2016届高考数学5年真题备考题库第十章第2节随机抽样理(含解析)
【师说】2016届高考数学(理)一轮课件：10-1随机抽样
解析：在系统抽样中，需确定分段间隔k，对编号进行分段， N N 1 200 k＝ n (N为总体的容量，n为样本的容量)，∴k＝ n ＝ 30 ＝40.
答案：40
5．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽 取．红星中学共有学生1 600名，抽取一个容量为200的样本，已
知女生比男生少抽了10人，则该校有女生__________人．
解析：由已知可得二年级女生人数为2
000×0.19＝380，∴
一、二、三年级学生总数分别750、750、500，∴用分层抽样法 500 在全校抽64人时应在三年级抽取64×2 000＝16(人)．
答案：B
4．为了解1
200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从
中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k 为__________．
答案：①不放回 均匀 抽样 N ⑥ n
②都相等
③抽签
④随机数表
⑤搅拌
⑦简单随机抽样 ⑫均等
⑧加上间隔k
⑨(l＋2k) ⑩系统
⑪差异明显
1．简单随机抽样的特点 总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其 是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个 体间无固定间距． 2．系统抽样的特点 适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会 均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
第十章 统计与概率
第一节 随机抽样
考纲导学 1.理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本． 3．了解分层抽样和系统抽样方法.
1．要完成下列两项调查： ①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低 收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标； ②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情 况．其中宜采用的抽样方法依次为( )
2016年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
雄关漫道系列2016高考数学一轮总复习10.1随机抽样课时作业文(含解析)新人教版
课时作业52 随机抽样一、选择题1．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( )A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样解析：①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样，故选A.答案：A2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,16,32C ．1,2,3,4,5D ．7,17,27,37,47解析：利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10，故选D.答案：D3．(2013·湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．13解析：本题考查的是分层抽样，分层抽样又称按比例抽样．∵n 120＋80＋60＝360，∴n ＝13.故选D.答案：D4．(2013·江西卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )C．02 D．01解析：本题考查了简单随机抽样中的随机数表法．由题意依次选择65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01，其中在编号在01至20的为08,02,14,07,01，∴第5个个体编号为01，这里注意第二次取到02应舍去．答案：D5．(2014·山东青岛二模)某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生( )A．1 030人B．97人C．950人D．970人解析：由题意可知抽样比为2002 000＝110，设样本中女生有x人，则x＋(x＋6)＝200，所以x＝97，该校共有女生97 110＝970人，故选D.答案：D6．(2014·山东潍坊一模)高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( )A．13 B．17C．19 D．21解析：用系统抽样法从56名学生中抽取4人，则分段间隔为14，若第一段抽出的号为5，则其他段抽取的号应为：19,33,47，故选C.答案：C二、填空题7．(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取__________名学生．解析：由分层抽样的特点可得应该从一年级本科生中抽取44＋5＋5＋6×300＝60(名)学生．答案：608．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查某维生素是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第1组抽出的号码是11，则第61组抽出的号码为__________．解析：∵3 000150＝20，∴需把3 000袋奶粉按0,1,2,3，…，2 999编号，然后分成150组，每组20个号码． ∴第61组抽出的号码为11＋(61－1)×20＝1 211. 答案：1 2119．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是__________件．解析：设C 产品的数量为x ，则A 产品的数量为1 700－x ，C 产品的样本容量为a ，则A 产品的样本容量为10＋a ，由分层抽样的定义可知：1 700－x a ＋10＝x a ＝1 300130，∴x ＝800.答案：800 三、解答题10．某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容量为400的样本，应采哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？解析：由中、青、老的职工有明显的差异，故采用分层抽样更合理．按照比例抽取中，青、老年职工分别为510×400＝200，310×400＝120，210×400＝80，因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人，120人，80人．11．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体．求样本容量n .解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n，分层抽样的比例是n36，抽取工程师n36×6＝n6，抽取技术员n36×12＝n3，抽取技工n36×18＝n2.所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18,36.当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35n＋1，因为35n＋1必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n＝6.12．某单位2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：(1)(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对北京奥运会筹备情况的了解，则应怎样抽样？解析：(1)用分层抽样，并按老年4人，中年12人，青年24人抽取．(2)用分层抽样，并按管理两人，技术开发4人，营销6人，生产13人抽取．(3)用系统抽样．对全部2 000人随机编号，号码从0001～2 000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本．。
2.1(随机抽样)练习习题解答详解
P63)习题2.1
1.在抽样过程中, 如果总体中的每个个体都有相等的机会被抽中, 那么我 们就称这样产生的样本为随机样本.举例说明产生随机样本的困难.
(1)很难确定总体中所有个体的数目，例如调查对象是生产线上生产的产品. (2)成本高，要产生真正的简单随机抽样，需要利用类似于抽签法中的抽签试 验来产生非负整数值随机数. (3)耗时多，产生非负整数值随机数和从总体中挑选出随机数所对应的个体都 需要时间.
优点：节省人力、物力、财力和时间 缺点：产生的样本不是真正的简单样本.
P59)练习
1.您认为系统抽样有哪些优点和缺点?
优点 (1)简便易行； (2)当对总体结构有一定了解时，充分利用已有信息对总体中的个体进行排队 后再抽样，可提高抽样效率； (3)当总体中的个体存在一种自然编号(如生产线上产品的质量控制)时，便于 施行系统抽样. 缺点 在不了解样本总体的情况下，所抽出的样本可能有一定的偏差.
2.设某校共有118名教师,为了支援西部的教育事业,现要从中随机地抽出 168名教师编号；
(2) 计算间隔k=118/16=7.375,不是整数.从总体中随机剔除如3,46,59,57, 112,
93,然后再对余下112教师编号,计算间隔k=7.分成16组,每组7人；
2.有人说 :"如果抽样方法设计得好,用样本进行视力调查与对24300名 学生进行视力普查的结果会差不多.而且对于教育部门掌握学生视力 状况来说,因为节省了人力,物力和财力,抽样调查更可取."您认为这 种说法有道理吗?为什么?
有道理.一个好的抽样方法应该能够保证随着样本容量的增加，抽样调查结 果会接近于普查的结果.因此只要根据误差的要求取相应容量的样本进行调 查，就可以节省人力、物力和财力.
