直线与圆锥曲线的位置关系专题复习
高中数学第2轮总复习专题6第4课时直线与圆锥曲线的位置关系课件文.ppt
所
以
x y
21 2t ， 1 2t 2
所
以
y
x2 4
，
即x2 4y.因为t 0,1，所以x 2 1 2t 2, 2．
所以所求动点M 的轨迹方程为x2 4y( x 2, 2)．
备选例题: 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点
到点F 1, 0的距离减去它到y轴距离的差都是1. 1求曲线C的方程； 2是否存在正数m，对于过点M m,0且与曲线C
B
(
x
，
2
y2
)，
l的
方
程
为
x
ty
m.
由
x ty
y2
4x
m，
得
y2
4ty
4m
0，
16t2
16m
0， 于
是
y1 y1
y2
y2
4t 4m
.
又FA (x1 1，y1)，FB (x2 1，y2 )，由FA FB 0，
得x1x2
x1
x2 1
y1 y2
0.又x
y2 ， 4
所以 y12 y22 16
xE yE
2t .
2t 1
所 以 kDE
yE xE
yD xD
2t 1 2t 1 2t 2t 2
1 2t.
所 以 t 0,1， 所 以 kDE 1,1．
2因为DM t DE，
所以( x 2t 2，y 2t 1)
t 2t 2t 2,2t 1 2t 1
t 2, 4t 2 2t, 4t 2 2t ．
1.(2011四川卷)在抛物线yx2 ax5(a0)上取横
坐标为x1 4，x2 2的两点，过这两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
寒假专题复习直线与圆锥曲线
寒假专题复习——直线与圆锥曲线回扣教材：复习课本选修2——1：课本第67页至第71页要求掌握的内容：①直线与圆锥曲线的位置关系 ②圆锥曲线的弦长 （一）知识梳理：1、直线与圆锥曲线的位置关系是 .， .， .。
相交时有 .个交点，相切时有 .个交点，相离时有 .个交点。
2、判断直线l 和圆锥曲线C 的位置关系，通常是将直线l 的方程0Ax By C ++=带入圆锥曲线C 的方程(,)0F x y =，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x （或y ）的一元方程，即{0(,)0Ax By C F x y ++==，消去y 得ax 2+bx+c=0（此方程称为消元方程）。
当a ≠0时，若有∆>0，直线l 和圆锥曲线C ；∆<0，直线l 和圆锥曲线C当a=0时，得到的是一个一元一次方程则直线l 和圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 是双曲线，则直线l 与双曲线的 平行；若C 是抛物线，则直线l 与抛物线的 平行。
3、连接圆锥曲线两个点的线段成为圆锥曲线的弦设直线l 的方程f (,)0x y =，圆锥曲线C 的方程(,)0F x y =，直线l 与圆锥曲线C 的两个不同交点为1,12,2(,)0()(),(,)0f x y A x y x y F x y =⎧⎨=⎩、B 联立，消去y 得ax 2+bx+c=0，则1,2x x 是它两个不等实根.（1）由根与系数的关系有1212x x x x +==（ ），（ ）（2）设直线l 的斜率为k,A,B 两点之间的距离若消去x,则 A,B 两点之间的距离|AB|=4、在给定的圆锥曲线f (,)0x y =中，求中点（m,n ）的弦AB 所在的直两种处理方法：（1）由根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解。
（2）点差法：若直线l 与圆锥曲线C 的两个不同的交点A ，B ，首先设出交点坐标1,12,2()(),A x y x y 、B 代入曲线C的方程，通过作差，构造出12121212,,,x x y y x x y y ++--，从而建立中点坐标与斜率的关系。
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
精编高三理科数学直线与圆锥曲线位置关系题型与方法
精编高三理科数学直线与圆锥曲线位置关系题型与方法 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围 题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
例题3、已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
题型三：动弦过定点的问题例题4、（07山东）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题5、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =PQ的斜率。
练习：（2009辽宁）已知，椭圆C 以过点A （1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1） 求椭圆C 的方程；（2） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。
直线与圆锥曲线的位置关系
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。
故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
九年级数学圆锥曲线期末复习3
高 二 数 学 期 末 复 习 三（圆锥曲线综合问题）一、知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系：在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“0∆>”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“0∆>”.②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.2．弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则22|||AB x x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12|||AB y y =-=，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。
注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。
3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；在双曲线22221x y a b-=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率)0(00≠=y y pk 。
注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.二、典型例题例1．（1）椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离为13138； （2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知ΔABO 重心的横坐标为3（O 为坐标原点），则|AB|=___10____（3*）已知直线1+-=x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，则此椭圆的离心率为22（4*）若椭圆11022=+m y x 与双曲线122=-b y x 有相同的焦点，且),310(y P 椭圆与双曲线的一个交点，则椭圆与双曲线的方程分别为,11022=+y x 1822=-y x 。
2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系课件
x=- ,分别过
2
F( ,0),
2
A,B 作准线的垂线,垂足为点 A',B',
过A作BB'的垂线,垂足为M,设|AA'|=|AF|=t,
∵|BF|=3|FA|,∴|BB'|=|BF|=3t,则|BM|=2t,|AB|=4t,
∴∠ABM=60°.
