最新人教A版选修1-2《2.2直接证明与间接证明(1)》同步练习及答案
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。
回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。
其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。
独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。
第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。
演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。
两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。
2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。
间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。
复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。
复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。
3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。
复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。
第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。
它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。
流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。
4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。
它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。
高中数学选修1-2同步练习题库：直接证明与间接证明(简答题：较易)
直接证明与间接证明（简答题：较易）1、当时，证明。
2、已知，试证明至少有一个不小于1.3、已知，利用分析法证明：.4、证明不等式：5、设函数，.证明：（1）；（2）.6、如图，已知曲线：及曲线：，上的点的横坐标为．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点（，2，3……）的横坐标构成数列．（1）试求与之间的关系，并证明：；（2）若，求证：．7、否存在常数使等式对一切正整数都成立？若存在，用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．8、已知，求证：．9、用“数学归纳法”证明：能被整除．10、用“分析法”证明：当，．11、选修4-5：不等式选讲如果是实数，且，，为大于1的自然数，用数学归纳法证明：.12、（1）求证：（2）13、用分析法证明：已知,求证14、已知：;通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明。
15、设函数，其中。
（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明不等式：16、选修4-5：不等式选讲（1）设，证明：；（2）已知，证明：。
17、已知x，y，z都是正整数，且；（1）求证：x，y，z不可能都是奇数；（2）求证：当时，18、选修4-5：不等式选讲已知．19、设均大于0，且．求证：对于每个，都有20、用反证法证明不可能成等差数列。
21、已知x，y，z都是正整数，且；（1）求证：x，y，z不可能都是奇数；（2）求证：当时，22、（1）已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2．（2）已知x＞0,y＞0,x≠y,试比较与的大小，并用分析法证明你的结论．23、已知函数且的解集为（1）求k的值；（2）若是正实数，且，求证：。
24、已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立.（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数，求实数的取值范围；（3）证明：函数.25、如果非零实数，，两两不相等，且，证明：不成立．（用反证法证明）26、（1）证明：（2）用数学归纳法证明：；27、设数列满足，.（1）求证：；（2）求证：.28、选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为2．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．29、若。
人教A版高中数学选修直接证明与间接证明同步练习一新
高中新课标选修（1-2）直接证明与间接证明测试题一、选择题1 ）Ａ．综合法 Ｂ．分析法 Ｃ．间接证法 Ｄ．合情推理法答案：Ｂ2．对一个命题的证明，下列说法错误的是（ ）Ａ．若能用分析法，必能用综合法Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法 Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立答案：Ｄ3．设a b c ，，都是正数，则三个数111a b c b c a+++，，（ ） Ａ．都大于2Ｂ．至少有一个大于2Ｃ．至少有一个不大于2Ｄ．至少有一个不大于2答案：Ｃ4．设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P =，Q = ） Ａ．P Q ≥Ｂ．P Q ≤ Ｃ．P Q > Ｄ．P Q <答案：Ｂ5．若π04αβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则（ ） Ａ．a b <Ｂ．a b > Ｃ．1ab < Ｄ．2ab >答案：Ａ6．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，B f =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤ Ｃ．B C A ≤≤ Ｄ．C B A ≤≤答案：Ａ二、填空题7．sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-°°°°°°的值为 ．答案：28．三次函数3()1f x ax =-在()-+，∞∞内是减函数，则a 的取值范围是 ．答案：0a <9．若抛物线2y mx =与椭圆22195x y +=有一个共同的焦点，则m = ．答案：8±10．已知a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥． 证明过程如下：∵a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，110b c a a +-=>∴，110a c b b +-=>，110a b c c+-=>， 111111b c a b c a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴．8a c a b b c ++=·， 当且仅当a b c ==时取等号，∴不等式成立．这种证法是 ．（综合法、分析法或反证法）答案：综合法11．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤αβ∥．（1）当满足条件 时，有m β∥，（2）当满足条件 时，有m β⊥．（填所选条件的序号）答案：③⑤，②⑤12．向量，a b 满足()(2)4a b a b -+=-·，且24a b ==，，则a 与b 夹角的余弦值等于 ．答案：12-三、解答题13．设函数()f x 对任意∈R ，x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x <．（1）证明()f x 为奇函数；（2）证明()f x 在R 上为减函数．证明：（1）x y ∈R ，∵，()()()f x y f x f y +=+，∴令0x y ==，(0)(0)(0)f f f =+，(0)0f =∴，令y x =-，代入()()()f x y f x f y +=+，得(0)()()f f x f x =+-， 而(0)0f =，()()()f x f x x -=-∈R ∴，()f x ∴是奇函数；（2）任取12x x ∈R ，，且12x x <，则210x x x ∆=->，21()()0f x f x x ∆=-<∴．又2121()()()f x x f x f x -=+-，()f x ∵为奇函数，11()()f x f x -=-∴，21()()()0f x f x f x ∆=-<∴，即21()()0f x f x -<，()f x ∴在R 上是减函数．14．用分析法证明：若0a >12a a+-．12a a +≥ 0a >∵，∴两边均大于零．因此只需证2222111422a a a a a a ⎫++++++++⎪⎭，只需证1a a ⎫+⎪⎭， 只需证22221122a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥，即证2212a a +≥，而2212a a +≥显然成立， ∴原不等式成立．15．在ABC △中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2c os sin sin A B C =．判断ABC △的形状．解：180A B C++=∵°，sin sin()C A B=+∴．又2cos sin sinA B C=，2cos sin sin cos cos sinA B A B A B=+∴，sin()0A B-=∴．又A与B均为ABC△的内角，A B=∴．又由()()3a b c a b c ab+++-=，得22()3a b c ab+-=，222a b c ab+-=，又由余弦定理2222cosc a b ab C=+-，得2222cosa b c ab C+-=，2cosab C ab=∴，1cos2C=，60C=∴°．又A B=∵，∴ABC△为等边三角形．。