2016届高考数学(理)(人教A版)总复习课时演练 第10章 第2节 随机抽样
第十章第二节1．(2013·新课标全国高考Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样解析：选C由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.2．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是________．A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样解析：选A对于①，由于总体个数较少，故采用简单随机抽样；对于②，由于个体数相对较多，故采用系统抽样；对于③，由于个体相互差异明显，故采用分层抽样．故选A.3．(2014·石家庄模拟)某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60，选取的这6名学生的编号可能是()A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32D．3,9,13,27,36,54解析：选B先将60名学生分成6组，每组10人，第一组抽取a，后面各组依次抽取a＋10，a＋20，…，即各组编号对应的数列是以10为公差的等差数列，只有B满足，故选B.4．某校要从高一、高二、高三共2 012名学生中选取50名组成志愿团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样的方法从2 012人中剔除12人，剩下的2 000人再按分层抽样的方法进行，则每人入选的概率( )A ．都相等且为502 012B ．都相等且为140C ．不会相等D ．均不相等解析：选A 整个抽样过程均为等可能抽样，故每人入选的概率相等且均为502 012.故选A.5．(2014·济南模拟)某全日制大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人，本科生有3 000人，研究生有1 300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )A ．65人，150人，65人B ．30人，150人，100人C ．93人，94人，93人D ．80人，120人，80人解析：选A 设应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取x 人，y 人，z 人，则5 600280＝1 300x ＝3 000y ＝1 300z ，所以x ＝z ＝65，y ＝150，所以应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取65人，150人，65人.6．(2012·四川高考)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012解析：选B 四个社区抽取的总人数为12＋21＋25＋43＝101，由分层抽样可知，9612＝N101，解得N ＝808.故选B. 7．(2014·衡水中学模拟)某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中抽取若干人组成调查小组，相关数据见下表：相关人员数抽取人数公务员 35 b 教师 a 3 自由职业者284则调查小组的总人数为( ) A ．84 B ．12 C ．81D ．14解析：选A 由题意知a 3＝284，解得a ＝21，故调查小组的总人数为84.选A.8．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9解析：选B 本题考查系统抽样．依题意及系统抽样可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.故选B.9．(2014·皖南八校联考)某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．解析：37 由条件知组距为5，所以第八组中抽取号码为(8－3)×5＋12＝37.10．(2014·广州测试)某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为2∶3∶4.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n ＝________.解析：54 由分层抽样知12n ＝22＋3＋4，解得n ＝54.11．(2014·合肥模拟)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名学生只参加一个小组)：篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二151020学校要对这三个兴趣小组的活动情况进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽取12人，则a 的值为________．解析：30 设该校三个兴趣小组的学生总人数为n ，由题意可得45＋15n ＝1230，解得n ＝150，所以a ＝150－(45＋15＋30＋10＋20)＝30.12．用分层抽样的方法从某校1 200名学生中抽取一个容量为60的样本，已知高二年级学生比高一年级学生多120人，高三年级比高二年级多抽取12人，则该校高一年级共有学生________人．解析：240 设高一年级共有学生x 人，则高二年级有学生(x ＋120)人，高三年级有学生(1 080－2x )人，由于1 20060＝20，因此1 080－2x 20－x ＋12020＝12，解得x ＝240.13．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9，要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x ，则第k (1≤k ≤9，k ∈N )组中抽取的号码的后两位数为x ＋33k 的后两位数．当x ＝24时，所抽取的样本中第9个号码是________．解析：888 当x ＝24时，若k ＝8，则24＋33×8＝288，∴抽取的第8组中号码的后两位数为88，抽取的样本中第9个号码为888.14．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．解析：37 20 由系统抽样知识，可知分段的间隔k ＝N n ＝20040＝5.设在第1段内采用简单随机抽样的方法确定一个起始编号为a ，因为第5组抽出的号码为22，所以有a ＋(5－1)×5＝22，得a ＝2，则第1组抽出的号码应该为2，第8组抽出的号码应该为2＋(8－1)×5＝37.由分层抽样知识，可知40岁以下年龄段的职工占50%，按比例应抽取的人数为40×50%＝20.1．总体由编号为01,02，…，29,30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的6个个体的编号中最大值与最小值的和为( )随机数表如下：1622 7794 3949 5443 5482 1737 9323 7887 3520 9643 8426 3491 64844217 5331 5724 5506 8877 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 A ．26 B ．29 C ．30D ．32解析：选D 随机数表第1行第5列和第6列的两个数字分别为7,7，不满足题意，从左向右依次读取满足条件的个体为：17,23,20,26,24,06，所以选出来的6个个体的编号中最大值与最小值的和为26＋6＝32.选D.2．某学校在校学生2 000人，为了迎接2014年“全运会”，学校举行了“迎全运”的跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示：高一年级高二年级高三年级跑步人数 a b c 登山人数xyz其中a ∶b ∶c ＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取( )A ．15人B ．30人C ．40人D ．45人解析：选D 由题意，全校参加跑步的人数占总人数的34，所以高三年级参加跑步的总人数为34×2 000×310＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为2002 000×450＝45.故选D.3．调查某高中1 000名学生的身高情况得下表，已知从这批学生随机抽取1名学生，抽到偏矮男生的概率为0.12，若用分层抽样的方法，从这批学生随机抽取50名，问应在偏高学生中抽________名.偏矮 正常 偏高 女生/人 100 273 y 男生/人x287z解析：11 由题意可知x ＝1 000×0.12＝120， 所以y ＋z ＝220.所以偏高学生占学生总数的比例为2201 000＝1150，所以应抽偏高学生50×1150＝11(人)．4．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，在采用系统抽样时，需要在总体中无剔除1个个体，则n ＝________.解析：6 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.。
高中数学随堂小练(13)随机抽样(含解析)
(13)随机抽样1、在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析,在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是( )2、下列抽样中,用抽签法方便的是( )3、对于简单随机抽样,下列说法中正确的是( )①它要求被抽取样本的总体的个体数有限;②它是从总体中逐个进行抽取的,在实践中操作起来也比较方便;③它是一种不放回抽样;④它是一种等可能抽样,在整个抽样过程中,每个个体被抽到的机会相等,从而保证了这种抽样方法的公平性.A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④4、某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生.为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取（ ）5、某车间生产,,A B C 三种不同型号的产品，产量之比分别为5::3k ，为检验产品的质量,现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B 种型号的产品共抽取了24件，则C 种型号的产品抽取的件数为（ ）A ．12B ．24C ．36D ．606、某校高三分为甲、乙两个级部,现用分层抽样的方法从高三中抽取30名老师去参加教研会,已知乙级部中每个老师被抽到的可能性都为13则高三的全体老师的个数为( ) A. 10 B. 30 C. 60 D. 907、某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为( )8、总体中个体数为M ,其中带有标记的有N 个,要从中抽取K 个入样,用随机抽样的方法进行抽取,则抽取的样本中带有标记的个数约为( ) A.NK M B.KM N C.MN K D.N9、我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石10、一个总体分为,,A B C 三层,用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为50的样本,已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112,则总体中个体的个数为( )11、某工厂生产A B C ，，三种不同型号的产品，产品数量之比依次为235∶∶.