即直线l的倾斜角∠AFx=120°,可得直线l的斜率为
k=tan 120°= - 3 ,故选A.
考点二
弦长问题
典例突破
例2.(多选)(2023新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线 y=- 3(x-1) 过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(
A.p=2
B.|MN|=
8
3
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
21
22
(2 -1 )(2 +1 )
2
2
+1 =1, +2 =1,两式作差,得
+(y2-y1)(y2+y1)=0.因为
2
2
2
2 -1
0
x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, - =kAB,所以 kAB=-2 .
2 1
0
(1)设弦中点为 M(x,y),由①式, 得
2=-2,所以
= 16 2 -4 × (1- 2 ) × (-10) > 0,
4
A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 + 2 =
1 2 =
解得-
15
<k<-1.故选
3
专题练 第26练 直线与圆锥曲线的位置关系
第26练 直线与圆锥曲线的位置关系1．(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于( )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 2 答案 B解析 方法一 由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)． 不妨取A (1,2)， 则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝2 2.方法二 由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2， 所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4， 所以AF 的长为通径长的一半， 所以AF ⊥x 轴， 所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.2．(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( ) A.72 B ．3 C.52 D ．2 答案 B解析 方法一 由题意知a ＝1，b ＝3，c ＝2， F 1(－2,0)，F 2(2,0)，如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上， 故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝16.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4， 所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3.方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上， 且|F 1F 2|＝21＋3＝4.设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 203＝1，x 20＋y 20＝2，解得|y 0|＝32.所以△PF 1F 2的面积为 12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3. 方法三 由二级结论焦点△PF 1F 2的面积 S ＝b 2tan θ2＝3tan 45°＝3.3．(2014·全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0， 因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94.4．(2013·全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2，又k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9， ∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.5．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点A (1,1)在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上，过点B (0，－1)的直线交C 于P ，Q 两点，则( ) A ．C 的准线为y ＝－1 B ．直线AB 与C 相切 C ．|OP |·|OQ |>|OA |2 D ．|BP |·|BQ |>|BA |2 答案 BCD解析 如图，因为抛物线C 过点A (1,1)，所以1＝2p ，解得p ＝12，所以C ：x 2＝y 的准线为y＝－14，所以A 错误；因为x 2＝y ，所以y ′＝2x ，所以y ′|x ＝1＝2，所以C 在点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，又点B (0，－1)在直线y ＝2x －1上，所以直线AB 与C 相切，所以B 正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝y 得x 2－kx ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝1，且Δ＝k 2－4>0，得k >2或k <－2， 所以|OP |·|OQ |＝x 21＋y 21·x 22＋y 22＝(x 21＋x 41)(x 22＋x 42)＝(1＋x 21)(1＋x 22)·x 1x 2＝1＋(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＋x 21x 22＝k 2>2＝|OA |2，所以C 正确；|BP |·|BQ |＝x 21＋(y 1＋1)2·x 22＋(y 2＋1)2＝x 21＋(x 21＋1)2·x 22＋(x 22＋1)2 ＝(x 41＋3x 21＋1)(x 42＋3x 22＋1)＝x 41x 42＋(3x 21x 22＋3)(x 21＋x 22)＋x 41＋x 42＋9x 21x 22＋1 ＝6(x 21＋x 22)＋x 41＋x 42＋11 ＝6(x 21＋x 22)＋(x 21＋x 22)2＋9＝6(k 2－2)＋(k 2－2)2＋9 ＝(k 2＋1)2＝k 2＋1>5＝|BA |2，所以D 正确．6．(2015·全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时11APF AF F F PF S S S ==△△△－ 7．(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 令Δ>0，得t <12，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2， 故y 2＝－1，y 1＝3，代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1， 故|AB |＝4133. 8．(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A (2,1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0. (1)求l 的斜率；(2)若tan ∠P AQ ＝22，求△P AQ 的面积．解 (1)将点A 的坐标代入双曲线方程得4a 2－1a 2－1＝1，化简得a 4－4a 2＋4＝0，得a 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.