角相等， 所有的对应边成比例也可相似.培养和提高学生对类比数学思想 的认识和理解.
E
C
由以上探究过程你能得出什么结论？ 如果这条直线与三角形两边的延长线相交 呢？如图3所示
定理 平行于三角形一边的直线与其他两边 （或两边的延长线）相交，截得的三角形与 原三角形相似.
E
B D E
A
C
符号语言
D
在△ABC中, 若 DE∥BC,（如图3所示) 则 △ADE∽△ABC.
B
九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第1课时相似三角形的概念与相似三角形判定的预备定
22.2 第1课时 相似三角形的概念与相似三角形判定的预备定理知识点 1 相似三角形的有关概念1．如图22－2－1，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( )A. AD AB ＝AE EC ＝DE BCB. AD AB ＝AE AC ＝DEBCC. AD AE ＝AC AB ＝DE BC D. AD AC ＝AE AB ＝DEBC2．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝35°，则与△ABC 相似的三角形的三个角的度数分别为( )A ．35°，45°，45°B ．45°，105°，35°C ．45°，35°，110°D ．45°，35°，100°图22－2－13．如图22－2－2，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2.若BC ＝1，则EF 的长是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4图22－2－2知识点 2 由平行线截得相似三角形 4．［教材练习变式］如图22－2－3，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，则图中相似三角形的对数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4图22－2－35．［2016·盐城］如图22－2－4，点F 在▱ABCD 的边AB 上，CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个图22－2－46.如图22－2－5，若AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4图22－2－57．［2017·庐阳区二模］如图22－2－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，DE ＝3，则BC的长是( )A ．6B ．9C ．10D ．12图22－2－68．如图22－2－7，在▱ABCD 中，F 是BC 上一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：______________________．图22－2－79．如图22－2－8所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AC ，GF ，DE 相交于点M ，则图中与△ABC 相似的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图22－2－810．如图22－2－9所示，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，求DF ∶FC .图22－2－911．如图22－2－10，在▱ABCD中，F是BC延长线上一点，AF交BD于点O，与DC交于点E，则图中相似三角形共有(全等除外)( )A．3对B．4对C．5对D．6对图22－2－101．D2．D [． 3．B 4．C 5．C 6．C ． 7．B8．答案不唯一，如△ABP∽△AED 9．]C10．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，∴△DFE ∽△BAE ， ∴DF AB ＝DE EB. ∵O 为▱ABCD 的对角线的交点， ∴OD ＝OB.又∵E 为OD 的中点， ∴DE ＝14DB ，则DE∶EB＝1∶3， ∴DF∶AB＝1∶3. 又∵DC＝AB ， ∴DF ∶DC ＝1∶3， ∴DF ∶FC ＝1∶2. 11． C。
《22.2相似三角形的判定》作业设计方案-初中数学沪科版12九年级上册
《相似三角形的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对相似三角形概念的理解，掌握相似三角形的判定方法，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过本作业的完成，学生应能初步建立数学建模的思想，培养分析问题和解决问题的能力。
二、作业内容（一）知识点复习1. 回顾相似三角形的定义，明确相似三角形的特征。
2. 掌握相似三角形的判定定理，如AA相似、SSS相似等。
（二）作业题目设计1. 基础题：设计一系列选择题和填空题，考察学生对相似三角形概念及判定定理的掌握情况。
- 例题：给出两个三角形，根据其边长或角度关系，判断是否相似，并说明理由。
2. 应用题：设计实际情境下的应用问题，要求学生运用所学知识解决实际问题。
- 例题：在建筑测量中，如何通过相似三角形的原理确定建筑物的高度？3. 拓展题：设计一些具有挑战性的题目，鼓励学生进行深度思考和创新。
- 例题：给出多个条件，让学生自行设计并证明两个三角形相似的多种方法。
（三）作业实践环节1. 小组合作：学生分组进行讨论，每组选择一个题目进行深入研究，并记录讨论过程和结果。
2. 动手操作：利用几何工具，让学生亲手制作相似三角形，加深对概念的理解。
3. 数学日记：鼓励学生记录今天学习的收获和感悟，以及对作业题目的解题思路和过程。
三、作业要求1. 认真审题：仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案偏离。
2. 规范答题：按照数学作业的规范格式进行答题，字迹工整，步骤清晰。