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n __________.12、采用简单随机抽样法,从含有6个个体的总体中抽取一个容器为2的样本,则每个个体被抽到的可能性为___________.13、2019年7月25日起，福州正式启动垃圾分类收集违规行为查处专项行动为了了解该市某校不同年级的学生对“执行垃圾分类”的看法，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级的学生中抽取一个容量为320的样本进行调查.已知该校高一年级、高二年级、高三年级的人数之比为6:5:5，则应从高一年级的学生中抽取 名.14、某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200件,400件,300件,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取__________件.15、一企业有职工500人,其中不到35岁的有125人,3549岁的有280人,50岁及以上的有95人,为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标,从中抽100名职工作为样本,应该怎样抽取?答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：根据统计中总体、个体、样本、样本容量的相关定义直接进行判断.调查的目的是“了解某地5000名居民某天的阅读时间”,所以“5000名居民的阅读时间的全体”是调查的总体.2答案及解析：答案：B解析：A总体容量较大,样本容量也较大,不适宜用抽签法;B总体容量较小,样本容量也较小,可用抽签法;C甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别,不能用抽签法;D总体容量较大,不适宜用抽签法.故选B.3答案及解析：答案：D解析：由简单随机抽样的特点知,①②③④全部正确.4答案及解析：答案：A解析：50016800n=男得10n=男5答案及解析：答案：C解析：∵某工厂生产A. B. C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5::3k，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，A种型号产品共抽取了24件，∴2412053kk=++，解得2k=，∴C 种型号产品抽取的件数为：243362⨯=.6答案及解析：答案：D 解析：因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为13,所以高三中每个老师被抽到的可能性都为130903÷=7答案及解析：答案：B解析：设应抽取的女生人数为x ,则25360540360x =+,解得10x =8答案及解析：答案：A解析：因随机抽样的特点是每个个体被抽到的机会都是均等的,故样本中带有标记的个数约为N K M⨯.9答案及解析：答案：B解析：设这批米内夹谷的个数为x ,则由题意并结合简单随机抽样可知, 282541534x =,即281534169254x =⨯≈,故应选B.10答案及解析：答案：D解析：运用分层抽样的方法,在不同层中每个个体被抽到的概率相等,都等于样本容量总体容量.设总体中个体的个数为N ,则50112N =,解得600N =.故选D.11答案及解析：答案：80 解析：216235n ⨯=++所以80n =12答案及解析： 答案：13解析：简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性相同,都为样本容量个体总数.本题中的样本容量为2,个体总数为6,所以每个个体被抽到的可能性为13.13答案及解析：答案：120解析：因为该校高一年级、高二年级、高三年级的人数之比为6:5:5，所以应从高一年级的学生中抽取的人数为6320120655⨯=++.14答案及解析：答案：18 解析：∵60320040030010050==+++样本容量总体个数,∴应从丙种型号的产品中抽取33001850⨯=(件).15答案及解析：答案：用分层抽样来抽取样本,步骤是:(1)分成,按年龄将职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工;(2)确定每层抽取个体的个数,因为抽样比为10015005=,所以在不到35岁的职工中抽1125255⨯=(人);在35岁至49岁的职工中抽1280565⨯=(人);在50岁及50岁以上的职工中抽195195⨯=(人); (3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本;(4)综合每层抽样,组成样本.。
人教高中数学高考考点(含答案)51 随机抽样
考点规范练51 随机抽样一、基础巩固1.下列调查中,调查方式选择最合理的是( ) A.调查某水库的水质情况,采用抽样调查B.调查一批飞机零件的合格情况,采用抽样调查C.检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量,采用全面调查D.企业招聘人员,对应聘人员进行面试,采用抽样调查 答案:A解析:A 项合理;B 项中飞机零件每一件都得合格,故用全面调查;C 项中调查具有破坏性,故用抽样调查;D 项中应对每一位应聘人员都进行面试,故采用全面调查.2.某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本,已知从高中生中抽取70人,则n 为( ) A.100 B.150 C.200 D.250 答案:A 解析:由已知得n3500+1500=703500,解得n=100.3.(2021云南大理模拟)在样本的频率分布直方图中,共有5个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余4个小矩形的面积之和的25,且样本容量为140,则中间一组的频数为( )A.10B.20C.40D.70 答案:C解析:在频率分布直方图中,每个小矩形的面积等于该小矩形对应组的频率,且各小矩形的面积之和为1,设中间一组的频率为x ,则其余4组的频率之和为1-x ,由题意知x=25(1-x ),解得x=27,所以中间一组的频数为27×140=40.4.(多选)甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人、1 000人,为了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况,采用分层随机抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩,成绩都分布在区间[70,150]内,并作出如下频数分布统计表,规定考试成绩在区间[120,150]内为优A.x=10,y=7B.估计甲校优秀率为25%,乙校优秀率为40%C.估计甲校和乙校的数学成绩的众数均为120D.估计乙校的平均数学成绩比甲校高 答案:ABD解析:对于A,甲校抽取的人数为1200×1101200+1000=60,乙校抽取的人数为110-60=50,所以x=60-3-4-8-15-15-3-2=10,y=50-1-2-8-9-10-10-3=7.故A 正确.对于B,估计甲校的优秀率为10+3+260=25%,乙校的优秀率为10+7+350=40%.故B 正确.对于C,估计甲校的数学成绩的众数为105和115,乙校的数学成绩的众数为115和125.故C 错误. 对于D,估计甲校的平均数学成绩为160×(75×3+85×4+95×8+105×15+115×15+125×10+135×3+145×2)=109.5, 乙校的平均数学成绩为150×(75×1+85×2+95×8+105×9+115×10+125×10+135×7+145×3)=114.5,故D 正确.5.为了估计某水池中鱼的数量,先从水池中捕出2 000尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响存活),然后放回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出500尾鱼,其中有标记的为40尾,根据上述数据估计该水池中鱼的数量为 尾. 答案:25 000解析:设该水池中鱼的尾数为x ,则2000x=40500,解得x=25000.6.某学校有高中学生500人,其中男生320人,女生180人,为了解全体高中学生身高的信息,按照分层随机抽样原则抽取了男生32人,女生18人.通过计算得到男生身高样本均值为173.5 cm,女生身高样本均值为163.83 cm,则所有数据的样本平均值为 .(保留两位小数) 答案:170.02 cm解析:样本平均值为3232+18×173.5+1832+18×163.83≈170.02(cm).7.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁、11~12岁、13~14岁、15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x 份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层随机抽取容量为300的样本,在各层中按比例分配样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生问卷中抽取的问卷份数为 . 答案:120 解析:由已知得60180=300120+180+240+x,解得x=360.故在15~16岁学生问卷中抽取的问卷份数为360×60180=120. 二、综合应用8.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是( ) A.甲应付5141109钱 B.乙应付3224109钱C.丙应付1656109钱D.三人中甲付的钱最多,丙付的钱最少 答案:B解析:依题意,甲应付560×100560+350+180=5141109(钱),乙应付350×100560+350+180=3212109(钱),丙应付180×100560+350+180=1656109(钱).故三人中甲付的钱最多,丙付的钱最少.9.某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多13人.按分层随机抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动,如果选出的员工中有6人对户外运动持“喜欢”态度,有2人对户外运动持“不喜欢”态度,有3人对户外运动持“一般”态度,那么该公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为( ) A.26 B.39 C.78 D.13 答案:C解析:依题意,设该公司全体员工中对户外运动持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x ,2x ,3x ,由3x-2x=13,得x=13.故该公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为6×13=78.10.(2021安徽安庆一中三模)某工厂生产A,B,C 三种产品的数量刚好构成一个公比为q (q ≠1)的等比数列,现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个容量为260的样本进行调查,其中C 产品的数量为20,则抽取的A 产品的数量为( ) A.100 B.140 C.180 D.120 答案:C解析:因为A,B,C 三种产品的数量刚好构成一个公比为q 的等比数列,抽取的C 产品的数量为20,所以抽取的A 产品的数量为20q 2,抽取的B 产品的数量为20q . 因为抽取的样本容量为260,所以20q 2+20q+20=260,解得q=13或q=-14(舍去).所以抽取的A 产品的数量为2019=180.11.某高中在校学生有2 000人.为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山的比赛活动.其中a ∶b ∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的25.为了解学生对本次活动的满意程度,用分层随机抽样的方法从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中抽取的人数为 . 答案:36解析:根据题意可知,样本中参与跑步的人数为200×(1-25)=120,故从高二年级参与跑步的学生中抽取的人数为120×32+3+5=36.12.在某校开展的一次有关病毒的网络科普讲座中,高三年级有男生60人,女生40人参加.按分层随机抽样的方法,从这100名学生中选出5人,则男生中选出 人.再从这5人中选出2名学生作为联络人,则这2名联络人中,男、女生都有的概率为 . 答案:3 35解析:由已知得男生中选出的人数为60×5100=3,则所求概率为C 31C 21C 52=35.三、探究创新13.某中学为了解学生年龄与身高的关系,采用分层随机抽样的方法分别从高一400名、高二300名、高三250名学生中共抽取19名学生进行调查,从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为a ,b ,c ,若圆A :(x-a )2+(y-b )2=c 2与圆B :(x-m )2+(y-34m )2=25外切,则实数m 的值为 . 答案:0或16解析:由题意可知a=400×19400+300+250=8,b=300×19400+300+250=6,c=250×19400+300+250=5. 则圆A :(x-8)2+(y-6)2=52的圆心为(8,6),半径为5. 又圆B :(x-m )2+(y-34m )2=25的圆心为(m ,3m4),半径为5,圆A 与圆B 外切,所以√(8-m )2+(6-3m 4) 2=5+5=10,解得m=0或m=16.。