由题易知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线l 与双曲线C 的方程，消y 整理得 (2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0， 故x 1＋x 2＝－4km2k 2－1，x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.k AP ＋k AQ ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝kx 1＋m －1x 1－2＋kx 2＋m －1x 2－2＝0，化简得2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4(m －1)＝0， 故2k (2m 2＋2)2k 2－1＋(m －1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 2k 2－1－4(m －1)＝0， 整理得(k ＋1)(m ＋2k －1)＝0， 又直线l 不过点A ，即m ＋2k －1≠0， 故k ＝－1.(2)不妨设直线P A 的倾斜角为θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 由题意知∠P AQ ＝π－2θ， 所以tan ∠P AQ ＝－tan 2θ＝2tan θtan 2θ－1＝22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22(舍去)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y 1－1x 1－2＝2，x 212－y 21＝1，得x 1＝10－423，所以|AP |＝3|x 1－2|＝43(2－1)3，同理得x 2＝10＋423，所以|AQ |＝3|x 2－2|＝43(2＋1)3.因为tan ∠P AQ ＝22， 所以sin ∠P AQ ＝223，故S △P AQ ＝12|AP ||AQ |sin ∠P AQ＝12×43(2－1)3×43(2＋1)3×223＝1629.9．(2022·赤峰模拟)若椭圆x 216＋y 29＝1的弦被点(2,1)平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．x －2y ＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．9x ＋8y －26＝0答案 D解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1， 两式作差可得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)16＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)16(y 1＋y 2)＝－9×416×2＝－98＝k AB.即弦所在直线的斜率为－98，直线方程为y－1＝－98(x－2)，整理得9x＋8y－26＝0.10．抛物线y2＝4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，则m与n的关系是() A．m＋n＝mn B．m＋n＝4C．mn＝4 D．无法确定答案 A解析抛物线的焦点F(1,0)，准线x＝－1，设焦点弦所在直线方程为y＝k(x－1)，把它代入y2＝4x得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设焦点弦与抛物线交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，由抛物线定义得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴m＋n＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝(x1＋x2)＋2，mn＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝(x1＋x2)＋2，∴m＋n＝mn.11．(多选)(2022·茂名模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，P是抛物线C上第一象限的点，|PF|＝5，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是() A．点P的坐标为(4,4)B．|QF|＝5 4C．S△OPQ＝10 3D．过点M(x0，－1)作抛物线C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为x0x－2y＋2＝0答案ABD解析对于A，因为|PF|＝5，所以由抛物线的定义得y P＋1＝5，即y P＝4，所以x2P＝4y P＝16，且点P在第一象限，所以坐标为(4,4)，则A正确；对于B ，l PF 的直线方程为y ＝34x ＋1，由y ＝34x ＋1与x 2＝4y 联立得，Q ⎝⎛⎭⎫－1，14， 由两点间的距离公式得|QF |＝54，则B 正确；对于C ，S △OPQ ＝12|OF ||x P －x Q |＝12×1×5＝52，则C 错误；对于D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由x 2＝4y得，y ＝x 24，则y ′＝x2，MA 的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y －y 1＝x 12x －x 212，由x 21＝4y 1得，y ＝x 12x －y 1， 把点M (x 0，－1)代入y ＝x 12x －y 1得，x 0x 1－2y 1＋2＝0， 同理x 0x 2－2y 2＋2＝0，即A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点满足方程x 0x －2y ＋2＝0， 所以AB 的方程为x 0x －2y ＋2＝0，则D 正确．12．(2022·玉林模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |·|BF |的最小值是( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 C解析 由题意知p ＝2，∵1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，∴1＝1|AF |＋1|BF |≥21|AF |·1|BF |， 得|AF |·|BF |≥4.13．(2022·杭州模拟)已知双曲线H 的两条渐近线互相垂直，过H 的右焦点F 且斜率为3的直线与H 交于A ，B 两点，与H 的渐近线交于C ，D 两点．若|AB |＝5，则|CD |＝______. 答案 3 5解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则其渐近线方程为y ＝±bax ，因为双曲线H 的两条渐近线互相垂直， 所以a ＝b ，所以渐近线方程为y ＝±x ， 所以双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)，则右焦点F (2a ，0)，所以直线方程为y ＝3(x －2a )， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝3(x －2a )代入x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)化简得，8x 2－182ax ＋19a 2＝0，所以x 1＋x 2＝92a 4，x 1x 2＝19a 28，所以|AB |＝1＋9·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10×10a 216＝5，解得a 2＝4，即a ＝2， 所以直线方程为y ＝3(x －22)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3(x －22)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝3(x －22)，得⎩⎨⎧x ＝322，y ＝－322，所以|CD |＝⎝⎛⎭⎫32－3222＋⎝⎛⎭⎫32＋3222 ＝3 5.14．