最新人教版高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》达标训练
更上一层楼基础·巩固1.已知a 、b ＞0,求证:a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc.思路解析:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导现所要证明的结论成立.证明:∵b 2+c 2≥2bc,a ＞0,∴a(b 2+c 2)≥2abc.又∵c 2+a 2≥2ac,b ＞0,∴b(c 2+a 2)≥2abc.∴a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc.2.求证:均值不等式2b a +≥ab (a ＞0,b ＞0). 思路解析:采用分析法,从证明的结论出发一步步寻求它成立的充分条件即可.证明:要证ab b a ≥+2,只需证a+b≥ab 2,只需证a+b-ab 2≥0,只需证(b a -)2≥0. 由于(b a -)2≥0显然成立,因此原不等式成立.3.若yb x a +=1(a 、b 、x 、y ＞0,且a≠b),求证: x+y≥(b a +)2. 思路解析:利用已知条件把a 、b 与x 、y 的关系相互转化,也是通过1的代入把x+y 转换为a 、b.证明:∵a 、b 、x 、y ＞0,且yb x a +=1, ∴x+y=(x+y)( y b x a +)=a+b+ybx x ay +≥a+b+2)(2b a ab +=. ∴原不等式成立.4.求证:6273+<+.思路解析:无理数大小的比较通常利用乘方转化为有理数再比较.证明:要证原不等式成立,只需证22)62()73(+<+,即证10+212＜10+242,也即证2421<∵21＜24,∴2421< 从而原不等式6273+<+成立.5.已知a ＞b ＞c,且a+b+c=0,求证:32<-aac b . 思路解析:由已知很难找到直接证出结论的方法,所以可以采用分析法,依次找结论成立的充分条件探索解题的思路.证明:∵a ＞b ＞c,且a+b+c=0,∴a ＞0,c ＜0.要证原不等式成立,只要证a ac b 32<-,即证b 2-ac ＜3a 2,也即证(a+c)2-ac ＜3a 2,即(a-c)(2a+c)＞0,∵a-c ＞0,2a+c=(a+c)+a=a-b ＞0.∴(a-c)(2a+c)＞0成立,故原不等式成立.6.证明1,3,2不能为同一等差数列的三项.思路解析:通过分析可知,直接证比较困难,所以采用反证法.证明:假设1,3,2是某等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,则1=3-md,2=3+nd(m,n 为两正整数).由上面两式消去d 得n+2m=(n+m)3.因为n+2m 为有理数,而(n+m)3为无理数,所以n+2m≠(n+m)3,因此假设不成立.∴1,3,2不能为同一等差数列的三项.7.如图所示,已知直线a 与b 不共面,直线c∩a=M,直线b∩c=N,又a∩平面α=A,b∩平面α=B,c∩平面α=C,求证:A 、B 、C 三点不共线.思路解析:此题属于否定形式的命题,所以应采用反证法.证明:假设A 、B 、C 三点共线于直线l ,∵A 、B 、C ∈α,∴l ⊂α.∵c∩l =C,∴c 与l 可确定一个平面β.∵c∩a=M,∴M ∈β.又A ∈l ,∴a ⊂β.同理,b ⊂β.∴直线a 与b 共面.这与已知矛盾.∴A 、B 、C 三点不共线.综合·应用8.在锐角三角形中,求证:sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC.思路解析:此题采用综合法通过构造角的不等式转化为利用三角函数的单调性来证明,此法比常用的和化积形式简单.证明:∵锐角三角形中,A+B ＞2π, ∴A ＞2π-B.∴0＜2π-B ＜A ＜2π. 又∵在(0,2π)内正弦函数是单调递增函数, ∴sinA ＞sin(2π-B)=cosB,即sinA ＞cosB. ①同理,sinB ＞cosC, ② sinC ＞cosA. ③ 由①+②+③,得sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC.9.若0＜x,y,z ＜2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.思路解析:“不都大于1”即等价于“至少有1个小于或等于1”,由于涉及三个式子,它们出现的情况有很多类,此类问题常用的方法是考虑问题的反面,即“不都”的反面为“都”,可用反证法来处理.证明:方法一:假设x(2-y)＞1且y(2-z)＞1且z(2-x)＞1均成立.则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)＞1. ① 由于0＜x ＜2,∴0＜x(2-x)=-x 2+2x=-(x-1)2+1≤1.同理,0＜y(2-y)≤1,且0＜z(2-z)≤1.∴三式相乘得0＜xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1. ② ②与①矛盾,故假设不成立.∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.方法二:假设x(2-y)＞1且y(2-z)＞1且z(2-x)＞1. ∴3)2()2()2(>-+-+-x z z y y x . ③ 而2)2(2)2(2)2()2()2()2(x z z y y x x z z y y x -++-+-+≤-+-+-=3.④ ④与③矛盾,故假设不成立.∴原题设结论成立.10.已知动圆过定点(2p ,0),且与直线x=2p -相切,其中p ＞0. (1)求动圆圆心C 的轨迹方程;(2)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β为定值θ(0＜θ＜π)时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.思路解析:此题是圆锥曲线的综合题,(1)动点的轨迹方程求解时,常常结合其满足的几何特征及常见圆锥曲线的定义来分析比较容易,即常用数形结合的方法.(2)直线过定点问题必须引入参数表示出直线的方程,由直线系方程来解.(1)解:如图,设M 为动圆圆心,(2p ,0)记为F,过点M 作直线x=2p -的垂线,垂足为N,由题意知|MF|=|MN|,即动点M 到定点F 与定直线x=2p -的距离相等,由抛物线的定义,知点M 的轨迹为抛物线,其中F(2p ,0)为焦点,x=-2p 为准线,所以轨迹方程为y 2=2px(p ＞0). (2)证明:如图,设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由题意得x 1≠x 2(否则α+β=π)且x 1、x 2≠0.所以直线AB 的斜率存在,设其方程为y=kx+b.显然x 1=p y 221,x 2=p y 222. 将y=kx+b 与y 2=2px(p ＞0)联立消去x,得ky 2-2py+2pb=0.由韦达定理知y 1+y 2=k p 2,y 1·y 2=k pb 2. ① 当θ=2π,即α+β=2π时,tanα·tanβ=1. 所以2211x y x y ∙=1,x 1x 2-y 1y 2=0, 222214py y -y 1y 2=0,所以y 1y 2=4p 2. 由①知kpb 2=4p 2,所以b=2pk. 因此直线AB 的方程可表示为y=kx+2pk,即k(x+2p)-y=0.所以直线AB 恒过定点(-2p,0).当θ≠2π,由α+β=θ,得tanθ=tan(α+β)=221214)(2tan tan 1tan tan py y y y p -+=-+βαβα. 将①式代入上式整理化简可得tanθ=pk b p 22-, 所以b=θtan 2p +2pk. 此时,直线AB 的方程可表示为y=kx+θtan 2p +2pk, 即k(x+2p)-(y-θtan 2p )=0. 所以直线AB 恒过定点(-2p,θtan 2p ). 所以,当θ=2π时,直线AB 恒过定点(-2p,0), 当θ≠2π时直线AB 恒过定点(-2p,θtan 2p ). 