2016年高考数学试卷附标准答案与解析
高考数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2016•真题）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）3．（5分）（2016•真题）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）=1 ．﹣y2=1﹣x2=1=15．（5分）（2016•真题）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正6．（5分）（2016•真题）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）7．（5分）（2016•真题）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）+++228．（5分）（2016•真题）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）|=1 ．⊥•=1 4+）⊥9．（5分）（2016•真题）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）10．（5分）（2016•真题）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2016•真题）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（2016•真题）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（2016•真题）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2016•真题）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（2016•真题）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2016•真题）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（2016•真题）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）18．（12分）（2016•真题）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．19．（13分）（2016•真题）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．20．（13分）（2016•真题）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（2016•真题）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值．高考数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2016•真题）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）=i3．（5分）（2016•真题）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）=1 ．﹣y2=1﹣x2=1=1y=5．（5分）（2016•真题）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正6．（5分）（2016•真题）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）则对应的标准差为=7．（5分）（2016•真题）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）+++22×2×1+2××+×2×1．8．（5分）（2016•真题）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）|=1．⊥•=1 4+）⊥，根据已知三角形为等边三角形解之．的等边三角形，，满足=2，=2+，又，，=4×1×2×cos120°=﹣，=4，所以4），所以9．（5分）（2016•真题）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（），∴b＞﹣﹣10．（5分）（2016•真题）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）x=2x+=2x=∴2×+φ=2kπ+，，可解得：φ=2kπ+（2x+2kπ+）2x+））﹣4+2π）＞4+=Asin＞＞﹣4+2π＞＞，而2x+）在区间（，二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2016•真题）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35 （用数字填写答案）=；∴r=4，可得：12．（5分）（2016•真题）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是 6 ．θ=y=xθ=θ=y=xd=（ρ∈13．（5分）（2016•真题）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为 4时不满足条件，，，14．（5分）（2016•真题）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1 ．项和为：15．（5分）（2016•真题）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2016•真题）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．解：∵∠A=AC=3…4中，由正弦定理可得：，…8AD=== (12)17．（12分）（2016•真题）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）=．=．=．=200 300 400+300×+400×18．（12分）（2016•真题）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．，时，时，因为=19．（13分）（2016•真题）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．=的一个法向量为===，，得=∴cos（，==的余弦值为20．（13分）（2016•真题）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．即，可得=1，线段，∴=．，∴==1NS，解得∴a=3的方程为：21．（13分）（2016•真题）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值．的最大值．，）递增，，f′（（；或，当时，参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；changq；双曲线；maths；742048；w3239003；qiss；孙佑中；雪狼王；cst（排名不分先后）菁优网2016年6月13日。
2016届高考数学(文)大一轮复习课件：第10章 第二节 随机抽样
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法 抽取 N 个人，其中 35 岁以下 48 人，50 岁以上 10 人，再从这 N 个人中随机抽取 1 人，此人的年龄为 50 岁以上的概率为359， 求 x，y 的值． 解：(1)用分层抽样的方法在 35～50 岁年龄段的专业技术人员 中抽取一个容量为 5 的样本，设抽取学历为本科的人数为 m， ∴3500＝m5 ，解得 m＝3.
第十页，编辑于星期五：二十一点 四十七分。
[题组练透] 1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有
()
①从无限多个个体中抽取①50不个满个足体样作本为的样总本体数；较少的特点
②箱子里有 100 支铅笔，今从中选取 10 支进行检验．在抽样操 ②不满足不放回抽取的特点
作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；
是整数时，取 k＝Nn；
(3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k)；
第十六页，编辑于星期五：二十一点 四十七分。
(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将 l 加上间隔 k 得到 第 2 个个体编号 l＋k，再加 k 得到第 3 个个体编号 l＋2k，依 次进行下去，直到获取整个样本．
3．用系统抽样法(按等距离的规则)要从 160 名学生中抽取容量 为 20 的样本，将 160 名学生从 1～160 编号．按编号顺序平 均分成 20 组(1～8 号，9～16 号，…，153～160 号)，若第 16 组应抽出的号码为 125，则第一组中按此抽签方法确定的 号码是__5__．
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角度一：与频率分布相结合问题
1．(2014·广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图
2016届高考数学文一轮复习课件10.1随机抽样
解析 答案 思维升华 思维点拨 题型二 系统抽样 例 2 将参加夏令营的 600 名学生编 号为 001,002 ， … ， 600. 采用系统抽 令 300<3＋12(k－1)≤495 得 样方法抽取一个容量为 50 的样本， 103 <k≤42， 因此第Ⅱ营区被 4 且随机抽得的号码为 003. 这 600 名学 生分住在三个营区，从 001 到 300 在 抽中的人数是 42－25＝17. 第 Ⅰ 营区，从 301 到 495 在第 Ⅱ 营区， 结合各选项知，选B. 从 496 到 600 在第 Ⅲ 营区，三个营区 被抽中的人数依次为( ) A．26,16,8 B．25,17,8 C．25,16,9 D．24,17,9
思维升华
例1
(4)某班有56名同学，指
定个子最高的 5 名同学参加学 校组织的篮球赛.