(2022·贵港模拟)已知斜率为k (k >0)的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点，过A ，B 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，若△A 1BB 1与△ABA 1的面积之比为2，则k 的值为________． 答案 2 2解析 由抛物线C ：y 2＝4x 得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16(k 2＋1)>0，由根与系数的关系可得x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，由已知和抛物线定义知111A BB ABA S S △△＝12|BB 1|·|A 1B 1|12|AA 1|·|A 1B 1|＝|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2， 所以|BF |＝2|AF |，故由焦半径公式得x 2＋1＝2(x 1＋1)， 即x 2＝2x 1＋1，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1＋1，x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12，x 2＝2，k ＝22(负值舍去)．所以k 的值为2 2.15．(2022·无锡模拟)如图，A 1，A 2是双曲线x 29－y 23＝1的左、右顶点，B 1，B 2是该双曲线上关于x 轴对称的两点，直线A 1B 1与A 2B 2的交点为E .(1)求点E 的轨迹Γ的方程；(2)设点Q (1，－1)，过点Q 的两条直线分别与轨迹Γ交于点A ，C 和点B ，D .若AB ∥CD ，求直线AB 的斜率．解 (1)由题意知，A 1(－3,0)，A 2(3,0)． 设B 1(x 0，y 0)，B 2(x 0，－y 0)(x 0≠±3)，则x 209－y 203＝1， 则直线A 1B 1的方程为y ＝y 03＋x 0(x ＋3)，直线A 2B 2的方程为y ＝y 03－x 0(x －3)，两式相乘得y 2＝y 209－x 2(x 2－9)， 即y 2＝－13(x 2－9)，所以点E 的轨迹Γ的方程为 x 29＋y 23＝1(x ≠±3，x ≠0)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 设AQ →＝λQC →，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λ(x 3－1)，－1－y 1＝λ(y 3＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝1＋λ－x 1λ，y 3＝－(1＋λ)－y 1λ，代入椭圆方程，得[(1＋λ)－x 1]29λ2＋[(1＋λ)＋y 1]23λ2＝1，即4(1＋λ)29λ2－2(1＋λ)λ2⎝⎛⎭⎫x 19－y 13＋1λ2⎝⎛⎭⎫x 219＋y 213 ＝1，即4(1＋λ)29－2(1＋λ)⎝⎛⎭⎫x 19－y 13＝λ2－1，① 同理可得4(1＋λ)29－2(1＋λ)⎝⎛⎭⎫x 29－y 23＝λ2－1，② 由②－①，得x 19－y 13＝x 29－y 23，所以3(y 1－y 2)＝x 1－x 2，所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝13.16．(2022·玉林模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫3，12两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 (1)将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得⎩⎨⎧1a 2＋34b 2＝1，3a 2＋14b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝R 2，其中0<R <1， 设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y ＝kx ＋m ，①将其代入椭圆E 的方程并整理得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，②因为OA →⊥OB →， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，③将①代入③并整理得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 联立②得m 2＝45(1＋k 2)，④因为直线AB 和圆相切， 因此R ＝|m |1＋k 2，由④得R ＝255，所以存在圆x 2＋y 2＝45满足题意．当直线AB 的斜率不存在时，易得x 21＝x 22＝45， 由椭圆方程得y 21＝y 22＝45，显然OA →⊥OB →， 综上所述，存在圆x 2＋y 2＝45满足题意．当直线AB 的斜率存在时，由①②④得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1 ＝1＋k 216＋64k 2－16m 2(1＋4k 2)2＝455(1＋k 2)(1＋16k 2)(1＋4k 2)2＝45516k 4＋17k 2＋116k 4＋8k 2＋1＝4551＋9k 216k 4＋8k 2＋1 ＝4551＋916k 2＋1k2＋8，由16k 2＋1k 2≥8，得1<1＋916k 2＋1k2＋8≤54，即455<|AB |≤5， 当直线AB 的斜率不存在时，易得|AB |＝455， 所以455≤|AB |≤ 5.综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝45满足题意，且455≤|AB |≤ 5.[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查，难度为高档．一、弦长、面积问题 核心提炼判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断． 弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|， 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. 练后反馈题目 1 5 6 8 11 13 15 16 正误错题整理：二、中点弦问题 核心提炼解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法1．根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．2．点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量．练后反馈题目49正误错题整理：三、圆锥曲线中二级结论的应用核心提炼1．椭圆焦点三角形面积为b2tan α2(α为|F1F2|的对角)．2．双曲线焦点三角形面积为b2tan α2(α为|F1F2|的对角)．3．抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为直线l的倾斜角)．(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)1|AF|＋1|BF|＝2p.练后反馈题目2371012 正误错题整理：1．[T2补偿](2022·亳州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为2a 2，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 B解析 如图所示，设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F (c ，0)， 所以S △AF ′F ＝2a 2，且∠F ′AF ＝π2，根据双曲线焦点三角形面积公式12PF F S △＝b 2tan θ2得2a 2＝b 2， 结合c 2＝a 2＋b 2，得2a 2＝c 2－a 2⇒c 2＝3a 2⇒e 2＝3⇒e ＝ 3.2．