广州最好的补习班小班补习新王牌教育初一：第八讲、二元一次方程组(二)

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杨浦区一对一补习班新王牌补习班初中方程组及不等式组

第六讲不等式及不等式组例1：解不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≤++<-+232312223125x x x x 例2：⎪⎩⎪⎨⎧-+≤-+≤-3253341445x x x x x例3：解不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>--+≥-45833277)1(3425x x x x 例4：求不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥--221322x x x 的整数解.例5：若不等式组⎩⎨⎧->-<+)3(4121x x a x 的解集为一切负数，求a 的值.例6：满足31222-≥+x x 的x 的值中，绝对值不超过9的整数之和是多少？例7：一件商品售价为120元，如果按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本，求商品成本价的范围。

例8：如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-->63332a x x x 的整数解只有2，求a 的取值范围。

课后练习：练习1：解不等式组 ⎩⎨⎧->>-545)1(2x x 练习2：解不等式 2)23(210-<-<-x练习3：解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+5)4(31)32(2)2(3x x x 练习4：解不等式组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≤++<-+332312223125x x x x练习5：求使方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x 、y 都是正数的m 的取值范围。

练习6：求不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+<-+<-231)12(4)13(24322x x x x x x 的整数解。

练习:7：如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧->->-x x a x 313)1(202的解集是a x 2>，求a 的取值范围。

练习8：某单位组织旅游，定了若干条船（不超过10条），如果每条游船坐4人，那么还余19人没安排；如果每条游船坐6人，那么有一条船人没坐满，问该单位定了多少条游船？。

七年级数学周末辅导资料假期复习讲义第八讲二元一次方程组及其解法

第八讲二元一次方程组及其解法【知识点】1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义；3．熟练掌握二元一次方程组的解法.【方法总结】【例1】已知下列方程2x m－1＋3y n＋3＝5是二元一次方程，则m＋n ＝ .【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件：⑴这个方程中有且只有两个未知数；⑵含未知数的次数是1；⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.【解】根据二元一次方程的概念可知：，解得m＝2,n＝－2,故m＋n＝0.【变式题组】01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.⑴2x＋5y＝16 (2)2x＋y＋z＝3 (3)＋y＝21 (4)x2＋2x＋1＝0(5)2x＋10xy＝502．若方程2x a＋1＋3＝y2b－5是二元一次方程，则a＝ ,b ＝ .03．在下列四个方程组①，②，③，④中，是二元一次方程组的有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个【例2】（十堰中考）二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D．【变式题组】01．（杭州）若x=1，y=2是方程ax－y＝3的解，则a的值是（）A．5 B．－5 C．2 D．102．（盐城）若二元一次方程的一个解为，则此方程可以是（只要求写一个）03.（义乌）已知：∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B 的度数分别为x°,y°,下列方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．4．（连云港）若，是二元一次方程组，的解，则a ＋2b的值为 .【例3】解方程组【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y＝7－x③,将③带入②可消去y,从而求解.解：由①得，y＝7－x③将③带入②，得 3x＋5(7－x)＝17, 即35－2x＝17 x＝9故此方程组的解是【变式题组】1.解方程组：（南京）⑴（海淀）⑵（花都）⑶（朝阳）⑷2．方程组的解满足x＋y＋a＝0,则a的值为（）A．5 B．－5 C．3 D．－3【例4】解方程组【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.本题中，y的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.解：①×5得，y＝7－x ③③＋②,得，13x＝26 ∴x＝2 将x＝2代入①得y＝－1∴此方程组的解是.【变式题组】01．(广州)以为解的二元一次方程组是（）A． B． C． D．02．解下列方程组：（日照）⑴（宿迁）⑵03．（临汾）已知方程组的解为，则2a－3b的值为（）A．4 B．6 C．－6 D．－404．已知，那么x－y的值为，x＋y的值为 .【例5】已知二元一次方程组的解满足x＋y＝6,求k的值.