由简单随机抽样的特征判断.思维拨解析思维升华
例1
(4)某班有56名同学，指
定个子最高的 5 名同学参加学 校组织的篮球赛.
解
(4)不是简单随机抽样 .
因为不是等可能抽样.
思维点拨
解析
思维升华
例1
(4)某班有56名同学，指
解析 答案 思维升华 思维点拨 题型二 系统抽样 例 2 将参加夏令营的 600 名学生编 号为 001,002 ， … ， 600. 采用系统抽 令 300<3＋12(k－1)≤495 得 样方法抽取一个容量为 50 的样本， 103 <k≤42， 因此第Ⅱ营区被 4 且随机抽得的号码为 003. 这 600 名学 生分住在三个营区，从 001 到 300 在 抽中的人数是 42－25＝17. 第 Ⅰ 营区，从 301 到 495 在第 Ⅱ 营区， 结合各选项知，选B. 从 496 到 600 在第 Ⅲ 营区，三个营区 被抽中的人数依次为( B ) A．26,16,8 B．25,17,8 C．25,16,9 D．24,17,9
高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第十章统计与统计案例10.1随机抽样Word版含答案
必考部分第十章统计与统计事例§ 10.1随机抽样考纲展现 ?1.理解随机抽样的必需性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从整体中抽取样本，认识分层抽样和系统抽样．考点 1简单随机抽样1. 定义：设一个整体含有N 个个体，从中 ________抽取n个个体作为样本( ≤ )，假如n N每次抽取时整体内的各个个体被抽到的时机都________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．答案：逐一不放回地相等2．最常用的简单随机抽样的方法：________和 ________．答案：抽签法随机数法(1)[ 教材习题改编] 在“世界念书日”前夜，为了认识某地从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计剖析．在这个问题中，5 000 名居民某天的阅读时间，5 000 名居民的阅读时间的全体是 ()A．整体B．个体C．样本的容量D．从整体中抽取的一个样本答案： A分析：由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是整体；此中 1 名居民的阅读时间是个体；从 5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200 名居民的阅读时间是从整体中抽取的一个样本，样本容量是200.(2)[教材习题改编]2017年 1 月 6 日～ 8 日某要点中学在毕业班进行了一次模拟考试，为了认识整年级 1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100 名学生的成绩单，下边说法：① 1 000 名学生是整体；②每名学生是个体；③ 1 000名学生的成绩是一个个体；④样本的容量是 100. 此中正确的序号是__________ ．答案：④分析： 1 000 名学生的成绩是整体，每名学生的成绩是个体，被抽取的 100 名学生的成绩是一个样本，其样本的容量是 100.频数问题：频数＝样本容量×频次．[2017 ·湖北武汉武昌区模拟] 已知某地域中小学生人数和近视状况以下表所示.年级人数近视率小学 3 50010%初中 4 50030%高中 2 00050%为认识该地域中小学生近视形成的原由，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行检查，则：(1)样本容量为 ________；(2)抽取的高中生中，近视的人数为________．答案： (1)200 (2)20分析：由题意可得，总人数为10 000 ，由于抽取2%的学生进行检查，2 000所以样本容量为10 000 ×2%＝ 200，则抽取的高中生有200×10 000＝40，此中近视的人数为40×50%＝ 20.[ 典题 1] (1) 老师在班级50 名学生中，挨次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是()A．随机抽样 B ．分层抽样C．系统抽样 D ．以上都不是[ 答案]C[ 分析]由于抽取学号是以 5 为公差的等差数列，故采纳的抽样方法应是系统抽样．(2) 整体由编号为01,02 ，， 19,20的 20 个个体构成，利用下边的随机数表选用 5 个个体，选用方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右挨次选用两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为()A.08 B ． 07C．02 D ．01[ 答案]D[分析]从第 1 行第5列和第 6列构成的数65 开始由左到右挨次选出的数为08,02,14,07,01，所以第 5个个体的编号为01.(3)以下抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________． ( 填序号 )①从无穷多个个体中抽取100 个个体作为样本．②盒子里共有80 个部件，从中选出 5 个部件进行质量查验．在抽样操作时，从中随意拿出一个部件进行质量查验后再把它放回盒子里．③从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量查验．④某班有56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛．[ 答案 ] ①②③④[ 分析 ] ①不是简单随机抽样．由于被抽取样本的整体的个数是无穷的，而不是有限的．②不是简单随机抽样．由于它是有放回抽样．③不是简单随机抽样．由于这是“一次性”抽取，而不是“逐一”抽取．④不是简单随机抽样．由于不是等可能抽样．[ 画龙点睛 ] 1. 一个抽样试验可否用抽签法，要点看两点：一是抽签能否方便；二是号签能否易搅匀．一般地，当整体容量和样本容量都较小时可用抽签法．2．在使用随机数表时，如碰到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选用，有超出整体号码或出现重复号码的数字舍去．考点 2系统抽样系统抽样(1)定义：在抽样时，将整体分红 ________的几个部分，而后依照 ________的规则，从每一部分抽取一个个体，获得所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样( 也称为机械抽样) ．(2)合用范围：合用于 ________好多且 ________整体抽样．答案： (1)平衡预先确立(2) 元素个数平衡的(1)[ 教材习题改编] 为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样检查．抽到的班级一共有52 名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为本，已知7 号、 33 号、 46 号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为(4 的样)A．13 B ．19C．20 D ．51答案： C分析：抽样间隔为46－ 33＝ 13，故另一位同学的编号为7＋ 13＝20，应选 C.(2)[教材习题改编] 为了检查某商场货架上的饮料能否含有塑化剂，要从编号挨次为 1 到50 的塑料瓶装饮猜中抽取 5 瓶进行查验，用系统抽样的方法确立所选用的 5 瓶饮料的编号可能是 __________． ( 填序号 )①5,10,15,20,25②2,4,8,16,32③1,2,3,4,5④ 7,17,27,37,47答案：④分析：利用系统抽样，把编号分为 5 段，每段10 个，每段抽取 1 个，号码间隔为10. 只有④正确 .[典题 2](1) 为认识 1 000名学生的学习状况，采纳系统抽样的方法，从中抽取容量为40 的样本，则分段的间隔为 ()A．50 B ．40C．25 D ．20[ 答案]C1 000[ 分析]由系统抽样的定义知，分段间隔为40＝ 25.(2)[2017·东北三省哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考] 将高一·九班参加社会实践编号为 1,2,3，，48 的 48 名学生，采纳系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 5 号、29 号、 41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．[ 答案]17[ 分析]依据系统抽样的观点，所抽取的 4 个样本的编号应成等差数列，由于在这组数中的间距为41－29＝ 12，所以所求的编号为5＋ 12＝ 17.[ 画龙点睛 ]解决系统抽样问题的两个要点步骤(1)分组的方法应依照抽取比率而定，即依据定义每组抽取一个样本．(2)开端编号确实定应用简单随机抽样的方法，一旦开端编号确立，其余编号便随之确立了．考点 3分层抽样分层抽样(1)定义：在抽样时，将整体 ________的层，而后依照 ________，从各层独立地抽取必定数目的个体，将各层拿出的个体合在一同作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当整体是由________几个部分构成时，常常采纳分层抽样．答案： (1) 分红互不交错必定的比率(2)差别显然的(1)[教材习题改编] 一支田径队共有运动员98 人，此中女运动员42 人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是2，则应抽取男运动员7________人．答案： 16x2分析：设应抽取男运动员x 人，则98－42＝7，解得 x＝16.(2)[教材习题改编] 某校高一年级有900 名学生，此中女生400 名．按男女比率用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45 的样本，则应抽取的男生人数为________．答案： 25分析：由题意知，男生共有500 名，依据分层抽样的特色，在容量为45 的样本中男生应抽取的人数为50045× 900＝ 25.