[T3补偿](2022·新乡模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线x ＝－1与x 轴交于点A ，F 为C 的焦点，B 是C 上第一象限内的点，则|AB ||BF |取得最大值时，△ABF 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析 由题意可知，－p2＝－1，所以p ＝2，则y 2＝4x ，A (－1,0)，F (1,0)．过点B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为D ，如图，由抛物线的定义可知，|AB ||BF |＝|AB ||BD |＝1sin ∠BAD，要使|AB ||BF |取得最大值，则sin ∠BAD 取得最小值，需直线AB 与C 相切． 由题意知，直线AB 的斜率一定存在， 故设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 可得，k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1， 因为B 是C 上第一象限内的点，所以k ＝1， 此时k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0为x 2－2x ＋1＝0， 则x ＝1，故B (1,2)，故S △ABF ＝12×|AF |×|y B |＝12×2×2＝2.3．[T4补偿](多选)(2022·梅州模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143，过点M (－2,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，则下列结论正确的有( ) A ．椭圆的方程为x 29＋y 24＝1B ．椭圆的焦距为 5C ．椭圆上存在2个点Q ，使得QF 1―→·QF 2―→＝0 D ．直线l 的方程为8x －9y ＋25＝0 答案 AD解析 因为PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143，所以c ＝12|PF 2|2－|PF 1|2＝5，a ＝12(|PF 1|＋|PF 2|)＝3，则b ＝2， 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，椭圆的焦距为25，故A 正确，B 错误； 由QF 1―→·QF 2―→＝0知∠F 1QF 2＝90°， 所以点Q 在以F 1F 2为直径的圆上，因为c >b ，所以圆与椭圆有4个交点，故C 错误；因为过点M (－2,1)的直线交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称， 所以点M (－2,1)为弦AB 的中点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)9＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49·x 1＋x 2y 1＋y 2＝89，所以直线l 的方程为y －1＝89(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0，故D 正确．4．[T9补偿](2022·运城模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，直线x －2y ＋b ＝0与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 的中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是________． 答案 －43解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，所以e ＝ca ＝1－b 2a 2＝33， 所以b 2a 2＝23，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 因为P ，Q 在椭圆上，所以⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0， 即y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2， 即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－23， 即k PQ ·k OE ＝－23， 所以k OE ＝－43. 5．[T16补偿](2022·重庆模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点F 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，是否存在直线l 与点P ，使得△ABP 恰好为等边三角形，若存在，求出△ABP 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)依题意得c a ＝63，c ＝2， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 26＋y 22＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时，等边△ABP 不存在，故直线l 的斜率存在．设直线l ：y ＝k (x －2)，联立椭圆方程整理得(3k 2＋1)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 23k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－63k 2＋1， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝263k 2＋1(k 2＋1)． 记线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝6k 23k 2＋1，y 0＝－2k 3k 2＋1， 又x P ＝3，k MP ＝－1k， ∴|MP |＝1＋1k2|x 0－x P | ＝k 2＋1k 2·3(k 2＋1)3k 2＋1， 要满足题目要求，则需要|MP |＝32|AB |， 即k 2＋1k 2·3(k 2＋1)3k 2＋1＝32·263k 2＋1(k 2＋1)， ∴k ＝±1，经检验k ＝±1均符合题意． ∴|AB |＝6，S △ABP ＝332.。
第八节直线与圆锥曲线位置关系的综合应用-高考状元之路