【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k而得一个二元一次方程，此方程与x＋y＝6联立，求得x、y的值，从而代入①或②可求得k的值；另一种是直接由方程组解出x、y，其中x、y含有k,即用含k的代数式分别表示x、y，再代入x＋y＝6得以k为未知数的一元一次方程，继而求k的值.解：①×2，得， 6x＋4y＝4k＋24 ③③－②,得 2x＋7y＝22 ④由x＋y＝6，得2x＋2y＝12 ⑤，⑤－④,得－5y＝－10 ∴y＝2将y＝2代入x＋y＝6得x＝4 将带入①得 3×4＋2×2＝2k＋12 ∴k＝2.【变式题组】01．已知⑴与⑵有相同的解，则m＝ ,n＝ .02．方程组的解满足方程x＋y－a＝0, 那么a的值为（）A．5 B．－5 C．3 D．－303．已知方程组的解x与y的和为8，求k的值.【例6】解方程组【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x＋3y）和（x－y）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x＋3y和x－y的值后，再组成新的方程组可求出x、y的值，此种方法称为换元法.解：设x＋3y＝a, x－y＝b, 则原方程组可变形为③×3，得 12a＋9b＝12 ⑤④×4, 得 12a－20b＝48 ⑥－⑤,得 29b＝0,∴b＝0 将b＝0代入③，得a＝4 ∴可得方程组故原方程组的解为. 【变式题组】01．解下列方程组：⑴⑵（湖北十堰）02．（淄博）若方程组的解是，则方程组的解是（）A． B． C． D．03．解方程组：【例7】（第二届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题）已知：方程组的解应为，小明解此题时把c抄错了，因此得到的解是，则a2＋b2＋c2的值为 .【解法辅导】是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c的方程，由题意分析可知：是方程ax＋by＝－16的解，由此可得关于a、b的又一个方程，由此三个方程可求得a、b、c的值. 解：34【变式题组】01．方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解是，则a、c、d的值是（）A．不能确定B．a＝3, c＝1, d＝1 C． c、d不能确定D．a＝3, c＝2, d＝－202．甲、乙良人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错C，解得，求A、B、C的值.【随堂练习】01．已知方程2x－3y＝5,则用含x的式子表示y是，用含y 的式子表示x是 .02．(邯郸)已知是方程组的解，则a＋b ＝ .03．若(x－y)2＋|5x－7y－2|＝0, 则x＝ , y＝ .04．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为 .05．若x3m－n＋y2n－m＝－3是二元一次方程，则m＝ ,n ＝ .06.关于x的方程（m2－4）x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5, 当m＝时，它是一元一次方程，当m＝时，它是二元一次方程.07．（苏州）方程组的解是（）A． B． C． D．08．（杭州）已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是（）A．1 B．3 C．－3 D．－1 09．（苏州）方程组的解是（）A． B． C． D．10．（山东）若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程3x＋3y＝6的解，则k的值为（）A．－ B． C． D．－11．（怀柔）已知方程组的解为，求的值为多少？12.解方程组：⑴（滨州）⑵（青岛）⑶13．已知方程组和方程组的解相同，求代数式3a＋7b的值.14．已知方程组的解x与y的和为8，求k的值.15．（希望杯试题）m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求m2的值.培优升级奥赛检测01．当k、b为何值时，方程组⑴有唯一一组解⑵无解⑶有无穷多组解02．.当k、m的取值符合条件时，方程组至少有一组解.03．已知：m是整数，方程组有整数解，求m的值. 04．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0, (xyz≠0),则式子的值等于（）A．－B．－C．－15 D．－13 05．（信利杯赛题）已知：三个数a、b、c满足＝，＝，＝，则的值为（）A． B． C． D．06．（广西赛题）已知：满足方程2x－3y＋4m＝11和3x＋2y＋5m ＝21的x、y满足x＋3y＋7m＝20,那么m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．307．（广西赛题）若|a＋b＋1|与（a－b＋1）2互为相反数，则a与b 的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a ≥b08．（“华罗庚杯”竞赛题）解方程组09.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组的解的组数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．对任意实数x、y定义运算x※y＝ax＋by，其中a、b为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为（）A．20 B．18 C．16 D．1411．（北京竞赛题）若a、b都是正整数，且143a＋500b＝2001,则a＋b＝ .12．(华杯赛题）当m＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式（2m＋1）x＋(2－3m)y＋1－5m＝0可以得到10个关于x和y的二元一次方程，问这10个方程有无公共解？若有，求出这些公共解.13．下列的等式成立：x1x2＝x2x3＝x3x4＝…＝x99·x100＝x100·x101＝x101·x1＝1,求x1，x2，…x100，x101的值.。