11.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=6,a 3=11,且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B,n=1,2,3,…,其中A 、B 为常数.(1)求A 与B 的值;(2)证明数列{a n }为等差数列;(3)证明不等式n m mn a a a -5＞1对任何正整数m 、n 都成立.思路解析:本题主要考查等差数列的定义、通项公式及利用分析法来证明问题.(1)解:由已知,得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18.由(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B, 知⎩⎨⎧+=-+=--,2122,732312B A S S B A S S即⎩⎨⎧-=+-=+.482,28B A B A 解得A=-20,B=-8.(2)证明:由(1)得(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8. ① 所以(5n-3)S n+2-(5n+7)S n+1=-20n-28. ② ②-①得(5n-3)S n+2-(10n-1)S n+1+(5n+2)S n =-20. ③ 所以(5n+2)S n+3-(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=-20. ④ ④-③得(5n+2)S n+3-(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1-(5n+2)S n =0.因为a n+1=S n+1-S n ,所以(5n+2)a n+3-(10n+4)a n+2+(5n+2)a n+1=0.因为(5n+2)≠0,所以a n+3-2a n+2+a n+1=0.所以a n+3-a n+2=a n+2-a n+1,n≥1.又a 3-a 2=a 2-a 1=5,所以数列{a n }为等差数列.(3)证明:由(2)可知,a n =1+5(n-1)=5n-4, 要证n m mn a a a -5＞1,只要证5a mn ＞1+a m a n +n m a a 2.因为a mn =5mn-4,a m a n =(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5(5mn-4)＞1+25mn-20(m+n)+16+n m a a 2,即只要证20m+20n-37＞n m a a 2, 因为n m a a 2≤a m +a n =5m+5n-8＜5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-3.所以原命题得证.回顾·展望12.(2006安徽高考)设a 、b ∈R ,已知命题p:a=b;命题q:(2b a +)2≤222b a +.则p 是q 成立的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件思路解析:结合均值不等式及等号成立的条件来解.a=b 时显然可得q 成立;但q 成立并一定要有a=b,a≠b 也可.∴命题p:a=b 是命题q:2)2(222b a b a +≤+等号成立的充分不必要条件.答案:B13.(2006安徽高考)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( )A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形思路解析:结合三角形的内角和为π,易得△A 1B 1C 1为锐角三角形,△A 2B 2C 2的证明可以采用反证法.△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,则△A 1B 1C 1是锐角三角形,若△A 2B 2C 2是锐角三角形, 由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-==-==.2,2,2),2sin(cos sin ),2sin(cos sin ),2sin(cos sin 121212112112112C C B B A A C C C B B B A A A ππππππ得 那么,A 2+B 2+C 2=2π,所以△A 2B 2C 2是钝角三角形. 答案:D14.(2006江苏高考)设a 、b 、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( )A.|a-b|≤|a -c|+|b-c|B.a 2+21a ≥a+a 1 C.|a-b|+ba -1≥2 D.a a a a -+≤+-+213 思路解析:这类题目的解决利用的知识比较多,可以直接用常用的不等式证明,也可以赋值检验,要注意分析.因为|a-b|=|(a-c)-(b-c)|≤|a -c|+|b-c|,所以A 恒成立;在B 两侧同时乘以a 2,得a 4+1≥a 3+a ⇐(a 4-a 3)+(1-a)≥0⇐a 3(a-1)-(a-1)≥0⇐(a-1)2(a 2+a+1)≥0,所以B 恒成立;C 中,当a ＞b 时,恒成立,a ＜b 时,不成立;D 中,分子有理化得a a a a ++≤+++22132恒成立.答案:C。
人教版新课标A版选修2-2数学2.2直接证明与间接证明同步练习(I)卷
人教版新课标A版选修2-2数学2.2直接证明与间接证明同步练习（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数（）A . 成等比数列而非等差数列B . 成等差数列而非等比数列C . 既成等差数列又成等比数列D . 既非等差数列又非等比数列2. （2分）设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有（）A . 1≤ab≤B . ab<1<C . ab< <1D . <ab<13. （2分）已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（）A . 只有一条，不在平面α内B . 有无数条，不一定在平面α内C . 只有一条，且在平面α内D . 有无数条，一定在平面α内4. （2分）已知y>x>0，且x＋y＝1，那么（）A . x< <y<2xyB . 2xy<x< <yC . x< <2xy<yD . x<2xy< <y5. （2分）要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A . 综合法B . 分析法C . 反证法D . 归纳法6. （2分）已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）已知是两个平面，直线 l 不在平面内， l 也不在平面内，设① ；② ；③ ．若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2018高二下·双鸭山月考) 要证成立，应满足的条件是（）A . 且B . 且C . 且D . ,或 ,9. （2分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝b，则f（－a）等于（）A . bB . －bC .D .10. （2分）设a>0，b>0且ab-(a+b)≥1，则（）A . a+b≥2( +1)B . a+b≤ +1C . a+b≤( +1)2D . a+b>2( +1)11. （2分）设0<x<1，则a= ，b=1+x ， c= 中最大的一个是（）A . aB . bC . cD . 不能确定12. （2分）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，正确顺序的序号为（）A . ①②③B . ③①②C . ①③②D . ②③①13. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的假设为（）A . 都是奇数B . 都是偶数C . 中至少有两个偶数D . 中至少有两个偶数或都是奇数14. （2分） (2018高二下·葫芦岛期末) 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A . 假设、、都是偶数B . 假设、、都不是偶数C . 假设、、中至多有一个是偶数D . 加速、、中至多有两个是偶数15. （2分）用反证法证明结论：“曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）A . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有两个不同的交点B . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点C . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）恰有两个不同的交点D . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有一个交点二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2016高一上·杭州期中) 若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=________17. （1分）在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3 ，则a5与b5的大小关系为________．18. （1分）完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.19. （1分）已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．20. （1分） (2016高一上·吉林期中) 若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=________．三、解答题 (共5题；共40分)21. （5分） (2018高一下·上虞期末) 设，数列满足， .（Ⅰ）当时，求证：数列为等差数列并求；（Ⅱ）证明：对于一切正整数，．22. （10分）(2020·河南模拟) 已知函数，记不等式的解集为 .（1）求；（2）设，证明： .23. （5分）已知函数f（x）=ln（1+ex）﹣x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0∈（a，b），使得”成立．利用这个性质证明x0唯一；24. （15分） (2019高三上·佛山月考) 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，对任意的恒成立，求整数的最大值；（3）求证：当时，25. （5分）已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共40分) 21-1、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、24-3、25-1、。
高中数学(人教A版选修2-2)同步练测：2.2直接证明与间接证明(含答案详解).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.2 直接证明与间接证明一、选择题（每小题5分，共20分）1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P 1成立，欲证P 1成立只需证P 2成立，则P 2是θ的一个（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要不充分条件4． 3.设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P ab cd =+，b dQ ma nc m n=++·，则有（ ） Ａ．P Q ≥ Ｂ．P Q ≤Ｃ．P Q >Ｄ．P Q <4.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()B f ab =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤Ｃ．B C A ≤≤Ｄ．C B A ≤≤二、填空题(每小题5分，共10分)5．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．三、解答题(共70分)7.（15分）设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：3a ＋3b ＞22ab b a +8.（20分）设223≤≤x ，求证：83153212<-+-++x x x9．(20分) 设c b a ,,为任意三角形边长，ca bc ab S c b a I ++=++=,，试证：S I S 432<≤10.（15分）在ABC △中，已知()()a b c a b c a b+++-=，且2c A B C =．判断ABC △的形状．2.2 直接证明与间接证明答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.2 直接证明与间接证明 答案一、选择题1.A2.A 解析：∵欲证θ成立只需证P 1成立，∴P 1⇒θ.∵欲证P 1成立只需证P 2成立，∴P 2⇒P 1，∴P 2⇒θ.∴P 2是θ的一个充分条件.3. B4.A二、填空题5.满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 三、计算题7. 解：证明一：(分析法)要证3a +3b ＞22ab b a +成立，只需证(a+b)(2a -ab+2b )＞ab(a+b)成立， 即需证2a -ab+2b ＞ab 成立。
高中数学选修1-2同步练习题库：直接证明与间接证明(简答题：一般)
直接证明与间接证明（简答题：一般）1、已知函数f(x)＝aln x＋ (a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，＋∞)内的最小值；(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(3)求证ln(n＋1)> ＋＋＋…＋ (n∈N*)．2、(1)已知，用分析法证明:；(2)已知，且，用反证法证明:都大于零．3、（1）已知，求证：；（2）已知非零实数满足，求证：.4、对于不等式，，，它们都是正确的.(1)根据上面不等式的规律，猜想与的大小并加以证明；(2)若不等式成立，请你写出所满足的一个等式和一个不等式，不必证明.5、设，，且.证明：与不可能同时成立.6、设为三角形的三边，求证：7、设非等腰的内角、、所对边的长分别为、、，且、、成等差数列，用分析法证明：.8、（1）已知正数满足，求证：；（2）求证：1，，3不可能是一个等差数列中的三项.9、已知，，且，试用分析法证明不等式成立.10、求证：11、已知数列满足，（1）求，，，；（2）归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；（3）求证能被15整除．12、给出四个等式：；；；．猜测第个等式，并用数学归纳法证明．13、已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.14、（1）求证：（2）求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积.15、证明下列不等式：(1) +> (2)16、某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.（1）求出；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，（3）根据你得到的关系式求的表达式17、（1）设a，b是两个不相等的正数，若，用综合法证明：a+b＞4（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，用分析法证明：．18、某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.（1）求出；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，（3）根据你得到的关系式求的表达式19、（1）求证： .（2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式．20、用反证法证明：在△中，若，则必为锐角21、求证：一个三角形中，最大的角不小于600..22、已知数列满足，（1）求，，，；（2）归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；（3）求证能被15整除．23、已知函数，用反证法证明没有负实数根．24、(Ⅰ)请用分析法证明：(Ⅱ)已知为正实数，请用反证法证明：与中至少有一个不小于2．25、在中，用综合法证明：是的充分不必要条件.26、设集合，在集合中定义一种运算“"，使得．（1）证明：；（2）证明：若，则.27、下面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是1，从外到内，第个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为.（1）试写出与的递推关系式；（2）设，求的值.28、设非等腰的内角、、所对边的长分别为、、，且、、成等差数列，用分析法证明：.29、（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.30、（1）当时，试用分析法证明：；（2）已知，.求证：中至少有一个不小于0.31、证明下列不等式：（Ⅰ）用综合法证明：若，，求证：；（Ⅱ）用分析法证明：．32、若，，均为实数，且，，.求证：，，中至少有一个大于0.33、证明：若，，，则，，至少有一个不小于2.34、已知函数，.（1）用分析法证明：；（2）证明：.35、【从下面两道题中任选一道作答，则只按第一道给分】（1）已知：为互不相等的实数，且，求证：（2）已知：，求证.36、证明: (1) （5分）已知，且求证：中至少有一个是负数。