第八节 直线与圆锥曲线位置关系的综合应用预习设计 基础备考知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类： 及有两个(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断，设直线l 的方程为,0=++c By Ax 圆锥曲线方程为.0),(=y x f 由⎩⎨⎧==++,0),(,0y x f C By Ax 消元．(如消去y)得.02=++c bx ax①若 ，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行（或重合）． ②若,0=/a 设.42ac b -=∆a ．当 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．当 时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．当 时，直线和圆锥曲线没有公共点．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长公式(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点),,(111γx p ),,(222y x p 则所得弦长：]4)[()1(||21221221x x x x k p p -++=||||121212p p x x k 或-⋅+= ]4))[(11(212212y y y y k-++= =(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用坐标轴上两点间距离公式）．3．弦中点问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆12222=+by a x 中，以),(00y x p 为中点的弦所在直线的斜率=k ；在双曲线12222=-by a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率=k 在抛物线)0(22>=P Px y 中，以),(00y x p 为中点的弦所在直线的斜率 在使用根与系数关系时，要注意使用条件是.0≥∆典题热身1．直线1+-=k kx y 与椭圆14922=+y x 的位置关系为 ( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定答案：A2．若不论k 为何值，直线b x k y +-=)2(与曲线122=-y x 总有公共点，则k 的取值范围是 ( ))3,3.(-A ]3,3.[-B )2,2.(-c ]2,2.[-D答案：B3．直线1+=x y 截抛物线Px y 22=所得弦长为,62此抛物线方程为( )x y A 22-=⋅ x y B 62=⋅ x y x y c 6222=-=⋅或 D ．以上都不对答案：C4．椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为,30 则ba的值为 ( ) 43.A 33.B 23.c 3.D答案：B5．椭圆12422=+y x 中过点P(l ，1)的弦恰好被P 点平分，则此弦所在直线的方程是 答案：032=-+y x课堂设计 方法备考题型一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】在平面直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q ．(1)求k 的取值范围．(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量与+ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．题型二 圆锥曲线中的弦长问题【例2】已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆4322=+y x 上，C 在直线2:+=x y l 上，且.//l AB(1)当AB 边透过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积； (2)当,90=∠ABC 且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程.题型三 圆锥曲线的弦中点问题【例3】已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，0为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线2:-=x l 相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围，题型四 圆锥曲线中的定点、定值、最值问题【例4】已知椭圆12422=+y x 上的两个动点P ，Q 及定点F M ),26,1(是椭圆的左焦点，且|||,||,|QF MF PF 成等差数列．(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求︱PB ︱的最小值及相应的P 点坐标，技法巧点(1)解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，①若根据已知条件能求出两交点的坐标，这不失为一种彻底有效的方法；②若两交点的坐标不好表示，可将直线方程c kx y +=代人椭圆方程12222=+by a x 整理出关于x(或y)的一元二次方程,0.,022>-=∆=++C B C Bx Ax可利用根与系数之间的关系求弦长（弦长为⋅∆+)||12A k(2)弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题，①求弦长可注意弦是否过椭圆焦点；②弦的中点问题还可利用“点差法”和“对称法”；③解决,BO AO ⊥可以利用向量BO AO ⊥均充要条件即.0=⋅失误防范1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．2．一元二次方程根与系数的关系的应用是建立在直线与圆锥曲线有两个交点的前提之下的，即二次项系数不为O 及△≥O，忽视这一前提，往往导致解题失误，随堂反馈1．过椭圆15622=+y x 内的一点)1,2(-p 的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是 ( ) 01335.=--y x A 01335.=-+y x B 01335.=+-y x C 01335.=++y x D答案；A2．（2010．全国新课标）已知双曲线E 的中心为原点，F(3，O)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B两点，且AB 的中点为N(-12，-15)，则E 的方程为 ( )163.22=-y x A 154.22=-y x B 136.22=-y x c 145.22=-y x D答案：B3．已知过抛物线x y 62=焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )656ππ或⋅A 434ππ或⋅B 323ππ或⋅c 2π⋅D 答案：B4．(2011．南通模拟)若抛物线),0(22>=P Px y 过其焦点F 倾斜角为60的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且.4||=AB 则此抛物线的方程为 答案：x y 32=5．（2010．湖北高考）已知椭圆12:22=+y x C 的两焦点为,1F ,2F 点),(00y x P 满足,1202020<+<y x 则 ||||21PF PF +的取值范围为 ，直线1200=+y y xx 与椭圆C 的公共点个数为 答案：0)22,2[高效作业 技能备考一、选择题1.（2010．山东郓城实验中学期末）已知对,R k ∈直线-y 01=-kx 与椭圆1522=+m y x 恒有公共点，则实数m 的取值范围是( ))1,0.(A )5,0.(B ),5()5,1.[∝+ c )5,1.[D答案：C2．(2010．全国新课标)已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，直线42-=x y 与C 交于A ，B 两点，则=∠AFB cos ( ) 54.A 53.B 53.-c 54.-D 答案：D3．（2011．温州模拟）已知A 、B 、P 是双曲线,0(12222>=-a by a x )0>b 上不同的三个点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积,32=PB PA k k 则双曲线的离心率为( )25.A 26.B 2.c 315.D答案：D4．(2010．湖南常德期末)设直线022:=-+y x l 与椭圆+2x 142=y 的交点为A 、B ，点P 是椭圆上的动点，则使△PAB 面积为31的点P 的个数为（ ）1.A2.B3.C4.D答案：D5．（2011．大连二十四中模拟）已知双曲线,0(12222>=-a by a x )0>b 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ))2,1.(A )2,1.(-B ),2.(+∞c ),2.