学而思初一数学暑假班第8讲.二元一次方程组的解法及应用.教师版

．．未知数的项的最高次数是 1 的整式方程叫二． ⎩ y = 2 ．．① x + 3 = 7 ；② a + b = 0 ；③ 3a + 4t = 9 ；④ xy - 1 = 0 ；⑤ - y = 0 ；⑥ x + y + z = 4 ；8二元一次方程组的解法及应用模块一二元一次方程的基本概念定义二元一次方程：含有两个未知数，并且含．．．．．．元一次方程．二元一次方程的一般形式： ax + by + c = 0 （ a ≠ 0 ， b ≠ 0 ）示例剖析x + 2 y = 5 ，2x = 3 y ，3x = y - 22x + 3 y + 6 = 0二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元⎧ x = 1 ⎨，是 x + 2 y = 5 的解，一次方程的解．任何一个二元一次方程都有无数个解． ⎧ x = 3⎨ 也是 x + 2 y = 5 的解 ⎩ y = 1可以看出 x + 2 y = 5 有无数个解.判定一个方程是二元一次方程必须同时满足四个条件： ①含有两个未知数——“二元”；②含有未知数的项的最高次数为 1——“一次”； ③方程两边的代数式都是整式——整式方程； ④未知数的系数不能为 0.夯实基础【例1】 ⑴ 下列方程中，是二元一次方程的有哪些？1x⑦ 2x 2 + x + 1 = 2x 2 + y + 5 ；⑧ x 2 + y - 6 = 2x ．⑵ 若 x 3m -2 - 2 y n -1 = 5 是二元一次方程，求 m 、 n 的值．【解析】⑴ ②，③，⑦是二元一次方程；①不是，因为只有一个未知数；④不是，因为未知项最高次数是 2；⑤不是，是分第 8 讲·尖端预备班·教师版1【例2】 ⑴ 已知 ⎨ 是方程 3x + ay = 5 的解，则 a 的值为（） y = 1 ⑶ y = ， x = ．例如 ⎨ 是二元一次方程组．例如二元一次方程组 ⎨ 的解是 ⎨ . 2x + 3 y = 8 y = 2 式方程；⑥不是，因为有三个未知数；⑧不是，因为未知项的最高次数是 2．⑵ 由定义知： 3m - 2 = 1， n - 1 = 1，所以 m = 1 ， n = 2 ．能力提升⎧ x = 2 ⎩ A ． -1 B. 1 C. 2 D. 3（北京二中期中）⑵ 判断下列数值是否是二元一次方程3t + 2s = 24 的解．⎧t = 2 ⎧t = 2 ⎧t = 8 ⎧t = 4 ① ⎨ ② ⎨ ③ ⎨ ④ ⎨⎩s = 9 ⎩s = 1 ⎩s = 9 ⎩s = 6⑶ 已知方程 3x - 2 y = 5 . ①用 x 的代数式表示 y ． ②用 y 的代数式表示 x ．【解析】⑴ A.⑵ 依次将上述解代入方程，使得左右两边等式成立的值即为此方程的解．① 是；② 不是；③ 不是；④ 是，从中可以看到，一个二元一次方程的解不是惟一的，而是有许多组，但每个解都包括两个数值，它们是成对出现的．3x - 5 5 + 2 y2 3对一个二元一次方程进行用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的变形，是解二元一次方程组的基础，也可从中探索两个未知数之间的数量关系．模块二二元一次方程组的解定义示例剖析二元一次方程组：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组．二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合 ⎧2x = 6 在一起，有的方程可以只有一元（一元方程在这里 ⎩3x - y = 1也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程），方程可以超过两个．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解．同 ⎧ x - y = -1 ⎧ x = 1⎩⎩时它也必须是一个数对，而不能是一个数．注意：一般情况下，一个二元一次方程组只有唯一一组解；二元一次方程组的解还有另外两种情况：无解或有无数组解.2第 8 讲·尖端预备班·教师版A ． ⎨B ． ⎨C ． ⎨ x y 4D ． ⎨⎧ x + 5 y = 2 ⎪ 2x + = 1 ⎪ ⎧ x - 2z = 8 ⎪3x - 4 y = 0 ⎪⎩ 4 3 3 ⑵ 以 ⎨ 为解的二元一次方程组是（） y = -11 ⑵ 方程组 ⎨的解是（） 2x - y = 13夯实基础【例3】 ⑴ 下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）⎧ ⎧3x = 5 y y ⎩ xy = 7 + = ⎩ x + 3 y = 12 ⎩⎧ x = 1 ⎩ ⎧ x + y = 0 ⎧ x + y = 0 ⎧ x + y = 0 ⎧ x + y = 0 A ． ⎨ B ． ⎨ C ． ⎨D ． ⎨⎩ x - y = 1 ⎩ x - y = -1 ⎩ x - y = 2⎩ x - y = -2【解析】⑴ C. 其中 A 是二次方程，B 是分式方程，D 含有三个未知数.⑵ C.能力提升⎧2 x - y = 3【例4】 ⑴ 方程组 ⎨ 的解是（）⎩ x + y = 3 ⎧ x = 1 ⎧ x = 2 ⎧ x = 1 ⎧ x = 2A ． ⎨B ． ⎨C ． ⎨D ． ⎨⎩ y = 2 ⎩ y = 1 ⎩ y = 1⎩ y = 3⎧5x + 3 y = 5 ⎩ ⎧ x = 1 ⎧ x = -4 ⎧ x = 5 ⎧ x = 4 A ． ⎨ B ． ⎨ C ． ⎨D ． ⎨⎩ y = 2 ⎩ y = 5 ⎩ y = 3⎩ y = -5（北京西城实验中学期中）【解析】⑴ B. 直接用加减消元法；⑵ D ．先变换系数为相反数，再用加减消元法；模块三二元一次方程组的基本解法解二元一次方程的一般步骤：示例剖析第 8 讲·尖端预备班·教师版3所以方程组的解是 ⎨ .y = 1所以方程组的解是 ⎨ . y = 1⑤ 把这个方程组的解写成 ⎨ 的形式． y = b0 Ⅰ：代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之 ⎧ x - y = 2例: 解方程组 ⎨⎩ 2x + 3 y = 9① ②一．“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法．