高中数学(人教A版选修2-2)同步练测：2.2直接证明与间接证明(含答案详解)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2.2 直接证明与间接证明一、选择题（每小题5分，共20分）1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P 1成立，欲证P 1成立只需证P 2成立，则P 2是θ的一个（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要不充分条件4． 3.设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P ab cd =+，b dQ ma nc m n=++·，则有（ ） Ａ．P Q ≥ Ｂ．P Q ≤Ｃ．P Q >Ｄ．P Q <4.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()B f ab =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤Ｃ．B C A ≤≤Ｄ．C B A ≤≤二、填空题(每小题5分，共10分)5．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．三、解答题(共70分)7.（15分）设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：3a ＋3b ＞22ab b a +8.（20分）设223≤≤x ，求证：83153212<-+-++x x x9．(20分) 设c b a ,,为任意三角形边长，ca bc ab S c b a I ++=++=,，试证：S I S 432<≤10.（15分）在ABC △中，已知()()a b c a b c a b+++-=，且2c A B C =．判断ABC △的形状．2.2 直接证明与间接证明答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.2 直接证明与间接证明 答案一、选择题1.A2.A 解析：∵欲证θ成立只需证P 1成立，∴P 1⇒θ.∵欲证P 1成立只需证P 2成立，∴P 2⇒P 1，∴P 2⇒θ.∴P 2是θ的一个充分条件.3. B4.A二、填空题5.满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 三、计算题7. 解：证明一：(分析法)要证3a +3b ＞22ab b a +成立，只需证(a+b)(2a -ab+2b )＞ab(a+b)成立， 即需证2a -ab+2b ＞ab 成立。
人教A版高中数学选修直接证明与间接证明同步练习(2)
高中数学选修1-2第二章单元训练题及答案一:选择题1．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-2．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值 3．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 4．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27- 5．设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母A F 共16个计数例如，用十六进制表示,则（ ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．0B二、填空题7．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
8．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。
9．若lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则_____=。
三、解答题10)n 是正整数11．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，c b a ,,均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数。
求证：0)(=x f 无整数根。
参考答案:一:选择题:1.D 2.D 3.D 4.C 5.B 6.A二:填空题:7: 2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈8: x y <,2222()2a b y a b x +==+=>= 9．4 2222lg()lg(2),(2),540,,4xy x y xy x y x xy y x y x y =-=--+===或而20,444x y x y >>∴==三:解答题: 10===311...133...3nn==⨯=11．证明：假设0)(=x f 有整数根n ，则20,()an bn c n Z ++=∈而)1(),0(f f 均为奇数，即c 为奇数，a b +为偶数，则,,a b c 同时为奇数‘ 或,a b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，2an bn +为偶数；当n 为偶数时，2an bn +也为偶数，即2an bn c ++为奇数，与20an bn c ++=矛盾。
优选整合高中数学人教A版选修1-22.2直接证明与间接证明1测试教师版
第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明1（检测教师版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．【答案】 C2．要证明a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法【解析】 要证a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4，只需证2a ＋7＋2＋＜2a ＋7＋2＋＋， 只需证＋＜a ＋＋， 只需证a(a ＋7)＜(a ＋3)(a ＋4)，只需证0＜12，故选用分析法最合理．【答案】 C3．下列函数f(x)中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)”的是( )A ．f(x)＝1xB ．f(x)＝(x －1)2C ．f(x)＝e xD ．f(x)＝ln(x ＋1)【解析】 若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A.【答案】 A4．已知函数f(x)＝lg 1－x 1＋x，若f(a)＝b ，则f(－a)等于( ) A ．b B ．－b C.1b D ．－1b【解析】 f(x)定义域为(－1,1)，f(－a)＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a 1＋a＝－f(a)＝－b. 【答案】 B5．已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内【解析】由直线l 与点P 可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内．【答案】 C6．对一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2,2]C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)【解析】 用分离参数法可得a≥－(|x|＋1|x|)(x≠0)，而|x|＋1|x|≥2，∴a≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立． 【答案】 C二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．补足下面用分析法证明基本不等式a 2＋b 22≥ab 的步骤： 要证明a 2＋b 22≥ab ， 只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证____________，只需证____________．由于____________显然成立，因此原不等式成立．【解析】 要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ， 只需证a 2＋b 2－2ab≥0，只需证(a －b)2≥0，由于(a －b)2≥0显然成立，因此原不等式成立．【答案】 a 2＋b 2－2ab≥0 (a －b)2≥0 (a －b)2≥08．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 【解析】 ∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－45，∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3. 【答案】 －3三、解答题（共2小题，共20分）9．已知a>0，b>0，用两种方法证明：a b ＋b a ≥a ＋ b. 【证明】 法一 (综合法)：因为a>0，b>0，所以a b ＋b a －a －b ＝(a b －b)＋(b a－a) ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b)(1b －1a)＝a ＋ba －b 2ba所以a b ＋b a ≥a ＋ b. 