[+∞D答案：D6．(2011．杭州学军中学月考)直线3:+=x y l 与曲线-92y 14||=⋅x x 交点的个数为( ) 0.A 1.B 2.c 3.D答案：D二、填空题7．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点A 作斜率为l 的直线，与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B.若=AM ,MB 则该椭圆的离心率为 答案：368．(2010．湖南长沙一中期末)已知F 是抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点．设>||FA |,|FB 则||FA 与||FB 的比值等于 答案：39．直线1:+=kx y l 与双曲线1:22=-y x C 有且仅有一个公共点，则=k答案：21±±或三、解答题10．(2010．天津高考)已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率,23=e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为),0(),0,(0y Q a 点-在线段AB 的垂直平分线上，且0,4y QB OA 求=⋅的值.11．(2011．山东日照质检)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为,21直线6+=x y 与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线)0(:=/+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点),0,81(G 求实数k 的取值范围．12.（2010．安徽高考）如图，已知椭圆E 经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点21,F F 在x 轴上，离心率⋅=21e (1)求椭圆E 的方程；(2)求21AF F ∠的平分线所在直线l 的方程；(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．。
直线与圆锥曲线的位置关系问题
2．连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦 设直线 l：f(x，y)＝0，曲线 E：F(x，y)＝0，l 与 E 的两个 不同的交点 P、Q，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1，y1)，(x2，
f（x，y）＝0 y2)是方程组F（x，y）＝0的两组解，方程组消元后化为关于 x(或者 y)的一元二次方程 Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)．判别式 Δ＝B2 －4AC，应有 Δ>0，所以 x1、x2 是方程 Ax2＋Bx＋C＝0 的解．由 根与系数的关系(韦达定理)求得 x1＋x2＝－BA，x1x2＝CA，所以 P、 Q 两 点 间 距 离 为 |PQ| ＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝
＝16，
所以 xB2＝4＋16k2，
又 由 O→B ＝ 2 O→A ， 得
xB2
＝
4xA2
，
即
16 4＋k2
＝
1＋164k2，
解得 k＝±1，故直线 AB 的方程为 y＝x 或 y＝
－x.
解法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)， (xB，yB)，
由O→B＝2O→A及(1)知， O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上， 因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4，
(2)运用类比的手法可以推出，已知 PQ 是双曲 线xa22－by22＝1 的弦，中点 M(x0，y0)，则 kPQ＝ba22xy00； 已知抛物线 y2＝2px(p>0)的弦 PQ 的中点 M(x0，y0)， 则 kPQ＝yp0. 4．圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解 决此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在直
(1)求椭圆 C2 的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，O→B＝2O→A，求直线 AB 的方程．
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） C.2
A
D.1
3、过点（0,1）与抛物线y 2 2 px ( p 0)只有一个公共点的
D 直线条数是（
A.0
C.2
y
D.3
0
x
0
研究直线与圆锥曲线位置关系的方法
研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线 方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填 空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．
2
• 规律总结：探索性试题常见的题型有两类： 一是给出问题对象的一些特殊关系，要求解 题者探索出一般规律，并能论证所得规律的 正确性，通常要求对已知关系进行观察、比 较、分析，然后概括出一般规律．
•二是只给出条件，要求解题者论证在此条件下会不会出 •现某个结论． •这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在” •“是否存在”等语句表述． •解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在假设， •然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证， •若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾， •则否定了存在性．
一题多解真奇妙 多题一解思维高 一题多变创意好 通性通法是法宝
已知椭圆 C 的两焦点 F1(－2 2，0)、F2(2 2，0)． (1)当直线 l 过 F1 且与椭圆 C 交于 M、N 两点，且△MF2N 的周长 为 12 时，求 C 的方程； (2)在满足(1)的条件下，是否存在直线 m 过 P(0,2)点与椭圆 C 交于 A、B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点． 若存在，求直线 m 的方程；若不存在，说明理由．
处理中点弦问题常用的求解方法
1．点差法：
即设出弦的两端点坐标后， 代入圆锥曲线方程， 并将两式相 y1－y2 减，式中含有 x1＋x2，y1＋y2， 三个未知量，这样就直接 x1－x2 联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
2．根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组， 化为一元二次 方程后由根与系数的关系求解．
2 2 2
设 A、B 两点的坐标是 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 36 27 则 x1＋x2＝－ 2 ，x 1 ·x 2 ＝ 2. 1＋9k 1＋9k 由于以 AB 为直径的圆过原点，∴x1x2＋y1y2＝0， 即 x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0.
∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0， 27(1＋k ) 72k2 31 即 ，满足(*)式． 2 － 2＋4＝0，解得 k＝± 3 1＋9k 1＋9k＋6＝0 或 31x＋3y－6＝0.
