20121226二面角

D1 A1 F A B1
C1
D
B
C
解法一：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB， 则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。 ∵ F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中点， A1 ∴AP=AB, F 又∵∠ DAB=600,且底面ABCD是菱形， ∴可得正三角形ABD, A 0 0 故∠DBA=60 , ∵∠P=∠ABP=30 , P 0 ∴∠DBP=90 ,即PB⊥DB； 又因为是直棱柱，∴DD1 ⊥ PB, ∴PB⊥面DD1B, 故 ∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。 显然BD=AD=DD1, ∴∠DBD1=450。即为所求.
A
β
O
l
α
B
问题2：如图，平面γ 垂直于二面角的棱l，分别与面α 、 β 相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？
l
O
B
A γ
α
β
注意：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个 角就是所求的平面角, 最后求出这个角的大小。 例4、已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的
二面角
二面角
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角。
α
ι
β
二、二面角的平面角
1、定义
一个平面垂直于二面角 的 棱 ， 并 与 两 半 平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B 垂足为P，则∠APB叫做二面角

γ
P A
ι
β
B
α
D1 B1
C1
D B
C
解法二： 如图：延长D1F交DA的延长线于点P， 连接PB，则直线PB就是平面BFD1与 A 平面ABCD的交线； 因为是直棱柱，所以AA1 ⊥ 底面 F ABCD,过A做AE⊥PB,垂足为E,连接 EF, A 由三垂线定理可知，EF⊥PB, P ∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面 角； 同解法一可知，等腰△APB, ∠P=300， Rt△APB中，可求得 AE= 1 ，（设四棱柱的棱长为2）又 AF= 1, ∴∠AEF=450，即为所求。
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3 如图，过点B作BE AC，
垂足为E，连接DE.因为 CD 平面ABC，所以CD BE， 所以BE 平面ACD，所以BDE为BD与平面ACD 1 2 所成的角，即BDE 30.所以BE BD ， 2 2 BE 2 所以sinBCE ， BC 2 所以BCE 45，所以AB BC 1.
BE OB 2 2
已知三棱锥D ABC的三个侧面与底面全等 ， 且AB AC 3，BC 2，求二面角D BC A的 大小.
90°
D
C A
O
B
问题1：如图，过二面角α -l-β 一个面内一点A，作另一 个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结 AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？
（Ⅲ）由平面A1BD垂直于平面BDE，且A1O⊥BD， ∴A1O⊥平面BDE．
VB A1DE VA1 BDE 1 S 3
BDE
A1O
1 1 2 2a 3a 6a 2a 3 3 2
例12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ， E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的正切值． 思路分析： ①找显高平面 平面BCD ②作平面的垂线 过E作EF⊥CD于F ③作平面角 作FG⊥BD于G，连结EG 解：过E作EF⊥CD于F， ∵ ABCD－A1B1C1D1是长方体， ∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，
B
C
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a SA a 3 在RtSAC中，tanSCA= = = AC 3 3a 则SCA=300，则CDE=900－SCA＝600
例11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a， 若E为棱CC1的中点． （Ⅰ）求证：A1E⊥BD； （Ⅱ）求二面角A1-BD-E的大小；
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方法2.射影面积法
例14.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小. 30°
C1
D1
提示：PF⊥ 平面D1AB,PF⊥D1A, ⊿DD1P≌⊿PBA,D1P=PB ⊿D1AB∽⊿D1EF,
B1
A1
E F
C
D P
B
A
例15：如图：直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD 是菱形，AD=AA1 ， ∠DAB=600,F为棱AA1的中点。 求：平面BFD1与平面ABCD 所成的二面角的大小。
D1 E C1 B1 G A F M B
A1
D
C
过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（三垂线定理） 于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角． 1 BC CD 1 2 1 GF ∵BC = 1，CD = 2， ∴ 2 BD 2 5 5 EF 5 而EF = 1，在△EFG中 tan EGF GF ∴所求二面角的正切值为 5
的平面角
二面角
2、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
p
α
β
A B B
pβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O
α
A
④面积射影法
cos
S投影面
S被投影面
（为二面角的大小）
ห้องสมุดไป่ตู้
A
B
E
O
D
C
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角
D
O
l

∴二面角 － l－ 的大小为60 °.
例5. 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°， 堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为 30°，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时 人升高了多少m？
分析：
∠EFO=60° ∠ECF=30°，CE=10，求EO=？
D E
作EF⊥PA于F，连接BF ∵PC⊥平面ABC， PC 平面PAC ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC 由三垂线定理，有BF⊥PA,
F A E
P
∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角 设PC=1,由E是AC的中点，
3 1 2 0 BE , EF sin 45 2 2 4 BE tgBFE 6 EF
B
C
A
解：作BE 于E，连结AE 过E作EOCD于O，连结OB 由三垂线定理可得： BOCD
O
D
E
则 ∠BOE是二面角 CD
的平面角
2 a 2
设AO =a 在RtAOB中，BO=a, AB= 2a 在RtAEB中，BAE= 30º , AB= 2 a, BE= 在RtBEO中，sin ∠BOE= ∴所求二面角的大小为45º
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例8.如图，设E、F、G是正方体AC1的 棱AA1、AB、BC的中点，
求二面角E－FG－A的正切值。
D1 A1 B1 C1
E
D
G F
C
A
H
B
例9.如图，设E、F、G是正方体AC1的棱AA1、AB、BC的 中点，求二面角E－FG－A的正切值。
解：如图，过点A作AH⊥FG交GF的延长线于点H，连结EH。
C
B
例 3. A为二面角－CD－ 的棱CD 上一点， AB 在平面 内且与棱 CD 成 45º 角，又AB与平面 成30º ，求二面 角－CD－ 的大小
例 3. A为二面角－CD－ 的棱CD上一点，AB在 平面内且与棱CD成45º 角，又AB与平面 成30º ， 求二面角－CD－ 的大小
由 EA⊥平面AC得：AH为EH在面AC内的射影。
所以EH ⊥FG， 故∠EHA就是二面角 E－FG－A 的平面角。
D1 B1 C1
在 Rt△EAH 中，易得
2 AH＝ AF，AF＝EA， 2
A1
E
∴tan∠EHA＝
EA AH
=
2，
A
D
G F
C
H
B
例10.(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC， 又SA＝AB＝ａ，SB＝BC, （1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小?
距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4。求二面角 － l － 的大小。
解：
过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD， 则由线面垂直定理得 AD⊥ . l
ADO 就是二面角 － l － 的平面角.
A.

AO 2 3, AD 4
在Rt△ADO中， AO 2 3 3 ∵sin∠ADO= AD = 4 2 ∴ ∠ADO=60°.
3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
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练习
P
如图， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在的平面， C 是圆 上任一点，则二面角P-BC-A 的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都 不是
C
A
B
例1．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α ,PB⊥β,且 PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
B
O
A α
例2．如图，在四面体P-ABC中， PC⊥ 平 面 ABC,AB=BC=CA=PC, P 求二面角B-AP-C的正切值。
F A E C
B
例 2 ． 如 图 ， 在 四 面 体 P-ABC 中 ， PC⊥ 平 面 ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。