用代入法解二元一次方程组的一般步骤：① 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y ，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y = ax + b 的形式；② 把 y = ax + b 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程；③ 解这个一元一次方程，求出 x 的值；④ 回代求解：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值，从而得出方程组的解．⎧ x = a⑤ 把这个方程组的解写成 ⎨ 的形式．⎩ y = bⅡ：加减消元法解：由①得 y = x - 2 ③把③代入②，得 2x + 3(x - 2) = 9解得 x = 3把 x = 3 代入③得 y = 1⎧ x = 3⎩以上为代入消元法解方程组的一般步骤.加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程 ⎧ 3x - 2 y = 1例: 解方程组 ⎨⎩2 x + y = 3① ②组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法．用加减法解二元一次方程组的一般步骤：① 变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；② 加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解： ② ⨯ 2 得 4x + 2 y = 6 ③①+③ 得 7 x = 7解得 x = 1把 x = 1 代入①得 3 - 2 y = 1 即 y = 1⎧ x = 1 ⎩以上为加减消元法解方程组的一般步骤.③ 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④ 回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；⎧ x = a ⎩代入消元方法的选择：① 运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“ ＝0”的形式，求不出未知数的值.② 当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是 1 或 -1 时，用代入法较简便.加减消元方法的选择：① 一般选择系数绝对值最小的未知数消元；② 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；4第 8 讲·尖端预备班·教师版【例5】⑴用代入消元法解方程组：x⑵用加减消元法解方程组：4x3x8y14L②由①得xy1；y1；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解．夯实基础y33x8y14（北京二中期中）y93x5y1（北京西城期末）【解析】⑴x y3L L①y3③；把③代入②得3(y3)8y143y98y145y5y1把y1代入③得，x2所以方程组的解为x2⑵x2能力提升【例6】解下列方程组：⑴5x2y73x4y1（十一学校期中）⑵3x2y72x3y8（北京西城期末）第8讲·尖端预备班·教师版59⎧ x15⎧ 2 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎧ 2a + b = 1 ① ， ①-② 得 a - b = -1.⎪⎪ 2 2 ⎧【解析】⑴ ⎨⑵ ⎨⑶ ⎧ m + nn - m ⎪⎪ 3 4⎪⎪ 3 2 24【解析】⑴ ⎨； ⑵ ⎨. ⎪n = - ⎪ y = 【例7】 ⑴ 二元一次方程 ax + b y = 6 有两组解是 ⎨ 与 ⎨ ，求 a ， b 的值． y = -2 y = -8⎧ ⎧ ⎧ ⎧【解析】⑴ 将 ⎨ 与 ⎨ 分别代入ax +by =6可得，解得． y = -2 y = -8-a - 8b = 6 b = -1 【例8】 ⑴ 若方程组 ⎨ 的解是 ⎨ ，则方程组 ⎨的解是 b = 1.23(x + 2) + 5( y - 1) = 30.93a + 5b = 30.9⎩⎩ 18⎩⎩- 2 y = ⑶ ⎨⎪ x + y = -9 ⎪⎩ 2 x = 1 ⎧ x = 1⎧ x = -7 ⎩ y = -1 ⎩ y = 2 ⎩ y = -4- = 2【巩固】⑴ 解方程组： ⎨⎪4m + n = 14 ⎪ 3x + y =- ⑵ 解方程组： ⎨⎪ 1 x - 1 y = - 1 ⎪ 46 6 ⎧ ⎧ 1 m =x =- 5 2 6 1 ⎪ 5 ⎪4⎧ x = 2 ⎧ x = -1⎩ ⎩ ⎧ x = 2 ⎧ax + by = 1⑵ 已知 ⎨ 是二元一次方程组 ⎨ 的解，则 a - b 的值为（）．⎩ y = 1 ⎩bx + ay = 2 A ．1 B ． -1 C ．2 D ．3x = 2 x = -1 2a - 2b = 6 a = 2 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩⑵ B. 把解代入方程组得 ⎨⎩2b + a = 2 ②⎧ x = -4 ⎧ax + y = -1【巩固】已知 ⎨ 是方程组 ⎨ 的解，则 (a + b )6 = ______．⎩ y = 3 ⎩ x - by = 2【解析】由题意得 a = 1 ， b = -2 ， a + b = -1. ∴ (a + b )6 = 1 .探索创新⎧2a - 3b = 13 ⎧a = 8.3 ⎧2( x + 2) - 3( y - 1) = 13⎩ ⎩ ⎩ （）⎧ x = 6.3 ⎧ x = 8.3 ⎧ x = 10.3 ⎧ x = 10.3 A ． ⎨ B ． ⎨ C ． ⎨ D ． ⎨⎩ y = 2.2 ⎩ y = 1.2 ⎩ y = 2.2 ⎩ y = 0.26第 8讲·尖端预备班·教师版⑵ 三个同学对问题 “ 若方程组 ⎨ 1 的解是 ⎨ ，求方程组⎩ y = 4⎩2 ⎨ 1 1 的解．”提出各自的想法．