已知直线和圆锥曲线的方程，如何判断 直线与圆锥曲线的位置关系？
直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对 直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方 程组的解的情况的讨论来判断。即方程消元 后得到一个一元二次方程，利用判别式⊿来 讨论
1.直线与椭圆的位置关系:
x y 设直线与椭圆方程分别为: y=kx+m与 2 2 1: a b
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、弦长 二、弦的中点的问题
经过抛物线y =3x的焦点F 作倾斜角为 的弦AB,求 AB .
y A
2
3
x
0
B
F
经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2
3
的弦AB,求 AB .
A
F1
B
经过点P(2，0)作倾斜角为 的直线L与抛物线y 2 =3x 3 交于A、B两点,求 AB .
yy
y
y
o o
F F
x x
o
F
x
o
F
x
A x2 y2 1、直线y 1 k ( x 1)与椭圆 1的位置关系为（ ） 9 4 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2、已知双曲线方程为x2 y 2 1, 过P (0，点的直线 1) l与双曲线 只有一个公共点，则l的条数为（ A.4 B.3 ） B.1
(2)设直线 m 的方程为 y＝kx＋2(k≠0 且 k 存在)， kx＋2， y＝ 联立方程组x2 2 解得 x2＋9(kx＋2)2＝9， ＋y ＝1， 9 即(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0.
∵直线 m 与椭圆交于 A、B 两点， 3 3 ∴Δ＝(36k) －4×27(1＋9k )＞0，即 9k －3＞0，∴k＞ 或 k＜－ .(*) 3 3
y A x
0
B
P
有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不 求法计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的 定义求解．
x2 y2 已知点P(4，2）是直线L被椭圆 1所截得的 36 9 线段的中点，求直线L的方程.
x2 y2 变式：求直线L:x+2y-8=0 被椭圆 1所截得的 . 36 9 线段的中点P的坐标.
2
A．2
B．－2
C.
解析：如图，设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， ， )，则 k2＝kOP＝
1 2
D．－
1 2
y1＋y2 ， x1＋x2
2 x2
2 又因为 P1， P2 在椭圆 ＋y2＝1 上， 所以有 ＋y2 1＝1， ＋y2＝1， 2 2 2
x2
x2 1
1 两式相减得 (x1＋x2)(x1－x2)＝－(y1＋y2)(y1－y2)， 2 即
X
若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点.
在直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，
相交不一定两解，
两解不一定同支。
直线与抛物线相交时交点一定有两个吗？
3.直线与抛物线的位置关系: 设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:
(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点. y=kx+m 2+Bx+C=0 (2)若直线与对称轴相交, 由 2 得 : Ax y =2px 相离 相交 ②△=0 相切 ③△<0 故①△>0
解析：(1)由条件知 c＝2 2，又△MF2N 的周长为 12， ∴12＝|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝4a.
x2 2 ∴a＝3，b＝1.∴椭圆的方程为 ＋y ＝1. 9
已知椭圆 C 的两焦点 F1(－2 2，0)、F2(2 2，0)． (2)在满足(1)的条件下，是否存在直线 m 过 P(0,2)点与椭圆 C 交于 A、B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点． 若存在，求直线 m 的方程；若不存在，说明理由．
y 1 － y2 1 x 1 ＋ x2 ＝－ · ， x 1 － x2 2 y 1 ＋ y2
1 1 ，即有 k1·k2＝－ ， 2k2 2
则 k1＝－
1：本节课研究了三个问题，尤其弦长的计算， 中点弦问题，应注意通性通法的运用。 2：在解题中应注意一题多解，多题一解，一 题多变的思想方法。
这些思想方法可归纳为：
遇到弦中点,两式减一减;
若要求弦长,韦达来帮忙.
过点 M(－2,0)的直线 m 与椭圆 ＋y ＝1 交于 P1，P2 两点，线段 P1P2 2 的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1(k1≠0)，直线 OP 的斜率为 k2，则
x2
2
k1k2 的值为
则 P1P2 的中点 P(
(
x1＋x2
2
)
y1＋y2
2
2
y=kx+m 联立方程组 2 2 2 2 2 2 消去y得: Ax2+Bx+C=0 b x +a y =a b 相离 (1)△>0 相交 (2)△=0 相切 (3)△<0
直线与双曲线的位置关系与交点个数是怎 样的？
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
O
直线与圆锥曲线的位置关系问题是圆锥曲线的 重点和难点，也是每年高考的热点，其解答过程具 有很强的综合性、复杂性和规律性。解答此类问题 需要把握弦长公式，中点坐标公式，圆锥曲线的简 单几何性质，韦达定理的运用，以及转化与化归思 想及其应用.
已知直线和圆锥曲线的方程，如何判断 直线与圆锥曲线的位置关系？