分层抽样：差别显然；按比率抽样．某工厂生产A，B，C三种不一样型号的产品，产品数目之比挨次为k∶5∶3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120 的样本，已知A种型号的产品共抽取了取的件数为 __________ ．答案： 36分析：∵ A，B， C三种产品的数目之比挨次为k∶5∶3，24 件，则C种型号产品抽k24∴由k＋3＋5＝120，解得 k＝2，3则 C种型号产品抽取的件数为120×＝36.10[ 典题 3] (1) 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采纳分层抽样的方法检查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320 人，则该样本中的老年教师人数为()类型人数老年教师900中年教师 1 800青年教师 1 600共计 4 300A.90 B ．100 C ．180 D ．300[ 答案]C[ 分析]x，由题意及分层抽样的特色，得x320设该样本中的老年教师人数为900＝1 600，故x＝180.(2)[2017 ·云南一致复习检测] 某企业职工对户外运动分别持“喜爱”“不喜爱”和“一般”三种态度，此中持“一般”态度的比持“不喜爱”态度的多12 人，按分层抽样方法从该企业全体职工中选出部分职工会谈户外运动，假如选出的人有 6 位对户外运动持“喜爱”态度，有 1 位对户外运动持“不喜爱”态度， 3 位持“一般”态度．那么这个企业全体职工中对户外运动持“喜爱”态度的人数为()A．36 B ．30 C ．24 D ．18[ 答案]A[ 分析]设持“不喜爱”态度的有x 人，则持“一般”态度的有( x＋ 12) 人．1 3按分层抽样方法，可得x＝x＋12.解得 x＝6.∴持“喜爱”态度的有6×6＝ 36( 人 ) ．应选 A.[ 画龙点睛 ]进行分层抽样的有关计算时，常利用以下关系式巧 解：样本容量 n该层抽取的个体数 (1)整体的个数 N ＝ 该层的个体数； (2) 整体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比 .[ 方法技巧 ]三种抽样方法中简单随机抽样是最基本的抽样方法，是其余两种方法的基础，合用范围不一样，要依据整体的详细状况采纳不一样的方法；它们的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，表现了这三种抽样方法的客观性和公正性，若样本容量为，整体的个体数为 ，则用这三种方法抽样时，每一个个体被抽到的概率都是 n .nNN[ 易错防备 ] 应用分层抽样应依照的三点：(1) 分层，将相像的个体归为一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交错，即不重复不遗漏．(2) 分层保证每个个体等可能被抽取，需依照在各层中进行简单随机抽样，每层样本数目与每层个体数目的比与这层个体数目与整体容量的比相等．(3) 若各层应抽取的个体数不都是整数，则应该调整样本容量，先剔除“剩余”的个体．真题操练集训1．[2016 ·山东卷 ] 某高校检查了 200 名学生每周的自习时间 ( 单位：小时 ) ，制成了如图所示的频次散布直方图，此中自习时间的范围是[17.5,30] ，样本数据分组为 [17.5,20) ，[20,22.5) ， [22.5,25) ， [25,27.5) ， [27.5,30] ．依据直方图，这200 名学生中每周的自习时间许多于22.5 小时的人数是( )A ．56B ．60C ． 120D ． 140答案： D分析： 由频次散布直方图可知，这(0.16 ＋0.08 ＋0.04) ×2.5 ＝ 0.7 ，故这200 名学生每周的自习时间许多于200 名学生中每周的自习时间许多于22.5 小时的频次为22.5 小时的人数为 200×0.7 ＝ 140. 应选D.2．[2015 ·湖北卷 ] 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得夹谷约为 ()A．134 石 B ． 169 石C．338 石 D ．1 365 石254 粒内夹谷28 粒，则这批米内答案： B分析：设1 534石米内夹谷x 石，则由题意知x1 534＝ 28 ，解得254x≈169.故这批米内夹谷约为169 石．3．[2015 ·新课标全国卷Ⅱ] 依据下边给出的2004年至2013 年我国二氧化硫年排放量( 单位：万吨) 柱形图，以下结论中不正确的选项是()A．逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的成效最明显B．2007 年我国治理二氧化硫排放展现收效C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋向D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正有关答案： D分析：关于 A选项，由图知从于 B 选项，由图知，由 2006 年到2007 年到 2008 年二氧化硫排放量降落得最多，2007 年矩形高度显然降落，所以 B 正确．关于故 A 正确．对C 选项，由图知从2006 年此后除2011年稍有上涨外，其余年份都是逐年降落的，所以 C 正确．由图知2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负有关，应选 D.4．[2014 ·天津卷] 某大学为认识在校本科生对参加某项社会实践活动的意愿，拟采纳分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行检查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶ 5∶ 5∶ 6，则应从一年级本科生中抽取 ________名学生．答案： 60x4分析：设应从一年级本科生中抽取x 名学生，则300＝4＋5＋5＋6，解得 x＝60.5．[2015 ·湖南卷 ] 在一次马拉松竞赛中，35 名运动员的成绩( 单位：分钟 ) 的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为绩在区间 [139,151]上的运动员人数是1～ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取________．7 人，则此中成答案： 4分析：对数据进行分组，在区间[139,151]上，有几组就有几个运动员．35÷7＝ 5，所以可将编号为1～ 35 的 35 个数据分红7 组，每组有 5 个数据，在区间[139,151]上共有20 个数据，分在 4 个小组中，每组取一人，共取4 人．课外拓展阅读分层抽样与其余知识的综合分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考取常把分层抽样、频次散布、概率综合起来进行考察，反应了目前高考的命题方向，这种试题难度不大，但考察的知识面较为宽广，在解题中要注意正确使用所学知识，否则在一个点上的错误就会致使整体失误．[ 典例 1]从1,2，，500这500个号顶用系统抽样的方法抽取一个容量为10 的样本，已知样本中最小号为15，从样本中随机抽出 3 个号，起码有两个号能被 3 整除的抽法种数为('')A．60 B．40C．120 D ． 36[ 思路剖析 ]先依据系统抽样的定义求出样本间隔，而后依据摆列组合进行求解即可．[ 分析]样本间隔为 500÷10＝ 50，若样本中最小号为15，则抽取的样本号知足a n＝15＋ 50( n－1)＝ 50n－ 35( n∈N* ) ．对应的号码为 15,65,115,165,215,265,315,365,415,465，此中不可以被 3 整除的号码为 65,115,215,265,365,415，有 6 个，能被 3 整除的号码有4 个．从样本中随机抽出 3 个号，有两个号能被 3 整除的抽法种数为21CC＝36，有 3 个号能被 3463整除的抽法种数为C4＝ 4.则起码有两个号能被 3 整除的抽法种数为36＋ 4＝40.[ 答案]B[ 典例2]某企业有一批专业技术人员，对他们进行年纪状况和接受教育程度(学历 ) 的调查，其结果 ( 人数散布 ) 以下表：学历35 岁以下35～50 岁50 岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在35～ 50岁年纪段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本当作一个整体，从中任取 2 人，求起码有 1 人学历为研究生的概率；(2)在这个企业的专业技术人员中按年纪状况用分层抽样的方法抽取N 个人，此中35岁以下 48人， 50 岁以上 10 人，再从这个人中随机抽取 1 人，这人的年纪为50 岁以上的概率N5为，求 x， y 的值．39[ 思路剖析 ][ 解] (1) 用分层抽样的方法在35～ 50 岁年纪段的专业技术人中抽取一个容量为 5 的样30m本，设抽取学历为本科的人数为m，所以＝，解得 m＝3.505抽取的样本中有研究生 2 人，本科生 3人，分别记作1，2；1，2， 3.S SBBB从中任取 2 人的全部等可能基本领件共有10 个：(S，B) ，(S，B) ，(S，B) ，(S，B)，11121321 (S，B) ，(S，B) ，( S，S)，( B，B)，( B，B) ，(B，B) ．222312121323此中起码有 1人的学历为研究生的基本领件有7 个：(1，1)，( 1， 2)，(1， 3)，(2，S B S B S B S B1)，( S2， B2)，( S2， B3)，( S1，S2)．7所以从中任取 2 人，起码有 1 人学历为研究生的概率为10.10 5(2)由题意，得N＝39，解得 N＝78.所以 35～ 50 岁中被抽取的人数为78－ 48－ 10＝20，482010所以80＋x＝50＝20＋y，解得 x＝40，y＝5.即 x， y 的值分别为40,5.温馨提示分层抽样与概率联合的题目多与实质问题密切联系，计算量和阅读量都比较大，且会有图表，求解时简单造成失误，平常需注意多训练此种类的题目．提示达成课时追踪检测( 五十七 )。
2016高考数学一轮统计专项复习有解析