法二 (分析法)：要证a b ＋b a ≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ， 即证(a －b)(a －b )≥0，因为a>0，b>0，a －b 与a －b 同号，所以(a －b)(a －b )≥0成立，所以a b ＋b a≥a ＋b 成立. 10．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．【证明】 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C.①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac.④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝a 2＋c 2－ac.再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c)2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C.⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．。
人教A版高中数学选修直接证明与间接证明同步练习二新
高中新课标选修（1-2）直接证明与间接证明测试题一、选择题1．下列说法不正确的是（ ）Ａ．综合法是由因导果的顺推证法Ｂ．分析法是执果索因的逆推证法Ｃ．综合法与分析法都是直接证法Ｄ．综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用答案：Ｄ2．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（ ）Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件答案：Ｂ3．若a b c ，，是不全相等的实数，求证：222a b c ab bc ca ++>++．证明过程如下：a b c ∈R ，，∵，222a b ab +∴≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥，又a b c ，，∵不全相等，∴以上三式至少有一个“=”不成立，∴将以上三式相加得2222()2()a b c ab b c ac ++>+++，222a b c ab bc ca ++>++∴．此证法是（ ） Ａ．分析法Ｂ．综合法 Ｃ．分析法与综合法并用 Ｄ．反证法答案：Ｂ41>．证明：1，1>，即证75111+>+，，3511>∵，∴原不等式成立．以上证明应用了（ ）Ａ．分析法 Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法配合使用 Ｄ．间接证法答案：Ａ5．以下数列不是等差数列的是（ ）Ｂ．π2π5π8+++，，Ｄ．204060，，答案：Ｃ6．使不等式116a <成立的条件是（ ） Ａ．ab > Ｂ．a b <Ｃ．a b >，且0ab < Ｄ．a b >，且0ab >答案：Ｄ二、填空题7．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的 ”．答案：三个内角都小于60°8．已知00a b m n >>==，，m 与n 的关系为 ．答案： m n ≤9．当00a b >>，时，①11()4a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥；②22222a b a b +++≥；；④2ab a b+ 以上4个不等式恒成立的是 ．（填序号）答案：①②③10．函数()sin 2sin [02π]f x x x x =+∈，，的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ．答案：13k <<11．设函数()lg f x x =，若0,a b <，且()()f a f b >，则ab ∈ ．答案：(01)，12．已知平面αβγ，，满足l αγβγαβ⊥⊥=，，，则l 与γ的位置关系为 ．答案：l γ⊥三、解答题13．已知(01)a b c ∈，，，．求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能同时大于14． 证明：假设三式同时大于14，即1(1)4a b ->，1(1)4b c ->，1(1)4c a ->， 三式同向相乘，得1(1)(1)(1)64a a b b c c --->． ① 又211(1)24a a a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭≤， 同理1(1)4b b -≤，1(1)4c c -≤． 所以1(1)(1)(1)64a ab bc c ---≤， 与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．14．已知数列{}n a 为等差数列，公差1d =，数列{}n c 满足221()n n n c a a n *+=-∈N ．判断数列{}n c 是否为等差数列，并证明你的结论．答案：是．证明：由条件1(1)n a a n =+-，则2211221n n n c a a n a +=-=--+．所以12n n c c +-=-，所以数列{}n c 为等差数列．15．若下列方程：24430x ax a =-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解：设三个方程均无实根，则有2122223164(43)0(1)4044(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，，，解得312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪<->⎨⎪-<<⎪⎪⎩，，或，，即312a -<<-． 所以当1a -≥或32a -≤时，三个方程至少有一个方程有实根．。
人教A版选修1-2《2.2直接证明与间接证明(1)》同步练习及答案
高中新课标选修（1-2）直接证明与间接证明测试题一、选择题1 ） Ａ．综合法 Ｂ．分析法 Ｃ．间接证法 Ｄ．合情推理法答案：Ｂ2．对一个命题的证明，下列说法错误的是（ ） Ａ．若能用分析法，必能用综合法Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法 Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法 Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立答案：Ｄ3．设a b c ，，都是正数，则三个数111a b c b c a+++，，（ ） Ａ．都大于2Ｂ．至少有一个大于2Ｃ．至少有一个不大于2Ｄ．至少有一个不大于2答案：Ｃ4．设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P =，Q = ） Ａ．P Q ≥Ｂ．P Q ≤ Ｃ．P Q > Ｄ．P Q <答案：Ｂ5．若π04αβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则（ ） Ａ．a b <Ｂ．a b > Ｃ．1ab < Ｄ．2ab >答案：Ａ6．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，B f =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤ Ｃ．B C A ≤≤ Ｄ．C B A ≤≤答案：Ａ二、填空题7．sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-°°°°°°的值为 ．答案：2 8．三次函数3()1f x ax =-在()-+，∞∞内是减函数，则a 的取值范围是 ．答案：0a <9．若抛物线2y mx =与椭圆22195x y +=有一个共同的焦点，则m = ． 答案：8±10．已知a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥． 证明过程如下：∵a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，110b c a a +-=>∴，110a c b b +-=>，110a b c c+-=>， 111111b c a b c a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴．8a c a b b c ++=·， 当且仅当a b c ==时取等号，∴不等式成立．这种证法是 ．（综合法、分析法或反证法）答案：综合法11．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤αβ∥．（1）当满足条件 时，有m β∥，（2）当满足条件 时，有m β⊥．（填所选条件的序号）答案：③⑤，②⑤12．向量，a b 满足()(2)4a b a b -+=-·，且24a b ==，，则a 与b 夹角的余弦值等于 ．