甲说： “这个题目好象条件不够，不能【解析】⑴ A ；⑵ ⎧⎨ 所以，方程的解为： ⎧⎨ 【例10】⑴ 解方程组： ⎨ x + 2 y + z = 4 ② ⎪ x + y + 2z = 6 ③⑵ 解方程组： ⎨ y + z - x = 3 ② ⎪ z + x - y = 1 ③ ⎧a x + b y = c ⎧ x = 3 1 1 a x + b y = c 2⎧3a x + 2b y = 5c 1 ⎩3a 2 x + 2b 2 y = 5c 2求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．x = 5⎩ y = 10⎧23x + 17 y = 63【例9】 ⑴ 解方程组： ⎨⎩17 x + 23 y = 57⎧1995x + 1997 y = 5989⑵ 解方程组： ⎨⎩1997 x + 1995 y = 5987【解析】⑴ 整体叠加法系数对调型方程组，可采用整体相加然后相减的方法速算；①＋②得 x + y = 3 ，进而可得 x = 2 ， y = 1⑵ 此题系数比较复杂，因此需要进行同解变换，得到比较简单的方程，再进行求解．解：两方程相减，得： y - x = 1① 两方程相加，得： y + x = 3 ． ②①+② 得： y = 2 ，①-② 得： x = 1x = 1⎩ y = 2⎧2x + y + z = 2 ① ⎪ ⎩⎧ x + y - z = 11 ① ⎪ ⎩【解析】⑴ ①＋②＋③得 x + y + z = 3 ，用①、②、③分别减去此式得 x = -1 ， y = 1 ， z = 3⑵ ①＋②＋③得： x + y + z = 15 ，分别去减①、②、③式可得： x = 6 ， y = 7 ， z = 2【拓展】若 x ， x ， x ， x ， x 满足方程组12345第 8 讲·尖端预备班·教师版7⎪ 1 ⎪ x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ⎨ x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 + x 5⎪ x + x + x + 2x + x⎪ 1⎪ x 2 - x 3 + x 4 = 2 ② 【拓展】若 x ， x ， x ， x ， x 满足方程组： ⎨ x - x + x = 3 ③ ，求 x x x 的值． ⎪ x 3 - x 4+ x 5 = 4 ④ ⎧2x + x + x + x + x 2 3 4 5 ⎪ ⎪ 1 2 3 4 5⎪⎩ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 = 6 ① = 12 ② = 24 ③ = 48 ④= 96 ⑤，求 3x + 2x 的值． 4 5 【解析】将 5 个方程相加除以 6 得 x + x + x + x + x = 31 ，1 2 3 4 5该式分别与④、⑤两式比较得到： x = 17 ， x =65 ，所以 3x + 2x = 181 ．45 4 5⎧ x - x + x = 1 ① 2 3 ⎪ 1 2 3 4 5 2 3 4⎪ 4 5 1⎪⎩ x 5 - x 1 + x 2 = 5 ⑤【解析】③＋④得 x + x = 7 ，代入①得 x = 6 ，④＋⑤得 x + x = 9 ，所以 x = 3 ， x = 7 ，1324243所以 x x x = 1262 3 48第 8 讲·尖端预备班·教师版【解析】⑴⎧⎨⎩y=2是方程x+y=n的解，可得n=3，则原方程为x+y=3，⎧x=3是方程x+y=3的解，可得3+m=3，m=0．⎩y=m⑵用含x的代数式表示y，y=6-x；用含y的代数式表示x，x=9-3⎪x-y=6⎩y=-10B．⎨y=-1C．⎨y=-6D．⎨3x-by=-1解中的两个未知数的值互⎧⎩实战演练知识模块一二元一次方程的基本概念课后演练【演练1】已知方程x n-1+2y m-1=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．【解析】根据题意可得：n-1=1，m-1=1，所以n=2，m=0或2．⎧x=1【演练2】⑴已知⎨⎩y=2⎧x=3与⎨都是方程x+y=n的解，求m与n的值．⎩y=m⑵在方程2x+3y=18中，用含x的代数式表示y，再用含y的代数式表示x，若设x=6，9，10，分别求出对应的y值．x=1⎨232y.当x=6，9，10时，y分别为2，0，-2．3知识模块二二元一次方程组的解课后演练⎧1【演练3】⑴下列四个解中是方程组⎨2的解是（）⎪⎩2x+31y=-11⎧x=8⎧x=10⎧x=0⎪x=-11A.⎨2⎪y=0⎧ax-y=3⑵当x=1时，关于x，y的二元一次方程组⎨⎩为相反数，求a，b的值.【解析】⑴B.⑵x，y互为相反数，当x=1，则y=-1，代入方程组可得a=2，b=-4．知识模块三二元一次方程组的基本解法课后演练第8讲·尖端预备班·教师版9【演练4】 ⑴ 二元一次方程组 ⎨的解是（） x - y = 0⑵ 方程组 ⎨ 的解是． 3x + 4 y = 2- n= -1 ⎪⎪ 3 4 【解析】⑴ ⎧⎨ ⎪ 1⎪ x 2 + x 3 + x 4 = 2 ② 【演练6】解方程组： ⎨ x + x + x = 3 ③ ⎪ x 3 + x 4 + x 5 = 4 ④ ⎧ x + y = 2 ⎩ ⎧ x = 0 ⎧ x = 2 ⎧ x = 1 ⎧ x = -1A ． ⎨B ． ⎨C ． ⎨D ． ⎨⎩ y = 2 ⎩ y = 0 ⎩ y = 1⎩ y = -1⎧2x - y = 5 ⎩ ⎧mx + 2 y = n ⎧ x = 1⑶ 已知方程组 ⎨ 的解是 ⎨ ，那么 m 、 n 的值为（）⎩4 x - ny = 2m - 1 ⎩ y = -1⎧m = 1 ⎧m = 2 ⎧m = 3 ⎧m = 3 A. ⎨ B. ⎨ C. ⎨ D. ⎨⎩n = -1 ⎩n = 1 ⎩n = 2 ⎩n = 1（北京五中期中）【解析】⑴ C. 用加减消元法解.⎧ x = 2⑵ 用代入消元法解得 ⎨⎩ y = -1⑶D.【演练5】解下列方程组:⎧3( y - 1) = 4( x - 4) ⑴ ⎨⎩5(x - 1) = 3( y + 5) ⎧ m⑵ ⎨⎪ m + n = 7 ⎪⎩ 2 3.（北京 101 中学期中）x = 7⎩ y = 5 ⎧ m = 6 ⑵ ⎨⎩n = 12⎧ x + x + x = 1 ① 2 3 ⎪ ⎪ 4 5 1⎪⎩ x 5 + x 1 + x 2 = 5 ⑤【解析】①+②+③+④+⑤，得 x + x + x + x + x = 5 ⑥12345①代入⑥，得 x + x = 4 ⑦，结合④可得 x = 0 ， 451同理得 x = 2 ， x = -1 ， x = 1 ， x = 323 4 510第 8 讲·尖端预备班·教师版。