2016高考数学一轮统计专项复习（有解析）2016高考数学一轮统计专项复习（有解析）I1随机抽样2．I1[2014湖南卷]对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2＜p3B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2D．p1＝p2＝p32．D[解析]不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为nN.9．I1[2014天津卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．9．60[解析]由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×44＋5＋5＋6＝60.I2用样本估计总体6．I2[2014广东卷]已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1­1和图1­2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()图1­1图1­2A．200，20B．100，20C．200，10D．100，106．A[解析]本题考查统计图表的实际应用．根据图题中的图知该地区中小学生一共有10000人，由于抽取2%的学生，所以样本容量是10000×2%＝200.由于高中生占了50%，所以高中生近视的人数为2000×2%×50%＝20. 17．I2、K5[2014广东卷]随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12(30，35]50.20(35，40]80.32(40，45]n1f1(45，50]n2f2(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．18．I2、K5、K6[2014辽宁卷]一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1­4所示．图1­4将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．18．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C130.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C230.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C330.63＝0.216.X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.18．I2、I3[2014新课标全国卷Ⅰ]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图1­4所示的频率分布直方图：图1­4(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x－，σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则p(μ－σZμ＋σ)＝0.6826，p(μ－2σZμ＋2σ)＝0.9544.18．解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x－和样本方差s2分别为x－＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)(i)由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8Z212.2)＝P(200－12.2Z200＋12.2)＝0.6826.(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100，0.6826)，所以EX＝100×0.6826＝68.26.7．I2[2014山东卷]为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为() 图1­1A.6B.8C.12D.187．C[解析]因为第一组与第二组一共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的人数比是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组有20×35＝12.又因为第一组与第三组的人数比是0.24∶0.36＝2∶3，所以第三组一共有12÷23＝18.因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.9．I2[2014陕西卷]设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为() A．1＋a，4B．1＋a，4＋aC．1，4D．1，4＋a9．A[解析]由题意可知x1＋x2＋x3＋…＋x1010＝1，故y－＝（x1＋x2＋x3＋…＋x10）＋10a10＝1＋a.数据x1，x2，…，x10同时增加一个定值，方差不变．故选A.I3正态分布18．I2、I3[2014新课标全国卷Ⅰ]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图1­4所示的频率分布直方图：图1­4(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x－，σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则p(μ－σZμ＋σ)＝0.6826，p(μ－2σZμ＋2σ)＝0.9544.18．解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x－和样本方差s2分别为x－＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)(i)由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8Z212.2)＝P(200－12.2Z200＋12.2)＝0.6826.(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100，0.6826)，所以EX＝100×0.6826＝68.26.I4变量的相关性与统计案例3．I4[2014重庆卷]已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A．y^＝0.4x＋2.3B．y^＝2x－2.4C．y^＝－2x＋9.5D．y^＝－0.3x＋4.43．A[解析]因为变量x与y正相关，则在线性回归方程中，x的系数应大于零，排除B，D；将x＝3，y＝3.5分别代入A，B中的方程只有A满足，故选A.4．I4[2014湖北卷]根据如下样本数据：x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y^＝bx＋a，则()A．a0，b0B．a0，b0C．a0，b0D．a0，b04．B[解析]作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y^＝bx＋a的斜率b0，截距a0.故a0，b0.故选B.6．I4[2014江西卷]某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是() 表1表2成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3表4智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A．成绩B．视力C．智商D．阅读量6．D[解析]根据独立性检验计算可知，阅读量与性别有关联的可能性较大．19．I4[2014新课标全国卷Ⅱ]某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：19．解：(1)由所给数据计算得t－＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y－＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，a^＝y－－b^t－＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y^＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知，b^＝0.50，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9，代入(1)中的回归方程，得y^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．I5单元综合2．[2014福州期末]将参加夏令营的500名学生分别编号为001，002，…，500，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到350在第二营区，从351到500在第三营区．若采用分层抽样的方法抽取一个容量50的样本，则三个营区被抽取的人数分别为() A．20，15，15B．20，16，14C．12，14，16D．21，15，142．A[解析]根据分层抽样的比例抽取，分别应抽取的人数为20，15，15.3．[2014广州调研]如图X38­1所示是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为()图X38­1A．85，84B．84，85C．86，84D．84，863．A[解析]由题意可知，所剩数据的平均数为x＝84＋84＋86＋84＋875＝85，众数为84.4．[2014泰安一模]为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老人，其结果如下表：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270由K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），得K2＝500×（40×270－30×160）2200×300×70×430≈9.967.