答案：12-三、解答题13．设函数()f x 对任意∈R ，x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x <．（1）证明()f x 为奇函数；（2）证明()f x 在R 上为减函数．证明：（1）x y ∈R ，∵，()()()f x y f x f y +=+，∴令0x y ==，(0)(0)(0)f f f =+，(0)0f =∴，令y x =-，代入()()()f x y f x f y +=+，得(0)()()f f x f x =+-， 而(0)0f =，()()()f x f x x -=-∈R ∴，()f x ∴是奇函数；（2）任取12x x ∈R ，，且12x x <，则210x x x ∆=->，21()()0f x f x x ∆=-<∴．又2121()()()f x x f x f x -=+-，()f x ∵为奇函数，11()()f x f x -=-∴，21()()()0f x f x f x ∆=-<∴，即21()()0f x f x -<，()f x ∴在R 上是减函数．14．用分析法证明：若0a >12a a+-．12a a +≥ 0a >∵，∴两边均大于零．因此只需证2222111422a a a a a a ⎫++++++++⎪⎭，只需证1a a ⎫+⎪⎭， 只需证22221122a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥，即证2212a a +≥，而2212a a +≥显然成立， ∴原不等式成立．15．在ABC △中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2c os sin sin A B C =．判断ABC △的形状．解：180A B C++=∵°，sin sin()C A B=+∴．又2cos sin sinA B C=，2cos sin sin cos cos sinA B A B A B=+∴，sin()0A B-=∴．又A与B均为ABC△的内角，A B=∴．又由()()3a b c a b c ab+++-=，得22()3a b c ab+-=，222a b c ab+-=，又由余弦定理2222cosc a b ab C=+-，得2222cosa b c ab C+-=，2cosab C ab=∴，1cos2C=，60C=∴°．又A B=∵，∴ABC△为等边三角形．。
人教A版选修2-22.2直接证明与间接证明同步练习.docx
高中数学学习材料唐玲出品2.2直接证明与间接证明同步练习1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案：B解析：解答：由正弦定理得sinBcosC ＋sinCcosB ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C)＝sin 2A ，∴sinA＝sin 2A ，而sinA>0，∴sinA ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形分析：要判断三角形的形状，只要计算出最大的角的大小即可，利用已知条件得知A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形 2.已知x 、y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lgy ＝2lg x ＋2lgyB ．2lg(x ＋y)＝2lg x ·2lgyC ．2lg x ·lgy ＝2lg x ＋2lgyD ．2lg(x y)＝2lg x ·2lgy答案：D 解析：解答：2lg(x y)＝2(lg x ＋lgy)＝2lg x ·2lgy. 分析：简单题，考查对数和指数的运算法则 3. 设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab<1<a 2＋b 22 C ．ab<a 2＋b 22<1 D ．a 2＋b 22<1<ab答案：B解析：解答：ab<⎝⎛⎭⎫a ＋b 22< a 2＋b22(a ≠b)分析：考查不等式222a b ab +≥，简单题4. 设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( ) A ．a B ．b C ．c D ．不能确定答案：C解析：解答：因为b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x ＜0，所以b<c.又因为(1＋x )2>2x >0，所以b ＝1＋x >2x ＝a ，所以a<b<c分析：可用特值法：取x ＝12，则a ＝1，b ＝32，c ＝2。
人教版数学高二A版选修1-2课堂探究 2.2 直接证明与间接证明(第1课时)
课堂探究探究一 综合法的应用综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．【典型例题1】已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 思路分析：根据题意进行适当配凑，再利用基本不等式进行证明即可．证明：∵a 2＋19≥2a 3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3， ∴⎝⎛⎭⎫a 2＋19＋⎝⎛⎭⎫b 2＋19＋⎝⎛⎭⎫c 2＋19 ≥23a ＋23b ＋23c ＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 规律小结 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a 2≥0(a ∈R )．②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22. ③若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ， 特别是b a ＋a b≥2. 【典型例题2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理，再用定理进行证明．证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.规律小结利用一些常见的结论常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中的一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．探究二分析法的应用分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的证明方法，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的判断，而当这个判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提)．因此，分析法是一种执果索因的证明方法，也是数学证明常用的手段． 【典型例题3】已知a ＞5，求证a －5－a －3＜a －2－a .思路分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件．证明：要证a －5－a －3＜a －2－a ， 只需证a －5＋a ＜a －3＋a －2， 只需证(a －5＋a )2＜(a －3＋a －2)2，即2a －5＋2a 2－5a ＜2a －5＋2a 2－5a ＋6， 即证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6，即证0＜6.因为0＜6恒成立，所以原不等式成立．故a －5－a －3＜a －2－a .温馨提示 1．只有不等号两端均为非负数时，才能直接平方．2．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．探究三 综合法与分析法的综合应用分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，宜于表述，但思路不太好想．因此对二者交互使用，相互转换，解题时联合运用可增加解题思路．【典型例题4】已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0＜x ＜1，求证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2＜log x a ＋log x b ＋log x c . 思路分析：解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成证明整式不等式．证明：要证明log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2＜log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＜log x (abc )， 而已知0＜x ＜1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＞abc . ∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＞a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2＞abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2＜log x a ＋log x b ＋log x c 成立． 温馨提示 解题时，常用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合运用综合法与分析法，找到沟通已知条件与结论的途径．探究四 易错辨析易错点 分析法与综合法相混淆致错【典型例题5】求证：2＋10＜2 6. 错解：2＋10＜26，并且2＋10和26都是正数，所以(2＋10)2＜(26)2，即12＋45＜24，5＜3，所以5＜9.因为5＜9成立， 所以不等式2＋10＜26成立．错因分析：本题步骤出现错误，把2＋10＜26看成了条件去推，不符合分析法的步骤．正解：因为2＋10和26都是正数， 所以要证2＋10＜26，只需证明(2＋10)2＜(26)2，展开得12＋45＜24，即5＜3，故只需证5＜9.因为5＜9显然成立，所以不等式2＋10＜26成立．。