初中数学-春季班-人教版-初一(学生版) 第8讲二元一次方程组--尖子班

第8讲二元一次方程组知识点1 二元一次方程（组）的概念1．二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．（2）一般形式：ax+by+c=0(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)．（3）二元一次方程需满足三个条件：①方程是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．2．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 3．二元一次方程组的定义（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）一般形式：111222a x+b y+c =0a x+b y+c =0⎧⎨⎩（其中1212a ,a ,b ,b 不同时为零）（3）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．【典例】例1 （2020春•巴州区校级期中）已知关于x 、y 的方程22(4)(2)(6)8k x k x k y k -+++-=+，试问：①当k 为何值时此方程为一元一次方程？ ②当k 为何值时此方程为二元一次方程？【方法总结】此题考查了一元一次方程与二元一次方程的定义，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义．例2 （2021•宁波模拟）在方程35143x y +=的正整数解中，使||x y -的值最小的解是．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的解，确定出符合题意的方程组的所有解是解题的关键．例3 （2020春•涪城区期末）若方程组||(2)2(1)3m y n xy m x ⎧+-=⎨-=⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，则n m = ．【方法总结】本题考查的是一元二次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程．【随堂练习】1．（2020秋•青羊区校级期中）已知，方程12230a b x y -+-+=是关于x ，y 的二元一次方程，则a b += ．2．（2020春•香坊区校级期中）若223347m n m n x y +--=是二元一次方程，则mn= ．3．（2020春•水磨沟区校级期中）方程组||(1)5(5)3a y a x y b xy --=⎧⎨+-=⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，则b a 的值是．知识点2 解二元一次方程组1．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．2．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x =a y =b 的形式表示．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x =ay =b的形式表示．【典例】例1 （2020春•新罗区期末）已知关于x ，y 的方程组2143x y m x y m -=+⎧⎨+=+⎩的解也是二元一次方程237x y -=的一个解，求m 的值．【方法总结】本题考查二元一次函数的求解问题．同学们掌握其计算方法即可．例2（2020秋•新都区月考）解下列方程组：（1）3(1)55(1)3(5)x y y x -=+⎧⎨-=+⎩；（2）272253xy y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．【方法总结】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．例3（2020秋•枣庄月考）对x ，y 定义一种新运算“※”，规定：x ※y mx ny =+（其中m ，n 均为非零常数），若1※14=，1※23=．则2※1的值是．【方法总结】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•青羊区校级期中）解方程组 75331x y x y +=⎧⎨+=⎩；2．（2020春•香坊区校级月考）已知方程组24323x y m y x -=+⎧⎨-=-⎩的解x 、y 互为相反数，求m 的值．知识点3 解三元一次方程组1．解三元一次方程组（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．（2）解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤把所求得的三个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x =a y =b z =c 的形式表示．【典例】例1 （2020春•如东县校级月考）在等式2y ax bx c =++，当1x =-时，0y =；当1x =时，4y =-，当2x =时，3y =，求当5x =时，y 的值．【方法总结】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．例2（2020•浙江自主招生）解方程组() 2.5,(1)(1)9.5,(1)(1)11.x y z y z x z x y +=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩【方法总结】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【随堂练习】1．（2020春•常德期末）若方程组4314(1)6x y kx k y +=⎧⎨+-=⎩的解中x 与y 的值相等，则k 为．2．（2020春•浦东新区期末）解方程组：321224223x y x y z x y z +=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩．知识点4 同解问题和错解问题【典例】例1 （2020春•市中区校级月考）已知关于x ，y 的方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求2020(3)a b +的值．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x 、y 的方程组，求出x 、y 的值，再将x 、y 的值代入含a 、b 的方程组即可求出a 、b 的值，即可求出代数式的值．例2 （2020春•大化县期末）若方程组42x y x y +=⎧⎨-=⎩与方程组126mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解相同，求m ，n 的值．【方法总结】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．【随堂练习】1. （2020春•岳阳期末）方程组3251x y ax by +=⎧⎨-=⎩与方程组217y x bx ay =-⎧⎨+=⎩的解相同，求a 、b 的值．2．（2020春•淮阳区期末）已知关于x ，y 的两个二元一次方程组22654x ymx ny +=-⎧⎨=-⎩和353680x y nx my =+⎧⎨++=⎩的解相同，求188(2)m n +的值．知识点5 含参二元一次方程组【典例】例1 （2020春•邗江区期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组2225x y m x y m -=+⎧⎨+=-⎩．（1）若1m =，求方程组的解；（2）若方程组的解中，x 的值为正数，y 的值为正数，求m 的范围．【方法总结】本题考查了二元一次方程组及解法、一元一次不等式组及解法．会用代入法或加减法解二元一次方程组是解决本题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•龙泉驿区期中）若方程组437(3)1x y kx k y +=⎧⎨+-=⎩的解满足x y =，求k 的值．综合运用1．二元一次方程3x +5y ＝17的正整数解是．2．解方程组：（1）{x −y =42x +y =5；（2）{x+13=y+24x−34−y−33=112．3．若关于m 、n 的二元一次方程组{am −2n =132m +bn =14的解为{m =4n =−1，求关于x 、y 的方程组{a(2x +y)−2(x +2y)=132(2x +y)+b(x +2y)=14的解．4．（2020春•新洲区期中）甲、乙两人同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩①②甲解题看错了①中的m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，乙解题时看错②中的n ，解得37x y =⎧⎨=-⎩，试求原方程组的解．5．（2020春•房县期末）小红和小风两人在解关于x ，y 的方程组3528ax y bx y +=⎧⎨+=⎩时，小红只因看错了系数a ，得到方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩，小风只因看错了系数b ，得到方程组的解为14x y =⎧⎨=⎩，求a ，b 的值和原方程组的解．6．（2020春•西华县期末）在解方程组51741ax y x by +=-⎧⎨-=⎩时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得到解为43x y =⎧⎨=⎩；乙看错了方程组中的b 而得到解为31x y =-⎧⎨=-⎩．（1）求正确的a 、b 值；（2）求原方程组的解．。