3. 独立思考：在完成作业过程中，应独立思考，尽量自己解决问题，不轻易求助他人。
4. 小组合作：在小组合作环节中，应积极参与讨论，尊重他人意见，共同完成任务。
四、作业评价1. 教师评价：教师根据学生完成作业的情况，给予客观、公正的评价，并指出存在的问题及改进方向。
2. 小组互评：小组内成员互相评价，促进相互学习和交流。
3. 自评反思：学生应对自己的作业进行反思，找出不足并制定改进措施。
沪教版九年级数学上册相似三角形的判定定理教案
沪教版九年级数学上册《相似三角形的判定定理》教案沪教版九年级数学上册《相似三角形的判定定理》教案一、教材内容分析：《相似三角形的判定定理》选自课程标准实验教科书沪科版数学九年级上册第22章相似图形。
本节课是相似三角形判定定理（1），它是在学生学习了全等三角形的性质与判定，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。
在直观认识形状相同的图形基础上，探索与理解相似三角形的判定条件，为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备。
因此这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。
二、教学目标设置：1、通过运用三角形全等条件的探索方法，探索得出两角对应相等的两个三角形相似，并会用这一结论解决一些简单的问题。
2、经历“类比―猜想―探索―总结-应用”的活动过程，探索两角对应相等的两个三角形相似，进一步领悟类比的思想方法。
3、在活动中，开发、培养学生的发散性思维，进一步发展学生的探究合作、交流意识，以及动手动脑和谐一致的习惯。
重点：灵活运用三角形相似判定定理证明及解决简单的有关问题。
难点：三角形相似判定定理的探索和证明。
三、学生学情分析学生在本章前几节，已学过相似三角形的基本概念和基本性质等知识，在之前已经接触过对三角形全等条件的探索，初步体会了类比方法在数学学习中的作用，已具备一定的合作与自主探索能力，本节课是在此基础上的延伸和提高。
因此在教学中采取开放式的教学形式，让学生动手感知，合作交流，养成积极探索与实践的良好习惯。
教学过程中，创设直观形象，利于操作的问题情境，引起学生的极大关注，有利于学生对内容的较深层次的理解。
多为学生创设自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、勤于动手，从而乐于探究。
但需承认学生之间的个体差异，对学有余力的学生要有提高、拓展的机会。
对学困生要有一定的展示平台，在难点的突破上，要让他们最大程度的参与其中。
四、教学过程：活动一：创设情境，类比猜想同学们：前面我们用全等三角形的学习方法探究学习了相似三角形的定义与性质，请同学们口述一下？我们探究相似三角形依然离不开组成三角形的元素---边和角。
沪科版九年级上册数学第22章 相似形 相似三角形的性质
知1－导
知1－讲
1.(1)相似三角形对应高的比等于相似比． (2)相似三角形对应中线的比等于相似比． (3)相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 2．二级结论：相似三角形对应线段的比等于相似比． 3．易错警示：利用相似三角形的性质时，要注意“对 应”两字，要找准对应线段．
知2－讲
【例3】 在△ABC中，AB＝12cm，BC＝18cm，AC＝24cm， 若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的周长 为81cm，求△A′B′C′各边的长．
导引：根据相似三角形周长的比等于相似比，可知 △ABC与△A′B′C′的相似比为， 12+18+24 = 2
81 3
由此根据△ABC的各边长可求出△A′B′C′的各 边长．
知1－讲
【例1】〈探究题〉如图，在△ABC中，DE∥BC，AF为高， AD∶AB＝1∶3，则AG∶AF＝_______1_∶．3
导引：因为DE∥BC，
所以△ADE∽△ABC.
又AF为△ABC的高，
所以AG是△ADE的高，
所以
AG AD 1 . AF AB 3
知1－讲
【例2】 如果两个相似三角形对应角平分线的比是 2∶3，那么它们对应高的比是__2_∶__3___．
※已知，如图，△ABC∽△A′B′C′, 你能否证明：相似三角形
它们的相似比为k,AD,A′D′是对
应高.求证：
AD AD
AB AB
k.
对应中线的比等于相似比； 相似三角形对应角平分线
的比等于相似比.
证明： △ABC∽△ABC,
∠B ∠B.
∠BDA ∠BDA 90,
Rt△ABD∽Rt△ABD,
九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定2利用角的关系判定两三角形相似授课名师公开课省级
知－讲
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的 延长线于点F，连接AF. 求证：△ABF∽△CAF.
【例1】
要证△ABF∽△CAF，∠AFB是公共角，只要再找一对角相等即可，因为∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可得△ABF∽△CAF.
谢谢大家
每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路** 成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦 每天只看目标，别老想障碍* 宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子* 积极向上的心态，是成功者的最基本要素* 生活总会给你另一个机会，** 人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走21:19:48 我们必须在失败中寻找胜利* 10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。*** 11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。****
1.