数学人教A版选修1-2教材习题点拨：2.2 直接证明与间接证明含解析
教材习题点拨思考1解：综合法证明是“由因导果"，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法,分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，应注意两种方法在解题中的综合应用．在综合法中：①明确推证方向，选择最佳途径是综合法的难点；②在顺推中，联系最终结果进行猜想，防止迷路和剪除无用的中间过程,这是一个猜证结合点．在分析法中：①步步追溯的条件都是结论成立的充分条件(当然，充要条件更好)，因此，分析法的表述中都是倒箭头“⇐”或双箭头“⇔"，即为果⇐因,绝不可果⇒因；②在追溯中要时时联系已知条件P进行猜想,选择最佳途径，这也是一个猜证结合点．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明,但更多的时候是综合法与分析法结合使用，先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．练习11．证明：因为cos4θ－sin4θ＝（cos2θ＋sin2θ）（cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ，所以命题得证．2．证明：要证错误!＋错误!＞2错误!＋错误!，只需证(错误!＋错误!)2＞(2错误!＋错误!）2，即证13＋2错误!＞13＋2·2错误!,即证错误!＞错误!，即证42＞40,这是显然成立的．所以原命题得证．3．证明：因为(a2－b2）2＝（a－b）2（a＋b)2＝（2sin α)2(2tan α)2＝16sin2αtan2α，又因为16ab＝16（tan α＋sin α）(tan α－sin α）＝16错误!·错误!＝16错误!＝16sin2αsin2αcos2α＝16sin2αtan2α，从而(a2－b2)2＝16ab.所以命题成立．点拨：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点．练习21．证明：假设∠B不是锐角，则∠B≥90°.因此∠C＋∠B≥90°＋90°＝180°.这与三角形的内角和等于180°矛盾．所以假设不成立．从而，∠B 一定是锐角．2．证明:假设错误!,错误!，错误!成等差数列，则2错误!＝错误!＋错误!。
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高中新课标选修（1-2）直接证明与间接证明测试题
一、选择题
1< ） Ａ．综合法 Ｂ．分析法 Ｃ．间接证法 Ｄ．合情推理法
答案：Ｂ
2．对一个命题的证明，下列说法错误的是（ ） Ａ．若能用分析法，必能用综合法
Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法 Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法 Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立
答案：Ｄ
3．设a b c ，，都是正数，则三个数111a b c b c a
+++，，（ ） Ａ．都大于2
Ｂ．至少有一个大于2
Ｃ．至少有一个不大于2
Ｄ．至少有一个不大于2
答案：Ｃ
4．设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P =Q = ） Ａ．P Q ≥
Ｂ．P Q ≤ Ｃ．P Q > Ｄ．P Q <
答案：Ｂ
5．若π04αβ<<<
，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则（ ） Ａ．a b <
Ｂ．a b > Ｃ．1ab < Ｄ．2ab >
答案：Ａ
6．已知函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，B f =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）
Ａ．A B C ≤≤
Ｂ．A C B ≤≤ Ｃ．B C A ≤≤ Ｄ．C B A ≤≤
答案：Ａ
二、填空题
7．
sin7cos15sin8cos7sin15sin8+-°°°°°°
的值为 ．
答案：2 8．三次函数3()1f x ax =-在()-+，
∞∞内是减函数，则a 的取值范围是 ．
答案：0a <
9．若抛物线2
y mx =与椭圆22
195
x y +=有一个共同的焦点，则m = ． 答案：8±
10．已知a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≥． 证明过程如下：
∵a b c +∈R ，，，且1a b c ++=， 110b c a a +-=>∴，110a c b b +-=>，110a b c c
+-=>， 111111b c a b c a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴．
8a c a b b c ++=·， 当且仅当a b c ==时取等号，∴不等式成立．
这种证法是 ．（综合法、分析法或反证法）
答案：综合法
11．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤αβ∥．（1）当满足条件 时，有m β∥，（2）当满足条件 时，有m β⊥．（填所选条件的序号）
答案：③⑤，②⑤
12．向量，a b 满足()(2)4a b a b -+=-·，且24a b ==，，则a 与b 夹角的余弦值等于 ．
答案：12
-
三、解答题
13．设函数()f x 对任意∈R ，x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x <．
（1）证明()f x 为奇函数；
（2）证明()f x 在R 上为减函数．
证明：（1）x y ∈R ，∵，()()()f x y f x f y +=+，
∴令0x y ==，(0)(0)(0)f f f =+，
(0)0f =∴，令y x =-，代入()()()f x y f x f y +=+，得(0)()()f f x f x =+-， 而(0)0f =，()()()f x f x x -=-∈R ∴，
()f x ∴是奇函数；
（2）任取12x x ∈R ，，且12x x <，
则210x x x ∆=->，
21()()0f x f x x ∆=-<∴．
又2121()()()f x x f x f x -=+-，
()f x ∵为奇函数，
11()()f x f x -=-∴，
21()()()0f x f x f x ∆=-<∴，即21()()0f x f x -<，
()f x ∴在R 上是减函数．
14．用分析法证明：若0a >12a a +-．
12a a
+≥ 0a >∵，∴两边均大于零．
因此只需证2222111422a a a a a a ⎫++++++++⎪⎭，
只需证1a a ⎫+⎪⎭
， 只需证22221122a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭≥，即证2212a a +≥，而2212a a +≥显然成立， ∴原不等式成立．
15．在ABC △中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C =
．判断ABC △的形状．
解：180A B C ++=∵°，sin sin()C A B =+∴． 又2cos sin sin A B C =，
2cos sin sin cos cos sin A B A B A B =+∴， sin()0A B -=∴．
又A 与B 均为ABC △的内角，A B =∴． 又由()()3a b c a b c ab +++-=， 得22()3a b c ab +-=，222a b c ab +-=， 又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2222cos a b c ab C +-=，
2cos ab C ab =∴，1cos 2
C =，60C =∴°． 又A B =∵，∴ABC △为等边三角形．。