(家教培优专用)人教版数学七年级下册--《二元一次方程组》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《二元一次方程组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.【知识网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧b a ＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩. 要点诠释：（1）它的一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个. 要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.要点四、三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.412,325,51,x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=-⎨⎪-+=⎩273,31,34a b a c b c +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩等都是三元一次方程组. 要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x ，y ，z )表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念1.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）.A.⎩⎨⎧+==-13032x y y xB.⎩⎨⎧=-=+211z y xC.⎩⎨⎧=+-=+63222y x y x x x D.⎩⎨⎧-=+=6352x x y【思路点拨】利用二元一次方程组的定义一一进行判断.【答案】B.【解析】二元一次方程组中只含有两个未知数，并且含有未知数的次数都是1，方程组⎩⎨⎧=+-=+63222y x y x x x 中，y x x x 3222-=+可以整理为y x 32-=.【总结升华】准确理解二元一次方程组和二元一次方程的定义是解本题的关键. 举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例1（2）】【变式】若32225a b a b x y --+-=是二元一次方程，则a = ，b = ．【答案】1, 0．2.以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组是（）. A.⎩⎨⎧=-=+10y x y x B.⎩⎨⎧-=-=+10y x y x C.⎩⎨⎧=-=+20y x y x D.⎩⎨⎧-=-=+20y x y x【答案】C.【解析】通过观察四个选项可知，每个选项的第一个二元一次方程都是0=+y x ，第二个方程的左边都是y x -，而右边不同，根据二元一次方程的解的意义可知，当⎩⎨⎧-==11y x 时，211)1(1=+=--=-y x .【总结升华】不满足或不全部满足方程组中的各方程的选项都不是方程组的解.举一反三：【变式】若⎩⎨⎧==12y x 是关于y x 、的方程032=+-k y x 的解，则=k .【答案】－1.类型二、二元一次方程组的解法3. (潜江)解方程组15(2)3(25)4(34)5x y x y +=+⎧⎨--+=⎩【思路点拨】由于本题结构比较复杂，不能直接消元，应先将方程组化为一般形式，再看如何消元，即用加减或代入消元法．【答案与解析】解：将原方程组化简得5926x y x y -=⎧⎨-=⎩①－②得：-3y ＝3，得y ＝-1，将y ＝-1代入①中，x ＝9-5＝4．故原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．【总结升华】消元法是解方程组的基本方法，消元的目的是把多元一次方程组逐步转化为一元一次方程，从而使问题获解．举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例2（2）】【变式】已知方程组35x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程m (x +1)=3(x -y )的一个解，则m = ．【答案】3．4. (台湾)若二元一次方程组23343x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为x a y b =⎧⎨=⎩，则a+b 等于（）． A ．1 B ．6 C ．35 D ．125【思路点拨】将解代入方程组，得到关于,a b 的方程组，解之，代入要求的代数式即得答案．【答案】D【解析】解：把x a y b =⎧⎨=⎩代入原方程组中，得，23343a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得9535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以9312555a b +=+=．【总结升华】根据已知条件构造出方程组，再选择恰当方法求得方程组的解，然后再代入求出最后答案．类型三、实际问题与二元一次方程组5. 2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了2003、2007年相关数据. 已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中的信息，求2003年和2007年的药品降价金额.年份2002 2003 2004 2005 2007 降价金额（亿元） 54 35 40【思路点拨】本题的两个相等关系为：（1）五年的降价金额一共是269亿元；（2）2007年药品降价金额＝6×2003年的药品降价金额.【答案与解析】解：设2003年和2007年药品降价金额分别为x 亿元、y 亿元.根据题意，得⎩⎨⎧=++++=2694035546y x x y ，解方程组得⎩⎨⎧==12020y x .答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元.【总结升华】列方程(组)解实际问题的关键就是准确地找出等量关系，列方程(组)求解. 举一反三：【变式】(山东济南)如图所示，教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同，请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格．【答案】解：设康乃馨每支x 元，水仙花每支y 元．根据题意，可列方程组3192218x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得54x y =⎧⎨=⎩．所以第三束鲜花的价格是x+3y ＝5+3×4＝17(元)．答：第三束鲜花的价格是17元．类型四、三元一次方程组6.解方程组312,23,3716.x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=-⎨⎪+-=-⎩①②③ 【思路点拨】先用加减法消去y ，变为x 、z 的二元一次方程组. 【答案与解析】解：①+②，得329x z +=.②+③，得5819x z -=-.解方程组329,5819,x z x z +=⎧⎨-=-⎩得1,3.x z =⎧⎨=⎩把13x z =⎧⎨=⎩，代入①，得2y =.所以方程组的解是1,2,3.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】因为y 的系数为1+或1-，所以先消去y 比先消去x 或z 更简便.。