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，可得到的结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”C．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”D．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”4．C[解析]由数据知，选项C正确．6．[2014威海一模]某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为()分组[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数5152010频率0.10.30.40.2A.80B．81C．82D．836．C[解析]65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82. 8．[2014邯郸期末]某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节当天9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图X38­2所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．图X38­28．10[解析]设11时至12时的销售额为x万元，则2.50.1＝x0.4，解得x＝10.11．[2014韶关一模]设某大学的女生体重y(kg)与身高x(cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i ＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为y^＝0.85x－85.71，给出下列结论：①y与x具有正的线性相关关系；②回归直线过样本点的中心(x，y)；③若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；④若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg.其中，正确结论的序号是______________．11．①②③[解析]利用有关概念可知，①②③正确．。
简单随机抽样(含答案)
简单随机抽样一、单选题1. 抽样比的计算公式为（ B ）。
A 。
f= （n-1)/ （N —1） B. f=n/N C 。
f= (n-1)/N D 。
f= (N —n ）/N 2. 不放回的简单随机抽样指的是哪种情形的随机抽样?（D ) A 。
放回有序 B. 放回无序 C. 不放回有序 D. 不放回无序3. 放回的简答随机抽样指的是哪种情形的随机抽样?（ A ) A 。
放回有序 B 。
放回无序 C 。
不放回有序 D 。
不放回无序 4。
通常所讨论的简单随机抽样指的是( D ）. A 。
放回的简单随机抽样 B 。
放回无序随机抽样 C. 不放回有序随机抽样 D 。
不放回的简单随机抽样5. 下面给出的四个式子中，错误的是（D ）。
A 。
()E y Y = B 。
()E Ny Y =C.()E p P = D 。
ˆ()E RR = 6。
关于简单随机抽样的核心定理，下面表达式正确的是（ A ）。
A. 21()f V y S n-=B 。
21()1f V y s n -=-C 。
21()V y s n = D. 21()f V y s n-=7. 下面关于各种抽样方法的设计效应，表述错误的是（ B )。
A 。
简单随机抽样的deff=1B 。
分层随机抽样的deff 〉1C 。
整群随机抽样的deff>1 D. 机械随机抽样的deff ≈18。
假设考虑了有效回答率之外所有其他因素的初始样本量为400，而设计有效回答率为80％，那么样本量应定为（ B ）。
A. 320 B 。
500 C 。
400 D. 480 9. 在要求的精度水平下,不考虑其他因素的影响，若简单随机抽样所需要的样本量为300，分层随机抽样的设计效应deff=0。
8,那么若想达到相同的精度,分层随机抽样所需要的样本量为（C ）。
A. 375B. 540C. 240 D 。
360 二、多选题1。
随机抽样可以分为（ ABCD ）。
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第10章 算法初步、统计、统计案例
第2节 随机抽样
1．（2014湖南，5分）对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1、p 2、p 3，则( )
A ．p 1＝p 2<p 3
B ．p 2＝p 3<p 1
C ．p 1＝p 3<p 2
D ．p 1＝p 2＝p 3
解析：选D 根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是n N ，故p 1＝p 2＝p 3，故选D.
2．（2014天津，5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
解析：设应从一年级本科生中抽取x 名学生，则
x 300＝44＋5＋5＋6，解得x ＝60. 答案：60
3．（2013新课标全国Ⅰ，5分）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A ．简单随机抽样
B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样
D.系统抽样 解析：本题考查抽样方法的知识，意在考查考生对简单随机抽样、系统抽样及分层抽样的认识与区别，且能够对具体实际问题选择恰当的抽样方法解决问题的能力．由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A ；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B 和D.故选C.
答案：C
4．（2013湖南，5分）某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A ．抽签法
B ．随机数法
C ．系统抽样法
D ．分层抽样法
解析：本小题主要考查抽样方法的意义，属容易题．由于被抽取的个体的属性具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．
答案：D
5．（2013陕西，5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
解析：本题考查系统抽样的方法．依据系统抽样为等距抽样的特点，分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽1人，则抽到的人数为12.
答案：B
6．（2013江西，5分）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
C ．02
D ．01 解析：本题考查统计中的抽样方法——随机数法，意在考查考生的观察能力和阅读理解能力．从左到右符合题意的5个个体的编号分别为：08,02,14,07,01，故第5个个体的编号为01.
答案：D
7．（2012山东，5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )
A ．7
B ．9
C ．10
D ．15
解析：从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n 组抽到的号码为a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由
451≤30n －21≤750，得23615≤n ≤25710
，所以n ＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人． 答案：C
8．（2011福建，5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取
了6名， 则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
解析：由分层抽样的比例都等于样本容量比总体容量可知：若设高二年级抽取x 人，则有630＝x 40
，解得x ＝8. 答案：B
9．（2012江苏，5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生
解析：由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的310
，利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50×310
＝15名学生． 答案：15
10．（2012福建，4分）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．
解析：应抽取女运动员的人数为：98－5698
×28＝12. 答案：12
11．（2012浙江，4分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420
＝160. 答案：160
12．（2011天津，5分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
解析：抽取的男运动员的人数为2148＋36
×48＝12. 答案：12
13．（2010北京，5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图). 由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，
[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
解析：根据频率之和等于1，可知(0.005＋0.010＋0.020＋a ＋0.035)×10＝1， 解得a ＝0.030；
身高在[120,150]内的频率为0.6，人数为60人，
抽取比例是1860，而身高在[140,150]内的学生人数是10，故应该抽取10×1860
＝3人． 答案：0.030 3。