பைடு நூலகம்2.
了解面对逆境，远比如何接受顺境重要得多*** 一般的伟人总是让身边的人感到渺小***** 昨天是张退票的支票*** 积极人格的完善是本，财富的确立是末* 昨晚多几分钟的准备* 每一发奋努力的背，必有加倍的赏赐* 要及时把握梦想，因为梦想一死* 10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。*** 11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。****
1
课堂讲解
相似三角形判定定理1
2
课时流程
逐点 导讲练
课堂小结
作业提升
根据定义判定两个三角形相似需要哪些条件？能否和判断三角形全等一样，也用很少的条件就能判定三角形相似呢？
知识点
相似三角形判定定理1
秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形及相似三角形判定
22.2 相似三角形的判定第1课时 相似三角形及相似三角形判定的预备定理知|识|目|标1．通过观察、交流、探究，理解相似三角形的定义、相似三角形的表示方法、相似比的概念．2．经历两个三角形相似的探索过程，理解相似三角形判定的预备定理，并能运用该定理解决问题．目标一 能用相似三角形的定义求三角形的边和角例1 ［教材补充例题］如图22－2－1，若△ABC ∽△DEF ，求∠F 的度数与DF 的长． (1)根据相似三角形的性质，可知对应角相等，则∠D ＝∠A ＝________°，∠E ＝∠B ＝________°，故∠F ＝180°－∠D －∠E ＝________°.(2)根据相似三角形的性质，可知对应边成比例，则____________，代入已知数值，得____________，解得DF ＝________．图22－2－1【归纳总结】理解相似三角形定义的“两说明”：(1)相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法；(2)求相似比时，不要忽视相似比的顺序性．即如果△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为1k.目标二 能用相似三角形的预备定理证明三角形相似例2 ［教材补充例题］如图22－2－2，点E 是▱ABCD 的边CD 延长线上的点，连接BE 交AD 于点F ，则图中有几对相似三角形？分别写出来．图22－2－2例3 ［教材补充例题］如图22－2－3，已知△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，点M 在BC 边上，AM 交DE 于点F .求证：DF FE ＝BM MC.图22－2－3【归纳总结】(1) 由平行线得到相似有两种常见的基本图形：“A ”字型和“X ”字型，如图22－2－4所示．只要从复杂图形中找出这些基本图形，就可以找出图中的相似三角形． (2)在三角形中只要具备平行条件就可以直接得到对应线段成比例． 如图22－2－4①，如果DE ∥BC ，那么AD DB ＝AE EC ，AD AB ＝AE AC ＝DE BC ，DB AB ＝EC AC ，AD AE ＝DB EC ＝ABAC.图22－2－4知识点一 相似三角形的定义、表示方法及相似比如果两个三角形的三个角对应________，三条边对应__________，那么这两个三角形相似．[点拨] (1)相似三角形具有传递性，即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″；(2)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．知识点二相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形______．这个定理包含下列三个基本几何图形：图22－2－5用几何语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.如图22－2－6，已知EF∥AC，GH∥AB，IK∥BC，写出图中所有和△DFG相似的三角形，并说明理由．图22－2－6小林同学的解答如下：与△DFG相似的三角形有△HCG、△EFB.理由如下：∵EF∥AC，∴△DFG∽△HCG.∵GH∥AB，∴△DFG∽△EFB.故与△DFG相似的三角形有△HCG，△EFB.你认为以上解答过程正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 (1)45 30 105 (2)AC DF ＝BC EF 2DF ＝3483例2 解：3对，分别是△ABF∽△DEF，△DEF ∽△CEB ，△ABF ∽△CEB. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴△ABF ∽△DEF ，△DEF ∽△CEB ， ∴△ABF ∽△CEB. 例3 证明：∵DE∥BC，∴△ADF ∽△ABM ，△AEF ∽△ACM ， ∴DF BM ＝AF AM ，FE MC ＝AF AM ， ∴DF BM ＝FE MC ，∴DF FE ＝BM MC . 【总结反思】[小结] 知识点一 相等 成比例 知识点二 相似[反思] 不正确．正确的解答如下：与△DFG 相似的三角形有△HCG，△EFB ，△EDI ，△HKD ，△AKI ，△ACB.理由如下： ∵E F∥AC，∴△DFG ∽△HCG. ∵GH ∥AB ，∴△HCG ∽△ACB. ∴△DFG ∽△ACB.又∵IK∥BC，∴△HKD ∽△HCG ，△AKI ∽△ACB ，∴△DFG∽△HKD，△DFG∽△AKI.同理，可知△DFG∽△EFB∽△EDI.故与△DFG相似的三角形有△HCG，△ACB，△HKD，△AKI，△EFB，△EDI.。
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22.2 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形及相似三角形判定的预备定理
知|识|目|标
1．通过观察、交流、探究，理解相似三角形的定义、相似三角形的表示方法、相似比的概念．
2．经历两个三角形相似的探索过程，理解相似三角形判定的预备定理，并能运用该定理解决问题．
目标一 能用相似三角形的定义求三角形的边和角
例1 ［教材补充例题］如图22－2－1，若△ABC ∽△DEF ，求∠F 的度数与DF 的长．
(1)根据相似三角形的性质，可知对应角相等，则∠D ＝∠A ＝________°，∠E ＝∠B ＝________°，故∠F ＝180°－∠D －∠E ＝________°.