人教版七年级第八章二元一次方程组思维导图

人教版七年级第八章二元一次方程组思维导图一、二元一次方程组的概念1. 定义：二元一次方程组是由两个一次方程组成的方程组，其中包含两个未知数。

2. 形式：一般形式为 ax + = c 和 dx + ey = f，其中 a、b、c、d、e、f 是已知数，x 和 y 是未知数。

3. 解：二元一次方程组的解是指同时满足两个方程的 x 和 y 的值。

二、二元一次方程组的解法1. 代入法：将一个方程中的某个未知数用另一个方程中的表达式代替，然后解出另一个未知数。

2. 消元法：通过加减消元或乘除消元，将两个方程中的一个未知数消去，然后解出另一个未知数。

3. 图解法：在坐标轴上画出两个方程的图形，找出它们的交点，交点的坐标即为方程组的解。

三、二元一次方程组的应用1. 实际问题：在解决实际问题中，常常需要建立二元一次方程组来求解。

2. 经济问题：在经济学中，二元一次方程组可以用来解决价格、成本、利润等问题。

3. 几何问题：在几何问题中，二元一次方程组可以用来求解直线、圆等图形的交点、距离等问题。

四、二元一次方程组的注意事项1. 解的个数：二元一次方程组可能有唯一解、无解或无穷多解。

2. 解的表示：解可以用分数、小数或整数表示，但通常要求用分数表示。

3. 解的检验：在解出方程组后，需要将解代入原方程组中进行检验，以确保解的正确性。

五、二元一次方程组的解题步骤1. 分析问题：明确题目中给出的条件和要求，确定需要求解的未知数。

2. 建立方程：根据题目中的条件，建立两个含有未知数的方程。

3. 选择解法：根据方程的特点，选择合适的解法，如代入法、消元法或图解法。

4. 求解方程：按照选择的解法，进行计算和推导，求出未知数的值。

5. 检验解：将求得的解代入原方程组中，检验解的正确性。

6. 得出结论：根据求解结果，得出问题的答案，并给出相应的解释或说明。

六、二元一次方程组的练习题1. 已知甲、乙两地相距 80 公里，一辆汽车从甲地出发，以每小时 60 公里的速度行驶，另一辆汽车从乙地出发，以每小时 80 公里的速度行驶。

七年级数学第八章二元一次方程组 8.2 消元解二元一次方程组第2课时加减法

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知识管理
1．加减消元法
定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
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2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤
步骤：(1)将其中一个未知数的系数化成相同(或互为相反数)； (2)通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，得到这个未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值； (5)写出方程组的解．
x＝2， ∴原方程组的解为y＝－1.
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(2)[2018·宿迁]x3＋x＋24y＝y＝06，.
x＋2y＝0，① 解：3x＋4y＝6.② 由①得，x＝－2y，③ 把③代入②得，3×(－2y)＋4y＝6.解得 y＝－3. 将 y＝－3 代入③得，x＝6. ∴原方程组的解为xy＝＝6－，3.
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当堂测评
2x－3y＝9， 1．用“加减法”将方程组2x＋4y＝－1中的 x 消去后得到的方程是( D )
A．y＝8
B．7y＝10
C．－＝y＝97，，②① 由①－②得( D )
A．3x＝2
B．3x＝－2
C．x＝2
D．x＝－2
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12/8/2021
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教学目标
1．会用加减消元法解二元一次方程组． 2．理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为
已知”的化归思想．
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情景问题引入怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3x＋5y＝21，① 2x－5y＝－11.② 小明认为：把②变形得 x＝5y－2 11代入①，不就消去 x 了！小亮认为：把②变形得 5y＝2x＋11，可以直接代入①呀！小丽认为：5y 和－5y 互为相反数，只要把两个方程相加，就能消掉 y. 针对以上几种方法，你有什么体会？

七年级数学下册：第8章二元一次方程组的解法二讲义和练习

二元一次方程组的解法（二）
一、【知识精要】
1.加减消元法解二元一次方程组：把方程组中的一个或两个方程的两边乘以适当的数后，使所得两个方程中某个未知数系数的绝对值相等，然后把所得的两个方程相加或相减，消去一个未知数，转化为一元方程，进而求得原方程组的解。

2.三元一次方程组的解法：先消去一个未知数，转化为二元一次方程组，求出两个未知数的值，进而求得第三个未知数的值。

二、【学习新知】
例1.解方程组（1）（2）
例2.解方程组（1（3）
（3）（4）
例3.解方程组：（1）（2）
例4．已知方程组和有相同的解，求的值. 例5.为何值时，关于的方程组的解满足. 例6.已知是方程组的解，求的关系.
例7.若.求:的值.例8.解方程组（1）（2）
(3)
例9.如果关于的方程组的解为，求关于的方程组
的解。

【分层训练】
1.解方程组（1）（2）
2解方程组（1）（2）
（3）（4）
3.若方程组的解也满足，求的值.
4.解方程组
(1)(2)
5.为何值时，关于的方程组；
（1）有惟一解？
（2）无解？
（3）有无穷多解？
6.已知当时，代数式，求x=—1时，
的值。

7.已知，求的值。

8.已知二元一次方程组有整数解，且均为整数，求的值。

9.一个被滴上墨水的方程组如下：，小明回忆到：“这个方程组的解为，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的系数
所致”，请你根据小明的回忆，把原方程组还原出来。

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七年级数学周末辅导资料假期复习讲义 第八讲 二元一次方程组及其解法