(2)根据相似三角形的性质，可知对应边成比例，则____________，代入已知数值，得____________，解得DF ＝________．
图22－2－1
【归纳总结】理解相似三角形定义的“两说明”：
(1)相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法；
(2)求相似比时，不要忽视相似比的顺序性．即如果△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，
那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为1k
. 目标二 能用相似三角形的预备定理证明三角形相似
例2 ［教材补充例题］如图22－2－2，点E 是▱ABCD 的边CD 延长线上的点，连接BE 交AD 于点F ，则图中有几对相似三角形？分别写出来．
图22－2－2
例3 ［教材补充例题］如图22－2－3，已知△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，点M 在BC 边上，AM 交DE 于点F .
求证：DF FE ＝BM MC
.
图22－2－3
【归纳总结】
(1) 由平行线得到相似有两种常见的基本图形：“A ”字型和“X ”字型，如图22－2－4所示．只要从复杂图形中找出这些基本图形，就可以找出图中的相似三角形．
(2)在三角形中只要具备平行条件就可以直接得到对应线段成比例．
如图22－2－4①，如果DE ∥BC ，那么AD DB ＝AE EC ，
AD AB ＝AE AC ＝DE BC ，DB AB ＝EC AC ，AD AE ＝DB EC ＝AB AC
.
图22－2－4
知识点一 相似三角形的定义、表示方法及相似比
如果两个三角形的三个角对应________，三条边对应__________，那么这两个三角形相似．
[点拨] (1)相似三角形具有传递性，即若△ABC ∽△A ′B ′C ′，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″，则△ABC ∽△A ″B ″C ″；
(2)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．
知识点二 相似三角形判定的预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形______．
这个定理包含下列三个基本几何图形：
图22－2－5
用几何语言表述如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
如图22－2－6，已知EF∥AC，GH∥AB，IK∥BC，写出图中所有和△DFG相似的三角形，并说明理由．
图22－2－6
小林同学的解答如下：
与△DFG相似的三角形有△HCG、△EFB.理由如下：
∵EF∥AC，∴△DFG∽△HCG.
∵GH∥AB，∴△DFG∽△EFB.
故与△DFG相似的三角形有△HCG，△EFB.
你认为以上解答过程正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．
教师详解详析
【目标突破】
例1 (1)45 30 105 (2)AC DF ＝BC EF 2DF ＝34 83
例2 解：3对，分别是△ABF∽△DEF，△DEF ∽△CEB ，△ABF ∽△CEB.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴△ABF ∽△DEF ，△DEF ∽△CEB ，
∴△ABF ∽△CEB.
例3 证明：∵DE∥BC，
∴△ADF ∽△ABM ，△AEF ∽△ACM ，
∴DF BM ＝AF AM ，FE MC ＝AF AM
， ∴DF BM ＝FE MC ，∴DF FE ＝BM MC
. 【总结反思】
[小结] 知识点一 相等 成比例
知识点二 相似
[反思] 不正确．正确的解答如下：
与△DFG 相似的三角形有△HCG，△EFB ，△EDI ，△HKD ，△AKI ，△ACB.理由如下： ∵E F∥AC，∴△DFG ∽△HCG.
∵GH ∥AB ，∴△HCG ∽△ACB.
∴△DFG ∽△ACB.
又∵IK∥BC，∴△HKD ∽△HCG ，△AKI ∽△ACB ，
∴△DFG ∽△HKD ，△DFG ∽△AKI.
同理，可知△DFG∽△EFB∽△EDI.
故与△DFG 相似的三角形有△HCG，△ACB ，△HKD ，△AKI ，△EFB ，△EDI.。